EXERCICIOS DE MATEMÁTICA PRE-VESTIBULAR

7/22/2019 EXERCICIOS DE MATEMÁTICA PRE-VESTIBULAR

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Questões ComplementaresMatemática

São Paulo, março de 2011

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Sumário

Conjuntos Numéricos………………………………………………………………………..3.Função………………………………………………………………………………………...4.Função Afim…………………………………………………………………………………..6.Função quadrática……………………………………………………………………………7.Função Modular………………………………………………………………………………8.Função Exponencial………………………………………………………………………….9.Função Logarítmica………………………………………………………………………….11.Progressões…………………………………………………………………………………..13.Noções de matemática financeira………………………………………………………….15.Semelhanças de triângulo…………………………………………………………………..17.Trigonometria no triângulo retângulo………………………………………………………19.Resolução de triângulos…………………………………………………………………….22.Ciclo trigonométrico………………………………………………………………………….23.Razões trigonométricas na circunferência………………………………………………..24.

Relações entre razões trigonométricas…………………………………………………...25.Funções circulares…………………………………………………………………………..27.Transformações……………………………………………………………………………..28.Equações e inequações trigonométricas…………………………………………………29.Funções trigonométricas…………………………………………………………………...30.Matrizes………………………………………………………………………………………31.Determinantes……………………………………………………………………………….33.Sistemas lineares…………………………………………………………………………...35. Áreas de figuras planas…………………………………………………………………….36.Geometria espacial de posição……………………………………………………………39. Análise combinatória………………………………………………………………………..40.Probabilidade………………………………………………………………………………..42.Binômio de Newton…………………………………………………………………………43.

Poliedros……………………………………………………………………………………..44.Prismas………………………………………………………………………………………45.Pirâmide……………………………………………………………………………………...46.Cilindro……………………………………………………………………………………….47.Cone………………………………………………………………………………………….49.Esfera………………………………………………………………………………………...51.Troncos………………………………………………………………………………………54.O ponto……………………………………………………………………………………..55.A reta………………………………………………………………………………………..56.

A circunferência…………………………………………………………………………..58.As cônicas………………………………………………………………………………….61.

Números complexos……………………………………………………………………..63.

Polinômios…………………………………………………………………………………66.Equações algébricas e polinomiais……………………………………………………68.

Estatística…………………………………………………………………………………..70.

2



Conjuntos Numéricos

01. (UECE – 2005) O carro x percorre 38km com 4l de combustível, o carro y percorre

63km com 6l, o z percorre 52km com 5l e o t 78km com 7l. Quanto ao consumo decombustível, o carro mais econômico é:

a) xb) yc) zd) t

02. (UECE – 2006) Os subconjuntos X, Y e Z do conjunto dos números inteirospositivos são constituídos pelos múltiplos de 6, 10 e 15, respectivamente. O conjunto

ZYX ∩∩ é constituído pelos múltiplos inteiros positivos de:

a) 30b) 31c) 60d) 62

03. (UECE – 2007) Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy (x é o dígito dasdezenas e y o dígito das unidades), que são divisíveis por 15. O número de elementosde X é

a) 6b) 7c) 8

d) 9

04. (UECE – 2007) Seja n um número natural, que possui exatamente três divisorespositivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n3. O número deelementos do conjunto das partes de X é:

a) 64b) 128c) 256d) 512

05. (UNESP 2003) Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual asessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revistaPesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, dentre os idosos que nuncafreqüentaram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo(perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se dentre 2000idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosospesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é:

a) 680.b) 400.c) 240.d) 168.

e) 68.

3



Funções

06. (UFMA – 2003) Sendo f uma função par e g , uma função ímpar, e sabendo-se que( ) 2=−π f e ( ) π =− 2 g , pode-se concluir que ( )( )2 g f é igual a:

a) 2

b) π −c) 2−d) π e) 2π

07. (UFMA – 2006) Seja [ )∞,0: f definida por:

O valor de f( 0 ) – f( 1 ) é:

a)2

5

b)5

3

c)5

2

d) - 5

2

e) -2

5

08. (UFCE – 2004) Se f é a função definida por ( )1x

1xxf

+−= , o valor de

( ) ( )( ) ( )4f .3f 2f + é:

a) 0,5

b) 1,0

c) 1,5

d) 2,0

4



09. (UECE – 2004) Considere a função f: R → R definida por

f(x) =

≤

<≤−

<

− x se x

x se x

x se x

7,

74,8

4,2

1

O valor de f(f(f(5))) é:

a) 0,1

b) 0,12

c) 0,125

d) 0,15

10. (UECE – 2005) O número de pontos de interseção do gráfico da funçãof(x) = x5 – 8x3 –9x com os eixos coordenados é:

a) 1b) 2c) 3d) 4

11. (UECE – 2006) Sejam ( )1x

1xxf

−

+= uma função real de variável real e 1

f − a

função inversa de f . Então o valor de ( ) ( )2f .2f 1− é igual a:

a) 3b) 5c) 7d) 9

12. (UECE – 2006) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e f a função definida por: f(1) = 4; f(2) = 1;f(3) = 3; f(4) = 5 e f(5) = 2. Se, para n > 1, f n(x) = f( f n - 1 (x)) então o valor de f 2006(4) é:

a) 1b) 4c) 2d) 5

13. (UECE – 2006) A função g é a composta g = f f, em que a expressão de f é

( )1

1

+−

= x

x x f , para os valores admissíveis de x em R. O número de elementos do

conjunto{x ∈ R | g(x) = 1} é:

a) 0b) 1

c) 2d) 3

5



Função Afim

14. (UNESP 2003) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa deR$100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função,cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duraçãode uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos,é:

a) 6 horas.b) 5 horas.c) 4 horas.d) 3 horas.e) 2 horas.

15. (UNESP 2010) Observe o gráfico da função f(x) e analise as afirmações a seurespeito.

I. Se x1, x2 ∈ Dom(f) e x2 > x1, então f(x2) > f(x1).

II. Se x > 1, então f(x) < 0.III. O ponto (2, –2) pertence ao gráfico de f(x).

IV. A lei de formação de f(x) representada no gráfico é dada por ( )12

1)( −−= x x f .

A alternativa que corresponde a todas as afirmações verdadeiras é:

a) I e III.b) I, II e III.c) I e IV.d) II, III e IV.e) II e IV.

16. (UNESP 2004) Seja f uma função de 1.º grau que passa pelos pontos (–1, –1) e (2,0). Determine:

a) a taxa de variação entre x1 = –1 e x2 = 2;b) a equação da função f.

6



17. (UNESP 2008) Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2 planosdiferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 200 minutos mensais deligações telefônicas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto.No plano alternativo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o tempo de cadachamada desse plano é acrescido de 4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutosadicionais no plano alternativo custam R$ 0,04. Os custos de assinatura dos doisplanos são iguais e não existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que todasas ligações durem 3 minutos, qual o número máximo de chamadas para que o planobásico tenha um custo menor ou igual ao do plano alternativo?

18. (UNESP 2006) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m³ de água. Aquantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que aquantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m³.

Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água emm³, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m³.

Função Quadrática

19. (UFCE – 2004) O valor de m para o qual o gráfico da função linear g(x) = mxcontém o vértice da parábola que configura o gráfico da função quadráticaf(x) = x2 – 6x – 7 é:

a) -316

b) -6

7

c) -5

13

d) -3

2

7



20. (UFMA – 2003) Os zeros da função f(x) = x² - Kx – K² (K ℜ∈ )são x1 = a e x2 = b .Então ( a4b² + a²b4) vale:a) –K6

b) 3K²c) 3K4

d) 3K6

e) –K²

21. (UECE – 2004) Na figura abaixo estão construídos os gráficos de uma reta e deuma parábola, contendo os pontos indicados. Os pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2) são asintersecções das duas linhas representadas. O va lo r do pr odut o x 1 .y1 .x2 .y2 é:

22. (UECE – 2006) O ponto V(1, −2) é o vértice da parábola que configura o gráfico dafunção quadrática f(x) = ax² + bx . Se os pontos ( 2 , y1 ) e ( 1 , y2 ) pertencem aográfico de f, então o valor de y1 + y2 é:

a) 19b) 20

c) 21d) 22

Função Modular

23. (UECE – 2005) Em relação à equação 42

−=+ xxx é possível afirmar-se,corretamente, que ela

a) admite exatamente duas soluções reaisb) admite exatamente uma solução, que é realc) admite duas soluções, sendo uma real e uma complexa (não real)

d) não admite soluções reais24. (UECE – 2006) Se R R :f → é a função definida por

f(x) =

>−<

≤≤−

1xou1xse1

1x1sex

a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = -2, emunidades de área, é igual a:a) 4b) 3,5

c) 3d)2,5

8

a) 3.430

b) 4.340

c) 43.400

d) 34.300



25. (UECE – 2006) Num plano munido de um Sistema Cartesiano usual, a medida, emunidade de área, da área da região do plano determinada por 2| x | + 3| y | ≤ 6 é:

a) 12b) 14c) 16d) 18

26. (UECE – 2007) Sobre o conjunto M dos pontos de interseção dos gráficos dasfunções definidas por f(x) = | 2x - 1| e g(x) = x + 1 é possível afirmar, corretamente,que M

a) é o único conjunto vazio.b) é um conjunto unitário.c) possui dois elementos.d) possui três elementos

Função Exponencial27. (UNESP 2002) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade deágua de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 quantidadeinicial de água no reservatório eq(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses aquantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?a) 5.b) 7.c) 8.d) 9.e) 10.

28. (UNESP 2005) Dada a inequação31

2

9

33

−−

≥

x x x

, o conjunto verdade V,

considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por

a) V = {x ∈ R | x ≤ .3 ou x ≥ 2}b) V = {x ∈ R | x ≤ .3 e x ≥ 2}.c) V = {x ∈ R | .3 ≤ x ≤ 2}.d) V = {x ∈ R | x ≤ .3}.e) V = {x ∈ R | x ≥ 2}.

29. (UNESP 2006) O sistema de equações

=

=−

+

813

3

322

2

y

y x

x

y x

α

β

α

β

Tem solução única (x, y) se e somente se

a) α = β.b) α ≠ β.c) α² – β² ≠ 1.d) α² + β² = 1.e) α² + β² ≠ 1.

9



30. (UNESP 2008) A função f(x) = 2lnx apresenta o gráfico seguinte.

Qual o valor de ln100?

a) 4,6.b) 3,91.c) 2,99.

d) 2,3.e) 1,1109.

31. (UNESP 2002) Sejam α e β constantes reais, com α > 0 e β > 0, tais que log α = 0,5e log β = 0,7.

a) Calcule log αβ, onde αβ indica o produto de α e β.

b) Determine o valor de x ∈ IR que satisfaz a equação 2)(10

αβ αβ

=

x

32. (UNESP 2003) Considere função dada por f(x) = 32x + 1 + m 3x + 1.

a) Quando m = – 4 determinem os valores de x para os quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m +1 não temsolução real x .

33. (UNESP 2006) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) ºC (graus Celsius) acimadaquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x) = (0,01)×2 (0,05)x, com t(x) emºC e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média daTerra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥0. Com base nafunção, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3 ºC.(Use as aproximações log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3).

34. (UNESP 2007) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, échamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é amagnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de10 parsecs(1 parsec é aproximadamente 3×1013 km). A magnitude aparente e absoluta de umaestrela é muito útil para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m amagnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmulaM = m + 5log3(3d-0,48) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel temaproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta − 6,8. Determine a

distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.

10



35. (UNESP 2008) As estradas (oficiais e não oficiais) na Amazônia têm umimportante papel na evolução do desmatamento: análises mostram que o risco dedesmatamento aumenta nas áreas mais próximas às estradas. A função

5,33,1

5,33,1

31

3)( +−

+−

+=

d

d

d P fornece, aproximadamente, a probabilidade de desmatamento

de uma área na Amazônia em função da distância d da estrada, em quilômetros(INPE, Anais do XIII Simpósio de Sensoriamento Remoto, 2007 – modificada). Combase nessa função, determine para qual distância d a probabilidade de desmatamentoé igual a 0,8.Use a aproximação log32 = 0,6.

36. (UNESP 2003) Resolva as equações exponenciais, determinando oscorrespondentes valores de x.

a) 7(x – 3) + 7(x – 2) + 7(x – 1) = 57

b) 2073

1

3

1

3

1 21

−=

−

+

−+ x x x

37. (UNESP 2004) Em relação à desigualdade: 3x² -5x + 7 < 3,

a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais, que satisfaçam essa desigualdade;b) encontre a solução da desigualdade para valores de x no conjunto dos inteiros.

38. (UNESP 2005) Dado o sistema de equações em R × R:

( ) ( )

( )

=

=

26444

1164

y x

y x

a) Encontre o conjunto verdade.b) Faça o quociente da equação (2) pela equação (1) e resolva a equação resultantepara encontrar uma solução numérica para y, supondo x ≠ 1.

Função Logarítmica39. (UFMA – 2004) O maior intervalo, contendo o ponto x = 0 em que a expressão

log(cos( x ) sen( x )) está definida, é:

a)

−

4

3,

4

π π

b)

−

4,

4

π π

c)

−

4

3,

4

π π

d)

−

4,

4

π π

e) ( ]π ,0

11



40. (UECE – 2004) Se log qp = 0,2222 e log qn = 0,3333 então o valor de log q

( 2n. p é:

a) 0,4444

b) 0,5555c) 0,7777

d) 0,9999

41. (UECE – 2005) As soluções da equação logarítmica3 – logx2. log2x – logx(4x-1) = 0 são:

a) 3 + 2 e 3 - 2

b) 2 + 2 e 2 - 2

c) 3 + 3 e 3 - 3

d) 2 + 3 e 2 - 3

42. (UECE – 2005) Se log210 = t, então log102 é igual a:

a) 2t

b) 10t

c)t2

1

d)t

1

43. (UECE – 2006) Seja f a função real de variável real definida por f(x) = 10 – log2x4 – logx16, x > 0 e x ≠ 1, e x1, x2 ∈ R tais que f(x1) = f(x2) = 0. O valor de x1x2 é:

a) 2

b) 2 2

c) 3 2

d) 4 2

44. (UECE – 2007) Se x = p é a solução em R da equação 2 logx2 – log2x = 0, então:

a) 2

3

2

1

<< p

b)2

5

2

3<< p

c)2

7

2

5 << p

d)2

9

2

7<< p

45. (UECE – 2007) Se os números p e q são as soluções da equação

(2 + log2 x)² - log2 x9

= 0, então o produto p.q é igual a:a) 16

12



b) 32c) 36d) 48

46. (UECE – 2008) Se f, g: R → R são funções definidas por f(x) = log7 (x² + 1) eg(x) = 7x. O valor de g(f(1)). g(f(0)) é:

a) 0.b) 1.c) 2.d) 7.

Progressões

47. (UFMA – 2004) O casal Silva tem 5 filhos. Sabendo que a diferença entre a idadede cada um e a idade do seu antecessor é constante, que o produto da idade do maisnovo pela idade do mais velho é igual a 240 e que a soma das idades dos outros três

filhos é igual a 48 anos, é correto afirmar que a soma das idades do filho mais novo edo mais velho é igual a:

a) 30 anos.b) 31 anos.c) 33 anos.d) 32 anos.e) 34 anos.

48. (UFMA – 2006) Três empresas de ônibus possuem linhas saindo do terminal daPraia Grande, em São Luís, com as seguintes freqüências: de 5 em 5 minutos, de 7

em 7 minutos e de 10 em 10 minutos. Se três ônibus dessas empresas saemsimultaneamente às 6 horas e 30 minutos, então a próxima coincidência no horáriodesses ônibus ocorrerá:

a) às 8 horasb) às 7 horas e 30 minutosc) às 7 horas e 50 minutosd) às 7 horas e 40 minutose) às 7 horas e 20 minutos

49. (UFCE – 2004) O valor da soma 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 +... + 3 – 1 é igual a:

a) 100b) 75c) 50d) 25

50. (UFCE – 2004) Sejam P e Q, respectivamente, os conjuntos constituídos com osmúltiplos positivos de 2 e 3. Se os elementos de P∩Q são dispostos na ordemcrescente, então o elemento 2004 de P∩Q ocupa a:

a) 330ª posição

13



b) 334ª posiçãoc) 338ª posiçãod) 340ª posição

51. (UFCE – 2004) A soma S = 1+ sen2 x + sen4x + sen6x +..., com senx ≠ 1, é iguala:

a) tg²xb) cotg²xc) sec²xd) cossec²x

52. (UECE – 2004) A seqüência 1, 5, 9,..., p é uma progressão aritméticana qual p é o maior valor possível menor do que 2004. O termo médiodesta seqüência é divisível por:

a) 7, 11 e 13

b) 3, 5 e 13

c) 5, 7 e 11

d) 3, 5 e 7

53. (UECE – 2006) Se m e n são, respectivamente, o 2005º e o 2006º termos da

seqüência 2, -5, 8, -11, 14, -17, 20, ... e sen

m p= então:

a) p < - 1b) –2 < 2p < -1c) – 2 < 4p < -1

d) –1 < 4p < 0

54. (UECE – 2006) Tomando p = 32 + 16 + 8 + 4 +... , o número 63 p pq −= é iguala:

a) 1b) 2c) 3d) 4

55. (UECE – 2007) Se n é um número inteiro positivo, o produto de todos os números

positivos da forman2

5é

a) 5b) 25c) 1/5d) 1/25

56. (UECE – 2007) Os números 1.458 e 39.366 são termos de uma progressãogeométrica (a1, a2, a3,…, an,…), cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é um númeronatural primo. Assim, a soma a1 + a3 + a5 + a7 é igual a:

a) 1460

14



b) 1640c) 1680d) 1860

57. (UECE – 2008) A seqüência a1, a2, a3, a4,… é constituída por números reais e é

definida por a1 = 3

1

e, para n > 1, an = 31−n

a. Se S é a soma dos termos da

seqüência, então log2 S é igual a:

a) 3−1 .b) 1.c) 0.d) -1.

58. (UECE – 2007) Se f : {1, 2, 3, ..., n } → R é a função definida por f(x) = 4(2x – 1),então a soma de todos os números que estão na imagem de f é

a) 4(2n – 1)²b) 4(2n)²c) 4(2n + 1)²d) 4n²

Noções de Matemática Financeira

59. (UFMA – 2004) Sobre o salário bruto do empregado X incide um desconto de 11%referente ao INSS. Se o salário bruto de X é igual R$ 1.760,00, então esse descontoem reais é de:

a) 176,00b) 193,60c) 139,60d) 163,90e) 173,60

60. (UFCE – 2004) O metalúrgico Dirceu começou a trabalhar em uma empresa deSanto André/SP no dia 1º/01/2000. Pelo contrato de trabalho, a empresa aumentaria10% no salário de Dirceu a cada dia 1º de janeiro dos anos subseqüentes. O saláriode Dirceu em janeiro de 2003 teve um aumento total, com relação ao salário inicial, de:

a) 21,0%

b) 21,1%c) 30,0%d) 33,1%

61. (UECE – 2005) Um comerciante vendeu dois eletrodomésticos pelo mesmo valor.Um deles foi vendido com prejuízo de 30% e o outro com lucro de 30%, em ambos oscasos sobre o preço de aquisição desses bens. No total, em relação ao capital

investido (custo dos eletrodomésticos), o comerciante:

15



a) lucrou 13%b) lucrou 9%c) teve prejuízo de 9%d) nem lucrou e nem perdeu

62. (UECE – 2006) Uma companhia de aviação alugou uma aeronave de 100 lugarespara uma excursão dos alunos da Faculdade MCF. Cada aluno deve pagar R$ 800,00por sua passagem. Além disso, cada um dos passageiros deve pagar uma taxa de R$16,00 por cada lugar não ocupado do avião. Nesta transação a quantia máxima que acompanhia pode receber é:

a) R$ 80.000,00b) R$ 90.000,00c) R$ 116.000,00d) R$ 128.000,00

63. (UECE – 2007) As ações da Empresa MCF valiam, em janeiro, R$ 1.400,00.

Durante o mês de fevereiro, houve uma valorização de 10% e, no mês de março, umabaixa de 10%. Após esta baixa, o preço das ações ficou em:

a) R$ 1.352,00b) R$ 1.386,00c) R$ 1.400,00d) R$ 1.426,00

64. (UECE – 2007) A prestação da casa própria de João consome 30% do seu salário.Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e a prestação da casa com umaumento de 20%, a nova percentagem que a prestação passou a consumir do salário

do João é

a) 22,5%b) 24,5%c) 26,8%d) 28,8%

65. (UECE – 2007) Gilberto é agricultor e deseja aumentar a área de sua roça, quetem a forma de um quadrado, em 69%. Se a roça, depois de ampliada, continua tendoa forma de um quadrado, então a medida do lado do quadrado da roça inicial deve ser aumentada em:

a) 18%b) 22%c) 26%d) 30%

66. (UECE – 2008) Uma fatura foi paga com acréscimo de 12% sobre o seu valor nominal, porque o pagamento foi efetuado após o vencimento. Se o valor pago foi R$

1.209,60, então o valor nominal da fatura estava entre:

16



a) R$ 1.030,00 e R$ 1.045,00.b) R$ 1.045,00 e R$ 1.060,00.c) R$ 1.060,00 e R$ 1.075,00.d) R$ 1.075,00 e R$ 1.090,00.

67. (UNESP – 2002) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% deuma causa avaliada em R$ 200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título dehonorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte doadvogado, será de

a) 24 000.b) 30 000.c) 136 000.d) 160 000.e) 184 000.

Semelhanças de Triângulos68. (UECE – 2007) Os vértices do triângulo XYZ são os pontos médios dos ladosdo triângulo equilátero ∆MPQ, cujos lados medem 2m, como mostra a figura:

Se h1 e h2, respectivamente, são as alturas dos triângulos ∆XYZ e ∆MPQ, então oproduto h1h2 é, em m², igual a

a) 2/3b) 3/4c) 4/3d) 3/2

69 – (UNESP 2003) Um observador situado num ponto O, localizado na margem deum rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem,sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margemem que se encontra de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C

também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m eOB = 30 m, conforme figura.

17



A distância, em metros, do observador em O até o ponto P , é:

a) 30.b) 35.c) 40.d) 45.e) 50.

70. (UNESP 2006) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C,onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm², é

a) 84.b) 96.c) 120.d) 150.

e) 192.

18



Trigonometria no triângulo retângulo

71. (UECE – 2004) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10m. Se α é um dos

ângulos agudos do triângulo e cos α =5

4, então a área do triângulo, em m2, é:

a) 20b) 24c) 36d) 48

72. (UNESP 2006) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo darampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista

levou para percorrer completamente a rampa é

a) 2,5.b) 7,5.c) 10.d) 15.e) 30.

73. (UNESP 2004) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de umatorre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre,ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, emmetros, é

a) 44,7.b) 48,8.c) 54,6.d) 60,0.e) 65,3.

19



74. (UNESP 2004) Um rio de largura 60 m, cuja velocidade da correnteza é vx = 5 3 m/s, é atravessado por um barco, de velocidade vy = 5 m/s, perpendicular às margensdo rio, conforme a figura.

O ânguloα do movimento em relação à perpendicular da correnteza, a velocidaderesultante VR e a distância CB do ponto de chegada em relação ao ponto aonde o

barco chegaria caso não houvesse correnteza são, respectivamente:

a) 30º, 5 m/s, 20 3 m.b) 30º, 5 m/s, 60 3 m.c) 45º, 10 3 m/s, 60 3 m.d) 60º, 10 m/s, 60 3 m.e) 60º, 10 3 m/s, 60 2 m.

75. (UNESP 2005) Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y,Z e W, de forma que:

I. X, Y e Z são colineares;II. As retas WX e YZ são perpendiculares;III. X é um ponto exterior ao segmento YZ;IV. À distância YZ é de 90 cm;V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45° e 60°.

Então, a distância ZX é aproximadamente igual a (adote 73,13 = )

a) 30,3 cm.b) 70,9 cm.c) 123,3 cm.d) 212,8 cm.e) 295,0 cm.

20



76. (UNESP 2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos,consideraram-se o pombal como a origem O de um sistema de coordenadascartesianas e os eixos orientados Sul-Norte (SN) e Oeste-Leste (WL). Algumas avesforam liberadas num ponto P que fica 52 km ao leste do eixo SN e a 30 km ao sul doeixo WL. O ângulo azimutal de P é o ângulo, em graus, medido no sentido horário apartir da semirreta ON até a semirreta OP. No experimento descrito, a distância dopombal até o ponto de liberação das aves, em km, e o ângulo azimutal, em graus,desse ponto é respectivamente:Dado: 603604 ≈ .

a) 42,5 e 30.b) 42,5 e 120.c) 60 e 30.d) 60 e 120.e) 60 e 150.

77. (UNESP 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a

figura:

a) Admitindo-se que sen (α) =5

3, calcule a distância x .

b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foirealizada, na qual o ângulo α passou exatamente para 2α, calcule a nova distância x ’ aque o barco se encontrará da base do farol.

21



Resolução de triângulos

78. (UECE -2004) A medida do lado de um triângulo equilátero inscrito nacircunferência x 2 + y2 + 2x – 4y = 0, em u.c. (unidades de comprimento),é:

a) 12 u.c.

b) 13 u.c.

c) 14 u.c.

d) 15 u.c.

79. (UECE – 2005) Uma escada de 25m está encostada na parede vertical de umedifício de modo que o pé da escada está a 7m da base do prédio. Se o topo daescada escorrega 4m, quantos metros irá escorregar o pé da escada?

a) 10mb) 9m

c) 8m

d) 6m

80. (UECE – 2006) Se 5, 12 e 13 são as medidas em metros dos lados de umtriângulo, então o triângulo é:

a) Isóscelesb) Eqüiláteroc) Retângulod) Obtusângulo

81. (UECE – 2007) Se, na figura, os triângulos VWS e URT são eqüiláteros, a medida,em graus, do ângulo α é igual a:

a) 30°b) 40°c) 50°d) 60°

22



Ciclo trigonométrico

82. (UFMA – 2005) Seja x um arco do ciclo trigonométrico tal que |sen x| = |cos x|.Nessas condições, é CORRETO afirmar que cotg2x é igual a:

a)2

2

b) 1c) 2

d) 0e) - 2

83. (UECE – 2006) Se na figura XY é um diâmetro da circunferência e α é a medidado ângulo Z R X ˆ

podemos afirmar, corretamente, que:

a)2

3=α sen

b) 2

3

<α sen

c)2

3>α sen

d) 1cos2 =α α sen

84. (UNESP 2004) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:a) 1−π

b) 1+π

c) 12 −π

d) π 2

e) 12 +π

Razões trigonométricas na circunferência

23



85. (UFMA – 2007) Considere uma circunferência de raio r > 0 e a medida doângulo MÔP, como na figura abaixo.

Assim, é correto afirmar que:

a) r cos ( θ π − ) = b e r sen ( θ π −2 ) = -bb) r sen ( θ π + ) = -b e r cos ( θ π + ) = a

c) r cos ( θ π −2 ) = a e r sen ( θ π + ) = b

d) r sen ( θ π − ) = b e r cos ( θ π + ) = -ae) r cos ( θ π +2/ ) = b e r sen ( θ π +2/ ) = a

86. (UECE – 2007) Se x e y são arcos no primeiro quadrante tais que

y senx cos2

3== então o valor de sen(x + y) + sen(x – y) é:

a)2

6

b)2

3

c)3

6

d)32

87. (UNESP 2003) Observe o gráfico.

24



Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y ( x ) é

a) –2 cos (3 x ).b) –2 sen (3 x ).c) 2 cos (3 x ).d) 3 sen (2 x ).

e) 3 cos (2 x ).

88. (UNESP 2008) Dado o triângulo retângulo ABC, cujos catetos são: AB = sen x eBC = cos x, os ângulos em A e C são:

a) A = x e C =2

π

b) A =2

π

e C = x

c) A = x e C = x−2

π

d) A = x−2

π

e C = x

e) A = x e C =4

π

Relações entre as razões trigonométricas

89. (UNESP 2003) Se cos( x ) = a, para

∈

2,0π

x , e assumindo que a ≠ 0 e

a ≠ 1 , o valor de tg(2x) é:

a) ²121²2aa

a −−

b)a

a²1−

c) ²12 aa −

d)1²2

²12

−−

a

aa

e) 1²2 −a

90. (UNESP 2005) Considere o ângulo 5

3arcsen

=θ

, sendo 22

π θ

π

<<− . O valor daθ tg é igual a:

25



a)4

3

b)9

4

c)53

d)4

3

e) 1

91. (UNESP 2006) Se²²

2

ba

abtgx

−= , em que a > b > 0 e 0º < x < 90º, então o valor de

sen(x) é

a)a

b

b)ba

b

+

c)ba

ba

+−

d)²²

²²

ba

ba

+−

e)²²

2

ba

ab

+

92. (UNESP 2002) Numa fábrica de cerâmica, produzem-se lajotas triangulares. Cadapeça tem a forma de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm, e oângulo da base tem medida x, como mostra a figura.

a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x) de cada peça, em função de sen xe cos x.b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50 cm².

Funções circulares

93. (UNESP 2006) Considere os gráficos das funções y = sen(x) e y = sen (2x) em um

mesmo plano cartesiano. O número de interseções desses gráficos, para x nointervalo [0, 2π ], é

26



a) 3.b) 4.c) 5.d) 6.e) 7.

94. (UNESP 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos deaspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bemcomo na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiraçãode ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico,considerando apenas um ciclo do processo.

Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração eexpiração completa ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação eexalação, em módulo, é 0,6 l/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproximada curva representada na figura é:

a)

= t sent V 5

3

5

2)(

π

b)

= t sent V

π 2

5

5

3)(

c)

= t t V

5

2cos6,0)(

π

d)

= t sent V

5

26,0)(

π

e) ( )t t V 6,0cos2

5)(

π =

Transformações

95. (UECE – 2006) As medidas dos ângulos internos α , , eψ de umquadrilátero convexo estão em progressão aritmética, sendo 45º a menor medida. Ovalor da soma de senα + sen + sen + senψ é:

a)3

632 +

b)2

632 +

27



c)2

623 +

d)3

623 +

96. (UECE – 2004) O valor de tg 35° + tg 55° é:

a)°70

1

sen

b)°70

2

sen

c)°70cos

1

d)°70cos

2

97. (UNESP 2007) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terrenoplano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao

topo do edifício Y (ponto Q).Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem umretângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo β emrelação ao ponto Q no edifício Y.

Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3tg α = 4tg β, a altura h do edifício Y,em metros, é:

a)3

40

b)4

50

c) 30.d) 40.e) 50.

Equações e inequações trigonométricas

98. (UFCE – 2004) Se a igualdade tgx + cotgx = 4 é verdadeira para alguns valores dex, então, para estes mesmos valores de x, sen2x é igual a:

a) 0,2b) 0,4c) 0,3d) 0,5

28



99. (UECE – 2004) Sejam a = logcosθ, b = logsenθ e c = log2 e a + b + c = 0. Oslogaritmos são decimais e 0o < θ < 90o. Podemos afirmar, corretamente, que o ângulo θestá situado entre:

a) 50° e 60°

b) 30° e 40°c) 40° e 50°d) 20° e 30°

100. (UECE – 2004) Se n é o número de soluções da equação 1 – 2cos2x + senx = 0 nointervalo [ ]π2,0 , então n é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

101. (UECE – 2005) Se f:R → R é definida por f(x) = 2cos(2x) + cosx + 4, o menor valor que f pode assumir é:

a)16

17

b)16

31

c)16

27

d) 1619

102. (UECE – 2006) A soma das soluções da equação 01xsen2xcos2 22=−−

no intervalo [ ]π2,0 é:

a)6

11π

b) π3c) π4

d)6

23π

Funções trigonométricas

103. (UECE – 2006) O conjunto imagem da função R R :f → dada por ( ) xcos5xsen3xf 22 −= , isto é, o conjunto ( ){ }R xalgum paraxf y;R y ∈=∈ ,

é o intervalo:

a) [ ]2,6−

b) [ ]3,5−c) [ ]5,5−

d) [ ]4,2−

29



104. (UECE – 2006) No desenho abaixo há uma representação gráfica parcial da

função x

x x f

cos1

cos)(

+= , definida no intervalo [0, π [ , e um trapézio retangular

OPQR sombreado, no qual os vértices P e Q pertencem ao gráfico de f(x).

Sabendo que o vértice R tem ordenada 31 , a área do trapézio, em unidades de área,

é:

a)18

7π

b)18

5π

c)36

7π

d)36

5π

105. (UECE – 2006) Os gráficos das funções f, g : R → R definidos por f(x) = cos x e

g(x) = x

1, se x ≠ 0, e g(0) = 0, se interceptam

a) duas vezes.b) quatro vezes.c) oito vezes.d) infinitas vezes.

106. (UECE – 2007) O conjunto-imagem da função f: R→R, definida por f(x) = 2cos2x + cos²x, é o intervalo:

a) [-2,1]b) [-2,3]c) [-2,2]d) [-2,0]

107. (UECE – 2008) Se p e q são, respectivamente, o valor máximo e mínimo da

função real de variável real definida por f(x) = 2 – x2

cos2

1, então o produto p.q é igual

a:

30



a) 2.b) 3.

c) 2 .

d) 3 .

Matrizes

108. (UECE – 2004) Os valores de x e y que satisfazem a equação matricial

=

6x2

4y

yx

21.

1y

0x

satisfazem, também, a relação:

a) x2 + y2 = 2

b) x2 + y2 = 4

c) x2 + y2 = 8

d) x2 + y2 = 16

109. (UECE – 2005) Se jam as matr izes

.t1

11Se

1z

11R,

11

y1Q,

11

1xP

=

=

=

=

Sobre a igualdade P.Q = R.S é possível afirmar-se corretamente:

a) nunca se verificab) verifica-se somente se x = y = z = tc) verifica-se sempre que x = z = 1 e y = t

d) verifica-se quando x ≠ z e y ≠ t

110. (UECE – 2006) O valor de k para o qual a equação matricial X² - kX² – Y² = 0, é

igual a matriz identidade, sendo = k X

0

01

e −= k Y

0

01

, é:

a) –2b) –1c) 0d) 1

111. (UNESP 2004) Considere as matrizes

=

z y

x A

1,

=

11

21 B e

=

4536

54C ,

com x, y, z números reais. Se A× B = C, a soma dos elementos da matriz A é:

a) 9.b) 40.c) 41.

31



d) 50.e) 81.

112. (UNESP 2006) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peçassão vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda decada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece aquantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês denovembro.

A matriz

y

x, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no

referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

a)

20

35

b)

48

90

c)

69

76

d)

61

84

e)

27

28

Determinantes

113. (UFMA 2006) Considere a matriz A = (aij) com i , j ∈ {1, 2, 3,..., 180}, definida por

onde j° significa j graus.

Nessas condições, é correto afirmar que do valor do det(A) +6

π sen é:

a) 1

b)

2

1

c) -1d) 0

32



e)2

3−

114. Se o determinante do produto das matrizes

x1

1x

e

1x

x1

é igual a – 1,

então dois dos possíveis valores de x são números:

a) positivosb) negativosc) primosd) irracionais

115. (UFMA – 2005) Considere a matriz A = (aij)3×3, definida por

e seja D = det (A). Então o valor de

D

senπ 2

é:

a)2

3

b)2

1

c)2

2−

d) 1e) 0

116. (UECE – 2006) O determinante da matriz

−1x10

401

13x2

é nulo para um valor

de x situado no intervalo:

a) [ ]0,1−

b) [ ]1,0

c) [ ]2,1d) [ ]3,2

117. (UECE – 2007) Considere a matriz M =

x23

232

321

. A soma das raízes da

equação det(M²) = 25 é igual aa) 14b) – 14c) 17d) – 17

118. (UECE – 2007) Seja X = M + M² + M³ + ··· + M

k

, em que M é a matriz

10

11

e ké um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de

33



k² + 3k – 1 é:a) 207b) 237c) 269d) 377

119. (UECE – 2008) A matriz M é dada por M = P.Q, em que P = − senx

senx

1

1

e

Q =

10

0cos x. O determinante da matriz M é:

a) sen(2x).b) cos(2x).c) sen2x.d) cos2x.

120. (UNESP – 2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se

A =

−201

110321

e B é tal que B –1 = 2A, o determinante de B será:

a) 24.b) 6.c) 3.d) 1/6.e) 1/24.

Sistemas lineares121. (UECE – 2007) O valor de h para que o sistema

=−+

=+

=+−

06

0z-2yx

03zy2x

zhy x

tenha a solução não nula é:

a) 5b) 6c) 7d) 8

122. (UECE – 2007) Pedro recebeu a quantia de R$ 2.700,00, em cédulas de R$10,00, de R$ 20,00 e de R$ 50,00. Sabendo que a quantidade de cédulas de R$ 20,00é 20 vezes a de cédulas de R$ 10,00, então o número de cédulas de R$ 50,00 quePedro recebeu foi:a) 15b) 14c) 13

d) 12

34



123. (UNESP – 2002) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foipaga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foio dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência navenda dessa passagem, foi:a) 1 800.b) 1 500.c) 1 400.d) 1 000.e) 800.

124. (UNESP 2007) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam juntos, 33reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam juntos, 76 reais. O custode uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é:a) 11.b) 12.c) 13.

d) 17.e) 38.

125. (UNESP 2008) Numa campanha de preservação do meio ambiente, umaprefeitura dá descontos na conta de água em troca de latas de alumínio e garrafas deplástico (PET) arrecadadas. Para um quilograma de alumínio, o desconto é de R$ 2,90na conta de água; para um quilograma de plástico, o abatimento é de R$ 0,17. Umafamília obteve R$ 16,20 de desconto na conta de água com a troca de alumínio egarrafas plásticas. Se a quantidade (em quilogramas) de plástico que a famíliaentregou foi o dobro da quantidade de alumínio, a quantidade de plástico, emquilogramas, que essa família entregou na campanha foi

a) 5.b) 6.

c) 8.d) 9.e) 10.

Áreas de figuras planas

126. (UFMA – 2004 ) Na figura abaixo, os retângulos ABCD e APQN são tais que arazão entre os lados BC e PQ é igual à razão entre os lados CD e QN. O segmentoMN é bissetriz do ângulo AMD que mede exatamente 30º e o segmento AM mede10 cm. Além disso, o triângulo AMD possui área igual a 20 cm². Qual a razão entre aárea do retângulo menor e a área do retângulo maior?

35



a)64

25

b)9

4

c) 9

5

d)81

25

e)4

1

127. (UECE – 2004) Se o r etângul o P QRS abai xo tem área i gual a 756 m 2 eé formado por 7 retângulos congruentes então o perímetro de PQRS, emm, é:

128. (UECE – 2005) Um quadrado é transformado em um retângulo aumentando-seum de seus lados de p% e diminuindo o outro em p%. Se sua área é então diminuídaem 1%, o valor de p é:

a)2

1

b) 1c) 5d) 10

04. (UECE – 2006) Na figura,

36

a) 114

b) 112

c) 110

d) 105



A área da região sombreada é igual a:

a) 0,85 m2

b) 1,15 m2

c) 1,50 m2

d) 1,75 m2

129. (UECE – 2006) Na figura, o retângulo ABCD foi dividido nas 4 partes X, Y, Z e W.

Se X e Y são quadrados de áreas 81m2 e 144m2, respectivamente, e Z é um triângulocom 102m2 de área, então a área da região W é:

a) 327m2

b) 316m2

c) 309m2

d) 282m2

130. (UECE – 2007) No retângulo XYZW, os lados XY e YZ medem, respectivamente,8m e 6m.

37

1m

1m 1m

1m 1m

1m

X

YZ

W

A B

CD



Se M é o ponto médio do lado XY, então a medida, em m², da área da regiãosombreada é

a) 22b) 20c) 18d) 16

131. (UECE – 2007) Em um retângulo XYWZ, seja M, o ponto médio do lado XY, eseja N, o ponto de interseção da diagonal XW com o segmento ZM. Se a medida daárea do triângulo XMN é 1m², então a medida da área do retângulo XYWZ é igual a:

a) 16m²b) 14m²c) 12m²d) 10m²

132. (UECE – 2007) As diagonais de um losango medem 12m e 16m. A medida daárea do quadrilátero, cujos vértices são os pontos médios dos lados do losango, éigual a:

a) 32 m2

b) 36 m2

c) 42 m2

d) 48 m2

Geometria espacial de posição

133. (UECE – 2005) Num sistema ortogonal de eixos, se os pontos (0,0), (1,c) e (x,1)são vértices de um triângulo com área igual a 18,50 u.a., sendo c>0 e x<0, então x éigual a:

a)c

36−

b)c

18−

c)c

37−

38



d)c

5,18−

134. (UNESP 2006) Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q = (2,5) e R = (x0,4), comx0 > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:

a) 8.b) 9.c) 10.d) 11.e) 12.

135. (UNESP 2002) Aumentando em 2 cm a aresta a de um cubo C1, obtemos umcubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216 cm², em relação à do cubo C1.

Determine:

a) a medida da aresta do cubo C1;b) o volume do cubo C2.

Análise combinatória

136. (UFCE – 2004) Seja P o conjunto cujos elementos são os números inteirospositivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9.Se dispomos os elementos de P em ordem crescente, o número de ordem de 43928,é:a) 58

b) 57c) 59d) 60

137. (UECE – 2004) Um cubo de madeira, cuja aresta mede 4cm, está pintado deazul. Realizam-se cortes paralelos às faces dividindo-o em 64 cubinhos cada um delescom aresta medindo 1cm. A quantidade destes cubinhos que tem exatamente duasfaces azuis é:a) 48b) 40c) 32d) 24

39



138. (UECE – 2004) Dos 21 vereadores de uma Câmara Municipal, 12 são homens e9 são mulheres. O número de Comissões de vereadores, constituídas com 5membros, de forma a manter-se sempre 3 participantes de um sexo e 2 do outro, éigual a:a) 10.364

b) 11.404c) 12.436

d) 13.464

139. (UECE – 2004) O n úmer o de d ivi sores posi tiv os do número 75.600 é:

a) 4! + 5!

b) 2! + 3! + 4!

c) 4!

d) 5!

140. (UECE – 2004) Em um cubo, a quantidade de conjuntos dist intosformados por duas arestas paralelas é igual a:

a) 6b) 8c) 12d) 18

141. (UECE – 2005) A quantidade de números inteiros positivos maiores que 99 emenores que 999, com exatamente dois algarismos repetidos, é:

a) 230b) 233c) 240d) 243

142. (UECE – 2006) O número 5131 é formado por quatro algarismos cujo produto é15. A quantidade de números inteiros, entre 2002 e 9009, cujo produto de seusalgarismos é 15, é igual a:a) 6b) 12c) 24d) 48

143. (UECE – 2006) Bruno fez 1(um) jogo na SENA, apostando nos 6(seis) números8, 18, 28, 30, 40 e 50. Automaticamente, Bruno também estará concorrendo à quina(grupo de 5 números), à quadra (grupo de 4 números) e ao terno (grupo de 3números), a partir do grupo inicialmente apostado. Se n é o número de quinas, q onúmero de quadras e p o número de ternos incluídos na aposta de Bruno, entãon + q + p é igual a:

a) 12b) 41c) 60

d) 81

40



144. (UECE – 2006) O número n = abc está escrito no sistema decimal utilizando trêsalgarismos a, b e c, diferentes entre si e nenhum nulo. Os algarismos podem variar,mantendo a soma constante a + b + c = 8. A soma S de todos os números de trêsalgarismos, que podem ser escritos atendendo as condições acima, é:

a) 2336b) 2886c) 3442d) 3552

145. (UECE – 2007) Dois dados, cada um com seis faces numeradas de 1 a 6, sãolançados, simultaneamente, sobre uma mesa. Podemos ler nas faces viradas paracima, os números x e y. O número de possíveis valores para a soma x + y é:

a) 13b) 12c) 11

d) 10146. (UECE – 2007) Se um conjunto X possui 8 elementos, então o número desubconjuntos de X que possuem 3 ou 5 elementos é

a) 23 + 25

b) 27 – 27

c) 23 × 25

d) 27/ 24

147. (UECE – 2007) Utilizando apenas os algarismos 2 e 3, a quantidade de númerosinteiros positivos e menores que 1.000.000 (incluindo-se aqueles com algarismos

repetidos) que podem ser escritos no sistema decimal é:

a) 125b) 126c) 127d) 128

148. (UNESP – 2002) Na convenção de um partido para lançamento da candidaturade uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possíveis candidatos a governador,sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendoquatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove

candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a chapa é:

a) 18.b) 12.c) 8.d) 6.e) 4.

Probabilidade

149. (UFMA-2003) Três vestibulandas deixaram as suas bolsas em uma determinadasala em que prestaram exame vestibular. No dia seguinte, o fiscal devolveu uma bolsapara cada uma delas de maneira aleatória, pois não se recordava a quem pertencia

41



cada bolsa. Qual a probabilidade de que as bolsas tenham sido devolvidascorretamente, cada uma à sua dona?

a) 1/4b) 1/3c) 1/5d) 1/6e) 1/8

150. (UFMA – 2007) Considere que os pontos destacados na circunferência abaixosão os vértices de um eneágono regular.

Qual é a probabilidade de se escolher um triângulo eqüilátero dentre os possíveistriângulos formados pelos pontos destacados acima?

a) 1/84

b) 3/28c) 0d) 1/3e) 1/28

151. (UECE – 2006) O conjunto X possui seis elementos pertencentes ao intervalo[−2, −1] e o conjunto Y possui oito elementos pertencentes ao intervalo [5, 7]. Dequantos modos é possível escolher quatro elementos em X ∪ Y cujo produto sejapositivo?

a) 495

b) 500c) 505d) 510

152. (UNESP -2002) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R nãoser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo quea escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de osdois jogadores serem escalados é:

a) 0,06.b) 0,14.c) 0,24.d) 0,56.e) 0,72.

42



Binômio de Newton

153. (UFMA – 2005) No binômion

x x

+

2

3 1, a soma dos coeficientes dos três

primeiros termos é igual a 37. O termo central do desenvolvimento do binômio é iguala:

a) 56x8 b) 70x-4 c) 56x4 d) 56x-4

e) 70x4

154. (UFMA – 2007) O termo racional do desenvolvimento de ( )835 25 + é:

a) 1.120b) 480c) 560d) 360e) 280

155. (UECE – 2004) O termo médio no desenvolvimento de10

x

1x

+ é:

a) 126

b) 126x5

c) 252d) 252x5

156. (UECE – 2005) No desenvolvimento do binômio (2x + 3y) n há oito parcelas (outermos). A soma dos coeficientes destes termos é igual a:a) 71.825b) 72.185c) 72.815d) 78.125

157. (UECE – 2008) O termo independente de x, no desenvolvimento de12

2

12

+

x x

é:a) 249.b) 270.c) 720.d) 924.

Poliedros

158. (UECE – 2006). Se f é o número de faces, v o número de vértices e a o número

de arestas de um paralelepípedo retângulo, então a soma f + v + a é igual a:a) 20

43



b) 22c) 24d) 26

159. (UNESP 2010) Considere um cubo de aresta a. Seja B um poliedro de oito facestriangulares, cujos vértices são os centros das faces do cubo. Determine a razão entreos volumes desse cubo e do poliedro B.

160. (UNESP 2010) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente dachuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma dacisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde oagricultor possui sua casa.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de águaem uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h)da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenadadurante um ano, acrescido de 10% desse volume.

Prismas

161. (UFMA – 2005) Conta uma lenda que a cidade de DELOS, na Grécia Antiga,estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Paraerradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha formacúbica com aresta medindo 1m, então o valor em que a mesma deveria ser

aumentada era:

a) 3 2b) 1c) 3 2 - 1d) 2 - 1e) 1 - 3 2

162. (UECE – 2007) Um cubo é seccionado por um plano que passa pelos pontos M eN, pontos médios de duas arestas paralelas de uma das faces do cubo, e por um dosvértices da face oposta à face que contém o segmento MN. O cubo é, então, dividido

em duas partes (sólidas), cuja razão entre o volume da menor destas partes e ovolume da maior é:

44



a)2

1

b)3

1

c)43

d)3

2

163. (UECE – 2008) A área da superfície total de um prisma reto com 10 m de altura,cujas bases paralelas são triângulos eqüiláteros, cada um deles com 30 m deperímetro, é:

a) 3300+ m².

b) 310300+ m².

c) 325300+ m².d) ( )350300+ m².

164 – (UNESP 2005) Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5cm e a área lateral igual a 60 cm².

a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados.b) Calcule o volume do prisma.

Pirâmide

165. (UECE – 2005) Um triângulo eqüilátero, cuja medida do lado é 6m, é a base deuma pirâmide regular cuja medida de uma aresta lateral é 15 m. O volume destapirâmide, em m3, é:

a) 9b) 10

c) 32

9

d) 52

9

45



166. (UECE – 2006) Um pedaço de cartolina na forma de um quadrado ABCD édobrado ao longo da diagonal AC de modo que os lados AB e AD formem um ângulode 60º. A seguir, ele é colocado sobre uma mesa, apoiado sobre estes lados.

Nestas condições, o cosseno do ângulo (agudo) α que o segmento AC forma com oplano horizontal é igual a:

a)4

6

b)4

2

c)4

3

d) 3

167. (UNESP 2008) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há umamontanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmideregular de 12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m. Considere osdados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduossólidos urbanos no Brasil e no México.

Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximadode plásticos e vidros existentes na pirâmide de lixo brasileiros e quantos metroscúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide, casoela estivesse em território mexicano.

168. (UNESP 2006) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede

1 dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD.

46



a) Calcule a área total da superfície do tetraedro.b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando elessão pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima.

Cilindro

169. (UFMA – 2007) O fornecimento de água de uma cidade era feito a partir de umacaixa d’água, na forma de um cilindro circular reto com volume V = 11 ² hr ××π , queabastecia a cidade satisfatoriamente. Dez anos depois, com o crescimento dapopulação, fez-se necessário construir uma nova caixa d’água, também na forma deum cilindro circular reto, para funcionar simultaneamente com a primeira, com altura h2

e raio r 2 igual à metade de r 1. Sabendo-se que o crescimento da população nesseperíodo foi de 10% e o consumo de água por pessoa continuou o mesmo, então aaltura h2 deveria ser, no mínimo:

a) 60% maior que h1

b) 60% menor que h1

c) 40% maior que h1

d) 40% menor que h1

e) 50% menor que h1

170. (UECE – 2007) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera deraio 4cm.

Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. Ovolume do cilindro é:

a) 218π cm³b) 224π cm³c) 232π cm³d) 236π cm³

47



171. (UNESP – 2002) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 depetróleo.

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é

a) π 2 .b) 7.

c)3

7π

.

d) 8.

e)3

8π .

172. (UNESP 2003) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo asua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por

a) 16.b) 12.c) 8.d) 4.

e) 4π

.

173. (UNESP 2008) Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite “longa vida”mostrou-se conveniente para ser utilizada como manta para subcoberturas detelhados, com a vantagem de ser uma solução ecológica que pode contribuir para queesse material não seja jogado no lixo. Com a manta, que funciona como isolantetérmico, refletindo o calor do sol para cima, a casa fica mais confortável. Determinequantas caixinhas precisamos para fazer uma manta (sem sobreposição) para umacasa que tem um telhado retangular com 6,9 m de comprimento e 4,5 m de largura,

sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontado (e ter o fundo e o topo abertos), tomaa forma aproximada de um cilindro oco de 0,23 m de altura e 0,05 m de raio, de modoque, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemos um retângulo. Nos cálculos,use o valor aproximado π = 3.

48



Cone

174. (UECE – 2004) De uma chapa circular de raio 10cm e de centro em O foi retiradoo setor circular MOP de 108o, disto resultando a chapa vista na figura.

O volume do cone obtido da junção de OM com OP , em cm3, é:

a) 3

5149π

b)3

5148π

c)3

5147π

d)3

5146π

175. (UECE – 2007) Um sólido S é tal que sua base é a região plana limitada por umacircunferência com raio que mede 3 m. Existe um diâmetro D, da base do sólido, talque a interseção de S com qualquer plano perpendicular a D é um triângulo eqüilátero.Dentre estes triângulos, chamemos de T o de maior área. A medida da área de T é:

a)2

33

b)4

33

c) 3

d) 33

49

OM

P



176. (UNESP 2005) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxaconstante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndricae uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando seiniciou a medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm³ = 1

ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante nofrasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,a)l20.b)150.c) 160.d) 240.e) 360.

177. (UNESP 2008) Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h,a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco dealtura h do cone seja 2?

a)( )

H 2

21−

b) H 22

c) H 2

23

d) H

−

3 2

11

e) ( )

H 2

22−

178. (UNESP 2003) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de

altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir,a posição do recipiente é invertida (figura 2).

Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,

50



a) determine R e o volume do líquido no cone em cm³ (figura 1), como múltiplo de π.

b) dado que3 91=r , determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2.

(Use a aproximação 2

9913 ≅

).

Esfera

179. (UECE – 2006) Na figura, vista em corte, a esfera de raio r está colocada nointerior do cilindro circular reto de altura h e cujo raio da base é também igual a r.

O volume interior ao cilindro e exterior à esfera é igual ao volume da esfera quando:

a) h = 2r

b) h = r 3

7

c) h = 3r

d) h = r 3

8

180. (UECE – 2006) Uma esfera, com raio medindo 5 cm, está circunscrita a umcilindro circular reto cuja altura mede 8 cm. Chamou-se de X a razão entre o volumeda esfera e o volume do cilindro. Dentre as opções abaixo, assinale a que apresenta ovalor mais próximo de X.

a) 1,71b) 1,91c) 2,31d) 3,14

181. (UNESP 2004) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes,dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca deoxigênio por gás carbônico.

Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetromédio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolosde um adulto é igual a 1 618 cm³, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa,considerando π = 3, é:

a) 1 618 ×103.b) 1 618 ×104.c) 5 393 ×10².d) 4 045 ×104.e) 4 045 ×105.

182. (UNESP 2006) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma

esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 35 cm

51



do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a umcilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).

O volume do cilindro, em cm³, é

a) π 100 .b) π 200 .c) π 250 .d) π 500 .e) π 750 .

183. (UNESP 2007) Um cubo inscrito em uma esfera de raio R tem o seu lado dado

por 3

2 R L = . Considere R = 2 cm e calcule o volume da região interior à esfera e que

é exterior ao cubo.

184. (UNESP 2007) O raio da base de um cone é igual ao raio de uma esfera de 256πcm² de área. A geratriz do cone é 5/4 do raio. A razão entre o volume do cone e ovolume da esfera é

a)32

2

b)32

3

c)32

6

d)32

12

e)32

18

185. (UNESP 2002) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plásticotransparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada

52



em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, comorepresentado na figura.

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4πR² cm²,determine, em função de π e de R:

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);b) quantos cm² de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhumaperda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície totalde cada fatia.

186. (UNESP 2005) Com um recipiente de vidro fino transparente na forma de umparalelepípedo reto-retângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia montou um enfeite de natal. Paratanto, colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm dediâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido coloridotransparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar oscálculos) a aproximação π = 3,

a) dê, em cm², a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola.

b) dê, em cm³, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquidodentro do recipiente.

Troncos

187. (UNESP 2006) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg , podemoscompará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por umtronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo,

justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em quese desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor dotronco de pirâmide medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a altura mede 12dam.

53



Passado algum tempo do desprendimento do iceberg , o seu volume era de 23 100dam3, o que correspondia a 3/4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, dosólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu.

188. (UNESP 2007) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família

usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formatode um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido deum tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.

Por outro lado, numa praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento queprovoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximaçãoπ = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidadede água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: 1 000 cm³ = 1 litro.

54



O ponto

189. (UECE – 2006) Num sistema cartesiano utilizado no plano, o ponto P é ainterseção das retas 2x – y – 7 = 0 e x – 2y + 7 = 0, o ponto Q é o centro da

circunferência x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0 e r é o raio dessa circunferência. A distânciaentre os pontos P e Q é igual a:

a) 2r b) 3r c) 4r d) 5r

190. (UNESP – 2002) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0),Q = (6,0) e R = (3,5), é:

a) equilátero.

b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.

191. (UNESP 2002) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0),Q = (6,0) e R = (3,5), é

a) equilátero.b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.

e) obtusângulo.

192. (UNESP 2004) Considere os pontos do plano (0,0), (0,1), (2,1), (2,3), (5,3) e (7,0).Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo à seqüência dada, após ligar o último pontoao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dadaem centímetros, a área dessa região, em cm², é:

a) 9.b) 10.c) 13.d) 14.e) 15.

193. (UNESP 2004) O valor da área S do triângulo de vértices A, B e C no planocartesiano, sendo A = (6, 8), B = (2, 2), C = (8, 4), é igual a

a) 5,4.b) 12.c) 14.d) 28.e) 56,3.

55



194. (UNESP 2006) Sejam P = (a,b), Q = (1,3) e R = (–1,–1) pontos do plano. Sea + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares.

A reta

195. (UFCE – 2004) As retas 2x – 3y + 6 = 0 e 3x – 2y – 1 = 0 se interceptam no ponto

P. A distância de P à origem (0,0), considerando o cm como unidade adotada nosistema cartesiano, é:

a) 3 cmb) 4 cmc) 5 cmd) 6 cm

196. (UECE – 2005) Sobre a reta 3x + 4y – 25 = 0 e a circunferência x 2 + y2 = 25 épossível afirmar corretamente:

a) A reta é tangente a circunferência

b) A reta é secante a circunferênciac) A reta pode ser secante a circunferênciad) A reta não intercepta a circunferência

197. (UECE – 2006) A equação da reta que contém o ponto (1,2) e é perpendicular àreta 2x – y + 1 = 0 é:

a) x + 2y – 5 = 0b) x + y – 3 = 0c) 2x + y – 4 = 0d) x + 3y – 7 = 0

198. (UECE – 2006) Se r é a reta cuja equação é 2x – y + 1 = 0 e s é uma retaperpendicular a r e que contém o ponto (1,2), então a equação de s é:

a) x + 2y – 5 = 0b) x + y – 3 = 0c) 2x + y – 4 = 0d) x + 3y – 7 = 0

199. (UECE – 2007) As retas r e s são paralelas, a distância entre elas é 7m e osegmento AB, com A ∈ r e B ∈s, é perpendicular a r. Se P é um ponto em AB tal queo segmento AP mede 3m e X e Y são pontos em r e s , respectivamente, de modo queo ângulo Y P X ˆ mede 90º, a menor área possível do triângulo XPY, em m², é

a) 21b) 16c) 14d) 12

56



200. (UNESP 2005) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, o coeficienteangular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Qo simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são respectivamente:

(A)

3

1; x – 3y – 5 = 0.

(B)3

2; 2x – 3y –1 = 0.

(C) -3

1; x + 3y – 5 = 0.

(D)3

1; x + 3y – 5 = 0.

(E) -3

1; x + 3y + 5 = 0.

201. (UNESP 2008) Determine as equações das retas que formam um ângulo de 135º

com o eixo dos x e estão à distância 2 do ponto (– 4, 3).

202. (UNESP 2006) Fixado um sistema de coordenadas ortogonais em um plano,considere os pontos O(0, 0), A(0, 2) e a reta r de equação y = –1.

a) Se a distância do ponto Q(x0, 2) ao ponto A é igual à distância de Q à reta r,obtenha o valor de x0, supondo x0 > 0.b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) desse plano, cujadistância até o ponto A é igual à distância até a reta r.

203. (UNESP 2007) Determine a equação da reta que é paralela à reta 3x + 2y + 6 = 0e que passa pelos pontos (x1 , y1) = (0 , b) e (x2 , y2) = (– 2 , 4b) com b ∈ IR.

57



A circunferência

204. (UFMA – 2006) Um triângulo retângulo inscrito na circunferência x² + y² = 4 temhipotenusa paralela à reta 2x - y + 23 = 0 e um cateto paralelo à reta x- 6 = 0. A

área desse triângulo mede:

a)5

54unidades

b)5

2unidades

c)5

16unidades

d)32

5unidades

e) 5

516

unidades

205. (UFCE – 2004) Na figura, temos um retângulo inscrito em um círculo. O retângulo

está dividido em quatro retângulos menores e iguais. x é a medida da diagonal de um

dos retângulos menores. Sabendo-se que AB = 10m e AC = BD = 4m, o valor de x,

em m, é:

a) 8b) 9c) 116

d) 132

206. (UECE – 2004) A equação da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujoscatetos estão sobre os eixos coordenados no plano cartesiano e a hipotenusa estásobre a reta 4x – 3y + 4 = 0, é:

a) x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0b) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0c) 9x2 + 9y2 + 6x – 6y + 1 = 0d) 9x2 + 9y2 – 6x – 6y + 1 = 0

207. (UECE – 2005) Na figura as semi-retas r e s são tangentes ao círculo de raio 1m.Se α = 60o, a área da região pigmentada é igual a:

a) 2m3

3

π−

58

A Bx

DC

4

m10m

m

4

m

αF H

r R

R

s

G

C



b) 2m6

3

3

−

π

c) 2m6

3

3

+

π

d) 2m33 +π

208. (UECE – 2005) Para um ponto P eqüidistante da reta x + y – 2 - 2 = 0 e dacircunferência x2 + y2 –1 = 0, seja d a distância de P às duas linhas (reta e circunferência).O menor valor de d é:

a)2

2

b)2

3

c)2

21 +

d)2

31 +

209. (UECE – 2007) A equação da circunferência cujo centro é o ponto (5,1) e que étangente à reta 4x - 3y – 2 = 0 é:

a) x² + y² + 10x + 2y + 26 = 0b) x² + y² - 10x - 2y + 17 = 0c) x² + y² + 2x + 10y - 26 = 0

d) x² + y² - 2x - 10y - 17 = 0

210. (UECE – 2007) As circunferências C1 e C2 são as duas circunferências noprimeiro quadrante que são tangentes aos eixos coordenados e à reta x + y - 3 = 0. Adistância entre os centros de C1 e C2, em unidades de comprimento (u.c.), é:

a) 3 u.c.b) 6 u.c.c) 9 u.c.d) 12 u.c.

211. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem àcircunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C noponto (0, 3). Então, o raio de C vale

59



a)8

5

b)4

5

c) 2

5

d)4

53

e) 5

212. (UECE – 2007) Sejam C1 e C2 duas circunferências com centro na origem de umsistema de coordenadas e cujos raios medem, respectivamente, 1m e 2m. A soma dasmedidas dos raios das circunferências simultaneamente tangentes a C1 e a C2, cujoscentros têm coordenadas iguais, no mesmo sistema de coordenadas, é:

a) 3mb) 4mc) 5md) 6m

213 (UECE – 2008) O ponto P é externo a uma circunferência e sua distância aocentro da circunferência é 13 m. A secante traçada de P intercepta a circunferêncianos pontos Q e R, de modo que PQ mede 9 m e PR mede 16 m. A medida do raio dacircunferência é

a) 4 m.b) 5 m.c) 6 m.d) 7 m.

214. (UECE – 2008) O comprimento da corda determinada pela reta x + 7y – 50 = 0 nacircunferência x2 + y2 – 100 = 0 é:

a) 2 5 u.c.b) 5 2 u.c.c) 2 10 u.c.d) 10 2 u.c.

215. (UECE – 2005) Seja K= ( ){ }.xyxquetaisRy,x 222 =+∈ O número deelementos de K é:a) 1b) 2c) 4d) Infinito

216. (UNESP 2008) A distância do centro da circunferência x² + 2x + y² – 4y + 2 = 0 àorigem é

a) 3.b) 5

60



c) 3

d) 2

e) 1.

217. (UNESP 2010) Uma aeronave faz sua aproximação final do destino, quando seu

comandante é informado pelo controlador de vôo que, devido ao intenso tráfego aéreo,haverá um tempo de espera de 15 minutos para que o pouso seja autorizado e que eledeve permanecer em rota circular, em torno da torre de controle do aeroporto, a 1 500m de altitude, até que a autorização para o pouso seja dada. O comandante, cônsciodo tempo de espera a ser despendido e de que, nessas condições, a aeronave quepilota voa a uma velocidade constante de Vc (km/h), decide realizar uma única voltaem torno da torre de controle durante o tempo de espera para aterrissar. Sabendo queo aeroporto encontra-se numa planície e tomando sua torre de controle como sendo oponto de origem de um sistema de coordenadas cartesianas, determine a equação daprojeção ortogonal, sobre o solo, da circunferência que a aeronave descreverá naaltitude especificada.

a)2

2

15²²

=+

π C V

y x

b)2

2²²

=+π

C V y x

c)2

2²²

=+

π

C V

y x

d)2

8²²

=+

π

C V y x

e)

2

32²²

=+ π

C V

y x

As cônicas

218. (UFMA – 2003) O gráfico cartesiano da relação representada por

( )( ) x x

x x x f

−−+−

=12

23²)( é um subconjunto de uma:

a) parábolab) hipérbolec) retad) elipsee) circunferência

219. (UFMA – 2008) No plano cartesiano, como se vê na figura abaixo, uma parábolaintersecta a circunferência x² + y² = 1 nos pontos A e B, e passa pela origem dosistema de coordenadas. Além disso, o eixo de simetria da parábola é perpendicular ao eixo x. Se o segmento AB é o lado de um triângulo eqüilátero inscrito nacircunferência, qual é a equação da parábola?

61



a) ( ) x x +²3

32

b) ( ) x x −²3

32

c) ( ) x x +²2

3

d) ( ) x x −²2

3

e) ²3

32 x

220. (UECE – 2007) Se a reta r, tangente à circunferência x² + y² = 1 no ponto

2

2,

2

2, intercepta a parábola y = x² + 1 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2), então

x1 + x2 é igual a

a) – 2b) – 1c) – 1 – 2

d) 1 – 2

221. (UECE – 2007) Seja f : R – {1} → R, a função definida por 1

2)(

−+

= x

x x f e seja

g(x) = f(f(x)). A figura que melhor representa o gráfico da função g é:

62



a) b)

c) d)

222. (UECE – 2004) S eja m f:R → R e g :R→R funções cujos gráf icos sãoretas tangentes à parábola y = -x 2. Se f(0) = g(0) = 1 então a funçãoh(x) = f(x)g(x) é igual a:

a) 1 – 4x 2

b) 1 + 4x2

c) 1 – 2x 2

d) 1 + 2x 2

Números complexos

223. (UFMA – 2003) Resolvendo a equação x² + (a + bi)x + (c + di) = 0, onde a, b, c ed são números reais e i a unidade imaginária, encontramos:

a) abd = c²+ b²db) abd = d² – b²c

c) abd = b² + d²cd) abd = d² + b²ce) abd = b² – d²c

224. (UECE – 2004) Para os números complexos z = 3 + 4i e w = 4 – 3i, onde i2 = -1, a

somaz

w

w

z+ é igual a:

a) 0

63



b) 2ic) -2id) 1

225. (UECE – 2004) Seja p o produto das raízes da equação complexa z 3 = i e q asoma das raízes da equação complexa z2 + (2 + i)z + 2i = 0. O valor do produto p.q é:

a) –2i – 1

b) –2i + 1

c) –2i + 2

d) –2i – 2

226. (UECE – 2005) Se o número complexo z = (-3 - 2i) 2 +i

2é posto na forma a + bi,

onde a e b são números reais, então a + b é igual a:

a) 5b) 10c) 15d) 20

227. (UECE – 2006) Se z1 e z2 são as raízes (complexas conjugadas) da equação0 baax2x 222 =++− , então 21 zz + é igual a:

a) ab2

b) ( )2 ba +

c)22

ba2 +

d) ba +

228. (UECE – 2006) Seja w = 6 + 3i um número complexo, que é representado noplano cartesiano pelo ponto P(6, 3). O conjunto solução da equação 05 =−+wz wz ,z ∈ C, é representado no plano cartesiano por:

a) um conjunto finito de pontos.b) uma reta.c) duas retas paralelas e distintas.d) duas retas perpendiculares.

229. (UECE – 2007) Os números complexos z e w, escritos na forma z = x + yi ew = u + vi em que x ≠ 0 e u ≠ 0, são tais que z . w = 1. A soma dos quadrados u² +v² é igual a:

a) x1

64



b)2

1

u

c) xu

1

d) x

u

230. (UECE – 2007) Os números complexos z1, z2, z3 e z4 são representados, no planocomplexo, por quatro pontos, os quais são vértices de um quadrado com ladosparalelos aos eixos e inscrito em uma circunferência de centro na origem e raio r. Oproduto z1 . z2 . z3 . z4 é:

a) um número real positivo.b) um número real negativo.

c) um número complexo cujo módulo é igual a2

r .

d) um número complexo, não real.

231. (UECE – 2008) Os números complexos z1 e z2 são as raízes da equaçãox2 – 2x + 5 = 0. A soma |z1|+ |z2| é:

a) 2 5 .b) 3 5 .c) 3 2 .d) 5 2 .

232. (UNESP – 2002) Se z = (2 + i). (1 + i). i, então z , o conjugado de z, será dado

por a) – 3 – i.b) 1 – 3i.c) 3 – i.d) – 3 + i.e) 3 + i.

Polinômios

233. (UFMA – 2008) Numa empresa, o salário de um grupo de empregados éR$ 380,00, mais uma quantia variável correspondente a 1/5 da produção de um dosprodutos da empresa, cuja produção foi estimada para daqui a t anos funçãop(t) = 50t² - 50t + 100. Daqui a quantos anos o salário deste grupo de funcionários

aumentará 50% em relação ao valor atual?

65



a) 2 anosb) 4 anosc) 8 anosd) 6 anose) 5 anos

234. (UECE – 2007) O número de soluções da equação3²²5 +

=− x

x

x

xé:

a) 0b) 1c) 2d) 3

235. (UECE –2008) Se a expressão x2 + 9 se escreve na formam(x + 1)2 + p(x + 1) + q, então m – p + q é igual a:

a) 9.b) 10.c) 12.d) 13.

236 - (Unesp 2002) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cme lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado decada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-seuma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm³, desta caixa é

a) 4x³ – 60x² + 200x.b) 4x³ – 60x + 200.c) 4x³ – 60x² + 200.d) 1x³ – 30x² + 200x.

e) 1x³ – 15x² + 50x.

237. (UNESP 2005) Considere o polinômio p(x) = x³ + bx² + cx + d, onde b, c e d sãoconstantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x² + 2bx + c.Se p’(1) = 0, p’(–1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x – 1 é 2, então o polinômio p(x)é:

a) x³ – x² + x + 1.b) x³ – x² – x + 3.

66



c) x³ – x² – x – 3.d) x³ – x² – 2x + 4.e) x³ – x² – x + 2.

238. (UNESP 2008) 06 – (UNESP 2008) Seja x um número real positivo. O volume deum paralelepípedo reto-retângulo é dado, em função de x, pelo polinômiox³ + 7x² + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da faceperpendicular a essa aresta pode ser expressa por:

a) x² – 6x + 8.b) x² + 14x + 8.c) x² + 7x + 8.d) x² – 7x + 8.e) x² + 6x + 8.

239. (UNESP 2004) Considere a matriz

−= x

x

x

x x

A02

210

1

.

O determinante de A é um polinômio p(x).

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x).b) Determine todas as raízes de p(x).

240. (UNESP 2008) A altura h de um balão em relação ao solo foi observada durantecerto tempo e modelada pela função h(t) = t³ – 30t² + 243t + 24 com h(t) em metros e t

em minutos. No instante t = 3 min o balão estava a 510 metros de altura. Determineem que outros instantes t a altura foi também de 510 m.

241. (UNESP 2003) É dado o polinômio cúbico P ( x ) = x³ + x² – 2 x , com x ∈ ℜ.

a) Calcule todas as raízes de P ( x ).b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano ( x , P ( x )), fazendo-o passar por suas raízes.

242. (UNESP 2010) Uma raiz da equação x³ – (2a – 1)x² – a(a + 1)x + 2a²(a – 1) = 0 é(a – 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação?

Equações algébricas e polinomiais

243. (UFMA – 2003) Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões p, q, r . Sabendo-se que a sua área total é igual a 78 m² e o seu volume 39 m³, então o valor de

r q p

111++ é:

a) 1 m-1

67



b) 2 m-1

c) 3 m-1

d) 4 m-1

e) 5 m-1

244. (UFMA – 2006) Levando em conta o domínio de validade da equação

1²

3

1

1

1

1

++

=−

++ x

x

x x

é correto afirmar:

a) ela não possui raízes reaisb) a soma de suas raízes é 1c) o produto de suas raízes é –2d) as suas raízes são opostas

e) ela possui apenas uma raiz

245. (UFCE – 2004) Se s e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da

equação 01x

2x

x1

x=−

−+

−, então:

a) s = pb) s × p é negativoc) s > pd) s < p

246. (UFCE – 2004) Se o número 2 é uma raiz de multiplicidade dois da equaçãoax3 + bx + 16 = 0, então o valor de a + b é:

a) -11b) 11c) -12d) 12

247. (UECE – 2004) Se as raízes da equação x3 + px2 + qx = 0 são não negativas eformam uma progressão aritmética, então podemos afirmar corretamente:a) p × q > 2

b) 1 < p × q < 2

c) 0 < p × q < 1

d) p × q < 0

248. (UECE – 2005) Se os números 2 e –3 são raízes da equaçãox3 – 4x2 + px + q = 0, então o resultado da divisão do polinômio x3 – 4x2 + px + q por x2 + x – 6 é:a) x – 1b) x + 1c) x – 5d) x + 5

68



249. (UECE – 2005) A soma de todas as raízes da equação

x2 + x + 1 =xx

1

2 +é:

a) 1

b) 2c) –1d) -2

250. (UECE – 2006) A soma dos quadrados de todas as raízes da equação036x49x14x 246 =−+− é igual a:

a) 12b) 28c) 36d) 48

251. (UECE – 2006) Se o polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c é divisível por

q(x) = x² - x + 1, então a² + b² + c² é igual a:

a) 3a² + 2a + 1b) a² + 2a +3c) 2a² + 3a +1d) a² + 3a + 2

252. (UECE -2007) Se o polinômio P(x) = x4 + αx3 – 5x² + 2x + β é divisível por x² + 1,então α/β é igual a:a) 3b) – 3

c) 5/2d) – 5/2

253. (UECE – 2008) Os números x1, x2 e x3 são as abscissas dos três pontos deinterseção do gráfico da função real de variável real, definida por f(x) = x3 – 9x, com oeixo dos x. A soma x1 + x2 + x3 é:a) 0.b) 2.c) 3.d) 6.

254. (UFMA – 2005) O valor de k, para que as raízes da equação

x³ - 9x² + kx + 2 16 = 0 formem uma Progressão Aritmética, é:a) 1b) 72c) 23d) 54e) 0Estatística

255. (UFMA – 2008) No Para-pan Rio 2007 foi distribuídos um total de 760 medalhas.O gráfico abaixo mostra os 7 países que mais receberam medalhas nessa competição.

69



Com base nesses, dados podemos afirmar que:

a) o Brasil recebeu 30% do total de medalhasb) Cuba recebeu 15% do total de medalhasc) o Canadá recebeu 20% do total de medalhas.d) a Argentina recebeu 10% do total de medalhas.e) o México recebeu 18% do total de medalhas.

256. (UECE – 2006) Durante as férias escolares, o estudante João trabalhou naSapataria FINOCOURO, na qual havia em estoque um total de 238 pares de sapato,não havendo reposição ou incremento no estoque ao longo do período trabalhado.João elaborou o gráfico abaixo que representa a quantidade de pares de sapatos queele vendeu no período trabalhado, identificando os pares de sapatos pelos seus

tamanhos (numeração de 37 até 44):

Sabendo-se que João foi o único vendedor no período, a porcentagem de pares desapatos que restaram no estoque é, aproximadamente:

a) 12%b) 14%c) 13%d) 15%

257. (UNESP 2006) O número de ligações telefônicas de uma empresa, mês a mês,

no ano de 2005, pode ser representado pelo gráfico.

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Com base no gráfico, pode-se afirmar que a quantidade total de meses em que o

número de ligações foi maior ou igual a 1 200 e menor ou igual a 1 300 é:a) 2.b) 4.c) 6.d) 7.e) 8.

258. (UNESP 2006) O gráfico mostra as marcas obtidas, em segundos, até setembrode 2007, nos recordes mundiais e pan-americanos, em quatro modalidades esportivas:provas de 100 metros rasos, masculino, 100 metros rasos, feminino, 100 metros nadolivre, masculino, e 100 metros nado livre, feminino.

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EXERCICIOS DE MATEMÁTICA PRE-VESTIBULAR