MA22 - Unidade 6 - Exercícios

Luiz Manoel Figueiredo

Mário Olivero

PROFMAT - SBM

29 de Março de 2013

Exercícios

1) Determine o termo geral e calcule o limite da sequência

2

1,4

3,6

5,8

7, . . . .

2) Calcule

limn→∞

[1− 1

4+

1

16− · · ·+ (−1)n 1

4n

].

3) Calcule o limite da sequência

2, 2, 3, 2, 31, 2, 317, 2, 3171, 2, 31717, . . .

4) Calcule o limite da sequência

√5,

√5√5,

√5

√5√5, . . . ,

5) Calcule o limite da sequência cujo termo geral é

a) 1

n2+ 2

n2+ 3

n2+ · · ·+ n

n2.

b) 1

n3+ 22

n3+ 32

n3+ · · ·+ n2

n3.

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Exercícios

6) Diga se é �nito ou in�nito o limite da sequência cujo termo

geral é1

np+1+

2p

np+1+

3p

np+1+ · · ·+ np

np+1.

7) Calcule

a) limn→∞(√n + 1−

√n);

b) limn→∞( 3√n + 1− 3

√n);

c) limn→∞( k√n + 1− k

√n), onde k ∈ N.

Sugestão: Pode ser útil usar a identidade:

b − a =(

k√b − k√a)(

k√bk−1 +

k√bk−2 k

√a + · · ·+ k

√ak−1

).

8) Calcule limn→∞n2 cos n!n3+1

.

9) Calcule limn→∞n√n2.

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Exercícios

10) Seja a um número real positivo. Mostre que

limx→−∞

ax =

{0, se a > 0,∞, se 0 < a < 1.

11) Prove a seguinte variante da regra de substituição: Sejam f e

g duas funções para as quais faz sentido formar g ◦ f . Seja a um

número real tal que limx→a f (x) =∞. Se limy→∞ g(y) = L, então

limx→a

g(f (x)) = L.

Mostre que se L for substituído por ∞, o resultado continua

valendo. Mostre também vale o resultado para limites laterais.

12) Calcule o limite limx→π2

−3tg5x+2tg3 x+52tg5 x+tg2 x+1

.

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Exercícios

13) Calcule limx→a

√x−b−

√a−b

x2−a2 , se a > b.

14) Calcule limx→01−cos xsen2 x

.

15) Calcule limx→∞22x+2x

4x+4

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