EXERCÍCIOS

1.) Lance dois dados. Descreva o espaço amostral S, e calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7? (6/36)

2.) Lance 3 moedas. Descreva o espaço amostral S, utilizando o diagrama da árvore. Qual a probabilidade de a) ocorrerem duas caras? (3/8) b) ocorrer pelo menos uma cara? (7/8)

3.) Lance duas moedas e um dado. a) Descreva o espaço amostral S b) Expresse os eventos: A = aparecem duas caras e um número par B = aparece 2 C = aparecem exatamente uma cara e um número primo c) Expresse claramente o evento em que: I) A e B ocorrem II) somente B ocorre III) B ou C ocorrem

4.) Das 10 alunas de uma turma 3 delas têm olhos azuis. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de a) ambas terem olhos azuis b) nenhuma ter olhos azuis c) pelo menos uma ter olhos azuis. ( 1/15 – 7/15 – 8/15)

5.) Três parafusos e três porcas estão numa caixa. Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra ser uma porca? (3/5)

6.) Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem selecionados a) 3 rapazes b) exatamente dois rapazes c) pelo menos um rapaz d) exatamente duas moças (3/14 – 27/56 – 27/28 – 15/56)

7.) O serviço meteorológico informa que, para o final de semana, a probabilidade de chover é de 60%, a de fazer frio é de 70% e a de chover e fazer frio é de 50%. Calcular a probabilidade de que, no final de semana,

a) chova ou faça frio; (80%) b) não chova e não faça frio. 20%

8.) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:

a) A ganhar todas as três; (1/8) b) duas partidas terminarem empatadas; (5/72) c) A e B ganharem alternadamente. (5/36)

9.) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos(s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. ( 0,973)

10.) A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30m num único salto triplo é de 0,7. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse 17,30m ? (0,9919)

11-) Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo? (2/3)

12-) Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. (i) Se a soma é ímpar, qual a probabilidade do 2 ser um do números selecionados? (1/4) (ii) Se o 2 é um dos números selecionados, qual a probabilidade da soma ser ímpar ? (5/8)

13-) Numa certa cidade, 40% da população têm cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15% têm olhos e cabelos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente. (i) Se ela têm cabelos

castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos? (3/8) (ii) Se ela têm olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos? (2/5) (iii) Qual a probabilidade de não ter olhos nem cabelos castanhos? (1/2)

14-) São dadas duas urnas. Uma urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Uma urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lança-se um dado não viciado: se ocorre 3 ou 6 uma bola é escolhida de B, caso contrário uma bola é escolhida de A. Encontre a probabilidade de (i) uma bola vermelha ser escolhida (1/3) (ii) uma bola branca ser escolhida (1/3) (iii) uma bola azul ser escolhida (1/3)

Distribuição Binominal

Exercício 01

Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Exercício 02

Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

(b) No máximo 13 tenham feito cursinho?

(c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho?

Exercício 03

Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?

Exercício 04

25% dos universitários de São Paulo praticam esporte. Escolhendo-se ao acaso 15 desses estudantes, determine a probabilidade de:

a) Pelo menos 2 deles serem esportistasb) No mínimo 12 deles não serem esportistas

Exercício 05

A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1. Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? Com base nesse resultado você continuaria produzindo peças com esta máquina levando em consideração uma grande produção de peças por dia?

Distribuição Poisson

1-O número de vezes que um indivíduo tem gripe em determinado ano é uma variável aleatória de Poisson com λ = 5. Suponha que um novo medicamento reduza o parâmetro λ para 3 em 75% da população. Para os 25% restantes a droga não tem um efeito significativo. Se um indivíduo toma o medicamento durante um ano e tem duas gripes, qual a probabilidade de que o medicamento seja benéfico para ele (ela)? Com base nesse resultado, se o indivíduo soubesse essa probabilidade a priori, você acha que ele deveria continuar tomando o medicamento?

2-Suponha que Xt, o nº de partículas emitidas em t horas por uma fonte radioativa, tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 20t. Qual será a probabilidade de que exatamente 5 partículas sejam emitidas durante um período de 15 min?

3-Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e internet. A taxa média é de 5 pedidos por hora.

a) Qual a probabilidade da indústria receber mais de dois pedidos por hora? Digamos que, no horário do almoço, a indústria fica impossibilitada de atender a mais de dois pedidos por hora. Você acha que deveria aumentar o nº de atendentes nesse período?

b) Em um dia de trabalho (8 horas) qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? A indústria deveria aumentar o nº de atendentes para receber mais de 50 pedidos por dia?

4-A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:

a) Chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos.b) Chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.

5-A cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15– 24 anos (National Safety Council, Accident Facts,1996).

a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?

b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?

c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?