Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta

1. Quais das funções de 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} em 𝐹 = {0,1,2,3,4,5} são injetoras?

i. 𝑓1 = { 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 3 , 𝑑, 4 , 𝑒, 5 }

ii. 𝑓2 = 𝑎, 5 , 𝑏, 4 , 𝑐, 2 , 𝑑, 1 , 𝑒, 0

iii. 𝑓3 = 𝑎, 0 , 𝑏, 1 , 𝑐, 2 , 𝑑, 0 , 𝑒, 3

iv. 𝑓4 = { 𝑎, 5 , 𝑏, 5 , 𝑐, 5 , 𝑑, 5 , 𝑒, 5 }

2. Quais das funções de 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} em 𝐹 = {1,2,3,4} são injetoras?

i. 𝑓1 = { 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 3 , 𝑑, 1 , 𝑒, 3 }

ii. 𝑓2 = 𝑎, 2 , 𝑏, 1 , 𝑐, 3 , 𝑑, 3 , 𝑒, 4

iii. 𝑓3 = 𝑎, 3 , 𝑏, 3 , 𝑐, 1 , 𝑑, 2 , 𝑒, 1

iv. 𝑓4 = { 𝑎, 4 , 𝑏, 4 , 𝑐, 2 , 𝑑, 3 , 𝑒, 1 }

3. Quais das funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras?

4. Quais das funções de ℝ em ℝ abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras?

5. Qual deve ser o conjunto 𝐵, para que a função 𝑓: ℝ → 𝐵 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2

seja sobrejetora?

6. Sejam os conjuntos 𝐴 = −3, −2, −1,0,1 , 𝐵 = −5, −3, −1,1,3 , 𝐶 =

1,2,4,10 𝑒 𝐷 = {−1,0,1,2,3,4,5,6}. Classifique as funções abaixo como injetora,

sobrejetora ou bijetora.

Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta

i. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = 2. 𝑥 + 1

ii. 𝑓: 𝐴 → 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1

iii. 𝑓: 𝐴 → 𝐷 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3

7. Seja a função 𝑓: ℕ → ℕ definida por 𝑓 𝑛 = 2. 𝑛. Responda:

i. 𝑓 é injetora ? Por que?

ii. 𝑓 é sobrejetora? Por que?

iii. 𝑓 é bijetora ? Por que?

iv. 𝑓 é inversível ? Por que?

8. Considere as funções abaixo de ℝ em ℝ, diga quais são injetoras e quais são

sobrejetoras.

i. 𝑦 = 3

ii. 𝑦 = 𝑥 + 2

iii. 𝑦 = 𝑥2

iv. 𝑦 = 𝑥

v. 𝑦 = 2𝑥

9. Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1. Determine:

i. A função inversa de 𝑓.

ii. 𝑓−1(2)

10. Se 𝑔−1 é a função inversa de 𝑔: ℝ → ℝ definida por 𝑔 𝑥 = 3𝑥 − 4, calcule

𝑔−1 8 .

11. Se 𝑓−1 é a função inversa de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 =𝑥+1

2𝑥−2, calcule 𝑓−1 1 .

12. Descreva uma a uma todas as funções injetoras de E={a,b} em F={1,2,3}.

13. Descreva uma a uma todas as funções sobrejetoras de E={a,b} em F={1,2}.

14. Sejam os conjuntos A = {-2, - 1, 1, 2, 3} e B = {2, 5, 10}, e a relação r de A em

B definida por 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑦 = 𝑥2 + 1}.

i. Enumere os elementos de 𝑅−1, a relação inversa de 𝑅.

ii. A relação R é uma função? Se sim, ela é inversível? Porque?

15. Determine a inversa das funções abaixo:

i. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5

ii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 =4𝑥−5

3

iii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3

iv. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3

v. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2

vi. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 23

Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta

vii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 13

viii. 𝑓: ℝ − 4 → ℝ − {1} tal que 𝑓 𝑥 =𝑥+1

𝑥−4

ix. 𝑓: ℝ − 2 → ℝ − {1} tal que 𝑓 𝑥 =𝑥+1

𝑥−2

16. Sejam 𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 = {4,5,6,7} e 𝐶 = {8,9,0}, sejam as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e

𝑔: 𝐵 → 𝐶 definidas por

𝑓(1) = 4 , 𝑓(2) = 5 𝑒 𝑓(3) = 6

e

𝑔(4) = 𝑔(5) = 8, 𝑔(6) = 9 𝑒 𝑔(7) = 0

i. Descreva os pares ordenados da função 𝑔○𝑓.

ii. A função é injetora? Porque.

iii. A função é sobrejetora? Porque.

17. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 5. 𝑥. Calcule:

i. 𝑓○𝑔(0)

ii. 𝑓○𝑔(2)

iii. 𝑓○𝑔(-1)

iv. 𝑔○𝑓(0)

v. 𝑔○𝑓(-2)

vi. 𝑔○𝑓(1)

vii. 𝑓○𝑓(1)

viii. 𝑔○𝑔(-2)

18. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 3. 𝑥2. Obter as

expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔.

19. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3. Obter as

expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔.

20. Sejam 𝑓, 𝑔 e 𝑕 funções definidas de ℝ em ℝ tais que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2, 𝑔 𝑥 = 𝑥2 −

1 e 𝑕 𝑥 = 3. 𝑥. Forneça as expressões para:

i. 𝑔○𝑓

ii. 𝑓○𝑔

iii. 𝑓○𝑕

iv. 𝑕○𝑓

v. 𝑔○𝑕

vi. 𝑕○𝑔

21. Sejam 𝑓, 𝑔 e 𝑕 funções definidas de ℝ em ℝ tais que 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥2 e

𝑕 𝑥 = 3. 𝑥 + 1. Forneça as expressões para:

Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta

i. 𝑔○𝑓

ii. 𝑓○𝑔

iii. 𝑓○𝑕

iv. 𝑕○𝑓

v. 𝑔○𝑕

vi. 𝑕○𝑔

22. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥3 e 𝑔 𝑥 =1

𝑥. Determine:

i. As expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔.

ii. Os domínios de 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔

iii. 𝑔○𝑓(1)

iv. 𝑔○𝑓(−1)

v. 𝑔○𝑓(2)