Fasores

• TENSÃO E CORRENTE ALTERNADA

CONCEITO DE FASOR. OPERAÇÕES COM FASORES.

Impedância e Admitância de Elementos

Passivos Simples e Associados.

CLÁUDIO SANTOS PINTO, EleEng-MSc

Instituto Superior de Ttecnologias de Informação e Comunicação

CURSO DE TELECOMUNICAÇÕES

Disciplina de

Circuitos Eléctricos II

TEMA DA AULA

INTRODUÇÃO.

• Para estabelecermos as relações tensão vscorrente nos componentes passivos decircuitos (R, L e C) na forma fasorial, vamostomar como ponto de partida a análise dasrelações entre estas grandezas feita nodomínio do tempo. Posteriormente, vamosfazer a conversão para fasores e entãoencontramos as relações na forma fasorial.Ainda, consideraremos os componentes comoideais.


RELAÇÃO TENSÃO x CORRENTE EM UM RESISTOR (R) PURO: DOMÍNIO DO TEMPO


e(t)

R

i(t) + -

DADO: e(t) = Em.cos(wt + ) [V] (1)

OBTER: i(t) = Im.cos(wt + ) [A] (2)

α) [A] cos(wtI i(t)

R

wtE

max

n

:que concluimos (3) e (2) comparando IR

E :que temosohm de lei pela

)3( [A] α)cos(wtR

Ei(t)

)cos(

R

e(t) i(t) :Solução

maxmax

max

.

0

:que se-conclui (3) com (2) Comparando

0

i(t)ev(t)entredefasagemdeânguloβα

00

oéonde

Vemos que, em um resistor puro não há defasagem entre a tensão em seus terminais e a corrente que por ele circula.

RELAÇÃO TENSÃO x CORRENTE EM UM INDUTOR L PURO: DOMÍNIO DO TEMPO


e(t)

+ -

i(t) L



)6([A])90αcos(wtw.L

Ei(t)

:

0m

)(1

)cos(1

)(L

1 i(t)

wtsen

w

mE

Ldtwt

mE

LdtteSolução

Comparando (5) com (6) conclui-se que:

i(t). e v(t)entre defasagem de ângulo o é onde

90- 90 - e .m

I00

βα

90 0

Lw

mE

Vemos que em um indutor puro, a defasagem entre v(t) e i(t) é de 900, com a tensão ADIANTADA da corrente (note que φ = - = 900 , onde é a fase da tensão e é a fase da corrente).

A relação tensão x corrente para o indutor puro é:

Em / Im = w.L (7)

onde: w.L é denominado REATÂNCIA INDUTIVA, tendo por unidade Ohm [Ω]. É representada por XL e corresponde à oposição que o indutor oferece ao estabelecimento da corrente através do percurso que o contém. Assim:

Em / Im = XL (8) e XL =w.L = 2.π.f.L [Ω] (9)

A expressão (6) pode ser escrita agora, da seguinte forma:


)10([A] )90α cos(wt X

mE

i(t) 0

L

RELAÇÃO TENSÃO x CORRENTE EM UM CAPACITOR PURO: DOMÍNIO DO TEMPO.


e(t)

i(t) + C -



:que se-conclui (13) com (12) Comparando

:

(13) [A] )0

000

90αcos(wt

w.C1

mE

i(t)

)90cos(...)(18090cos(..

(..)cos(.dt

de(t)C. i(t)

wtm

ECwtiwtm

ECw

wtsenwm

ECwtm

Edt

dCSolução

i(t). e v(t)entre defasagem de ângulo o é onde

0

90- - 090 e

.1

β-α

0-90

Cw

EI m

m

• Vemos que em um capacitor puro, a defasagem entre v(t) e i(t) é tambémde 900, tal como no indutor, só que com a tensão ATRASADA da corrente(note que φ = - = - 900 , onde é a fase da tensão é a dacorrente).

1 / w.C – é denominado REATÂNCIA CAPACITIVA, tendo por unidade Ohm [Ω]. É representada por XC e corresponde à oposição que o capacitor oferece ao estabelecimento da corrente através do percurso que o contém. Assim:

Em / Im = XC (15) e XC = 1/ w.C = 1 / (2..f.C) [Ω] (16)


A expressão (13) pode ser escrita agora:

)17([A] )90αcos(wtX

Ei(t)

0

C

m

A relação tensão x corrente no capacitor puro é: Em / Im = 1 / w.C (14)onde:

PRIMEIRAS CONCLUSÕES.a) RESISTOR:

Im = Em / R ou Em = R.Im e = ou =

b) INDUTOR:

Im = Em / XL ou Em = XL.Im e = - 900 ou = + 900 sendo XL = w.L = 2..f.L []

c) CAPACITOR:

Im = Em / XC ou Em = XC.Im e = + 900 ou = - 900 sendo XC = 1 / w.C = 1 / (2..f.C) []


0m 0 β - α φ β α [A]α)cos(wtR

Ei(t)se- tem][)cos(e(t) para VwtEm

000

L

mm 90 β - α φ 90 - α β [A] )90αcos(wt

X

E i(t) se- tem][)cos(E e(t) Vwtpara

000

C

mm 90 - β - α φ 90 α β [A] )90αcos(wt

X

E i(t) se- tem][)cos(E e(t) Vwtpara

RELAÇÕES FASORIAIS TENSÃO x CORRENTE NOS ELEMENTOS PASSIVOS R, L e C.

Tendo em vista a forma de se passar do domínio do tempo para o da freqüência.

a) RESISTOR:

e(t) = Emcos(wt + ) [V] Ė = Em / [V]

i(t) = Imcos(wt + ) [A] İ = Im / [A]. Como β = α , podemos escrever também: İ = Im / [A].


(18) ][ R :Assim

R. j.0 R ficará 0/ R ,retangular forma a para convertido Se .ESISTÊNCIAR da valor ao responde

-cor que real número um em resultando , 0/ 0/ / /

/

0

00

I

E

I

E

I

E

I

E

I

E

R

I

E

I

E

I

E

m

m

m

m

m

m

Vê-se, pois, que a relação tensão x corrente em um resistorpuro nos dá a resistência deste resistor, tal como era de seesperar considerando-se a 1a. lei de Ohm.

b) INDUTOR:

e(t) = Emcos(wt + ) [V] Ė = Em / [V]

i(t) = Imcos(wt + ) [A] İ = Im / [A]. Como β = α – 900 , podemos escrever também: İ = Im / - 900 [A].


RETANGULARPOLAR

X X

COMPLEXO NÚMEROCOMPLEXA" INDUTIVA

REATÂNCIAX I

E

I

E

I

E

I

E

I

E

LL

L

usaremos. mais que formas as são que, e formas as com mente,respectiva acordo, de

(19) ][ j.Xou][ 90/ X

:Assim . um de forma na expressa indutiva reatância a seja,ou ,

" a sendo 90/ 90/ )90(/ 90/

/

L

0

L

000

0

L

m

m

m

m

m

m XI

E

I

E

I

E

c) CAPACITOR:

e(t) = Emcos(wt + ) [V] Ė = Em / [V]

i(t) = Imcos(wt + ) [A] İ = Im / [A]. Como β = α + 900 , podemos escrever também: İ = Im / + 900 [A].


RETANGULARPOLAR

X X

COMPLEXO NÚMEROCOMPLEXA" CAPACITIVA CIA

CC

-REATÂNC

X I

E

I

E

I

E

I

E

I

E

usaremos. mais que formas as são que, e formas as com mente,respectiva acordo, de

(20) ][ j.Xou ][ 90-/ X

:Assim

. um de forma na expressa capacitiva reatância a seja,ou ,

C

0

C

" a sendo 0

90/ 0

90/ )0

90(/ 0

90/

/

CX

mI

mE

mI

mE

mI

mE

CONVERSAO ENTRE POLAR E RETANGULAR


EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.1. Considere a tensão e(t) = 100cos(5000.t + 600) [V] aplicada em um resistor R = 5 kΩ e

calcule:

a) corrente em R, na forma fasorial (ou domínio da freqüência) e no domínio do tempo.b) a defasagem entre a tensão e a corrente em R.

SOLUÇÃO:

a) Vamos realizar os cálculos na forma fasorial e depois converter a resposta para o domínio do tempo. Assim:

E = 100 / 600 [V] e I = E / R I= 100 / 600 / 5.103 [A] I = 20.10-3 / 600 [A] ou I=20 / 600 [mA]. Logo: i(t) = 20cos(5000.t + 600) [mA]

b) Como já sabemos, não há defasagem entre tensão e corrente em um resistor puro. Assim: φ = α - β = 600 - 600 = 00.


2. Refaça o problema para um indutor puro com L = 400 mH.

SOLUÇÃO:

a) Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

E = 100 / 600 [V] e I = E / XL , sendo XL = XL / 900 [Ω] , onde XL = w.L = 5.103.400.10-3 = 2.103 [Ω]

I = 100 / 600 / 2.103 / 900 [A] I = 50.10-3 / -300 [A] ou I = 50 / -300

[mA]. Logo:

i(t) = 50cos(5000.t - 300) [mA].

b) φ = α - β = 600 - (-300) = 900 (valor esperado, já que em um indutor puro a tensão está sempre adiantada da corrente de 900 , o que já podia ser visto no ângulo de XL , que é próprio φ).


3. Refaça o problema para um capacitor puro com C = 0,05 μF.

a) Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

E = 100 / 600 [V] e I = E / XC , sendo XC = XC / -900 [Ω] , onde XC = 1 / w.C = 1 / (5.103.5.10-8) = 4.103 [Ω]

I = 100 / 600 / 4.103 / -900 [A] I= 25.10-3 / 1500 [A] ou I = 25 / 1500 [mA]. Logo:

i(t) = 50cos(5000.t + 1500) [mA].

b) φ = α - β = 600 - (1500) = -900 (valor esperado, já que em um capacitor puro a tensão está sempre atrasada da corrente de 900 , o que já podia ser visto no ângulo de XC , que é próprio φ).


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