Aula 13

Extensoes de corpos; regua ecompasso (Anterior: grau da resultante. )

13.1 o grau de uma extensao

1. Definicao. Seja L um corpo e seja K ⊆ L um subanel. Se K e umcorpo, dizemos que L e uma extensao de K e que este e um subcorpo de L.

Seja L ⊇ K uma extensao d corpos e seja S ⊆ L um subconjunto. Osubcorpo de L gerado por S sobre K e o menor subcorpo de L contendo K, S,denotado K〈(S)〉.

A extensao L ⊇ K e finitamente gerada se existir um subconjunto finitoS ⊆ L tal que L = K〈(S)〉.

2. exercıcios.

1. Se S = {s1, . . . , sn}, escrevemos K〈(S)〉 = K(s1, . . . , sn).Se f, g ∈ K[X1, . . . , Xn] sao polinomios e g(s1, . . . , sn) 6= 0, entao

f(s1, . . . , sn)/g(s1, . . . , sn)e um elemento de K(s1, . . . , sn), e todo elemento de K(s1, . . . , sn) e dessaforma.

2. Mostre que todo elemento de Q(√

2) se escreve na forma a + b√

2 coma, b ∈ Q.

Se L ⊇ K e uma extensao de corpos, L e naturalmente um espaco vetorialsobre o corpo K; a dimensao desse espaco e chamada o grau de L ⊇ K,denotado [L : K]; quando finita, dizemos que L ⊇ K e uma extensao finita.

2 Extensoes de corpos

Evidentemente toda extensao finita e finitamente gerada. Vale a recıprocapara extensoes algebricas que discutiremos a seguir.

Seja L ⊇ K uma extensao de corpos. Dizemos que um elemento α ∈ Le algebrico sobre K se existir f(X) ∈ K[X] polinomio nao constante tal quef(α) = 0. Equivalentemente, a sequencia 1, α, α2, . . . gera um subespaco deL de dimensao finita. Se α nao e algebrico, diremos que e transcendente.Dizemos que L ⊇ K e uma extensao algebrica se todo α ∈ L e algebricosobre K.

3. exercıcios.

3. Calcule o grau da extensao Q(√

2) ⊃ Q; idem para Q( 3√

p) ⊃ Q, p primo.

4. Proposicao. Seja L ⊇ K uma extensao de corpos e seja α ∈ L. Entaoα e algebrico sobre K se e so se o subanel K[α] ⊆ L e um subcorpo de L.

Prova. Observemos logo que o subanel K[α] e, por definicao, o menor su-banel de L contendo K e α. E o conjunto formado por todas as combinacoeslineares, a0 +a1α+ · · ·+amαm, de potencias de α, com coeficientes em K. Eigualmente o conjunto de todos os valores p(α) de polinomios p(X) ∈ K[X](note que, enquanto X e uma indeterminada, α denota o elemento pre-fixado de L.)

Suponhamos α algebrico sobre K. Seja y ∈ K[α], y 6= 0. Devemosmostrar que y−1 ∈ K[α]. Como K[α] e um espaco vetorial de dimensao finitasobre K (pela hipotese de algebricidade de α sobre K), existe n ≥ 1 tal que1, y, . . . , yn sao linearmente dependentes. Tomando n mınimo, obtemos umarelacao

yn + an−1yn−1 + · · ·+ a1y + a0 = 0,

com ai ∈ K e necessariamente a0 6= 0 (por que?). Daı obtemosy(yn−1 + · · ·+ a1) = −a0

e portanto,y−1 = (−a0)

−1(yn−1 + · · ·+ a1)que pertence a K[y] ⊆ K[α].

Reciprocamente, se K[α] e um corpo e α 6= 0, temos α−1 ∈ K[α], i.e.,vale uma relacao

α−1 = anαn + · · ·+ a0

com ai ∈ K seguindo-se evidentemente que α e algebrico sobre K. 2

5. exercıcios.

13.2 o polinomio mınimo 3

4.√

2 e algebrico sobre Q; idem√

2 +√

3.

5. Seja L um corpo finito. Mostre que existe um numero primo p e umsubcorpo K ⊆ L isomorfo a Zp. Mostre que a extensao L ⊇ K e algebrica.

6. Proposicao. Sejam M ⊇ L ⊇ K extensoes de corpos. Entao vale aregra da multiplicatividade dos graus,

[M : K] = [M : L][L : K].

Em particular se M ⊇ L e L ⊇ K sao extensoes finitas, entao M ⊇ L efinita.

Prova. Sejam {αi}i∈I , {yj}j∈J bases de L sobre K e M sobre L. Verifica-se facilmente que a colecao dos produtos, {αi · yj}(i,j)∈I×J e uma base de Msobre K. 2

7. exercıcios.

6. Detalhe a prova acima.

8. Proposicao. Seja L ⊇ K uma extensao de corpos. Entao o subconjuntode L formado pelos elementos algebricos sobre K e um subcorpo de L.

Prova. Sejam α, y ∈ L algebricos sobre K. Seja K ′ = K[α]. Entao K ′ ⊇ Ke uma extensao finita. Como y e claramente algebrico sobre K ′, segue queM = K ′[y] ⊇ K ′ e finita e portanto M ⊇ K tambem o e. Logo todo elementode M e algebrico sobre K; em particular, α ± y, α · y sao algebricos sobreK, completando assim a verificacao. 2

13.2 o polinomio mınimo

Se α ∈ L ⊃ K e algebrico sobre K, entao existe um polinomio nao constantep(X) ∈ K[X] tal que p(α) = 0. Logo, o ideal

{f(X) ∈ K[X] | f(α) = 0}

e nao nulo e admite um unico gerador monico. Este sera denotado pα(X),chamado o polinomio mınimo de α sobre K.

4 Extensoes de corpos

9. exercıcios.

7. deg pα = 1 se e so se α ∈ K.

8. Ache os polinomios mınimos de√

2 sobre Q; idem para i =√−1; que tal√

2 + i?

9. Mostre que se f ∈ K[X] e f(α) = 0 entao pα divide f .

10. Prop. Seja α um elemento algebrico sobre K. Seja f(X) ∈ K[X]monico. Entao

f(X) = pα(X) se e so se

{f(α) = 0 ef(X) e irredutıvel em K[X].

Prova. A informacao relevante nesse enunciado e que pα(X) e o unico po-linomio monico irredutıvel em K[X] que anula α. Primeiro, vejamos quepα(X) e irredutıvel. Ora, se pα = gh em K[X], entao vale 0 = pα(α) =(gh)(α) = g(α)h(α). Logo g(α) = 0 ou h(α) = 0. Mas g(α) = 0 implicag ∈ 〈pα〉. Daı segue, como de habitude, que h e constante e pα e irredutıvel.Seja por fim f ∈ K[X] monico irredutıvel tal que f(α) = 0. Segue quef ∈ 〈pα〉; logo, f = pαg para algum g ∈ K[X]. Por irreducibilidade, segueque f e multiplo constante de pα; monicos ⇒ iguais. 2

11. Prop. Seja α um elemento algebrico sobre K. Temos entao

[K(α) : K] = deg pα.

Em palavras, o grau da extensao K(α) ⊃ K e igual ao grau do polinomiomınimo de α.

Prova. Seja d = deg pα. Basta mostrar que 1, α, . . . , αd−1 e uma base deK(α) sobre K. Por conta da prop. 4, sabemos que todo elemento y de K(α) ecombinacao linear de um numero finito de potencias de α. Em sımbolos, y =a0+a1α+amαm com os coeficientes ai ∈ K. Ora, o polinomio mınimo permiteescrever αd como combinacao de potencias menores. Logo, 1, α, . . . , αd−1

geram. Para mostrar que sao l.i., escreva a0 +a1α+ad−1αd−1 = 0. Isto exibe

um polinomio de grau aparente1 d− 1 que anula α. Mas o mınimo tem graud, logo todos os ai sao nulos.

1as aparencias irmanam.

13.3 construcao com regua e compasso 5

13.3 construcao com regua e compasso

Um ponto (a, b) ∈ R2 e construtıvel se a, b ∈ {0, 1} ou se puder ser obtidopor uma sequencia finita de operacoes do tipo:

1. intersecao de retas construtıveis, i.e., ligando pontos construtıveis;

2. intersecao de cırculos construtıveis i.e., com centro um ponto constru-tıvel e passando por outro ponto construtıvel;

3. intersecao de reta e cırculo construtıveis.

Um numero real α e dito construtıvel se aparecer como ordenada ou abscissade um ponto construtıvel.

Todo numero inteiro e construtıvel: centre um cırculo em (1,0) e passandopor (0,0). . . e repita.

Dado um ponto construtıvel P e uma reta construtıvel L, a perpendiculara L passando por P e construtıvel. De fato, se P ∈ L, certamente existeQ ∈ L distinto de P ; centro em P e raio PQ constroi o simetrico Q′ ∈ L deQ com respeito a P ; centro em Q e raio QQ′; depois centro em Q′...acha-seR com RP ⊥ L.

...........

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.

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◦◦

•

◦

R

Q

P

Q′L

12. exercıcios.

10. Caso P 6∈ L?

6 Extensoes de corpos

Toda soma de numeros construtıveis e construtıvel. Idem para o produtoe para o inverso. Para o produto, estude a figura abaixo.

O 1 b• •a

ab

. ................................................................................................................................................................................................................ .

........................................... .

.............................................................................................................................

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O segmento de comprimento a e tracado perpendicularmente a reta Ob.

13. exercıcios.

11. Invente uma figura analoga para o calculo de 1/a.

Vemos assim que o conjunto dos numeros construtıveis forma um corpo.Segue da definicao que, para cada numero construtıvel α, existe uma se-quencia α1, α2, . . . , αn = α tal que α1 ∈ Q e, em cada etapa subsequente,αi+1 se calcula como raiz de uma equacao de grau ≤ 2 com coeficientes nocorpo gerado pelos anteriores. Em resumo, podemos garantir que, se α forconstrutıvel, entao existe uma extensao L de Q de grau da forma 2n.

Como aplicacao, podemos deduzir daı que a trissecao de um angulo e, emgeral, impossıvel de se construir com regua e compasso. Vejamos por exemploa impossibilidade para o angulo de 60◦. (Note que este e construtıvel, poisvoce sabe fazer triangulos equilateros.)

Pelas formulas de adicao temos,

cos 2a = cos2 a− sen2 a = 2 cos2 a− 1;sen 2a = sen a cos a + sen a cos a = 2 sen a cos a;

cos 3a = cos 2a cos a− sen 2a sen a=(2 cos2 a− 1) cos a− 2(sen a cos a) sen a =

2 cos3 a− cos a− 2 cos a(1− cos2 a) =4 cos3 a− 3 cos a.

Faca a = 20◦ nas formulas acima. Seja α = cos 20◦. Temos assim

cos 3a = cos 60◦ =1

2= 4α3 − 3α.

13.3 construcao com regua e compasso 7

Seja p(X) = 8X3 − 6X − 1. Nao tem raiz racional. Logo, e irredutıvel emQ[X]. Portanto, o polinomio mınimo de α tem grau tres e vale [Q(α) : Q] = 3.

Argumento final: se fosse possıvel fazer a trissecao do angulo de 60◦ comregua e compasso, entao α = cos 20◦ seria igualmente construtıvel. Istoacarretaria a existencia de uma extensao L ⊇ Q de grau d = 2n e tal queα ∈ L. Daı terıamos L ⊇ Q(α) ⊃ Q. Pela multiplicatividade do grau,seguiria que 3 e divisor de d. Assim nao da!!

14. exercıcios.

12. Leia em algum lugar a lista dos n-agonos regulares construtıveis e repro-duza em poucas linhas o argumento central.

Proximo: transcendencia.