Embed Size (px)
Citation preview
F-315 B - Mecânica Geral I1º semestre de 2017 (diurno)
Aulas às 3ªs e 5ªs das 8:00 às 10:00 na sala CB 06
Prof. Mário Noboru TamashiroDepartamento de Física Aplicada, prédio A-5, sala 7
ramal 3521-5339e-mail: [email protected]://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f315_mecgeral_i
Slides do prof. Antonio Vidiella Barranco: http://www.ifi.unicamp.br/~vidiella/aulas.html
Teoremas de conservação
Teorema trabalho-energia cinética
2
1
2
1
2
22
1
2
1r
r
rdFmvmv
Onde 2
2
1mvT é definida como energia cinética
Conservação da energia mecânica E
ErVmvrVmv 2
2
21
2
12
1
2
1 cte
Método da energia
Podemos escrever, em uma dimensão, por exemplo
ExVmv
)(2
2 m
xVEv
)(2
Para a posição teremos:
t
t
x
x
ttdt
m
xVE
dx
00
0)(2
Importante manter o sinal até considerar
as condições iniciais
Método da energia: força F constante em 1-D
Força F constante →V(x)=−∫ x0 dx′F(x′)=−Fx
E= 12mv2+V(x)= 1
2mv20+V(x0)
12m(v2−v2
0)=V(x0)−V(x)=F(x−x0)
v2(x)= v20+ 2F
m (x−x0)= v20+2a(x−x0)
dt= dx±
√v2(x)
= dx
±√
v20+2a(x−x0)
1a
√v2
0+2a(x−x0)∣∣∣x
x0= t− t0
v20+2a(x−x0)= [v0+a(t− t0)]2
x(t)= x0+v0(t− t0)+ 12 a(t− t0)2
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 5
Exemplo: Sistema massa-mola
(oscilador harmônico simples)
kxxF )(
Neste caso 2
)0()(2
0
kxdxkxVxV
x
Força elástica:
2)(
2kxxV Energia potencial elástica
zero do potencial → escolha
S pg. 52
Exemplo: oscilador harmônico (S pgs. 52–53)
V(x)= 12kx2, 1
2mv2(x)=E−V(x)=E− 12kx2
dt= dx±
√v2(x)
=√
m2E
dx
±√
1− k2Ex2
senθ = x√
k2E , dθ cosθ = dx
√k
2E
t=√
mk
θ(t)∫θ0
dθ′ cosθ′p1−sen2θ′
=√
mk (θ−θ0)
θ(t)=ωt+θ0, ω≡√
km →
S eq. (2.53)
x(t)=√
2Ek sen (ωt+θ0)
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 5
Análise do movimento:
energia potencial
V(x)
x
E
xm - xm
Pontos de
retorno, v = 0
Oscilador harmônico
V(x)
x
E0
E1
E2
E3
x1 x2 x3 x4 x5 x6
Equilíbrio
estável
Equilíbrio
instável
Potencial V(x): análise qualitativa
Considerações gerais
Expandindo V(x) em torno de um
ponto de equilíbrio estável x0
2
02
2
00
002
1)()( xx
dx
Vdxx
dx
dVxVxV
xx
Tomando 0)( 0 xV
e em se tratando de um ponto de equilíbrio, 0
0
xdx
dV
Assim, próximo a x0, 202
2
0
2
1)( xx
dx
VdxV
x
massa
mola
Fazendo x0 = 0 e kdx
Vd
x
0
2
2
2
2
1)( kxxV Obtemos
V(x)
x x0
Considerações gerais
Conclusão
Nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio estável
de um potencial V(x) qualquer, o movimento de uma
partícula será, com boa aproximação, um movimento
harmônico simples.
Potencial V(x): análise qualitativa
Procedimento:
1) Fazer o gráfico de , identificando os
pontos de equilíbrio.
2) Analisar o movimento para diferentes
condições iniciais: i) energia mecânica E +
sinal da velocidade inicial (equivalente à
velocidade inicial); ii) posição inicial. Verificar
em que situações o movimento terá um, dois,
ou nenhum ponto de retorno.
Obs: notar que devemos sempre obedecer
xxV )(
0 xVE
Problema
Um foguete de massa m está submetido à força
gravitacional devido à Terra (massa M):
a) Calcule a energia potencial gravitacional V(y), sendo y
a distância ao centro da Terra. Obs: escolha
convenientemente o zero da energia potencial. Faça um
gráfico de V(y) X y.
b) O foguete é lançado da superfície da Terra. Usando a
equação da conservação da energia mecânica, verifique
a existência de pontos de retorno (ou não) do movimento
para diferentes valores de energia mecânica E: i) E > 0; ii)
E < 0; iii) E = 0.
2)(
y
MmGyF
S pgs. 58/60
Partícula no campo gravitacional terrestre, S pgs. 58–60
F =−∇∇∇V(r)=−GMmr2 r̂, para r >RT (raio da Terra)
V(|r|)=V(r)=−GMmr
, escolha V(r →∞)≡ 0, T = 12
mv2
V r( )
E > 0
E < 0Tescape
RTTlimite
0r
ponto de retorno
potencial parabólicopara r < RT
rretorno
E< 0 : rretorno = GMm|E|
E= 0 : vescape(r)=√
2GMr
E> 0 : vlimite(r =∞)=√
2Em
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 5
Partícula no campo gravitacional terrestre, S pgs. 58–60
F =−∇∇∇V(r)=−GMmr2 r̂, para r >RT (raio da Terra)
V(|r|)=V(r)=−GMmr
, escolha V(r →∞)≡ 0, T = 12
mv2
V r( )
E > 0
E < 0Tescape
RTTlimite
0r
ponto de retorno
potencial parabólicopara r < RT
rretorno
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 5
