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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: OS JOGOS LOTÉRICOS COMO MEIO DE ENSINAR PROBABILIDADE

Autor Gilmar Krauczuk

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Barão de Capanema – Ensino Fundamental, Médio e Profissional

Rua Afonso Ditzel, 870

Município da escola Prudentópolis

Núcleo Regional de Educação

Irati

Professor Orientador Sebastião Romero Franco

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual do Centro – Oeste (UNICENTRO)

Relação Interdisciplinar

Resumo

Esta Unidade Didática tem por finalidade apresentar alternativas que tornem o processo de ensino-aprendizagem mais significativo para os alunos da 2ª Série do Ensino Médio. Espera-se que os alunos consigam transferir estes conhecimentos cujo tema será o estudo das probabilidades, para outras áreas como Biologia, Estatística, Engenharias entre outras, e também para situações do cotidiano que exigem o conhecimento em probabilidades. Para tanto serão utilizados os jogos lotéricos (Loto-Fácil, Mega-Sena e Quina) como meio de efetivação do processo ensino e aprendizagem.

Palavras-chave Combinatória, Probabilidade, Jogos Lotéricos

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo Alunos da 2ª Série do Ensino Médio

PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIDADE DIDÁTICA

OS JOGOS LOTÉRICOS COMO MEIO DE ENSINAR PROBABILIDADE

Produção didático-pedagógica apresentada a SEED/SUED – PR, como requisito para o cumprimento das atividades previstas dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná, orientado pelo Professor Sebastião Romero Franco da UNICENTRO/Irati.

IRATI

2012

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Gilmar Krauczuk

Área/Disciplina PDE: Matemática

NRE: Irati

Professor Orientador IES: Professor Sebastião Romero Franco

IES vinculada: Universidade Estadual do Centro – Oeste

Escola de Implementação: Colégio Estadual Barão de Capanema

Público objeto da intervenção: Alunos da 2ª Série do Ensino Médio

E-mail: [email protected]

INTRODUÇÃO

Para as Diretrizes Curriculares Estaduais (DCE’s), os alunos devem

compreender e significar os conhecimentos historicamente acumulados pela

humanidade, para que desta forma se tornem críticos e reflexivos. Sendo a

matemática uma das partes dessa estrutura de conhecimentos, esta deve contribuir

de forma efetiva na formação do aluno. Para tanto, a resolução de problemas é uma

ferramenta importante para que esta significação aconteça.

Porém, é possível afirmar que este objetivo não vem sendo atingido de

forma integral. Não se pode afirmar que seja devido ao método tradicional ainda

“empregado” por alguns profissionais ou por falta de interesse dos alunos ou pelo

fato de não conseguirem transferir estes conteúdos para situações do cotidiano. Por

isso, é de extrema importância o surgimento de novas ações para amenizar ou

sanar as dificuldades que se apresentam no processo de ensino-aprendizagem.

Esta produção didática tem por objetivo fundamentar a implementação do

Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para implementação do professor

PDE. Desta forma, espera-se que os alunos consigam transferir estes

conhecimentos cujo tema será o estudo das probabilidades, para outras áreas como

Biologia, Estatística, Engenharias entre outras, e também para situações do

cotidiano que exigem o conhecimento em probabilidades.

Segundo as DCEs, Paraná (2008, p. 61) “No Ensino Médio, o conhecimento

denominado Tratamento da Informação é um meio para resolver problemas que

exigem análise e interpretação”. E ainda que “[...] o estudo da probabilidade permite

diferentes olhares sobre o mundo, o que leva a uma leitura diferenciada daquela de

determinismo e exatidão que, em geral, encontra-se na disciplina de Matemática”.

Diante das afirmações, considera-se que os alunos do Ensino Médio devem, após

tomar conhecimento das probabilidades, transferir esse conhecimento para outras

áreas e também para o cotidiano de forma significativa, mas ainda existem alunos

que não conseguem fazer esta transferência, pode ser devido ao uso constante de

fórmulas para a resolução de problemas, sem a preocupação de analisar, interpretar

e compreender a situação antes de buscar a solução ou ainda pode estar na

desmotivação dos alunos devido não conseguirem relacionar os assuntos com a

realidade que os rodeia.

A proposta conta com atividades que visam a aquisição de conhecimentos

sólidos para a disciplina, que serão desenvolvidos com os alunos da 2ª série do

Ensino Médio do Colégio Estadual Barão de Capanema – Ensino Fundamental,

Médio e Profissional do município de Prudentópolis – PR. Esta proposta se dará

através de 32 horas aulas.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em

certa medida, todos são matemáticos e fazem matemática inconscientemente em

decorrência das atividades cotidianas, já que na história da humanidade, a

matemática foi descrita, inicialmente, como a ciência da quantidade e do espaço. Os

matemáticos, devido à necessidade de comunicação, estabeleceram convenções,

criando o simbolismo relacionado ao cálculo das quantidades e às medidas do

espaço. E para que este conhecimento fosse passado de geração para geração, os

ensinamentos matemáticos deveriam ser praticados e atualizados de acordo com

momento vivido.

Por isso, é possível afirmar que a educação matemática vem sendo

praticada a milhares de anos. E a apropriação do conhecimento matemático

sistematizado é um dos instrumentos fundamentais para uma participação

consciente e crítica na sociedade. Logo, o acesso a esse conhecimento pode

contribuir para a criação de uma nova organização social, não apenas através do

ensino de regras e mecanismos, mas através da dimensão política contida na

própria relação entre o conteúdo e a forma da sua transmissão-assimilação.

Nas últimas décadas, o processo de ensino e aprendizagem não se

preocupou em fazer com que os alunos “enxergassem” a relação entre a teoria e a

prática, os professores e alunos simplesmente ficavam retidos em aplicações de

fórmulas, em repetições de exercícios, entre outros, e é devido a esta

despreocupação que surgiram nos últimos anos diversas pesquisas no sentido de

buscar e mostrar uma relação concreta entre o que é ensinado com a realidade da

sociedade.

Mas, como a sociedade vem passando por mudanças constantes, é

fundamental que o professor de matemática se mantenha atualizado, ou seja, deve

repensar periodicamente as suas práticas pedagógicas, para facilitar a

aprendizagem, tornando os alunos reflexivos e questionadores, possibilitando assim,

estes alunos aplicarem os conhecimentos adquiridos em outras áreas.

A efetivação desta proposta requer um professor interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em contínua formação. Interessa-lhe, portanto, analisar criticamente os pressupostos ou as idéias centrais que articulam a pesquisa ao currículo, a fim de potencializar meios para superar desafios pedagógicos. (PARANÁ, 2008, p. 48)

Para tanto, o professor de matemática pode utilizar diferentes metodologias

que fundamental sua prática docente, sendo por meio da resolução de problemas,

modelagem matemática, mídias tecnológicas, etnomatemática, história da

matemática ou investigações matemáticas. Não sendo possível esquecer que uma

complementa a outra, mas dentre as tendências apresentadas pode-se destacar a

resolução de problemas, onde Dante (2003, p.60) afirma que:

Ao incentivar os alunos na resolução de problemas, devemos apresentar sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É melhor transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do aluno orientadas por nós. Alguns segundos de prazer da descoberta valem mais do que mil informações que possam ser transmitidas ao aluno.

Assim entende-se que o aluno além de resolver o que lhe foi proposto, deve

transferir os conhecimentos adquiridos para outras situações que envolvem a

realidade na qual está inserido. Por isso, o processo de ensino e aprendizagem dos

conteúdos da matemática deve assegurar aos alunos uma visão reflexiva sobre o

que lhe foi ensinado, para que estes tenham a oportunidade de utilizar estes

conhecimentos em outras situações do cotidiano, seja no âmbito escolar ou nas

situações diárias.

Neste sentido as DCE’s (2008, p.48) destacam que:

Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade.

Assim, é necessário que os conteúdos ensinados na disciplina estejam

sempre contextualizados. Pois, para que os alunos do Ensino Médio possam

construir os conceitos de probabilidades há necessidade que os mesmos tenham

conhecimentos em Análise Combinatória e Estatística, pois:

A integração da probabilidade com a estatística possibilita “um ensino com características interdisciplinares”, de modo a oferecer ao estudante conhecimentos menos fragmentados por meio de experiências que propiciem observações e conclusões, contribuindo para a formação do pensamento matemático. (PARANÁ, 2008, p. 61)

Desta forma, é imprescindível que o professor busque alternativas para

tornar o processo de ensino e aprendizagem o mais favorável possível, e a

resolução de problemas propicia estas condições, pois além de fazer com que

professor e aluno estejam em constante discussão sobre o assunto, possibilita a

aprendizagem de maneira efetiva e significativa, como Smole & Diniz (2001, p.125)

afirmam que:

Para que os alunos sejam capazes de apresentar as diferentes maneiras que utilizam para resolver problemas, cabe ao professor propiciar um espaço de discussão no qual eles pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia e façam o registro da solução encontrada ou dos recursos que utilizaram para chegar ao resultado. Assegurar esse espaço é uma forma de intervenção didática que favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras e às crenças tão presentes nas aulas de matemática.

E ainda, a resolução de problemas facilita aos alunos uma conexão com as

diversas áreas do conhecimento, bem como com a realidade. Pois através desta

tendência metodológica se fazem questionamentos não somente ao assunto

abordado, mas também às suas aplicabilidades em situações do dia-a-dia.

Possibilitando que sejam levantadas hipóteses e argumentos sobre o assunto

tratado. Há necessidade que o professor, enquanto mediador do conhecimento

estabeleça condições para que, a partir dos problemas propostos, estes tenham

motivações para a resolução dos problemas.

Para que o professor tenha êxito é necessário, segundo Polya (2006),

observar as seguintes etapas:

Compreensão do problema;

Estabelecimento de um plano;

Execução do plano;

Retrospecto ou conferência de resultados

Esta mesma autora destaca também que:

Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso palno. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a. (POLYA, 2006, p. 4).

Os primeiros estudos sobre probabilidades se dão na Idade Média a partir

dos jogos de azar. Mas as primeiras considerações matemáticas sobre o assunto se

deram no século XVII que também foram motivados pelos jogos de azar, que deram

origem a Teoria das Probabilidades. A partir desta época o estudo das

probabilidades começou a fazer parte da matemática, sendo que seu avanço foi

acontecendo de acordo com a evolução da humanidade, e seus estudos voltados

para os fenômenos da incerteza, como Boyer (1996, p.436) afirma que “a teoria dos

conjuntos e a teoria da medida durante o século vinte invadiram uma parte sempre

maior da matemática, e poucos ramos foram tão completamente influenciados por

essa tendência quanto a teoria das probabilidades”.

Atualmente, a probabilidade está presente em várias situações do cotidiano,

como nas previsões meteorológicas, na economia, nos jogos, na Biologia, na

Psicologia, entre outros. Devido a esta aplicabilidade nas diferentes áreas do

conhecimento, a tornam essencial no currículo escolar, e é por isso que os alunos do

Ensino Médio devem compreendê-la de tal forma que possibilite a transferência de

seus conceitos para esses diversos campos de aplicação.

Por isso, este estudo se propõe em abordar as teorias das probabilidades

através de uma abordagem pedagógica que traga aos alunos do Ensino Médio, uma

aprendizagem significativa sobre o assunto. Sendo a resolução de problemas, o

principal meio para a motivação e também o fator dinâmico da prática, buscando

possibilitar a construção de um pensamento crítico dos alunos bem como despertar

o interesse e a curiosidade dos alunos em resolver situações problemas.

ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

A presente produção didático-pedagógica será desenvolvida no primeiro

semestre de 2013, no Colégio Estadual Barão de Capanema, com os alunos da 2ª

série do Ensino Médio em Prudentópolis – PR, a qual será acompanhada pela

direção e equipe pedagógica do colégio, bem como pelo professor orientador da

IES.

Para tanto serão elaboradas questões que visam a construção do

conhecimento combinatório e na sequência serão propostas situações problemas

que relacionam a probabilidade com os jogos lotéricos Loto-Fácil, Mega-Sena e

Quina, para que desta forma haja um favorecimento da aprendizagem. Neste

sentido é preciso que se leve em consideração todos os procedimentos adotados

pelos alunos, para que desta forma seja possível possibilitar aos alunos buscar a

solução através do raciocínio lógico, bem como através do levantamento de

hipóteses, e trabalhar os métodos matemáticos na resolução dos problemas com

uma análise comparativa entre os resultados.

Agindo desta forma, espera-se que os alunos consigam compreender os

conceitos combinatórios e de probabilidade e transferi-los para outras áreas do

conhecimento, bem como utilizar no seu cotidiano.

ATIVIDADES

Serão desenvolvidas 08 (oito) atividades, sendo que cada atividade será

composta por uma variedade de situações que visam a construção do conhecimento

combinatório e probabilístico.

1ª Atividade: Operações com números fatoriais

Objetivo: Identificar e operar algebricamente com fatoriais

Carga horária: 03 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno

Fatorial

Dado um número n natural (n 2), define-se fatorial de n, representado por n!, ao

produto de n fatores consecutivos de n a 1.

n! = n . (n – 1) . (n – 2) . (...) . 3 . 2 . 1

Também define-se que:

0! = 1

1! = 1

Observação:

O fatorial de um número natural é uma operação aritmética que não admite certas

propriedades numéricas:

6! + 3! 9!

10! – 4! 6!

(4!) . (3!) 12!

!9

!18 2!

Atividade:

1) Efetue as operações:

a) 3! + 5! – 4!

b) !4

!8

c) !7!.5

!12

d) !4!.4

!8

e) !69

!71!70

2) Simplifique:

a) )!1n(

!n

b) )!2n(

)!1n(

c) )!2n(

)!4n(

d) )!1n(

)!3n(

e) )!1n(2)!n2(

)]!1n(2[!n2

3) Encontre conjunto solução das equações:

a) (n – 6)! = 720

b) 60n!

2)!(n

c) (n + 2)! + (n + 1)! = 24.n!

d) 15)!3n(

)!2n.(3

e) (2n – 5)! = 1

f) 13)!1n(!n

2)!1n()!1n(

g) 18)!2n(

)!1n.(2!n

h) )!1n(1n

!n

2ª Atividade: Princípio Fundamental da Contagem e a Árvore das

Possibilidades

Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através da árvore das

possibilidades e do princípio fundamental da contagem.


Princípio Fundamental da Contagem

Para a compreensão do assunto é importante que os alunos construam o

conhecimento a partir de uma situação problema. Como por exemplo:

O Departamento de Trânsito (DETRAN) do Brasil faz uso do seguinte sistema de

emplacamento: as placas dos veículos são codificadas utilizando-se 3 letras do

alfabeto (das 26 letras disponíveis) e 4 algarismos (dos 10 disponíveis). Qual o

número máximo de veículos que poderão ser licenciados? Em que momento o

DETRAN terá que alterar o sistema de emplacamento?

Solução:

Imaginemos uma placa genérica do tipo ATF-0529. Como o alfabeto possui 26 letras

(de A a Z) e o sistema de numeração possui 10 algarismos (de 0 a 9), pode-se

concluir que: para a 1ª posição, tem-se e 26 alternativas e para a 2ª e 3ª também

teremos 26 alternativas, pois é possível haver repetição. Com relação aos

algarismos, concluímos que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares.

Então o número total de veículos que podem ser licenciados é 26.26.26.10.10.10.10

que resulta em 175.760.000. Assim é possível concluir que o sistema de

emplacamento teria que ser modificado se no país existissem 175.760.001 veículos.

Portanto, se há x possibilidades ocorrer um evento A e existem y modos de ocorrer

um evento B, então o número de maneiras diferentes de ocorrer sucessivamente os

eventos A e B é dado pelo produto x.y, esta condição retrata o princípio fundamental

da contagem.

Árvore das Possibilidades

Em determinadas situações é possível descrever todas as possibilidades de

ocorrência de certo evento através da árvore das possibilidades, como por exemplo:

Quantos e quais são os resultados possíveis no lançamento de três moedas?

Sendo (C) cara e (K) coroa, temos:

1ª Moeda 2ª Moeda 3ª Moeda Resultado

C

C

C C,C,C

K C,C,K

K

C C,K,C

K C,K,K

K

C

C K,C,C

K K,C,K

K

C K,K,C

K K,K,K

Portanto, é possível concluir que teremos 8 resultados diferentes para o lançamento

de três moedas, como demonstrado acima.

Atividade:

1) Um restaurante oferece no cardápio 5 saladas distintas, 3 tipos de pratos de

carne, 6 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. A refeição de uma

pessoa será constituída por uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma

sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

2) Quantos números de 3 algarismos podemos formar empregando os algarismos 1,

2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os

algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?

4) Quantos números de 3 algarismos pares podemos formar empregando os

algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?

5) Quantos números de 3 algarismos distintos ímpares podemos formar empregando

os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?

6) Para ir ao clube Junior deseja usar uma camiseta, uma bermuda, um par de tênis

e um par de meias. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas,

três pares de tênis e cinco pares de meias, de quantas maneiras distintas ele poderá

vestir-se?

7) Se as placas dos veículos fossem constituídas por 3 letras distintas

acompanhadas por 4 algarismos distintos. Qual seria o número máximo de veículos

que podem ser emplacados?

8) Os números dos telefones da cidade de Prudentópolis tem 8 algarismos cujos

primeiros dígitos são 3446. Qual o número máximo de telefones que podem ser

instalados na cidade?

9) Os organizadores das tradicionais “barraquinhas” de São João convidaram quatro

grupos folclóricos para se apresentarem nos últimos quatro dias de festejos.

Sabendo-se que a programação previa uma apresentação por dia, determine o

número de maneiras distintas que as apresentações podem ser programadas,

nesses quatro dias.

10) Uma prova é constituída por 10 questões, cada uma com duas alternativas para

serem escolhidas (verdadeiro ou falso). De quantas maneiras diferentes essa prova

poderia ser respondida?

11) Quantos números de pares com quatro algarismos distintos, podemos formar

com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

12) Entre 20000 e 60000 é possível formar quantos números com algarismos

distintos?

13) Utilizando o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, quantos números com algarismos

distintos existem entre 20000 e 60000?

14) Um determinado colégio possui 4 portas de entrada. De quantas maneiras ele

poderá estar aberto?

3ª Atividade: Arranjo Simples

Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de arranjos

simples.

Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno.

Arranjos Simples

Existem inúmeros exemplos para abordar o assunto em questão, um deles pode ser

o seguinte: Considerando que a senha de um determinado cartão de crédito é

composta por 6 algarismos distintos. Considere a seguinte situação, se uma pessoa

esqueceu parte da sua senha, e somente consegue lembrar que o primeiro

algarismo é 5 e o último é 8. Quantas senhas são compostas nestas condições?

Sabendo que o caixa eletrônico permite 4 tentativas antes de bloquear o cartão, o

que seria mais viável: tentar descobrir aleatoriamente a senha ou ir até um dos

atendentes do banco e explicar a situação?

Solução

As senhas serão do tipo 5xyzt8. Para a posição x teremos 8 possibilidades, pois dois

algarismos, dos 10 disponíveis, são conhecidos, para a posição y 7 possibilidades,

para z 6 possibilidades e para a posição t 5 possibilidades, assim através do

Princípio Fundamental da Contagem teremos 8.7.6.5 que resulta em 1680 senhas

possíveis de serem formadas nas condições apresentadas no problema. Ou

poderíamos fazer um arranjo de 8 elementos tomados de 4 em 4, representado

matematicamente por A8, 4 ou 4

8A .

Assim é possível concluir que, seria viável ir atrás de um dos atendentes do banco e

explicar a situação, do que tentar descobrir aleatoriamente a senha e bloquear o

cartão.

Portanto se for dado um conjunto A com n elementos, chama-se arranjo simples dos

n elementos, tomados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos formada

com elementos de A.

Indica-se por An, p ou p

nA com n p, a quantidade desses arranjos.

Como os agrupamentos são seqüências, elas diferem entre si:

pela ordem dos elementos – (a, b) (b, a)

pela natureza dos elementos – (a, b) (a, c)

Número de Arranjos

O número de arranjos simples dos n elementos tomados p a p pode ser calculado

pela fórmula

)!pn(

!nAp

n

Atividade:

1) Calcule o valor da expressão: 3

8

7

10

3

7 AAA

2) Encontre o valor de n que satisfaz as igualdades:

a) 30A2

n

b) An+2, 2 = 90

c) 4

3

A

A

3,n

3,1n

3) Julio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor

para cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de

tintas?

4) Considerando os algarismos de 1 a 8, quantos números de quatro algarismos

distintos podem ser formados?

5) Considerando os algarismos do nosso sistema de numeração, quantos números

de quatro algarismos distintos são múltiplos de 5?

6) O sistema de cadastramento de livros de uma certa biblioteca, é composto por

códigos que se utilizam de três letras distintas seguidas de dois algarismos distintos.

Sabendo-se que mesmo existindo livros repetidos não existem códigos repetidos,

determine quantos livros podem ser cadastrados?

7) De quantas maneiras diferentes é possível pintar as listras da bandeira abaixo,

utilizando uma cor para cada uma listras, sabendo-se que estão disponíveis 6

cores?

4ª Atividade: Permutações Simples e com Repetição

Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de

permutações simples e com repetição.


Permutações Simples

Para introduzirmos o assunto em questão, poderíamos utilizar a seguinte

problematização: Se 5 pessoas chegam ao mesmo tempo ao posto de saúde, de

quantas maneiras poderíamos organizar uma fila indiana com estas 5 pessoas?

Solução

Para o primeiro lugar da fila teríamos 5 possibilidades, para o segundo 4, para o

terceiro 3, para o quarto 2 e para o último uma única possibilidade. Através do

Princípio Fundamental da Contagem teremos 5.4.3.2.1 resultando em 120

possibilidades de organizar a fila. Ou ainda, poderíamos fazer um arranjo simples de

5 pessoas, tomadas de 5 a 5, resultado em uma Permutação Simples de 5 pessoas,

representado matematicamente por P5 .

Por isso, sempre que for dado um conjunto A, formado por n elementos, chama-se

permutação simples dos n elementos de A a todo arranjo simples dos n elementos

tomados n a n.

Sendo Pn as permutações que podemos formar com n elementos, então

Pn = n

nA

Pn = n!

Observação:

O cálculo de permutações simples é conseqüência imediata do princípio

multiplicativo.

Permutações com Repetição

Se, na permutação de n elementos, existirem alguns elementos que apareçam

vezes, vezes, vezes, ..., o número de permutações com esses elementos

repetidos será:

!...!!

!nP ,...,,

n

Como por exemplo, se queremos descobrir de quantas maneiras é possível pintar 5

casas de um condomínio, dispondo de 4 cores diferentes, sendo que duas delas

deverão ter a mesma cor, teremos uma permutação com repetição, ou seja,

60P

3.4.5P

!2

!5P

2

5

2

5

2

5

Portanto, é possível pintar as 5 casas de 60 maneiras diferentes.

Atividade:

1) Calcule o valor da expressão: 456 P3PP

2) Determine o valor de n que satisfaz as igualdades:

a) Pn – 2 = 120

b) 42P 2n

n

b) 3n

PPP5 2n1n

n

3) Numa Van viajam 11 pessoas, das quais 3 podem dirigir. De quantas maneiras

diferentes é possível acomodá-las (3 no banco da frente, 4 no banco do meio e 4 no

banco de trás) de forma que uma das 3 que dirigem ocupe o lugar da direção?

4) Quatro meninas e quatro meninos vão juntos ao cinema, e encontram uma fileira

para oito lugares consecutivos. De quantas maneiras eles podem se sentar de forma

que não fiquem dois meninos ou duas meninas juntos?

5) Quantos anagramas podem ser formados com:

a) COLEGIO

b) PROFESSOR

c) ALUNO

d) DIDATICA

e) FUTURO

6) Quantos anagramas da palavra CELULAR:

a) começam por vogal;

b) começam e terminam por vogal;

c) começam com a letra L.

7) Quantos anagramas da palavra NUMERO não possuem vogais juntas?

8) Permutando-se os algarismos 1, 4, 5, 6 e 8 e escrevendo-os em ordem crescente

qual a posição do número 65841?

5ª Atividade: Combinações Simples

Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de

combinações simples.


Combinações Simples

As combinações simples estão presentes em diferentes situações do nosso

cotidiano. Por isso é de fundamental importância que iniciemos o estudo das

combinações através de situações problemas. Como por exemplo: Pedro trabalha

em um bar e verifica que possui somente 7 tipos de bebidas, das quais utiliza

sempre 3 delas para preparar os coquetéis para seus clientes. Quantos coquetéis

diferentes podem ser preparados com as 7 bebidas disponíveis?

Solução

Observe que a ordem das bebidas não muda o coquetel servido, por isso, teremos

uma combinação de 7 bebidas, relacionando 3 a 3 delas, matematicamente teremos

3

7C , o que resulta a partir da fórmula em 35 tipos de coquetéis diferentes que

poderiam ser servidos.

E assim, sempre que é dado um conjunto A com n elementos, chama-se

combinação simples dos n elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto p

elementos distintos escolhidos entre os elementos de A.

Indica-se por Cn, p ou p

nC com n p, a quantidade desses subconjuntos.

Como os agrupamentos são subconjuntos, eles diferem entre si apenas:

pela natureza dos elementos componentes – {a., b} {a, c}

e não pela ordem de seus elementos {a, b} = {b, a}

Número de Combinações

O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p pode ser

calculado pela fórmula

!p)!pn(

!nCp

n

Observação:

Pode-se ainda relacionar a combinação simples, com arranjo simples pela relação:

!p

AC

p

np

n

Atividade:

1) Calcule o valor da expressão 5

8

3

8

7

10

3

7 CCCC

2) Encontre o valor de n nas igualdades:

a) 28C2

n

b) 10C2

1n

3) Se você possui a sua disposição 8 tipos de frutas, quantas tipos saladas de frutas

é possível fazer utilizando exatamente 4 frutas diferentes?

4) Uma determinada sala de aula tem 30 alunos, sendo 10 meninos e 20 meninas.

Será feita uma comissão de 6 alunos que representarão a turma, e para manter a

proporcionalidade ficou decidido que a comissão deverá ser formada por 2 meninos

e 4 meninas. Quantas comissões nessas condições poderão ser formadas?

5) Em uma circunferência são marcados 8 pontos distintos e eqüidistantes, quantos

segmentos de reta não colineares poderão ser traçados?

6) Em uma circunferência são marcados 8 pontos distintos e eqüidistantes, quantos

polígonos podem ser formados?

7) A Mega-Sena consiste em sortear 6 números, a cada sorteio, entre os números de

1 a 60. Para participar do sorteio é necessário escolher no mínimo 6 números e para

ganhar o prêmio máximo (sena) é preciso que o apostador acerte os 6 números

sorteados, mas também é possível ganhar algum “trocado” se acertar 5 números

(quina) ou 4 números (quadra) dos 6 escolhidos pelo apostador. Nessas condições:

a) Quantas apostas diferentes podem ser feitas para a Mega-Sena?

b) Se o apostador escolher 7 números num único cartão, o que é permitido de

acordo com as regras do jogo, estará fazendo o mesmo que apostar quantos cartões

com 6 números?

c) Fazendo uma aposta com 6 números, com quantas quinas diferentes o apostador

estará concorrendo?

d) Fazendo uma aposta com 6 números, com quantas quadras diferentes o

apostador estará concorrendo?

8) Para participar dos sorteios da Lotofácil é necessário marcar no mínimo 15

números, dos 25 disponíveis no cartão de aposta. Quantas apostas diferentes com

15 números podem ser feitas? E com 16 números?

9) Na Quina o apostador escolhe no mínimo 5 números ou no máximo 7 números,

entre os números de 1 a 80. Quantas apostas distintas poderão ser feitas com 5

números? E Com 7 números?

10) Com relação às questões 7, 8 e 9, e considerando que o valor das apostas

mínimas da Mega-Sena. Lotofácil e Quina tivessem o mesmo valor, qual das três

seria mais vantajoso arriscar a sorte? Por que?

6ª Atividade: Situações diversas envolvendo questões de combinatória

Objetivo: Identificar o método adequado de contagem que deve ser aplicado para a

resolução de problemas diversos.


Diferença entre Arranjos Simples e Combinações Simples

Os arranjos simples e as combinações simples diferenciam-se pela mudança ou não

de ordem de seus elementos escolhidos nos agrupamentos.

Arranjos Simples – são seqüências, portanto (a, b) (b, a) (importa a ordem).

Por exemplo: Senhas, placas de carros, etc.

Combinações Simples – são subconjuntos, portanto {a, b} = {b, a} (não

importa a ordem). Por exemplo: Grupos de alunos, composição de comissões, etc.

Para exemplificar pode-se retornar as situações exemplos ou atividades da 3ª e 5ª

atividade.

Atividade:

1) Encontre a solução da equação 2

1n

3

n AC

2) Em um grupo de 8 amigos está acontecendo uma disputa. Os três que “tirarem”

as melhores notas do bimestre na disciplina de Matemática receberão como

“recompensa” um jantar, cada um, no melhor restaurante da cidade. Quantos são os

resultados possíveis, sabendo-se que não houveram notas repetidas?

3) Em um grupo de 8 amigos está acontecendo uma disputa. Os três que “tirarem”

as melhores notas do bimestre na disciplina de Matemática receberão como

“recompensa” o seguinte: 1ª melhor nota, uma viagem para a praia, 2ª melhor nota,

um jantar, e a 3ª melhor nota, um presente surpresa. Quantos são os resultados

possíveis, sabendo-se que não houveram notas repetidas?

4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 4 algarismos

distintos podem ser formados?

5) Dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, desses serão sorteados 4. Quantos são

os resultados possíveis?

6) Um técnico de futsal dispõe de 10 jogadores, 5 dos quais devem ser selecionados

para disputar o campeonato municipal. Se Tião não pode ficar de fora da equipe,

pois é o único goleiro entre os jogadores, e os demais jogam em quaisquer

posições, qual é o número total de equipes que poderão ser formadas?

7ª Atividade: Probabilidades e os Jogos Lotéricos

Objetivo: Compreender o conceito de probabilidade, bem como dominar os cálculos

que a envolvem.

Carga horária: 04 h/a em sala de aula

Probabilidade

Todos os princípios e fórmulas usados na Análise Combinatória podem também ser

usados aqui.

Para este assunto, a diferença é que, agora, não queremos apenas o número de

maneiras de realizar determinada tarefa, mas, sim, estamos interessados também

em descobrir a chance para que aleatoriamente possamos realizar essas tarefas.

Por exemplo:

Qual é a probabilidade de um casal que deseja ter dois filhos, ter primeiro um

menino e depois uma menina?

Espaço Amostral

É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento

aleatório.

Será representado pela letra maiúscula E. Em alguns casos poderá estar

representado pelas letras U ou .

Como exemplo é possível voltar a situação anterior, em que o casal deseja ter dois

filhos. O espaço amostra para tal situação, considerando M para menino e F para

menina, será E = {(M,M), (MF), (F,F), (F,M)}, totalizando 4 possibilidades, sendo

portanto n(E) = 4.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral. Assim, os elementos de um evento são

também elementos do espaço amostral. No entanto, o evento é formado apenas

pelos resultados que nos interessam.

Os eventos geralmente são representados pelas letras maiúsculas A, B, C, ...

Portanto, no exemplo dado o casal deseja ter primeiro um menino e depois uma

menina, assim teremos A = {(M,F)}, ou seja, uma única possibilidade de ocorrência,

sendo portanto n(A) = 1.

Evento Impossível

É o subconjunto vazio do espaço amostral.

Por exemplo, no lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6,

quais as possibilidades de termos o número 7 como resultado?

Como não existe o número 7 marcado em uma das faces do dado o evento é

impossível.

Evento Certo

O espaço amostral também é um evento. Ele é chamado de evento certo.

Por exemplo:

No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as

possibilidades de termos como resultado um número natural menor que 7?

Como todos os números contidos nas faces dos dados são menores que 7 o evento

é certo.

Evento Complementar

Se A é um evento de um espaço amostral E, o complementar de A indica-se por A ,

é o evento formado pelos resultados de E que não pertencem a A.

A = { x / x E e x A}

Por exemplo:


possibilidades de termos como resultado um número natural menor que 3?

Neste caso teremos o espaço amostral como sendo E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e o nosso

evento A= {1, 2}, sendo assim o evento complementar de A será A = {3, 4, 5, 6}.

Intersecção de Eventos

Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral E, a intersecção de A e B

indica-se por A B, é um evento formado pelos resultados comuns a A e B.

A B = {x E e x B}

Por exemplo:


possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 e de 3

simultaneamente?

Sendo o espaço amostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os eventos, A os números múltiplos

de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 3, B = {3, 6}. Teremos a

possibilidade de resultado um número múltiplo de 2 e de 3 simultaneamente

somente o número 6, ou seja, A B = {6}

União de Eventos

Sendo A e B eventos de um espaço amostral E, a união de A e B indica-se por A

B, é um evento formado pelos resultados de A ou de B.

A b = {x E / x A ou x B}

Por exemplo:


possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 ou de 3?


de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 3, B = {3, 6}. Teremos a

possibilidade de resultados números múltiplos de 2 ou de 3 os seguintes números 2,

3, 4 e 6, ou seja, A B = {2, 3, 4, 6}

Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando não apresentam resultados

em comum, ou seja:

A B =

Por exemplo:


possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 e de 5

simultaneamente?


de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 5, B = {5}. Portanto, não

teremos a possibilidade de resultado um número múltiplo de 2 e de 5

simultaneamente, ou seja, A B = .

Probabilidade de ocorrer um evento

A probabilidade de ocorrer um evento A de um espaço amostral E representa-se por

p(A), é o número real dado por:

)E(n

)A(n)A(p

Onde

n(A) é o número de casos favoráveis, quanto à ocorrência de A;

n(E) é o número de casos possíveis do experimento.

Voltando a questão inicial, em que um casal que deseja ter dois filhos, ter primeiro

um menino e depois uma menina, qual é a probabilidade de isso ocorrer?

Solução:

)E(n

)A(n)A(p

Neste caso temos n(E) igual a 4 e n(A) igual a 1, portanto a probabilidade de ocorrer

o que o casal deseja é de 0,25, ou seja, 25%.

Propriedades das probabilidades

As seguintes propriedade são verificadas em qualquer experimento aleatório;

p(E) = 1 (evento certo)

p() = 0 ( evento impossível)

0 p(A) 1 (qualquer evento)

p(A) + p( A ) = 1

A probabilidade de ocorrer o evento A somada com a probabilidade de não ocorrer é

igual a 1 (100%)

Adição de Probabilidades

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de

A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B.

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)

Por exemplo:

No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, qual a

probabilidade de termos como resultado um número múltiplo de 2 ou de 3?

Neste caso temos n(E) = 6, n(A) = 3, n(B) = 2 e n(A B) = 1, portanto p(A) = 6

3

p(B)

= 6

2 e p(A B) =

6

1, ficando, portanto, através da condição p(A B) = p(A) + p(B) –

p(A B), p(A B) = 6

4, o equivalente a

3

2, ou ainda a 66,67%.

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes quando a informação da ocorrência de um evento

não altera a probabilidade de ocorrência do outro.

Matematicamente a independência entre dois eventos A e B pode se expressa pela

seguinte relação:

p(A B) = p(A) . p(B)

Por exemplo:

Lançando-se um dado duas vezes, com faces numeradas de 1 a 6, qual a

probabilidade de termos como resultado um número múltiplo de 2 na primeira jogada

e um múltiplo de 3 na segunda?

Neste caso temos n(E) = 6, n(A) = 3 e n(B) = 2, portanto p(A) = 6

3

e p(B) =

6

2

ficando, portanto, através da independência de dois eventos, p(A B) = p(A) . p(B),

p(A B) = 6

3.

6

2, o equivalente a

6

1, ou ainda a 16,67%.

Multiplicação de Probabilidades

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, a

probabilidade de ocorrência desse acontecimento é dada pelo produto das

probabilidades dos eventos componentes.

p = p(A) . p(B) . p(C)...

onde

p é a probabilidade resultante

p(A), p(B), p(C),... são as probabilidades dos eventos sucessivos e

independentes.

Exemplo:

Uma sala de aula é composta por 25 alunos, dos quais 10 são meninos e 15 são

meninas. Serão sorteados 3 brindes nesta turma, oferecidos pela escola, da

seguinte maneira, os nomes de todos os alunos serão colocados em uma caixa,

será sorteado o primeiro nome e entregue o prêmio. Coloca-se novamente o nome

da pessoa sorteada na caixa e faz-se o segundo sorteio, e para o terceiro prêmio

procedesse da mesma forma. Qual a probabilidade dos prêmios ficarem somente

com as meninas?

Neste caso temos os eventos A (ocorrência do primeiro prêmio), B (ocorrência do

segundo prêmio) e C (ocorrência do terceiro prêmio) independentes, ou seja, um

evento não influencia a ocorrência do outro, portanto teremos: p = p(A) . p(B) . p(C),

ou seja p = 25

15

.25

15

.25

15

, ficando p =

125

27

igual a 21,6%.

Atividade:

1) Em relação ao jogo da Mega-Sena que consiste no sorteio de 6 números, dos 60

disponíveis no cartão de aposta, responda:

a) Qual a probabilidade de acertar os 6 números, com uma aposta de 6 números?

b) Qual a probabilidade de acertar 5 números (quina), com uma aposta de 6

números?

c) Qual a probabilidade de acertar 4 números (quadra), com uma aposta de 6

números?

d) Uma pessoa sonhou com 3 números que sairiam no próximo sorteio, e eles

realmente saíram. Supondo que esta pessoa fez uma aposta com 6 números, sendo

três deles os quais havia sonhado, qual a probabilidade dessa pessoa ganhar o

prêmio máximo? A Quina? A quadra?

e) Se você faz a seguinte aposta 02 – 11 – 23 – 32 – 35 – 56, e seu amigo a

seguinte 01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 06, quem tem maiores chances de ganhar algum

prêmio?

f) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem aposta em 15

números?

2) Em relação as extrações da Lotofácil que consiste no sorteio de 15 números, dos

25 disponíveis no cartão de aposta, responda:


b) Qual a probabilidade de acertar 14 números, com uma aposta de 15 números?

c) Qual a probabilidade de acertar 13 números, com uma aposta de 15 números?

d) Qual a probabilidade de acertar 12 números, com uma aposta de 15 números?

e) Qual a probabilidade de acertar 11 números, com uma aposta de 15 números?

f) Qual a probabilidade de acertar os 15 números sorteados com uma aposta de 18

números? Sua chance de ganhar aumenta, em porcentagem, quanto em relação a

uma aposta de 15 números?

g) Sabendo-se que os sorteios ocorrem 3 vezes por semana (segunda, quarta e

sexta-feira), que dará uma média de 156 sorteios por ano. Supondo que em todos os

sorteios os resultados são diferentes, quanto tempo levaria para esgotar todas as

possibilidades de resultados?

3) Em relação aos sorteios da Quina que consiste no sorteio de 5 números, dos 80

disponíveis no cartão de aposta, responda?


b) Qual a probabilidade de acertar 4 números, com uma aposta de 5 números?

c) Qual a probabilidade de acertar 3 números, com uma aposta de 5 números?

d) Qual a probabilidade de acertar os 5 números, com uma aposta de 8 números?

4) Se você fosse fazer uma aposta em algum dos jogos lotéricos apresentados nas

questões anteriores, em qual você apostaria? Justifique sua resposta.

5) Se a Lotofácil mudasse as regras, em vez de sortear 15 números dos 25,

sorteasse apenas 10 números dos 25, qual seria a sua chance de acertar os 10

números em uma aposta com 10 números? Sua chance de ganhar o prêmio máximo

mudaria? Por quê?

6) Se a Mega-Sena mudasse as regras, em vez de sortear 6 números dos 60,

sorteasse 54 números dos 60, qual seria a sua chance de acertar os 54 números em

uma aposta com 54 números? Sua chance de ganhar o prêmio máximo mudaria?

Por quê?

8ª Atividade: Pesquisa sobre as reais possibilidades de ganhar jogos lotéricos

Objetivo: Perceber que a previsão de resultados é uma das características da

probabilidade e discutir sobre fatos que norteiam os princípios da probabilidade.

Carga horária: 03 h/a em contra turno

Atividade:

Neste momento os alunos irão trabalhar no laboratório de informática, primeiro com

o texto “Como não ganhar na Mega-Sena” que se encontra disponível em

http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf, para

que a partir do texto possam compreender as reais chances de ganhar em jogos

lotéricos. Na sequência será entregue para cada aluno, um cartão de cada um dos

jogos lotéricos trabalhados em sala de aula, Mega-Sena, Lotofácil e Quina, para que

façam uma aposta mínima para cada um dos cartões. Em seguida será pedido que

visitem a página http://www1.caixa.gov.br/loterias , para que a partir dos dados que o

site possui, possam verificar se os números por eles marcados já foram sorteados

em um mesmo sorteio. Por fim, os alunos serão questionados sobre a importância

da internet e de seus meios de pesquisas, para que a partir dessa importante

ferramenta tecnológica possam “tentar” encontrar respostas ou fórmulas “mágicas”

de ganhar em jogos lotéricos, e com isso discutir sobre as possibilidades de se

tornar o mais novo milionário do Brasil.

REFERÊNCIAS

BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003. FRANCISO, J. A. Como não ganhar na Mega-Sena. Disponível em

http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf. Acesso em 21/11/2012. LOTERIAS DA CAIXA. Resultados. Disponível em http://www1.caixa.gov.br/loterias.

Acesso em 21/11/2012 PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Secretaria de Educação do Estado do Paraná, 2008.

http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf

http://www1.caixa.gov.br/loterias

http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf

http://www1.caixa.gov.br/loterias

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Editora Interciência, Rio de Janeiro,

2006. SMOLE, K.S. e DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001.

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