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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TURMA – PDE/2012

Título: ENSINO E APRENDIZAGEM DE POLÍGONOS REGULARES UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA

Autor (a) Josiana Maria Franco Caprera Disciplina/Área Matemática Escola de Implementação do Projeto e Localização

Colégio Estadual Basílio de Lucca – Ensino Fundamental e Médio. Rua Souza Naves,1545. Ibiporã (PR)

Município da Escola

Ibiporã (PR)

Núcleo Regional de Educação

Londrina (PR)

Professor (a) Orientador (a)

Profa. Dra. Sandra Malta Barbosa

Instituto de Ensino Superior

Universidade Estadual de Londrina (UEL)

Relação Interdisciplinar

Não há interdisciplinaridade

Resumo Nesta Unidade Didática pretende-se desenvolver novas práticas pedagógicas e analisar a contribuição de um software livre de geometria dinâmica Geogebra, que poderá permitir ao aluno a compreensão de conceitos e propriedades matemáticas relacionadas ao estudo de polígonos, através da resolução de situações problemas. Com este software os alunos poderão construir figuras geométricas sugeridas dentro das situações problemas contidas nesta unidade didática, e poderá levá-los a aprender vários conceitos relacionados à geometria.

Palavras-chave Resolução de problemas; geometria plana, TIC. Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo 8º Ano do Ensino Fundamental

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

1) INTRODUÇÃO

As mudanças que têm ocorrido no ensino de matemática exigem do professor

uma adaptação, quer aos novos conteúdos quer às novas metodologias. Com a

implantação dos computadores nas escolas, surge a necessidade do professor ir à

busca de alguns meios para tentar trazer uma forma de prender a atenção e o

interesse do aluno pelo processo de ensino-aprendizagem.

Com esse software os alunos poderão analisar as situações-problemas

propostas permitindo a construção de polígonos de acordo com essas situações;

poderão exercitar a capacidade de procurar e selecionar informações, tentando

encontrar alternativas às construções já realizadas; poderão construir as figuras

geométricas envolvendo polígonos sugeridos dentro da unidade didática. Nas

situações propostas, os alunos do 8º ano do Ensino Fundamental poderão fazer

construção no softwareGeogebra, compreender e aprender vários outros conceitos

relacionados à geometria, oportunizando as primeiras explorações no software

Geogebra.

Nesta unidade didática, pretende-se desenvolver novas práticas pedagógicas

que permitem aos alunos estudar matemática e resolver problemas, e será

apresentado o softwareGeogebra, que reúne vários recursos, principalmente, de

Geogebra dinâmica.As atividades que serão apresentadas nesta unidade didática

têm como objetivo desenvolver uma metodologia diferenciada, partindo do

pressuposto de que as mídias tecnológicas, mais especificamente o

softwareGeogebra, poderão contribuir na aprendizagem de Polígonos Regulares.

2) GEOMETRIA

O Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná (1990) traz uma

definição do que seja aprender Matemática

Aprender matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66).

Uma das razões da importância da geometria é a sua presença constante em

nosso dia a dia, no entanto este ensino tem sido o menos explorado nas aulas de

matemática se comparado com o ensino de outras áreas da Matemática, mesmo

desempenhando um papel fundamental no currículo. Desde seus primórdios, o

conteúdo envolveu o que hoje podemos chamar de grandezas geométricas:

comprimento, área, volume e abertura de ângulos.

Usiskin(1995)alerta que “o currículo de matemática nas nossas escolas

enfrenta um sério dilema no que se refere à geometria. É fácil encontrar falhas no

curso tradicional de geometria, mas é muito difícil encontrar um caminho correto

para superar essas falhas” (USISKIN, p.21).

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná –

Matemática (2008), a Educação Matemática valoriza os conhecimentos geométricos,

que não devem ser rigidamente separados da aritmética e da álgebra. Interliga-se

com a aritmética e com a álgebra “porque os objetos e relações dela correspondem

aos das outras; assim sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas ou

algébricas podem ser clarificadas pela geometria, que realiza a tradução para o

aprendiz” (LORENZATO, 1995, p.7).

Cada vez mais esse ensino vem exigindo do professor uma adaptação a novos

conteúdos, metodologias e materiais didáticos. Aprender a usar uma nova

ferramenta pode propiciar inovações e mudanças no contexto de ensino e

aprendizagem. Uma dessas inovações é a resolução de situações-problemas.

Os problemas têm ocupado um lugar central no currículo da Matemática

escolar desde a Antiguidade. Registros de Problemas Matemáticos são encontrados

na história antiga egípcia.Explorar um problema significa procurar alternativas, além

da natural e analisá-losob diferentes pontos de vista matemáticos. Assim, um

mesmo problema pode ter uma resolução aritmética e outra algébrica ou geométrica.

O ensino através da resolução de problema ajuda a melhorar o processo de

ensino e aprendizagem e promove o aprimoramento das práticas elaboradas pelo

professor.O aluno poderá desenvolver habilidades durante a resolução de

problemas, construindo seu próprio conhecimento, integrando novas informações,

criando e buscando novos conhecimentos.

A Resolução de Problemas pode possibilitar o desenvolvimento do trabalho

com o softwareGeogebra.

3) MÍDIAS TECNOLÓGICAS

Com o surgimento de novas tecnologias da informação e da comunicação

(TIC), no final do século XXe, consequentemente, com o avanço da Internet, abrem-

se oportunidades que potencializam situações nos quais professorese alunos

passam a discutir e construir, individual e coletivamente seus conhecimentos, em

qualquer área do conhecimento.São diversas as metodologias a serem utilizadas no

processo ensino-aprendizageme que podem envolver tecnologia diferenciada.

Dentre essas se destacam os softwares educativos.

O software educativo Geogebra é um programa livre, de geometria dinâmica e

disponível na plataforma Linux. Software educacional é todo aquele programa que

possa ser usado com alunos para algum objetivo educacional, pedagogicamente

defensável, por professores, qualquer que seja a natureza ou finalidade para o qual

tenha sido criado.Esse software foi desenvolvido por MarkusHohenwarter, da Flórida

Atlântica University, em 2001.O Geogebra é um software matemático que reúne

Geometria, Álgebrae Cálculo e pode ser utilizado em qualquer nível de ensino de

Matemática. Há duas janelas de visualização: algébrica e geométrica. Cada objeto

visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica simultaneamente

mostrada na janela algébrica.Com esse software, os alunos poderão aprender as

construções geométricas relacionadas com polígonos especificamente regulares.

4) POLÍGONOS

A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer poly (muitos)egon (ângulos).

Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha fechada e

simples. Alguns exemplos podem ser observados na Figura 1, a seguir.

Figura 1 – Exemplos de polígonos

Um polígono possui os elementos que podem ser visualizados na figura 2, a

seguir.

Figura 2 – Polígono com os elementos.

Lados:

Cada um dos segmentos de reta que une os vértices consecutivos. Os lados, nesse

polígono, são os segmentos: AB, BC, CD, DE e EA.

Vértices:

São pontos de encontros dos segmentos. Nomeamos os polígonos por meio de seus

vértices: A, B, C, D e E.

Diagonais:

São segmentos que unem dois vértices não consecutivos a ele: AC, AD, BE, BD e

CE.

Ângulos internos:

São os ângulos formados por dois lados consecutivos. No caso, ABC, BCD, CDE,

DEA e EAB. Também podemos representar os ângulos internos utilizando as letras

que indicam os vértices, respectivamente, B, C, D, E e A.

Ângulos externos:

São ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo.

Nomenclatura

Apesar de a palavra polígono dar ideia de vários ângulos, geralmente os

polígonos são nomeados com base no número de lados. Alguns polígonos, por sua

utilização mais frequente, têm nomes especiais.

A tabela, a seguir, apresenta a nomenclatura de alguns polígonos.

Número de lados Nome do polígono

3 triângulo ou trilátero

4 quadrângulo ou quadrilátero

5 pentágono

6 hexágono

7 heptágono

8 octógono

9 eneágono

10 decágono

11 undecágono

12 dodecágono

15 pentadecágono

20 icoságono

n polígono de n lados

Perímetro de um Polígono

Indica a medida do seu contorno, ou seja, a soma das medidas de seus lados.

A Figura 3, a seguir, apresenta uma configuração para as medidas dos lados e

o consequente perímetro.

Figura 3 – Medida de lados de um perímetro.

Área de um Polígono

A superfície de polígono é a reunião do polígono com o seu interior.Área de um

polígono é a medida de superfície desse polígono.

As formas poligonais podem ser encontradas e observadas em vários lugares

conforme mostra as figuras, a seguir.

Na natureza

Na parede de papel

No mosaico

Figura 4 – Formas poligonais.

5) ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

As atividades serão desenvolvidas com alunos da 8º ano do Ensino

Fundamental, no laboratório de informática na plataforma Linux da Paraná Digital.

Serão usados osoftware de geometria dinâmica Geogebra e um projetor multimídia,

para dar uma rápida explicação sobre a barra de ferramenta.

Os alunos farão o acompanhamento emuma apostila que terá a explicação

sobrea barra de ferramentas e auxiliará os que não tiverem nenhuma familiaridade

com o seu manuseio.

O professor mostrará algumas funções, a qual o aluno acompanhará pelo slide

e pela apostila. Nessa apostila terá uma breve apresentação histórica sobre

polígonos.As atividades serão realizadas em duplas e com o auxílio da professora,

que será a mediadora no processo ensino-aprendizagem.

Para o desenvolvimento dessa Unidade Didática, estão previstas mais ou

menos 20 horas/aula de trabalho com os alunos.

Em seguida,serão propostas algumas atividades de familiarização

econstruções livres e de situações-problemas adaptadas do Banco de Questões da

OBMEP 2011 e 2012.

6) PROPOSTAS DE ATIVIDADES

6.1) Atividades de familiarização

1) Criando Ponto e Reta

Crie alguns pontos na janela de Visualização de duas formas diferentes:

usando a ferramenta novo ponto e no campo de entrada, usando coordenadas.

2) Criando retas de duas maneiras

Aproveitando os pontos criados na sessão anterior, crie uma reta definida por

dois pontos e no campo de entrada, usando o comando Reta [<ponto>, <ponto>].

Observe que todo objeto criado é automaticamente nomeado (rotulado).

3) Alterando a posição dos objetos de duas maneiras

Ative a ferramenta mover e arraste os pontos criados. Observe na janela de

Álgebra as coordenadas dos pontos e equações das retas.

Na janela de Álgebra, dê um duplo clique em uma dessas coordenadas e

altere-as e observe sua nova posição na janela Gráfica.

4) Segmentos e Círculos

a) Crie um segmento a partir de um seletor com intervalo de 0 a 8.

Movimente o seletor. Clique sobre o segmento com o botão direito do

mouse, a seguir clique em Propriedades para mudar sua cor e sua

“espessura”. Você pode fazer o mesmo com os pontos extremos.

b) Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre a extremidade do

segmento com o botão direito do mouse, no menu que abrirá clique em

Renomear, digite na janela que aparecerá o novo nome do ponto e clique

em Aplicar).

c) Faça um círculo com centro em uma das extremidades do segmento,

passando por um ponto qualquer. Faça outro círculo de raio 3 e centro na

outra extremidade do segmento. Clique com o botão direito do mouse

sobre este círculo e entre em propriedades, modifique a cor, a espessura

da linha e preencha o desenho.

d) Faça um ponto sobre cada um dos círculos e uma reta passando por

esses pontos. Movimente o seletor e verifique o que acontece com o

segmento e os círculos.

e) Verifique as posições relativas entre os círculos.

f) Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto B e coloque para

animar e observe a janela de álgebra.

5) Ângulos e bissetrizes

a) Construa duas retas paralelas entre si. Construa uma concorrente a essas

duas. Meça os ângulos formados na interseção delas. Movimente os pontos. O

que você pode observar?

b) Construa um ângulo de 60°. Determine sua bissetriz. Movimente os

pontos. O que você pode observar?

c) Construa um ângulo qualquer. Determine sua medida e bissetriz.

Movimente os pontos e observe o que acontece.

Construções de alguns Polígonos Regulares

6) Construa alguns polígonos, usando a ferramenta polígono

Construção de um triângulo

7) Construa um triângulo cujas medidas dos lados sejam: 4 cm, 6cm e 9cm

Aproveitando o que você fez nessa construção, veja se é possível construir um

triângulo cujas medidas são: 9 cm, 4cm e 3cm.

Responda:

Um triângulo com essas medidas existe?

Quais devem ser as medidas dos lados de um triângulo para que ele exista?

8) Construção de um trapézio

Um trapézio é um quadrilátero que possui um parde lados paralelos. Os lados

paralelos do trapézio são chamados de

bases e estas recebem, em geral, os

nomes de base maior e base menor, para

aquelas que possuem maior e menor

medida, respectivamente. Construa um

trapézio, conforme figura ao lado.

Responda

a) Qual é a altura deste trapézio?

b) Qual é o perímetro deste trapézio?

c) Qual é a área deste trapézio?

d) Qual é a medida de cada ângulo?

e) Se você mover à vontade qualquer um dos pontos (A, B, C, D, e E), o que

você vê é sempre um trapézio. Por quê?

6.2) Atividades de situações-problemas

1) Plantando Jasmim

O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um

canteiro retangular com 10m² de área. Dividiu o

canteiro traçando uma diagonal e unindo cada

um dos pontos médios dos lados maiores com

um vértice do lado oposto, como indicado na

figura ao lado.Na região sombreada plantou

jasmim.

Qual é a área dessa região?Qual é o perímetro deste retângulo? Quais são as

medidasdos ângulos da parte sombreada?

2) Triângulo isósceles

Seja ABC um triângulo com BÂC=30° e ABC=50°. A reta l corta os lados AB,

BC e o prolongamento de AC em D, Ee F, respectivamente. Se o triângulo BDE é

isósceles, quais são as três possíveis medidas para o ângulo CFE?

3) Bandeira do Tio Mané

O Tio Mané é torcedor do Coco da Selva

Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para

apoiar seu time no jogo contra o Desportivo

Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco

retangular com 100 cm de largura e 60 cm de altura.

Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os

outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da

forma indicada na figura.Qual é a área do tecido que Tio Mané?Qual é o perímetro

da bandeira do Tio Mané?

4) Figura envolvendo octógono

Na figura, os cinco quadrados são iguais e os

vértices do polígono sombreado são pontos médios

dos lados dos quadrados. Se a área de cada quadrado

é 1 cm², qual a área do polígono sombreado?

(a) 2 cm² (b) 2,5 cm² (c) 3cm² (d)3,5 cm² (e) 4cm² 5) Construindo uma Pipa

Para construir a pipa de papel

representada na figura ao lado, Eduardo

começou por pintar um retângulo ABCD

numa folha de papel. Em seguida, prolongou

cada um dos lados do retângulo triplicando o

seu comprimento e obteve o quadrilátero A’

B’ C’ D’.Sabendo que a área do retângulo ABCD é 200 cm², qual é a área da pipa

construída por Eduardo?

6) O problema do tesouro dos Piratas

Uma história conta que, há muitos anos, o pirata Barba-Ruiva resolveu enterrar

seu tesouro. Escolheu uma ilha onde a única praia tinha duas grandes rochas junto

á água, e uma enorme palmeira mais distante da praia. Mandou dois dos piratas de

seu bando para a palmeira e deu-lhes a seguinte ordem: cada um deveria andar até

uma rocha contando os passos. Chegando à rocha, eles deveriam girar 90°, um no

sentido horário e outro no sentido anti-horário e andar uma distância igual à que a

respectiva rocha estava da palmeira. Nenhum dos piratas se molhou. Os dois piratas

ficaram parados e Barba-Ruiva enterrou o tesouro exatamente a meio caminho entre

eles.

Por acaso encontramos o documento onde isto estava descrito e resolvemos ir

até a ilha à procura do tesouro. Lá encontramos as rochas junto à água, mas,

infelizmente, a palmeira havia desaparecido provavelmente derrubada por um

furacão. Como a praia agora é um destino turístico conhecido, não pode andar e

escavar por todo o lado sem levantar suspeita. A única hipótese é aproveitar uma

noite, antes de amanhecer, e fazer um buraco. Onde devemos escavar para

descobrir o tesouro?

Momento de reflexão:

a) Aperte a tecla ESC e modifique a palmeira de lugar. O que acontece com

a posição que o tesouro foi enterrado?

b) Mas o que é isso? Mágica? Faça mais um pouco de movimento. Veja se a

posição em que o tesouro foi enterrado muda. A que conclusão se pode

chegar?

Para encontrar o tesouro a palmeira será necessária? Por quê?

c) De posse dessa informação, que instrução você poderia dar para ajudar a

encontrar onde o tesouro estava enterrado?

d) Determine o perímetro do caminho percorrido pelos piratas para encontrar

o tesouro.

e) Qual é a medida do ângulo das suas rochas e dá palmeira?

7) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

LORENZATO. S. Por que não ensinar geometria? Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, n.4, p.3-12, jan./jun. 1995.

OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Banco de Questões 2006. 2011. 2012.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 1990.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

USISKIN, Z. Resolvendo os dilemas permanentes da geometria escolar. In: LINDQUIST M. M.; SHULTE, A. P. (orgs.). Tradução de Hygino Domingues Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1995, p.21-39.