F 315 Mecânica Geral I

Prof. Antonio Vidiella Barranco

Departamento de Eletrônica Quântica (Prédio A-6)

Sala 218

Fone 3521-5442

c.e.: vidiella@ifi.unicamp.br

www: https://www.ifi.unicamp.br/~vidiella

Atendimento: Horário a ser definido

F315 – Mecânica Geral I – 2º semestre de 2019

Tópicos a serem abordados: três blocos

Cálculo vetorial (revisão); Mecânica Newtoniana; dinâmica do

ponto material; forças dependentes do tempo e da velocidade;

Cap. 1 do Marion (parcial); teoremas de conservação e forças

conservativas; Oscilador harmônico: simples, amortecido e

forçado; Principio de Superposição e forças impulsivas - Marion e

Symon.

Sistemas de partículas; rotação de um corpo rígido em torno de um

eixo fixo; Gravitação Universal – Symon e Marion.

Introdução ao cálculo variacional – Cap. 6 do Marion.

Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana – Cap. 7 do Marion

Bibliografia, Provas e Testes:

Provas

P1 – 17/09/19

P2 – 22/10/19

P3 – 28/11/19

Exame Final:

10/12/19

Livros texto:

• Classical Dynamics of Particles and Systems;

J.B. Marion, S.T Thornton, Saunders College Publishing, 5ª Ed.

• Mecânica;

Keith R. Symon, Ed. Campus, 5ª Ed.

Testes

T1 – 27/08/19

T2 – 10/10/19

T3 – 14/11/19

Listas de problemas:

Thornton/Marion

Cap 1: 9,10,13,24,28,31,32,33,41

Cap 2: 3,9,12,15,19,21,22,24,32,34,38,40,42,43,47,52,53

Cap 3: 1-4,9-14,18,19,28,31,35,36,39,42,45

Cap 5: 2-7,10,13-16,20,21

Cap 6: 2-4,8,10, 14,15

Cap 7: 2-7,9-12,14,15,21-32,34,38-41

Cap 9: 1,3,5,9,21,23, 55

Cap 11: 1,4,6,11,20

Symon

Cap 4: 3-7,11 (tem um expoente errado no livro)

Cap 5: 5,7,10,15, 22, 24

Mecânica

Importância da Física como ciência natural

Aborda praticamente todos os fenômenos da

natureza em diversas escalas.

Importância da Mecânica para a Física

Primeira Teoria Física.

Base para outras teorias:

Mecânica Quântica → teoria do mundo

sub-microscópico

Mecânica Newtoniana

I. Sistema axiomático

I. Estabelecimento de um sistema de referência

(e.g., sistema de coordenadas cartesiano)

II. Grandezas mensuráveis: posição, tempo massa

e força

II. Axiomas – Leis do movimento de Newton

Proposições a serem verificadas pela

experimentação

III. Limitação: válida para velocidades << c (velocidade da luz no vácuo c = 3 x 108 m/s)

Representação algébrica de vetores: componentes

Coordenadas Cartesianas

zyxzyx AAAzAyAxAA ,,ˆˆˆ

z

A

y

x

Ax

Ay

Az

módulo de A

222

zyx AAAA

Álgebra vetorial

Algumas propriedades dos vetores:

zzyyxx

zzyyxx

zyx

BABABABABAiii

BABABABAii

cAcAcAAci

,,)()

,,)

,,)

Produtos:

BA

Produto escalar

zzyyxx BABABABABA cos

B

A

θ

Propriedades:

CABACBA

i)

ii)

iii)

ABBA

2

AAA

Álgebra vetorial

BA

Produto vetorial

zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

Propriedades:

CABACBA

i)

ii)

iii)

ABBA

0 AA

senBABA

B

A

θ

BA

BABA

,

Álgebra vetorial

Análise vetorial

Diferenciação de vetores:

zdt

dAy

dt

dAx

dt

dA

t

tAttA

dt

Ad zyx

tˆˆˆ

)()(lim

0

i)

ii)

iii)

Propriedades:

dt

Bd

dt

AdBA

dt

d

dt

AdfA

dt

dfAf

dt

d

Adt

BdB

dt

AdBA

dt

d

dt

BdAB

dt

AdBA

dt

d

)( ttA

)(tA A

Sistema de coordenadas cartesiano

),,(ˆˆˆ zyxzzyyxxr

Vetor posição

Mecânica Newtoniana

r

zyx ˆ,ˆ,ˆ

Vetores unitários (versores)

Também representados por

321ˆ,ˆ,ˆou,, eeekji

Sistema de coordenadas cartesiano (1D)

Velocidade (taxa de variação da posição)

)()(

txdt

tdxvx

Aceleração (taxa de variação da velocidade)

)()()(

2

2

txtvdt

xd

dt

dx

dt

d

dt

tdva x

xx

Mecânica Newtoniana

x(t) posição como

função do tempo x

x(t)

xtxtr ˆ)()(

Coordenadas cartesianas: x,y

yxyyxxr ,ˆˆ

y

r

x x

y

Vetor posição

Velocidade

ydt

dyx

dt

dx

dt

rdv ˆˆ

Aceleração

ydt

ydx

dt

xd

dt

rd

dt

vda ˆˆ

2

2

2

2

2

2

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

yrxrr ˆsenˆcos

y

r

θ

x x

y

Vetor posição

Coordenadas polares: versores

yxr

rr ˆsenˆcosˆ

x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

yx ˆcosˆsenˆ

0ˆˆ,1ˆˆˆˆ rrrObs: rrr ˆ

Vetor posição:

ˆˆ

d

rdr

d

dˆ

ˆ

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

dt

rdrr

dt

dr

dt

rdv

ˆˆ

y

r

θ

x x

y

Vetor velocidade

x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

ˆˆ

rrrv Notação:

fdt

fdf

dt

df 2

2

;

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

dt

drrr

dt

rdrr

dt

rd

dt

vda

ˆˆˆˆ

ˆ

y

r

θ

x x

y

Vetor aceleração x

y

yxr

ry

rx

arctg

sen

cos

22

r

ˆ2ˆ2

rrrrra

Mecânica Newtoniana

Cinemática no plano (2D)

Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃

Leis do

movimento

Mecânica Newtoniana

Publicado em 1687

Mecânica Newtoniana

Leis do movimento:

I. Um corpo material permanece em repouso ou

em movimento retilíneo uniforme a menos que

uma força resultante atue sobre o mesmo; v cte.

II. A aceleração de um corpo é proporcional (massa

inercial m) e tem a mesma direção da força

resultante.

III. Se um corpo A exercer uma força FBA sobre

outro corpo B, o corpo B exercerá uma força FAB

sobre A. Essas forças terão mesmo módulo e

direção, mas sentidos opostos (ação e reação).

2ª Lei requer conceitos de massa e força

Massa inercial m: conceito associado à resistência, de um corpo

material, à mudança do seu “estado de movimento” (velocidade)

causada por alguma interação (força). Quanto maior a massa, menor

a taxa de variação da velocidade do corpo (aceleração, quantidade

vetorial) para uma dada força. A massa é uma quantidade escalar.

Força F: Interação que modifica, o “estado de movimento” (velocidade)

de corpos materiais. Quanto maior a força, maior a taxa de variação da

velocidade do corpo (aceleração). A força é uma quantidade vetorial.

Mecânica Newtoniana

am

F

ação

resistência

Mudança de

velocidade

2ª Lei de Newton

dt

vmd

dt

pdFR

)(

amdt

vdm

dt

vmdFR

)(Força resultante

i

iR FF

Mecânica Newtoniana

Grandeza importante: momento linear vmp

2ª Lei de Newton

m

Fa

Se , por quê, sob a força da gravidade, corpos

com massas diferentes caem com a mesma aceleração?

Mecânica Newtoniana

O motivo é que e portanto, como

mgR

mMGF

T

gT

G 2

gmm

2

T

T

R

MGg

Não depende

da massa do

corpo!

massa gravitacional

Em geral, a força pode ser função de x, v e t

Movimento unidimensional

2

2

),,(dt

xdmtvxFx

A resolução do problema de

mecânica consiste em encontrar

a solução 𝑥(𝑡) (única) da equação

diferencial acima dadas as condições

iniciais 𝑥(𝑡 = 0) ≡ 𝑥0 𝑒 𝑣(𝑡 = 0) ≡ 𝑣0.

𝑥(𝑡)

t

𝑥(0)

Calcular, a partir da 2ª lei de Newton, a posição de uma

partícula como função do tempo, x(t), para o caso em que a

força resultante sobre um corpo de massa m seja nula.

Condições iniciais:

00 0,0 vvxx

Problema