FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DOPORTO

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e deComputadores

ANALISE MATEMATICA 1

PARTE 1: EXERCICIOS DE REVISAO

Maria do Rosario de Pinho e Maria Margarida FerreiraSetembro 2007

I Conceitos de Logica

1. Sejam P e Q duas proposicoes. Complete atabela com F para falso e V para verdadeiro.

P Q P ∧ Q P ∨ Q P =⇒ Q P ⇐⇒ QV VV FF VF F

2. Considere o operador logico ∧. Pronuncie-sesobre o valor logico da frase x > 13 ∧ x < 27em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36.

(b) x = 27.

(c) x = 20.

(d) x = 0.

3. Considere o operador logico ∨. Pronuncie-sesobre o valor logico da frase x > 13 ∨ x < 27em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36.

(b) x = 27.

(c) x = 20.

(d) x = 0.

4. Sabendo que A =⇒ B e uma afirmacao ver-dadeira e que B e uma afirmacao falsa, in-dique o valor logico de A.

5. Sabendo que A =⇒ B e uma afirmacao ver-dadeira e que B e uma afirmacao verdadeira,indique o valor logico de A.

6. Sabendo que A ⇐⇒ B e uma afirmacao ver-dadeira e que B e uma afirmacao falsa, in-dique o valor logico de A.

7. Sabendo que A ⇐⇒ B e uma afirmacao ver-dadeira e que B e uma afirmacao verdadeira,indique o valor logico de A.

8. Mostre que nao existe um numero naturalmaior que todos os outros numeros naturais.

9. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q saonumeros pares, entao pq tambem e par.

10. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q saonumeros ımpares, entao pq tambem e ımpar.

11. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e par, entaopq tambem e par.

12. Mostre que se p ∈ N e p2 e divisıvel por 5,entao p e divisıvel por 5.

13. Mostre que nao existe qualquer numeroracional r ∈ Q tal que r2 = 5.

14. Sendo a e b dois numeros racionais tais queb > a, mostre que existe pelo menos umracional r tal que a < r < b.

15. Negue as seguintes proposicoes:

(a) A =⇒ B.

(b) A ∧B.

(c) ∀ε > 0 ∃x ∈ A : x < a + ε.

16. 1 Num determinado planeta o clima seguea seguinte regra: se chove um dia, tambemchove no dia seguinte.

(a) No dia em que o Ze chegou a esse plan-eta nao choveu. Quais das seguintesconclusoes pode fazer?

i. Nunca choveu nesse planeta.ii. Nunca mais chovera no planeta.iii. No dia anterior a chegada do Ze

nao choveu.iv. Vai chover no dia seguinte a

chegada do Ze.

(b) Choveu no dia em que o Ze chegou aesse planeta. Quais das seguintes con-clusoes pode fazer?

i. No planeta chove todos os dias.ii. Choveu no dia anterior a chegada

do Ze.iii. Vai chover no dia seguinte a

chegada do Ze.iv. Nesse planeta ira chover em todos

os dias depois da chegada do Ze.

1Exemplo retirado do site http://www.math.utsc.utoronto.ca/calculus/Redbook/

2

II Revisao 1

1. Calcule

(a) sin(π2 ).

(b) sin(π3 ).

(c) sin(π6 ).

(d) sin(3π + π3 ).

(e) cos(π3 ).

(f) cos(π6 ).

(g) cos(4π + π3 ).

(h) cos(5π + π6 ).

(i) sec(π3 ).

(j) csc(2π3 + π

3 ).

(k) tan(0).

(l) sin(π4 ).

(m) cos(π4 ).

(n) tan(π4 ).

(o) sin(120π2 ).

(p) cos(−20π2 ).

(q) cot(−20π2 ).

2. Sejam a, b ∈ R e k ∈ Z. Complete de formaa obter expressoes verdadeiras:

(a) cos(a− π) =.

(b) cos(a + 2kπ) =.

(c) sin(a− π) =.

(d) sin(a + 2kπ) =.

(e) sin(a + b) =.

(f) cos(a + b) =.

(g) sin(a− b) =.

(h) cos(a− b) =.

3. Mostre que:

(a) sec2(x) = tan2(x) + 1.

(b) cot2(x) = csc2(x)− 1.

(c) cos2(x) =1 + cos(2x)

2.

(d) sin2(x) =1− cos(2x)

2.

4. Sejam a, b ∈ R. Mostre que:

(a) |a + b| ≤ |a|+ |b|.(b) |a| − |b| ≤ |a− b|.(c) | |a| − |b| | ≤ |a− b|.

5. Calcule

(a)13− 3

15+−25

=

(b) −2 +131

+3993

=

(c) 5× 102 + 2× 10 + 3× 100 + 5× 10−1 +4× 10−2 =

6. Complete as seguintes afirmacoes usando ossımbolos ⊂, ⊃, ∈, /∈, ∀.

(a) N . . . Z.

(b) 0 . . . N.

(c) . . . r ∈ Q, r ∈ R.

(d) Q . . . Z

7. Considere o conjunto A =n−√

3, π,−e,√

12, 13 ,√

100,−π2 ,√−2

o.

(a) Determine o conjunto A ∩ R.

(b) Determine o conjunto A ∩Q.

(c) Determine o conjunto A ∩ N.

(d) Determine o conjunto {x ∈ A : x /∈ R}.

8. Considere o conjunto P = {a ∈ R : a > 0}.Complete as seguintes frases de forma aobter afirmacoes verdadeiras.

(a) Se a e b sao reais tais que b − a ∈ P ,entao . . ..

(b) Se a e b sao reais tais que ab ∈ P , entao. . ..

(c) Se a, b e c sao reais tais que b − c ∈ Pe c− a ∈ P , entao . . ..

(d) Se a e b sao reais tais que −ab ∈ P ,entao . . ..

3

III Revisao 2

1. Calcule

(a) A =432× 7

5× 5

8,

(b) A = 5× (4 + 3), B = 153×4 , C = 15

5+5 .

(c) A = 12 + 1

3 , B = 23 ×

35 ,

(d) A =3456

, B = − 3√

36.

(e) A = 52+(−3)3, B = 4−1+(−2)−3×50.

(f) A = 22+3, B =(32)3.

(g) A = (2 + 3)−2, B =(

1545

)−2

.

(h) A =97

3, B =

478

.

(i) A =√

(−4)2, B = 3√

42 + (−2)3.

(j) A =√

9−1, B =

√4

9−1.

(k) A =√

32 + 42, B = 3√

(−3)6.

(l) A = 813 , B = (−8)

13 , C = 4

32 .

(m) A = 8−13 , B = (−8)

−13 , C = 4

−32 .

(n) A = 0!, B = 3!, C = 5!.

(o) A = 20!18! , B =

(108

), C =

(102

).

(p) B = e5x

ex ln e

2. Determine as raızes reais das seguintesequacoes (x ∈ R):

(a)x + 4

x=

x + 9x + 3

.

(b)1

x2 + 9=

1x2 + 7x + 2

.

(c)2

x + 2+

4x2 + 4

=1

x + 2.

3. Determine as raızes reais das seguintesequacoes (x ∈ R):

(a) x2 + 1 = 0.

(b) x− 1 + (x2 − 10)(x− 1) = 0.

(c) 4(x− 3) + 6x + 12 = 3x.

(d) 6x− 3(3 + 2x) = 5.

(e) x2 − 3x− 3 = 0

(f) (x− 2)2 = x− 3.

(g) x2 + 3 = 0.

(h) 3x2 + 9x + 4 = 0.

(i) x2 −√

2x + 4/9 = 0.

4. Determine uma equacao do segundo grauque admite raızes:

(a) 2 e 3.

(b) m e 1/m ( m 6= 0).

(c) a e −a.

(d)√

8 e√

2.

5. Determine uma equacao do segundo grau cu-jas raızes sejam:

(a) simetricas das raızes de 3x2+5x−2 = 0.

(b) a soma e a diferenca das raızes dex2 − 5x + 6 = 0.

6. Determine a ∈ R tal que a equacao ax2 −(2a + 1)x− 2 + a = 0 tenha

(a) duas raızes reais diferentes.

(b) uma raiz real dupla.

(c) duas raızes reais simetricas.

7. Determine as raızes reais das seguintesequacoes (x ∈ R):

(a)x

2+

2x

= 2.

(b)x

x + 1+

x + 1x + 2

= 1.

8. Resolva as seguintes equacoes (x ∈ R):

(a) x +√

x− 1 = 2x− 1.

(b)√

8x + 9− 3x = 1− x.

(c) x−√−x2 + 2 = 1.

(d) 1 +√

1 + x = 3−√

x

(e)√

x + 2−√

x− 1 =√

2x− 3.

9. Resolva as seguintes equacoes (x ∈ R):

(a) |x− 2| = 3.

(b) |2x + 4| = 5.

(c) |5x− 10| = −1.

10. Determine a ∈ R tal que:

(a) x2 + 4x + a > 0, ∀x ∈ R.

(b) x2 + (1− 2a)x− a2 > 0, ∀x ∈ R.

4

11. Resolva cada uma das seguintes inequacoes(x ∈ R):

(a) 6x < 4 + 10x.

(b) x2 − 4x + 3 > 0.

(c) x2 + 1 > 3x− 1.

(d) x2 − 82 > x2 − 3x.

(e) x+13−4x < 1.

(f) x(2x + 1)− 2 > 4x2 + 32(2x− 1).

(g)1

x− 1<

12.

(h)1x

>x + 1x− 1

− 1.

(i)1x≥ x + 1

x− 1− 1.

(j)x2 − x− 2x2 + x + 2

< 0.

(k)x2 − 5x + 6x2 − x + 2

< 0.

(l)x2 − 5x + 6x2 − x + 2

≥ 0.

(m)(x− 1)(x− 2)(x− 3)

(x + 1)(x− 5)< 0.

(n) 1x + 1

1−x ≥ 0.

(o)5x2 − x

2+ x <

3x2 − 23

.

12. Resolva cada uma das seguintes inequacoes(x ∈ R):

(a) |x− 1| < 2.

(b) |1− x| > 2.

(c) |x2 − 2x + 1| < 0.

(d) |(x− 1)(2− x)| > 0.

13. Simplifique as seguintes expressoes:

(a)4∑

i=2

(axi +bxi−2) +3∑

i=1

(axi−1 +bxi+1)

(b)(

4x− 52

+13

)(13x− 1

)(c) (x2 − 9) : (x− 1)

14. Factorize as seguintes expressoes:

(a) x3 + x2 + x

(b) 3(x− 4)− (x− 4)2

(c) y2 − 4y + 4− 2(y − 2)

(d) a4 − a2

15. Simplifique as expressoes:

(a)t2 + 3t

t3 + 5t

(b)(x + 1)3 − 3x(x + 1)2

(x + 1)6

(c) sin (3π − a) + cos (a− 7π) +

tan (a− 9π

2) + cot (π + a)

16. Calcule a, b, c, d e g, reais tais que a(x−d)2−b(y − g)2 − c =

12x2 − y2 − 2x− 2y

17. Calcule A,B e C tais que

(a)5x2 − 2x− 1

(x + 1)(x2 + 1)=

A

x + 1+

Bx + C

x2 + 1

(b)1

x(x− 3)(x + 3)=

A

x+

B

x− 3+

C

x + 3

5

IV Geometria no plano

1. Determine a equacao da recta r:

(a) que tem declive 1 e passa no ponto(0, 0).

(b) que tem declive 1 e passa no ponto(0, 2).

(c) que tem declive −1 e passa no ponto(0, 0).

(d) tem declive 2 e passa no ponto (1, 2).

(e) passa nos pontos (2, 1) e (−1, 3).

(f) passa pelos pontos (3, 2) e (6, 1).

(g) que tem declive −3 e passa pelo ponto(0, 1).

(h) tem declive −2 e passa no ponto (1, 2).

(i) tem declive 1/2 e passa no ponto (1, 2).

(j) que passa pelos pontos (0, 1) e (0,−2).

2. Esboce o grafico da recta dada pela equacao:

(a) y = −3x.

(b) y = −3x + 1.

(c) y + 3x = 0.

(d) y + 3x = −1.

(e) 2x− 1 = 0.

(f) y − 4x = −2.

(g) 2x = 3y + 1.

(h) y + x = 0.

(i) x− y − 7 = 0.

3. Considere a recta r de equacao x + y = 0.

(a) Determine a equacao da famılia de rec-tas perpendiculares a recta r.

(b) Determine a famılia das rectas parale-las a r.

4. Determine a equacao da recta que e paralelaa recta y + 2x = 1 e passa no ponto (1, 1).

5. Determine a equacao da recta que e perpen-dicular a recta y + 2x = 1 e passa no ponto(−1,−1).

6. Determine a equacao da recta que e paralelaa recta 3y − 2x = 0 e passa no ponto (5, 1).

7. Determine a equacao da recta que e perpen-dicular a recta y − 7x = 7 e passa no ponto(1, 1).

8. Indique o centro e o raio da circunferenciacuja equacao e a seguinte:

(a) x2 + y2 − 4x− 2y = 4(b) x2 + y2 + 2x = 0(c) x2 + y2 − x = 0(d) 9x2 + 9y2 − 6y − 8 = 0

9. Determine uma equacao da circunferencia

que tem centro em (2,−1/2) e raio√

22

.

10. Para que valores de a ∈ R, a equacaox2 + y2− 2x+6y−a = 0 define uma circun-ferencia?

11. Verifique que a circunferencia representadapela equacao x2 + y2 − 2x + 9y = 0 inter-secta ambos os eixos coordenados e indiqueem que pontos.

12. Determine os pontos de interseccao da cir-cunferencia (x − 3)2 + (y − 1)2 = 25 com arecta x− 3y + 5 = 0.

13. Represente no plano, o conjunto de pon-tos que satisfaz cada uma das seguintes in-equacoes.

(a) (x + 3)2 + (y + 2)2 ≥ 4

(b)(

x +13

)2

+(

y +23

)2

≤ 1

14. Verifique se o ponto (3,−2) e interior, ex-terior ou esta sobre a circunferencia deequacao (x + 2)2 + y2 = 16

15. Escreva a equacao da famılia de circun-ferencias de centro em (1,−2).

16. Determine uma equacao da famılia de cir-cunferencias que passa por (−3, 2).

17. Determine para que valores de k a recta deequacao 4y + kx = 0 e a elipse de equacaox2 + 4y2 − 2x + 12y + 5 = 0 sao:

(a) secantes

6

(b) tangentes

(c) Exteriores

18. Escreva uma equacao da circunferencia quepassa pelos pontos (1,−3), (4, 6) e (−3, 5).

19. Determinar a equacao da circunferencia quepassa pelos pontos (2,−1) e (−2, 0) e cujocentro se situa sobre a recta 2x− y − 1 = 0.

20. Mostre que a recta y = −23x+

223

e tangente

a circunferencia de centro (3, 1) e raio√

13no ponto (5, 4).

21. Identifique as seguintes elipses, escrevendo-as na forma reduzida, representando-as geo-metricamente e indicando os centros e semi-eixos:

(a) 2x2 + 8x + y2 + 6 = 0

(b) 4x2 + y2 + 4y − 12 = 0

(c) 3x2 + 6x + 2y2 + 4y − 1 = 0

(d) 36x2 + 36x + y2 − 2y + 1 = 0

22. Identifique as seguintes hiperboles e faca umesboco geometrico delas.

(a) 9x2 − y2 − 18x− 4y − 4 = 0

(b) 9y2 − 16x2 + 64x + 54y + 161 = 0

(c) 9x2 − 4y2 + 18x− 8y + 23 = 0

(d) 4y2 − 9x2 − 18x + 8y − 41 = 0

23. Identifiquem as seguintes parabolas erepresente-as geometricamente.

(a) x2 = 16y

(b) y2 = 16x

(c) x2 = −4y

(d) y2 = −4x

(e) x2 = −5y + 10

(f) y2 = 10x− 5

(g) x2 − 2x− y − 2 = 0

(h) y2 + 6y + 2x + 8 = 0

7

V Funcoes 1

1. Considere uma funcao real de variavel realf : R → R.

(a) Defina em linguagem matematica osconjuntos Df , Imf e Graf (domınio, im-agem ou contra-domınio e grafico de f).

(b) Que condicao devera f satisfazer paraser injectiva?

(c) Que condicao devera f satisfazer paraser sobrejectiva?

(d) Que condicao devera f satisfazer paraser uma funcao monotona nao decres-cente?

(e) Que condicao devera f satisfazer paraser uma funcao monotona nao cres-cente?

(f) Que condicao devera f satisfazer paraser uma funcao periodica?

2. De um exemplo de uma funcao real devariavel real que satisfaz cada um dos casosseguintes

(a) injectiva

(b) bijectiva

(c) par

(d) ımpar

(e) periodica

(f) monotona nao crescente

(g) monotona nao decrescente

3. Classifique cada uma das funcoes dadas f :D ⊂ R → R em injectiva, sobrejectiva, bi-jectiva, par, ımpar, periodica, monotona naocrescente (mnc) e monotona nao decrescente(mnd).

(a) f(x) = ex

(b) f(x) = x

(c) f(x) = ln(x)

(d) f(x) = sin(x)

(e) f(x) = cos(x)

(f) f(x) = x2

(g) f(x) = x3

(h) f(x) = −x3

4. Determine o domınio de f onde

(a) f(x) = 3x5 − 4(x− 2)2 + x + 1.

(b) f(x) = 14x2 − 2x + 1.

(c) f(x) =√

x2 − 5x + 6.

(d) f(x) =√

(x− 1)(x− 3)(x + 2).

(e) f(x) = 3√

(x− 1)(x− 3)(x + 2).

(f) f(x) = ln(x2 − 1).

(g) f(x) = e−x.

(h) f(x) =1− x

ln(x).

(i) f(x) =x + 1√x2 − 1

.

(j) f(x) = tan(

1x

).

(k) f(x) = sin(ex).

(l) f(x) =√

1 +√

x2 − 9.

(m) f(x) = tan(x).

(n) f(x) =1

sin(x).

5. Determine o subconjunto do domınio em quea funcao dada e estritamente crescente:

(a) f(x) = ex

(b) f(x) = x2

(c) f(x) = x2 − 1

(d) f(x) = cos(x)

6. Considere as seguintes funcoes reais devariavel real

f1(x) =√

3x2 − 3

f2(x) =

√x2 + x− 6

x2 − 1f3(x) = ln(x2)

√−2x2 − 2x + 12

Indique o domınio de cada uma destasfuncoes.

8

VI Funcoes 2

1. Como define uma funcao limitada?

2. Como classifica uma funcao f : R → R quesatisfaz a condicao seguinte?

(a) ∀x, y ∈ Df : x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y).

(b) ∃M > 0 : | f(x) |< M, ∀x ∈ Df .

(c) ∃x, y ∈ Df : x 6= y ∧ f(x) = f(y).

(d) ∀x, y ∈ Df : x < y =⇒ f(x) < f(y).

(e) ∀ y ∈ R ∃x ∈ Df : y = f(x).

3. Esboce o grafico da funcao f .

(a) f(x) = sin(x).

(b) f(x) = cos(x).

(c) f(x) = tan(x).

(d) f(x) = cot(x).

(e) f(x) = sin(x) + 1.

(f) f(x) =√

x.

(g) f(x) = −√

x.

(h) f(x) = x2 − 1.

(i) f(x) = x3 + 1.

(j) f(x) =1x

.

(k) f(x) =1x2

.

(l) f(x) = −1x

.

(m) f(x) = − 1x2

.

(n) f(x) =1

x + 1.

(o) f(x) =1

x− 1.

(p) f(x) = ex.

(q) f(x) = 1 + ex.

(r) f(x) = ln(x).

(s) f(x) = e−x.

(t) f(x) = ln(−x).

(u) f(x) = x2 + 1.

(v) f(x) = x2 − 5x + 6.

(w) f(x) = −x2 + 5x + 6.

(x) f(x) = 3x− 1.

(y) f(x) = 2− 3x.

4. Considere a funcao f(x) = sin(cos(x + 1))e escreva-a como funcao composta de tresfuncoes.

5. Considere as duas funcoes que sao dadase verifique em que caso pode definir umanova funcao usando essas duas funcoes e aoperacao de composicao. Em caso afirma-tivo, defina a(s) funcao(oes) composta(s).

(a) f(x) = cos(x), g(x) = x2.

(b) f(x) = sin(x), g(x) = x3.

(c) f(x) = ex, g(x) = −x2 + x− 3.

(d) f(x) = ln(x), g(x) = −x2 + x− 3.

6. Sabendo que f tem inversa em todo o seudomınio, o que podera concluir sobre f?

7. Sendo f uma funcao com domınio R e quetem inversa, como pode geometricamenterelacionar os graficos de f e f−1?

8. Verifique quais as funcoes que tem inversae em caso afirmativo defina a funcao inversanao esquecendo de explicitar o domınio destanova funcao.

(a) f : [0,+∞) → R e f(x) = x2

(b) f(x) = ln(x).

(c) f(x) = x.

(d) f : [0, π] → R, f(x) = cos(x).

(e) f : [−π2 , π

2 ] → R e f(x) = sin(x).

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VII Limites

1. Sendo f uma funcao real de variavel real.Defina em linguagem matematica:

(a) limx→x

f(x) = L.

(b) limx→x+

f(x) = L.

(c) limx→x−

f(x) = L.

2. Sabe-se que limx→x

f(x) = L. Que pode con-cluir sobre os limites laterais de f?

3. Sabe-se que limx→x+

f(x) = L e que

limx→x−

f(x) = M . Que pode concluir sobre

limx→x

f(x)?

4. Trace o grafico de funcoes para as quaislim

x→x+f(x) e lim

x→x−f(x) existam e lim

x→xf(x)

nao exista.

5. (∗) Demonstre o seguinte resultado: “Selimx→x

f(x) existe, entao ele e unico”.

6. (∗) Demonstre o seguinte resultado:

limx→x

f(x) = l ⇐⇒ limx→x

(f(x)− l) = 0

⇐⇒ limx→x

| f(x)− l |= 0.

7. (∗) Demonstre:

(a) limx→x

f(x) = l =⇒ limx→x

| f(x) |=| l |.

(b) limx→x

f(x) = 0 ⇐⇒ limx→x

| f(x) |= 0.

8. Considere a funcao

f(x) ={−1 se x < 0

1 se x ≥ 0

(a) Calcule limx→0

| f(x) |.

(b) Calcule limx→0

f(x).

(c) O que pode concluir?

9. Sendo f uma funcao real de variavel real eseja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 talque (−ε + x, x + ε)\{x} ⊂ Df . Traduza emlinguagem matematica:

(a) limx→x

f(x) = +∞.

(b) limx→x

f(x) = −∞.

(c) limx→x

f(x) = ∞.

10. Esboce o grafico e calcule limx→a

f(x) onde

(a) f(x) =1x

, a = 0.

(b) f(x) =1x2

, a = 0.

(c) f(x) =1

x− 1, a = 1.

(d) f(x) =1

x2 − 1, a = 1.

11. Escreva uma condicao equivalente a dadausando limites.

(a) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f(x) > M .

(b) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒| f(x) |> M .

(c) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f(x) < −M .

(d) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f(x) > M .

(e) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒| f(x) |> M .

(f) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f(x) < −M .

12. De exemplos de duas funcoes f e g, tais queos respectivos limites quando x tende para 0sao infinitos mas lim

x→0(f(x) + g(x)) = 0.

13. De exemplos de duas funcoes f e g, taisque lim

x→1f(x) = 0, lim

x→1g(x) = ∞, mas

limx→1

f(x)g(x) = 1.

14. Calcule

(a) limx→2

x

x2 − 4.

(b) limx→+∞

1x2

.

(c) limx→+∞

1− 3x2

x + 5x2.

(d) limx→8

12− 3

√x

.

(e) limx→0

| x− 1 |.

(f) limx→0+

√x

x.

(g) limx→+∞

√x

x.

(h) limx→0+

3√

x√x

.

(i) limx→+∞

√x

3√

x2.

10

(j) limx→+∞

1 + x

2x +√

x.

(k) limx→+∞

1 +√

x

x + 3√

x.

(l) limx→+∞

√x−

√2

x− 2.

(m) limx→0

√x + 1− 1

x.

(n) limx→0

√| a | −

√2

x− 1, a e uma constante.

(o) limx→0

1− cos(x)x

.

15. Sendo f uma funcao real de variavel real eseja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 talque (−ε + x, x + ε)\{x} ⊂ Df . Sabe-se quepara toda a sucessao xn tal que lim

n→+∞xn =

x se tem limn→+∞

yn = y, onde yn = f(xn) e

y ∈ R. Que pode concluir sobre limx→x

f(x)?

16. Sendo f uma funcao real de variavel real eseja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 talque (−ε + x, x + ε)\{x} ⊂ Df . Sabe-se queexiste uma sucessao xn tal que lim

n→+∞xn = x

e limn→+∞

f(xn) = l. Que pode concluir sobre

limx→x

f(x)?

17. (∗) Sabe-se que limx→c

f(x) = l se e so

se para qualquer sucessao (xn) tal quelim

n→+∞xn = c se tem lim

n→+∞f(xn) = l.

Utilize este resultado para demonstrar asseguintes proposicoes:

(a) Se limx→c

f(x) = l e limx→c

g(x) = m, entao

limx→c

(f(x) + g(x)) = l + m.

(b) Se limx→c

f(x) = l e limx→c

g(x) = m, entao

limx→c

f(x)g(x) = l m.

(c) Se limx→c

f(x) = l e α ∈ R, entao

limx→c

αf(x) = α limx→c

f(x) = αl.

(d) Se limx→c

f(x) = l, limx→c g(x) = m e

m 6= 0, entao limx→c

f(x)g(x)

=l

m.

(e) Se f , g e h sao tres funcoes definidasem [a, b], com a < b e c ∈ (a, b), taisque f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo ox ∈ [a, b] e lim

x→cf(x) = l = lim

x→ch(x),

entao limx→c

g(x) = l.

11

VIII Continuidade

1. Seja f definida num intervalo (c − ε, c + ε),onde ε > 0. O que quer dizer “A funcao f econtınua em c”?

2. Escreva uma condicao equivalente alimx→c

f(x) = f(c).

3. O que se entende por “a funcao f e contınuaem todo o intervalo [a, b]”?

4. Complete de forma a obter uma proposicaoverdadeira: Se g e contınua em c e f econtınua em . . . . . ., entao f ◦ g e contınuaem c.

5. Determine os pontos de continuidade dasfuncoes dadas. Trace tambem os graficosdestas funcoes.

(a) f(x) =| x |.(b) f(x) = 3 + 2 | x− 1 |.

(c) f(x) ={

32x + 1 se x 6= 2

3 se x = 2

(d) f(x) ={

0 se x ∈ Zx2 se x ∈ R\Z

(e) f(x) ={

3x2 se x < 32x− 1 se x ≥ 3

(f) f(x) = x − C(x) onde C(x) = n sen ≤ x < n + 1 para n ∈ Z.

(g) f(x) ={

12x2 se | x |≤ 2

7 se | x |> 2

(h) (∗) f(x) = max{| x−2 |,−x2 +4x−3}.(i) (∗) f(x) = min{| x− 2 |,−x2 + 4x− 3}.

(j) (∗) f(x) = limn→+∞

nx

1 + nx.

(k) (∗) f(x) = limn→+∞

n | x |1 + nx

.

6. Mostre que existe um numero x ∈ R tal que:

(a) sin(x) = x− 1

(b) x179 +163

1 + x2 + sin2(x)= 119

7. Determine um intervalo [a, b] ⊂ Df que con-tenha um ponto c tal que f(c) = 0.

(a) f(x) = sin(x)− cos(x).

(b) f(x) = ex − ln(x).

(c) f(x) =1x− x.

(d) f(x) =√

x− x.

(e) f(x) = x3 − x.

(f) f(x) = x2 − 1− cos(x).

(g) f(x) = e−x + 1.

(h) f(x) =√

x2 + 7x− 1− 4.

(i) f(x) =1x− 2.

8. Seja f : R → R uma funcao contınua tal quef = f−1.

(a) De uma interpretacao geometrica acondicao f = f−1 e mostre que existepelo menos um c tal que f(c) = c (c eum ponto fixo de f).

(b) De exemplos de funcoes contınuas taisque f = f−1 e f(c) = c para exacta-mente um c.

(c) Mostre que se f e uma funcao contınuae crescente tal que f = f−1, entaof(x) = x para todo o x.

9. Seja f uma funcao contınua em c e f(c) > 0.Mostre que existe um intervalo da formaI = (c − δ, c + δ) para algum δ > 0 , talque f(x) > 0 para todo o x ∈ I.

10. Seja f uma funcao contınua em c e f(c) < 0.Mostre que existe um intervalo I = (c−δ, c+δ) com δ > 0, tal que f(x) < 0 para todo ox ∈ I.

11. Suponha que f e g sao duas funcoescontınuas em (a, b) para as quais existe umc ∈ (a, b) tal que f(c) > g(c). Mostre queexiste um intervalo I = (c − δ, c + δ) comδ > 0 , tal que f(x) > g(x) para todo ox ∈ I.

12

IX Derivada

1. Determine f ′(x) em cada um dos seguintescasos.

(a) f(x) = 3x5 − 4(x− 2)2 + x + 1.

(b) f(x) = 4x2 − 2x + 1.

(c) f(x) = (23− 3x7)2.

(d) f(x) = (2x2 − 3x + 1)4 − x2.

(e) f(x) =√

x5 − 3x3 + 2x.

(f) f(x) =(x2 − 3x + 2x

)1/2.

(g) f(x) =(x2 − 3x + 2x

)−1/2.

(h) f(x) = (3x− 1)1/2 − 3√

x2 − 1.

(i) f(x) = (3x− 1)1/2 × 3√

x2 − 1.

(j) f(x) =x + 1x− 1

− 1.

(k) f(x) =x2 + 1x− 1

− 1.

(l) f(x) =x3 − 2x

x− 1.

(m) f(x) =(x2 − 1)2 − 1x2 − 3x + 1

.

(n) f(x) =(

x− 2x2 − 1

)−1

.

(o) f(x) =x2 − x− 2x2 + x + 2

.

(p) f(x) =x2 − 1√

x2 − x + 2.

2. Determine f ′(x) em cada um dos casos:

(a) f(x) = sin(x).

(b) f(x) = cos(x).

(c) f(x) = sin(x2 + 1).

(d) f(x) = cos(x3 + 2x).

(e) f(x) = tan(x).

(f) f(x) = tan(2x).

(g) f(x) = cot(x).

(h) f(x) = sin2(x) + cos2(x).

(i) f(x) = sin(2x)− 2 sin(x) cos(x).

(j) f(x) = cot(√

x).

(k) f(x) = sec(x).

(l) f(x) = sec(

x− 1x + 1

).

(m) f(x) = 1sec(x2)

.

(n) f(x) = 1sin(2x) .

(o) f(x) =sin(x2)− 3x

1− cos(x).

(p) f(x) =tan2(x)− 1

sin(x) + cos(x).

(q) f(x) =

√sin(x) + 1

x.

(r) f(x) =√

sin2(x3) + 1.

(s) f(x) =

√sin(x)− 1cos(x) + 1

.

3. Determine f ′(x) em cada um dos casos:

(a) f(x) = e2x.

(b) f(x) = ln(x3).

(c) f(x) = ln(

1x

).

(d) f(x) = ex2+1.

(e) f(x) =ex − e−x

2.

(f) f(x) = ex2+1 ln(x).

(g) f(x) = tan(e−x).

(h) f(x) = cos(2− ex).

(i) f(x) = sin(

sin(x) + 1cos(x)

).

(j) f(x) = ln(

sin(x) + 1cos(x)

).

(k) f(x) = cot(esin(x)).

(l) f(x) = ln(sin(x)).

(m) f(x) =e2x − ex2

e√

x + ex.

(n) f(x) = eln(1/x).

(o)sin(x2) sin2(x)

1 + sin(x)

(p) sin

x

x− sin(

xx−sin(x)

)

13

X Derivada-Aplicacoes

1. Seja x ∈ [0,+∞). Utilize a regra da derivadada funcao inversa para calcular a derivada def(x) = n

√x, onde n ∈ N.

2. Utilize a regra da derivada da funcao inversapara calcular a derivada da funcao inversa def(x) = sin(x), considerando x ∈ [−π

2,π

2].

3. Utilize a regra da derivada da funcao inversapara calcular a derivada da funcao inversa def(x) = cos(x), considerando x ∈ [0, π].

4. Utilize a regra da derivada da funcao inversapara calcular a derivada da funcao inversa def(x) = tan(x), considerando x ∈ (−π

2,π

2).

5. Verifique que

(a) limx→+∞

1 + 1x

3(x + 1)= 0.

(b) limx→+∞

(1 +√

x)(1 + x2) = +∞.

(c) limx→+∞

3 + 1x

1 +√

x= 0.

(d) limx→2

x2 − 4x− 2

= 4.

(e) limx→−3

5x + 15x3 + 5x2 + 3x− 9

= ∞.

(f) limx→2

(x− 2)(x + 1)x2 − 7x + 10

= −1.

(g) limx→3

1x− 3

− 5(x + 2)(x− 3)

=15.

6. Calcule

(a) limx→+∞

ln(x2)x3

.

(b) limx→+∞

x5

ex.

(c) limx→0+

x3x.

(d) limx→0

sin(x2)x2

.

(e) limx→0+

x2 ln(x).

(f) limx→0

csc(x)− 1x

.

(g) limx→π/2

(5π

2− 5x

)cos(x)

.

(h) limx→+∞

(1− 3

x

)x

.

(i) limx→0

(1x2− cos(3x)

x2

).

(j) limx→0

ex − 1x3

.

7. Calculedy

dxe

d2y

dx2em cada um dos casos:

(a) y =x2w − 3

w3, onde w e uma constante

real.

(b) y = u2eux+x2, onde u e uma constantereal..

8. Calcule todas as derivadas da funcao dadano ponto x. Determine, sempre que possıvel,uma expressao para f (n)(x).

(a) f(x) = ex, x = 0.

(b) f(x) = sin(x), x = 0.

(c) f(x) = cos(x), x = 0.

(d) f(x) = cos(x), x =π

2.

(e) f(x) = ln(x), x = 1.

9. Seja u = v sin(v), v = ln(w), w = 2y2−13 e

y = x2. Calcule

(a)du

dv.

(b)dv

dw.

(c)dw

dy.

(d)dy

dx.

(e)dw

dx.

(f)dv

dxe

du

dx.

10. Determine a equacao da recta tangente aografico de f que e paralela a recta r.

(a) f(x) = x2 − 1, r: y = 2x.

(b) f(x) = e−x, r: y = −ex− 4.

11. Determine a equacao da recta tangente aografico de f que e perpendicular a recta r.

(a) f(x) = x3 − 2x, r: y = −2x.

(b) f(x) = sin(π + x), r: y = −x + 1.

(c) f(x) = lnx, r: y = −ex− 4.

14

12. Determine a equacao da recta tangente aografico de f no ponto x = a.

(a) f(x) = x cos(3x), a = π.

(b) f(x) =x− 1x + 1

, a = 1.

(c) f(x) = e2x−e3x

ex4 , a = 0.

(d) f(x) =

√x2 − 1

x, a = −1

(e) f(x) = sin(4x2), a =√

π.

(f) f(x) = x3√

4− x2, a = 1.

(g) f(x) = ln(x3), a = 1.

(h) f(x) = ln(

1x2

), a =

√e.

(i) f(x) = ex+1, a = −1.

13. O Teorema de Lagrange nao e aplicavel asseguintes funcoes nos respectivos intervalos;em cada caso indique porque.

(a) f(x) = |x|, (−1, 3).

(b) f(x) = x +1x

, (−1, 2).

(c) f(x) =x2

x− 1, (0, 2).

14. Defina ponto crıtico e ponto singular de umafuncao real de variavel real.

15. Defina ponto de inflexao de uma funcao realde variavel real.

16. O que se entende por funcao com grafico con-cavo? E convexo?

17. Qual a condicao necessaria e suficiente paraque uma funcao f diferenciavel no intervalo(a, b) tenha o grafico concavo em (a, b)? Econvexo?

18. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em[a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se quex ∈ (a, b) e ponto de inflexao de f . O quepode concluir sobre f ′′(x)?

19. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em[a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se quex ∈ (a, b) e ponto crıtico de f e f ′′(x) > 0.O que pode concluir sobre x?

20. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em[a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se quex ∈ (a, b) e ponto crıtico de f e f ′′(x) < 0.O que pode concluir sobre x?

21. Seja

f(x) =

xex se x < 0

x2 − x se x ∈ [0, 3]

3x− 1 se x > 3

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Defina a funcao f ′.

22. (a) Determine dois numeros positivos cujasoma seja 1000 e tal que a soma dosseus quadrados seja mınima.

(b) Pretende-se cercar um pedaco rectan-gular de terra por um muro e depoisdividi-lo ao meio por um muro paraleloa um dos lados. A area do terreno e1350m2. Quais as dimensoes do terrenoque requerem menos muro?

(c) Um lavrador tem uma manada de an-imais, cada um pesando 300kg. Amanutencao diaria de cada um custa-lhe 1 euro e o peso deles aumentaa razao de 4kg por dia. O precodo animal, por kilo, no mercado, ede 2,5 euros mas esta a decrescer 2,5centimos por dia. Quanto tempo deveo lavrador esperar de modo a obter olucro maximo na venda dos animais?

23. Analise as seguintes funcoes e desenhe osseus graficos:

(a) f(x) = x2(3− x).

(b) f(x) =18

x2 − 9.

(c) f(x) =18x

x2 − 9.

(d) f(x) =ex + e−x

2.

(e) f(x) =ex − e−x

2.

(f) f(x) =ex + e−x

ex − e−x.

15

18. As funcoes estudadas nas tres ultimas alineas do exercıcio anterior sao de particular importancia,tem varias aplicacoes no calculo e por isso possuem uma designacao propria: funcoes hiperbolicas.Mais exactamente define-se,

Definicao Nomenclatura Nome

f(x) =ex + e−x

2cosh(x) cosseno hiperbolico de x

f(x) =ex − e−x

2sinh(x) seno hiperbolico de x

f(x) =sinh(x)cosh(x)

=ex − e−x

ex + e−xtanh(x) tangente hiperbolica de x

f(x) =cosh(x)sinh(x)

=ex + e−x

ex − e−x, x 6= 0 coth(x) cotangente hiperbolica de x

f(x) =1

cosh(x)=

2ex + e−x

sech(x) secante hiperbolica de x

f(x) =1

sinh(x)=

2ex − e−x

, x 6= 0 csch(x) cosecante hiperbolica de x

Estas funcoes satisfazem algumas propriedades que sao bastante semelhantes a propriedadessatisfeitas pelas correspondentes funcoes trigonometricas.

(a) Verifique que:

i. cosh2(x)− sinh2(x) = 1.ii. 1− tanh2(x) = sech2(x).iii. coth2(x)− 1 = csch2(x).iv. sinh(−x) = − sinh(x) e cosh(−x) = cosh(x).v. sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y).vi. cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y).

(b) Calcule as derivadas das funcoes seguintes:

i. f(x) = cosh(x).ii. f(x) = sinh(x).iii. f(x) = tanh(x).iv. f(x) = coth(x).v. f(x) = sech(x).vi. f(x) = csch(x).

16

XI Funcoes 3

1. Considere os esbocos da figura seguinte.

(a) Indique aqueles que nao podem ser graficos de funcoes reais de variavel real, justificando.

(b) De entre as funcoes representadas determine os respectivos domınios, contradomınios epronuncie-se sobre a continuidade e derivabilidade.

(c) Complete o seguinte quadro, usando o sımbolo X para relacionar o grafico com a respectivafuncao, ou indicar que nao e funcao, e O para relacionar a funcao com a respectiva inversa,caso esta esteja tambem representada e esteja definida em todo o domınio da funcao.

fig/func 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

sin(x)

ex

1x

cos(x)

ex

x

tan(x)

x

|x|

ln(x)

nao e funcao.

17

18

2. A figura 13 representa o grafico de uma funcao f : R → R. Qual dos graficos seguintes poderaser o grafico de |f |?

E o de g(x) =

{|f(x)| se f(x) ≥ 0

0 se f(x) < 0?

E o de h(x) =

{|f(x)| se f(x) ≤ 0

0 se f(x) > 0?

19

3. As figuras 18 e 19 representam graficos de funcoes f, g : R → R. Qual dos graficos seguintespodera ser o grafico da funcao g ◦ f?

20

4. Seja f : R → R tal que f(a) = limn→∞

a2n − 1a2n + 1

. Qual dos seguintes esbocos podera ser o grafico de

f?

5. Seja f(x) =2 sin(2x)cot(x)

.

(a) Determine o domınio, D, de f e os seus zeros.

(b) Mostre que para todo o x ∈ D, f(x) = 4 sin2(x).

(c) Seja g(x) = 4 sin2(x). Determine o domınio de g e diga porque e que f e g nao sao a mesmafuncao.

6. Seja f(x) = |x| e g(x) = 1 + cos(x).

(a) Caracterize g ◦ f e f ◦ g.

(b) Esboce o grafico de g ◦ f a partir dos graficosde f e de g.

7. Quais as condicoes que tem de satisfazer m e n para que os graficos de f(x) = mx + b eg(x) = nx + c sejam:

(a) paralelos;

(b) perpendiculares;

8. Diga quais das afirmacoes sao verdadeiras e quais sao falsas, justificando.

(a) Se f e contınua e injectiva, definida num intervalo I, entao e monotona.

(b) Se f : R → R e contınua e tem mınimo, entao e nao injectiva.

(c) Se f : I → R e contınua e I e um intervalo limitado, entao f e limitada.

(d) Se f : I → R e contınua e I e um intervalo fechado, entao f e limitada.

21

XII Sucessoes

1. (a) O que e uma sucessao de numeros reais?

(b) Qual e o termo geral de uma sucessao aritmetica?

(c) Qual e o termo geral de uma sucessao geometrica?

(d) Como se define uma sucessao por recorrencia?

(e) Como pode definir uma sucessao aritmetica por recorrencia?

(f) Como pode definir uma sucessao geometrica por recorrencia?

(g) Quando e que uma sucessao se diz monotona?

(h) Quando e que uma sucessao e nao decrescente?

(i) O que quer dizer que uma sucessao (an) e limitada?

(j) Em linguagem matematica o que significa limn→+∞

an = a ?

(k) Quando e que se diz que uma sucessao e um infinitesimo?

(l) Quando e que uma sucessao (an) e um infinitamente grande negativo?

(m) Quando e que uma sucessao (an) e um infinitamente grande?

2. Apresentam-se os primeiros termos de sucessoes. Em cada caso determine o termo seguinte edefina cada uma das sucessoes por recorrencia.

(a) 6, 10, 14, 18.

(b) 2, 6, 18, 54.

(c) 3, 4, 7, 11, 18, 29.

3. (a) De um exemplo de uma sucessao geometrica.

(b) De um exemplo de uma sucessao cujo contradomınio e {1,−1}.(c) De um exemplo de uma sucessao limitada.

(d) De um exemplo de uma sucessao crescente.

(e) De um exemplo de uma sucessao cujo limite e −5.

(f) De um exemplo de uma sucessao cujo limite e e.

(g) De um exemplo de uma sucessao que e um infinitesimo.

(h) De um exemplo de uma sucessao que e um infinitamente grande.

4. Complete

(a) Se an = (n+1)n2 , o termo de ordem 5 e . . ..

(b) Se bn = 2 + 3n, b10 = . . ..

(c) Se c1 = 3 e cn =√

5 + c2n−1, com n > 1, entao o termo de ordem 4 e . . ..

(d) Se d1 = 9, d2 = 4 e dn =√

dn−1 + dn, com n > 2, entao d5 = . . ..

(e) Se un =1n

e Sn =n∑

k=1

u2n, entao S3 = . . ..

5. Indique qual(is) a(s) resposta(s) certa(s) as seguintes perguntas, se existir(em):

(a) Considere a sucessao de termo geral an = 1n . O termo geral da subsucessao de termos

ımpares de (an) e

i. 13n .

22

ii. an+1

iii. 12n+1

iv. 12n .

(b) A sucessao un = n2+1n3 e

i. um infinitesimo.ii. infinitamente grande positivo.iii. convergente para 1.iv. um infinitamente grande negativo.

(c) Considere a sucessao bn = (−2)n. Esta sucessao

i. e limitada.ii. tem uma subsucessao convergente para 2 e outra convergente para 0.iii. tem uma subsucessao convergente para 2 e outra convergente para −2.iv. e convergente.

6. Considere as sucessoes dadas. Classifique-as em sucessoes monotonas nao crescentes ou sucessoesmonotonas nao decrescentes.

(a) an = 1n .

(b) bn =(−1

2

)2n+1.

(c) cn =(

12

)n.

(d) dn = 2n+1n+1 .

(e) en = en.

7. Classifique as afirmacoes seguintes como verdadeiras (V) ou falsas (F).

(a) Se limn→+∞

an = a, a ∈ R, e bn = an − a, entao limn→+∞

bn = 0.

(b) Se limn→+∞

an = a, com a 6= 0, entao existe um p ∈ N tal que | an |> |a|2 para todo o n ∈ N

maior que p.

(c) Se existem p ∈ N e a ∈ R\{0} tal que | an |> |a|2 para todo o n ∈ N maior que p, entao

limn→+∞

an = a.

(d) Se limn→+∞

(anbn) = r, r ∈ R, entao os limn→+∞

an e limn→+∞

bn existem (sao finitos).

(e) Se an ≤ bn ≤ cn para todo o n ≥ 10 e se limn→+∞

an = limn→+∞

cn = 5, entao limn→+∞

bn = 5.

(f) Se an ≤ bn ≤ cn para todo o n ≥ 10 e se limn→+∞

bn = limn→+∞

cn = 5, entao limn→+∞

an = 5.

8. Determine p ∈ N tal que

(a) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 5− 3n < 2.

(b) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, n− 12

> 1000.

(c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1)n

√n

< 10−4.

(d) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 1− 3√

n < −99.

9. (∗) Determine p ∈ N em funcao de K ∈ R, K > 0, tal que

(a) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 5− 3n < K.

(b) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, n− 12

> K.

23

(c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1)n

√n

< K.

(d) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 1− 3√

n < −K.

10. Seja a ∈ R. Complete

(a) Sabendo que para todo o ε ∈ (0, 1] existe um p ∈ N tal que para todo n ∈ {n ∈ N : n > p}se tem | an − a |< ε, entao lim

n→+∞an . . .

(b) Sabendo que para todo o n ∈ N se tem | an − a |> 0.01, entao limn→+∞

an . . .

(c) Sabendo que limn→+∞

a2n = a e limn→+∞

a2n+1 = a, entao limn→+∞

an . . .

(d) Sabendo que limn→+∞

a2n = 2 e limn→+∞

a3n = 3, entao limn→+∞

an . . .

11. (∗) Considere que a e b sao numeros reais. Demonstre os seguintes resultados:

(a) Se limn→+∞

an = a e un = an − a, entao limn→+∞

un = 0.

(b) Se limn→+∞

an = a e r ∈ R, entao limn→+∞

ran = ra.

(c) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b e un = an + bn, entao limn→+∞

un = a + b.

(d) Se limn→+∞

an = 0, limn→+∞

bn = 0 e un = anbn, entao limn→+∞

un = 0.

(e) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b e un = anbn, entao limn→+∞

un = ab.

(f) Se limn→+∞

bn = b 6= 0, entao ∃p ∈ N tal que para todo o n > p se tem | bn |>| b |2

.

(g) Se limn→+∞

bn = b 6= 0, entao limn→+∞

1bn

=1b.

(h) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b 6= 0 e un =an

bn, entao lim

n→+∞un =

a

b.

(i) Se limn→+∞

an = a e p ∈ N, entao limn→+∞

apn = ap.

(j) Se limn→+∞

an = a e, para algum k ∈ N, bn = an+k, entao limn→+∞

bn = a.

12. Pronuncie-se sobre a veracidade das seguintes afirmacoes.

(a) Seja (an) uma sucessao limitada. Entao o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} tem supremo.

(b) Seja (an) uma sucessao nao decrescente e tal que o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} temsupremo S. Entao ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p =⇒ an − S > −ε.

(c) Seja (an) uma sucessao limitada e nao decrescente. Entao (an) e convergente.

13. Demonstre todas as afirmacoes verdadeiras apresentadas no exercıcio anterior.

14. Calcule

(a) limn→∞

n

n + 1

(b) limn→∞

n + 3n3 + 4

(c) limn→+∞

2n3

5 + 2n3

(d) limn→+∞

√2− 8n

1− 2n

(e) limn→+∞

1− n2

n2 + 1

24

(f) limn→+∞

(√

n + 1−√

n)

(g) limn→+∞

3n + 4n

5n + 62n

(h) limn→∞

n!nn

.

(i) limn→+∞

(1 +

3n

)n

(j) limn→+∞

(1 +

a

n

)n, com a > 0.

(k) limn→+∞

(1 +

a

n− a

)n

, com a > 0.

(l) (∗) limn→+∞

(1− 4

n

)n

(m) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n

(n) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n+2

(o) limn→+∞

(1− 1

n2

)n

15. Seja (an) uma sucessao nao convergente tal que | an |≤ M para algum M > 0.

(a) Seja ainda (bn) uma sucessao tal que limn→+∞

bn = 0. Mostre que limn→+∞

(anbn) = 0.

(b) Calcule limn→+∞

1n + 1

+cos(n)n + 1

16. (∗)

Sejam a, b ∈ R e considere a sucessao

an = a

(1 +

√5

2

)n

+ b

(1−

√5

2

)n

.

(a) Verifique que esta sucessao pode ser definida recursivamente por an = an−2 + an−1 paratodo o n ≥ 2.

(b) Determine a e b tal que a0 = a1 = 1.

17. Considere a sucessao de Fibonacci a0 = 1, a1 = 1 e an = an−2 + an−1 para todo o n ≥ 2. Seja

b1 = 1 e bn = 1 +1

bn−1. Verifique que bn = an

an−1.

BIBLIOGRAFIA

1. Acesso ao Ensino Superior - Matematica, Maria Augusta F. Neves e Maria Teresa C.Vieira, 1994.

2. Mergulhar em AM1, Maria do Rosario de Pinho, FEUP, LEEC, 2005.

3. Caderno de Exercıcios de AM1, Maria do Rosario de Pinho e Maria Margarida Ferreira,FEUP, LEEC, 2005.

4. Calculus, Michael Spivak.

5. Compendio de Matematica, Tomo 2, 7◦ ano, J. Sebastiao e Silva e J. D. da Silva Paulo,1973.

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