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UAIgUNIVERSIDADE DO ALGARVE

PROVA DE INGRESSO PARA AVALIAÇÃO DE CAPACIDADE PARA FREQGÊNCIADO ENSINO SUPERIOR DOS MAIORES DE 23

Faculdade de Economia (FE)

Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT)

Instituto Superior de Engenharia (ISE)

2018 / 2019

Componente Especifica de Matemática para ingresso nas licenciaturas em: Economiae Gestão de Empresas (FE); Engenharia Informática e Gestão Marinha e Costeira (FCT);Engenharia Civil, Engenharia Elétrica e Eletr6nica, Engenharia Mecânica e Tecnologia eSegurança Alimentar (ISE) e nos Cursos Técnicos Superiores Profissionais de Energias Reuováveis, Instalações Elétricas Domótica e Automação, Manutenção e Reabilitação de Ediftrios e Infraestruturas, Segurança e Higiene Alimentar, Sistemas e Tecnologias de Informação,Tecnologias e Manutenção Automóvel (ISE)

INSTRUÇOES PARA A REALIZAÇAO DA PROVA

Os candidatos aos cursos de Economia e de Gestão de Empresas devem responderao grupo IV e não responder ao grupo III. Os outros candidatos podem escolherentre os grupos III e IV e responder só a um deles. Se apresentar respostas aos doisgrupos, independentemente das cotações parciais, apenas serão cotadas as respostas ásquestões do grupo III.

• Não é permitido o uso de qualquer tipo de equipamento eletrónico ou informático.

• O formulário encontra-se nas páginas 10 e 11 deste enunciado.

• As cotações das perguntas estão na página 9.

• O exame consta de perguntas abertas, semi-abertas e de escoHia múltipla que deverãoser todas respondidas na folha de respostas.

• Nas perguntas abertas deve apresentar todos os cálculos efetuados,

• Nas perguntas semi-abertas deve transcrever para a tolha de respostas toda a frasedepois de completada de modo a obter proposições verdadeiras.

• Nas perguntas de escolha máltipla deve transcrever para a folha de respostas apenaslima das opções A, B, C. D ou E.

• Perguntas abertas: 4, 5. 9. 10. 13. 14. 15. 16.

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• Perguntas semi-abertas: 1, 2, 6.

• Perguntas de escolha múltipla: 3, 7, 8, 11, 12.

• Nas perguntas de escolha múltipla, cada resposta errada desconta 25% do valor dapergunta.

• Nas perguntas semi-abertas e abertas não hã descontos.

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GRUPO 1

1. Em cada alínea use um dos simbolos e,Ø. C, . O. ou = de modo a obter umaafinnação verdadeira.

(a) {5}

_____

{1, 2,3,4, 5}

(b) 7 {xiR:x2=49}

(c) í—2.5’ {xER:x —3}

(d) 2+i {xcC:i=v}

(e) 321

____

{xEiR:v<2O}

2. Em cada alínea use um dos sfmbolos =, < ou > de modo a obter uma afirmaçãoverdadeira.

1 1(a)

___

—

(b) g_2

____

1

(c)S -2II 2

(d) -+-

___

23(e) 1O O

3.

(1)2

ré:

4

4. Simplifique o mais possível a seguinte expressão algébrica

3 2 x 2

x — 2+

3 + 6+

4 — x2+ 32

— 12

5. Escreva na forma a + bi2(1 — i) — i’8 —2

1 — 2i

GRUPO LI

6. Considere a função f A —* B representada graficamente por

dadeiras

(a) O donünio de f é o conjunto .4 = e o contradomínio é o conjunto

(b; f(2) = e{se3:f(x)=2}={ f.(se necessário i idique x—alores aproximados)

(e) O iiiínirrio de j é para o nihibxiizarite

(d) Sobre o seu domínio f é uma fiiiwão (injertiva/não miectwa)

(e) é unia função

— —6

5

4

3

Nas alíneas de (a) a (e) deve completar as &ases de modo a obter afirmações ver-

(não rnow5toxua/crescente/decrescente em sentido estrito! lato) no intervalo]— 1. 2:

7. O domínio da função f

LpJ = 1—1, 1[

Df=R

t+ ‘/-—x( _xX)

log(x2+l)e

S. A inversa da função f definida pela tabela

é (lada por

xl 2 345 6—5 1 3 11 10

x —5 —1 3 4 10 11f—’(x) 2 1 4 3 6 5

x 5 —1 3 4 10 11f1(x) 1 2 3 4 5 6

x 1 23456P—I( 1 1 1 1 1 1, 5 1 3 11 10

.v 1 2 3 4 .5 6f—1(x) 10 11 3 4 —5 —1

não existe

9. Fatorize o polinõmio p(x) = x4 + 6x—9x2—94x — 120 sabendo que —2 e —3 são duasdas suas raízes.

10. Considere a função real de variável real f (x) = x2 + z:

(a) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.(b) Calcule os extrenios (mininúzante(s) e maxiniizante(s)) locais da função f.(e) Qual o sentido da concavidarje de f no ponto de abcissa 1?

o

6

11. A progressão geométrica u, que tem como primeiro termo 10 e razão -3 é

ii,. = 13 — 3n

= 10 x (3)TL—1

ti,, = 10 ÷ 3n

u,,=7±3n

u,1=—7—3n,

GRUPO III

3ii- -

12. No intervalo 0. a equaçao taw .r = 1 tem:

uma solução

duas soluções

três soluções

quatro soluções

nao tem soluções

13. Considere a função f, definida no conjunto ] —. [, por:

f= 1

tanx+1 + srn x

(a) Mostre que f(r) = cos £

(b) Sabendo que cos — a) = calcule j (a)

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14. Na figura estão representados dois triângulos: íABC} e [ADEI.

A

. A área do triângulo [ABC1 é igual a 31m.

Sabendo que:

• o triângulo [ABCI é retângulo em

• o triângulo [ADEJ é retângulo em

• BC=4m;

• ED=6rn:

• EAD=17’:

c

Determine BD, apresentando o resultado em metros, arredondado às décimas. Noscálculos intermédios, sempre que efectuar arredondamentos, deve conservar urna casa

4m

E 6m D

decimal.

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GRUPO IV

15. Numa investigação socioeconómica sobre bens de conforto, 200 entrevistados foramquestionados sobre o número de televisões que tinham em casa. Os resultados obtidosforam:

N° de televisões Frequência absoluta acumulada do n° de entrevistados0 101 702 1403 1804 200

(a) Construa a tabela de frequências.

(b) Calcule as medidas de tendência central da distribuição e conclua sobre a assimetria da mesma.

(e) Elabore o gráFico de barras da distribuição, com base nas frequências absolutassimples.

16. Numa caixa há 10 bolas, 5 são verdes, 3 são brancas e 2 são amarelas. São retiradasda caLca, aleatoriamente, 2 bolas, sem reposição. Deternune a probabilidade de:

( a) As bolas serem da mesma cor.

(b) As bolas serem de cores diferentes.

(e) A primeira bola ser amarela.

FIM

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COTAÇÕESPergunta Valores

1(a) 0.2

1(b) 0.2

1(c) 0.2

1(d) 0.2

1(e) 0.2

2(a) 0.2

2(b) 0.2

2(c) 0.2

2(d) 0.2

2(e) 0.2

3 1.0

4 1.0

5 1.0

6(a) 0.3

6(b) 0.3

6(c) 0.3

6(d) 0.3

6(e) 0.3

7 1.0

8 1.0

9 1.5

lO(a) 1.5

10(b) 0.8

10(c) 0.7

11 1.0

12 1.5

13(a) 1.5

13(b) 1.5

14 1.5

15(a) 1.5

15(b) 1.0

15(c) 0.5

16(a) 1.0

16(b) 1.0

16(c) 1.0

Derivadas

FORMULÁRIO

10

Se x é uma variável: Se f é uma função:

(3;a)’ = e (fa)’ = af_1f’, a E

( e’)’ = e’ (ef)’ =

(a’)’ = a’ In a, a e (a’)’ = a1.In a]’, a E R

(lux)’ = (Inf)’=

(sin x)’ = cos x (sin f)’ = cos f.f’

(cos e)’ = — sin x (cos f)’ = — sin f.f’

, , 1(tanx) = (tanf) =cos- x cos- f

Para a E R\(0}, —a =sin x

tanx =cos x

C052 3; + x = 1

13;a

Regras de derivação

Soma (f+g)’=f’+g’

. 1 ,Produto (J g) =fg+fg

Produto escalar (kf)’ = )cf’, k E R

. /R’ fg—fg’Cociente i — = 2\gj g

Função composta (f o g)’ = f’ (g) g’

cos (x + y) = cos e cos — sin x sin q

cos (x—

y) = cosi cos y + sin e sin y

sin (x + y) = cosi sin y ± cos y sin xsin (e

—y) = cos y sin x — cos x sin y

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Alguns valores das funções trigonométricassin(x) cos(x) tan(x)

1 0.01745 0.999 85 0.017460.03490 0.99939 0.034920.05234 0.998 63 0.05241

T 0.06976 0.997 56 0.069930.08716 0.99619 0.08749

E 0.104 53 0.994 52 0.10510.12187 0.99255 0.12278

K’ 0.139 17 0.99027 0.11054T 0.15613 0.98769 0.1.58381Õ 0.1736.5 0.984 81 0.176 331T. 0.19081 0.98163 0.19438ii 0.20791 0.97815 0.21256ii 0.22495 0.97437 0.23087ii 0.24192 0.970 30 0.249 331T 0.25882 0.96593 0.26795J 0.275 64 Õ.961 2Wi0.286 75flT 0.29237 0.9563 0.30.573JW 0.30902 0.9.5106 0.32492TW 0,32557 0.94552 0.34433fr’ 0.342 02 0.939 69 0.363 97r 0.358 37 0.933 58 0.383 86i 0.3746fO.92718_1 0.404 03

0.39073 0.920.5 0.42447‘T 0.40674 0.913.5.5 0.44523

0.42262 0.90631 0.466310.43837 0.89879 0.48773

27 0.45399 0.89101 0.50953W 0.46947 0.88295 0.53171‘W 0.48481 0.874 62 0.5.5431.. 0.5 0.86603t0.5773.5

31 0.51504 0.85717 0.60086T 0.529 92 0.848 05 0.624 87T 0.54464 0.83867 0.64911T 0.5.5919 0.829 04 0.6745135 0.57358 0.819 1.5 0.700 2136 0.58779 0.80902 0.7265437 0.60182 0.798 61 ( 0.75355li 0.61.566 0.78801 0.78129T 0.62932 0.7771.5 0.80978iW 0.64279 0.76604 0.83910ir 0.6.5606 0.75471 0.8692942 0.66913 0.74314 0.900 4iT 0.68200 0.73135 0.932.5244 0.69466 0.71934 0.96.56945 0.70711 0.70711 1.0

“E’ sin(x) cos(x) tan(x)46 0.71934 0.69466 1.035547 , 0.73135 0.68200 1.0724

iW 0.74314 0.66913 1.1106iW 0.75471 0.65606 1.15043Õ’ 0.76604 0.642 79 1. 1918f 0.77715 0.62932 1.2349T 0.78801 0.61566 1.2799SW 0.79864 0.60182 1.327T 0.80902 0.58779 1.376455, 0.81915 0.573 58 1. 428156 0.82904 0.55919 1.4826

TT’ 0.83867 0.54464 1.5399W 0.84805 0.52992 1.600359 0.85717 0.515 04 1. 664360 0.86603 0.5 1.7321‘T 0.8746’2 0.48481 1.80462 0.882 9.5 0.46947 1.8807T 0.89101 0.45399 1.9626T 0.89879 0.43837 2.0503r 0.906 31 0.422 62 2. 1445‘F 0.913.35 0.40671 2.2460‘T 0.9205 0.39073 2.355968 0.92718 0.37461 ‘ 2. 475169 0.93358 0.35837 2. 6051

tW 0.93969 0.34202 2.74757F 0.94552 0.32557 2.90427T 0.95106 0.30902 3.07777W 0.9563 0.29237 3.270974 0.96126 0.27.564 3.4874

t3— 0.96593 [ 0.2.5382 3. 732 176 0.97030 0.24192 4.010877 0.97437 0.22495 4.331578 0.97815 0.20791 4.7046t” 0.98163 0.19081 .5.1416i 0.95181 0.173 6.5 .5.6713Eï 0.98769 0.15643 6. 3138

0.990 27 0.13917 7. 11540.992.55 0.12187 8.1443

T 0.99452 0.10453 9.5144T 0.99619 0.08716 11.43

0.99756 0.06976 14.3010.998 63 0.05234 19.081

88 1 0.99939 0.03490 28. 63659 0.99985 0.0174.5 57. 29090 1.0 0.0