FICHA DE TRABALHO N.º 7 TURMAS:11.ºA/11.ºB 2017/2018 (GUIA DE …€¦ · Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de motivar o conceito de limite de uma sucessão…

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FICHA DE TRABALHO N.º 7 (GUIA DE ESTUDO – SUCESSÕES 4)

TURMAS:11.ºA/11.ºB 2017/2018

Começamos por recordar o conceito de Vizinhança r de x0

«Dados um número real x0 e um número real positivo r, designa-se por vizinhança r

de x0 o intervalo ]𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 + 𝑟[ e representa-se por 𝑉𝑟(𝑥0) .»

Por exemplo, 𝑉0,2(3) =]3 − 0,2; 3 + 0,2[=]2,8; 3,2[

LIMITE DE UMA SUCESSÃO

Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de motivar o conceito de

limite de uma sucessão…

Definição: Diz-se que 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, se para todo o número real 𝛿 > 0 existir

uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 tal que: ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⟹ |𝑢𝑛 − 𝑎| < 𝛿.

Se o limite a existir, diz-se que a sucessão (𝑢𝑛) é CONVERGENTE.

Se a sucessão não for convergente, diz-se DIVERGENTE.

EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 184, 1 e 2

UNICIDADE DO LIMITE

Teorema: O limite de uma sucessão convergente é único.

Vamos ver a demonstração deste teorema, através de um vídeo da ESCOLA

VIRTUAL.

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Teorema: Uma sucessão constante tem por limite a própria constante.

EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 185, 3

SUCESSÕES CONVERGENTES E LIMITADAS

Vamos analisar esta situação através de um exercício da ESCOLA VIRTUAL.

Teorema: Toda a sucessão convergente é limitada.

Notas:

(1) Uma sucessão não limitada é divergente. (contrarrecíproco)

(2) Uma sucessão pode ser limitada e não ser convergente.

Propriedades:

(1) Toda a sucessão crescente em sentido lato e majorada é convergente.

(2) Toda a sucessão decrescente em sentido lato e minorada é convergente.

EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 186, 4; página 187, 5

LIMITES INFINITOS

Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de motivar o conceito de

limite infinito de uma sucessão…

Definição: Uma sucessão (𝑢𝑛) tem limite +∞ (𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = +∞) quando, para todo

𝐿 > 0, existir uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 tal que: ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⟹ 𝑢𝑛 > 𝐿.

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Definição: Uma sucessão (𝑢𝑛) tem limite −∞ (𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = −∞) quando, para todo

𝐿 > 0, existir uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 tal que: ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⟹ 𝑢𝑛 < −𝐿.

Propriedade: Se 𝑢𝑛 → +∞ ou 𝑢𝑛 → −∞, então (𝑢𝑛) é uma sucessão divergente.

EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 188, 6 e 7; página 189, 8; página 190, 9.

Alguns, casos particulares de limites de sucessões:

𝑺𝒆 𝒄𝒏 + 𝒅 ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒐 𝒏 ∈ 𝑰𝑵, 𝒕𝒆𝒎 − 𝒔𝒆 𝒒𝒖𝒆:

. 𝒍𝒊𝒎𝒂𝒏 + 𝒃

𝒄𝒏 + 𝒅=

𝒂

𝒄 𝒔𝒆 𝒄 ≠ 𝟎

. 𝐥𝐢𝐦(𝒂𝒏 + 𝒃) = {+∞ 𝒔𝒆 𝒂 > 𝟎−∞ 𝒔𝒆 𝒂 < 𝟎

EXERCÍCIOS


PROPRIEDADES DOS LIMITES DE SUCESSÕES

EXERCÍCIOS


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Vamos ver um vídeo da ESCOLA VIRTUAL, com o objetivo de demonstrar esta

propriedade.

EXERCÍCIOS



propriedade.

EXERCÍCIOS



propriedade.

EXERCÍCIOS


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propriedade.

EXERCÍCIOS



propriedade.

EXERCÍCIOS


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propriedade.

EXERCÍCIOS


LIMITES INFINITOS. INDETERMINAÇÕES

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Observação:

Quando acontecer 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = +∞ e 𝑙𝑖𝑚𝑣𝑛 = −∞, nada se pode afirmar acerca do

lim (𝑢𝑛 + 𝑣𝑛) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que (+∞) + (−∞) é uma

INDETERMINAÇÃO.

EXERCÍCIOS


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Observação:

Quando acontecer 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = ±∞ e 𝑙𝑖𝑚𝑣𝑛 = 0, nada se pode afirmar acerca do

lim (𝑢𝑛 × 𝑣𝑛) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que (±∞) × 0 é uma

INDETERMINAÇÃO.

EXERCÍCIOS


Nota:

. Se (𝑎𝑛) é uma sucessão tal que 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 0 e se, a partir de certa ordem, 𝑎𝑛 > 0,

diz-se que 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 0+.

. Se (𝑎𝑛) é uma sucessão tal que 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 0 e se, a partir de certa ordem, 𝑎𝑛 < 0,

diz-se que 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 0−.

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Observação:

. Quando acontecer 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = ±∞ e 𝑙𝑖𝑚𝑣𝑛 = ±∞, nada se pode afirmar acerca do

lim (𝑢𝑛

𝑣𝑛) antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que

±∞

±∞ é uma INDETERMINAÇÃO.

. Quando acontecer 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = 0 e 𝑙𝑖𝑚𝑣𝑛 = 0, nada se pode afirmar acerca do lim (𝑢𝑛

𝑣𝑛)

antes de efetuarmos os cálculos. Diz-se que 0

0 é uma INDETERMINAÇÃO.

EXERCÍCIOS


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EXERCÍCIOS


EXERCÍCIOS


SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 211, 28, 29, 30, 31 e 32

LEVANTAMENTO DE INDETERMINAÇÕES

Alguns métodos para o levantamento de indeterminações atrás referidas:

1. Indeterminações do tipo ∞ − ∞

Limite de um polinómio na variável n

lim (𝑎0𝑛𝑝 + 𝑎1𝑛𝑝−1+. . . +𝑎𝑝 = lim(𝑎0𝑛𝑝) , 𝑐𝑜𝑚 𝑎0 ≠ 0

EXERCÍCIOS


Limite envolvendo radicais

Para levantar a indeterminação ∞ − ∞ em expressões que envolvem radicais

quadráticos, regra geral, multiplica-se e divide-se a expressão √𝐴 − √𝐵 ou √𝐴 − 𝐵

pela expressão conjugada √𝐴 + √𝐵 ou √𝐴 + 𝐵, respetivamente.

EXERCÍCIOS


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2. Indeterminações do tipo ∞

∞

Limite do quociente de dois polinómios

𝑙𝑖𝑚𝑎0𝑛𝑝 + 𝑎1𝑛𝑝−1+. . . +𝑎𝑝

𝑏0𝑛𝑞 + 𝑏1𝑛𝑞−1+. . . +𝑏𝑞= 𝑙𝑖𝑚

𝑎0𝑛𝑝

𝑏0𝑛𝑞, 𝑎0 ≠ 0 𝑒 𝑏0 ≠ 0

EXERCÍCIOS


3. Outras Indeterminações

As indeterminações do tipo ∞ − ∞ e ∞

∞ podem surgir noutras situações. O

levantamento de uma indeterminação do tipo 0 × ∞ ou 0

0 conduz, regra geral, a

uma indeterminação do tipo ∞

∞, como veremos nos seguintes exercícios.

EXERCÍCIOS

Manual, volume 1, página 216 e 217, 36; página 218, 37; página 219, 38

Se queres aprofundar os teus conhecimentos acerca dos limites de sucessões,

realiza os exercícios das páginas 222 a 227.

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