EXPONENCIAISProf Chico Nucci

EQUAES EXPONENCIAISChamamos de equaes exponenciais toda equao na qual a varivel aparece em expoente. Exemplos de equaes exponenciais:1. 3x =81 (a soluo x=4) 2. 2x-5=16 (a soluo x=9) 3. 16x-42x-1-10=22x-1 (a soluo x=1) 4. 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as solues so x=0 e x=1)

Para resolver equaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1) reduo dos dois membros da equao a potncias de mesma base; 2) aplicao da propriedade:

a ! a m ! n ( a { 1 e a " 0)m n

EXERCCIOS RESOLVIDOS:1. Resolva a equao exponencial 3x=81 Resoluo: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 Logo: 3x = 34 Ento: x=4.

2. a) Resolva a equao exponencial 9x = 1 Resoluo: 9x = 1 9x = 90 logo x = 0. 2. b) Resolver a equao exponencial 23x-1 = 322x Resoluo: 23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x 3x-1=10x, x=-1/7.

81 3 3) ! 4 256 81 3 Resoluo : ! 4 256 4) 3 x ! 4 27 3 Resoluo : 3 ! 27 3 ! 3 3 ! 3 ; logo x ! 4x 4 x 4 3 x 3 4 x

x

3 3 3 3 ! 4 ! ; ento x ! 4. 4 4 4 44

x

x

4

5. Resolva a equao 32x6.3x27=0. Resoluo: Vamos resolver esta equao atravs de uma transformao: 32x6.3x27=0 (3x)2-6.3x27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y=-3 e y=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equao auxiliar 3x=y: y=-3 3x = -3 no existe x, pois potncia de base positiva positiva y=9 3x = 9 3x = 32 x=2 Portanto a soluo x=2

INEQUAES EXPONENCIAISChamamos de inequaes exponenciais toda inequao na qual a incgnita aparece em expoente. Exemplos de inequaes exponenciais:1) 3 " 81 (a soluo x " 4)x 2x - 2 x x 2 1 3

2) 2

e2

(que satisfeita para todo x real)

4 4 3) u (que satisfeita para x e -3) 5 5 4) 25 x - 150.5 x 3125 0 (que satisfeita para 2

x

3)

Para resolver inequaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1) reduo dos dois membros da inequao a potncias de mesma base; 2) aplicao da propriedadea>1 0 n (as desigualdades tm mesmo sentido)

am > an m < n (as desigualdades tm sentidos diferentes)

EXERCCIO RESOLVIDO:1) 4x 1

4 4x

x 1

11 " 4

Resoluo : 4x 11 x x A inequao pode ser escrita . 4 4 .4 " 4 4 Multiplicando ambos os lados por 4 temos : 4 x 4.4 x 16.4 x " 11 , ou seja : (1 4 16).4 x " 11 -11.4 x " 11 e da, 4 x 1 4 x 40. Como a base (4) maior que 1, obtemos : Porm, 4 x 4x 40 x 0 Portanto S ! IR - (reais negativos) 1

FUNO EXPONENCIALChamamos de funes exponenciais aquelas nas quais temos a varivel aparecendo em expoente. A funo f : R R+ definida por f(x)=ax, com a R+ e a { 1, chamada funo exponencial de base a. O domnio dessa funo o conjunto R (reais) e o contradomnio R+ (reais positivos, maiores que zero).

GRFICO CARTESIANO DA FUNO EXPONENCIALTemos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0