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Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa
ESTÁTICAForças e Equilibrio
Ano Lectivo 2009-2010Mónica Cruz
3. Resultante de um Sistema de Forças Concorrentes
Duas forças F1 e F2 concorrentes num ponto, podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. A força R é designada por Resultante e obtém-se somando as forças F1 e F2.
R
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
3.1 Lei do Paralelogramo
Lei do Paralelogramo A resultante de duas forças complanares não paralelas é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas.
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Analiticamente a adição das forças F1 e F2 faz-se recorrendo ao cálculo vectorial: ( 1 ) RFF 21
Considerando o referencial ortonormado xy representado na Figura onde o eixo x é paralelo à direcção da força F1 tem-se:
( 2 ) xx2x1 RFF
yy2y1 RFF
Sendo o eixo x paralelo a F1 tem-se:
1X1 FF 0F y1
( 3 )
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Elevando ao quadrado os dois membros das equações ( 4 ):
2221
222
21 cosRcosFF2cosFF
22222 senRsenF
Adicionando ordenadamente as equações anteriores tem-se:
222221
222
222
21 senR +cosRcosFF2senFcosFF
Simplificando:2
2122
21 RcosFF2FF ( 5 )
Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) obtém-se:
cosRcosFF 21(na
direcção x) RsensenF2 (na direcção y)
( 4 )
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Considere-se agora o triângulo OAB cujos lados OA e AB são conhecidos. Aplicando o Teorema dos Cosenos para a determinação do lado OB obtém-se:
)180cos(ABOA2ABOAOB222
Como cos)180cos(
a equação ( 6 ) pode simplificar-se:
cosABOA2ABOAOB222
Ora sendo,
ROB 1FOA 2FAB
a equação ( 7 ) pode reescrever-se na seguinte forma:
cosFF2FFR 2122
21
2
Logo pode concluir-se da igualdade das equações ( 5 ) e ( 8 ) que a diagonal do paralelogramo desenhado com as forças nos lados adjacentes é a resultante dessas forças em intensidade, direcção e sentido.
( 6 )
( 7 )
( 8 )
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3.2 Triângulo de Forças
Princípio do Triângulo de Forças Desenhando duas forças complanares de forma sequencial, isto é, fazendo coincidir o final da primeira força com o início da segunda, o vector que une as extremidades livres das forças representa a resultante.
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3.3 Polígono de Forças
O Principio do Triângulo de Forças pode ser generalizado para qualquer número de forças concorrentes num ponto, passando a designar-se Polígono de Forças, já que a figura geométrica que se obtém não é um triângulo mas sim um polígono.
O Triângulo de Forças não é mais que um caso particular do Polígono de Forças quando se pretende calcular a resultante de duas forças concorrentes.
R
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Quando se pretende calcular a resultante não de duas mas de n forças concorrentes num ponto, recorrendo à regra do paralelogramo, teria que se desenhar n-1 paralelogramos que correspondem ao cálculo de n-1 resultantes, n-2 são resultantes parciais e só a que se obtém no último paralelogramo corresponde ao pretendido, ou seja, à resultante do sistema de forças.
R
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Com o Método do Polígono de Forças, as forças são desenhadas sequencialmente, ou utilizando uma expressão anglo-saxónica “head to tail”, e a resultante do sistema de
forças obtém-se desenhando a linha que une a extremidade inicial da primeira força à extremidade final da última força.
Com este método obtém-se o resultado pretendido sem necessidade do cálculo de resultantes parciais.
R
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RPlano das Acções – Regra do Paralelogramo
Plano das Forças – Polígono de Forças
R
R
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
F1
F2
F3
45º
30º
30ºF1=4.5kNF2=5.0kNF3=3.0kN
Calcule a resultante do sistema de forças representado na figura: a) No plano das acções – Paralelogramo de Forças b) No plano das forças – Polígono de Forças
Exercício de Aplicação
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
F1
F2
F3
45º
30º
30ºF1=4.5kNF2=5.0kNF3=3.0kN
R1-2
Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
R1-2-3
Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças
F1
F2
F3
45º
30º
30ºF1=4.5kNF2=5.0kNF3=3.0kN
R1-2
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
R1-2
R1-2-3
Resolução do Exercício - Polígono de Forças
F1
F2
F3
R1-2-3
F1
F2
F3
45º
30º
30º
R1-2
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