Fernanda Oleg a Rio Dos Santos

7/25/2019 Fernanda Oleg a Rio Dos Santos

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SE R V I O D E P S- G R A D U A O D O I C M C - U SP

Data de Dep sito: 17.10.2005

Assinatura: . / , . .; ;/, ,

Simulao num rica de escoam entos de

fluid os utilizando diferen as finitas

generalizadas

Fernanda Olegrio dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Antonio Castelo Filho

Dissertao apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e

de Computao - ICMC-USP, como parte dos requisitos para

obteno do ttulo de Mestre em Cincias - Cincias da

Computao e Matemtica Computacional.

USP - So Carlos

Qutubro/2005


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Aluno: Fernanda Olegrio dos Santos

A Com isso Julgadora:

Prof. Dr. Anton io Castelo Filho

Prof. Dr. Norberto Mangiavacchi

Prof. Dr. Mrcio Teixeira de Mendona


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Aos m eus pais Neide e David, com, carinho.


4/83

Agradecimentos

Em primeiro lugar agradeo a Deus por estar presente em todos os momentos de minha

vida.

Em especial a minha me Neide, meu pai David e minha irm Lil iana, por sempre

acredi tarem em mim e no meu potencial . Pelo carinho, amor, oraes, dedicao e ateno.

Amo muito vocs

Ao meu sobrinho Gabriel, pela alegria, carinho, brincadeiras . . .

Ao meu namorado Magno, pelo carinho, amor, pacincia, por estar sempre a,o meu lado

em todos os momentos.

Agradeo aos meus t ios Neusa e Jos pelo carinho e sempre incentivo.

Ao meu orientador Castelo, pela or ientao e apoio.

Aos professores do grupo de pesquisa, pela colaborao e convivncia.

Tambm aos jamais esquecidos amigos de graduao e professores da UFSCar, especial-

mente ao prof . Artur Darezzo Fi lho, pela or ientao, apoio, amizade e incentivo durante a

graduao .

s amigas Analice, Marcela, Gilcilene e Kmelli, pelo companheirismo e convivncia,

nos estudos e nos momentos de descontrao.

Ao Mrio, Fernando, Cssio, Joo Paulo, l ton, enfim aos amigos do LCAD, pela

amizade e pe la a juda .

A FAPESP, pelo apoio f inanceiro no desenvolvimento deste t rabalho.

Agradeo, por f im, a todos que direta , ou indiretamente, contr iburam para o sucesso

des te t raba lho .

Fernanda

ii


5/83

Resumo

Este t rabalho apresenta parte de um sis tema de s imulao integrado para escoamento de

fluido incompressvel bidimensional em malhas no estruturadas denominado UmFlow-2D.

O sis tema consiste de t rs mdulos: um mdulo modelador, um mdulo s imulador e um

m dulo visual izador. A par te do sis tema apresen tado neste t rabal ho o md ulo s imu-

lador. Este mdulo, implementa as equaes de Navier-Stokes. As equaes governantes

so discret izadas pelo mtodo de diferenas f ini tas general izadas e os termos convect ivos

pelo m todo semi-lagrangeano. Um mto do de proje o em pregado pa ra desacoplar as

com ponen tes da velocidade e presso. O gerenciam ento da malha, no estr utu rad a fei to

pela estrutura de dados SHE. Os resul tados numricos obt idos pelo UmFlow-2D so com-

parados com solues anal t icas e solues numricas de outros t rabalhos.

P a l a v r a s - c h a v e :

Simulao numrica. Mtodo de diferenas Fini tas General izadas. Ma-

lhas no es t ru turada .

iii


6/83

Abstract

This work presents an integratc simulation system, called UmFlow-2D, wich aims a,t

s imu lat ing two-dimensional ncompressible fluid flow using uns truct ed mesh. Th e system

is divided three modules: modeling module, s imulat ion module and visual izat ion module.

In this work we present th e s imulat ion mod ule. Th e simulat ion m odule implem ents th e

Navier-Sto kes equat ion . Th e governing equ ation s are discretized by a generalized flnite

di l lerence me thod a nd the convective term s by semi-lagrangean m etho d. A projec t ion

method is employed to uncouple the veloci ty componentes and pressure. The management

at the unstru cted mesh is ready using a da ta s truc ture cal led SHE. The num rica resul ts

are compared with analyt ical solut ions and numerical s imulat ions of other works.

K e y W o r d s : Num erical s imulat ion. General ized f inite difference m etho d. Un structe d

mesh

IV


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Lista de Figuras

1.1 Dife rentes tipo s de clula de n 7

1.2 Funo de aproxim ao f

0

: (a)um a linha reta com s = 1, e (b) um a parb ola

co m s 2 10

3.1 Elem ento t r iang ular 26

3.2 Tip os de clulas 29

4.1 Ma lha t r iangula r izada 32

4.2 Clula Co mp utacio nal 32

4.3 Clula com tr ingulos num erados 36

4.4 Cond io de contorno: Outf low 38

4.5 Ent idades de orgarn izao da es t ru tura de dados SHE 41

5.1 Diag ram a de Casos de Uso do software 47

6.1 Dom nio pa ra um escoam ento de Hagen-Poiseuille. O escoam ento da es-

querd a pa ra a direi ta e o com prim ento do canal 3L 51

6.2 Malha com 183 elementos, gerada pelo Easym esh 52

6.3 Simulao num rica do escoam ento de Hagen-Poiseuille com perfil reto:

cam po de velocidade na direo x, calculados na m alha intermed iria 53

6.4 Co mp ara o entre solues num ricas obt ida pelo amb iente de s imulao

UmFlow-2D e a soluo anal t ica dada pela equao (6.11) , sobre as t rs

malhas, com Re = 1 54

6.5 Simulao num rica do escoam ento de Hagen-Poiseuille com perf i l de parablico:

cam po de velocidade na direo x, calculados na m alha f ina 54

6.6 Co mp ara o entre solues num ricas obt ida pelo am biente de s imulao

UmFlow-2D e a soluo anal t ica dada pela equao (6.11) , sobre as t rs

malhas, com Re = 1 55

6.7 Co mp ara o entre solues num ricas obt ida pelo am biente de s imulao

UmFlow-2D ea,soluo anal t ica dada, pela equao (6.11) , sobre um a ma lha

(4.426 elementos t r iangulares) , para Re 1, Re = 10 e Re = 100 55

6.8 Ge om etr ia do proble ma da expans o brusca 56

6.9 Pro blem a da expanso : cam po de velocidade na direo x 57

6.10 Prob lem a da expanso : cam po de velocidade na direo x 57

6.11 Prob lem a da expanso : cam po de velocidade na direo x 57

6.12 Placa, retang ular com contra o 57

v


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Lista de Figuras

6.13 Placa, retan gula r com contrao: cam po de velocidade na direo x, Re = 10. 58

6.14 Plac a retangu lar com contra o: c am po de velocidade na direo y, Re = 10. 58

6.15 Placa retangular com contrao: campo de velocidade na direo x, Re = 100. 59

6.16 Placa retangular com contrao: campo de velocidade na direo y, Re = 100. 59

6.17 Plac a retang ular com contrao: vetores velocidade, Re = 100 59

6.18 Ge om etr ia do proble ma com geom etr ia curva 60

6.19 M alha com 4.845 elementos, gerada pelo Easym esh 60

6.20 Pro blem a com geom etr ia curva: cam po de velocidade na direo x, Re = 1. . 61

6.21 Pr oble m a com geometr ia curva: cam po de velocidade na direo y, Re = 1. . 61

6.22 Problema com geometr ia curva: campo de velocidade na direo x, Re = 100. 61

6.23 Prob lem a com geo metr ia curva: ca mp o de velocidade na direo y, Re = 100. 62

6.24 Pro blem a com geom etr ia curva: vetores velocidade, Re = 1 62

6.25 Pro blem a com geom etr ia curva: vetores velocidade, Re = 100 62

v i


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Sumrio

I n t r o d u o 1

1 M t o d o N u m r i c o p a r a E q u a e s D i f e r e n c i a is 4

1.1 Intro du o 4

1.2 M todo de Diferenas Fini tas Gene ral izadas ut i l izando Mnimos Qu adrad os . 4

1.2.1 Clula Com putac ional associada a um N 5

1.2.2 Apro xima o por Mnimos Qu adra dos 7

2 E q u a e s d e N a v i e r - S t o k e s 1 4

2.1 Introd u o 14

2.2 Descrio do Mo vimento de Fluido 14

2.2.1 Derivad a Total 15

2.3 Equa es Gov ernantes 16

2.3.1 Eq ua o de Conservao de Massa 16

2.3.2 Eq ua o do Balano de Qu antid ade de Mo vimento 16

2.4 Equa es Gov ernantes na Form a Bidimensional 17

2.5 Adim ensional izao 18

2.6 Con dies Inicial e de Co nto rno 19

2.6.1 Condies par a Con tornos Rgidos 19

2.6.2 Condies de Con torno na Superf cie Livre 20

2.6.3 Con dio pa ra a Presso 21

3 M t o d o s N u m r i c o s p a r a E q u a o d e N a v i e r - S t o k e s 2 2

3.1 Intro du o 22

3.2 A ideia Geral do M todo da Pro jeo 23

3 .3 Mtodo de Pro je o 24

3.4 M todo do Passo Fracionrio 25

3.5 M tod o Semi-Lagra,ngea.no 25

3.6 M todo Uti l izado no Um Flow-2D 27

3.6.1 Classifica o das Clulas 28

3.6.2 Con dies Inicial e de Co nto rno 29

3.6.3 Cond io de Estab i l idade do M todo 29

vii


10/83

Sumio

4 D i s c r e t i z a o d a s E q u a e s 3 1

4.1 In t rodu o 31

4.2 Discret izao das Equa es 31

4.2.1 Apro xima o das Velocidades 33

4.2.2 Apro xim ao da Equ ao de Poisson para, a Presso 33

4.2.3 Tcnicas de Arm azenage m 36

4.2.4 Apro xim ao da Equ ao de Atua l izao da Velocidade 37

4.2.5 Apro xima o das Condies de Co ntorn o 37

4.3 M tod o dos Gra dientes Bi-conjuga dos pa ra Sistemas Esparsos 38

4 .4 Es t ru t ura de dados SHE 40

4.4.1 A est ru tur a "Singular Handle-Ed ge" 40

4.4.2 Imp lem enta o 41

5 D e s e n v o l v i m e n t o d o S o f t w a r e 4 2

5.1 Con sidera es Iniciais 42

5.2 Eng enh aria de Software 42

5.3 O Processo de Software 43

5.3.1 Modelos de Processos de Software 43

5 .4 Padres de Pro je to 44

5.5 Do cum ento de Requisi tos 44

5.5.1 Viso Ge ral do Sistema 45

5.5.2 Dia gram a de Caso de Uso 47

5.6 Am biente de Simulao Um Flow-2D 48

5.6.1 M odelador 48

5.6.2 Sim ulado r 48

5.6.3 Visu alizado r 48

5.6.4 Re-inicializad or 48

6 R e s u l t a d o s N u m r i c o s e V a l i d a o d o A m b i e n t e d e S i m u l a o U m F l o w - 2 D 5 0

6.1 Intro du o 50

6.2 Simulao do Esco am ento em um Can al 50

6.3 Simulao nu m a Exp anso Brusca 55

6.4 Simulao de um a Placa com Co ntra o 57

6.5 Simulao em dom nio com Geo me tr ia Curva 59

C o n s i d e r a e s F i n a i s 6 3

VIII


11/83

Introduo

/

O e studo de fenmenos f s icos e leis da na ture za um a at ivida.de que vem sendo desen-

volvida, h, muitos sculos com diversas descobertas que motivam a comunidade cientfica

at os dias atuais . Com o pon to de pa rt id a para o estud o das leis da natur eza haviam

os mtodos prt icos ocupa,ndo-se das observaes e experimentos e os mtodos tericos

desenvolvendo leis e teorias fsicas. Com o objetivo de conectar esses dois mtodos foi cri-

ado os mtodos numricos, beneficiando enormemente o desenvolvimento cient f ico. Com

o desenvolvimento de novos algori tmos, e computadores de al ta velocidade e de grande

capa cidad e de arma zen am ento o uso de tcnicas num ricas par a a, soluo de p roblema s

com plexos da, engenharia, e da fsica, torno u-se uma, realida de. Em fun o dessa d isponi-

bi l idade computacional o desenvolvimento de algori tmos para a soluo dos mais diversos

problemas tem recebido enorme ateno dos anal is tas numricos. As principais vantagens

das solues numricas so: baixo custo, evoluo temporal do processo, apresentar re-

sul tados com rapidez, resolver problem as em geometr ias complexas e etc . En treta nto , a,

soluo numrica tambm apresenta, algumas desvantagens, como: instabi l idades, erros de

truncamento, prescrio das condies de contorno apropriadas e custos computacionais .

Com o desen volvim ento de sistem as de softwa re, surgiu a, Engenharia- de Softw are (ES)

motivando o interesse em reduzir custos e aumentar a qual idade dos softwares. Os funda-

me ntos cient ficos pa ra a , ES envolvem o uso de modelos ab stra tos e r igorosos que perm item

ao engenheiro especif icar , projetar , implementar e manter s is temas de software, aval iando

e garant indo suas qua l idades .

Neste t rabalho, a ateno vol tada, para o estudo do desenvolvimento de um simulador

de escoamentos de f luidos ut i l izando um mtodo numrico em domnio complexo. A soluo

dos problemas de escoamentos de f luidos requer o manuseio das equaes de Navier-Stokes,

al tam ente no l inear acop ladas s equaes da, conservao de massa, e energia. As equaes

de Navier-Stokes em c on junt o com condies iniciais e de contorno f is icamente aprop riadas,

permitem em princpio, obter informaes do car, ter fundamental da dinmica, dos f lui-

dos, torn an do a, soluo numrica, fun dam enta l devido s dif iculdades de se obter , na maior

parte dos problemas, solues tericas para, as equaes de Navier-Stokes, dando incio a

uma, im po rtan te rea, de estud o dos mto dos c om putacion ais p ara a, s imulao de fen-

menos que envolvem fluidos em movimento com ou sem troca, de calor, chamada Dinmica,

de Fluidos Computacional (DFC). O objet ivo bsico da, DFC reduzir o nmero de ex-

perimentos e explorar fenmenos que no poderiam ser estudados em laboratrio de forma,

prt ica, . Uti l izando as tcnicas da, DFC pode-se aval iar numericamente os diversos parme-

tros relevantes do problema. Esses podem ser faci lmente al terados a , t que o resul tado da

1


12/83

Introdu

simulao atenda s exigncias do projeto. A DFC est envolvida, prat icamente, em todos

os processos de produo de energia, nos fenmenos ambientais , nos projetos de equipamen-

tos trmicos, na, engenharia, aeronutica, e aeroespacial, engenharia, de reatores, engenharia

qumica, medicina, s iderrgica, indstr ia txt i l e injees em moldes.

O interesse de estudo neste t rab alho , so as solues num ricas de escoamen tos de f luidos

estacionrios e transientes, internos, laminares, incompressveis e viscosos para fluidos New-

tonianos. Nas l t imas dcadas muitos esforos tm sido dir igidos na obteno de solues

num ricas de escoa me ntos de fluidos viscosos incom pressveis. A ma ioria desses mto-

dos foram influenciados pelo mtodo MAC (Marker-and-Cell) |Ha,rlow and Welch, 1965|.

Mtodos encontrados em |Viecelli , 1969|, |Hirt and Nichols, 1971|, |Hirt and Cook, 1972|,

|Miyata and Masuko, 1985| , |Tom and McKee, 1994| e outros, so exemplos de tcnicas

numr icas baseadas no mtodo MAC.

Recentemente , o grupo de pesquisa em Matemt ica Apl icada do ICMC - USP, vem

desenvolvendo um ambiente de s imulao de escoamentos incompressveis t r idimensionais

denominado FreeFlow-3D |Castelo et ai , 20001. FreeFlow-3D foi obt ido pela extenso do

mtodo GENSMAC |Tom and McKee, 1994j para, problemas tr idimensionais e composto

por 3 mdu los: Modflow-3D - um am biente para mo delar escoamentos t r idimensionais;

Simflow-3D - esse m dulo im plem enta as equaes governantes junta m en te com as condies

iniciais e de contorno; Visf low-3D - um md ulo responsvel pe la visual izao dos resul tados

numricos gerados pelo mdulo Simflow-3D. Detalhes do FreeFlow-3D podem ser obt idos

em |Castelo et al , 2000| .

Na prt ica, muitos problemas podem ser modelados em duas dimenses, por isso uma

verso bidimensional do FreeFlow-3D, denominada, FreeFlow-2D |01iveira, 1999| que si-

mu la superf cies livres em geom etr ias comp lexas com m alhas e stru tura da s, foi desenvolvida,.

Porm, at o momento, FreeFlow-2D pode resolver problemas bidimensionais para f luido

Newtoniano, fluido Newtonia.no generalizado do tipo Cross Model |Siquieri, 20021, para es-

coamentos em regime turbulento |Ferreira., 20011, |Bra,ndi, 2005|, escoamento no-isotrmicos

|Sa,batini, 2002|, pro blem as de escoa me ntos mu ltifsicos |Sa,ntos, 2002|,

|Sousa, and Mangiavacchi , 2002J e para problemas de escoamentos no-Newtonianos e vis-

coel sticos |Gro ssi, 2003 |, |Silva, 2003 |, |Doricio , 2003| e |Silva,, 200 5|. Os a m bie nte s

FreeFlow-2D e FreeFlow-3D abordam apenas domnios decompostos em malhas uniformes.

Este t rabalho uma nova etapa para, o ambiente de s imulao FreeFlow-2D, que agora

perm ite s imulaes em domnios decom postos atravs de ma lhas no estru tura das . Este

novo ambiente denomina,-se UmFlow-2D.

Para, o desenvolvimento deste novo ambiente tambm real izado o estudo do mtodo de

Diferenas Fini ta s Gene ral izadas (DFG ), desenvolvido a, par t i r do mtod o de aprox imao

por mnimos quadrados loca l izados (MLS)

1

, introduzido por Shepard |Shepard, 19681, o

qual fornece uma, al ternat iva s interpolaes clssicas de aproximaes de funes a part i r

de seus valores dado s em um a srie de ponto s dis tr ibudos i rregularm ente. Este t raba lho

t ambm t m como objeto de estudo o mtodo de projeo de Chorin jChorin, 1968| e o

m to do semi-la,grangea.no |Phillips and W illiams, 20011 para, os term os convectivos. Estes

mtodos reunidos em um nico ambiente de s imulao numrica- uma das principais

contr ibuies deste t rabalho.

Para o gerenciameto da, malha, no estruturada, em duas dimenses, ut i l izada a estru-

1

mo v in g leas t sq u ar e

2


13/83

Introdu

tura, de dados "Singular Iandlc-Edge" (SHE ) |Lizier et a i, 2003|.

O presente t rabalho est organizado da seguinte maneira:

No captulo 2 apresenta-se as proprieda des do m todo num rico DF G par a equaes

diferenciais;

No captulo 3 a formu lao m ate m tic a e as equaes de Navier-Stokes so apresen-

tadas;

No captulo 4 apresenta,-se o mtodo da, projeo e o mtodo ut i l izada, no mdulo

simulador;

No captulo 5 as equaes ut i l izadas so discret izadas e aprese ntad a a, estrutura, de

dados SHE;

No captulo 6 apresenta,-se o estudo de Engenharia de Software e o ambiente de

simulao UmFlow-2D;

No captulo 7 tem-se a val idao e os resul tados de s imulaes real izados pelo

UmFlow-2D;

Por f im, tem-se as concluses e contr ibuies deste t rabalh o;

3


14/83

C A P T U L O

i

Mtodo Numrico para Equaes Diferenciais

1 . 1 I n t r o d u o

A modelagem matemtica de problemas reais em cincias apl icadas a cada dia se torna

uma ferramenta mais t i l na compreenso dos fenmenos envolvidos nesses, permit indo a

simulao computacional desses problemas e revelando-se determinante no desenvolvimento

de novas tecnologias. O resul tad o dessa mod elagem um c onju nto de equaes que deve

ser resolvido em computadores, produzindo uma soluo numrica, , denominada simulao

e descreve propriedades do problema em questo.

A simulao numrica- pode ser vista como uma, relao entre resultados tericos e

prt icos, que muitas vezes no apresenta, as restr ies que tais resul tados podem impor

na, mo delag em da fsica, do problema,. Desta, form a, p ar a q ue a, soluo numrica, seja,

apl icada a, um problem a, expresses m atem tica s devem ser derivadas. A modelagem de

problemas que envolvem escoamentos de f luidos requer soluo que manuseiam as equaes

de Navier-Stokes.

No presente t rabalho, o mtodo de discret izao ut i l izado o mtodo de Diferenas Fini-

tas General izadas sobre uma, malha no estruturada, . Detalhes das propriedades de mtodos

numricos para, EDPs podem ser encontrados em |Lapidus and Pinder , 1982| , |Sod, 1989],

|Cha,pra, and Can ale, 1990|, |Th om as, 1995|, |Cum ina.to and Meneguet-te, 1999|,

|Cunha,, 2000|, |Fortuna, 2000| e outros.

1 .2 M t o d o de D i f e r e n a s F i n i t a s Ge ne r a l i z a da s u t i -

l i z a n d o M n i m o s Q u a d r a d o s

O m todo D FG desenvolv ido a par t i r do mtod o de aproximao por m nimos qua dra-

dos local izados (MLS)

1

, introduzido por Shepard, o qual fornece uma al ternat iva, ,s inter-

polaes clssicas de aproximao de funes a partir de seus valores dados em uma, srie

de pon tos dis tr ibudos i rregu larme nte. O MLS para a soluo num rica de equaes dife-

1

movin g leas t . squa re

5


15/83

Capulo 1

Modo Numico para Equaes Diferenciais

renciais tem recebido grande destaque, gerando uma srie de mtodos chamados meshless,

os quais possibi l i tam uma- aproximao numrica a part i r de um conjunto de pontos que

pode m n o ter como supor te um a m alha ou tr iangula o. Aqui ut i l izada a definio

na qual um mtodo considerado meshless se as bases da aproximao so construdas a

part i r de um suporte arbi trr io gerado por uma coleo de ns dis tr ibudos i rregularmente.

A idia de ut i l izar ns postos i r regularmente num domnio para a obteno das aproxi-

maes das diferenas f ini tas surgiu no f inal dos anos 60, Jensen |Jensen, 1972| apresenta

um m tod o de DF que ut i l iza clulas ir regulares com seis pon tos. Uti l izando a expan-

so em srie de Taylor ele obtm uma formulao de DF que aproxima derivadas at de

segunda ordem. A principal desvantagem deste mtodo que apresenta frequentes s ingular-

idades ou mal condicionamento da clula. Perrone e Kao |Perrone and Kao, 1975[ sugerem

a adio de mais ns na clula e a apl icao de uma mdia para a gerao dos coeficientes

das D F. Liska, e Orkisz |Liska, and O rkisz, 1980| con tribu ram com o desenv olvim ento do

m to do n o que se refere , seleo de clulas na ten tat iva d e eliminar os proble ma s in-

dicados acima, ap l icando o m todo n a soluo de problemas l ineares e no l ineares. Os

trabalhos em |Luo and Haussler, 2002|, |Urena, et ai, 2001|, |Ma.rshall and Grand, 1997|, e

|Gossler , 20011 fazem uso do mto do n a constru o de DF , expan dind o suas apl icaes pa ra

a soluo de diferentes problemas.

Os mtodos meshless podem ser divididos em duas categorias: os mtodos baseados sob

princpios variacionais e mtodos que atuam diretamente nas equaes diferenciais gover-

nantes. Os mtodos da primeira categoria tm como caracter s t ica comum a ut i l izao de

um a integrao num rica para o estabelecim ento das equaes discretas do sis tema. Na

segunda categoria de mtodos meshless considerado o mtodo de DFG, no qual um con-

junto de equaes discretas estabelecido diretamente a part i r das equaes diferenciais .

Embora o mtodo de DFG seja um mtodo meshless , interessante ut i l izar malhas (es-

t ru turadas ou no es t ru turadas) como supor te dos ns , com a qua l pode-se garant i r uma

melhor dis tr ibuio dos ns sobre o domnio obtendo uma rpida busca de vizinhana.

1 . 2 . 1 C l u l a C o m pu t a c i o n a l a s s o c ia d a a um N

Seja. um domnio D C M

d

e um conjunto de ns V = {v\,..., v

nv

} tais que V C D. A

clula, computacional ou simplesmente clula do n Vi V, denotada, Cj, definida, como

o conjunto de n ns Vk G V, que so ut i l izadas no clculo dos valores aproximados das

derivadas de uma, funo contnua, no n V{. As clulas dos ns so tambm conhecidas

na l i teratura como estrelas de n ou molculas computacionais quando includo o n

principal .

Qu and o a, discret izao do dom nio no pod e ser regular devido a, fatores como um a

geometr ia complexa, do domnio ou ref inamento local da malha, se faz necessrio ut i l izar

outros mtodos de aproximao, como o mtodo de DFG que apresentaremos aqui , nos

quais a, bus ca e escolha, dos ns que co mp em um a clula, n o to im ed iata com o no caso

regular .

O critrio para, a, escolha, dos ns de uma clula, emprega como suporte uma, malha, no

es tru tur ad a formada, por elementos tr iangu lares num domnio bidimensional ( tetrae dros, se

o dom nio t r idimen sional) , assim, as relaes de vizinhana, pode m ser obt id as rapid am ente

utiliza ndo um a es tru tu ra de dado s apropriada,. Para, ns identifica dos pelos vrtices da,

malha ut i l izaremos trs t ipos de clulas:

6


16/83

1.2 Modo de Diferenas Finitas Generalizadas utilizando Mimos Quadrados

Clula C(I) : N este t ipo de clula, os ns que compe m a clula de um n v

7

correspon-

dem aos vrt ices que compart i lham uma aresta com Vi, ta l como pode ser observado

na f igura (1.1a) . O mtdo DFG precisa de uma quantidade mnima de ns, e podem

exist i r clulas com uma quantidade de ns infer ior ao exigido pelo mtodo, assim na

implementao, deve-se ter muito cuidado com este t ipo de clula. Geralmente, este

problema ocorre para clulas C(I) de ns no bordo do domnio. Este t ipo de clula

a que gera menos e r ros ao implementar o mtodo DFG.

Clu la C(II) : Pa ra um n Vi, este tipo de clula co mp ost o pelos ns da clula C(I)

mais os vrtices opostos aVipor arestas cujos extrem os esto em C(I) , como apres enta

a f igura (1.1b) . Por possuir mais ns, C(II) evi ta o problema de possuir um nmero

insuficiente de ns para, o mtod o DF G, m as apre senta a desvantag em de gerar maiores

erros de aproximao.

Clula, C( III): Este tipo d e clula com pos to pelos ns da, clula C (I) relacionada, a,

Vi, mais os vrtices que compartilham uma, aresta, como os ns em C(I), com exceo

de Vi. A figura, (1.1c) apre sen ta um exe mp lo des te tipo de clula,. Es tas clulas

sero ut i l izadas unicamente em casos excepcionais , onde clulas C(II) no possuam

quantidade mnima de ns exigida pelo mtodo de DFG. Um caso t pico onde se

utiliza, estas clulas so nos ns que esto nos "cantos" das malhas.

Pa ra clulas onde os ns devem ser posicionados no baricen tro dos elementos t r iangulares

ser, utilizado uma clula tipo C(IV), definida, como:

Clula(IV ): Os ns que compem a, clula t ipo C(IV) para, um n no baricen tro de

um elemento t r iangular , so dados pelos ns que esto nos elementos t r iangulares que

compart i lham vrt ices ou arestas com o tr ingulo do n bi . A f igura ( l . ld) apresenta,

um exemplo deste t ipo de clula.

Para, cada, n

Vi

G

V

s i tuado na posio

r;

=

( x x f )

2

pode-se definir um novo

sistema, de coordenadas cuja, origem est situada, em

r,

com o qual , uma, posio qualquer

r =

(x

l

,..., x

d

) expressa, neste novo sistema, de coor den ada s com o

r

= (x

l

,..., x

d

) com

seus componentes dados por:

x

j

= x

j

- xj p a r a j = 1 , . . . , d. (1.1)

assim, as posies dos ns Vk C\, podem ser expressas como i

k

(x\,...

, x f ) .

Como uma, medida, de tamanho, para, cada, clula C

h

se define o raio da clula, pi, como

pi = min pi

:

k, onde p^

k

so as distncias euclidianas de cada, um dos ns v

k

da, clula,

fceCi

com o n principal v

i}

assim p

i]fc

= | |f

fe

| |

2

(comprimento da aresta , ViV

k

). Por tan to , pode-se

introduzir um parmetro de comprimento global da, malha, h como:

h = min pi ,

que simplesmente igual ao comprimento da menor aresta, da, malha,.

2

x j = (v , e j ) , onde ej so os elem entos da base c ann ica.

7


17/83

Capulo 1


c) C(I II) d) C(IV )

Figura 1.1: Diferentes tipos de clula de n.

1 . 2 .2 A p r o x i m a o p o r M n i m o s Q u a d r a d o s

Seja / :D > R uma funo de classe C

q

definida em D C R

d

e um conjunto de ns

V C D. Suponha, que para, qualquer n v

0

GV definida uma, clula, C

0

, e o valor de / (r

0

)

conhecido.

Proc ura-se um a fun o /o que aproxim e / na vizinhana, de Vo e cujas derivadas de

ordem menor ou igual a,s < q sejam fceis de calcular. Uma, boa, alternativa utilizar um

polinmio de ordem s > 0 aju sta do por mnim os qua drad os com os valores da, fun o / nos

ns de CQ.Suponha, q ue

/o (r) = / (r

0

) +

W

0

f )

, (1.2)

8


18/83


onde

W

q um polinmio de grau s dado por

(1.3)

j=i

onde P

0

( j )

(f) expressam os elementos de uma base do espao polinomial V

S

e c, so os

coeficientes correspondentes. O polinmio de aproximao W

0

(r ) deve ser nulo sob o n v

0

.

Cada, um dos elementos PQ\r) da, base polin om ial um m onm io de grau m eno r ou igual

a s , com exceo do monmio de grau 0, que pode ser desconsiderado

3

. Por simplicidade,

identif icaremos PQ\t) como P

j

, Wo(r) como W

0

, e j j^H^k) como pff* quando (r*,) o

vetor posio do n v

k

, deixado implci to que estes elementos esto relacionados ao n v

0

.

E x e m p l o 2 . 1 . Ao ut i l izar um polinmio de primeiro grau (s = 1) numa funo de

aproximao /o, para um problema unidimensional , Wo ser, dado como:

W

Q X) C\P

L

=

C\X

assim, / aprox ima do no pon to

X

q por /

0

que ser uma linha, reta, em R

2

. Para, um

problema, bidimensional, Wo ser, dado por

W

Q

(x, y) = CjP

1

+ c

2

P

2

= c

x

x + c

2

y

com o qual a , fun o de aproxim ao /o um p lano em R

3

. Os coeficientes Ci do polinmio

W

0

aproximam as derivadas de / sob o nVq. No seguinte exemplo pode ser apreciado este

fato.

E x e m p l o 2 . 2 .

Supo nha um a funo / : D C M

2

> R a, qu al apr ox im ada po r /

0

,

sobre o n Vo a part i r de um polinmio de aproxim ao

WoOr, y) = cix + c

2

y + c

3

x

2

+ c^xy + c

5

y

2

.

A ^ H p n v ^ H f l s ^ -L &L nodem ser est imadas de fe ^ Uz. devido

s d er iv ad as ^ , g ^ j ,

9y 2

poaem ser estima,da,s ae

d x

,

d y

,

d x 2

,

9 x d y

, ^ , uev iuu

a, que f

0

= (0,0) de (1.2) obtm-se:

= Ci + 2

c

3

x + c

A

y =

Ci,

= c

2

+ c

A

x + 2c

5

y = c

2

,

= 2C

3

,

= c

4

,

- 2 c

s

.

dfo

dWo

dx dx

dfo

dW

0

dy

d

2

fo

dy

d

2

W

0

dx

2

dx

2

d

2

fo

d

2

W

0

dxdy dxdy

d

2

fo

d

2

W

0

dy

2

dy

2

3

Po r d ef in io , o esp ao p o l in o mia l Vs

d )

co mp o s to p o r to d o s o s p o l in mio s d - d imen s io n a is d e g r au

men o r o u ig u a l a s , in c lu in d o o s mo n m io s de g r au ze ro . Nes te t r ab a lh o o esp ao v i ^ co r r esp o n d e ao

co n ju n to d e to d o s o s p o l in mio s d - d imen s io n a is d e g r au s', onde 0


19/83

Capulo 1


Cad a problema necess ita de um a base . . . , P ^ para formar o espao pol inomia l

Vs ( tal como se observa nos exemplos 2.1 e 2.2) . Ca da um dos elementos da base P ^

definido como um monmio de grau s' , com 0


20/83


(a)

(b)

Figura 1.2: Funo de aproximao /

0

: (a,)uma linha reta com s = 1, e (b) uma parbola

com

5

= 2.

o vetor de incgnitas c = [c j , . . . , Cn]

7,

e b = [6 ] , . . . , 6

n

]

r

onde bi denotam os produtos

escalares

E ( / ( '* ) - / M ) ^

0

^ . (1-8)

vkCo

avaliados sobre os ns Co. A fun o peso u)k foi intro du zid a, e gera lme nte, dep end e das

posies entre os ns Vqe Vk- Alg um as vezes, a fun o peso Ut utiliz ad a p ar a privilegiar

ns num a dad a direo. Neste t rabal ho ut i l izamos fun es peso isotrpicas, onde o valor

depend e unicam ente da d i s tnc ia de um ponto qua lquer ao n Vq\

-^ = Wfc(Po,fc). (1.9)

A funo peso no deve incrementar-se com seu argumento, is to ,

CJ

a

> U

b

Po,a

R- ( l - l l )

Para, evi tar que o s is tema (1.6) seja indeterminado, importante que qualquer clula,

computac iona l C

0

, tenha, uma, quantidade de ns igual ou maior a,n (nmero de monmios) .

Para, o estud o da, consistncia das aproxim aes das derivad as obt id as pelo m todo DF G,

ana lisam os a, soluo do sistema, (1.6).

Seja um n qualquer v

0

V.

Sup ondo que o polinmio de aproxim ao Wo

Vi

d

\

a, fun o / dada, po r (1.2) e a, m atri z A do siste ma line ar (1.6) utiliz ada no a ju st e por

mnimos quadrados de / no s ingular , ento, seu determinante pode ser expresso mediante

a, regra de Laplace como,

TL

d et(A ) = ^ ( - l ^ X A t ^ ) , (1-12)

j=

onde Aij a, m atr iz de ordem n

l obtida, ao e lim ina r a, i-sima, co lun a e a, j-sima, lin ha

da, matriz

A .

Aplicando a regra, de Cramer para solucionar o sistema, (1.6), cada, um dos

11


21/83

Capulo 1


coeficientes C; do veto r

c,

ser dado por

= 2 > l )

"

(2

'

27)

Dv dp (d

2

v d

2

v\

+ (2.28)

Dt dy \dx

2

dy

2

/

em que i> -j^ > 0 o coeficiente de viscosidade cinemtica molecular (constante) do fluido,

p a presso c inemt ica (p = p

0

a densidade c / i

0

o coeficiente de viscosidad e. As

equaes (2.27) e (2.28) so as equaes de quantidade de movimento nas direes

x

e

y

respec t ivamente .

2 . 5 A d i m e n s i o n a l i z a o

Os problemas em mecnica dos f luidos envolvem grandezas que os caracter izam, como

velocidade, presso, massa especfica, etc,. Essas grandezas na forma dimensional so dife-

renciadas por suas magnitudes, dadas atravs de um sis tema mtr ico escolhido previamente.

As constantes de adimensional izao, resul tantes deste processo, so importantes por ca-

racter izarem o escoamento quanto s foras que so predominantes. As ut i l izadas aqui so

definidas a seguir:

Nm,ero de Reynolds (Re): Rep resenta a razo entre as foras inerciais (que so

responsveis pelo movimento do fluido) e as foras viscosas (que so responsveis pela

dissipao devido ao coeficiente de viscosidade molecular) do escoamento, dado por

R e =

esEL

=

HL, (2.29)

fi0

onde ,

L

a escala de comprimento,

U

a escala de velocidade.

Nmero de Fronde (Fr): Representa a razo entre as foras inerciais e as foras gra-

vitacionais, isto

Fr = (2.30)

\fgL

19


29/83

Capulo 2 Equaes de Navier Stokes

Pa ra ad imen sional i zar as equaes de quant id ade de movime nto e cont inuidade , def inem-se

algumas variveis adimensionais, como segue

p

~~ PoP*

H = p = p

0

U

2

p\ x = Lx*, u = Uu*,

t

= Jj

t

*i g = og*,

onde

x =

(x, y).

Subst i tu indo as var i ve i s ad imensionai s nas equaes de quant idade de movimento e

conservao de massa e e l iminando "*" para s impl i f i car , ob tm-se na forma adimensional

^

+

V . ( n ) = - V p

+

V u + ^ g , (2.31)

V .

u

= 0. (2.32)

As equaes (2.31) e (2.32) podem ser escri tas na forma cartesiana em duas dimenses

como

Conservao de massa (continuidade):

dx dy ( '' )

Balano de quantidade de m,ovim,ento\

dv

Tt

+

dv

2

dx

d(vv)

dy

dp

dx Re

1

(d

2

v

\dx

2

d

2

v>

+

dy

2

)

1 +

9 x

1

F

r

2

dv

m

+

d{vv)

dx

dv

2

dy

dp

dy

J - l

Re

1

(d

2

v

\dx

2

d

2

v\

+

dy

2

)

, 9y

Fr

2

'

(2.34)

(2.35)

2 . 6 Co nd i e s I n i c ia l e d e C on t o r n o

E fundamenta l para a formulao dos problemas modelados por equaes d i ferencia i s a

escolha apropriada da condio inicial e condies de contorno. A condio inicial apropri -

ada para as equaes (2.31) e (2.32) que o campo de velocidades inicial seja especi ficado

em todo o domnio, de modo a respei tar as condies de contorno e que seja solenoidal , i s to

,

V . u =

0.

2 . 6 . 1 C o n d i e s p a ra C o n t o r n o s R g i d o s

Pode-se apl icar as condies:

C o n d i o s e m e s c o r r e g a m e n t o ( n o -s li p ) :

Para escoamentos v i scosos , nas pare-

des s l idas , def ine-se a componente normal (u

n

) e as componentes t angencia i s (u

t

)

da velocidade n a pared e, como sendo nulas. Es ta condio reflete o fa to do fluido

imedia t amente ad jacente a parede es t a r em repouso em re l ao a mesma.

20


30/83

2.6 Condies Inicial e de Contorno

C o n d i o d e s i m e t r i a o u c o m e s c o r r e g a m e n t o ( f r e e - s l i p ) : u s a d a q u a n d o

h fronteiras de s imetr ia , ou quando os efei tos da condio no-sl ip no so desejveis .

Neste caso define-se u

n

= 0 pa ra a com pone n te norma l f ron te i ra r g ida e ^ = 0

para as componen tes tangenc ia is , onde

n

a dire o nor m al , f ro ntei ra r gida. Essa

condio permite que o f luido desl ize l ivremente sobre a superf c ie .

C o n d i o d e e n t r a d a d e f l u i d o ( i n f l o w ) :

usada em f ron te i ras onde h en t rada

de f lu ido no s i s tema ( fon te de massa) . Para essa cond io , de f ine -se

u

n

=

Ui

n

fl

ow

p a r a

a componen te normal da ve loc idade , e

u

t

= 0 pa ra as com pone n tes tangenc ia is .

C on d i o d e sa d a d e f l u i d o ( ou t f l ow ) : usada em f ron te i ras onde h sa da

de f luido no s is te m a (sorvedouro de m assa ) . Neste caso, define-se ^ = 0 pa ra a

com pone n te norma l da ve loc idade , e ^ = 0 pa ra as com ponen tes tangenc ia is .

2 . 6 . 2 Co nd i e s de C on t o r n o na Su pe r f c i e L i v r e

Rep resen ta um a in te r face en t re o f lu ido e um a a tmo sfe ra . Qu and o t rabalha , -se na,

superf c ie l ivre do f luido, necessrio impor condies sobre a velocidade e a presso

|Ba tche lo r , 1970|. Ta is cond ies , cons iderando nes te t rab a lho qu e o coef ic ien te de ten -

so superf ic ia l nulo |Griebel e t a l . ,

1998|,

se resumem nas equaes

n (


31/83

Capulo 2

Equaes de Navier Stokes

2 . 6 . 3 Co nd i o pa r a a P r e s s o

Em problema de escoamento de f luidos, importante impor condies de contorno que

sejam fis icamente corretas , pois se impostas incorretamente podem gerar solues f is ica-

mente incorretas , ou fazer que o s is tema de equaes no tenha soluo. Is to ocorre pelo

forte acoplamento entre acelerao e presso nas equaes de Navier-Stokes.

Pode-se tentar deduzir condies para a presso ut i l izando algumas simplif icaes. Con-

sidere a equao (2.18) aval iada num contorno T e projetada. na direo do vetor n, normal

a r ,

+ v

( p u u ) )

} -

n = + v

[ p ( v u + V U T ) ] + p g

} -

n

-

( 2

-

4 2 )

Como a equao acima aval iada no contorno T, pode-se apl icar as condies de con-

torno para a velocidade. Por exemplo, apl icando a condio de no escorregamento em T,

ou seja,

u = 0.

Desconsiderando os termos nulos, tem-se:

n = [ - V p +

/zV

( V u + ( V u )

T

) + pg] .n. (2.43)

Para a derivada temporal pode-se considerar que

u = 0

para qua lquer tempo t em

F,

o que resul ta que o termo de derivada temporal tambm nulo. Assim, tem-se

Vp.n = pV ( V u + V u

r

) . n + pg.n , (2.44)

ou ainda,

^ = f iV

( V u + V u

T

). n + pg .n. (2.45)

Devido a dif iculdade de se calcular exatamente o termo acima, normalmente fei ta a

aproximao

yLtV ( V u + V u

T

) . n = 0. (2.46)

Assim, pode-se considerar na ausncia de gravidade I

2

= 0 nos contornos rgidos.

22


32/83

C A P T U L O

3

Mtodos Num ricos para Equao de

Navier-Stokes

3 . 1 I n t r o d u o

Os mtodos para, soluo das equaes de

Navier-Stokes

para, escoamentos de fluidos

podem de maneira geral, ser classificados em mtodos acoplados e mtodos segregados.

Mtodos acoplados buscam resolver o s is tema completo de equaes a cada ciclo com-

putac ional , aco plando as equaes de conservao de mo vimen to e continu idade. Sendo

esta a maneira mais imediata de se resolver as equaes de Navier-Stokes mas apresen-

tan do maiores dif iculdades na, sua imp leme ntao e um al to custo com putac ional pelas

fortes influncias da n,o-linearida,de dos termos convectivos.

Neste sent ido, os mtodos segregados buscam o desacoplamento entre as equaes, se-

parando o sistema n,o-linea,r em problemas mais simples, que podem ser resolvidos sequen-

cialmente.

Dentre os mtodos segregados, os que mais se destacaram foram os denominados mto-

dos da projeo. Tal faml ia de mtodos foi pr imeiramente introduzida por Chorin, seguido

por muitos outros autores, como Amsdem e Harlow |Amsden and Harlow, 1970] com o

m todo SMA C, Tom e Mckee |Tom and McKee, 1994 | com o m todo GEN SM AC e P a tank ar

|Patankar , 1980| , |Pata,nkar and Spalding, 1972| com o mtodo SIMPLE. Os mtodosde

projeo podem ainda, ser classif icados em mtodos contnuos, mtodos semi-discretos, ou

de passos fracionrios |Gresho, 1990| , |Gresho and Chan, 1990| e mtodos discretos.

Este cap tulo apresenta uma breve discusso sobre o mtodo da projeo, a idia, do

mtodo de passo fracionrio e mtodo semi-lagrangeano e o mtodo ut i l izado para, discre-

tr izao das equaes de Navier-Stokes no mdulo de s imulao do UmFlow-2D .

23


33/83

Capulo 3 Modos Numicos para Equa de Navier Stokes

3 . 2 A i d ia Ge ra l do M to d o da P ro j e o

A teoria , do mtodo de projeo baseada no fato de que qualquer vetor

v

l . onde Q

um domnio com contorno d l suave, pod e ser unicam ente deco mp osto da, seguinte form a

v = v

d

+ V ^ , (3.1)

onde v

d

solenoidal e paralelo ao contorno dl, isto ,

V . v

d

= 0 em , (3.2)

v

d

. n = 0 em Q, (3.3)

e


34/83

3.2 A ida Geral do Modo da Proje

Comparando (3.8) e (3.10) , obtm-se a seguinte forma para os operadores de projeo:

V = I - V ( V

2

r

:

( V . ) (3.14)

Q = I -V = V(V

2

)~

1

(V.) (3 .15)

Atravs destes operad ores, presso e acelerao local pod em ser desacop ladas das equaes

de Navier-Stokes. De fato, segundo Gresho |Gresho, 1990], enquanto presso e acelerao

podem ser calculadas sequncialmente, presso e velocidade no, pois esto int imamente

(ou fortemente) acopladas em escoamentos incompressveis .

3 . 3 M t o d o d e P r o j e o

O primeiro passo do mtodo de projeo consiste em resolver a aproximao

= S ( u ) - V p , (3.1 6)

onde p uma aproximao para a presso, que pode vir das condies iniciais , ou do passo

anter ior no algori tmo. A velocidade intermediria u resul tante de (3.16) no solenoidal ,

pois em geral, p ^ p. De sta forma , u pode ser pro jeta da no subesp ao de divergncia

nula, ut i l izando-se o operador V. Assim, uma soluo solenoidal pode ser aproximada pela

pro jeo

U

D

= V[\,

(3.17)

que pode ser tomada como aproximao da soluo real . No entanto, o operador V difcil

de ser apl icado diretamente, pois V

2

pode ser invert ido somente atravs de uma funo

de Green |Ja,nkowski, 1998|, sendo necessria a informao das condies de contorno e

da geom etr ia do proble ma em part icu lar . Pa ra evi tar a inverso do ope rado r Laplacia.no,

outra aproximao fei ta: considerando a equao (3.1) o passo de projeo pode ser fei to

ut i l izando-se a seguinte decomposio

u = Ud + V


35/83

Capulo 3

Modos Numicos para Equa de Navier Stokes

3 . 4 M t o d o do Passo F r a c i o n r i o

O mtodo de passo fracionrio um mtodo semi-discreto, que parte das equaes

de Navier-Stokes j discret izadas no tem po. Por s implicidade, pode ser usado o m tod o

de Adams-Bashforth para os termos convect ivos e o mtodo trapezoidal para os termos

difusivos. Assim, temos

( u

n + 1

- u )

St

\ (u

n

V ) u - \ (u

1

V) u

1

- w

n+ 1

2 Re

V u

n + 1

= 0.

V

2

(u

71-1

u'

(3.21)

(3.22)

A idia aprox ima r (3.21) por um a velocidade tenta t iva u* , usando a equao da quant i -

dade de movimento sem o termo da presso, e ut i l izar a presso para projetar a velocidade

tentat iva no espao de funes incompressveis discretas encontrando a velocidade f inal .

Matematicamente, este processo consiste em fazer a seguinte separao

u - u

St

+

| (u

n

V ) u - \ (u

1

V) u

Li Li

71-1

2 Re

V

2

(u* + u ),

(3.23)

u

n+ l _

u

*

St

-Vp

,71+1

(3.24)

A presso em (3.24) encontrada apl icando-se o operador divergente e pela condio de

incompressibidade (3.22) . Resultando na equao de Poisson para a presso dada por

(V- V)p

n+ l

= ^V-u*.

(3.25)

Assim essas equaes so resolvidas na sequncia (3.23), (3.25) e (3.24) em cada passo de

tempo. Mais detalhes podem ser obt idos em |Perot , 1993j e |Armfield and Street , 2002| .

3 .5 M t o d o S e m i -L a g r a n g e a n o

A idia bsica do mtodo semi-lagra,ngea.no acompanhar uma, partcula, de fluido

durante sua trajetria, ao longo da malha, sobre o escoamento. Seja (p uma, varivel

Dtp

~Dt

F .

Util izando, o referencial Lagran geano, a, derivada, ma ter ial ^ pod e ser aproxim ada p or

ip{x,t + St)


36/83

3.5 Modo Semi Lagrangeano

Ass im,


37/83


Co mo n o caso ante rior, com os valores de u i e 112 e os valores das coo rden ada s (x, y) nos

pontos 1, 2 e na posio

(x u


38/83

3.6 Modo Utilizado no UmFlow 2D

- Condies homognea s do t ipo Neu ma nn no conto rno rgido, ou seja ,

dp

n+ l

_

dn

Est a condio ut i l izada ta m bm , nas regies de en trad a de f luido, caso existam .

- Con dies hom ogn eas do tip o Dirichlet na superfcie livre, ou seja,

p

n+ 1

= 0.

Esta condio tambm uti l izada nas regies de sada de f luido, caso existam.

P a s s o 3 :

Atual izar o campo de velocidade f inal

u

n+ 1

~ - LVp

n+ 1

(3.44)

Desta, forma, esses passos formam um ciclo computacional , a part i r de um tempo inicial

t

n

para o clculo das variveis pr imit ivas num tempo poster ior t

n

+i = t

n

+ t.

3 . 6 . 1 C l a s s i f i c a o da s C l u l a s

O mdulo de s imulao do ambiente UmFlow-2D foi or iginalmente cr iado para, resolver

problemas com superfcies livres, deste modo, necessrio classificar as clulas da, malha,,

pois o fluido est con tinu am ent e em m ovim ento . Ou seja,, a, ca da pass o no tem po o fluido

se mo vim enta. Essa, classif icao, est basea da na, classif icao do m tod o G EN SM AC , e

identifica se a, clula, faz parte da, entrada, ou sada, do domnio ou est no contorno rgido,

se con tm ou no fluido, se pe rten ce , supe rfcie livre. Aqu i con sidera do com o dom nio

apenas os elementos t r iangulares interno ao domnio r gido, os elementos t r iangulares per-

tenc ente s ao d om nio rgido, , fro nte ira de entrada, e sad a do fluido so fictcios conside-

rado s ape na s para, aplicaes d e condies de conto rno. Para, ta nt o se adota, a, segu inte

classificao:

C lu las vaz ias ( empty ) (E) :

So elementos t r iangulares que no contm fluido;

Clulas cheias ( fu l l ) (F) : So elementos triangulares cheios de fluido e no pos-

suem nenhuma, fa,ce(arest,a,) em contato com as clulas vazias;

Clu las d e sup erf c ie ( surface ) (S) : So elementos t r iangulares que contm

fluido mas possuem uma, ou mais faces (arestas) em contato com clulas vazias;

C lu la s do con torn o ( boundary ) (B) : So elementos t r iangulares que possuem

uma, aresta pertencente ao domnio r gido e no pertencem ao domnio;

Clulas do injetor ( inf low ) ( I ) : So elementos t r iangulares que possuem uma,

aresta pertencente fronteira , de entrada- do f luido no domnio e no pertencem ao

domnio;

Clulas do ejetor ( outf low ) (O):

So elementos t r iangulares que possuem uma

aresta, pertencente fronteira, de sada, do fluido no domnio e no pertencem ao

domnio.

At o momento apenas s imulaes de f luido com escoamento confinado est , implemen-

tado, assim no encontrado clulas vazias e de superfcies livres.

A figura, (3.2) ilustra, essa, classificao das clulas na malha, em um instante dado para

um escoamento bidimensional .

29


39/83


i

o

o

o

o

o

o

B B B B

B

B

Figura, 3.2: Tipos de clulas.

3 . 6 . 2 Co nd i e s I n i c i a l e d e C on t o r n o

As condies de contorno ut i l izadas so as mesmas apresentadas na seo 2.6.

3 . 6 . 3 C o n d i o d e E s t a b i l i d a d e d o M t o d o

Assim como no mtodo GENSMAC, o mtodo u t i l i zado no mdulo de s imulao do

UmFlow-2D, lida, com equaes no-lineares, dificultando a, anlise analtica, da, estabili-

dade. Desta, forma,, pode-se arg um enta r pelo estu do das equaes l inearizadas ut i l izando

um mtodo de anl ise de estabi l idade. Portanto o cr i tr io de estabi l idade empregado uma,

condio necessria, mas no suficiente.

O uso de integrao temporal explcita, impe severas restries aos valores permitidos

de St em problemas onde os termos viscosos da equao (2.12) so predominantes. Em par-

t icular , esse t ipo de problema, ocorre quando o escoamento apresenta nmero de Reynolds

baixo, os chamados creep flow.

A restr io imposta, pelo t ratamento explci to dos termos viscosos

onde h igual ao comprimento da, menor aresta, da, malha.

Outra, restr io de estabi l idade do mtodo relaciona o valor do passo temporal com o

espaamento da, malha, e com uma, velocidade de referncia,. Ou seja, o fluido ao longo do

escoamento, no pode percorrer uma distncia, maior que o comprimento de um elemento

tria ng ula r a, cada, passo no tem po , pois caso isso ocorra, po de-se pe rde r inform aes sob re

as propriedades que esto sendo transportadas. Essa restr io, exige que

(3.45)

(3.46)

30


40/83

3.6 Modo Utilizado no UmFlow 2D

e

t

CFLy

c

2

(4.15)

; _ (4.16)

nc

,ipi+m

nct2

p

2

+ --- + m

nc

,

nv

p

nc

= D

Cn c

,

(4.17)

onderrii,i = ct^,

m^k

= cti,k pa r a

v

k

E Ci,

e os demais elementos matr iciais so nulos.

Para, a, discretizao de p na, regio de contorno introduzido, para, cada, elemento

t r iangular per tencente ao contorno , um e lemento t r iangular " fan tasma", aumentando uma

vizinhana na, clula de aproximao das derivadas.

Na regio de entrada de fluido e no contorno rgido utiliza,-se condies homogneas do

t ipo Neumann, ou seja ,

^ = 0,

dn

o valor dep no elemento fantasma, igual ao valor dep no elemento t r iangular de contorno.

0 te rmo independente

b

em (1.6) no alte rad o.

Para regio de sada, de fluido so utilizadas condies homogneas do tipo Dirichlet, ou

seja,

p = 0.

Neste caso o valor de p no elemento fantasma, igual ao valor de p no elemento t r iangular

de contorno. Para, o termo independente b em (1.6) somado 2p

0

P

l

f

onde Pj o monmio

1 do elemento triangular fantasma,. Seja, a numerao das clulas como na, figura,

(4.3),

a,

linha da, matriz para, essa, clula, deve ser

[ 1 1 12 13 14 "15 16 1,7 1,8 0 1,10 0 1,12 0 1,14 1,15 1,16 j

( 4 . 1 8 )

Conclumos que, para, a matr iz no possuir elementos negat ivos na diagonal pr incipal ,

o domnio deve ser t r iangular izado de modo que um e lemento t r iangular tenha apenas uma

aresta , pertence ao seu contorno.

37


47/83

Capulo 4

Discretiza das Equaes

Figura 4.3: Clula com tr ingulos numerados.

4 . 2 . 3 T c n i c a s d e A r m a z e n a g e m

Como discut ido na seo 4.2.2, a discret izao da equao (4.5) resul ta uma matr iz

A

esparsa e no simtr ica para, as equaes no clculo de

p.

Desta, form a, foi necessrio

o uso de tcnicas de arma zenag em compacta, para, essa ma tr iz . Existem vrias tcnicas

de arm aze nam en to, como as desc ritas em |Knut,h, 1968| e |Bentley, 19861. No prese nte

trabalho, utilizada a tcnica de indexao por linhas descrita por Bentley |Bent,ley, 1986|.

Para, representar a matr iz

A

de dimenso n x n, em que n o nmero de clulas do

dom nio, a, tcnica, de index ao p or linhas ne cessita de dois vetores un idim ension ais, sa e

i j a. A seguir, um resu mo do esquema, para aplicao desse tcnica, apr ese ntad o.

1. As primeiras n posies do vetor sa armazenam os elementos da, diagonal pr incipal

da, matriz

A ;

2. A posio

n

+ 1 do vetor sa um valor qualquer , aqui denotado

x\

3. As posies > n + 1 do vetor sa ar ma zena os demais elementos da matr iz , percorrendo-a,

por linha,;

4. As primeiras n posies do vetor i j a a rma zena m os ndices do vetor sa nos quais

esto armazenados o primeiro elemento fora da diagonal pr incipal de cada l inha;

5. A prim eira posio do vetor i j a semp re igual a n + 2;

6. As posies > n+1 do vetor i j a arm azen am o nm ero da, coluna, em que os elementos

fora, da diag onal p ertence m, perco rrendo a, ma tr iz po r l inha.

38


48/83

4.2 Discretiza das Equaes

Como exemplo da ap l icao dessa tcn ica , cons idere a mat r iz

2 0 2

0

0 3

4

0 0

0 5 6 7 0

0 0 0

8 9

0

0 1

Ut i l izando a tcn ica de indexao por l inhas para

A ,

cons t rem-se os ve to res

s a

e

i j a

da, seguinte forma

ndice

k

1 2

3

4

5 6 7 8

9 10 11

12

7 8

9

11

12

13 3 3 2

4

5

4

sa|&|

2

3

6

8

3 X

2 4

5 7

9

1

De s t a f o r ma , p o d e - s e a r ma z e n a r u ma ma t r i z e s p a r s a

A

em apenas do is ve to res .

4 . 2 . 4 A p r o x i m a o d a E q u a o d e A t u a l i z a o d a V e l o c i d a d e

A atualizao do campo f inal de velocidade, fe i ta pela equao (3 .44) . As velocidades

na d i reo x e y so d isc re t izadas como

u

n+ l

=u-tc

lp

,

V

n+ 1

= v-tc

2p

,

4 . 2 . 5 A p r o x i m a o d a s C o n d i e s d e C o n t o r n o

Para, os ns pertencentes a borda do domnio fa ,z-se uma verif icao do t ipo de condio,

"inflow", "outf low" ou "boundary", em relao a aresta , da seguinte maneira: se uma aresta

tem vrt ices com t ipos diferentes , a velocidade normal e tangencial nesses vrt ices so nulas ,

des ta fo rma necess r io que o tamanho para a reg io de en t rada e sa da de f lu ido se ja maior

que duas arestas (3 vrt ices) .

C o n t o r n o s r g i d o s :

No caso em que um n Vi de bordo t ipo "bound ary" e tm suas

ares tas de bordo com ns do t ipo "boundary" ap l ica -se a cond io sem escor regamento

("no-sl ip"), ou seja, a, com pon ent e nor m al (u

n

) e a c o mp o n e n te t a n g e n c i a l (u

t

) da.

velocidade do n Vi so nulas .

C o n d i o d e en tra d a d e f lu id o ( i n fl ow ): No caso em

qu e

u m n

v,

de bordo

tip o "inflow" e tm sua s are sta s de bor do com n s do tip o "inflow", tem os t^n Uinfloyj

para a componen te normal da ve loc idade , e

u

t

= 0 par a as com pone n tes tangenc ia is .

Condio de sa da de f lu ido ( outf low ) : No caso em que um n Vi de bordo

t ipo "outf low" e tm su as aresta s de bo rdo com ns do t ipo "outf low", define-se ^ f = 0

para, a, com pon en te no rma l da ve loc idade , e ^ = 0 para , a s com ponen tes tangenc ia is .

Cons idera -se uma, re ta passando pe lo vr t ice

Vi

com d i reo

m = (m

x

,m

y

)

onde m

o vetor un itr io com direo da, m di a dos vetores norm ais das ares tas vizinhas (ver

F igura 4 .4 ) . Toma,-se o pon to P i nes ta re ta a uma d is tnc ia h de Vi do lado interior a

malha, sendo

(x,y)

as coorde nadas de

Vi,

as coord enada s de se ro

39


49/83

Capulo 4


p

ix

= x- m

x

h e Pi

y

= y m

y

h,

onde ho valor da m enor are sta da malh a, ento procura,-se o t r ingu lo que o novo n

pertence e faz-se uma, interpolao linear com os valores das velocidades nos vrtices

desse tringulo, o valor encontrado ser, o valor das velocidades do n Uj.

4 . 3 M t o d o d o s G r a d i e n t e s B i - c o n j u g a d o s p a ra S i s t ema s

Espa rsos

A aplicao da, discret izao das equaes de Navier-Stokes, pelo mtodo DFG resul ta

em um sistema, linear espars o par a o clculo da, equ ao de Poisso n. Na, m etodo logia

GENSMAC, o mtodo gradiente conjugado (GC) ut i l izado na, resoluo da, equao de

Poisson para, a, presso , po is o sistema, resu ltan te esparso, definid o pos itivo e sim trico.

Mas para, o m todo DF G a, equao para, a presso

p,

tem como s i s tema resu l tan te mat r iz

no simtr ica, que por sua, vez, no permite o uso do mtodo GC. Portanto, a apl icao de

um novo mtodo i terat ivo para, resoluo de s is temas l ineares necessria .

O objet ivo desta, seo apresentar o mtodo dos gradientes bi-conjugados (GBC), para,

soluo de sistemas lineares

A . x = b , (4.19)

com mat r iz A no simtrica,.

A formulao do mtodo GBC, requer que inicialmente, construa,m-se 4 vetores r

k

, r

k

,

p

fc

e p

fc

, k 1, 2,. . . . Deve-se fornecer os vetores iniciais r

1 ;

ri, p j = ri e p

2

= ri- Desta,

forma,, pode-se definir o seguinte algoritmo

T

T

k

T

k

Oik -

T a '

P k '

A

' P k

Tfc+1=T

k

~ OL

k

A .p

f c

,

FFC+I =


50/83

4.3 Modo dos Gradientes Bi conjugados para Sistemas Esparsos

Os vetores dessa sequncia so bi-ortogonais, ou seja

f f .

T j

^ i f . T j = 0 , j


51/83

Capulo 4


O cri tr io de parada do algori tmo (4.29) para o mtodo GBCP pode ser expresso como

Para o mtodo GBC no existem resul tados que garantam sua convergncia, como no

caso do mto do G C. Des ta form a o mtodo GB C pode fa lhar em a lguns problemas . Deta lhes

sobre o mtodo GBC e GBCP podem ser encontrado em |La,nczos, 1952| , |Watson, 1976| ,

|Vorst, 1992|, |Press et al. , 1992| e jAyachour, 2003|.

Para garant ir uma melhor dis tr ibuio dos ns sobre o domnio, ut i l izado no mtodo

de DFG a es t ru tura de dados "Singular Handle-Edge" (SHE ), ut i l izada para, a representa o

de malhas no es t ru turad as em duas d imenses. A es t ru tu ra de dados SHE tem a habi l idade

de representar vrt ices s ingulares e curvas do contorno. A introduo de vrt ices s ingulares

comum nos processos de insero e remoo de t r ingulos nas malhas no estruturadas.

Em aplicaes numricas as condies dos contornos associados uma equao diferencial

que podem ser manipuladas mais faci lmente por uma representao explci ta dos elementos

da fronteira .

4 . 4 . 1 A e s t r u t u r a S i n g u l a r H a n d l e - E d g e

A singular Handle-Edge organizada em termos de sete ent idades representadas ex-

pl ici tamente, os quais so:

sheShel l : Esta classe representa cada grupo e t r ingulos conexos. nesta ent idade

onde so armazenadas as l is tas de clulas e de componentes de bordo, alm de um

identif icador, nmero de clulas , nmero de componentes de bordos e uma referncia

pa ra a malha, . Ag rup and o os t r ingulos por comp onentes conexas, temos que para

cada. Shel l , existe apenas um componente de bordo externo, dentre todos bordos que

este pode conter , sendo os outros componentes as bordas dos "buracos" na "Shell".

sheVertex :

Esta classe representa, cada, vrtice (ponto ou n) de uma, malha trian-

gular . Nela, armazenada, as coordenadas geomtr icas, a caracter s t ica, de pertencer

ao bordo ou no, informaes sobre s ingular idades e identif icadores.

sheH al fEdge :

Esta classe representa cada, semi-aresta dos t r ingulos da malha

bidimensional . Nes ta ent id ade arm azen ada a, inform ao da clula a, que ela, per-

tence , da aresta, vizinh a e do vrtice p da sem i-aresta . A aresta, vizinha, po de p er-

tencer a, outr o t r ingulo ou ao com pone nte de bordo. As arestas que pertence a,

dois t r ingulos, so representad as por dois objeto s, uma, pa ra cada tr ingulo. As

semi-arcstas de bordo no tm semi-aresta vizinha.

sheSing : Rep resenta cad a com pone nte s ingular incidente a, um vrt ice. Nela

armazenada uma referncia, para, cada aresta de bordo onde o vrt ice s ingular p.

No caso do vrtice no ser singular, esta, referncia, ser, uma, aresta qualquer.

sheC ell :

Es ta classe representa, cada t r in gulo da, malha,. As informaes gua rdad as

por esta, classe so as referncias para, as semi-arestas que pertencem clula, uma,

referncia para, a malha, que contm a clula,, e um identificador.

A . ( A x - b ) l

. b|

< t o l .

(4.30)

4 . 4 E s t r u t u r a d e d a d o s S H E

42


52/83

4.4 Estrutura de dados SHE

s h e B o u n d a r y C p :

Represen ta a (s ) componen te (s ) de bordo de uma malha , cada ,

componente conexa da, malha, possui sua l is ta , de componentes de bordo ("sheBoun-

daryCp") , que por sua vez possu i um pon te i ro para uma l i s ta , de "sheBoundary" , que

so as arestas da, referida, borda,.

s h e B o u n d a r y :

Es ta c lasse represen ta cada , a res ta , de bordo de uma malha t r ian -

gu la r . Out ra , in fo rm ao a rm aze nad a aqu i um a re fe rnc ia, , com pon en te de bord o

que ela , pertence.

As en t idades "sheHal fEdge" , "sheS ing" e "sheBoundary" so a rmazenadas em l i s tas

c i rcu la res d inmicas , enquan to o res to dos e lementos a rmazenado em l i s tas no

circulares .

Half-Bdga

a)

Boundary

Curv

b)

i Boundary

j Hatf-Edge j

Edge i

' Mate '

B o u n d a y

C u r v e

I

B o u n d a y )

Edge J

I

f)

( B o u n d a y A I L

' H a l f - E d g e

E d g e J B o u n d a y

C u r v e

g)

L i s t a

J N a o c i r c u l a r

\ L i s t a

' C i r c u l a r

Figura , 4 .5 : En t idades de o rgarn izao da es t ru tu ra de dados SHE.

4 . 4 . 2 I m p l e m e n t a o

A es t ru tu ra , de dados SHE e o comple to con jun to de mtodos para manipu la r a a r -

ma z e n a g e m d a s i n f o r ma e s e s t o imp le me n ta d o s e m C ++ .

Um m e c a n i s mo c h a ma d o i t e r a t o r f oi imp le m e n ta d o p a ra , p e r c o r r e r o s e l e me n to s da,

SHE, o qua l pe rmi te a exp lo rao de l i s tas com um s imples FOR. Mtodos Beg inQ e End()

def in idos pa ra cada , c lasse so responsve is por in icia r e f ina l iza r o i t e r a t o r . Por exem plo ,

o segu in te cd igo pode se r empregado para impr imir as coordenadas de todos os v r t ices

na malha, ao percorrer a l is ta de Vrt ice:

Iterator iv;

for (iv = m -> Begin _verte x(); iv = m->End _verte x(); ++iv)

cout iv-> Get_ x() iv -> Ge t_ yO ;

onde m um pon teiro para , o e lem ento M alha, . A prin cipal v anta gem do i ter ato r que ele

encapsula as l is tas e padroniza, o acesso a , e las .

43


53/83

Capulo 4 Discretiza das Equaes

44


54/83

C A P T U L O

s

Desenvolvimento do Software

5 . 1 Co ns i d e r a es I n ic i a is

Para, um melhor desenvolvimento do projeto, o estudo de concei tos em engenharia de

software (ES) foi includo visando um melhor desenvolvimento do software, garant indo a

aplicao de uma, abordagem sistemtica,, disciplinada e quantificvel, para, o desenvolvi-

men to, opera o e ma nute n o do software. Com isso o grup o de mecnica dos f luidos,

vis lumbra extenses e al teraes que podero ser faci l i tadas no desenvolvimento de novos

projetos, como por exemplo a extenso do software para, s imulao de f luidos Newtonianos

general izados ou discret izao das equaes, por exemplo, pelo mtodo de volumes f ini tos .

Foi cr iado um grupo de estudo entre pesquisadores e doutores em mecnica, dos f luidos

e engenharia , de software para, o acompanhamento do desenvolvimento do software, visando

uma, aplica o adeq uada, pa ra o pro jet o e um e stu do de caso em E S. Em relao , rea,

mecnica, dos f luidos, conforme comentado, o cumprimento de at ividades de ES para o

desenvolvim ento de um software "reut il izvel". Para, o grupo de ES q ue considera o t ra-

balho , um estu do de caso relevan te para, a, proposta, de um m ode lo para, desenv olvim ento

de software em ambiente acadmico |Pa,iva, 2004|.

Pretende-se projeta ,r um software reutilizvel, seu pro jet o deve ser especfico para, o

problema, a, resolver , m as tam bm genrico para, atend er futu ros problem as e requisi tos .

Deseja,-se evitar o re-projeto, ou pelo menos minimiz-lo.

O software est , sendo implementado em l inguagem C++, ut i l izando programao ori-

entada, a objeto, com UML ("Unif ied Modeling Language") .

Este cap tulo apresenta, uma introduo dos principais concei tos e definies de ES e o

ambiente de s imulao UmFlow-2D.

5 . 2 En gen ha r i a d e So f tw a r e

A Engenharia , de Software surgiu em meados dos anos 70 numa tentat iva, de contornar

a, cr ise do software e dar u m tra tam en to d e engenharia , (mais s is tem tico e controlado) ao

45


55/83

Capulo 5


desenvolvimento de s is temas de software.

Os fundamentos cient f icos para a ES envolvem o uso de modelos abstratos e r igorosos

que permitem a,o engenheiro especif icar , projetar , implementar e manter s is temas de so-

f tware, aval iando e garant indo suas qual idades. Alm disto, a engenharia de software deve

oferecer mecanismos para se planejar e gerenciar o processo de desenvolvimento.

Para, o desenvolvimento de um software necessrio

Instrue s que qua nd o executad as produze m a, fun o e o desem penho d esejados;

Estrutu ra, de Dado s que possibi l i tam que os prog ram as manipu lem ad equ adam ente a,

informao;

Do cum entos que descrevam a, opera o e o uso dos p rogram as.

5 . 3 O P roce sso de S o f tw a r e

O Processo de Software abrange um conjunto de t rs elementos fundamentais para, projetar ,

construir e manter grandes s is temas de software de forma, profissional . So eles:

M todos: prop orciona m os detalhes de como fazer para, constru ir o software.

- Pla neja me nto e est imativa, de pro jeto

- An lise de requisitos de softw are e de sistem as

- Pr oje to da, estrutura, de dados

- Algori tm o de processam ento

- Codif icao

- Teste

- M a n u t e n o

Fer ramentas : do supor te au tomat izado aos mtodos .

Proced imen tos: const i tue m o elo de l igao entre os m todos e ferrame ntas

5 . 3 . 1 M od e l o s d e P r o c e s s o s d e So f t w a r e

Modelos de processos so estratgias de desenvolvimento que abrange camadas de pro-

cesso, mtodos e ferramentas. Um modelo de software para engenharia , de software esco-

lhido com base na natureza, do projeto e da, apl icao, nos mtodos e ferramentas a , serem

usados, e nos controles e nos produtos intermedirios e f inais que so requeridos.

Existem vrios modelos de processo de software, cada um representa, uma tentat iva, de

colocar ordem em uma, atividade catica. Pode- se citar os seguintes modelos de processo

de software:

O Modelo Sequencial Linear;

O Modelo de Protot ipao;

46


56/83

5.3 O Processo de Software

O Modelo RAD;

Modelos Evolut ivos de Processo de Software

- O Modelo Increm ental

- O Modelo Espiral

- O Modelo de Montagem de Com ponentes

- O Modelo de Desenvolvimento C oncorren te.

5 . 4 Pad r e s de P r o j e t o

Quando desenvolvemos um projeto, no devemos part i r de princpios elementares ou do

zero, ao invs disso, devemos reut i l izar solues que funciona ram no passad o. Conseq uen-

temente encontramos padres de classes e de comunicao entre objetos, que reaparecem

frequentemente em muitos s is temas orientados a objetos. Os padres resolvem problemas

especf icos de projetos e tornam os projetos or ientados a objetos mais f lexveis .

"Os padres de projeto ajudam a escolher al ternat ivas de projeto que tornam um sis-

tem a reut i lizvel e a evi tar al tern at ivas que com prom etam a. reut i l izao, pod em tam bm

me lhorar a, doc um enta o e a man uten o de s is temas ao fornecer um a especificao ex-

pl ci ta de interaes de classes e objeto s e o seu objet ivo sub jace nte. Em su ma , aj ud am

um projet is ta a obter um projeto "certo" mais rpido" |Gamma, et al . , 2000| .

O conhec imento de padres de projeto importante, nos d nomes padronizados e

definies para as tcnicas que usamos.

5 . 5 D o c u m e n t o d e R e q u i s i t o s

O processo de desenvolvimento de software compreende um conjunto de at ividades que

engloba mtodos, ferramentas e procedimentos, com o objet ivo de produzir softwares que

atendam aos requisitos especificados pelos usurios |Ma.yrhaiiser, 1990|, |Pressma,n, 2002|.

De acordo com Castro |Cast . ro, 1995| a especif icao de requisi tos serve como padro para

testar se as fases de projeto e implementao do processo de desenvolvimento de software

esto corretas .

A fase de anl ise de requisi tos fundamental para o processo de desenvolvimento do

software, nesta fase, devemos especif icar as funes e desempenho do software, indicar a

interface do software com outros s is temas, estabelecer as restr ies de projeto do software

|Pressma,n, 1994|.

O documento de requisi tos de um software contm todos os requisi tos funcionais e de

qualidade do software. A funcional idade diz respei to f inal idade a que se prope o produto

de software e , portanto, a pr incipal caracter s t ica de qual idade para qualquer t ipo de

software. Os requisi tos de qual idade, tambm denominados de requisitos no funcionais

inc luem tan to l imi taes no produto (desempenho,

confiabilidade

e segurana) como l imi-

taes no processo de desenvolvimento (custos, mtodos a serem adotados no desenvolvi-

mento e componentes a serem reut i l izados) .

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Capulo 5 Desenvolvimento do Software

Nesta seo, apresentado um documento de requisi tos ( informal) do software de s imu-

lao numrica de escoamentos de f luidos em malhas no estruturadas.

5 . 5 . 1 V i s o Ge r a l d o S i s t e m a

O Software tem como objet ivo a s imulao de escoamentos de f luidos Newtonianos bi-

dimensionais ut i l izando malhas no estr utu rad as. Os usurios deste software, necessi tam

de resul tados numricos para, por exemplo, s imular injeo em moldes com geometr ia com-

plexa. Estes resultados so as caractersticas (velocidade, presso) do fluido simulado, que

podem ser visual izadas (atravs de um arquivo de dados) por uma tabela de valores no f inal

da, s imulao. O sis tema, de s imulao para, malh as no es trut ura das um sis tem a c om puta -

cional para modelagem, simulao e visualizao de escoamentos de fluidos que possibilita,

a, anlise e a observao do com po rtam en to din mic o de fluidos incom pressveis. Desta,

forma,, esse sistema, dividi-se em m dulos, e a, com unica o dever, ser feita, por arquivo s.

O sis tema, de s imulao deve ser composto por t rs mdulos:

M o d e l a d o r : responsvel pela modelagem dos dados da, s imulao;

S i m u l a d o r : responsvel pela, implementao das equaes que rege o escoamento;

V i s u a l i z a d o r : responsvel pela, visualizao dos resultados obtido pelo simulador.

Esse documento responsvel pela, descrio do mdulo s imulador, considerando que

o m dulo mo delado r est, fazendo correta ,mente sua, fun o.

5 .5 . 1 .1 Re q u i s i t o s Fu n c i o n a i s

B I . P r e p a r a o e M a n u t e n o d a s i m u l a o

1. O software deve receber informaes sobre a s imulao.

nome do domnio

te m po inicial e final

ciclo inicial e ciclo final

espa am ento de tem po para, impresso e para, gravao autom tica,

escala, de com prim ent o e velocidade (L e U)

densidade

fora de gra vid ade (nos eixos x e y) (g

y

= gy * 9.81)

viscosidade

incremento de tempo inicial

tolerncia, pa ra a, soluo da, equ ao d e Poisson

fato res de contro le do passo: Fato r, Fa to rl e Fa,t,or2

tenso superf icial

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5.5 Documento de Requisitos

opo dc escolha do mtod o para soluo das equaes de velocidades: DF G,

VF, EF

op o de escolha do tip o de escoam ento: Newtonia.no, Cross-M odel, Power-La,w,...

Dependendo do t ipo de f luido, variveis podero ser acrescentadas. Por exemplo:

N e w t o n i a n o :

Nenhuma, varivel acrescentada,;

C r o s s - M o d e l :

Zero Viscosity, Infty Viscosity,

K

(cons tan te) , M(Power) ;

P o w e r - L a w :

Zero Viscosity, Infty Viscosity, Density, K(constante), N(Power);

B i n g h a m :

Plastic, Viscosity, Yield stress, M(constante);

S O F - M o d e l : lambda, 2, lambda 4, Runge-Kutta order: RK1, RK2, RK3, RK4;

P T T - M o d e l :

La,mbda,(c,onsta,nt,e), Ep silon (co ns tan te) , Xi (co ns tan te) ,

Beta,(const,a,nte).

2. O simulador deve receber o domnio discret izado.

3. O simulador deve receber as variveis a,dimensiona,lizadas: u, x, t, p, g, p, fi.

4. O simulador deve receber a velocidade inicial normal setada, na, entrada e sada, de

fluido.

5. O softw are deve discretiz ar as velocidades nos vrtices dos elemen tos trian gu lares e a,

presso no baricentro dos elementos t r iangulares.

6. O softw are deve perm itir a, escolha da, discre tizao para, as equaes gov ernan tes.

As equaes (2.31) e (2.32) devem ser discret izadas ut i l izando o mtodo DFG como

j, descrito na, seo (4.2).

7. A matriz do sistema, (1.6) resultante da, aplicao do mtodo mnimos quadrados ser,

resolvido pelo mtodo de el iminao de Gauss.

8. O software deve impor as condies de contorno dadas em (4.2.5) .

9. O softwa re deve perm it ir a, escolha do t ipo de escoam ento.

Somente o modelo Newtoniano est , implementado.

10. O softw are deve pe rm itir a, escolha, do tip o de clula,, send o que a, qu an tid ad e de ns

de cada, clula depende do grau da, derivada, aproximada,. Ver (1.2.1).

B . 2 P r o c e s s a m e n t o d a s i m u l a o

11. O software deve resolver a equao de Navier-Stokes pelo mtodo GENSMAC.

B . 3 C o n s u l t a s d o s R e s u l t a d o s e E m i s s o d e R e l a t r i o s

12. O software deve gerar um arquivo com todos os resul tados da. s imulao q ue dev er

ser lido pelo mdulo Visualizador.

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Capulo 5


5 . 5 . 2 D i a g r a m a de Caso de Uso

medida, que os requisitas so elicitados, pode-se criar um conjunto de cenrios que

identifica uma, linha, de uso para, o sistema, a, ser con strud o. Os cen rios, f req uen tem ent e

chamados de casos de uso, fornecem uma, descrio de como o sistema, ser, formado.

Usand o a, nota o UML , pode-se cr iar uma representa o diagram tica, de um caso de

uso , chamado de diagram.a de caso de uso.

u s e s

O

Aplica Mtodo

de Discretizacao

u s e s

u s e s

u s e s

A

A

C 3

T3

a

D

*

D

V

V

D F G

V F

E F

Simulador

escolhe

escoamento

u s e s

u s e s

u s e s

U

Documents

Fernanda Oleg a Rio Dos Santos