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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: Ações Pedagógicas para o Ensino e Aprendizagem de Matemática

Autor Maria Adorno Kendrick

Escola de Atuação Colégio Estadual Unidade Pólo Ensino Fundamental e Médio

Município da escola Maringá

Núcleo Regional de Educação Maringá

Orientador Lilian Akemi Kato

Instituição de Ensino Superior UEM – Universidade Estadual de Maringá

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Caderno Pedagógico

Relação Interdisciplinar

Público Alvo Professores

Localização Colégio Estadual Unidade Pólo Ensino Fundamental e Médio. Av.Sophia Rasgulaeff, 885 - Maringá – Paraná

Apresentação:

O principal objetivo desta proposta é articular aspectos metodológicos e teóricos que fundamentam concepções de Modelagem Matemática existentes na comunidade brasileira de educadores matemáticos e, com base nestes aspectos, delinear possíveis contribuições educacionais dessas concepções, destacando contribuições que o “fazer modelagem” oferece para o ensino e aprendizagem nas aulas de Matemática.

Esta etapa será desenvolvida nos molde de mini-curso, destina-se aos professores de matemática da escola e a outros professores da rede, interessados em trabalhar com Modelagem Matemática em suas aulas.

Compõe-se em duas etapas, enfatizando a influencia positiva da Modelagem Matemática no processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos: Exposição teórica do assunto: a princípio será colocado ao grupo o objetivo do trabalho e as informações necessárias para que a proposta tenha êxito. Com este intuito faremos a exposição oral sobre as idéias básicas que envolvem o tema em questão (modelagem matemática). Ao fazer essa discussão estaremos interessados na introdução e / ou esclarecimento do conceito de Modelagem Matemática. Em suma, espera-se que os participantes interiorizem a idéia do “fazer modelagem” na sala de aula e a partir daí tenham motivação para apreciar o valor dessa prática.

Experiência prática: os cursistas serão divididos em grupos e terão a oportunidade de vivenciarem algumas experiências de modelagem matemática. O trabalho será completado por uma reflexão sobre as potencialidades da utilização da Modelagem Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.

Palavras-chave Ensino/Aprendizagem; Modelagem Matemática; Cidadania

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APRESENTAÇÃO

Esta produção didática trata-se das ações a serem implementadas na Escola

Estadual Unidade Pólo Ensino Fundamental e Médio, em Maringá como cumprimento

da terceira etapa do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, desenvolvido

como capacitação continuada aos professores da rede pública de ensino fundamental e

médio do Estado do Paraná.

Este caderno pedagógico foi desenvolvido em parceria com a universidade

Estadual de Maringá – UEM, na área de matemática, sob a orientação da Professora

Dra. Lilian Akemi Kato, e tem como objeto de estudo o tema: O desenvolvimento de

conceitos matemáticos por meio da modelagem matemática: uma contribuição para a

formação da cidadania.

O principal objetivo desta proposta é articular aspectos metodológicos e teóricos

que fundamentam concepções de Modelagem Matemática existentes na comunidade

brasileira de educadores matemáticos e, com base nestes aspectos, delinear possíveis

contribuições educacionais dessas concepções, destacando contribuições que o “fazer

modelagem” oferece para o ensino e aprendizagem nas aulas de Matemática.

Esta etapa será desenvolvida nos molde de mini-curso, destina-se principalmente

aos professores de matemática da escola e a outros professores da rede, interessados em

trabalhar com Modelagem Matemática em suas aulas.

O presente mini-curso compõe-se em duas etapas, enfatizando a influencia

positiva da Modelagem Matemática no processo de ensino e aprendizagem de conceitos

matemáticos:

Exposição teórica do assunto: a princípio será colocado ao grupo o objetivo do

trabalho e as informações necessárias para que a proposta tenha êxito. Com este intuito

faremos a exposição oral sobre as idéias básicas que envolvem o tema em questão

(modelagem matemática). Ao fazer essa discussão estaremos interessados na introdução

e / ou esclarecimento do conceito de Modelagem Matemática. Em suma, espera-se que

os participantes interiorizem a idéia do “fazer modelagem” na sala de aula e a partir daí

tenham motivação para apreciar o valor dessa prática.

Experiência prática: os cursistas serão divididos em grupos e terão a oportunidade

de vivenciarem algumas experiências de modelagem matemática. O trabalho será

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completado por uma reflexão sobre as potencialidades da utilização da Modelagem

Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.

A avaliação final da atividade desenvolvida será escrita, abordando os assuntos

trabalhados, tendo como objetivo avaliar o conhecimento alcançado com a proposta; um

questionário direcionado aos participantes com o objetivo de verificar a aprovação ou

não dos mesmos quanto à utilização da “Modelagem Matemática”, bem como verificar

se os objetivos do projeto foram atingidos.

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INTRODUÇÃO

Os problemas na aprendizagem de Matemática que são apontados pelos órgãos

governamentais, por meio das provas do Sistema Nacional de Avaliação (saeb) e Prova

Brasil não são novos.

De geração a geração a Matemática ocupa o posto de disciplina mais difícil

dentre as demais Ciências, por isso antes de falar em dificuldades de aprendizagem em

Matemática é necessário verificar se o problema não está na metodologia utilizada o que

talvez tenha tornado difícil a sua compreensão pelos estudantes.

As dificuldades de aprendizagem bem como as deficiências no ensino de

Matemática constituem, já há algum tempo, motivos de preocupação para os estudiosos

cujas investigações são dedicadas às questões inerentes à aplicação de metodologias no

ensino da Matemática.

Sabe-se que a matemática desempenha papel decisivo ao permitir, na formação

do cidadão, o desenvolvimento de habilidades importantes no raciocínio lógico

dedutivo, interferindo na capacitação intelectual e estrutural do pensamento.

No entanto torna-se cada vez mais difícil motivar alunos para uma ciência longe

da sua realidade, não é sem razão que a Modelagem Matemática tem ganhado espaço

nas aulas como um elemento motivador de grande importância para o aprendizado da

matéria, revelando aos educandos a interação que existe entre as diversas ciências.

O interesse pela Matemática pode ser construído, alicerçado e desenvolvido pelo

aluno por meio de atividades que lhe despertem o interesse em aprender, fazendo

relações do que ele vê dentro da escola com o que ele já conhece fora da escola. Assim,

o aluno associa o que aprende ao seu convívio sócio-cultural.

O professor, munido da linguagem adequada, pode gradativamente levar seus

alunos a elevados níveis de conhecimento matemático e a uma utilização sistemática

desse conhecimento.

O aprendizado da matemática deve, ter como um dos objetivos, contribuir na

formação da cidadania. A sua evolução está associada à inserção do indivíduo, no

mundo do trabalho, no da cultura e no das relações sociais, a matemática tem como

objetivo promover uma educação que coloque o aluno em contato com desafios que

possa desenvolver soluções com responsabilidade, compreensão das informações as

quais representam relações importantes com outras áreas do conhecimento e facilitam

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no aprendizado de várias outras ciências e conteúdos, como: física, química, biologia,

sociologia, psicologia, artes etc.

E para que todos esses conhecimentos sejam interiorizados pelos alunos, é

preciso que se utilizem estratégias que facilitam a compreensão matemática.

A matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver

metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa

de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia

advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.

A contribuição do professor de matemática na formação do cidadão, se

consolida na medida em que o professor consiga garantir aos alunos a apropriação dos

conteúdos matemáticos que lhes são relevantes como ferramentas a serem utilizadas na

sua prática social, e no atendimento de seus interesses e necessidades, portanto cabe ao

professor repensar a todo o momento o seu trabalho questionando os valores que tem

desenvolvido em seus alunos, sendo assim deve estar preparado, metodologicamente

para atender a esta exigência que basicamente tratam de mudanças essenciais para o

interesse e o desenvolvimento matemático do aluno.

Ao utilizar a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino, o

professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do

aluno diante do conhecimento matemático.

Partindo desse entendimento, um dos argumentos de utilizar a modelagem no

ensino de matemática, trata-se do poder motivador que promove o despertar do interesse

do aluno em estudar o conteúdo matemático que lhe está sendo ensinado, e permite

também estabelecer conexões com outras ciências e várias outras manifestações

culturais.

A modelagem Matemática permite que o aluno perceba que os conteúdos e

conhecimentos com os quais se depara na escola podem ser relacionados com a

realidade vivida fora da escola, possibilitando a prática reflexiva e crítica do aluno.

Assim por meio da resolução de problemas reais e utilizando-se da matemática, a

modelagem possibilita o exercício da cidadania pelo indivíduo, à medida que situações

do seu meio social sejam problematizados junto a eles, e delas extrair lições que os

levem à construção do conhecimento matemático como instrumento de leitura e ação no

mundo.

A Modelagem Matemática vêm se configurando de forma altamente

significativa para as aulas de matemática e no processo de ensino-aprendizagem.

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Ressaltando sua importância central em função de seu caráter de atividades de

formulação e resolução de problemas para o desenvolvimento de idéias e conceitos

matemáticos.

Considerando esses fatos, este projeto propõe estudo e reflexão como formação

continuada, a fim de contribuir e tentar esclarecer a indagação:

Como os professores poderiam utilizar a modelagem matemática para aprimorar

suas aulas?

OBJETIVOS

Geral

Contribuir para a formação continuada dos professores, por meio de atividades

que favoreçam o desenvolvimento de conceitos matemáticos juntamente com a

interdisciplinaridade envolvendo outras áreas do conhecimento para que sirva de

instrumento de compreensão e análises de determinadas situações contextuais.

Específicos

Desenvolver ações de cunho pedagógico, de forma a fornecer subsídios aos

professores que atuam no ensino básico.

• Organizar atividades de Modelagem Matemática que possam ser utilizadas por

professores nas aulas de matemática visando à promoção da aprendizagem de

conceitos matemáticos além de gerar espaços de reflexão acerca da metodologia.

• Disseminar, entre os professores que atuam no ensino de Matemática na

educação básica, a proposta da modelagem matemática no ensino visando à

melhoria da aprendizagem matemática por meio de mini curso, utilizando parte

da hora atividade ou em contra turnos.

• De acordo com a Lei Estadual nº 13.807/2002 que regulamenta a hora-

atividade, no Paraná, este é o período em que o professor que desempenha

funções da docência, tem reservado para estudos, planejamento, preparação de

aulas, dentre outras atividades inerentes ao trabalho docente. Tendo em vista que

em sua proposição a lei define a hora-atividade também como espaço para

estudo, é que propomos como espaço de formação continuada no local de

trabalho.

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UM BREVE HISTÓRICO DA MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁT ICA

A modelagem Matemática está na vida do homem desde os tempos remotos, ao

utilizar conhecimentos matemáticos para modelar e resolver situações problemáticas

com as quais se deparava.

A manifestação da modelagem também ocorreu através dos grandes cientistas

que produziram famosos modelos ao longo da História. Alguns exemplos:

1) Tales de Mileto (639 – 568 aC.), filósofo grego, surpreende os egípcios

utilizando semelhança de triângulos para calcular a altura das pirâmides a partir da

sombra por elas projetadas.

2) Pitágoras (570 -500 aC.), filósofo grego, elaborou um modelo matemático

para a música, no qual observou o comprimento das cordas vibratórias que produzem

ondas sonoras em mútua harmonia.

3) Platão (427 – 347 aC.), filósofo grego, formulou um modelo que propôs

movimentos regulares e ideais para o firmamento. Ele também elaborou um modelo

para representar o universo que era baseado no dodecaedro.

4) Eudóxio (400 – 350 aC.), matemático e filósofo grego, elaborou um

modelo geométrico, com movimentos circulares e uniformes, para representar os

fenômenos celestes, no qual a Terra ocupa a posição central do universo.

5) Euclides (325 – 265), matemático egípcio, reúne os conhecimentos

geométricos da época para criar um modelo de organização formal da matemática, que é

apresentado na coleção “Os Elementos”.

6) Arquimedes (287 – 212 aC.), matemático e físico grego, cria um modelo

que combina as deduções matemáticas com os resultados das experiências, permitindo-o

descobrir as leis fundamentais da estática, como por exemplo, o princípio da alavanca e

da balança.

7) Eratóstenes (276 – 196 aC.), matemático e filósofo grego, criou um

modelo matemático para calcular a circunferência da Terra.

8) Galileu Galilei ( 1564 – 1642), matemático e físico italiano, elabora

modelos para a queda dos corpos e para o movimento parabólico dos projéteis.

9) René Descartes (1578 – 1650), físico, matemático e filósofo francês,

elaborou um modelo no qual ele reconhece as relações entre as equações algébricas e os

lugares geométricos. Neste contexto, a álgebra torna-se aplicável aos problemas

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geométricos e a representação geométrica fornece à álgebra, uma característica gráfica

concreta.

10) Isaac Newton ( 1642 – 1726), matemático e filósofo inglês, descobriu o

cálculo e elaborou a teoria gravitacional universal.

Neste contexto a modelagem matemática pode ser encontrada desde que as

Ciências começaram a se desenvolver, e alguns conceitos matemáticos como os de

geometria, função, probabilidade, matrizes, trigonometria e números complexos,

originaram-se de modelos que foram deflagrados a partir de uma determinada realidade.

Como afirmado anteriormente, a Modelagem Matemática é muito antiga, existe

desde os tempos mais primitivos. Porém, a Modelagem Matemática no ensino de

Matemática é mais recente.

Nas últimas três décadas, a modelagem vem ganhando “espaço” em diversos

países, nas discussões sobre ensino e aprendizagem, com posicionamentos a favor e

contra sua utilização como estratégia de ensino de Matemática. No Brasil, a

consolidação e a difusão se efetuaram por vários professores, em particular, pelo

professor Rodney Bassanezi, da Unicamp de Campinas – SP e seus

orientandos.(Biembengut & Hein, 2007, p.7).

De acordo com Bassanezi (2004) e Burak (1987), o primeiro curso realizado

com Modelagem Matemática no Brasil aconteceu em 1983, no programa de

aperfeiçoamento de professores na Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras

de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste, UNICENTRO.

Esse curso foi ministrado por professores do Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica _ IMECC, da Universidade Estadual de Campinas _

UNICAMP, dentre eles o professor Dr. Rodney Carlos Bassanezi.

Os resultados desse curso serviram de base para a realização de cursos em várias

outras Instituições de Ensino espalhadas pelo país. No entanto, os primeiros artigos e

dissertações que tratam a Modelagem Matemática como uma alternativa para o ensino

de Matemática só foram publicados a partir de 1986.

No âmbito da Matemática aplicada, a modelagem constitui-se numa metodologia

de pesquisa que auxilia diversas áreas do conhecimento como: Biologia, Geografia,

Economia, Engenharia e outros (Biembengut & Hein, 2003). Em face de seus

pressupostos multidisciplinares, a Modelagem foi transposta para o terreno do ensino-

aprendizagem e vem sendo empregada como metodologia, com objetivo de trabalhar

problemas reais em sala de aula.

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Mas, apesar das evidências de que a Matemática foi e ainda é desenvolvida a

partir das necessidades humanas, no processo educativo predomina uma postura formal

assumida por grande parte dos educadores, onde o conhecimento matemático é aceito

somente dentro do terreno da Matemática, não interessando questões como “para que

serve isso?”.

No entanto, trabalhar com a matemática no ensino não é somente uma questão

de ampliar o conhecimento em matemática, mas sobre tudo de se estruturar a maneira

de pensar e de agir do indivíduo.

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MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO

A escola quando insiste em métodos tradicionais de transmissão de conteúdos ao

invés de incluir, exclui, o que nos leve a concluir que o modo como tradicionalmente

vem se ensinando Matemática nas escolas, já não mais contribui para capacitar o aluno

a melhor enfrentar os desafios do mundo contemporâneo, além de ser, provavelmente,

uma das principais causas da falta de interesse pela matemática, pelo descaso do aluno

perante sua aprendizagem e a não valorização dos conteúdos matemáticos a ser

adquirido.

No entanto, novas exigências sociais passaram a ser feitas a escola na formação

do homem que deverá atuar na sociedade atual e futura, e para compreender as

informações de mundo precisamos, dominar um mínimo da linguagem e do

conhecimento próprio da Matemática.

E, para que esta colabore para o atendimento das atuais exigências socioculturais

feitas a escola é necessário que a Matemática se torne acessível a todos, possibilitando

ao aluno estabelecer relações entre a Matemática escolar e a Matemática do cotidiano.

Neste contexto a Modelagem Matemática segundo alguns estudiosos da

literatura é uma das alternativas e tem gerado inúmeras contribuições positivas para o

ensino e aprendizagem da matemática.

Barbosa (2001) conceitua Modelagem Matemática como:”um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos são convidados a investigar, por meio da Matemática,

situações com referência na realidade”.Neste novo ambiente o aluno também tem um

papel ativo deixando de ser um mero receptor. É uma forma de despertar no aluno o

interesse em estudar Matemática não somente em conteúdos vistos, mas também

situações não vivenciadas por eles. Estudar a modelar matematicamente dá a

oportunidade ao aluno de perceber situações problemas por meio de pesquisas

despertando o interesse e seu senso crítico de conteúdos matemáticos.

No entanto, Bassanezi (2002) diz que a Modelagem Matemática, pode ser um

caminho para tornar a Matemática, em qualquer nível, mais atraente, agradável e

motivadora.

Buscando maior interesse na aprendizagem da matemática, o professor deve

procurar desenvolver atividades atrativas que sejam em grupo ou individuais, o que

pode ter resultados satisfatórios, desde que o professor proporcione espaço para

participação, questionamento, investigação e argumentação dos alunos.

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Podemos perceber que a matemática e a realidade são dois conjuntos disjuntos,

porém podemos tentar fazer uma aproximação desses conjuntos , tendo em vista que

pode se dizer que a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um

modelo que tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa realidade para

tentar compreende-lo, criando hipóteses e reflexões sobre tais fenômenos.

Segundo, Biembengut, a modelagem é essa interação, que permite representar

uma situação “real” com um “ferramental” matemático (2007,p.13).

O ensino da matemática voltado para a promoção do conhecimento matemático

e da habilidade em utilizá-lo, justifica a inserção da Modelagem Matemática como um

método de ensino e aprendizagem, quanto uma estratégia, e sua importância se dá no

fato de ser tão agradável quanto interessante, além da necessidade de se buscar

estratégias alternativas no processo ensino-aprendizagem da Matemática.

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CONCEPÇÕES DE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Ao desenvolver Modelagem Matemática nas suas salas de aula com seus alunos

é importante que os professores conheçam as concepções de Modelagem Matemática

existentes na comunidade de educadores matemáticos, que saibam escolher as

concepções que fundamentarão suas atividades.

Diferentes concepções e entendimentos em torno do termo Modelagem

Matemática, podem ser encontrados na literatura, enquanto fazer pedagógico. Como

subsídio teórico nos fundamentamos em algumas destas perspectivas, cujas diferenças

está na escolha do tema a ser investigado, que pode ser sugerido pelo professor, pelos

alunos ou então partir de um acordo entre professor e aluno.

Porém, o processo de desenvolvimento de uma atividade de Modelagem

Matemática compreende diversas etapas fundamentais, vários autores descrevem os

processos/etapas da Modelagem Matemática: Bassanezi (2002), Burak (2004),

Bienbengut & Hein (2003), Barbosa (2001), Bean (2009) entre outros.

Para Bassanezi (2002), a Modelagem é considerada como “estudo de situações ou

problemas reais usando a Matemática como linguagem para sua compreensão,

simplificação e resolução para uma possível previsão ou modificação do objeto

estudado” (9p.5), e o processo de Modelagem pode ser interpretado como um método

de investigação, “como um processo que possibilita a aprendizagem de conteúdos

matemáticos interligados aos de outras áreas”. Destaca ainda que “a modelagem

matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolve-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”

(Bassanezi, 2002, p.16). Destacando assim a idéia de Modelagem no ensino também

como um método de investigação e a relaciona com a idéia da integração da Matemática

com outras áreas do conhecimento, afirmando que “modelagem pressupõe

interdisciplinaridade” (Bassanezi, 2002, p.16) e, neste contexto, é necessário utilizar

instrumentos matemáticos relacionados com outras áreas do conhecimento, para que a

educação se torne mais próxima da realidade social das pessoas.

Na visão de Bassanezi (2002) a Modelagem Matemática é a arte de transformar

problemas da realidade em problemas matemáticos e resolve-los, interpretando suas

soluções na linguagem do mundo real. Segundo este autor, a Modelagem matemática de

uma situação ou problema real deve seguir uma seqüência de etapas:

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Figura 1 (BASSANEZI , 2000, p.27)

As setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um modelo

matemático que melhor descreva o problema estudado, torna o processo dinâmico,

indicado pelas setas pontilhadas.

Experimentação – obtenção de dados experimentais ou empíricos que ajudam

na compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua validade.

É um processo essencialmente laboratorial e/ou estatístico.

Abstração – processo de seleção das varáveis essenciais e formulação em

linguagem “natural” do problema ou da situação real.

Resolução – o modelo matemático é montado quando se substituía linguagem

natural por uma linguagem matemática. O estudo do modelo depende da sua

complexidade e pode ser um processo numérico. Quando os argumentos conhecidos não

são eficientes, novos métodos podem ser criados, ou então o modelo deve ser

modificado.

Validação – comparação entre a solução obtida via resolução do modelo

matemático e os dados reais. È um processo de decisão de aceitação ou não do modelo

inicial. O grau de aproximação desejado será o fator preponderante na decisão.

Modificação – caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do

modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis, ou lei de formação, e com isso o

próprio modelo original é modificado e o processo se inicia novamente.

Aplicação – a modelagem eficiente permite fazer predições, tomar decisões,

explicar e entender. Participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas

mudanças.

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Segundo Burak (2004), a Modelagem Matemática vem ao encontro das

expectativas do educando, por dar sentido ao que ele estudou, por satisfazer suas

necessidades, seus interesses, realizando seus objetivos. O aluno trabalha com

entusiasmo e perseverança formando atitudes positivas em reação à matemática, ou seja,

desperta nele o gosto pela disciplina.

Para Burak, a Modelagem Matemática é “ um conjunto de procedimentos cujo

objetivo é estabelecer um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos

presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões”.

O trabalho com a Modelagem Matemática parte dos seguintes princípios:

1) partir do interesse do grupo de pessoas envolvidas;

2) obter as informações e os dados no ambiente onde se localiza o interesse do

grupo.

Para Burak a Modelagem Matemática se apresenta como uma metodologia de

ensino, nesta perspectiva para o desenvolvimento desta metodologia, o autor propõe

cinco etapas, que auxiliarão no processo de construção do conhecimento da matemática:

1) Escolha do tema;

2) Pesquisa exploratória;

3) Levantamento dos problemas;

4) Resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no

contexto do tema;

5) Análise crítica das soluções.

Essas etapas devem sempre ser encaminhadas levando-se em considerações os

dois princípios propostos pelo autor, e durante todo o processo da Modelagem, a postura

do professor é primordial, pois assume o papel de mediador.

Na Escolha do Tema o professor pode apresentar aos alunos alguns temas e

incentivar aos próprios alunos a sugerirem aqueles que lhes sejam do interesse.

O tema escolhido pode não ter nenhuma ligação imediata com a Matemática ou com

conteúdos matemáticos. Pode ser enquadrado nas mais diversas atividades, como as

agrícolas, industriais, de prestação de serviços ou temas de interesses momentâneos, que

estão na mídia, brincadeiras, esportes, política, dentre outros.

Na Pesquisa exploratória após a escolha do tema, os alunos e o professor

buscam dados a partir de materiais e subsídios teóricos, técnicos, informativos dos mais

diversos, nos quais contenham informações e noções sobre o tema que se quer

investigar/pesquisar. A pesquisa de campo é fundamental, pois o contato com o

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ambiente é um ponto importante do trabalho com a Modelagem e ajuda o aluno a

desenvolver aspectos formativos, investigativos.

No Levantamento dos problemas de posse dos dados coletados na fase anterior

os alunos são incentivados a levantar questões pertinentes ao tema. Os problemas na

perspectiva da Modelagem apresentam-se com características diferentes do livro texto,

são abertos, são elaborados a partir dos dados, e são contextualizados, como por

exemplo: o custo de uma construção, esse tipo de problema demanda vários

subproblemas. Os subproblemas poderiam ser: Custo do telhado, Custo do tijolo, Custo

do piso, Custo de portas e janelas etc.

Assim, cada decisão tomada em relação aos tipos de materiais, a metragem, à

arquitetura, demandaria vários subproblemas e o possível desenvolvimento do conteúdo

matemático. Essa fase da Modelagem é muito rica, pois desenvolve no aluno a

capacidade de tomar decisões, de formular hipótese, de questionar as várias

possibilidades de resolução de um mesmo problema

Durante a Resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo

matemático no contexto do tema proporciona-se a abertura para a busca de respostas

aos problemas levantados com o auxilio do conteúdo matemático, que pode ser

apreendido a partir dos problemas por meio de exemplos simples e até mesmo de forma

empírica, para posteriormente ser sistematizado.

No trabalho com Modelagem faz-se um caminho inverso do usual, neste os

conteúdos determinam os problemas, na Modelagem os problemas determinam os

conteúdos a serem usados para resolver as questões oriundas na etapa anterior.

Nessa etapa os conteúdos matemáticos passam a ter significados e no decorrer

do processo podem surgir os modelos matemáticos, porém, não é a finalidade dessa

concepção de modelagem, que objetiva explicar matematicamente situações do

cotidiano das pessoas, ajudando-as a fazer predições e tomar decisões.

No trabalho com a Modelagem, a construção dos modelos surge para se ampliar

uma idéia, generalizar uma situação, algumas vezes para se resolver uma situação-

problema. Na Modelagem, nessa forma de concebê-la o conceito modelo é ampliado

para entendê-lo como uma representação, podendo valer-se de fórmulas, tabelas de

preços, de equações já conhecidas, de gráficos, de plantas baixas de uma casa, dentre

outras. Portanto, são pelo menos três maneiras de se obter os modelos: 1) Modelos já

pronto; 2)Modelos Matemáticos construídos para a resolução dos problemas; e 3)

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modelos não matemáticos – dessa forma uma lista de supermercado pode ajudar a tomar

decisões e a fazer predições.

A análise crítica das soluções é a etapa marcada pela criticidade, não apenas em

relação à matemática, mas em outros aspectos, como a viabilidade e a adequabilidade

das soluções apresentadas, que muitas vezes são lógica e matematicamente coerentes,

porém inviáveis para a situação em estudo. È uma etapa que favorece a reflexão acerca

dos resultados obtidos no processo e como estes podem proporcionar a melhoria das

decisões e ações. Contribui para a formação de cidadãos participativos, mais autônomo

que auxiliem na transformação da comunidade em que participam, pois terão a

matemática como mais uma “aliada” no processo de avaliação das condições sociais,

econômicas e outras.

Biembengut (2004) define a Modelagem como “um conjunto de procedimentos

requeridos na elaboração de modelo de qualquer área do conhecimento”(p.17). Esta

mesma autora descreve modelo como “um conjunto de símbolos os quais interagem

entre si representando alguma coisa” (p.16). No contexto educacional, destaca que:

A modelagem matemática

pode tornar-se caminho para despertar no aluno

interesse por assuntos de matemática e, também, de

alguma área da ciência que ainda desconheça, ao

mesmo tempo em que ele aprende a arte de

modelar, matematicamente (p.23).

Segundo Bienbengut & Hein (2003), a interação que permite transformar uma

situação real em um “modelo matemático” pertinente deve seguir três etapas básicas,

sendo cada etapa subdividida em duas subetapas, como segue:

Iteração

- reconhecimento da situação – problema;

- familiarização com o assunto a ser modelado (pesquisa).

Uma vez delineada a situação que se pretende estudar, deve ser feita uma

pesquisa sobre o assunto de modo indireto ( por meio de livros, revistas especializadas e

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outros) ou direto ( por meio da experiência em campo, de dados experimentais obtidos

junto a especialistas da área).

Matematização

-formulação do problema (hipótese;

-resolução do problema em termos de modelo.

Neste momento se dá a “tradução” da situação problema para a linguagem

matemática. É a etapa mais complexa e “desafiante”. Na subetapa, formulação do

problema é importante: classificar as informações;,decidir quais os fatores a serem

perseguidos,neste caso as hipóteses; identificar as constantes envolvidas; generalizar e

selecionar variáveis relevantes; selecionar símbolos apropriados para essas variáveis;

descrever essas relações em termos matemáticos.

O objetivo principal deste momento do processo de modelar é chegar a um

conjunto de expressões aritméticas e fórmulas, ou equações algébricas, ou gráficos ou

representações, ou programa computacional, que levem à solução ou permitam a

dedução de uma solução.

Uma vez formulada a situação – problema, passa-se à resolução ou análise com

o “ferramental” matemático de que se dispõe. Isso requer aguçado conhecimento sobre

as entidades matemáticas usadas na formulação.

Modelo matemático

-interpretação da solução;

-validação do modelo ( uso).

Para concluir o modelo, torna-se necessária uma checagem para verificar que

nível ele se aproxima da situação – problema representada e, a partir daí, verificar

também o grau de confiabilidade na sua utilização. Faz-se então:

• A interpretação do modelo, analisando as implicações da solução

derivada daquele que está sendo investigado;

• A verificação de sua adequabilidade, retornando á situação – problema

investigada e avaliando quão significativa e relevante é a solução –

validação. Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o

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processo deve ser retomado na segunda etapa a Matematização ou

ajustando hipóteses, variáveis etc.

É importante, ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre

todas as etapas de desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma adequada.

Biembengut & Hein (2005), apresentam o modelo de Modelagem Matemática

abaixo, no qual matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é o

meio de fazê-los interagir.

Figura 2 (BIEMBENGUT & HEIN, 2005, p.13).

Na visão de Barbosa (2002), a modelagem como ambiente de aprendizagem

favorece a investigação de outras áreas do conhecimento por meio da matemática:

“Modelagem é um ambiente de aprendizagem no

qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar,

por meio da matemática, situações oriundas de outras

áreas do conhecimento. Se tomarmos modelagem de um

ponto de vista sócio-crítico, a indagação ultrapassa a

formulação ou compreensão de um problema, integrando

os conhecimentos de matemática, de modelagem e

reflexivo”(p.06).

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No entanto, acredita que este ambiente de aprendizagem pode não acontecer de

imediato, ou por falta de interesse dos alunos, ou porque os objetivos de alunos e

professores divergem, criando dificuldades, que podem ser superadas através de

estratégias utilizadas pelo professor, “pois são eles que organizam, decidem e

orquestram as atividades de sala de aula” (Barbosa, 2001b, p.7). O autor deixa claro que

o papel do professor é fundamental para a utilização da Modelagem como estratégia

pedagógica em sala de aula, e que a escolha do tema depende dele e de seus objetivos

em sala de aula, podendo deixar a cargo dos estudantes, escolhendo em conjunto com

eles ou propondo um assunto para ser estudado.

Para o desenvolvimento das atividades, Barbosa (2001,p.2), define que o

ambiente de aprendizagem em Modelagem Matemática pode se configurar através de

possibilidades sem limites claros que ilustram a materialização da modelagem em sala

de aula.

NÍVEL 1: Trata-se da problematização de alguns episódio real: A partir das

informações qualitativas e quantitativas apresentadas no texto da situação, o aluno

desenvolve a investigação do problema proposto.

O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com as

informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos alunos o

processo de resolução.

NÍVEL 2: Trata-se da apresentação de um problema aplicado: Os dados são

coletados pelos próprios alunos durante o processo de investigação.

O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos

alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução.

NÌVEL 3: Tema gerador: Os alunos coletam informações qualitativas e

quantitativas, formulam e solucionam o problema.

A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam resolvem problemas.

Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação das situações-

problema.

20

Ainda em Barbosa (2001), a modelagem pode ser aliada ao currículo com três

configurações distintas, que o autor chama de casos, conforme a tabela abaixo que

apresenta a sugestão de Barbosa para cada um dos casos.

CASO 1 CASO 2 CASO 3

Elaboração da Situação

Problema

Professor

Professor Professor/Aluno

Simplificação Professor Professor/Aluno Professor/Aluno

Coleta de dados qualitativos e

quantitativos Professor Professor/Aluno Professor/Aluno

Resolução Professor/Aluno Professor/Aluno Professor/Aluno

Figura 3: Tarefas dos alunos e professores nos casos de Modelagem

Fonte: Jonei C. Barbosa, Modelagem Matemática: Concepções e experiências de

futuros professores, p.40 (Tese) UNESP, 2001.

De acordo com a divisão de tarefas estabelecida:

O caso 1 é caracterizado pela problematização de situações reais nas quais o

problema e os dados (reais) são propostos pelo professor e investigados pelos alunos.

No caso 2, o professor apresenta um tema ou problema, mas a coleta de dados e a

investigação são realizadas pelos alunos. Já no caso 3, a partir de um tema gerador, os

alunos coletam informações, formulam e solucionam problemas.

De acordo com Bean (2009), A modelagem é uma atividade humana na qual

uma parte da realidade está conceitualizada, de forma criativa, com algum objetivo em

mente. O cerne da modelagem reside no recorte e na formulação de um isolado, ou seja

na conceitualização de um fenômeno com fundamento em premissas e pressupostos que

remetem tanto ao fenômeno quanto aos objetivos do modelador (p. 02).

Os modelos podem ser usados para reproduzir ou transformar a realidade.

Reproduzem a realidade quando são utilizado tal como se encontram construídos e

transformam a realidade quando os modelos vigentes são questionados e dão lugar a

novos modelos que, por sua vez, apontarão na direção de novas interações dos

21

indivíduos e das comunidades com o mundo, ou seja na direção da construção de uma

nova realidade.

Uma vez que os modelos são criados com base em objetivos, interesses e

valores, nenhum modelo é irrefutável. Uma mesma situação-problema, necessariamente

conduz a diferentes modelos quando abordada por indivíduos ou comunidades

diferentes, pois depende de seus objetivos e interesses.

As interações promovidas entre alunos e professor, os questionamentos surgidos

durante a atividade, a pesquisa realizada necessária para se iniciar o trabalho, a crítica

feita aos modelos existentes etc., são aspectos que justificam a tentativa de trabalhar

com a modelagem matemática em sala de aula.

Bean, aponta os aspectos que constituem a atividade de modelagem como a

ilustração a seguir:

Figura 4: Indivíduos/comunidades modelam nas sua inteirações com o

mundo, contribuindo à construção de suas realidades. (Bean,2001).

Em (1) entende-se que a interação do indivíduo/comunidade com o mundo se dá

orientada pelos aspectos pontilhados, e estes determinam como problematizar a

situação, acentuando ou desprezando características a ser estudada. (2) representa a

passagem do momento de interação para a construção ou adequação do modelo

conforme as premissas e pressupostos feitos pelos interessados. A avaliação e a

validação do modelo acontecem em (3), quando se verifica se o modelo criado ou

22

ajustado é coerente ou satisfatório, no sentido de atender aos objetivos, interesses ou

anseios da comunidade envolvida no problema. Isso remete a uma interação com a

situação problema, num ciclo que repousa no momento em que o modelo atende a tais

aspirações.

Este autor afirma que: “Modelagem deve ser uma parte essencial no ensino da

Matemática. Quando o aluno está à frente de uma situação-problema ele tem que ter os

conceitos básicos nas mãos e manipula-los para criar uma solução. Através deste

processo criativo, o aluno consegue uma compreensão melhor dos conceitos que

facilitará a aplicação dos mesmos em problemas encontrados no futuro. Modelagem

também pode ser utilizada pelo professor na introdução de conceitos até agora

desconhecido do aluno. Através de uma situação-problema um conceito novo pode ser

desenvolvido com entendimento do seu significado.

Embora reconhecendo que a Modelagem Matemática possa ser analisada em

diversas linhas de seguimento; passando pelo campo científico, pela matemática

aplicada, pelos experimentos sociais até o campo do ensino e aprendizagem; este

trabalho terá sua atenção voltada à Modelagem Matemática vista como método

alternativo de ensino, na perspectiva da Educação Matemática.

23

PERSPECTIVAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Em uma perspectiva de ensino que propicie uma abordagem por competências,

através da oferta de condições para uma aprendizagem significativa, ou seja que tenha

significado aos alunos, existem diferentes metodologias de ensino que podem colaborar

para que essa possibilidade se concretize. Dentre elas está a Modelagem Matemática,

uma metodologia que está sendo aplicada em diferentes níveis de ensino e diferentes

contextos.

Ainda que circulem diversos conceitos sobre Modelagem na literatura, assumimos

aquele proposto em Barbosa (2003): ambiente de aprendizagem no qual os alunos são

convidados a indagarem e investigarem, através da matemática, situações com

referência à realidade.

O conceito trata, apenas, de definir o que é entendido como uma atividade de

Modelagem, entretanto, o desenvolvimento da atividade em sala de aula implicará em

outras especificações, como os objetivos e os papeis que o professor e os alunos

assumem nesse ambiente, o que pode ser definido pela noção de “perspectiva”.

Kaiser e Sriraman (2006) têm revisado a literatura e sistematizado cinco perspectivas

sobre Modelagem presentes nos debates atuais: a Realística ou Aplicada, a Contextual, a

Educacional, a Sócio-Crítica e a Epistemológica ou Teórica.

No que diz respeito à Perspectiva Realista ou Aplicada, há uma ênfase na resolução

de problemas autênticos e não necessariamente no desenvolvimento de uma teoria

matemática, por isso os exemplos da indústria e da ciência têm um papel importante

nessa perspectiva.

Os processos de modelagem são considerados de forma integral, e não como

processos parciais, como aplicações matemáticas feitas na prática.

Na Perspectiva Contextual, a obtenção de um modelo é definida como uma atividade

de resolução de problema construída para que os estudantes façam uso de situações

significativas e inventem, entendam e refinem suas construções matemáticas

particulares.

Quanto a Perspectiva Educacional, esta, põe a estrutura do processo de aprendizagem

e a promoção do entendimento de conceitos matemáticos no primeiro plano de interesse

e considera os exemplos do mundo real e suas inter-relações com a Matemática como

um elemento central para a estrutura de ensino e aprendizagem da Matemática.

24

A Perspectiva Sócio-Crítica se refere às dimensões sócio-culturais da Matemática.

Ela reivindica a necessidade de pensar criticamente o papel da Matemática na

sociedade, o papel da natureza dos modelos matemáticos e a função da modelagem na

sociedade.

No que diz respeito à Perspectiva Epistemológica ou Teórica, é dada menos

importância aos aspectos da realidade nos exemplos resolvidos. Toda atividade de

Matemática é considerada uma atividade de modelagem, portanto a modelagem não

aborda apenas questões não matemáticas.

Cada uma dessas perspectivas enfatiza um determinado aspecto. O desenvolvimento

de teoria matemática é enfatizado pelas perspectivas Contextual, Educacional e

Epistemológica.

A resolução de problemas autênticos é enfatizada pela perspectiva Realística.

E pensar criticamente o papel dos modelos e da modelagem na sociedade é

enfatizado pela perspectiva Sócio-Crítica.

A escolha de uma perspectiva de modelagem evidencia um determinado aspecto que

será enfatizado. A esse aspecto enfatizado, podemos associar alguns argumentos para a

inclusão de atividades de modelagem nas aulas de Matemática.

No âmbito da Educação Matemática, encontramos muitos argumentos dessas

atividades nos currículos de Matemática.

Evidenciar o fato das atividades de modelagem combinarem aspectos lúdicos com o

potencial de aplicações da Matemática (Bassanezi, 2002) e estimular o desenvolvimento

nos estudantes da habilidade de construir modelos matemáticos (Bassanezi, 2002;

Biembengut, 1999) estão associados à resolução de problemas autênticos enfatizada

pela perspectiva realística.

Levantar a possibilidade dos alunos reinventaram os resultados matemáticos a partir

das atividades de modelagem (Bassanezi, 2002) e favorecer o aprendizado e a aplicação

de conteúdos matemáticos (Bassanezi, 2002; Biembengut, 1999) podem ser

relacionados com o desenvolvimento de teoria matemática enfatizado pelas perspectivas

Contextual, Educacional e Epistemológica.

Nesses argumentos percebe-se a ênfase da utilização de atividades de modelagem em

sala de aula com o propósito de motivar os alunos, facilitar a aprendizagem, preparar

para utilizar a matemática em diferentes áreas e desenvolver habilidades gerais de

exploração que são quatro das cinco razões apresentadas por Barbosa (2003b) para a

implementação de atividades de Modelagem nas aulas de Matemática.

25

Além desses argumentos, encontramos outros que enfatizam a compreensão do papel

sócio-cultural da Matemática e o pensar criticamente o papel dos modelos e da

modelagem na sociedade que é enfatizado pela perspectiva Sócio-Crítica, e é a quinta

razão apresentada por Barbosa (2003b), para a inclusão de atividades de modelagem

nas aulas de Matemática.

Consequentemente, os propósitos diferentes implicam em diferenças nas formas de

organizar e conduzir as atividades de Modelagem. Isso nos força a refletirmos sobre as

maneiras como as práticas de sala de aula representam ou constituem perspectivas mais

amplas sobre Modelagem Matemática.

Se temos por objetivo a mudança em nossa prática na sala de aula, então, das

perspectivas de Modelagem apontadas por Kaiser e Sriraman (2006), a Sócio-Crítica é a

mais interessante por enfatizar a compreensão do papel sócio-cultural da Matemática,

estimulando a capacidade dos alunos de analisar situações de sua própria realidade,

favorecendo sua compreensão e possível ação sobre essas situações, potencializando sua

capacidade de reflexão, favorecendo seu crescimento político e social, com o objetivo

de contribuir para a formação de cidadãos críticos. Ou, como afirma Barbosa (2001),

por enfatizar atividades que :

Buscam abranger o conhecimento de matemática,

de modelagem e o reflexivo. São consideradas como

meio de indagar e questionar situações reais por meio de

métodos matemáticos, evidenciando o caráter cultural e

social da matemática. Esta é vista como “meio” em fez

de “fim”. A ênfase está na compreensão do significado

da matemática no contexto geral da sociedade.(p. 29-30)

A perspectiva sócio-crítica, tal como discutida em Barbosa (2006), canaliza esse

trabalho para a prática de Modelagem Matemática em sala de aula, entendendo-a como

uma oportunidade para se reconhecer o poder formatador da matemática.

Para este objetivo, as atividades de Modelagem podem estimular situações em que os

alunos percebam que os modelos matemáticos não são neutros, mas que eles dependem

de onde são produzidos e como são usados, desmistificando a idéia se que a

matemática é a descrição pura da realidade.

A adoção da perspectiva sócio-crítica não implica na subtração de outros propósitos,

como o desenvolvimento da teoria matemática e das habilidades de resolução de

26

problemas aplicados, mas a tomada deles como meio para viabilizar o resultado de

refletir sobre os modelos matemáticos.

27

ATIVIDADES

28

ATIVIDADE 1 A vazão de água nos canos

Série: 8º e 9º ano do Ensino Fundamental e Ensino Médio

Conteúdo programático: Geometria – volume e área do círculo

Objetivo: Mostrar como a área de um círculo varia com seu raio, e as diferentes vazão

de água nos canos de acordo com o diâmetro.

A MATEMÁTICA DO CAIPIRA 1

Luis Imenes e José Jakubovic

Um advogado resolve comprar um sítio, de poucos alqueires, com a intenção de

construir uma casa e nela passar seus fins de semana. Como não há nascente no sitio,

resolve mandar cavar um poço, quando fica sabendo que seu vizinho, um caipira que ali

mora há muito tempo, tem em sua propriedade uma nascente com água boa e farta.

Procura o vizinho e faz a proposta:

_ Eu instalo um cano de uma polegada de diâmetro na sua nascente, conduzo a água

para o meu sítio e lhe pago x por mês.

A proposta é aceita na hora.

Passa-se o tempo e o advogado resolve implantar no sítio uma criação racional de

porcos e, para isso, vai precisar de mais água. Volta a procurar o caipira e lhe propõe

trocar o cano de uma polegada por outro de duas polegadas de diâmetro e pagar 2x reais

por mês a ele.

O caipira escuta a proposta, não dá resposta imediata, pensa, e passados alguns

minutos responde que não aceita a proposta.

_Mas, como? – pergunta o advogado. Tem água sobrando, por que não me vende

mais e assim também ganha mais?

Continuando a conversa:

_ É que num ta certo, retruca o caipira, e explica com um gesto.

1 Explorando o Ensino da matemática – Ministério da Educação – volume 2, p. 11 – 14.

29

A água que você me paga e vos mecê qué me pagá Passa por aqui. o dobro. Acontece que o cano que você vai ponha é assim:

Pois é quem me paga a água E a que passa por aqui? Que passa por aqui?

Formulação do problema:

Determinar a relação entre a medida do diâmetro de um cano e sua vazão (área).

Desenvolvimento:

30

complete a tabela.

Questões:

a) Que relação matemática expressa a relação entre a vazão e o diâmetro do cano?

b) Represente graficamente essa relação.

c) Explique por meio do modelo, qual dos personagens ( caipira ou advogado) está

com a razão.

Diâmetro do cano em polegadas Vazão (área)

1 π (1/2)² = 1/4 π

2

3

4

31

ATIVIDADE 2 MENOS ESFORÇO PARA APERTAR UM PARAFUSO.

Série: 8º e 9º ano Ensino Fundamental

Conteúdo Programático: Geometria; Polígonos , Ângulos internos

Objetivos:

Demonstrar a presença da matemática, nas relações do trabalho, a exemplo do

mecânico, que dispõem de pouco espaço para manusear as chaves e parafusos e

compreender por que neste caso é sextavado e não de fendas.

POR QUE O PARAFUSO É SEXTAVADO?2

Luis Imenes e José Jakubovic

VOCÊ JÁ DEVE TER VISTOS PARAFUSOS DESTES TIPOS: O mais comum é o primeiro chamado pelos mecânicos de sextavados.

Repare que sua cabeça (onde se encaixa a chave para apertá-lo ou desapertá-lo) é

um poliedro: trata-se de um prisma regular hexagonal.

Existem parafusos especiais, cuja cabeça é um prisma regular triangular.

2 Explorando o Ensino da Matemática – Ministério da Educação – Volume 2, p.30 – 34.

32

Formulação do Problema: Determinar o número de lados da cabeça de um parafuso para que o esforço para apertá-lo seja menor. Desenvolvimento:

Complete a tabela:

Número de lados do

parafuso Medida do ângulo

central 3 120°

4 90° 5 6 7 8

Questões:

a) Que polígono proporciona menos giros e qual seu ângulo central?

b) Que relação pode-se estabelecer com o ângulo interno e o espanamento

da cabeça do parafuso?

c) Quanto aos lados do polígono, qual proporciona melhor encaixe da

chave?

d) Por que não existem parafusos pentagonais ou octogonais?

33

ATIVIDADE 3 Comprimento do pé e o número do calçado

Série: Ensino Fundamental e Médio

Conteúdo Programático: Números e medidas, Funções

Objetivos:

Através da análise de situações que vivenciamos, compreender a aplicabilidade da

matemática e seu auxilio no desenvolvimento tecnológico

A MATEMÁTICA E O NÚMERO QUE VOCÊ CALÇA: 3

Fonte: http://www.shoesofprey.com

Muitas vezes não entendemos os motivos de se estudar matemática ou quando

vamos usar determinada parte do conteúdo e, por isso, nos questionamos: onde a

matemática é realmente aplicada? Do mais simples ato até a mais sofisticada

empregabilidade, a matemática está sempre presente em nosso cotidiano, basta que

analisemos as situações que vivenciamos.

Por mais inimaginável que possa parecer, o número que você calça também está

relacionado à matemática.

Formulação do problema:

Encontrar uma relação matemática entre o comprimento do pé e o número do calçado.

3 www.escolakids.com

34

Desenvolvimento:

a) Pedir aos alunos que desenhe o pé direito em uma folha e medir o comprimento do

pé, com o auxilio de uma régua.

b) fazer uma tabela dos dados coletados, e a partir dela propor uma associação entre os

comprimentos obtidos para um mesmo número de calçado.

c) represente graficamente o dados obtidos: comprimento do pé e número do calçado.

d) Determinar uma expressão matemática que relacione essas duas variáveis. Questões:

a) A partir da função encontrada construa uma nova tabela e compare os resultados

encontrados com a expressão abaixo.

Onde,

S: é o número do sapato. p: é o comprimento do pé em centímetros.

b) É possível comprar um par de sapatos conhecendo-se o comprimento do pé? Por quê?

35

ATIVIDADE 4

Janela com mosaico triangulares

Série: Ensino Fundamental

Conteúdo Programático: Formas geométricas, Ângulos, Funções

Objetivos:

Levar o aluno a “explorar” e propor soluções do problema, tendo espírito crítico e inovador.

RESOLUÇÃO E EXPLORAÇÃO 4

Lílian Nasser

Para construir uma janela ornamental, um operário precisa de pedaços de vidro.

Ele pretende aproveitar um vidro retangular defeituoso, com 10 bolhas de ar, sendo que

não há 3 bolhas alinhadas entre si, nem duas delas com algum vértice do retângulo, ou

uma delas com 2 vértices do retângulo.

Para evitar bolhas de ar no seu projeto final, ele decidiu cortar os pedaços triangulares

com os vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos cantos do vidro

original.

Formulação do problema: Determinar as diferentes possibilidades de cortes triangulares.

Desenvolvimento:

a) complete a tabela:

4 Explorando o Ensino da Matemática – Ministério da Educação – Volume 2, p. 35 - 38

36

Número de bolhas

Número de triângulos

1 4 2 6 3 . 4 . . . . . . .

10 22

Questões:

a) Através da construção da tabela, determine a lei de formação que representa o

número de triângulos possíveis de ser cortados.

b) É possível encontrar o mesmo modelo matemático, utilizando a soma dos

ângulos internos do vidro com os recortes obtidos?

37

ATIVIDADE 5

Meio copo de água transborda.

Série: 9º ano Ensino Fundamental e Ensino Médio

Conteúdo Programático: Funções, Equações, Volume e Área

Objetivos:

Por meio do experimento, levar o aluno a entender o que é variável dependente e

independente, fazer coleta de dados, construir gráficos e deduzir uma equação a partir

de uma situação geométrica.

VAMOS COMPARAR?5

Neste experimento, o nível da água no copo é função do número de bolinhas de

gude que colocamos dentro do copo. Vamos considerar o número de bolinhas como a

variável independente e o nível de água como variável dependente.

Formulação do problema:

5 Experimento adaptado do livro Álgebra Experimental

de Mary Jean Winter e Ronald J. Carlson , pág 42- 43.

38

Determinar a variação do nível de água do copo, em função do acréscimo de bolinhas de

gude.

Desenvolvimento:

Materiais:

- Um copo cilíndrico por grupo;

- Várias bolinhas de gude;

- Uma régua por grupo;

- Folhas de papel milímetrado, uma por aluno

Procedimento:

- Trabalhar em grupo de dois ou três;

- Colocar água no copo até atingir uma altura de 6 cm;

- Coloque as bolinhas de gude no copo com água ( 5 bolinhas de cada vez ) e anote

numa tabela o nível que está a água;

- Construir na folha de papel milímetrado,, o gráfico ( número de bolinhas X nível da

água ) a partir dos valores que você obteve.

Questões:

a) Encontre uma possível função para as variáveis número de bolinhas e nível

da água para a situação trabalhada. A partir dessa função, responda:

b) A medida que acrescentamos bolinhas, o que acontece com a altura da água

no copo? Quantas bolinhas de gude deve-se colocar para que a água fique no

limite da borda do copo?

c) Que altura teremos se colocarmos somente uma bolinha no copo? E se

colocarmos 9 bolinhas?

d) Como você explica o fato do gráfico ter dado uma reta?

e) Mudando o tamanho das bolinhas e/ou o raio do copo, o que muda na

expressão da função?

f) Deduza uma relação entre X (número de bolinhas) e Y (nível da água) a partir

da situação geométrica.

39

ATIVIDADE 6 Série: Ensino Médio

Conteúdo Programático: Matrizes

Objetivos:

Quando se estudo matrizes no ensino médio, dá-se enfoque em preparar o aluno para

entender o cálculo dos respectivos determinantes, para que o aluno tenha condições de

resolver sistemas lineares.

Esta atividade trata-se da operação de multiplicação de matrizes, na qual pretende-se

demonstrar quanto é importante a aplicação de matrizes em nosso dia a dia.

FAZENDO CONTAS NA CANTINA

Fonte: http://www.tecnologia e treinamento.com.br/gastronomia A fornecedora de salgado para a cantina, nos informou a quantidade e os preços

dos produtos por ela utilizados na fabricação de seus salgados.

40

Tabela do ingredientes:

Tabela de preço dos ingredientes:

Formulação do problema:

Determinar o preço base do custo dos salgados vendidos na cantina.

Desenvolvimento:

Baseado nas informações, das tabelas de quantidade e preço dos ingredientes utilizados

na fabricação dos salgados, construa a tabela do preço de venda dos saldados para a

cantina.

Questões:

a) Represente os dados matemático que expressa a relação entre custo e preço de venda.

b) Os preços obtidos é compatíveis com o preço de venda?

c) Em que condições a cantineira, pode obter lucro?

Ovos farinha açúcar carne

Pastéis 3 6 1 3

Empadas 4 4 2 2

Kibes 1 1 1 6

Ingredientes Preço Base(R$)

ovos 0,20

farinha 0,30

Açúcar 0,50

carne 0,80

41

ATIVIDADE 7

COMPRANDO DE GRAÇA

Série: Ensino Médio

Conteúdo Programático: Funções

Objetivos:

Possibilitar ao aluno uma reflexão sobre as Leis de mercado e entender que as compras

sucessivas é um estratagema que favorece os compradores iniciais e é altamente

desvantajoso para os finais

NA ILHA DOS SAPATOS GRATUÍTO 6 Manoel Henrique Campos Botelho

Um amigo fez uma inusitada proposta ao outro:

_ Você quer comprar de graça, um sapato?

_ De graça? Claro. Quais são as condições?

_ Primeiro comprar um selinho desse, por R$ 3,00; Juntar mais R$ 27,00 e o selinho e

levar a uma loja próxima. Você recebe um par de sapatos de valor de mercado de R$

30,00 e mais dez selinhos no valor de R$ 3,00. Basta então vender os dez selinhos que

você será restituído dos R$ 3,00 iniciais de compra do selinho e dos R$ 27,00 que anexo

para retirar o sapato da loja.

Formulação do problema:

6 Explorando o Ensino da Matemática – Ministério da Educação – Volume 1, p. 29 – 33.

42

Determinar a possibilidade de todos os moradores de uma ilha comprarem um sapato de

graça.

Desenvolvimento:

Complete a tabela:

Total =

Questões:

a) Que relação matemática representa o universo dos possíveis compradores?

b) Admitindo que a ilha conta com 1111 pessoas potencialmente clientes

compradores dos sapatos e mais uma pessoa que é o dono da loja, totalizando

1112 pessoas. Quantos não teriam os sapatos de graça?

c) Caso todos moradores queiram utilizar seus selos, quantos pares de sapatos

serão vendidos e qual o valor recebido pela loja em cada par de sapatos?

d) Matematicamente quando os supostos compradores serão prejudicados?

Nº de compradores Valor dos sapatos Valor recebido

Do 1º comprador: 3,00 + 27,00 = 30;00

De 10 compradores

De 100 compradores

De 1000 compradores

43

Sugestões

De

Atividades

44

Agora é com você

A Modelagem Matemática pode ser um método de ensino totalmente flexível que

valoriza a exploração, investigação a análise dos dados, aliada a introdução do conteúdo

matemático contextualizado, em uma situação problema, pode favorecer o aluno ao

desenvolvimento e reconstrução de sua própria aprendizagem de forma ativa, como

sujeito que pode interferir na sua realidade com criticidade.

Com o objetivo de promover um melhor entendimento sobre Modelagem

matemática no ensino e, quem sabe ajudar a promover esta nova maneira de

desenvolver a aprendizagem matemática.

Nesta perspectiva, propomos aos participantes deste mini-curso, que com seus

pares, desenvolva as atividades a seguir; e que para cada tema proposto, formule o

problema, o seu desenvolvimento, bem como as discussões sobre os mesmos.

45

EXERCÍCIO 1 Série: Ensino Fundamental e Médio

Conteúdo Programático: Números, Operações, Grandezas e Medidas, Tabelas e

Gráficos.

Objetivos: Conhecimento da Leis do País e conscientizar sobre os valores ganhos e

gastos para que as necessidades básicas de uma família sejam atendidas,e proporcionar

a formação de um cidadão crítico e consciente.

SALÁRIO MÍNIMO

Fonte: http://www.economia.culturamix.com

O artigo 7º da Constituição estabelece que todos os trabalhadores urbanos e

rurais têm direito a um salário mínimo fixado em lei, nacionalmente unificado capaz de

atender a suas necessidades vitais básicas e as de sua família como: moradia,

alimentação,educação, saúde, lazer, vestuário, higiene, transporte e previdência social.

Com reajustes periódicos que lhe preservem o poder aquisitivo.

Material de apoio:

46

Figura 1. demonstrativo do valor do salário mínimo e da cesta básica no período de

2001 a 2010 – Dados da tabela: http://www.dieese.org.br

ANO 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Salário (R$) 180,00 200,00 240,00 260,00 300,00 350,00 380,00 415,00 465,00 510,00 Cesta Básica (R$)

130,67 152,18 159,19 155,45 176,92 167,98 187,23 229,39 211,85 243,97

% sobre salário

0,72 0,76 0,66 0,59 0,58 0,47 0,49 0,55 0,45 0,47

47

EXERCÍCIO 2

Série: Ensino Fundamental e Médio

Conteúdo Programático: Medidas, Porcentagem e Proporção

Objetivos:

Devido à preocupação mundial com a diminuição de água potável em nosso planeta;

conscientizar o uso adequado, partindo da necessidade de água que o corpo humano

precisa para manter-se vivo e hidratado.

MATEMÁTICA DA ÁGUA NO CORPO HUMANO

Fonte: http://www.mundodastribos.com

A água desempenha papel fundamental na nossa vida, ela é essencial em quase

todas as funções do corpo humano como: respiração, digestão, absorção, transporte de

nutrientes e excreção de substâncias.

A água auxilia na regula da temperatura do corpo humano, elimina as toxinas

através da urina e da transpiração, molda o bolo fecal, é usada intensamente no processo

de respiração e faz a distribuição de muitos nutrientes pelos diversos órgãos do nosso

corpo. Na sua falta, o sistema natural de limpeza e desintoxicação do organismo fica

sempre muito prejudicado,contribuindo para o aparecimento de inúmeras doenças.

Mais de 60% do corpo humano é constituído por água, distribuída em vários

órgãos do corpo, na seguinte proporção

48

Fonte: http://aguafontedevidawordpress.com

O corpo humano perde uma quantidade significativa de água através da

respiração, transpiração e urina. Por tudo isso, os especialistas têm recomendado que se

beba aproximadamente 2 litros de água por dia, ou nas seguintes proporções:

-Adultos: 2,5 l/dia ou 35ml/kg de peso/dia

-Crianças: 55ml/kg de peso/dia

-Bebês: 150ml/kg de peso/dia

Aparentemente, á medida que envelhecemos, ficamos cada vez mais “secos”.

Uma pessoa com idade avançada chega a conter apenas 55% de água no corpo,

enquanto uma criança de 0 a 5 anos pode ter até 80% de água no organismo.

49

EXERCÍCIO 3 Série: Ensino Fundamental

Conteúdo Programático: Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, Números e Operações.

Objetivos:

Em muitas escolas acontece uma situação que incomoda alunos e professores: a super

lotação das salas.

Além dos conteúdos matemáticos envolvidos na atividade, pode-se conscientizar o

aluno do seu direito a cidadania.

CONFORTO AMBIENTAL SALA DE AULA

Fonte: http://vaninha-pedagogia.blogspot.com

50

EXERCÍCIO 4 Série: Ensino Fundamental

Conteúdo Programático: Números e Operações, Grandezas e Medidas, Funções

Objetivos:

A humanidade passa por grandes problemas na utilização de bens naturais. A água é um

desses bens e um recurso fundamental para a sobrevivência da espécie humana.

Esta atividade é uma simulação de um problema real com múltiplos objetivos, tais

como: evidenciar a importância do ferramental matemático no estudo e resolução de

problemas que ocorrem naturalmente ou como conseqüência da intervenção do homem

na natureza, desenvolvimento da cidadania, incentivar a reflexão e desenvolver o

espírito crítico do aluno no que diz respeito a essa intervenção.

DESPERDÍCIO DE ÁGUA

Fonte:http:/1bp.blospot.com

A humanidade passa por grandes problemas naturais.

A água é um desses bens e um recurso fundamental para a sobrevivência da

espécie humana. Muitas pessoas já sofrem com problemas graves causados pela seca.

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EXERCÍCIO 5

Série: Ensino Fundamental

Conteúdo programático: Números e operações, Tabelas e Gráficos

Objetivos:

Refletir sobre a produção de lixo indevidamente na sala de aula, e a destinação desse

lixo e quais os impactos no meio ambiente.

PRODUÇÃO DE LIXO NA ESCOLA

Fonte: http://br.photaki.com

A questão do lixo é um tema muito discutido por setores da sociedade nos

últimos anos.

A produção e a destinação dos resíduos preocupam os ambientalistas e a

população.

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EXERCÍCIO 6

Série: Ensino Fundamental e Médio

Conteúdo Programático: Grandezas e Medidas, Porcentagem, Frações.

Objetivos:

Constatar se há excesso de peso nas mesmas em relação às medidas

antropométricas destes educandos. Alertar sobre os possíveis problemas de saúde que

pode acarretar o excesso de peso nas mochilas.

QUAL É A SUA CARGA?

Fonte: http://www.itnet.com.br

O projeto de Lei 7848/10, do deputado Francisco Rossi ( PMDB-SP ), determina

que o peso do material escolar transportado por alunos, em mochilas ou pastas, não

ultrapasse 5% do peso da criança na pré-escola e 10% do peso do estudante no ensino

fundamental.

O médico pediatra, Sergio Lira, que atua no setor de ortopedia do Hospital

Geral, em Brasília, explica que como a criança está em fase de desenvolvimento, ela

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não deve fazer muita tensão em partes isoladas no corpo, para que não haja alteração no

crescimento.

Na avaliação do especialista, são inúmeras as enfermidades que podem afetar

uma criança ou jovem que utiliza mochilas inadequadamente ou com peso superior ao

permitido. “Dores na região lombar, baixo rendimento durante as aulas, irritabilidade

durante o período escolar são sintomas que podem estar relacionados com o excesso de

peso das mochilas. As alterações ocorridas na idade escolar acarretam inúmeros

problemas posturais e causam lesões gradativas”disse.

Já o ortopedista Rogério Barbosa, completa dizendo que a escoliose e a

hipercifose, conhecida popularmente como corcunda, são os principais problemas que

podem ser acarretados ou agravados pela má postura e o excesso de peso nas mochilas

escolares.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, J. C. Uma perspectiva de modelagem matemática. In: CONFERÊNCIA

NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2003.

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BARBOSA, J. C. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim, v. 27,

n.98, p. 65-74, 2003b.

BARBOSA, J. C. Tendência em Educação Matemática, Campinas: Papirus Editora,

2001.

BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com modelação Matemática: Uma nova

estratégia. 2 ed. São Paulo: Contexto, 2004.

BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3. ed. São

Paulo: Contexto, 2003.

D’AMBRÓSIO UBIRATAN. Educação para uma Sociedade em Transição, Papirus

Editora, Campinas, 1999.

D’AMBRÓSIO, UBIRATAN. Educação Matemática, Da Teoria à Pratica, Papirus

Editora, Campinas, 2004.

FIORENTINI, D. (org) Formação de Professores de Matemática: Explorando novos

caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado da letras, 2003.

MOREIRA, Plínio Cavalcanti; DAVID, Maria Manuela M. S. A formação

Matemática do Professor – Licenciatura e prática docente escolar. Coleção: Tendências

em Educação Matemática. Editora Autêntica.

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educacionais / org. de Jonei Cerqueira Barbosa, Ademir Donizeti Caldeira, Jussara de

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Loiola Araújo – Recife: SBEM, 2007. 256p.: il., 30 cm. – (Biblioteca do Educador

Matemático, v.3 ).

TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela M. S. Interdisciplinaridade e

Aprendizagem da Matemática em sala de aula. Editora Autêntica, Belo Horizonte,

2008.

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