Filtro Butterworth de quarta ordem topologia Sallen-Key

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia de Computação e Automação

FILTRO BUTTERWORTH DE 4O

ORDEM TOPOLOGIA SALLEN-KEY

Discentes: Jaime Dantas e Ramon Fava

Professor: Dr. Sebastian Yuri Calvancanti Catunda

Disciplina: Istrumentação

Natal, 5 de novembro de 2015

Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN

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Sumário Calculo da função transferência e dimensionamento do circuito ................................................................. 3

Simulação LTSpace ................................................................................................................................... 11

Testes em laboratório ................................................................................................................................. 12

Conclusão ................................................................................................................................................... 15

Referencias ................................................................................................................................................. 16


3

Cálculo da função transferência e dimensionamento do circuito

O nosso problema consiste na a criação de um filtro passa-baixa de quarta ordem do tipo

Butterworth usando a topologia Sallen-Key.

O nosso filtro tem uma frequência de corte de 5 kHz. Segundo a tabela de coeficientes de

Butterworth para filtros de ordem n, para um filtro de ordem 4 os coeficientes serão:

Tabela 1 –Coeficientes para Butterworth 4° order

𝒂𝒊 𝒃𝒊

Filtro 1 1,8478 1

Filtro 2 0,7654 1

𝑎! + 0,7654𝑎 + 1 ×(𝑎! + 1,8478𝑎 + 1)

Portanto, nos devemos dimensionar dois filtros, pois o nosso Butterworth de quarta

ordem será implementado usando dois amplificadores operacionais (dois stages) em modo

cascata.

FILTRO 1:

Figura 1 -‐ Filtro Butterworth de 2ª ordem


4

A função transferência para o Filtro 1 é dada por:

𝐻 𝑠 =𝐴!

1+ 𝜔! 𝐶! 𝑅! + 𝑅! + 1− 𝐴! 𝑅!𝐶! 𝑠 + 𝜔!!𝑅!𝑅!𝐶!𝐶!𝑠!

Onde 𝐴! é o ganho do amplificador, e para esse caso será de 1. Logo, a equação acima

resultara em:

𝐻 𝑠 =1

1+ 𝜔!𝐶! 𝑅! + 𝑅! 𝑠 + 𝜔!!𝑅!𝑅!𝐶!𝐶!𝑠!

A função transferência de um filtro de segunda ordem tem um formato representado pela

equação abaixo

𝐻 𝑠 =𝐴!

1+ 𝑎!𝑠 + 𝑏!𝑠!

Fazendo a comparação de polinômios entre as equações acima, teremos:

𝐴! = 1;

𝑎! = 𝜔!𝐶! 𝑅! + 𝑅!

𝑏! = 𝜔!!𝑅!𝑅!𝐶!𝐶!

Temos que chutar um valor de 𝐶! e 𝐶! para só então obtermos 𝑅! e 𝑅! usando a seguinte

relação obtida manuseando as equações acima:

𝑅!,! =𝑎!𝐶! ± 𝑎!!𝐶!! − 4𝑏!𝐶!𝐶!

4 𝜋𝑓!𝐶!𝐶!

Devido à necessidade de se obter valores reais para a raiz acima, 𝐶! deve obedecer à

relação seguinte:

𝐶! ≥ 𝐶!4𝑏!𝑎!!


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Determinação dos valores do Filtro 1

Para nosso projeto, escolheremos 𝐶! = 10𝑛𝐹. Logo, podemos obter 𝐶! por:

𝐶! ≥ 𝐶!4𝑏!𝑎!!

→ 𝐶! =10 ∗ 10!! ∗ 4 ∗ 1

1,8478! → 𝑪𝟐 = 𝟏𝟏.𝟕 𝒏𝑭

Para nosso circuito, utilizaremos a combinação de três capacitores em paralelo de 1 nF, 1

nF e 10 nF, o que resultara em 12 nF como mostra a equação abaixo.

𝐶!!" = 𝐶! + 𝐶! + 𝐶! → 𝐶!!" = 1 ∗ 10!! + 1 ∗ 10!! + 10 ∗ 10!! → 𝑪𝟐𝒆𝒒 = 𝟏𝟐 𝒏𝑭

Agora, nos temos que calcular o valor de 𝑅! e 𝑅!

𝑅! =𝑎!𝐶! + 𝑎!!𝐶!! − 4𝑏!𝐶!𝐶!


𝑅! =1,8478 ∗ 12 ∗ 10!! + 1,8478! ∗ 12 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!!

4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!!

𝑅! = 3393,91 𝛺 → 𝑹𝟐 = 𝟑,𝟑 𝒌𝜴

𝑅! =𝑎!𝐶! − 𝑎!!𝐶!! − 4𝑏!𝐶!𝐶!


𝑅! =1,8478 ∗ 12 ∗ 10!! − 1,8478! ∗ 12 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!!

4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!!

𝑅! = 2487,81𝛺 → 𝑹𝟏 = 𝟐,𝟒 𝒌𝜴

Portanto, utilizaremos dois resistores em serie para 𝑅!.

FILTRO 2:

Para calcularmos o Filtro 2, usaremos o mesmo raciocínio para o calculo do Filtro 1 do

primeiro “stage” acima mudando apenas os valores dos coeficientes 𝑎! 𝑒 𝑏!.

Para nosso projeto, escolheremos 𝐶! = 150𝑝𝐹. Logo, podemos obter 𝐶! por:


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𝐶! ≥ 𝐶!4𝑏!𝑎!!

→ 𝐶! =150 ∗ 10!!" ∗ 4 ∗ 1

0,7654! → 𝑪𝟐 = 𝟏,𝟎𝟐𝟒 𝒏𝑭

Para nosso circuito, utilizaremos a combinação de dois capacitores em paralelo de 1 nF,

15pF e 18pF, o que resultara em 2 nF como mostra a equação abaixo.

𝐶!!" = 𝐶! + 𝐶! → 𝐶!!" = 1 ∗ 10!! + 18 ∗ 10!!" + 15 ∗ 10!!" → 𝑪𝟐𝒆𝒒 = 𝟏,𝟎𝟑𝟑 𝒏𝑭

Agora, nos temos que calcular o valor de 𝑅! e 𝑅!

𝑅! =𝑎!𝐶! + 𝑎!!𝐶!! − 4𝑏!𝐶!𝐶!


𝑅!

=0,7654 ∗ 1,033 ∗ 10!! + 0,7654! ∗ 1,033 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!"

4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!"

𝑅! = 88717.57 𝛺 → 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝜴 ∥ 𝟐𝟐𝟎 𝒌𝜴

𝑅! =𝑎!𝐶! − 𝑎!!𝐶!! − 4𝑏!𝐶!𝐶!


𝑅!

=0,7654 ∗ 1,033 ∗ 10!! − 0,7654! ∗ 1,033 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!"

4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!"

𝑅! = 73705,35 𝛺 → 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝒌𝜴 ∥ 𝟐𝟕𝟎 𝒌𝜴

Foi escolhido colocar uma combinação linear de resistores em paralelo para o “stage” 2

para que o circuito implementado na pratica fosse o mais coerente possível com o calculado.

A figura abaixo representa o projeto feito no ISSIS.


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Figura 2 - Projeto implementado no ISSIS

Foram utilizado dois amplificadores operacionais tipo UA741C no projeto. Não foi

utilizado o controle de saída ajustando o offset para esse projeto.

A saída de resposta em frequência para o nosso projeto de filtro Butterworth de quarta

ordem foi simulada usando o ISSIS e esta apresentada na figura abaixo


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Figura 3 - Resposta em frequência no ISSIS

O gráfico acima mostra que a frequência de corte do filtro (em -3dB) foi de 5,07 kHz, o

que mostra que o nosso filtro esta muito bem dimensionado e planejado. O erro associado com a

simulação foi de apenas 1% como mostra o calculo abaixo.

%𝑒 =5 070 𝐻𝑧5000 𝐻𝑧 ∗ 100% = 1,01%


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A função transferência desse filtro foi calculada em dois passos. Primeiramente

calculamos a função transferência do primeiro filtro (stage 1 do filtro) que foi uma função do

segundo grau. Depois nos calculamos a função transferência do segundo filtro (stage 2) que

também foi uma função do segundo grau. Esses cálculos foram baseados no nosso circuito e

foram feitos usando ferramentas computacionais. A função transferência que representa o nosso

filtro Butterworth de quarta ordem é obtida pela multiplicação destas duas funções como

apresentado abaixo.

𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒! 𝑆 =1052188552.19

𝑠! + 59974.7474747𝑠 + 1052188552.19

𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒! 𝑆 =993334575.995

𝑠! + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995

𝐻 𝑆 = 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒1 𝑆 × 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒2 𝑆

𝐻 𝑆 =993334575.995

𝑠! + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995×

993334575.995 𝑠! + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995

𝐻 𝑆 =1.04517526935644657867905 × 10!"

𝑠(2+ 59974.7474747𝑠+ 1052188552.19) ∗ (𝑠2 + 24138.0301967𝑠+ 993334575.995)

Usando o MatLab, encontramos:

Ainda usando o MatLab, traçamos o diagrama de Bode para a resposta em frequência e em fase da função

Transferência encontrada. A figura abaixo representa a gráfico feito em MatLab.


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Figura 4 – Gráfico da função transferência em MatLab

É possível notar que o gráfico de resposta em frequência e fase da nossa função transferência caracterizam

bem o filtro Butterworth de quarta ordem. Para encontrar a frequência de corte, encontramos o ponto de -3dB da

resposta em frequência e calculamos a frequência em Hz como mostrado abaixo:

Figura 5 - Frequência de Corte

𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 =𝒇𝒓𝒂𝒅

𝒔𝟐 𝝅

→ 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 =𝟑,𝟏𝟗∗𝟏𝟎𝟒

𝟐 𝝅→ 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 = 𝟓𝟎𝟕𝟕 𝑯𝒛


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O resultado de 𝑓!"#$% = 5077 𝐻𝑧 condiz com a realidade, já que projetamos o circuito

com uma frequência de corte de 5 kHz. Além disso, a frequência simulada do circuito no ISIS

ficou em 𝑓!"#$% = 5060 𝐻𝑧, ou seja, todas as frequências saíram como o esperado.

Simulação LTSpace O circuito foi simulado no programa LTSpace e os resultados estão apresentados a seguir.

Figura 7 - Diagrama de Bode LTSpace com frequência de corte de 5077 Hz

Figura 6 -‐ Circuito no LTSpace


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Testes em laboratório O circuito implementado em laboratório esta expresso na figura abaixo

Figura 8 - Projeto implementado


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A resposta em frequencia de nosso projeto para frequências baixas está representada na

figura abaixo. O gráfico verde é a saída do filtro e o amarelo é a entrada do filtro. Nela é possível

notar que o nosso filtro tem ganho unitário e que nossa saída apresenta pouco ruído.

Figura 9 - Osciloscópio com f = 100 Hz

O gráfico abaixo representa a frequencia de corte do circuito. Na frequencia de corte, o

sinal de saída de ser 𝑣!"# = 0,707𝑣!". Logo, uma aproximação foi feita devida a dificuldade de

setar valores teóricos esperados no sistema. Portado, a frequencia de corte para o projeto pratico

foi de aproximadamente 5 kHz.

Figura 10 -‐ Frequência de corte do filtro


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𝑣!"# = 0,707𝑣!" → 𝑣!"# = 0,707 ∗ 2 → 𝑣!"# = 1,42 𝑉

𝒗𝒐𝒖𝒕𝑹𝒆𝒂𝒍 = 𝟏,𝟓𝟐𝑽 𝒆𝒎 𝟓 𝒌𝑯𝒛

O ultimo teste que foi realizado foi o de corte de frequências altas. Foi colocado no

gerador de sinais uma onda senoidal de 15 kHz de frequência e observado o comportamento do

filtro.

Figura 11 - Resposta em Frequencia de 15kHz

Podemos observar que a saída é de apenas 800mV enquanto a entrada é de 1,88V (Para

15,2kHz). Isso demonstra a eficiência de nosso filtro, já que ele esta cortando boa parte do sinal

como apresentado no diagrama de resposta em frequência da figura 3.


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Conclusão

Neste trabalho foi possível ver com mais detalhes as características de um filtro passa-

baixa Butterworth com topologia Sallen-Key, o qual apresenta queda acentuada a partir da

frequência de corte, caindo à zero na frequência infinita. Fizemos tanto na prática como em

simulações computacionais um filtro de 4ª ordem com frequência de corte de 5 kHz. A

frequência de corte achada tanto nas diversas simulações, pela função transferência e

experimentalmente foram próximas da que havia sido calculada. O filtro criado além de eficiente

foi projetado de forma a ser o mais fiel possível a frequência de corte projetada. Entretanto,

devido às imperfeições de componentes eletrônicos, houve uma pequena diferença que pode ser

desconsiderada por ser próxima de 1%.


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Referencias

• INSTRUMENTS, Texas. µA741x General-Purpose Operational Amplifiers datasheet. Novembro 1970 –

Revisado em Janeiro 2015.

• INSTRUMENTS, Texas. Chapter 16 Active Filter Design Techniques. PDF document from Texas

Instruments. http://focus.ti.com/general/docs/lit/getliterature.tsp?literatureNumber=sloa088&fil eType=pdf

• Okawa. Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool - http://sim.okawa-denshi.jp/en/OPseikiLowkeisan.htm

Documents

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