Ficha de identificação da Produção Didático-Pedagógica

Professor PDE/2016

Título: O uso do GeoGebra no ensino de funções do 1º e 2º graus.

Autor: Dan Nunes de Siqueira.

Disciplina/Área: Matemática.

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Francisco Ramos – Ensino Fundamental e Médio. Rua 16 de novembro, nº 300 – Centro.

Município da Escola: Guamiranga – Paraná.

Núcleo Regional de Educação:

Irati – Paraná.

Professor Orientador: Priscila Dombrovski Zen.

Instituição de Ensino Superior:

Universidade Estadual do Centro Oeste- UNICENTRO.

Formato do Material Didático: Produção Didático-Pedagógica/ Unidade Didática.

Público Alvo: Primeiro Ano do Ensino Médio.

Localização: Guamiranga - Paraná

Resumo: Diante de situações vivenciadas na prática docente, pode-se observar que o professor precisa encontrar algum meio para que o aluno consiga dar sentido a representação gráfica das funções e que todos se sintam incluídos nessa prática, que sejam capazes de compreender e construir gráficos de funções, este trabalho propõe a utilização de novas tecnologias computacionais, como recurso, para o estudo de funções do 1º e 2º Graus. O uso do software GeoGebra como ferramenta pedagógica no processo de ensino-aprendizagem do conteúdo de funções visa dar mais significado a exploração do comportamento gráfico das funções, proporcionando aos alunos uma forma dinâmica e significativa de aprender.

Palavras-Chaves: Função; GeoGebra; gráficos; construções; visualizações.

APRESENTAÇÃO

A elaboração deste material, junto ao Programa de Desenvolvimento

Educacional, foi motivada pela dificuldade apresentada pelos alunos em

compreender os conteúdos trabalhados em sala de aula, especificamente os de

função do primeiro e segundo graus e a relação entre o seu registro algébrico e

gráfico. Estamos vivendo um momento de grandes avanços tecnológicos, e uma

possível ação pedagógica que leve à superação ou a amenização do problema

citado acima é a utilização de novas tecnologias computacionais, sendo inclusive

uma das atuais tendências em Educação Matemática, que devem ser utilizadas

como ferramentas didáticas auxiliares para potencializar o processo de ensino

aprendizagem conforme aponta as Diretrizes Curriculares Educacionais da

Educação Básica do Paraná de Matemática (2008, p. 6),

Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de resolução de problemas. Aplicativos de modelagem e simulação têm auxiliado estudantes e professores a visualizarem, generalizarem e representarem o fazer matemático de uma maneira passível de manipulação, pois permitem construção, interação, trabalho colaborativo, processos de descoberta de forma dinâmica e o confronto entre a teoria e a prática.

As tecnologias estão cada vez mais presentes na vida do aluno e em

consequência nas escolas e possuem um potencial pedagógico que pode melhorar

o processo ensino- aprendizagem. Desta forma cabe aos professores buscarem

outras formas de ensinar, diferentes do ensino tradicional em que estamos

habituados. Nesta perspectiva, Moran (2003, p. 11) coloca que:

Muitas formas de ensinar hoje não se justificam mais. Perdemos tempo demais, aprendemos muito pouco, desmotivamo-nos continuamente. Tanto professores como alunos temos a clara sensação de que muitas aulas convencionais estão ultrapassadas. Mas para onde mudar? Como ensinar e aprender em uma sociedade mais interconectada?

Este material apresenta o uso de recursos tecnológicos - software GeoGebra

como possibilidade metodológica no ensino do conteúdo de Função do 1º e 2º

graus, colaborando com o processo de ensino aprendizagem, tornando-o mais

dinâmico e instigante, permitindo que o aluno participe ativamente do processo de

construção do conhecimento, desenvolvendo o raciocínio lógico, a criatividade, a

capacidade de resolver problemas, fazer previsões, além de questionar resultados.

O aluno deve aprender a Matemática usando os recursos tecnológicos como

ferramenta para melhorar o aprendizado como relatam os autores Luís Cláudio

Lopes de Araújo e Jorge Cássio Costa Nóbriga na apresentação do livro

Aprendendo Matemática com o GeoGebra “O professor de Matemática não deveria

estar no laboratório de informática para ensinar a usar o GeoGebra. Ele deveria

estar lá sim para ensinar Matemática”.

É nessa perspectiva que a presente unidade didática foi proposta pensando

em compreender melhor as funções usando como ferramenta o GeoGebra, que

será um apoio as atividades, no sentido de dinamizar o processo e torna-lo mais

atrativo aos alunos, porém várias atividades serão desenvolvidas de maneira

expositiva e mostrando os conceitos de função pois a formalização dos conceitos

deve estar associada com a prática dos conteúdos.

O uso do GeoGebra estará condicionado ao aperfeiçoamento dos conteúdos

de funções e não como uma receita para se cumprir uma tarefa tanto que na

unidade não detalho muito o programa e suas interfaces porém uso o mesmo para

conferir resultados e agilizar as demonstrações gráficas pois para ensinar a utilizar

o GeoGebra com precisão e detalhes teria que ter um tempo bem maior e usar

manuais seria um trabalho penoso para os alunos e tiraria o foco do ensino das

funções, pretende-se usar algumas ferramentas do programa que facilitam o ensino

das funções dando mais significado ao ensino das mesmas e uma abordagem

dinâmica e atualizada.

Esta produção didático-pedagógica é uma Unidade Didática que tem como

público alvo os alunos do 1ª ano do ensino médio do Colégio Estadual Francisco

Ramos – Ensino Fundamental e Médio do município de Guamiranga. O seu objetivo

é utilizar o software GeoGebra como recurso metodológico no ensino de Funções

do 1º e 2º graus, proporcionando aos alunos uma forma dinâmica e significativa de

aprender. Inicialmente será feito uma apresentação da proposta de implementação,

à Direção e Equipe Pedagógica do Colégio Estadual Francisco Ramos, bem como

aos professores. Em seguida, será realizado para os alunos público alvo, uma

breve explanação sobre o Programa de Desenvolvimento Educacional e a

apresentação da proposta de implementação e apresentação do GeoGebra usando

o laboratório de informática em seguida se iniciarão as atividades relacionadas a

funções. O percurso didático com a distribuição da carga horária da implementação

desta Unidade Didática está representado no quadro abaixo:

Ação Carga Horária (horas)

01 Apresentação do Projeto 01

02 Conhecendo o GeoGebra 01

03 Plano Cartesiano 02

04 Produto Cartesiano 01

05 Função 03

06 Função Afim 02

07 Intersecção de duas retas 02

08 Função Quadrática 03

09 Função Quadrática solução de problemas 01

10 Atividade Avaliativa 01

Conteúdo: Apresentar o GeoGebra: 1 aula

Objetivos

Mostrar a interface do programa e uso de funções básicas do

GeoGebra.

Praticar o uso das ferramentas básicas e suas possibilidades.

Metodologia e recursos

Demonstração de algumas ferramentas do programa e de como utilizá-las

para determinadas atividades na de demonstração usando o projetor e os alunos

no primeiro momento acompanharão as ações e em seguida aos pares farão

atividades propostas no computador acompanhando as projeções. Avaliação

contínua de acordo com o envolvimento do aluno.

O GeoGebra (junção das palavras Geometria e Álgebra) é um software

matemático que reúne geometria, álgebra e cálculo. Ele foi desenvolvido por

Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg para educação matemática

nas escolas e é uma das ferramentas a serem utilizadas no ensino de funções.

Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica, que

permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas,

seções cônicas como com funções que podem se modificar posteriormente de

forma dinâmica.

Em outro viés, equações e coordenadas podem estar interligadas

diretamente através do GeoGebra. Assim, o software tem a capacidade de

trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos e funções;

oferece comandos, como raízes e extremos. Essas duas visões são

características do GeoGebra: uma expressão em álgebra corresponde a um

objeto concreto na geometria e vice-versa.

A atividade de conhecer o GeoGebra prevista para uma aula será feita da

seguinte forma levar os alunos ao laboratório de informática e primeiramente com

o uso de um projetor mostrar a interface do programa e algumas de suas

ferramentas básicas como eixos uso da malha e localização de pontos no plano

Cartesiano. E fazer algumas atividades como:

Abrir o GeoGebra e localizar os eixos x e y, como ocultá-los e como

inserir malha quadriculada.

Localizar pontos usando o mouse e observando as suas

coordenadas na janela de álgebra.

Localizar pontos pela inserção das coordenadas no campo

entradas.

Apresentar os comandos referentes a pontos inseridos como exibir

objeto, Exibir Rótulo, Renomear, Apagar e as Propriedades.

Ao final mostrar o site do GeoGebra onde o programa pode ser baixado

inclusive para celulares (smartphones), tablets e computadores e também

incentivá-los a lerem os manuais sobre o programa que estão disponíveis no site

e vídeos ensinando a usar o programa para as mais diversas atividades.

Conteúdo: Plano Cartesiano. Carga Horária: 2 aulas

Objetivos

Lembrar conceito de plano cartesiano e coordenadas de pontos.

Entender localização dos pontos no plano cartesiano.

Metodologia e recursos

Explicação do conteúdo por meio de definição no quadro negro, resolução de

exercícios no caderno e no GeoGebra. Avaliação contínua de acordo com o

envolvimento do aluno.

O foco do presente trabalho são as funções do 1º e 2º graus e sua

representação gráfico usando o software GeoGebra, porém é necessário retomar

alguns conteúdos e conceitos sobre Plano cartesiano, Produto cartesiano, relações

e a noção intuitiva de funções usando quadro, giz, caderno e alguns vídeos

auxiliares, pois o aluno em geral já teve contato com esse conteúdo, mas

superficialmente, no ensino fundamental. E para dar mais sentido ao conteúdo das

funções do 1º e 2º graus é imprescindível essa retomada, e também já é possível,

em algumas atividades, usar o GeoGebra para tornar mais interessante essa

retomada afim de ambientar os alunos com as ferramentas do GeoGebra.

Sistema de Coordenadas Cartesianas

O Sistema de Coordenadas Cartesianas também chamado de Plano

Cartesiano, foi criado por René Descartes com a função de localizar pontos. É

formado por dois eixos perpendiculares: eixo horizontal (x) das abscissas e eixo

vertical (y) das ordenadas, que se cruzam na origem O de coordenadas. Os eixos

são numerados compreendendo o conjunto dos números reais (R).

Na imagem abaixo temos a representação do Plano cartesiano:

Eixos do Plano Cartesiano

. Fonte: o autor.

Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas de quadrantes:

Quadrantes do Plano Cartesiano

Fonte: o autor.

Qualquer ponto pode ser localizado no plano por um par de coordenadas (x,

y). Para localizar os pontos precisamos observar primeiro o eixo x e posteriormente

o eixo y. Qualquer ponto que não se encontre sobre os eixos estará localizado em

algum quadrante, ou seja, se o ponto não tiver nenhuma coordenada nula estará

sobre algum quadrante, assim:

Se as duas coordenadas (x, y) forem positivas (+, +) o ponto estará no

1º quadrante;

Se a coordenada x for negativa e a coordenada y positiva (-, +) o ponto

estará no 2º quadrante;

Se as duas coordenadas (x, y) forem negativas (-, -) o ponto estará no

3º quadrante;

Se a coordenada x for positiva e a coordenada y for negativa o ponto

estará no 4º quadrante;

Caso as coordenadas (x, y) sejam nulas (iguais a zero) o ponto estará

na origem do sistema cartesiano.

Se a coordenada x for nula e a coordenada y seja diferente de zero, o

ponto estará sobre o eixo y.

Se a coordenada x for diferente de zero e a coordenada y for igual à

zero, o ponto estará sobre o eixo x.

Observe a localização de alguns pontos na imagem abaixo:

Coordenadas de pontos no Plano Cartesiano

Fonte: o autor.

Pode-se utilizar o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A 1

que facilita a compreensão do plano cartesiano e exemplifica a localização de pontos

neste, mostrando a bissetriz dos quadrantes ímpares e pares.

Após o vídeo propor atividades para serem desenvolvidas com os alunos

usando folhas de exercícios:

Exercícios

1) Dê as coordenadas de cada ponto localizado no plano cartesiano abaixo:

2) Construa um plano cartesiano e localize os seguintes pontos:

A (3,-5) B (2,2) C (0,3) D (2,0) E (2,1) F (-3,5) G (3,-2) H (-4,-10)

1 FERRETTO, Daniel. Funções: Noções Básicas de Plano Cartesiano. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A

3) Referente ao exercício anterior quais os pontos que estão no:

a) 1º quadrante: ________________________________

b) 2º quadrante: ________________________________

c) 3º quadrante: ________________________________

d) 4º quadrante: ________________________________

4) Sem representar os pontos no plano cartesiano diga em qual quadrante cada

ponto se encontra ou a qual eixo pertence:

a) 𝐴 ( −2, 3): _______________ e) 𝐸( 3 2⁄ , −4): ______________

b) 𝐵( 3, 4): ________________ f) 𝐹 ( −2, −5): _______________

c) 𝐶 (−5, 12⁄ ): _____________ g) 𝐺 (5

2⁄ , 3): _______________

d) 𝐷 ( 4, 0 ): _______________ h) 𝐻 (0, 6): _________________

5) Na figura destacada no plano cartesiano, determine:

os pares ordenados dos vértices;

a área;

Após deixar um tempo para os alunos concluírem as atividades, utilizar o

GeoGebra para a correção, com auxílio do projetor multimídia, em especial, as

atividades 2, 4 e 5 que tratam da localização de pontos no plano e cálculo de área.

Explorar, na atividade 5, o cálculo do perímetro, usando as ferramentas do programa,

tais ferramentas também servem para renomear pontos, alterar cor, exibir objeto,

exibir rótulo, inserir caixa de texto podem ser demonstradas usando as duas

atividades bem como criar polígonos regulares ou irregulares também podem ser

explorados.

Propor aos alunos, na sala de informática, com o auxílio de computadores e o

software GeoGebra a realização das seguintes atividades:

Agora em dupla, criem uma pasta, e usando o GeoGebra realizem as

seguintes atividades. Após, salvem as mesmas na pasta criada pela dupla.

1) Localize os pontos associados aos seguintes pares de números:

A (4,4) B (4, ½) C (4,0) D (-3, 4) E (-4, -4) F (-5, 3/2) G (4, -2)

H (3/4, 4) I (-6, 1) J (-4,0) K (0, 2)

2) Localize os seguintes pontos no plano cartesiano e determine as seguintes figuras

e sua respectiva área e perímetro:

a) Triângulo ABC, onde: A(1, 2); B(-2, 4); C(-1, -5).

b) Quadrado ABCD, onde: A(1, 0); B(4, 0); C(4, 3); D(1, 3)

c) Losango EFGH, onde: E(0, 0); F(2, -4); G(4, 0); H(2,4)

d) Paralelogramo MNPQ, onde: M(2, -2); N(4, 2); P(-2, 2); D(-4, -2).

3) Localize todos os pontos associados aos pares de números inteiros.

Ligando os pontos A, B, C, D que figura você formou?

A(6, 0); B(0, 6); C(0, -6); D(-6, 0)

4) Descubra qual figura geométrica é formada unindo os pontos no plano cartesiano:

A(3, 2); B(-3, 2); C(-3, -4) e D(3,-4)

M(-5, 3); N(-5, -3) e O(6, -3)

Questões a serem discutidas com os alunos:

Cada ponto no plano cartesiano é representado por um par de

coordenadas que informam o endereço dos pontos que pode ser

estendido para as coordenadas geográficas;

É possivel criar uma localização de cada aluno em uma sala de aula

que esteja disposta de forma padrão em linhas e colunas de carteiras

usando os conceitos de plano cartesiano?

O Geogebra facilita resolver as atividades de localização de pontos no

plano cartesiano?

Conteúdo: Produto cartesiano. Carga Horária: 1 aula

Objetivos:

Definir produto cartesiano.

Resolver produto cartesiano no GeoGebra.

Compreender relação Binária.

Metodologia e recursos:

Aula expositiva e dialogada com a conceituação do conteúdo, resolução de

exercícios no caderno e no software GeoGebra. Explicação do conteúdo com a

utilização de projetor multimídia e material impresso, além de complementar

explanação com o quadro e giz. Avaliação contínua por meio do acompanhamento

do aluno no desenvolvimento da atividade.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B chama-se produto cartesiano de A por B e se

indica 𝐴 𝑋 𝐵 (A cartesiano B), o conjunto dos elementos representados pelos pares

ordenados (x, y), onde o primeiro elemento x de cada par pertence ao conjunto A e

o segundo elemento y pertence ao conjunto B.

Em linguagem matemática o produto cartesiano pode ser indicado por:

𝑨 𝑿 𝑩 = {(𝒙, 𝒚)/ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ 𝑩}

Por exemplo, são dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} 𝑒 𝐵 = {2, 4}, temos os

seguintes produtos cartesianos:

𝐴 𝑋 𝐵 = {(1,2), (1, 4), (2,2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}

𝐵 𝑋 𝐴 = {(2,1), (4,1), (2,2), (4,2), (2,3), (4,3)}

𝐴 𝑋 𝐴 = {(1,1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} = 𝐴2

𝐵 𝑋 𝐵 = {(2,2), (2, 4), (4,2), (4, 4)} = 𝐵2

O número de elementos do produto cartesiano A X B é igual ao número de

elementos do primeiro conjunto A multiplicado pelo número de elementos do

segundo conjunto B, quando A e B são conjuntos finitos.

𝒏 º (𝑨 𝑿 𝑩) = 𝒏º (𝑨) 𝑿 𝒏º (𝑩)

O produto cartesiano A X B pode ser representado usando o plano cartesiano

e para isso associamos o eixo x aos elementos do primeiro conjunto (A) e o eixo y

ao segundo conjunto (B), como se observa:

Produto cartesiano

Fonte: o autor

Demonstrar no quadro usando o plano cartesiano pela sua definição que

𝐴 𝑋 𝐵 ≠ 𝐵 𝑋 𝐴, ou seja, não é comutativo pois se refere a posições de pontos no

plano cartesiano em que a ordem das coordenadas é que diferencia os pontos.

Usando o projetor fazer a mesma demonstração usando o GeoGebra.

Propor as seguintes atividades:

1) Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 3} e 𝐵 = {2, 4, 5} determine os produtos cartesianos

abaixo e faça sua representação no plano cartesiano:

a) 𝐴 𝑋 𝐵 =

b) 𝐵 𝑋 𝐴 =

c) 𝐴 𝑋 𝐴 =

d) 𝐵 𝑋 𝐵 =

2) Dados os o conjunto A com 24 elementos e o conjunto B com 8 elementos qual o

número de elementos de 𝐴 𝑋 𝐵?

3) Dado 𝐴 𝑋 𝐵 representado no gráfico abaixo determine os elementos dos conjuntos

A e B.

4) Dado 𝐵 𝑋 𝐴 representado no plano cartesiano abaixo determine os elemsntos dos

conjuntos A e B.

As atividades 3 e 4, podem ser discutidas usando o projetor e o geogebra,

para facilitar a visualização dos conjuntos relacionados aos eixos, e também pode

ser proposto aos alunos que realizem a atividade, parte da representação gráfica do

produto cartesiano usando o geogebra, pode-se propor que esta seja realizada em

sala, visto que a maioria dos alunos possui smartphones, e o software Geogebra

roda nesses aparelho. Para facilitar o trabalho, os alunos podem se organizar em

duplas, no caso de algum aluno não possuir tal aparelho.

O conceito de produto cartesiano melhora a fixação da localização de pontos, e dá

base para inserir as relações que ocorrem entre dois conjuntos que são subconjuntos

do produto cartesiano.

Relação Binária

Dados dois conjuntos A e B, relação binária de A em B é qualquer subconjunto

do produto cartesiano 𝐴 𝑋 𝐵. Chamando de x os elementos do primeiro conjunto (A)

e y os elementos do segundo conjunto (B).

Por exemplo, temos os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} 𝑒 𝐵 = {2, 4}, e o produto

cartesiano:

𝐴 𝑋 𝐵 = {(1,2), (1, 4), (2,2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} temos que:

R1 = {(2, 2)}

é uma relação em que um elemento do primeiro conjunto é igual ao elemento do

segundo conjunto.

Em linguagem algébrica

R1 = {(x, y) ϵ A X B │ y = x}

R2 = {(1, 2), (2, 4)}

é uma relação em que o segundo elemento é o dobro do primeiro elemento.

Em linguagem algébrica

R2 = {(x, y) ϵ A X B │ y = 2x}

Poderiamos ter

R3 = {(x, y) ϵ A X B │ y > x}

R3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4) }

Exercício

1) (UEFS) Sendo 𝐴 = {1, 3} e 𝐵 = [−2, 2], o gráfico cartesiano de 𝐴 𝑋 𝐵 é

representado por:

a) 4 pontos

Exercício

1) (UEFS) Sendo 𝐴 = {1, 3} e 𝐵 = [−2, 2], o gráfico cartesiano de 𝐴 𝑋 𝐵 é

representado por:

a) 4 pontos

b) 4 retas

c) um retângulo

d) retas paralelas a Ox

e) dois segmentos de reta

2) Seja o conjunto 𝐴 = {0,1}. Quantas relações binárias distintas podem ser definidas

sobre o conjunto A?

Resposta: 𝐴 𝑋 𝐴 = {(0,0), (0, 1), (1, 0), (1,1)}.

Cada subconjunto de 𝐴 𝑋 𝐴 pode definir uma relação distinta. Isso nos leva ao

conjunto potência 𝑃 (𝐴 𝑋 𝐴). Assim, temos 24 = 16 relações distintas.

Conteúdo: Função Carga Horária: 3 aulas

Objetivos

Entender a noção de função em exemplos do dia a dia.

Reconhecer a matemática em situações reais.

Conceituar Domínio, Contradomínio e Imagem de Função.

Identificar a relação de dependência entre duas grandezas por meio da

identificação da lei de formação de função.

Compreender a representação gráfica de função.

Articular representação algébrica e gráfica de função de primeiro grau.

Metodologia e recursos didáticos

Aulas expositivas e dialogadas com resolução de exercícios no caderno, troca

de ideias entre os colegas e esclarecimento de dúvidas com o professor. Será

utilizado quadro e giz, TV multimídia e material impresso. Avaliação contínua por

meio da observação da participação e registros dos alunos.

Função

É uma relação de dependência entre duas “grandezas”, uma grandeza depende da

outra por exemplo.

Noção de Função: exemplos no dia a dia

1) Carlos é um técnico em eletrônica e presta serviços autônomos. Por uma visita

ele cobra R$ 40,00 mais R$ 5,00 por hora de trabalho. Quanto Carlos irá cobrar por

um trabalho que demorou 9 horas?

2) Um vendedor em uma concessionária recebe, um salário mensal de R$ 1.800,00,

mais uma comissão de R$ 130,00 por carro vendido independente da marca, modelo

ou valor. Sabendo que em um determinado mês esse vendedor conseguir negociar

6 carros, calcule qual será o salário total deste funcionário. Expresse como você

calculou.

3) A taxa de inscrição de uma academia é de R$150,00 e mais a mensalidade de

R$50,00 por mês.

a) Calcule o total pago por um cliente que frequentar a academia durante:

4 meses

6 meses

1 ano e meio

b) Quantos meses uma pessoa terá de frequentar essa academia para gastar

R$ 550,00.

c) Escreva uma função que expresse a relação entre o valor total pago em

função dos meses frequentados nessa academia.

4) Suponha que você trabalhe como representante de uma firma que se dedica à

criação de jogos para computador. Seu salário é de R$ 1800,00 fixos por mês

acrescido de R$ 20,00 por jogo vendido.

a) Se em um mês você vender 15 jogos, quanto você receberá?

b) No período de um mês, qual a função que relaciona o número de jogos

vendidos com o valor do seu salário, em reais?

c) Quanto jogo precisará vender para que seu salário seja R$ 2400,00?

Domínio, Imagem e Contradomínio

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A

—> B, definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A

representação, utilizando conjuntos, desta função, é:

Diagrama de Função

Fonte: Imagem, Domínio e Contra-domínio, disponível em: http://www.tutorbrasil.com.br/aulas-de-

matematica/funcoes/imagem-dominio-contra-dominio-funcoes/

Domínio, nesta função, é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}. O domínio

(D) de uma função também é chamado de campo de

definição ou campo de existência da função. Todos os elementos do

domínio apresentam uma relação com o contradomínio.

O conjunto “B” {1,4,6,7,8,9,12} é chamado de contradomínio.

Podemos ter elementos do contradomínio (CD) que não são relacionados

com algum elemento do Domínio e outros que são.

O conjunto imagem (Im) é composto por todos os elementos em que

as flechas de relacionamento chegam {6,9 e 12}.

Exemplo 1: Em uma reunião escolar, 4 mães, Marcela, Fernanda, Marília e Isabel,

esperavam para encontrar com seus respectivos filhos e filhas e levá-los para casa.

Rodrigues, o responsável por chamar essas crianças em cada sala, recebeu as

seguintes instruções:

Os filhos e filhas dessas mães são: Rafael, João Pedro, Rodrigo,

Frederico, Giovana, Maria Eduarda e Estela.

Fernanda é mãe de Rafael, mas não é mãe de João Pedro.

João Pedro e Maria Eduarda são irmãos.

Rodrigo não é filho de Isabel nem de Marcela, nem de Marília.

Marília tem um único filho.

Isabel tem uma única filha.

Giovana não é filha única, sendo irmã de Rodrigo.

Vamos ajudar o responsável Rodrigues a entregar cada criança à sua mãe?

Exemplo 2: Verifique quais dos diagramas a seguir representam funções:

Exercícios

1) Dadas as funções 𝑓 = 𝐴 ≥ 𝐵, identifique o domínio, o contra-domínio e a imagem

em cada caso e obtenha a sua lei de formação:

2) Verifique quais dos diagramas a seguir representam funções:

3) Seja a função 𝑓: 𝐷 → 𝑅 dada pela lei de formação 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2 , de domínio

𝐷 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} . Determine o conjunto imagem dessa função.

4) Considere os conjuntos 𝐴 = {−2, −1, 0 , 1, 2, 3, 4} 𝑒 𝐵 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6} e a relação. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem

A) B) C)

E)

A) B) C) D) E)

“Resolver usando o conceito de função” e obter a lei de formação

Atividades

1) Uma barraca de praia vende água de coco ao preço de R$ 2,50 o coco. Complete

o quadro dado e responda:

a) Qual é a relação de dependência entre o preço e o número de água de coco?

b) Quantos cocos são possíveis comprar com R$ 50,00?

2) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo

variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades

produzidas:

Quantidade de coco Valor pago (R$)

1

2

3

4

5

8

10

20

a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.

b) calcule o custo para 100 peças.

c) quantas peças poderão ser produzidas com R$ 33,00?

3) Para produzir um determinado produto, uma indústria tem um custo fixo de R$

32,00 mais R$ 1,50 por peça produzida. Qual o custo de produção de 500 peças?

Escreva uma função que represente a situação.

Situação Gráfica de Função de 1º Grau

Exemplo 1) (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está

representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20

unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o

equivalente a:

a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00

Exercício

Represente graficamente a função do 1º grau: 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 2.

Conteúdo: Função Afim Carga Horária: 2 aulas

Objetivos

Aprender sobre função do 1º grau por meio da definição de função afim.

Diferenciar função de equação.

Estudar gráfico de função afim.

Conceituar raiz ou zero de função afim.

Compreender função identidade.

Metodologia e recursos didáticos

Aula expositiva e dialogada com apresentação em projetor multimídia para

explanação do conteúdo. Como recurso será utilizado, além do projetor multimídia,

quadro e giz, régua e material impresso. Avaliação contínua da forma como o aluno

acompanha o desenvolvimento da atividade, interage com os colegas e com o

professor.

Função de 1º Grau ou Função Afim

Uma função é chamada de função Afim se sua sentença for dada por 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥 + 𝑏, sendo a e b constantes reais com 𝑎 ≠ 0, onde x é a variável independente

e 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a variável que é dependente de x.

OBS:

1) A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y

correspondente a um aumento do valor de x;

2) A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto

de intersecção da reta com o eixo Y;

3) Se uma reta é paralela ao eixo Y, ela não representa uma função.

Exemplo:

Analisar a função 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2

A função é decrescente, pois a < 0;

Coeficiente angular é a = -1;

Coeficiente linear é b = 2;

Zero da função é 2, pois −𝑥 + 2 = 0 , então −𝑥 = −2. (−1) => x = 2.

Gráfico de Função Decrescente

. Fonte: Tadeu disponível em: http://www.professorwaltertadeu.mat.br/

𝒇(𝒙) < 𝟎/{𝒙 ∈ 𝑹/𝒙 > 𝟐} 𝒇(𝒙) = 𝟎/{𝒙 ∈ 𝑹/𝒙 = 𝟐} 𝒇(𝒙) > 𝟎/{𝒙 ∈ 𝑹/𝒙 < 𝟐}

Caso Particular: A função é constante, pois a = 0, com isso, não há inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4;

- Não temos Zero da função:

Gráfico de função constante

Fonte: Tadeu disponível em: http://www.professorwaltertadeu.mat.br/

Exercício

Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear nas seguintes funções:

a) 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥

b) 𝑦 = 9𝑥 − 4

c) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 8

d) 𝑓(𝑥) = −6 + 𝑥

e) 𝑦 = 18

f) 𝑦 = 7𝑥

Diferenciar função e equação

Numa equação, independentemente do grau, há um valor fixo ao qual uma

variável, o x, é igualada. Há apenas um resultado possível.

Por exemplo: 𝑥 + 1 = 4.

Então, x só pode ser 3, porque já sabemos que o resultado é 4.

Já numa função, há duas variáveis, o 𝑥 e o 𝑓(𝑥). Não há valor fixo, porque

para qualquer valor assumido por x, haverá um resultado diferente para 𝑓(𝑥). Por

exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, para 𝑥 = 2, temos 𝑓(2) = 3; para 𝑥 = 3, temos 𝑓(3) = 4, e

assim por diante.

Gráfico da função Afim

O gráfico de uma função Afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é a reta que passa pelo ponto

(0, b) e corta o eixo X no ponto (−𝑏

𝑎, 0). A função será CRESCENTE se 𝑎 < 0 e

DECRESCENTE se 𝑎 > 0

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores

correspondentes em y também aumentam, ou seja, as razões são proporcionais.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores

correspondentes de y diminuem, logo as razões são inversamente proporcionais.

Zero da função: é o valor de x para qual a função se anula:𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = −𝑏

𝑎;

Estudo do sinal de funcao crescente e decrescente

. Fonte: TADEU disponível em: http://www.professorwaltertadeu.mat.br/

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso

considerar y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a

zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o

zero da função.

Exemplo: Vamos determinar a raiz das funções a seguir:

a) 𝑦 = 4𝑥 + 2

𝑦 = 0

4𝑥 + 2 = 0

4𝑥 = −2

𝑥 = − 24⁄

𝑥 = − 12⁄

A reta representada pela função 𝑦 = 4𝑥 + 2 intersecta o eixo x no valor − 12⁄

b) 𝑦 = −2𝑥 + 10

𝑦 = 0

−2𝑥 + 10 = 0

−2𝑥 = −10

𝑥 = 102⁄

𝑥 = 5

A reta representada pela função 𝑦 = −2𝑥 + 10 intersecta o eixo x no valor: 5

c) 𝑦 = −7𝑥 + 7

𝑦 = 0

−7𝑥 + 7 = 0

−7𝑥 = −7

𝑥 = 1

A reta representada pela função 𝑦 = −7𝑥 + 7 intersecta o eixo x no valor: 1

a) 𝑦 = 3𝑥

𝑦 = 0

3𝑥 = 0

𝑥 = 0

A reta representada pela função 𝑦 = 3𝑥 intersecta o eixo x no valor: 0

Exercícios

01) Calcule a raiz da função 𝑦 = 2𝑥 − 9 esse é o “momento” em que a reta da

função intersecta o eixo x.

02) Determine as raízes das funções e classifique-as como CRESCENTE ou

DECRESCENTE:

a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 3

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

c) 𝑦 = 𝑥 + 9

d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2

03) Um carro flex possui um reservatório de gasolina destinado, exclusivamente,

para partidas a frio, com capacidade de armazenamento de 2 litros. Devido ao tempo

de uso, ele apresenta uma rachadura de forma que o combustível está vazando

numa taxa constante. Ao meio dia, esse reservatório foi abastecido completamente

e, às 16h, observou-se que só havia 1,6 litros de gasolina. Se o problema não for

resolvido, em que horário o reservatório estará vazio?

04) Sem esboçar no gráfico, classifique as funções a seguir como crescente ou

decrescente:

a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 3

b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 7

c) 𝑓(𝑥) = −8 + 𝑥

d) 𝑓(𝑥) = 16 − 3𝑥

Diferença entre função afim de 1º grau e função identidade

A função identidade é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 para todo x ε IR. Nesse caso

temos a=1, b=0.

Relembrando um pouco da geometria analítica, temos que a declividade de

uma reta é definida por tg α, sendo assim a declividade da função identidade é 45º,

vejamos:

𝑎 = 𝑡𝑔 ∝

1 = 𝑡𝑔 ∝

∝= 45º

Função identidade

Fonte: Trigo disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcao-identidade/

Sabendo disso podemos perceber que o gráfico de uma função identidade é

nada mais que a bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º). Vejamos o seguinte:

Como o domínio de uma função identidade é definida em IR, podemos montar o

gráfico dessa função para quaisquer valores contido no conjunto dos números reais.

𝑓(𝑥) = 𝑥

Função identidade

Para 𝑥 = −3 𝑓(−3) = −3

Para 𝑥 = −2 𝑓(−2) = −2

Para 𝑥 = −1 𝑓(−1) = −1

Para 𝑥 = 0 𝑓(0) = 0

Para 𝑥 = 1 𝑓(1) = 1

Para 𝑥 = 2 𝑓(2) = 2

Fonte: Trigo, disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcao-identidade/

Podemos perceber que o conjunto domínio (x) terá sempre o mesmo valor que

o conjunto imagem (y), a cada x associa-se um y de mesmo valor. A raiz dessa

função é a origem do eixo cartesiano P (0,0).

Diagrama de função identidade e gráfico

. Op. Cit. (2016)

Conteúdo: Intersecção de duas retas. Carga Horária: 2

Objetivos

Calcular (no caderno) ponto de intersecção entre duas retas.

Resolver sistema de equações com o uso do GeoGebra.

Metodologia e recursos didáticos

Explanação do conteúdo por meio de aula expositiva, com auxílio de quadro

e giz. Resolução de exercícios relacionados a intersecção de duas retas, no caderno.

Resolução de problemas com o uso do software GeoGebra, aula no laboratório de

informática. Atendimentos, orientações e observações individuais e/ou coletivas caso

solicitado ou sempre que se fizer necessário. Avaliação contínua, registros,

participação e realização das atividades propostas.

Retas concorrentes ou intersecção de duas retas

Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um ponto em

comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum. O sistema

formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0,

y0) que representa o ponto de intersecção.

Exemplo 1) Determine as coordenadas do ponto P de intersecção das retas, de

equações 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 𝑒 𝑠: 𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0, respectivamente.

Resolvemos pelo sistema formado pelas duas equações:

{3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0

Resolvemos o sistema pelo método da adição, temos:

4𝑥 − 16 = 0

4𝑥 = 16

𝑥 = 4

Substituindo na segunda equação, temos:

4 − 2𝑦 − 9 = 0

−2𝑦 = 5

𝑦 = − 52⁄

Logo as coordenadas do ponto de intersecção são 4 e - 5/2. Ou seja,

𝑃 = (4, − 52⁄ ).

Exemplo 2) Determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas𝑟 = 2𝑥 + 𝑦 −

4 = 0 e 𝑠: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

{2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

Usando o método da soma, temos:

3𝑥 − 3 = 0

3𝑥 = 3

𝑥 = 1

Substituindo esse valor em 𝑠: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, temos:

1 − 𝑦 + 1 = 0

−𝑦 = −2

𝑦 = 2

Logo, P (1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s. Graficamente, temos:

Propor a solução de 4 sistemas usando o GeoGebra para solucioná-los e em

seguida determinar a solução algébrica.

01) Dada a função 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑦 = 2𝑥 − 1, iremos calcular o ponto de

intersecção das funções:

02) Determine o ponto P de intersecção entre retas de equações 𝑟: 2𝑥 − 5𝑦 +

3 = 0 𝑒 𝑠: 𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0 .

03) Determine o ponto de intersecção dos seguintes pares de retas

concorrentes:

a) {𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

𝑠: 4𝑥 + 5𝑦 − 13 = 0

b) {𝑟: 2𝑥 − 5𝑦 − 2 = 0

𝑠: 3𝑥 + 5𝑦 − 28 = 0

Conteúdo: Função Quadrática. Carga Horária: 3 aulas

Objetivos

Construir conceito de função do segundo grau.

Compreender o papel dos coeficientes da função do segundo grau.

Estudar a concavidade de uma função do segundo grau por meio do

gráfico e do estudo do sinal.

Entender zeros, raízes, ponto de máximo e ponto de mínimo de uma

função do segundo grau.

Estudar gráfico de função do segundo grau (raízes, vértices,

concavidade) por meio de atividade com o software GeoGebra.

Metodologia e recursos didáticos

Aula expositiva e dialogada, com o envolvimento dos alunos na construção de

exemplos, e resolução de exercícios relacionados no caderno e no GeoGebra, no

laboratório de informática. Atendimentos, orientações e observações individuais e/ou

coletivas caso solicitado. Utilização de quadro e giz, projetor multimídia e material

impresso. Avaliação da participação do aluno na atividade e realização dos

exercícios propostos.

Introdução à Função Quadrática

1) Propor a construção no caderno dos seguintes gráficos:

a) 𝑦 = 𝑥2

b) 𝑦 = 𝑥2 + 9

c) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

d) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

Definição: É toda função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, (com a, b e c números reais e

a ≠ 0). Veja alguns exemplos de funções quadráticas ou de segundo grau:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 3, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 2, 𝑏 = 7 𝑒 𝑐 = −3

b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = −1, 𝑏 = 8 𝑒 𝑐 = 0

c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 5, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = −1

d) 𝑓(𝑥) = −4𝑥2, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = −4, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0

O coeficiente “a” desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da

parábola. Significa que se o “a” for positivo (𝑎 > 0), a parábola terá concavidade para

cima se “a” for negativo (𝑎 < 0) a concavidade será para baixo.

A função do coeficiente “c” é nos indicar onde a parábola “corta” o eixo Y. Se

ele for positivo ela irá “cortar” o eixo Y acima da origem; se for negativo irá “cortar”

acima da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0).

A análise do coeficiente “b” nos diz a inclinação que a parábola toma após

passar o eixo Y. O “b” negativo (𝑏 < 0) a parábola fica mais a direita a partir do ponto

de corte do eixo Y. O “b” maior que zero (𝑏 > 0), a parábola é mais para a esquerda.

E para “b” igual a 0 a parábola é simétrica em y.

Conteúdo: Função quadrática solução de problemas. Carga Horária: 1h/a

Objetivo

Aplicar o conteúdo de função do segundo grau para resolução de

problemas.

Metodologia e recursos

Material impresso com questões problema a serem resolvidas com

conhecimentos acerca do conteúdo de função do segundo grau, com a troca de

ideias com os colegas e com o professor. Os exercícios poderão ser resolvidos

individualmente ou coletivamente, dando ênfase à resolução de problemas, para que

o mesmo amplie seu raciocínio e perceba os diferentes campos de aplicação de

conhecimento e também podem ser resolvidos com o uso do GeoGebra.

Atendimentos, orientações e observações individuais e/ou coletivas caso solicitado.

Avaliação por meio da observação do interesse, do envolvimento e raciocínio para

resolver a atividade proposta.

Problemas envolvendo equações quadráticas

1) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua atura h, em metros, t segundos após

o lançamento seja ℎ = −𝑡2 + 4𝑡 + 6. Determine:

a) o instante em que bola atinge a sua altura máxima.

b) a altura máxima atingida pela bola.

2) Em um pomar em que existiam 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas

por ano. Foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se

que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova quanto

velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira

plantada no pomar. Se nf é a produção anual do pomar, determine:

a) a expressão algébrica de nf .

b) o valore de n para os quais não haverá produção.

3) (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória

plana vertical de equação 𝑦 = −1

7𝑥2 +

8

7𝑥 + 2 na qual os valores de x e y são dados

em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta,

que está a 3 m de altura.

Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

Atividade Avaliativa Carga Horária: 1h/a

Objetivos

Avaliar conhecimentos dos alunos acerca do conteúdo de funções.

Utilizar os recursos tecnológicos (sites relacionados) para complementar o

entendimento sobre funções.

Metodologia

Avaliação contínua por meio do envolvimento dos alunos na atividade,

realização do quiz sobre funções e Atividade no laboratório de informática para

acesso a sites relacionados.

Propor um Quiz no site Racha Cuca disponível em: (VERÍSSIMO, disponível

em: https://rachacuca.com.br/quiz/136224/exercicios-de-funcoes-i/)

Apresentar outros recursos online para trabalhar com gráficos de funções e

pedir para que os alunos explorem tais recursos. Sugestões de web sites:

http://calculadoraonline.com.br/view/calculadora-grafica.php

http://mat.absolutamente.net/r_aulas.html

http://www.profcardy.com/calculadoras/graficos.php

http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-2o-grau

Pedir para os alunos realizarem uma avaliação do trabalho com o GeoGebra

e também uma auto avaliação do seu desempenho no decorrer das atividades

propostas.

Referências

BRASIL. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, MEC/SEF, 2008. Disponível em http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf Acesso em: 18/03/2016.

CAJU, Prof. Imagem, Domínio e Contra-Domínio. In: Tutor Brasil - Portal de Estudos - Matemática, Física, Química e Biologia. Disponível em: http://www.tutorbrasil.com.br/aulas-de-matematica/funcoes/imagem-dominio-contra-dominio-funcoes/ Acesso em: 11/10/2016

FERRETTO, Daniel. Funções: Noções Básicas de Plano Cartesiano. Licença padrão do YouTube. Santa Catarina: Sarah Law: 2014. 10min 54s Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A Acesso em: 07/12/2016

MANUAL DO USUÁRIO. In: GeoGebra. Disponível em: http://www.geogebra.at/. Acesso em: 07/12/2016

MIRANDA, Danielle. Intersecção de Retas Concorrentes. In: Mundo educação

serviços em informática Ltda.: Geometria analítica. Disponível em:

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/interseccao-retas-

concorrentes.htm . Acesso em: 11/10/2016.

NÓBREGA, J. C. C.; LA, L. C. Aprendendo Matemática com o GeoGebra. São Paulo: Exato, 2010.

NOÉ, Marcos. Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função. In: Aluno online – Matemática – Funções. Disponível em: http://alunosonline.uol.com.br/matematica/dominio-contradominio-e-imagem-de-uma-funcao.html Acesso em: 10/11/2016.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES. In: Brasil Escola. Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm Acesso em: 10/10/2016

TADEU, Walter. Atividades de Matemática desenvolvidas pelo Prof. Walter Tadeu no Colégio Pedro II (Campus Humaitá I e São Cristóvão III), instituição onde atua desde 1985. MAT I – FUNÇÃO QUADRÁTICA – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS. Disponível em: http://www.professorwaltertadeu.mat.br/ . Acesso em 10/10/2016.

TRIGO, Thiago. Função Identidade. In: InfoEscola: Matemática. Disponível em:

http://www.infoescola.com/matematica/funcao-identidade/ Acesso em 10,11/2016.

VARGAS, M. Intersecção de duas retas. Disponível em:

http://http://www.profmarcovargas.com.br/2013/01/interseccao-de-duas-retas.html.

Acesso em: 11/10/2016.

VERÍSSIMO JUNIOR, Mansinho. In: Racha Cuca: Exercícios de Funções – I. Quiz com 10 questões de funções do primeiro e segundo grau. Disponível em: <https://rachacuca.com.br/quiz/136224/exercicios-de-funcoes-i/>. Acesso em: 11/10/2016.