FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO Elenir Terezinha Paluch Soares · atividades pedagógicas para o 6º Ano do Ensino Fundamental que podem ser desenvolvidas pelos professores dessa disciplina,

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA – PDE/2012

Título: OBMEP: UM MOMENTO PARA AVALIAÇÃO CURRICULAR DE MATEMÁTICA

Autora:

Elenir Terezinha Paluch Soares

Disciplina:

Matemática

Escola de Implementação do Projeto de Intervenção:

Colégio Estadual Visconde de Guarapuava -

Ensino Fundamental, Médio e Normal. Localização da Escola de Implementação:

Rua 15 de Novembro, no 3150, Centro, Guarapuava, PR. Fone (42) 36231338.

Núcleo Regional de Educação:

Guarapuava

Professora Orientadora:

Prof.a Me. Isabel Cristina Neves

Instituição de Ensino Superior:

UNICENTRO

Relação interdisciplinar:

Língua Portuguesa

Resumo: Entendendo-se a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP não apenas como uma forma de selecionar talentos em Matemática, mas, como investigação que leva à compreensão de uma realidade, provocando reflexões sobre a ação docente, a análise dos dados gerados pela OBMEP 2012 no Colégio Estadual Visconde de Guarapuava, permite supor a necessidade de atender determinadas fragilidades curriculares. Assim, este Caderno Pedagógico tem por objetivo, a partir das fragilidades supostamente detectadas e de suporte teórico pertinente, apresentar a análise feita com parte desses dados, bem como propor atividades pedagógicas para o 6º Ano do Ensino Fundamental que podem ser desenvolvidas pelos professores dessa disciplina, com vistas à maximização da ação docente e da aprendizagem desejada.

Palavras-chave:

Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas; fragilidades curriculares; resolução de problemas.

Formato do Material Didático: Caderno Pedagógico Público alvo: Alunos do 6º. Ano do Ensino Fundamental.

2

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................3

2 ANÁLISE DAS QUESTÕES ....................................................................................5 2.1 Questão 8 ..........................................................................................................6 2.2 Questão 11 ........................................................................................................7 2.3 Questão 16 ........................................................................................................9 2.4 Considerações preliminares ............................................................................12

3 APOIO TEÓRICO ..................................................................................................13 3.1 Explorando o cubo...........................................................................................13 3.2 Equilíbrio X Igualdade......................................................................................16 3.3 Frações............................................................................................................18 3.4 Problemas-processo ou heurísticos.................................................................20

4 METODOLOGIA ....................................................................................................21

5 SUGESTÕES DE PROBLEMAS ...........................................................................23 5.1 Explorando o cubo...........................................................................................24 5.2 Equilíbrio x Igualdade .....................................................................................29 5.3 Frações............................................................................................................33 5.4 Problemas-processo ou heurísticos.................................................................38

6 REOLUÇÃO E OBJETIVOS DOS PROBLEMAS ................................................42

REFERÊNCIAS.........................................................................................................60

3

1 INTRODUÇÃO

O presente Caderno Pedagógico é decorrente do Projeto OBMEP: um

momento para avaliação curricular de Matemática, apresentado ao Programa de

Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE 2012, que tem como objetivo geral

a utilização dos dados gerados pela 8ª. Olimpíada Brasileira de Matemática das

Escolas Públicas, realizadas em 2012, para identificar e minimizar fragilidades

curriculares de Matemática do 6º. Ano do Colégio Estadual Visconde de

Guarapuava.

Quando o professor compreende a avaliação escolar na perspectiva de

Luckesi (2005, 2006), como investigação e como intervenção, isto é, quando a

entende como uma investigação que leva à compreensão de uma realidade,

possibilitando a tomada de decisões sobre como intervir para modificá-la, quando o

professor avalia o seu trabalho através dos resultados obtidos por seus alunos, tal

como entende Neves (2008), então a OBMEP não é vista apenas como uma

classificação e seleção, mas, ganha realmente o sentido de contribuir para a

melhoria da Escola Pública, na medida em que provoca a reflexão sobre a ação

docente, sobre fragilidades curriculares, quer seja quanto aos conteúdos ou seus

encaminhamentos metodológicos.

A partir do quadro representativo do desempenho do 6º. Ano do referido

colégio nesse programa nacional, apontando que 95% dos 73 alunos apresentaram

um aproveitamento inferior a 36%, conforme gráfico na ilustração 1 buscou-se

compreender os condicionantes que podem ter contribuído para o insucesso dos

alunos.

95%

4% 1%

Ilustração 1 – Gráfico de desempenho Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.

DESEMPENHO DOS ALUNOS DO 6º ANO DO COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE GUARAPUAVA NA OBMEP 2012

4

Apesar de utilizar inicialmente dados quantitativos, a metodologia utilizada

configura uma pesquisa qualitativa, com enfoque de pesquisa-ação, na medida em

que os dados recolhidos são analisados, interpretados, gerando nova busca de

dados que expliquem melhor a realidade apreendida e orientem ações que

contribuam para uma transformação desejada.

Nessa direção, o gráfico da ilustração 2, obtido a partir dos “gabaritos” dos

alunos do grau de escolaridade e instituição investigadas, indica a quantidade de

acertos em cada uma das 20 questões propostas na prova de Nível 1, destinada a

alunos do 6º e 7º. Anos do Ensino Fundamental, pela OBMEP 2012, sinalizando as

questões que apresentaram menor porcentagem de acertos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70

72

Número de acertos por questão - 6° Ano

Número da questão

Número de alunos que ac

ertaram

Ilustração 2: Gráfico do número de acertos por questão Fonte: SOARES, Elenir T. P. (Dados coletados no Col. Est. Visc. Gpuava - 2012.

Questão 8: 9, 6, % de acertos

Questão 11: 5,4% de acertos

Questão 16: 8,2% de acertos

Nú

mer

o d

e al

un

os

qu

e ac

erta

ram

NÚMERO DE ACERTOS POR QUESTÃO NA OBMEP 2012 – 6º. ANO

5

Embora todas as questões mereçam uma investigação que busque identificar

os obstáculos que não foram vencidos pelos educandos, são tomadas para análise,

nesse momento, apenas as três questões em que os alunos investigados

apresentaram menos de 10% de acertos, conforme destacado na ilustração 2.

Visando a uma intervenção pedagógica com o objetivo de minimizar as

dificuldades supostamente enfrentadas pelos alunos na resolução de tais questões,

talvez oriundas de fragilidades curriculares, entretanto, sem o objetivo de prepará-los

para qualquer avaliação externa, propõe-se o presente caderno pedagógico como

estratégia para ampliar a capacidade de resolver situações-problemas.

2 ANÁLISE DAS QUESTÕES

A convicção de que o principal motivo das avaliações escolares é fornecer

subsídios para orientar a ação docente em seu fazer pedagógico, tanto referentes

aos conteúdos como quanto a metodologia utilizada no processo educativo, tal como

defendem vários autores, dentre eles Hoffmann (1996) e Luckesi (2003), o presente

caderno pedagógico constitui-se em uma tentativa de minimizar problemáticas

identificadas a partir da análise do desempenho de alunos do 6º. Ano do Colégio

Estadual Visconde de Guarapuava, na 8ª. Olimpíada Brasileira de Matemática das

Escolas Públicas – OBMEP.

Dentre as vinte questões propostas ao 6º. Ano na 8ª OBMEP, as questões 8,

11 e 16 atraíram a atenção, por apresentarem menos de 10% de acertos por parte

dos alunos do ano de escolaridade e escola já referidas, sendo que em apenas um

caderno de provas há sinais de cálculo ou estratégias de resolução de uma dessas

questões, o que pode significar que mesmo os alunos que marcaram respostas

certas podem ter chegado a elas aleatoriamente.

Para estabelecer hipóteses sobre os prováveis condicionantes do

desempenho apresentado, entende-se a necessidade de se colocar no lugar do

aluno e resolver tais questões, conforme descrição a seguir:

6

2.1 Questão 8

Ilustração 3 – Questão 8 da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012.

Fonte: disponível em: http://www.obmep, org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.

Para perceber quais são as faces que têm uma resta comum com a face de

número 1, há pelo menos dois caminhos: um deles é montar o cubo de acordo com

a planificação dada para visualizar as faces que têm uma aresta comum com a de

número 1, ou seja, todas menos a face a ela oposta, que é a 3. ·.

Ilustração 4 - cubo transparente. Fonte: Soares, E. T. P., 2012.

Ou, observando a planificação dada, apresentada na ilustração 3, percebe-se

que a face 3 é a única que não admite relações de vizinhança com a face de número

1, não possuindo arestas comuns com ela, e, portanto, sendo a sua face oposta.

Logo o produto das faces que têm uma aresta comum com a face de numero 1 é: 2

x 4 x 5 x 6 = 240, e a alternativa correta é a letra “e”.

O desempenho dos alunos do já referido colégio, correspondente a apenas

9,6 % de acertos na questão 8, permite formular as seguintes hipóteses:

4

3

5

6 2

1

7

• Os alunos têm dificuldades para interpretar o enunciado da questão;

• o cubo é um objeto matemático, que necessita ser mais explorado nas

práticas pedagógicas de Matemática;

• a percepção espacial dos alunos é pouco desenvolvida;

• há dificuldades em visualizar um sólido a partir de sua planificação;

• falta domínio da nomenclatura associada aos elementos do cubo, tais como

face e aresta, e aos termos e resultados das operações fundamentais, tal

como a palavra produto.

2.2 Questão 11

Ilustração 5 – Questão 11 da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012. Fonte: disponível em: http://www.obmep, org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.

A informação de que o total de farinha é 1400 g permite calcular quanto

de farinha há em um copo e em metade de um copo. Isso pode ser feito pelo menos

de dois modos: utilizando frações ou decimais.

Adicionando 2 porções inteiras de farinha (prato da esquerda) às 3 metades

de porções (prato da direita) obtém-se 3 porções e meia de farinha, (2 + =++

2

1

2

1

2

1

32

1 ou

2

7 copos de farinha).

8

Se sete metades de copo contêm 1400g de farinha, uma metade contém

1400: 7 que é igual a 200 g de farinha (Ou, um copo inteiro contém 400 g).

Com o uso de decimais, o total de farinha pode ser representado por

2+0,5+0,5+0,5 = 3,5 porções de farinha. Ora, se 3,5 porções de farinha valem

1400g, então uma porção inteira (o conteúdo de um copo cheio) é 1400 : 3,5 = 400 g

(caminho perigoso quando não há o domínio sobre divisão com decimais).

Sabendo então a quantidade de farinha que há em cada copo, volta-se à

balança, substituindo o primeiro prato por 2 copos vazios + 800 g de farinha que

será igual a três copos vazios + 600g de farinha, obtendo-se a seguinte situação:

Ilustração 6 - Balança equilibrada. Fonte: Soares, E. T. P., 2012.

Pela lógica da balança em equilíbrio, retirando-se 2 copos vazios e 600 g de

farinha de cada prato da balança, ela permanecerá em equilíbrio, e o peso que ficar

no prato da esquerda será igual ao peso que ficar no prato da direita, obtendo-se a

igualdade desejada.

200g

Ilustração 7: Balança equilibrada.

Fonte: Soares, E. T. P., 2012

Assim, um copo vazio pesa 200g, e a alternativa correta é a letra “d”.

O desempenho correspondente a apenas 5,4 % de acertos na questão 11,

permite formular as seguintes hipóteses:

• os alunos não relacionam, logicamente, o equilíbrio da balança de dois pratos

ou de Roberval com a igualdade entre os pesos colocados nos dois pratos;

600g 800g

9

• há dificuldades para expressar matematicamente uma balança em equilíbrio;

• as palavras ou expressões: equilibrada, idênticos, ao todo e capacidade, não

são traduzidas ou interpretadas adequadamente pelos alunos;

• os alunos não associam metade a 2

1 ou 0,5;

• há dificuldades para adicionar inteiros com fracionários ou decimais (2 +

=++

2

1

2

1

2

1 ou 2 + 0,5 +0,5+05);

• conhecido uma parte do inteiro, na forma fracionária ou decimal, o aluno não

obtém o valor do inteiro, e vice-versa;

• os alunos não percebem as possibilidades da substituição de objetos por

valores ou outros objetos a eles associados.

2.3 Questão 16

Ilustração 8 – Questão 16 do da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012.

Fonte: disponível em: http://www.obmep,org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.

Esta situação-problema poderá ficar mais clara com auxílio de tabela de

suposições ou com uma simples figura que permita esboçar o movimento das

crianças, e a leitura atenta do enunciado indica que se deve operar com um número

mínimo delas.

10

Assim, para que 7 crianças corram da varanda para a cozinha, 5 corram da

cozinha para a sala e 4 da sala para a varanda, pressupõe-se que deve haver pelo

menos 7 delas na varanda, 5 na cozinha e 4 na sala, o que resulta na tabela abaixo.

Varanda Cozinha Sala

7 5 4

No entanto, ao saírem as 7 da varanda, e recebendo as 4 que vieram da sala,

na varanda ficam 4 crianças; ao saírem 5 da cozinha e recebendo as 7 que vieram

da varanda, na cozinha ficam 7 crianças; ao saírem as 4 da sala e recebendo as 5

que vieram da cozinha, na sala ficam 5 crianças. Logo, no 2º momento, após a

correria, temos:


4 7 5

Porém, isso não satisfaz o enunciado do problema, quando diz que ao final da

correria, a quantidade de crianças em cada aposento ficou igual.

Considerando que na cozinha não pode haver menos que 7 (as que vieram

da varanda), este é o menor número possível de crianças em cada aposento, depois

da correria. Para tanto, deve haver 3 crianças a mais do que se supôs inicialmente

(7) na varanda e que não correram, que acrescidas das 4 que vieram da sala

totalizam no 2º momento, 7 crianças na varanda.

Deve haver 2 crianças a mais do que se supôs inicialmente na sala e que não

correram, que acrescidas das 5 que vieram da cozinha totalizam no 2º. momento, 7

crianças, também, na sala.


3 + 4(vieram da sala) =7 7(vieram da varanda) 2 + 5 (vieram da

cozinha) = 7

Assim, depois da correria, têm-se 7 crianças em cada um dos 3 aposentos,

totalizando 3 x 7 = 21 crianças.

Veja a tabela inicial que atende os condicionantes do problema:

11


3 crianças não correram

e 7 correram para a

cozinha. Total inicial= 10

Todas as 5 cças

correram para a sala.

Total inicial = 5

2 cças não correram e 4

correram para a

varanda. Total inicial= 6

Adicionando as quantidades iniciais em cada aposento, tem-se o número

mínimo de crianças que havia inicialmente na casa de Cláudia. Ou seja:

10 + 5 + 6 = 21 crianças.

Ou, pela figura:

Suposição no momento da correria

V C

7 S

A interrogação representa o número de crianças que permaneceram onde

estavam no momento da correria.

2º. Momento: quantidades iguais na V, C e S.

V C

S

5 +

Resta responder a pergunta: qual o menor número que devemos colocar no

lugar de cada interrogação do 2º. Momento, para ficar com a menor quantidade

possível e igual nos três aposentos?

Respondendo: 3 na varanda, zero na cozinha e 2 na sala (esses números

representam o número de crianças que não correram), todos os aposentos ficam

igualmente com 7, o que totaliza 21 crianças.

Logo, havia, inicialmente, na casa de Cláudia, 21 crianças e a alternativa

correta é a letra “d”.

Descartando-se as dificuldades com os cálculos, pois estes são

extremamente simples, ou com o vocabulário empregado no enunciado, pois este

? + 7 ? + 5

? + 4

5 + ?

4 + ? 7 + ?

12

apresenta redação clara, utilizando conceitos perfeitamente compatíveis com o grau

de escolaridade dos alunos, e a falta de algum conteúdo específico, pois a questão

não faz tal exigência, o desempenho correspondente a apenas 8,2 % de acertos na

questão 16, permite formular as seguintes hipóteses:

• não houve uma leitura e interpretação atenta do texto;

• os alunos não conseguem estabelecer estratégias de resolução de problemas

em que os dados não indicam claramente o ou os algoritmos que podem ser

utilizados na resolução;

• não se formou o hábito de utilizar representações pictóricas ou tabelas para

orientar a elaboração de planos de resolução de problemas.

2.4 Considerações preliminares

A análise das resoluções das questões 8, 11 e 16, feita por esta autora e um

conjunto de professores de Matemática1, permite supor, de um modo geral, que os

principais fatores determinantes do desempenho insatisfatório, apresentado pelos

referidos alunos, correspondem à falta de leitura atenta das situações-problemas

associada à fragilidade do raciocínio lógico, deficiência vocabular específica da

matemática e a não abstração de determinados objetos matemáticos, conceitos,

propriedades e princípios a eles correspondentes, dentre eles o cubo, relações de

equivalência e frações.

Especificamente, em relação à questão 16, tratando-se de um desafio que

solicita, antes de qualquer ação, uma leitura atenta e a aplicação de princípios

lógicos, é possível acreditar que tenha sido a ausência desses fatores, o

condicionante do desempenho insatisfatório dos alunos, nessa questão. Supõem-se

ainda, que uma estratégia útil para a resolução bem sucedida desse tipo de situação

problema, seja a utilização pelo aluno, de representações pictóricas que possam

auxiliar a compreensão da problematização apresentada.

No que diz respeito à utilização autônoma de estratégias de compreensão da

leitura pelos alunos, Sole (1998) traz uma grande contribuição ao explicar como

1 Nesse texto, utiliza-se maiúsculo para se referir à disciplina (Matemática) e minúsculo para a ciência

(matemática).

13

extrair as informações importantes de um texto, o que é, segundo Polya (1978),

essencial para a compreensão e resolução de uma situação problema.

Para aquela autora, “formular e responder perguntas sobre um texto é uma

estratégia essencial para uma leitura ativa” (SOLÉ, 1998, p. 155). Nesse sentido,

quando o aluno aprende a fazer perguntas pertinentes ao enunciado de uma

situação-problema, estará mais capacitado para extrair os dados que necessita para

elaborar seu plano de resolução.

Assim visto, estimular o aluno para que explore o texto/ enunciado de um

problema com “perguntas pertinentes”, como diz Sole, é o primeiro compromisso do

professor de Matemática que busca o norte para a sua ação pedagógica na

metodologia da Resolução de Problemas.

Buscando minimizar as supostas fragilidades específicas dos conteúdos

matemáticos solicitados nas questões analisadas, buscou-se aporte teórico

fornecido por estudiosos da Educação Matemática.

3 APOIO TEÓRICO

Para melhor organização das contribuições teóricas que possam iluminar

ações futuras, optou-se em subdividi-las de acordo com as necessidades

interventivas relativas às questões em foco.

3.1 Explorando o cubo

Segundo Pavanello (1998), não é de estranhar o fraco desempenho dos

alunos nas avaliações que envolvam noções/conceitos geométricos. Explica essa

estudiosa da geometria escolar, que suas pesquisas têm mostrado que “o trabalho

com a geometria não está atingindo objetivos que são reconhecidos pelos próprios

professores como essenciais para a formação integral do aluno” (p. 31). A partir,

também, de outros educadores matemáticos, essa autora considera que:

14

Certa familiaridade com as figuras geométricas e o desenvolvimento de habilidades ligadas á percepção espacial são essenciais em várias situações escolares (entre as quais a leitura e a escrita), no dia-a-dia das pessoas, no exercício das mais variadas profissões. Oferecer aos alunos uma boa educação matemática significa realizar uma abordagem pedagógica para a geometria que concorra efetivamente para o desenvolvimento dessas habilidades (PAVANELLO, 1998, p.28).

Nessa mesma direção, Lorenzato (2005) justifica a necessidade de ter

geometria na escola, pois “sem estudar Geometria, as pessoas não desenvolvem o

pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente

conseguirão resolver situações de vida que forem geometrizadas” (p. 5).

Na perspectiva de Kaufman (2005, p. 48-50), a planificação de sólidos e a

construção de poliedros regulares a partir de planificações auxilia o aluno a

visualizar as faces de um sólido, identificar as superfícies planas, estabelecer a

diferença entre um sólido e uma figura plana, adquirir noções de paralelismo e

perpendicularismo, e outros conhecimentos. Recomenda essa autora que o estudo

da geometria para os mais jovens seja feito de forma intuitiva e experimental,

fazendo com que o aluno, “através da visualização e do fazer, estabeleça

comparações e construa os conceitos” (p. 49-50).

Nesse sentido, acredita-se como Kaufman, que propor para os alunos

“desmontar caixas” (p. 47) visando à planificação do sólido e, numa segunda etapa,

fornecer-lhes desenhos planificados de sólidos para que, numa operação inversa à

anterior, construam sua representação espacial, favorece a descoberta de seus

elementos e propriedades a eles intrínsecas.

Vale lembrar que atualmente existem softwares com recursos especiais para

explorações experimentais, que favorecem o estudo da Geometria, possibilitando

que os objetos do mundo físico possam ser mais facilmente abstraídos.

Outro aspecto a ponderar, relativo à questão 8, é que apesar de muito

frequente e orgulhosamente ser defendido e apregoado nas propostas curriculares

que o valor educativo da matemática é o desenvolvimento do pensamento lógico e a

resolução de problemas, situações avaliativas internas e externas à escola apontam

para resultados que parecem contradizer os entusiasmados discursos.

O que se pretende colocar em discussão é que a previsão apontada, por

muitas vezes, não se cumpre, pois não há como negar as dificuldades que os

estudantes continuam apresentando em relação à articulação da lógica e dos

15

conteúdos matemáticos veiculados pela escola, quando são desafiados a resolver

situações problemas que os requerem.

Embora a resolução de problemas venha sendo apontada como o

encaminhamento metodológico priorizado em muitas propostas pedagógicas

curriculares, o efeito prático desta opção não parece ainda ter causado um dos

impactos desejados, ou seja, um melhor desempenho dos alunos nesse campo.

Polya (1978) defende que a resolução de problemas, didaticamente, deve ser

abordada através de quatro etapas: a compreensão do problema, o estabelecimento

de um plano de resolução, a execução do plano e o retrospecto, ou seja, a

verificação da resposta obtida.

Quanto à compreensão do problema, dentre as orientações sugeridas, esse

autor deixa claro que “primeiro que tudo, o enunciado verbal do problema precisa

ficar bem entendido” (POLYA, 1978, p. 4). Entende-se que, para tanto, uma das

condições a serem atendidas seja o domínio do vocabulário empregado no texto, ou

seja, o vocabulário utilizado no enunciado tanto pode colaborar para a compreensão

do problema como pode tornar-se um elemento complicador quando o aluno não o

domina.

Nessa mesma direção, Dante (1989, p. 48-49) considera que a linguagem

utilizada na redação do problema pode constituir-se em um fator que dificulta a sua

resolução, na medida em que o estudante “faz confusão” se não dominar o

vocabulário matemático específico, fator esse também abordado por Dienes (1974),

explicando que a descrição de uma abstração requer a utilização de uma linguagem

específica, ou seja, nomes para as diversas partes que compõe o objeto abstraído e

as relações lógicas a ele inerentes.

Esse pesquisador defende, dentre outros princípios, para fazer face às

diferenças individuais existentes para enfrentar a formação de um mesmo conceito

matemático, o princípio da “variabilidade perceptiva”, ou seja, para que ocorra a

abstração de um conceito são necessárias várias experiências, e sugere que um

modo de fazer isso é “conseguir tantas variações quanto possível, com diferentes

meios, em relação ao mesmo tema conceptual. Isso é possível com o

estabelecimento de tarefas que pareçam muito diferentes, mas que têm a mesma

estrutura conceptual” (DIENES, 1974, p. 41), explicando que podemos variar a

representação perceptiva, mantendo constante a estrutura conceitual.

16

A partir dos aportes teóricos apresentados e indícios apontados pelo

desempenho insatisfatório de alunos do 6º. Ano, em situações problemas que

envolvem o cubo e seus elementos, bem como a sua planificação, assim como o

vocabulário específico referente aos seus componentes e aos termos e resultados

das operações fundamentais, busca-se minimizar tal problemática através de melhor

abstração desse objeto matemático e da apropriação do vocabulário pertinente, que

pode ter sido um dos condicionantes interferentes no citado desempenho dos

alunos, interferindo na compreensão do problema proposto e consequentemente na

sua resolução.

Para tanto, na sequência desse caderno pedagógico, propõe-se uma série de

situações problemas envolvendo o objeto matemático cubo, a abstração desse

conceito, a passagem da sua planificação para o tridimensional e vice-versa e que

incluam, no respectivo texto, a nomenclatura referente aos seus elementos, tais

como face, aresta, aresta comum a duas faces, planificação, bem como, a

nomenclatura correspondente aos termos e resultado das operações adição,

subtração, multiplicação e divisão.

3.2 Equilíbrio X Igualdade

Provavelmente, um dos recursos mais utilizados pelos professores de

Matemática ao trabalhar com os alunos as equações do 1º. Grau e os princípios

aditivo e multiplicativo de igualdades seja a balança de dois pratos. Entretanto a

utilização desse recurso não necessita esperar por esse momento para ser

explorado didaticamente, visto o seu grande potencial para que o aluno perceba a

lógica existente entre o equilíbrio da balança e a “igualdade”, que é uma relação de

equivalência, por suas propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Considerando que “as relações, e particularmente as de equivalência, são

fundamentais na matemática” (DIENES, 1974, p. 133), há que se admitir o pouco

que é normalmente feito para dar aos alunos uma prática suficiente para entender

como essas relações são básicas para a articulação da lógica e os conteúdos

matemáticos.

Muitas vezes, ofuscados pelas novas tecnologias, esquece-se de outros

recursos que podem ser utilizados para desenvolver o pensamento lógico e a

17

abstração dos objetos matemáticos nos alunos. Em décadas passadas, enquanto a

balança digital não havia se popularizado, a balança de dois pratos fazia parte da

paisagem socioeconômica cotidiana e pelo menos uma parcela dos educandos

conheciam na prática a lógica do seu funcionamento.

Atualmente, se for entendido que “nos alunos jovens a ação sobre os objetos

torna-se totalmente indispensável para a compreensão” (PIAGET, 1973, apud

PARRA & SAIZ, 2001, p. 244), o instrumento balança necessita ser apresentado aos

alunos e por eles manipulado, para que percebam a relação existente entre o seu

equilíbrio e a relação matemática de igualdade que pode ser estabelecida, até para

que possam abstrair sequencialmente com maior prontidão a sua representação

algebrizada.

Para tanto, sugere-se a construção pelos próprios alunos, de balanças de

dois pratos, a partir de cabides, barbantes ou arames e sacolas plásticos, bem como

de pacotes com diferentes valores de peso, para realizar experimentações.

O baixo desempenho dos alunos na questão 11 da OBMEP 2012, conforme

indicado anteriormente na ilustração 2, parece servir, também, para reinserir nas

discussões curriculares a preocupação com a lógica, que vem sendo objeto de

grande atenção dos pesquisadores sobre o desenvolvimento matemático.

Considera-se, que:

O estado das habilidades lógicas de uma criança às vezes detém a aprendizagem de um sistema convencional: se a criança não desenvolveu uma compreensão dessa ou daquela relação lógica, é às vezes impossível para ela aprender um sistema convencional específico. Nosso exemplo principal disso foi sobre as dificuldades das crianças com o sistema de numeração escrito (NUNES; BRYANT, 1997, p. 227-228).

Direcionando à resolução de problemas essa preocupação com a lógica,

entende-se que os problemas não convencionais, identificados por Smole e Diniz

(2001) como aqueles que não são resolvidos pelo uso direto de um algoritmo, que

exigem que o aluno faça uma leitura mais cuidadosa do texto, selecione e interprete

as informações, estimulando o desenvolvimento de estratégias variadas de

resolução, “favorece os diferentes modos de pensar além da aritmética, estimulando

o pensamento divergente, indutivo e lógico-dedutivo nas aulas de matemática”

(SMOLE; DINIZ, 2001, p. 105).

18

De acordo com essas autoras, “planejando o que fazer, como fazer,

encontrando uma resposta e testando para verificar se ela faz sentido (...) gera uma

atitude que não é passiva e requer uma postura diferenciada frente à resolução de

problemas (SMOLE e DINIZ, 2001 , p. 107)”. Essa perspectiva expressa com muita

proximidade, o que parece ter faltado aos alunos em relação ao problema 11, objeto

de análise neste caderno pedagógico.

3.3 Frações

Outro fator que pode ter sido um complicador do problema 11, para o aluno,

foi o desafio de encontrar a quantidade de farinha correspondente ao conteúdo de

um copo inteiro ou de meio copo, sabendo quanto pesam três copos e meio.

Apesar de parecer bastante elementar a idéia de que duas metades de um

inteiro são equivalentes a um o inteiro, é recomendável lembrar das dificuldades que

os alunos apresentam no trabalho com frações e decimais. Dessa forma, defende-se

a idéia de que, pelo menos, as frações e os números decimais mais comumente

utilizadas sejam sempre explorados nas situações problemas propostas nas aulas

de matemática, abordando os dois aspectos: dado o valor do inteiro, calcular a

fração e dado o valor da fração, calcular o inteiro, como também, propor problemas

que solicitem operações fundamentais com inteiros e frações e ou decimais.

Ë oportuno lembrar que o trabalho com frações e decimais na faixa etária

correspondente ao ano de escolaridade em foco, não pode abrir mão do recurso aos

materiais didáticos estruturados, tais como o Material Cuisenaire para o estudo de

frações e o, Material Dourado de Montessori para o trabalho com decimais, além de

outros materiais, tal como propõe Rosa Neto (1987 p. 68-69). Esse autor sugere que

as atividades com esses materiais podem ser repetidas através de desenhos em

caderno quadriculado.

Queixam-se os professore de Matemática a partir do 6º Ano e até mesmo os

do Ensino Médio, a respeito do “terror” dos alunos quando as situações-problemas

apresentadas envolvem racionais não inteiros, criando-se um clima desconfortável

para os professores dos anos anteriores. Não se resolverá a contento essa questão,

enquanto buscar-se outrem para ser responsabilizado por esse prejuízo, cujas

verdadeiras vítimas são os próprios alunos.

19

Dessa forma, seja em qual for o nível ou estágio de escolaridade, o professor

que desejar reverter essa situação dispõe de diversos materiais, a exemplo dos já

citados, que podem ser facilmente utilizadas em sala de aula, levando seus alunos,

passo a passo, rumo à abstração desejada e ao domínio dessa dificuldade.

Inspirando-se no Material Cuisenaire, sugere-se, que seja montado e

manipulado pelos alunos, o quadro conforme ilustração 9, cabendo ao professor

instigar os estudantes a visualizar, a partir desse material, as diversas possibilidades

que ele oferece quanto à equivalência e operações com frações.

2

1 2

1

3

1

3

1

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

8

1

8

1

8

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8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

10

1

10

1

10

1

10

1

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1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,5

0,5

Ilustração 9 – Material para o estudo das frações

Fonte: SOARES, E.T.P., 2012.

Cita-se como exemplo de atividade com esse material, como também com o

Material Dourado, que o aluno visualize a equivalência entre 2

1 e 0,5;

10

1 e 0, 1, e

outras relações, pois há indícios de que o trânsito do aluno entre as diversas formas

de representar um número racional, é também um sério complicador para a sua

autonomia na resolução de problemas.

UM INTEIRO

20

3.4 Problemas-processo ou heurísticos

Como já foi abordado anteriormente, os problemas não convencionais,

também denominados por Dante (1989, p. 17) de ‘problemas-processo ou

heurísticos’, são problemas que:

Em geral não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução (...) Os problemas-processo aguçam a curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-problema, o que em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta certa (DANTE, 1989, p. 18).

Na perspectiva de Polya (1978), a Heurística era o nome de certo ramo de

estudo, não bem delimitado, pertencente á Lógica, à Filosofia ou à Psicologia, que

teria como objetivo ”o estudo dos métodos e das regras da descoberta e da

invenção” (p. 86), sendo que as mais famosas tentativas de sistematização devem-

se a Descartes e Leibnitz, ambos grandes matemáticos e filósofos. Ainda esse autor,

entende que “a heurística moderna procura compreender o processo solucionador

de problemas, particularmente, as ‘operações mentais’, típicas desse processo” (p.

87). Daí, talvez, a denominação atribuída por Dante.

Segundo Polya (1978), “a Heurística visa à generalidade, ao estudo de

procedimentos que independem do assunto em questão e são aplicáveis a

problemas de toda sorte” (p. 89), e, o “raciocínio heurístico, que é provisório e

apenas plausível, é importante na descoberta da solução” (p. 88). Destaca esse

autor, que “todos os tipos de problemas, especialmente ‘ problemas práticos’ e até

mesmo ‘enigmas’ situam-se no campo da Heurística”.

Nessa direção, Smole e Diniz (2011), complementam tais pressupostos,

quando abordam os “problemas de lógica”, explicando-os como aqueles cuja

proposta de resolução exigem raciocínio dedutivo e que propiciam uma experiência

rica para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e

checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e

classificação. Segundo estas as autoras:

21

O método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e listas são estratégias importantes para a resolução de problemas de lógica. Além da exigência de usar uma destas estratégias não-convencionais para sua resolução, os problemas de lógica, pelo inusitado das histórias e pela sua estrutura, estimulam mais a análise dos dados, favorece a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores, atenuam a pressão para obter-se a resposta correta imediatamente (SMOLE; DINIZ, 2001, p. 114).

A partir de tais pressupostos e do desempenho insatisfatório de 92% dos

alunos de 6º. Ano no problema 16 da OBMEP 2012, já apresentado na ilustração2

3, entende-se a necessidade de que o uso de estratégias, das quais falam essas

autoras, seja mais estimulado durante as aulas e que a resolução desse tipo de

situações-problemas passe a fazer parte, explicitamente, das propostas curriculares

de Matemática, não apenas no 6º. Ano, que é o alvo desse estudo, mas das

propostas pedagógicas curriculares de Matemática de todo o Ensino Fundamental e

Médio do Colégio Estadual Visconde de Guarapuava ou da escola que achar

conveniente fazer uso deste caderno pedagógico.

4 METODOLOGIA

A metodologia apontada na Proposta Pedagógica Curricular de Matemática

do Colégio Estadual Visconde de Guarapuava é a Resolução de Problemas. Mas,

considerando as contribuições de Chervel (1990), sobre a história das disciplinas

escolares, e Julia (2001), em seus estudos sobre a cultura escolar como objeto

histórico, há que ser lembrado que nem tudo que está escrito nos documentos

oficiais é o que realmente acontece na realidade.

Quando essa metodologia é adotada, há que se ter em mente que “o ensino-

aprendizagem de um tópico matemático deve sempre começar com uma situação

problema que expressa aspectos-chave desse tópico” (ONUCHIC; ALLEAVATO,

2004, p. 222).

Porém, isso não significa que o problema formulado deva ser convencional ou

padrão, ou seja, daqueles que envolvem a aplicação direta de um ou mais

algoritmos, não exigindo qualquer estratégia do aluno; ao contrário, cabe ao

professor criar um clima de busca, exploração e descoberta, propondo problemas

22

que representem um desafio e que os alunos sintam desejo de resolvê-lo.

Concordamos com a perspectiva de Smole e Diniz (2001), de que a

resolução de problemas “deve estar presente ao longo de todo o curso de maneira

diversificada e pertinente”( p. 120). Também, que:

Cada momento na resolução dos problemas deve ser de investigação, descoberta, prazer e aprendizagem. A cada proposta de resolução os alunos devem ser encorajados a refletir e analisar detalhadamente o texto, estabelecendo relações entre os dados numéricos e os outros elementos que os constituem e também com a resposta obtida, percebendo se esta é ou não coerente com a pergunta e o próprio texto (SMOLE; DINIZ, 2001, p. 120).

A etapa do retrospecto, ou da análise da resposta obtida, recomendado por

Polya (1978) e bem lembrado pelas autoras, é fundamental, pois é nesse momento

que o aluno verifica se o plano de resolução que elaborou e executou foi coerente e

suficiente para obter a resposta ao problema proposto. É um momento especial para

desenvolver o senso crítico, a lógica, a argumentação e a adequação da resposta à

pergunta formulada.

Entende-se que uma estratégia adequada para resolver problemas em sala

de aula, além de seguir as quatro etapas sugeridas por Polya (1978), ou seja:

compreender o problema, elaborar um plano, executar o plano e fazer o retrospecto

ou verificação, seja o professor apresentar o problema individualmente para os

alunos, estimular a utilização de desenhos, esquemas, tabelas que possam auxiliar

a compreensão da problematização apresentada, dando-lhes tempo para pensar;

em seguida, reuni-los em duplas ou pequenos grupos para a troca de idéias. Na

seqüência, após passar nos grupos, fazendo perguntas pertinentes e orientadoras,

estimulando as diversas representações possíveis do enunciado, solicitar que um

aluno venha ao quadro de giz para mostrar como encaminhou a resolução do

problema. Em seguida convidar para vir ao quadro, os alunos que desenvolveram e

executaram planos de resolução diferentes do que foi apresentado.

Essa sequência de ações favorece, dentre outras coisas, a percepção de que

há mais de uma maneira de encaminhar um raciocínio e que onde há um maior

número de pessoas pensando, circula uma quantidade maior de conhecimentos.

Isso também estimula o aluno a embrenhar-se por sua própria conta, assumindo

riscos, na descoberta de novas estratégias.

23

Os problemas propostos deste caderno, embora planejados para tentar

minimizar fragilidades curriculares do 6º. Ano, supostamente identificadas a partir

dos dados fornecidos pela realização da OBMEP 2012, e para serem aplicados

segundo um cronograma específico, de acordo com as normas do Projeto de

Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE 2012, podem ser utilizados para a

introdução de conteúdos, para “sessões especiais de problemas”, ou outro objetivo a

que o professor, desse ou outro nível de aprendizagem, se proponha.

Esses problemas foram extraídos, adaptados ou inspirados em diversas

fontes que serão identificadas, e outros criados pela autora2 do trabalho ora

apresentado, a partir de uma prática docente em Matemática, no Ensino

Fundamental e Médio, que já completou 40 anos.

5 SUGESTÕES DE PROBLEMAS

Todos os problemas aqui apresentados buscam atingir objetivos

determinados, os quais serão explicitados junto com a resolução das atividades

propostas neste caderno pedagógico e, por vezes, comentários que forem julgados

oportunos.

A utilização, pela autora, deste material no 1º. Semestre de 2013, no Colégio

Visconde de Guarapuava, respeitando a normatização do PDE 2012, certamente,

trará novas contribuições que serão expressas em artigo científico a ser publicado

no Portal Diaadiaeducacao do Estado do Paraná.

Objetivando uma maior visibilidade das intenções subjacentes a esse

material, as situações-problemas sugeridas foram divididas em quatro seções:

Explorando o cubo, Equilíbrio x Igualdade, Frações e Problemas Processo ou

Heurísticos.

2 Elenir Terezinha Paluch Soares, Mestra e doutoranda em Educação pela Pontifícia Universidade Católica do

Paraná e Professora QPM de Matemática, da SEED; PR, com atuação no Ensino Fundamental e Médio do

Colégio Estadual Visconde de Guarapuava, em Guarapuava, PR.

24

5.1 Explorando o cubo Problema 1 Dado o desenho de uma das planificações possíveis do cubo, recorte-a, dobre-a e

decore todas as faces, de acordo com a sua criatividade; porém, não cole as abas,

para que você possa visualizar, sempre que quiser, um cubo em sua apresentação

tridimensional e planificado.

Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B., (2009, p. 120 - Orientações para o professor).

25

Problema 2

Observe a figura do cubo planificado e marque a alternativa errada.

a) As faces verde e preta são opostas.

b) As faces azul e vermelha são opostas.

c) As faces cinza e amarelo são opostas.

d) As faces vermelha e preta são opostas. Fonte: DANTE, L. R., (2004, p. 14).

Problema 3

Quais dessas figuras representam a planificação de um cubo (hexaedro)?

a) b) c) d) e) f) g)

Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.

Problema 4

Qual dos seis cubos corresponde à planificação dada?

a) a, b, c, d b) b, c, d, e c) c, d, e, f d) d, e, f, g e) b, d, f, g

Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B. (2009, p. 137 – Manual do professor).

26

Problema 5

Construí um cubo e decorei as suas faces com as seguintes figuras:

No primeiro e segundo lançamentos foi possível visualizar as seguintes imagens:

Vistas essas duas posições, marque qual é a decoração da face oposta à. face . a) b) c) d) e)


Problema 6

Considere o cubo abaixo e indique qual é a sua planificação.

e) As planificações apresentadas não correspondem a esse cubo.


27

Problema 7.

Qual dessas planificações não corresponde a um cubo?


Problema 8

Você está vendo a planificação de um cubo. Imagine-o tridimensionalmente

(montado) e escolha qual das quatro figuras pode corresponder a ele.

a) b) c) d)

Fonte: SOARES, E. T. P., 2012, a partir de BATLLORI, J., 2006, p. 23.

b) c)

d) e)

a)

28

Problema 9

Qual é o valor do quociente entre o número de quadradinhos que decoram todas as

faces do cubo abaixo e o número que representa a diferença entre o número de

arestas e o número de vértices desse cubo?

Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012. Problema 10

Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os

dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e

podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para

mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos

números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda?

A) 15 A)

a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20

a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20

Fonte: disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1- Acesso em 21 Set. 2012.

a) 8

b) 12

c) 16

d) 24

e) 48

29

5.2 Equilíbrio x Igualdade Problema 11

Considerando que a balança está equilibrada, e que todas as laranjas têm o mesmo

peso, quanto pesa meia dúzia dessas laranjas?


Problema 12

Dois garotos, um de 35 kg e outro de 39kg, equilibram 3 irmãos em uma gangorra.

Um dos irmãos pesa 30 kg e os outros dois são gêmeos idênticos, que têm pesos

iguais. Quanto pesa cada um dos gêmeos?

Fonte: ALEXANDER & WAGNER (Ilustr.). In: SOUZA, M. H. S. de; SPINELLI, W., (2002, p. 191).

Problema 13

Sabendo que cada manga da balança abaixo pesa 300g, calcule quantos gramas

pesa uma dessas laranjas.

Fonte: MATSUDA, N. (Ilustr.) In: BIANCHINI, E., (2008, p. 124).

a) 150g

b) 250g

c) 600g

d) 900g

e) 1200g

a) 250g b) 200g c) 300g d) 350g e) 150g

a) 16 kg

b) 18 kg

c) 20 kg

d) 22 kg

e) 24 kg

30

Problema 14

A balança da figura está equilibrada. Os dois cilindros têm a mesma massa, cada

cone tem massa de 75g e o cubo tem massa de 63g. Qual é a medida da massa de

cada cilindro?

Fonte: DANTE, L. R., 2004, p. 81.

Problema 15

De acordo com o que as balanças indicam, qual é o peso de uma destas pêras?


a) 100g b) 150g c) 200g d) 250g e) 300g

a) 162

b) 81

c) 138

d) 288

e) 12

31

Problema 16

Observe bem a figura seguinte e considere que as balanças estão equilibradas. A

partir desse reconhecimento e considerando que as frutas que aparecem nas

balanças têm o mesmo peso, podemos afirmar que uma maçã pesa quanto?


Problema 17

As balanças abaixo estão em equilíbrio. Nelas, caixas da mesma cor têm pesos

iguais. Qual é o peso da caixa azul?

Fonte: Machado, Gustavo/Beto (Ilustr.). In: RIBEIRO, J; SOARES, E., (2006, p. 173).

a) 270g

b) 170g

c) 70g

d) 240g

e) 120g

a) 250g

b) 2,5kg

c) 2500g

d) 3 kg

e) as opções b

e c estão

corretas.

32

Problema 18

Sabendo que todas as esferas têm a mesma massa, quanto pesa o cubo?

Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B., (2009, p. 127 - Orientações para o professor).

Problema 19

Considerando todas as balanças em equilíbrio, qual é o peso da interrogação no

prato da direita da terceira balança?

a) b) c)

d) e) Nenhuma resposta anterior está correta.


?

a)432g

b)72g

c) 472g

d) 18g

e) 108g

33

Problema 20

Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o

mesmo que 9 bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se

colocarmos 9 laranjas num prato da balança, quantos abacates teremos que

colocar no outro prato, para equilibrar a balança?

Fonte: < http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2005.pdf>. Acesso em: 19 Set. 2012.

5.3 Frações

Problema 21

Observe os três copos com capacidade de 250ml cada um, contendo quantidades

diferentes de café.

Qual é a alternativa que mais se aproxima dos números que expressam essas

porções de copo de café?

a) 4

3

7

5,

3

2e c)

6

3

5

2,

4

1e e)

2

1

3

2,

4

1e

b) 7

5

3

2,

4

1e d)

4

2

2

1,

3

1e

Fonte: SOARES, E. T. P., 2012.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

34

Problema 22

A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras

mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da

chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou

nesta viagem?

Fonte: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2005.pdf. Acesso em 19 Set. 2012.

Problema 23

Quem esteve em Portugal, certamente, percebeu que naquele país, diferentemente

do Brasil, é comum a utilização de frações para expressar a variável tempo. Certa

ocasião, necessitando utilizar um táxi para chegar a um determinado local e com

interesse em conhecer o tempo que levaria nesse deslocamento, busquei

informações com três taxistas, O primeiro afirmou que o tempo aproximado para

chegar ao tal local seria de “4

3 de hora”; o 2º. Taxista informou que gastaria “uma

hora menos 4

1”. O terceiro disse que levaríamos “

3

2 de hora” para realizar o

percurso.

Decidi analisar as três respostas antes de fazer a escolha. Desse modo, conto

com a sua ajuda para descobrir qual deles gastaria menos tampo para fazer o

percurso, e, também, qual o tempo previsto.

a) O terceiro, 30 minutos.

b) O segundo, 45 minutos.

c) O terceiro, 40 minutos.

d) O primeiro ou o 2º, pois ambos gastariam, igualmente, 45 minutos.

e) Nenhuma das respostas anteriores está correta. Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012

a) 10 b) 15 c) 18 d) 25 e) 30

35

Problema 24

Em uma prova de Matemática, dentre as questões propostas, estava esta:

Qual dos números abaixo representa a metade de 4

1? Você escaparia desta

armadilha? Então, marque a resposta certa.

a) 2

1 b)

8

2 c) 0,25 d) 0,125

e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.

Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.

Problema 25

Priscila conhece uma receita especial de vitamina que dá para 10 pessoas, sendo

um copo para cada. Quantos copos de água ela deve acrescentar para conseguir os

10 copos de vitamina, se a lista de ingredientes é a seguinte:

a) 3 b) 32

1 c) 4 d) 4

2

1 e) 5

Fonte: SOUZA E SPINELLI (2002, p.186).

???

36

Ilust

. Alc

y LI

NA

RE

S. I

n: D

AN

TE

, L.

R..

, 200

2

Problema 26

A professora de Matemática da Ana é muito divertida e gosta de propor charadas

envolvendo números. Certa vez, Ana lhe perguntou que nota tinha obtido numa

prova e a Professora respondeu que lhe daria algumas pistas, para que ela mesma

descobrisse o que desejava saber. As pistas foram as seguintes:

• A prova toda tinha 20 questões;

• cada questão valia 12

1 ;

• Você acertou apenas oito décimos das questões.

Qual foi a nota de Ana?

a) 16 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32


Problema 27

Ontem, eu e Flávio jogamos uma partida de xadrez que começou exatamente às

13h15min e durou 4

33 de hora. Qual foi o horário em que terminamos nosso jogo?

a) 16h40min

b) 16h50min

c) 15h45min

d) 16h45min

e) 17h


Problema 28

Entre quais números inteiros está a fração resultante da adição 5

4

10

7+ ?

0 1 2 3 4

___________________ _________ _________

a) Entre zero e 1 b) Entre 1 e 2 c) Entre 2 e 3 d) Entre 3 e 4

Fonte: SOARES, E.T.P., 2012.

37

Problema 29

Minha mãe prometeu dar-me uma mesada, contanto que eu reservasse 2

1 para

pagar a cantina da escola e 5

2 para ajudar a pagar a locadora de vídeo. Fiz o que

ela pediu e ainda me sobraram R$ 12,00. Você já descobriu qual é o valor da minha

Mesada?

a) R$60,00 b) R$ 80,00 c) R$ 100,00 d) R$ 120,00 e) R$ 150,00


Problema 30

Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga apenas

futebol, 300 praticam os dois esportes e 12

1 nenhum deles. Quantos alunos tem

essa escola?

Fonte da Ilustração: DANTE, 2004, p. 243 e 280.

a)1000 b) 900 c) 800 d) 700 e) nenhuma das respostas anteriores está correta.

Fonte (enunciado): Banco de questões da OBMEP 2008, p. 2.

38

5.4 Problemas-processo ou heurísticos

Problema 31

Os números abaixo seguem uma lógica. De acordo com ela, o número que

corresponde à interrogação na sequência abaixo é:

7 4 13 7 37 1 3 2? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

Fonte: ROSA NETO, E., (1987, p.175).

Problema 32

Ganhei um cofrinho com uma moeda. Meu pai prometeu que se eu fizesse minhas

obrigações caseiras, tal como arrumar minha cama, limpar meu tênis todo dia, não

deixar toalha molhada sobre a cama, guardar a louça do escorredor e depositar o

lixo na lixeira da rua, ele colocaria diariamente no meu cofrinho tantas moedas

daquele mesmo valor, quantas lá já estivessem. No décimo dia, cumprido o trato que

fizemos, o cofrinho estava cheio, não cabendo nem mais uma moeda. Fiquei muito

alegre, pois meu pai calculou que com um cofrinho cheio mais a metade do cofrinho

dessas moedas, haveria dinheiro suficiente para comprar aquele game que eu vinha

pedindo. Em quantos dias, nas mesmas condições anteriores, ou seja, eu colocando

uma moeda igual à primeira, e ele colocando, já no primeiro dia, a mesma

quantidade de moedas que nele já estavam, o novo cofrinho estará pela metade?


1 3 4

a) 19 b) 15 c) 9 d) 10 e) 11

39

Problema 33

Para emendar os cinco pedaços da corrente abaixo, o número mínimo de elos que

precisam ser abertos é:

a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) Nenhuma resposta anterior está correta.

Fonte: ROSA NETO, E., (1987, p. 171).

Problema 34

Você sabia que o Tangram é um antigo jogo chinês, conhecido por esse povo por

que “Tch’i Tch’iao pan”, que significa “As sete tábuas da argúcia (habilidade,

destreza)”? Esse jogo é utilizado a partir de certas regras. No entanto, o desafio que

estamos propondo tem uma única regra: descobrir todos os triângulos e todos os

trapézios que podem ser visualizados a partir de um olhar bastante atencioso sobre

ele. Qual é sua resposta? (O verdadeiro não é numerado)

Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012

a) 7 triângulos e 6 trapézios.

b) 6 triângulos e 7

trapézios. c) 7 triângulos e 5 Trapézios. d) 5 triângulos e 4

trapézios. e) nenhuma

resposta anterior está correta.

2 3

1

6

4

5

7

40

Ilust

. Alc

y LI

NA

RE

S. I

n: D

AN

TE

, L.

R..

, 200

2

Problema 35

Fonte: DANTE, L. R. 2004, p.

15

Problema 36

Numa estante existem 10 livros de cem folhas cada. Uma traça estraçalhou desse a

primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas folhas a

traça danificou?

a) 1000 folhas

b) 991 folhas

c) 901 folhas.

d) 802 folhas

e) Nenhuma resposta anterior está correta. Fonte: ROSA NETO, E. 1987, p. 178.

Problema 37

João, Pedro e Marcos eram três amigos muito solidários e resolveram repartir

igualmente as figurinhas que tinham. Em dado momento, ao mesmo tempo, João

deu 8 de suas figurinhas para Pedro, que deu 6 figurinhas para Marcos, e este deu 3

figurinhas para João, ficando todos com a mesma quantidade. Quantas figurinhas,

no mínimo, tinham os três juntos no primeiro instante,

antes da repartição?

a) 24 b) 27 c) 21 d) 17

e) Nenhuma resposta anterior está correta.

Ilust. Marcos Guilherme. In: GIOVANNI JR., CASTRUCCI, 2009, p.174.

Fonte: SOARES, E. T. P., 2012

Em qualquer dado, a soma dos pontos das faces

opostas é sempre igual a 7. Na figura ao lado a soma

dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Na

figura ao lado, a soma dos pontos das cinco faces

que estão encostadas nas três placas é igual a 20.

Quantos pontos marca a face de baixo, apoiada na

placa vermelha?

b) 6 c) 5 d) 3 e) 5

a) 1

41

Problema 38

Descubra a regra da seqüência abaixo e indique qual é o próximo número.

2 7 17 37 77 ?

a) 107 b) 127 c) 137 d) 157 e) e) nenhuma resposta anterior está correta.

Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012

Problema 39

Montei o maior quadrado possível com as peças abaixo. Uma delas teve que ser

descartada. Qual foi a peça que não utilizei?

a) b) c) d)

Fonte: SOARES, E. T. P., 201

Fonte: BONGIOVANNI, V.; VISSOTO, O. R.; LAUREANO, J. L. T., (1991, p.176). Ilustr.: Kanton e Milton Rodrigues Alves.

Problema 40

Um barqueiro deve transportar

um lobo, uma cabra e um saco

de repolhos através de um rio e

só pode transportar um deles,

além dele próprio. Como o

barqueiro deve proceder,

sabendo que o lobo não pode

ser deixado a sós com a cabra

e nem a cabra com o saco de

repolhos?

42

6 REOLUÇÃO E OBJETIVOS DOS PROBLEMAS

1) Resposta: Obtenção de um cubo, a partir do recorte e dobradura de planificação

dada, decorando as faces, sem, contudo colar as abas, permitindo a visualização

tridimensional e planificada.

Objetivo. Visualizar o cubo na sua forma tridimensional e planificada.

Resolução: O professor pode optar em fornecer o molde pronto de uma planificação

do cubo ou orientar a sua construção.

2) Resposta: letra “d”.

Objetivo: Familiarizar-se com planificações do cubo e identificar faces opostas.

Resolução: Utilizar o material construído no item 1 para reconhecer as faces

opostas de um cubo.

3) Resposta: letra “e”.

Objetivo: Identificar diferentes planificações de um cubo.

Resolução: Recomenda-se que o aluno desenhe as diversas planificações numa

malha quadriculada, recorte e tente montar o cubo, percebendo pela manipulação

qual das planificações correspondem ou não a ele.

4) Resposta: letra “f”.

Objetivo: Identificar a forma tridimensional de um cubo a partir da sua planificação.

Resolução: Recomenda-se que o aluno desenhe a planificação dada, faça a

coloração das faces conforme sugerido e monte o cubo para perceber qual a

representação tridimensional da planificação dada.

5) Resposta: letra “b”.

Objetivo: Identificar faces opostas em um cubo.

Resolução: Considerando que duas faces do cubo são opostas quando não têm

arestas e vértices comuns, e observando as faces visíveis a partir dos dois

lançamentos, a única face que não apresenta aresta nem vértice comuns (não faz

fronteira) com a face decorada com um é a face decorada com .

43

6) Resposta: letra “c”.

Objetivo: ampliar a percepção das posições que as faces opostas tomam na

planificação de um cubo.

Resolução: para obter a resposta à questão proposta, talvez seja necessário que o

aluno desenhe as planificações, recorte-as e teste a montagem do sólido que deseja

obter.


Objetivo: Identificar planificações que não correspondem a um cubo.

Resolução: Nesse problema, para obter a resposta, talvez seja necessário que o

aluno desenhe as planificações, recorte-as e teste a montagem do cubo, além de

estar alerta em relação à pergunta formulada, pois apenas um “não” entre as

palavras do texto é suficiente para alterar todo o contexto.

8) Resposta: letra “a”.

Objetivo: Familiarizar-se com a posição ocupada pelas faces opostas do cubo, tanto

em sua representação tridimensional como na planificada.

Resolução: Ao montar o cubo as faces sombreadas tomarão posições opostas.

Assim, a única imagem em que isso pode acontecer é a letra a, podendo imaginar-

se a outra face sombreada como a que está por baixo, pois nas outras opções as

faces sombreadas são vizinhas.

Aos poucos vai ficando claro, para o aluno, a distribuição das faces opostas na

planificação, tal como estão associadas pela mesma letra na figura abaixo:

.

1 2

3 1

2 3

9) Resposta: letra “d” .

Objetivo: Identificar os nomes dos elementos do cubo (face, aresta, vértice) e dos

resultados das operações divisão e subtração.

Resolução: Se cada face é composta de 16 quadradinhos, as seis faces conterão 6

x 16 = 96 quadradinhos.

44

A diferença entre o número de arestas (12) e o número de vértices (8) é 12 – 8 = 4.

O quociente entre 96 e 4 é 96: 4 = 24.

10) Resposta: letra “e” .

Objetivo: Analisar logicamente as possibilidades de rotação de um cubo.

Resolução: Os números 1 e 2 devem aparecer nos dois dados, para formar as

datas 11 e 22. Assim, o dado da direita obrigatoriamente, além do 3,5 e 6, deverá

ter, também, os números 1 e 2, restando apenas uma face desconhecida no dado da

direita.

No dado da esquerda, além do zero e 2, terá que ter o 1, restando 3 faces

desconhecidas.

Se colocarmos o 4 na face desconhecida do dado da direita, isso acarretaria ter que

colocar o 7 e o 8 no dado da esquerda, pois se necessita desses números e as seis

faces do dado da direita já estão definidas. No entanto, para escrever 07, 08 e 30, o

dado da esquerda vem para a direita e o da direita vai para a esquerda, para

obtermos o 7 e o 8 à direita e o 3 à esquerda. No entanto, ao fazer essa inversão,

faltará o zero à esquerda para escrever as datas 07 e 08. Logo, é necessário que o

zero, assim como o 1 e o 2, esteja nos dois dados. Dessa forma, tem-se que:

Dado da esquerda: 0, 2 (faces visíveis) e 1, 4,7 e 8 (faces ocultas).

Dado da direita: 3,5 e 6 (faces visíveis) e 0, 1 e 2 (faces ocultas).

Como está sendo solicitada a soma das faces ocultas do dado da esquerda,

deveremos adicionar 1+ 4 +7 + 8, que resulta 20 (resposta do problema).


Objetivo: Aplicar o princípio aditivo da igualdade para obter uma sentença

equivalente, mais simples.

Resolução: Retirando-se duas laranjas e 50g de cada prato da balança, pelo

princípio aditivo da igualdade, ela continuará equilibrada, obtendo-se o peso de uma

laranja.

150g

45

Meia dúzia dessas laranjas pesa 6 x 150g, que é igual a 900g.

SUGESTÂO: solicitar que o aluno registre os esboços de todas as pesagens

realizadas nos problemas de número11 até o de número 20, tal como está

exemplificado nas resoluções aqui sugeridas.


Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar o princípio aditivo da

igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.

Resolução: Adicionando-se os pesos dos dois garotos à esquerda na gangorra: 35

+ 39 = 74 kg. Se a gangorra está equilibrada, o seu lado direito deve conter o

mesmo peso, ou seja, os gêmeos e o irmão pesam juntos 74 kg.

13) Resposta: letra “a” .

Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar o princípio aditivo da

igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.

Resolução: Inicialmente, aplicando-se o princípio aditivo da igualdade, podem ser

retiradas 2 laranjas, uma manga e 200g de cada lado da balança, obtendo-se uma

igualdade mais simples, ou seja: 2 laranjas mais uma manga = 800g.

44 kg

74 kg

Multiplicando-se por 2

1 ou

dividindo por 2, os pesos dos dois lados da balança, obtém-se 22 kg. Logo, cada gêmeo pesa. 44: 2 = 22 kg.

800g

2 laranjas

+ 1 manga

46

Substituindo-se o peso da manga por 300g, obtém-se nova igualdade:

2 laranjas + 300g = 800g

Retirando-se 300g de ambos os pratos da balança, obtém-se que:

2 laranjas + 300g – 300g = 800g - 300g ou 2 laranjas = 500g

Aplicando-se o princípio multiplicativo da igualdade e calculando a metade do valor

de cada um dos membros da igualdade, temos que: uma laranja = 250g.

14) Resposta: letra “b” .

Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar os princípios aditivo e

multiplicativo da igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.

Resolução: Substituindo os pesos correspondentes aos cones e ao cubo, obtém-se

a seguinte igualdade:

Retirando-se 63g de ambos os pratos da balança, a mesma continua equilibrada

(Princípio aditivo da igualdade), obtém-se:

Multiplicando-se por 2

1 ou dividindo-se por 2, o peso que está em ambos os pratos

da balança (princípio multiplicativo da igualdade), obtém-se:

225 g 63g

162g

81g

47

Logo, a medida da massa de um cilindro é 81g.




Resolução: Substituindo-se na segunda balança o peso de uma pêra por uma

banana mais 100g, obtém-se: 2 bananas + 100g = 400g.

Retirando-se 100g dos dois pratos da balança, tem-se que: 2 bananas = 300g.

Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da igualdade, de

acordo com o princípio multiplicativo, obtém-se a igualdade: 1 banana = 150g.

Porém, a pergunta que se quer responder é quanto pesa 1 pêra.

Voltando à 1ª balança, sabe-se que 1 pêra pesa o mesmo que uma banana mais

100g.

Logo, se 1 banana pesa 150g, 1 pêra pesa 150g + 100g, ou seja, 1 pêra pesa 250g.

16) Resposta: letra “b” .



48

Resolução: Substituindo 1 mamão na 2ª balança pelo peso dele na 1ª, tem-se que:

Retirando-se 100g de ambos os pratos da balança, obtém-se que: 2 maçãs = 340g.

Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da igualdade, de

acordo com o princípio multiplicativo, tem-se que 1 maçã pesa 170g.

17) Resposta: letra “e” .


multiplicativo, para obter uma igualdade mais simples.

Resolução: Retirando-se 2 kg mais 500g de ambos os lados da 1ª balança, a

mesma continua em equilíbrio, obtendo-se a seguinte igualdade:

1 caixa vermelha pesa 1250g.

Considerando a 2ª balança tem-se que:

49

Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da

igualdade referente à 2ª balança, de acordo com o princípio multiplicativo, obtém-se

a igualdade: 2 caixas vermelhas pesam o mesmo que uma azul.

Ou, pela propriedade simétrica da igualdade: uma caixa azul = 2 caixas

vermelhas. Considerando que uma caixa vermelha pesa 1250g, duas caixas

vermelhas pesam 2500g ou 2 kg e 500g ou ainda 2,500kg. Logo 1 caixa azul pesa

2500g ou 2,5kg.


Objetivo: Aplicar os princípios aditivo e multiplicativo, bem como a substituição de

valores correspondentes para obter igualdades mais simples.

Resolução: Retirando-se uma esfera dos dois lados da balança, percebe-se que o

peso de 4 esferas equivale ao peso de 1 cubo.

A 2ª balança mostra que 1 cubo mais uma esfera pesa o mesmo que 540g.

Assim, substituindo o cubo da 2ª balança por 4 esferas, tem-se que:

50

Aplicando o princípio multiplicativo da igualdade, divide-se por 5 ou multiplica-

se por 1/5 os pesos de ambos os pratos, concluindo-se que:

uma esfera pesa 540: 5 que é igual a 108g.

Para obter o peso do cubo, volta-se à igualdade obtida inicialmente: 4 esferas

= 1 cubo. Assim, pela propriedade simétrica da igualdade, pode afirmar-se que 1

cubo pesa o mesmo que 4 esferas.

Logo 1 cubo = 4 x 108 e 1 cubo = 432 g.

19) Resposta: letra “a” .

Objetivo: Perceber relações de equivalência e aplicar os princípios aditivo e

multiplicativo das igualdades. Utilizar a substituição de valores conhecidos para

obter novas igualdades.

Resolução: A primeira balança informa que é igual a .

Substituindo, na 2ª. Balança, por obtém-se a seguinte

igualdade:

=

Dividindo-se ambos os membros da igualdade por dois, obtém-se:

=

Substituindo-se na 3ª. balança o por e por.

tem-se que: é igual a. .


Objetivo: Perceber relações de equivalência e aplicar os princípios aditivo e

multiplicativo das igualdades. Utilizar a substituição de valores conhecidos para

obter novas igualdades.

540g

51

Resolução: A 1ª. balança permite afirmar que 4 abacates pesam o mesmo que 9

bananas; a 2ª. balança permite afirmar que 3 bananas pesam o mesmo que duas

laranjas. Assim, se substituirmos as 9 bananas da primeira balança por 3 x 3

bananas ou por 3 x duas laranjas, obtém-se a seguinte igualdade:

4 abacates = 6 laranjas

Dividindo-se ambos os membros dessa igualdade por dois, obtém-se uma

nova igualdade: 2 abacates = 3 laranjas.

Se na 3ª. balança há 9 laranjas ou 3x 3 laranjas, então, 9 laranjas pesarão o

mesmo que 3 x 2 abacates. Ou seja: para equilibrar o peso das 9 laranjas, que estão

no prato da esquerda da 3ª. balança é necessário colocar no prato da direita, um

total de 6 abacates.

21)Resposta: letra “e”.

Objetivo: Comparar frações para ordená-las.

Resolução: Facilmente pode ser observado que o 3º copo está pela metade, isto é,

está com 2

1 de sua capacidade com café. Assim as únicas respostas viáveis são a

“c”, a “d”e a “e” (pois 4

2

6

3e valem o mesmo que

2

1). No entanto, na “c”, o 2º copo

está indicado por 5

2, que é menos que a metade, e visivelmente o copo tem mais

que a metade. Logo essa resposta não serve. Na “d”, o 2º copo está indicado como

2

1, o que inviabiliza essa resposta, pois se percebe claramente que o 2º copo tem

mais que a metade.

Assim, a alternativa que mais se aproxima dos números que expressam

essas porções de copo de café é a letra “e”.

SUGESTÃO: solicitar que o aluno CONSULTE O QUADRO DE EQUIVALÊNCIA

DAS FRAÇÕES da ilustração 4 desse caderno pedagógico e que ele construiu no

seu caderno, em todos os problemas que envolvam frações, para uma maior

familiarização com frações que são equivalentes.


52

Objetivo: Utilizar a equivalência de frações para simplificar a resolução de situações

problemas.

Resolução: Observando a figura, percebe-se que João gastou 4

2 do tanque de

combustível em sua viagem. Logo, para saber quantos litros ele gastou, basta

calcular 2

1 de 50, pois

4

2 é o mesmo que

2

1. Ou dividir 50 por 4 para achar

4

1e

multiplicar o resultado por 2 para determinar os 4

2. Logo, a resposta é 25 litros.

Esta situação-problema constitui uma ótima oportunidade para utilizar o quadro de

frações (Ilustração 4 desse caderno pedagógico).


Objetivo: Identificar frações equivalentes; estabelecer relações de ordem com

frações; obter o valor de uma fração quando é conhecido o inteiro (uma hora = 60

minutos).

Resolução: Ótima oportunidade para utilizar o quadro de frações (Ilustração 4 dessa

unidade didática), que permite visualizar que 4

3 de um todo é o mesmo que esse

todo menos 4

1 e, ainda, que

3

2 é menor que

4

3. Logo, foi o terceiro taxista quem

prometeu fazer o percurso em menos tempo, ou seja, 3

2 de hora.

Calcular 3

2 de hora é o mesmo que calcular essa fração de um total de 60

minutos. Através do quadro da ilustração 4 é possível perceber que para achar essa

fração de um todo, o todo deve ser dividido em 3 partes iguais, ou seja, 60 dividido

por 3, que é igual a 20 minutos, e que correspondente a 3

1 de 60. Como o que se

procura saber é o valor de duas dessas partes, basta multiplicar os 20 minutos por 2

para obter as duas partes (3

2), o que corresponde a 40 minutos.

24)Resposta: letra “d”.

53

Objetivo: Operar com frações; representar um mesmo número racional na forma

fracionária e na forma decimal.

Resolução: A metade de 4

1 é facilmente identificada na Ilustração 4 dessa unidade

didática, onde o aluno pode visualizar que a metade de .8

1

4

1é É uma ótima

oportunidade para o professor explicar divisão de frações e, ainda, lembrar seus

alunos que muitas frações podem ser escritas na forma decimal, bastando para isso

dividir o numerador pelo denominador. Oportunidade especial, também, para alertar

sobre “armadilhas” das provas de múltipla escolha, que às vezes apresentam a

resposta utilizando uma notação diferente daquela em que os dados são

apresentados na situação problema, confundindo o aluno no momento de marcar a

resposta, mesmo tendo resolvido corretamente a questão.


Objetivo: Operar com números mistos, ou seja, compostos de uma parte inteira e

outra fracionária em situação problema do contexto cotidiano.

Resolução: Uma forma simples de resolver tal situação pode ser: adicionar

inicialmente as quantidades inteiras e depois as frações, conforme descrição a

seguir, sendo que os cálculos fracionários podem ser visualizados no quadro da

ilustração 4 deste caderno pedagógico.

14

4= inteiro

2

1 + 1

4

1 + 2

4

3 + 2

2

1 = 5 +

2

1 +

4

1 +

4

3 +

2

1 e 5 + 1 + 1 = 7 copos

1 inteiro

Logo, para obter os 10 copos de suco é necessário completar com 3 copos de

água.


Objetivo: Obter o valor de uma fração, quando se o conhece o inteiro.

54

Resolução: Se uma questão vale 12

1pontos (que pode ser representado pela fração

2

3 ou pelo decimal 1,5.), 20 questões valem 20 vezes um ponto e meio. Logo o valor

da prova é 20 x 2

3 ou 20 x 1,5 = 30 pontos.

Para obter 10

8 ou 0,8 do total 30, o aluno pode orientar-se pelo quadro da

Ilustração 4, e calcular mentalmente; ou, multiplicar um desses valores por 30,

obtendo 24, o que constitui uma boa oportunidade para esclarecer qualquer dúvida

sobre multiplicação de números racionais. Assim, conforme os cálculos, a nota de

Ana foi 24.


Objetivo: Calcular o valor de uma fração quando se conhece o inteiro.

Resolução: Para calcular 4

3 de hora, basta calcular

4

3 de 60 minutos. Dividindo 60

por 4, obtém-se o valor de 4

1 de hora, que corresponde a 15 minutos. Como o

desejado é 4

3 de hora, multiplica-se 15 por 3, que resulta 45 minutos.

Logo, se o jogo começou às 13h15minutos e durou 3h45minutos, o seu término foi

às 17 horas, ou seja, 13h15min + 3h45min, que é igual a 17 h.

28)Resposta: letra “b”.

Objetivo: Adicionar frações e localizar uma fração entre dois números inteiros.

Resolução: Adicionar 5

4

10

7com é o mesmo que adicionar

10

8

10

7com , pois

10

8 é

equivalente a 5

4 e pode facilmente ser adicionado a

10

7, resultando

10

15.

Para localizar 10

15 entre dois números inteiros basta calcular quantos inteiros esse

número racional contém. Como 10

10 corresponde a 1 inteiro e os

15

5 que sobram não

55

chega a um inteiro, conclui-se que 10

15 é maior que 1 inteiro, mas, menor que 2

inteiros. Logo, esse número racional está entre 1 inteiro e dois inteiros.

0 1 2 3

___________________ _________ _____

10

15


Objetivo: Adicionar frações e obter o valor do inteiro quando é conhecida uma de

suas partes.

Resolução: Adicionando 5

2

2

1com obter-se-á o valor que será pago na cantina e na

locadora. Como resolver 5

2

2

1+ ?

Como essas frações são pedaços de tamanhos diferentes, para adicioná-las

é necessário substituí-las por frações equivalentes, mas com o mesmo denominador

(pedaços de mesmo tamanho). Para tanto, pode ser consultado o quadro da

ilustração 4 desse caderno pedagógico, onde é possível observar que 2

1 é o mesmo

que 10

5 e

5

2 é o mesmo que

10

4. Logo

5

2

2

1+ =

10

5 +

10

4 , que resulta

10

9 .

Considerando que 10

9 da mesada foram reservados para pagar a cantina e a

locadora, e que a mesada toda corresponde a 10

10, o

10

1 que está sobrando

corresponde aos R$ 12,00. Se a mesada toda corresponde a 10

10, para conhecê-la

basta multiplicar 10 vezes R$ 12,00 que resulta R$ 120,00.

Uma outra forma de obter as frações equivalentes a 5

2

2

1e , com menor

denominador possível, é calcular o menor múltiplo comum dos denominadores, ou

seja, o M.M. C de 2 e 5, que é 10. Buscam-se então as frações com denominador 10

que correspondam a 5

2

2

1e , para então adicioná-las.

56


Objetivo: Adicionar frações e obter o valor do inteiro quando é conhecida uma de

suas partes.

Resolução: Adicionando 12

1

3

1

4

1comcom , obtém-se o número de alunos que jogam

somente uma das modalidades e nenhuma delas, e, que adicionados com os 300

alunos que jogam tanto vôlei como futebol, resulta o total de alunos da escola.

Lembrando que 12

1

3

1

4

1++ é o mesmo que

12

4

12

3+ (frações equivalentes a

3

1

4

1e ) +

12

1 e que resulta

12

8, ou, escrito de forma simplificada,

3

2.

Considerando que o total dos alunos da escola seja 3

3, e retirando dele os

3

2

calculados, sobra 3

1 que corresponde a 300 alunos (os que jogam as duas

modalidades). Se 3

1 dos alunos da escola corresponde a 300, os

3

3 que representa

a escola toda é 3 x 300, que é igual a 900 alunos.


Objetivo: Utilizar o raciocínio lógico e pequenos cálculos.

Resolução: A relação existente é: subtrair os dois números de cima e o resultado

dividir pelo inferior, obtendo-se o número de dentro do triângulo. Assim, o número

que está faltando é 9, pois 37 – 1= 36, que dividido por 9 resulta o 4. Logo, a

resposta correta é a letra “e”.


Objetivo: Identificar as informações relevantes no enunciado de uma situação

problema e estabelecer estratégias de resolução.

Resolução: Se no décimo dia o cofrinho está totalmente cheio é porque no dia

anterior (no 9º dia) o pai colocou tantas moedas quantas lá já estavam. Isto é, já

tinha metade do cofrinho e o pai colocou quantidade igual, o que deixou o cofrinho

cheio. Assim, a metade do 2º cofrinho será alcançada em 9 dias.

57

33)Resposta: letra “d”

Objetivo: Fazer uso do raciocínio lógico.

Resolução: Abrir os 3 elos do 1º pedaço e cada elo aberto engancha dois dos

quatro pedaços.


Objetivo: Desafiar a atenção do aluno quanto à identificação de triângulos e

trapézios, mesclados em um quadro contendo outras figuras geométricas planas.

Resolução: Triângulos visualizados: (1), (2), (3), (4), (5), (1 e 5 juntos) e (2, 3, 4, 6 e

7 juntos). Total de triângulos: 7.

Trapézios visualizados: (2, 4, 6, e 7 juntos), (2,4 e 6 juntos); (4,6 e 7 juntos), (2 e 6

juntos), (4 e 6 juntos) e (4 e 7 juntos). Total de trapézios: 6.

Logo a resposta correta é 7 triângulos e 6 trapézios.


Objetivo: Visualizar mentalmente faces não visíveis de um cubo, identificando as

opostas.

Resolução: No dado superior, a face não visível e que está encostada na placa

marrom é oposta à face . Como a soma dos pontos de faces opostas é

7, essa face não visível tem 5 pontos.

Nestas condições, a face não visível encostada na placa verde é oposta à

face que tem 6 pontos. Logo, essa face tem 1 ponto.

No dado que está inferior ao considerado inicialmente, a face encostada na

placa marrom é oposta a que tem 4 pontos. Assim, ela terá 3 pontos. A face desse

dado encostada na placa verde é oposta à face de 2 pontos e, portanto terá 5

pontos. Finalmente, a face inferior desse dado que está encostada na placa

vermelha poderá ter 1 ponto ou 6 pontos.

Como a soma das cinco faces encostadas nas três placas é 20, conclui-se

que basta adicionar as 4 faces não visíveis já identificadas e calcular quanto falta

para completar os 20 pontos.

As faces do dado superior encostadas nas pacas marrom e verde são,

respectivamente, 5 e 1 pontos, e, as faces do dado de baixo encostadas nas placas

marrom e verde são, respectivamente: 3 e 5 pontos. Adicionando 5 + 1+ 3 + 5 = 14.

58

Se o total das 5 faces encostadas nas 3 placas totaliza 20 pontos, significa

que a face apoiada na placa vermelha tem 20 – 14 = 6 pontos.

36) Resposta: letra “d“.

Objetivo: Estabelecer como estratégia lógica para solucionar uma situação

problema que envolve várias igualdades, uma sequência de substituições até obter a

igualdade desejada.

Resolução: Perfurou todas as folhas dos oito livros do meio, mais a 1ª folha do 1º

livro e a última folha do último livro. Logo danificou 802 páginas.

Ao olhar na estante, percebemos que a 1ª folha do 1º livro e a última folha do

último livro fazem fronteiras com os 8 livros do meio e, portanto as 99 últimas

páginas do primeiro livro e as 99 primeiras folhas do último livro foram preservadas.

37)Resposta: letra “a”.

Objetivo: Estabelecer estratégia lógica para solucionar uma situação problema e

verificar a necessidade de atender todos os condicionantes do enunciado.

Resolução: Para que João, Pedro e Marcos pudessem repassar, respectivamente,

8, 6 e 3 figurinhas é porque teriam pelo menos essas, inicialmente. Assim, o quadro

inicial poderia ser:

João Pedro Marcos

8 6 3

Após o repasse,o quadro ficou assim:

João Pedro Marcos

3 8 6

Porém, isso não satisfaz o enunciado quando diz que ao final todos os três

ficaram com a mesma quantia.

Para que as quantidades sejam minimamente iguais, sem deixar nenhuma figurinha

de fora, João teria que ter 5 a mais do que a quantidade que deu, ou seja, teria que

ter pelo menos 13, das quais deu 8 para Pedro, ficando com 5, que adicionadas com

as 3 que ganhou de Marcos, ficaria também com 8. Pedro tinha 6, recebeu 8 de

João, ficando com 14, das quais repassou 6 para Marcos, ficando com 8. Marcos

teria que ter pelo menos duas a mais do que se supunha inicialmente, ou seja, 2 + 3

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= 5, que adicionadas com as 6 que recebeu de Pedro, totalizaria 11; e tirando as 3

que deu para João, ficaria, também, com 8.

Nessas condições, adicionando as 13 (João inicialmente) + 6 (Pedro

inicialmente) + 5 (Marcos inicialmente), obtêm-se 24 figurinhas (total inicial, o que

garante 8 para cada um depois da repartição, pois 8 x 3 = 24).


Objetivo: Levantar hipóteses de regras que determinam uma sequência numérica e

testá-las.

Resolução: Há pelo menos duas regras para obter a sequência 2, 7, 17, 37, 77.

Uma delas é: a partir do 2º número, cada número é “o dobro do anterior aumentado

de 3”. Assim, o 7 é resultado do dobro de 2 aumentado de 3 unidades; o 17 é o

resultado do dobro de 7 aumentado de 3 unidades, e assim sucessivamente. Logo o

próximo número da sequência é o dobro de 77 aumentado de 3, ou seja, 2 x 77, que

é = a 154 + 3 = 157.

Outra regra para obter essa sequência é: a partir do 2º número, cada número

é o anterior aumentado do número cinco multiplicado pelas potência de 2, ou seja,

por 20 que é igual a 1, por 21 que é 2, por 22 que é 4, por 23 que é 8, por 24 que é 16,

e assim por diante. Assim: 7 = 2 + 5 x 1 ; 17 = 7 + 5 x 2 ; 37 = 17 + 5 x 4 e

77 = 37 + 5 x 8. Logo, o próximo número da seqüência é: 77 + 5 x 16 = 157..


Objetivo: Organizar estratégias lógicas para solucionar problemas.

Resolução: Com 20 quadradinhos (o total de quadradinhos disponíveis) não é

possível montar um quadrado. O maior quadrado possível, utilizando o quadradinho

como unidade é um quadrado de 4 unidades de lado, formado, ao todo, por 16

quadradinhos. Logo, a peça descartada é a “b”.

40) Resposta: Na 1ª viagem o barqueiro leva a cabra e volta sozinho. Na 2ª viagem,

leva o repolho e volta com a cabra. Na 3ª viagem, leva o lobo e volta sozinho. Na 4ª

viagem, leva a cabra.

Objetivo: Estabelecer estratégia a partir da lógica, para atender os condicionantes

de uma situação-problema.

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REFERÊNCIAS

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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO Elenir Terezinha Paluch Soares · atividades pedagógicas para o 6º Ano do Ensino Fundamental que podem ser desenvolvidas pelos professores dessa disciplina,