Exercicios Resolvidos Geometria Areas I

Geometria Plana: Exerccios de reas de regies poligonais

Notaes: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm=centmetro quadrado. 1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regies poligonais em tringulos.

2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual ser relao entre as reas dos paralelogramos?

Resposta: A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1 3. A razo entre as medidas dos lados de dois quadrados 1:3. Qual a razo entre as reas desses dois quadrados?

Resposta: a razo 1:9

4. possvel obter a rea de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?

Soluo No, pois a rea de um paralelogramo depende de sua altura, que por sua vez depende do ngulo entre seus lados como est ilustrado na figura.

5. possvel obter a rea de um losango cujo lado mede 10 cm? Resposta: No, pois os lados de dois losangos podem ser diferentes.

6. Qual a rea de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm?

Resposta: A = 80 cm

7. Calcular a rea de cada quadriltero indicado abaixo:

a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b. Quadrado com permetro 12cm. c. Retngulo com comprimento 3cm e permetro 10cm. d. Quadrado com permetro 12R[3]cm.

Respostas:

(a) 25/9 cm (b) 9 cm (c) 6 cm (d) 27 cm

8. Um dos lados de um retngulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a rea deste retngulo seja equivalente rea do retngulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? Resposta: lado = 10,8 cm

9. Se um retngulo possui o comprimento igual ao quntuplo da largura e a rea igual a 80 cm, quais so as medidas de seus lados?

Resposta: os lados medem 4 e 20 cm

10. Nos tens abaixo, indicamos uma mudana na medida de um dos lados. Que mudana deveremos realizar na medida do outro lado do retngulo para que a rea deste permanea constante?

a. A base multiplicada por 3; b. A altura dividida por 2; c. A base aumentada 25%; d. A base diminuda 25%

Respostas:

(a) a altura dividida por trs (b) a base multiplicada por dois (c) a altura diminuda 20% (d) a altura aumentada 1/3

11. Calcular a rea de um retngulo cujo lado mede s e a diagonal mede d. Soluo

Devemos calcular a medida do outro lado de retngulo, seja x este lado, pelo teorema de Pitgoras temos que:

d=s+x x=d-s x = R[d-s] Area=sx=sR[d-s]

12. Um tringulo retngulo tem um ngulo de 30 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa indicada por a.

Soluo Dado o tringulo retngulo ABC, traamos BD de modo que o ngulo CBD tambm tenha 30 graus, o tringulo ABD um tringulo equiltero com AB=BD=a e AC=a/2. Como: (AB)=(AC)+(BC), segue que;

a=(a/2)+(BC) (BC)=(3/4)a BC = R[3]a/2

Se a hipotenusa mede a, os catetos medem a/2 e R[3]a/2.

13. Um tringulo retngulo tem um ngulo de 45 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa indicada por a.

Soluo Dado o tringulo ABC, com hipotenusa AB=a, segue pelo teorema de Pitgoras que: a=AC+CB e como o tringulo retngulo com um ngulo de 45 graus temos AC = CB, ento; a=2(AC) e AC=a/R[2].

Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos so congruentes e cada uma deles mede a R[2]/2.

14. Obter a rea de um paralelogramo conhecendo-se o ngulo =30 graus e cada um dos dados abaixo:

a. AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm b. AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm c. AB = 10 cm e AD = 6 cm d. AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm

Respostas:

(a) 16 R (3) cm (b) 4 R (6) cm (c) 30 cm (d) 18 cm

15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um tringulo retngulo issceles em cima. Se um dos catetos do tringulo mede 7 metros, qual a rea frontal desta casa?

Resposta: rea = 77/2 m

16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um tringulo retngulo issceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m, calcular a rea frontal desta casa.

Soluo Como a diagonal do quadrado mede 2.R[2]m, temos que d=a+a=2a, de onde segue que (2R[2])=2a, que equivale a 8=2a. Obtemos assim a=2m, e rea do quadrado =4m. Como AB=BC e o tringulo retngulo, segue que a=AB+BC=2 AB, de onde segue que AB=4/2=2. Assim temos: AB=R[2] rea do tringulo=(ABAB)/2=R[2]R[2]/2=1m. rea total=rea(quadrado)+rea(tringulo)=5m

17. O lado de um tringulo equiltero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro tringulo equiltero T2 que possui o:

(a) dobro da rea de T1? (b) triplo da rea de T1? (c) qudruplo da rea de T1?

Respostas:

(a) lado = 2 R (2) cm (b) lado = 10 R (3) cm (c) lado = 20 cm

18. Os nmeros em cada linha na tabela abaixo, referem-se s medidas de um tringulo, onde so conhecidas duas informaes dentre: Base, Altura e rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando.

Base (cm) Altura (cm) rea (cm) (a) 5 10 (b) 5 12 (c) 2R[3] 3R[3] (d) 6 12

Soluo As respostas esto em vermelho na tabela abaixo

Base (cm) Altura (cm) rea (cm) a. 4 5 10 b. 5 24/5 12 c. 2R[3] 3R[3] 9 d. 4 6 12

19. Os nmeros em cada linha na tabela abaixo referem-se s medidas de um trapzio, onde b1 e b2 so as bases, h a altura e A a rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando.

b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm) (a) 10 6 4 (b) 5 3 24 (c) 5 3 12 (d) 1/2 1/3 1 (e) 5R[2] 3R[2] 4R[6]

Soluo

As respostas esto em vermelho na tabela abaixo b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm)

a. 10 6 4 32 b. 5 3 6 24 c. 3 5 3 12 d. 1/2 1/3 1 5/12 e. 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]

20. Calcular a medida do lado de um tringulo equiltero com a rea igual a 9 R[3] unidades de rea. Resposta: L = 3 R(2) u

21. Um fazendeiro possua um terreno no formato de um tringulo equiltero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma rea triangular issceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a rea que o fazendeiro possua e qual a nova rea?

Resposta: O fazendeiro possua 18 R[3] Km. A nova rea (18 R[3] + 4 R[2]) Km. 22. Um trapzio issceles com bases medindo 12 cm e 16 cm est inscrito em uma circunferncia de raio 10 cm. Calcular a rea do trapzio, se o centro da circunferncia est no interior do trapzio.

Na figura ao lado, a altura do trapzio mede h=a+b, onde: a=10-8=36 a=6 b=10-6=64 b=8 h=6+8=14

rea do trapzio = (B+b)h/2=(16+12)7=196cm.

23. Um trapzio issceles com bases medindo 12 cm e 16 cm est inscrito em uma circunferncia de raio 10 cm. Calcular a rea do trapzio, se o centro da circunferncia no est no interior do trapzio.

Na figura ao lado, a altura h do trapzio mede h=b-a, onde: a=10-8=36 a=6 b=10-6=64 b=8 h=8-6=2 cm rea do trapzio = (B+b)h/2=(16+12)1=28cm.

24. Calcular a rea do trapzio issceles, cujo desenho est na figura ao lado, se todos os seus lados so tangentes circunferncia e as medidas so dadas em cm.

Soluo

Seja o tringulo issceles construido prolongando os lados no paralelos do trapzio, de acordo com a figura. Tomando h=AE e r o raio da circunferncia inscrita no trapzio. BC=18 e DF=8, logo GC=9 e EF=4. Como o trapzio BCFD issceles, o tringulo ABC issceles. O tringulo AGC retngulo com ngulo reto em G. O tringulo AEF retngulo com ngulo reto em E e por semelhana de tringulos, temos que: AE/EF=AG/GC implica que h/4=(h+2r)/9, de onde segue que h=8r/5.

O tringulo ATO tem um ngulo reto em T, porque T ponto de tangncia. Este tringulo ATO tambm semelhante ao tringulo AGC, logo:

AT/TO=AG/GC m(AT)/r=(h+2r)/9 (*)

Acontece que: AT=R[h+2hr]=R[16r/25+2r(8r)/5]=12r/5. Substituindo este valor em (*), obtemos:

12r / 5r = (h+2r)/9 . 12/5 = (8r/5 + 2r)/9 . r=6 Seja B a base maior do trapzio e b a base menor do trapzio, assim, a rea do trapzio dada por,

A=(B+b)h/2 A=(18+8)26/2=78

25. No plano coordenado, os vrtices de um paralelogramo so os pontos A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a rea do paralelogramo ABCD.

Soluo Seja AB a base do paralelegramo e h sua altura, ento,

AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5

A rea do Paralelogramo a base vezes a altura, ento,

A=95=45 unidades de rea.

26. Na figura representando o tringulo PQR, o segmento TS paralelo ao segmento PQ. Calcular a razo entre a rea do tringulo RTS e a rea do trapzio PQST, sob as seguintes condies:

a. RT=1 cm, RP=2 cm b. RT=2 cm, TP=3 cm c. TS=2 cm, PQ=3 cm d. TS=R[3] cm, PQ=2 cm

Dica: Obter a razo entre as reas dos tringulos PQR e TSR.

Respostas: (a) 1:3 (b) 4:21 (c) 4:5 (d) 3:1

27. Calcular a rea de um tringulo equiltero cujas medidas so dadas por: Respostas

a. Lado = 6 cm rea = 9R[3] cm b. Aptema = 3 cm rea = 27R[3] cm c. Raio = 6 cm rea = 27R[3] cm d. Permetro de medida t cm rea = t R[3]/36 cm

28. Calcular a rea de um hexgono regular cujas medidas so dadas por: a. Lado = 4 cm rea = 24R[3] cm b. Aptema = 2R[3] cm rea = 24R[3] cm c. Raio = 6 cm rea = 54R[3] cm d. Permetro = t cm rea = 2t R[3] cm

29. ABC um tringulo retngulo com ngulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual a rea do quadrado de lado AC?

Resposta: rea = 144 cm

30. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que so usadas em Geometria:

a. aptema: Segmento de reta perpendicular ao lado de um polgono traada a partir do centro do mesmo.

b. hipotenusa: maior lado do Tringulo Retngulo, opondo-se ao ngulo reto. c. catetos: catetos so os menores lados do Tringulo Retngulo. Formam o ngulo de 90 d. abscissa: Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional. e. ordenada: uma das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posio de

um ponto num plano ou no espao.

31. Os nmeros em cada linha da tabela abaixo referem-se s medidas do polgono regular indicado, onde L o lado, a o aptema, p o permetro e A a rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando.

1 L (cm) a (cm) p (cm) A (cm) Tringulo 2 R[3]

Pentgono k 4 Hexgono k octgono t k Decgono 40 40k

Soluo: As respostas esto em vermelho na tabela abaixo L (cm) a (cm) p (cm) A (cm)

Tringulo 12 2 R[3] 36 36 R[3] Pentgono 4/5 k 4 2 k Hexgono k k R[3]/2 6 k (3 kR[3])/2 octgono t k 8t 4tk Decgono 2k 2k 40 40k

32. Os lados correspondentes de dois pentgonos semelhantes esto na razo 1:2. Qual a razo entre as suas reas? Qual a razo entre os seus permetros?

Resposta: a razo entre as reas 1:4 e a razo entre os permetros 1:2

33. Dois hexgonos semelhantes possuem reas iguais a 36 cm e 64 cm, respectivamente. Qual a razo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexgono)? Resposta: a razo 3:4

34. Dois pentgonos semelhantes possuem reas iguais a 50 cm e 100 cm, respectivamente. Qual a razo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentgono)? Resposta: a razo 2:2

35. No tringulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual dever ser a medida do lado de um quadrado com rea igual rea do tringulo ABC?

Resposta: L=2R[5]

36. A rea de um polgono de n lados 25/4 da rea de um outro polgono semelhante com n lados. Qual a razo entre os permetros dos dois polgonos?


37. Os pontos X, Y e Z so os pontos mdios dos lados de um tringulo ABC. Qual a razo entre a rea do tringulo ABC e do tringulo XYZ?


38. O lado menor de um polgono de rea igual a 196 cm mede 4 cm. Calcular a rea de um polgono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm.

Resposta: rea 784 cm

39. Os lados de um quadriltero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadriltero semelhante a este com rea 9 vezes maior.

Resposta: L1 = 9 cm L2 = 12 cm L3 = 15 cm L4 = 18 cm

40. Qual a razo entre as reas de dois tringulos equilteros, sabendo-se que um deles est inscrito em uma circunferncia de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferncia?


41. Na figura ao lado D e E so, respectivamente, os pontos mdios dos lados do tringulo AC e BC. Qual a razo entre as reas dos tringulos DEC e ABC?


42. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferncia de raio r e o outro em uma circunferncia de mesmo raio. Qual a relao existente entre suas reas?


43. Um hexgono regular inscrito em uma circunferncia de raio r e um segundo hexgono regular circunscrito na mesma circunferncia. Se a soma das reas dos dois hexgonos 56 R[3] u.a, qual o raio da circunferncia?

Resposta: R = 4 u

44. O quadriltero ABCD um retngulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual a razo entre a rea do tringulo CEF e a rea do retngulo?

Resposta: razo = 1/8

45. O retngulo ABCD tem rea 105 m. Qual a medida do lado do quadrado EFGC?

46. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, so recortados tringulos retngulos issceles nos quatro cantos de modo que o octgono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual a medida do lado do octgono?

Resposta: L = 4 (2-R[2]) cm

Documents

Exercicios Resolvidos Geometria Areas I