UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

IE766 – GUIAMENTO E RADIAÇÃO DE ONDAS

Notas de Aula:

Filtros de Micro-ondas

Lucas Heitzmann Gabrielli

Atualizado em 6 de junho de 2018

Referências

[1] D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4ª ed. Hoboken, NJ: Wiley, 22 de nov. de 2011, 720 pp.,isbn: 978-0-470-63155-3.

[2] W. W. Mumford, “Maximally-Flat Filters in Waveguide”, The Bell System Technical Journal,vol. 27, n.º 4, pp. 684–713, out. de 1948, issn: 0005-8580. doi: 10.1002/j.1538-7305.1948.tb00919.x.

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1 Introdução

Estamos interessados em projetar uma rede passiva e linear de 2 portas com uma resposta emfrequência pré-determinada.

A resposta do ltro está relacionada com os níveis de transmissão nas bandas de passagem erejeição. A g. 1 mostra os tipos típicos de ltros que serão abordados.

L

f

(a) Passa baixas.

L

f

(b) Passa altas.L

f

(c) Passa faixa.

L

f

(d) Rejeita faixa.

Figura 1: Exemplos de ltros típicos.

2 Perda de inserção

Consideramos o ganho do ltro como a magnitude da sua função de transferência. Assim, emtermos de potência:

G(ω) =

√PLPin=

√1 − |Γ(ω)|2 (1)

L(ω) = −20 logG(ω) (2)

Observe que essa é a mesma denição para a perda de inserção em termos da matriz de espalha-mento quando as portas estão casadas, i.e.,

G(ω) = |S21 | (3)

3 Razão de perda de potência

Como Γ é uma razão entre as ondas reetida e incidente, é possível mostrar que

Γ∗(ω) = Γ(−ω) ⇒ |Γ(ω)|2 =M

(ω2)

M(ω2) +Q(ω2)(4)

em que M e Q são polinômios reais.

1

Assim, podemos descrever a razão de perda de potência como:

pL(ω) =PinPL=

1G2(ω)

=1

1 − |Γ(ω)|2= 1 +

M(ω2)

Q(ω2)(5)

L(ω) = 10 logpL(ω) (6)

4 Filtro de Butterworth

O ltro de Butterworth ou binomial apresenta banda passante maximamente plana para umadeterminada ordem de complexidade.

No caso de resposta passa-baixas, escolhemos:

pL(ω) = 1 + k2(ω

ωc

)2n(7)

em que n é a ordem do ltro e ωc é o limite da banda passante.

No limite da banda a razão de perda de potência é 1 + k2. Comumente dene-se esse limitecomo o ponto de 3 dB, de modo que k = 1.

Na banda de rejeição a perda de inserção aumenta a uma taxa de até 20n dB/dec.

4.1 Exemplo

Vamos projetar o protótipo de ltro passa baixas de 2a ordem normalizado da g. 2 para funcionarcomo um ltro de Butterworth:

1 l

c r

Figura 2: Protótipo passa baixas de 2a ordem normalizado.

A frequência de operação também é normalizada, i.e., projetamos o protótipo para ωc = 1:

zin =r − jωrc

1 + ω2r 2c2(8)

Γ(ω) =zin − 1zin + 1

(9)

pL(ω) =1

1 − |Γ(ω)|2(10)

Após algum esforço obtemos pL e igualamos ao ltro normalizado de Butterworth de 2a ordem:

pL(ω) = 1 +14r

[ (1 − r 2

)+

(r 2c2 + l2 − 2r 2lc

)ω2 + r 2l2c2ω4] = 1 + ω4 (11)

Resolvendo a igualdade polinomial, teremos r = 1, l = c =√2.

2

4.2 Normalização

Transformação de impedâncias: a partir dos protótipos normalizados, obtemos os ele-mentos que compõem o ltro multiplicando as impedâncias pelo valor R0 da resistência dafonte.

Escala de frequência: para passar a frequência de corte de 1 para ωc substituímos ω ← ωωc

.

Assim obtemos:

R = rR0 (12)

jωL = jω

ωclR0 ⇔ L =

lR0

ωc(13)

1jωC=ωcR0

jωc⇔ C =

c

ωcR0(14)

Note que no caso especíco de Butterworth, k pode ser também escalado incorporando-o àtransformação de ωc .

4.3 Elementos para ltro de Butterworth

O projeto de ltros pode ser feito a partir de protótipos normalizados. A g. 3 ilustra 2 protótipospassa baixas normalizados utilizando topologia Cauer (escada). Considerando um ltro deButterworth de ordem n, cada elemento do protótipo é calculado através de:

д0 = дn+1 = 1 (15)

дi = 2 sin(2i − 12n

π

), i ∈ 1, 2, 3, . . . ,n (16)

д0 = 1

д1

д2

д3 дn+1

(a) Filtro iniciado com elemento em paralelo.

д0 = 1

д1

д2

д3

дn+1

(b) Filtro iniciado com elemento em série.

Figura 3: Protótipos de ltros passa baixas normalizados com topologia Cauer.

A tabela 1 mostra os valores para ltros de ordens 1 a 8. Note que em todos os casos a cargatem sempre o mesmo valor da impedância de entrada do ltro.

3

Tabela 1: Filtros normalizados de Butterworth de ordens 1 a 8.

n д1 д2 д3 д4 д5 д6 д7 д8 д9

1 2,0000 1,00002 1,4142 1,4142 1,00003 1,0000 2,0000 1,0000 1,00004 0,7654 1,8478 1,8478 0,7654 1,00005 0,6180 1,6180 2,0000 1,6180 0,6180 1,00006 0,5176 1,4142 1,9319 1,9319 1,4142 0,5176 1,00007 0,4450 1,2470 1,8019 2,0000 1,8019 1,2470 0,4450 1,00008 0,3902 1,1111 1,6629 1,9616 1,9616 1,6629 1,1111 0,3902 1,0000

5 Filtro de Chebyshev

Em certas situações é possível aceitar um nível de ondulação xo (ripple) na banda passante doltro em troca de obter-se um corte mais abrupto na banda de rejeição.

Nesse caso, utilizamos um polinômio de Chebyshev Tn para implementar pL :

pL(ω) = 1 + k2T 2n

(ω

ωc

)(17)

A ondulação na banda passante será de 1 + k2 e é determinada pelos requisitos do projeto.

Considerando a assintota Tn(x) ≈ 12 (2x)

n para x 1, a perda de inserção deste ltro tambémaumenta a uma taxa de até 20n dB/dec na banda de rejeição. Porém ela é 6(n − 1) dB maior queno caso Butterworth, como mostram os grácos da g. 4

0 ωc1

1 + k2 Butterworth

Chebyshev

ω

L

(a) Filtros de ordem 3.

1 1.2 1.5 2 2.4 3 4 5 6 7 8 10ωωc

0

20

40

60

L[d

B]

1

2

345678

(b) Butterworth.

1 1.2 1.5 2 2.4 3 4 5 6 7 8 10ωωc

0

20

40

60

L[d

B]

1

2

345678

(c) Chebyshev com ondulação de 0,5 dB.

1 1.2 1.5 2 2.4 3 4 5 6 7 8 10ωωc

0

20

40

60

L[d

B]

1

2345678

(d) Chebyshev com ondulação de 3 dB.

Figura 4: Características dos ltros de Butterworth e Chebyshev e faixas de rejeição para diversas ordens.

4

5.1 Elementos para ltro Chebyshev

Os elementos para o ltro de Chebyshev cosiderando os mesmo protótipos da g. 3 podem sercalculados a partir de:

β = lncoth

[log

(1 + k2

)1.737

]д0 = 1 (18)

γ = sinh(β

2n

)д1 =

2a1γ

(19)

ai = sin(2i − 12n

π

)дi =

4ai−1aibi−1дi−1

, i ∈ 2, 3, . . . ,n (20)

bi = γ2 + sin2

(iπ

n

)дn+1 =

1, para n ímparcoth2

(β4

), para n par

(21)

Note que, diferente do ltro de Butterworth, a impedância de saída é casada com a entradasomente para ltros de ordem ímpar. Valores para esses elementos são dados para os casos deondulação de 0,5 dB e 3 dB nas tabelas 2 e 3.

Tabela 2: Filtros normalizados de Chebyshev de ordens 1 a 8 com ondulação de 0,5 dB

n д1 д2 д3 д4 д5 д6 д7 д8 д9

1 0,6987 1,00002 1,4029 0,7071 1,98413 1,5963 1,0967 1,5963 1,00004 1,6704 1,1925 2,3662 0,8419 1,98415 1,7058 1,2296 2,5409 1,2296 1,7058 1,00006 1,7254 1,2479 2,6064 1,3136 2,4759 0,8696 1,98417 1,7373 1,2582 2,6383 1,3443 2,6383 1,2582 1,7373 1,00008 1,7451 1,2647 2,6565 1,3590 2,6965 1,3389 2,5093 0,8795 1,9841

Tabela 3: Filtros normalizados de Chebyshev de ordens 1 a 8 com ondulação de 3 dB

n д1 д2 д3 д4 д5 д6 д7 д8 д9

1 1,9954 1,00002 3,1014 0,5339 5,80953 3,3489 0,7117 3,3489 1,00004 3,4391 0,7483 4,3473 0,5920 5,80955 3,4815 0,7619 4,5378 0,7619 3,4815 1,00006 3,5047 0,7685 4,6063 0,7929 4,4643 0,6033 5,80957 3,5187 0,7722 4,6392 0,8038 4,6392 0,7722 3,5187 1,00008 3,5279 0,7745 4,6577 0,8089 4,6993 0,8017 4,4993 0,6073 5,8095

6 Outros ltros

Filtro de Cauer (elíptico): apresenta ondulação constante nas bandas passante e de rejeição.Sua descrição é feita a partir de funções racionais elípticas:

pL(ω) = 1 + k2R2n

(ξ ,

ω

ωc

)(22)

5

Filtro de Bessel: apresenta fase linear na banda passante para evitar distorções. A fase dafunção de transferência de tensão deve ser dada por:

Φ(ω) = Aω

[1 + p

(ω

ωc

)2n](23)

τd (ω) =dΦdω(ω) = A

[1 + p (2n + 1)

(ω

ωc

)2n](24)

Vemos que a defasagem de grupo τd exibe uma resposta maximamente plana.

7 Transformações de tipo de resposta

Uma vez projetados os protótipos passa baixas, podemos transformá-lo nas demais formas apartir de transformações da frequência normalizada segundo:

Passa baixas: ω ←ω

ωc(25)

Passa altas: ω ← −ωc

ω(26)

Passa faixa: ω ←ω0

ω2 − ω1

(ω

ω0−ω0

ω

)=

1∆

(ω

ω0−ω0

ω

)(27)

Rejeita faixa: ω ← −ω2 − ω1

ω0

(ω

ω0−ω0

ω

)−1= −∆

(ω

ω0−ω0

ω

)−1(28)

em que ω0 =√ω1ω2.

Por exemplo, considerando pL(ω) projetada para o ltro normalizado, p ′L(ω) para o passa altasequivalente será dado por:

p ′L(ω) = pL(−ωc

ω

)(29)

Por exemplo, um indutor no protótipo passa baixas normalizado terá sua impedância transfor-mada em:

jωдiR0 → −jωc

ωдiR0 =

ωcдiR0

jω(30)

ou seja, se transformará num capacitor no ltro passa altas com capacitância 1ωcдiR0

.

A tabela 4 indica os resultados de cada transformação sobre os indutores e capacitores doprotótipo normalizado passa baixas. Na g. 5 estão ilustradas as transformações em si, mostrandoa correspondência entra as bandas de passagem e rejeição nos diversos casos. Note que, sendopL uma função par, podemos considerar frequências normalizadas negativas sem qualquerimpedimento.

7.1 Exercício

Projete um ltro de 3a ordem com banda de passagem de 10% ao redor de 1GHz. O ltro deveoperar em 50Ω e ter ondulação xa de 0,5 dB.

A solução é dada na g. 6.

6

Tabela 4: Resumo das transformações de tipos de ltros.

Passa baixas Passa altas Passa faixa Rejeita faixa

ω ← ωωc

ω ← −ωcω ω ← 1∆

(ωω0−

ω0ω

)ω ← −∆

(ωω0−

ω0ω

)−1дiR0ωc

1ωcдiR0

∆ω0дiR0

дiR0ω0∆

дiR0∆ω0

1ω0дiR0∆

дiωcR0

R0ωcдi

R0∆ω0дi

дiω0R0∆ дi∆

ω0R0

R0ω0дi∆

ω

ωωc

ωc

1−ωc

−1

(a) Passa baixas

ω

−ωcω

−ωc

1ωc

−1

(b) Passa altas

ω

1∆

(ωω0−

ω0ω

)

−ω1

1

ω2

ω1

−1

−ω2

(c) Passa faixa

ω

−∆(ωω0−

ω0ω

)−1

ω1

1

−ω2

−ω1

−1

ω2

(d) Rejeita faixa

Figura 5: Transformações de tipos de ltros. As bandas de passagem encontram-se destacadas.

7

50Ω 127,0 nH 0,199 pF

0,726 nH 34,91 pF

127,0 nH 0,199 pF

50Ω

Figura 6: Solução do exercício proposto. Note que devido à ordem ímpar do ltro, sua saída é casada em50Ω.

8 Implementação

8.1 Transformação de Richard

A transformação de Richard (Ω = tan(β`)) pode ser usada para implementar redes LC através detocos em curto e em aberto. Descrevemos a reatância XL de um indutor e a susceptância BC deuma capacitor como:

jXL = jΩL = jL tan(β`) (toco em curto com Z0 = L) (31)jBC = jΩC = jC tan(β`) (toco em aberto com Z0 = C

−1) (32)

Ajustando o projeto normalizado para Ω = 1, obtemos ` = λc8 (λc é o comprimento de onda na

frequência de corte do ltro).

Em ω = 2ωc as linhas serão quartos de onda e ocorrerá um polo de atenuação. Contudo, aperiodicidade da transformação (e consequentemente da resposta do ltro) será 4ωc , pois todosos trechos de linha possuem tamanhos iguais.

8.2 Identidades de Kuroda

As 4 identidades de Kuroda, ilustradas na g. 7, auxiliam na implementação prática dos trechosde linha possibilitando a separação física dos tocos, convertendo ligações série em paralelo evice-versa e possibilitando transformar impedâncias características para valores mais práticosde realização.

Exemplo: A g. 8 exemplica um projeto de ltro de Chebyshev de 3a ordem com ondulaçãode 3 dB, impedância de entrada de 50Ω e frequência de corte em 4GHz.

8.3 Inversores de imitância

São circuitos que também permitem converter elementos em série por elementos em paralelo (evice-versa) implementando a transformação:

Zin =K2

ZL(33)

Sua realização pode ser feita através de tocos de quarto de onda ou combinando outros elementos

8

Z1

Z2

≡

m−2Z2

m−2Z1

Z2

Z1

≡

m2Z1

m2Z2

Z2

Z1

≡1 :m2

m−2Z2

m−2Z1

Z1

Z2

≡m2 : 1

m2Z1

m2Z2

Figura 7: Identidades de Kuroda (m2 = 1 + Z2/Z1).

9

д1 д3

д2д1 = д3 = 3,3489д2 = 0,7117

(a) Protótipo normalizado de Chebyshevpara ondulação de 3 dB.

д1 1д2

д3

(b) Implementação segundoa transformação de Richard.

д1 1д2

д3

1 1

(c) Adição de trechos casados que não al-teram a resposta.

m2 1д2 m2

д1 + 1 д1 + 1

(d) Eliminação dos tocos em série(m2 = 1 + д−11 ).

50Ω

50Ω 65Ω 70Ω 65Ω

217Ω 217Ω

(e) Valores denormalizados de impedâncias paracasamento em 50Ω e corte em 4GHz.

0 4 8 12 16 20

Frequencia [GHz]

0

20

40

L[d

B]

(f) Respostas dos ltros ideal e implementado, em que senota o polo em 8GHz a periodicidade de 16GHz.

Figura 8: Exemplo de implementação de ltro usando a transformação de Richard (a-b) e as identidadesde Kuroda (c-d).

10

reativos, como exemplicado na g. 9, em que:

K = Z0 tan(|θ |

2

)(34)

X = Z0

(Z0

K−

K

Z0

)−1(35)

θ = − arctan(2XZ0

)(36)

ZLjXZ0 Z0

θ2

θ2

Figura 9: Exemplo de inversor de impedância.

Caso os tocos apresentem comprimento θ2 negativo, eles podem ser implementados diminuindo-

se o comprimento de tocos adjacentes.

8.4 Aproximação para linha curta

Podemos implementar as reatâncias dos ltros passa baixas aproximando-as por trechos curtosde linhas quando um corte abrupto não for necessário.

Como as linhas projetadas terão comprimentos distintos, a resposta não apresenta periodicidade,mas ainda haverá outras bandas de passagem em frequências além de ωc .

Comparando as matrizes da rede T da g. 14 e de uma linha de transmissão, obtemos:

ABCD =

[cos(β`) jZ0 sin(β`)

jZ−10 sin(β`) cos(β`)

](37) 1

jB = Z12 =AD−BC

Cj X2 = Z11 − Z12 =

AC −

AD−BCC

⇒

B = Z−10 sin(β`)X = 2Z0 tan

(β`2

) (38)

j X2 j X2

jB

Figura 10: Rede T simétrica.

Quando Z0 = ZH é muito alta, então B ≈ 0 e X ≈ ZH β`, i.e., o trecho de linha curto (β` < π4 ,

por exemplo) é equivalente a um indutor em série.

Quando Z0 = ZL é muito baixa, então X ≈ 0 e B ≈ Z−1L β`, i.e., o trecho de linha curto éequivalente a um capacitor em paralelo.

11

Realizando o projeto na frequência de corte com base nos protótipos anteriores, calculamos ostrechos de linhas como:

β`i =дiR0

ZH(indutor) (39)

β`i =дiZL

R0(capacitor) (40)

Após o projeto é preciso vericar a condição de linha curta para garantir a validade das aproxi-mações. Esse tipo de implementação é conhecida como ltro de impedância degrau.

9 Linhas acopladas

As técnicas anteriores apenas se aplicam à implementação de ltros passa baixas. Uma estruturaque permita implementar ltros passa faixa necessariamente deve evitar contato elétrico diretoentre os terminais de entrada e saída para atenuar um sinal de corrente contínua.

Uma opção comum é o uso de linhas acopladas, ilustradas na g. 11 e representadas por impe-dâncias características de modo par (Ze ) e ímpar (Zo ), ou comum e diferencial.

I1 I3

V1 V3

I2 I4V2 V4

z−` 0

Ze ,Zo

a

b

Figura 11: Esquema de linhas de transmissão acopladas.

Utilizamos uma troca de variáveis para analisar a estrutura a m de obtermos sua matriz deimpedância Z .

i1 =

I1+I22

i2 =I1−I22

i3 =I3+I42

i4 =I3−I42

⇔

I1 = i1 + i2

I2 = i1 − i2

I3 = i3 + i4

I4 = i3 − i4

(41)

9.1 Modo par

Analisamos inicialmente o caso i2 = i3 = i4 = 0. As tensões em cada linha serão iguais devido àsimetria e, como as terminações 3 e 4 estão em aberto, podem ser escritas como:

Va1(z) = Vb1(z) = 2V +e cos(−βz) (42)

Na entrada da linha, temos:

Va1(−`) = V1 = Ze, inI1 =Ze

j tan(β`)i1 (43)

12

Assim:Va1(z) = Vb1(z) = Ze

cos(−βz)j sin(β`)

i1 (44)

9.2 Modo ímpar

Para o modo ímpar, analisamos o caso i1 = i3 = i4 = 0. Neste caso as tensões em cada linha deveser opostas, resultando em:

Va2(z) = −Vb2(z) = 2V +o cos(−βz) (45)

Novamente na entrada da linha, temos:

Va2(−`) = V1 = Zo, inI1 =Zo

j tan(β`)i2 (46)

Assim:Va2(z) = −Vb2(z) = Zo

cos(−βz)j sin(β`)

i2 (47)

9.3 Superposição

As análises para correntes i3 e i4 são análogas às anteriores se utilizarmos a transformação decoordenada z ′ = −z − `, resultando em:

Va3(z) = Vb3(z) = Zecos[β(` + z)]j sin(β`)

i3 (48)

Va4(z) = −Vb4(z) = Zocos[β(` + z)]j sin(β`)

i4 (49)

Considerando a superposição dessas soluções, obtemos:

V1 =4∑i=1

Vai (−`) = (50)

=1

j sin(β`)[(Zei1 + Zoi2) cos(β`) + Zei3 + Zoi4] = (51)

=1

j2 sin(β`)[(Ze + Zo) cos(β`)I1 + (Ze − Zo) cos(β`)I2 + (Ze + Zo)I3 + (Ze − Zo)I4] (52)

9.4 Matriz de impedância

A matriz completa do sistema de linhas acopladas é:

Z =1

j2 sin(β`)· (53)

·

(Ze + Zo) cos(β`) (Ze − Zo) cos(β`) (Ze + Zo) (Ze − Zo)(Ze − Zo) cos(β`) (Ze + Zo) cos(β`) (Ze − Zo) (Ze + Zo)(Ze + Zo) (Ze − Zo) (Ze + Zo) cos(β`) (Ze − Zo) cos(β`)(Ze − Zo) (Ze + Zo) (Ze − Zo) cos(β`) (Ze + Zo) cos(β`)

(54)

13

Para utilizar essa rede num ltro, devemos escolher 2 portas como entrada e saída e terminar asdemais. Das diversas escolhas possíveis, nos interessa utilizar a transmissão entre as portas 1 e4 com as portas 2 e 3 em aberto, pois esta conguração resulta numa resposta passa faixa defácil implementação.

Z ′ =

[Z11 Z14Z41 Z44

]=

1j2 sin(β`)

[(Ze + Zo) cos(β`) (Ze − Zo)(Ze − Zo) (Ze + Zo) cos(β`)

](55)

9.5 Banda de passagem

A banda de passagem é determinada pelo casamento da matriz S correspondente à matriz 2×2anterior:

S11 =Z 211 − Z

214 − Z

20

(Z0 + Z11 − Z14)(Z0 + Z11 + Z14)= 0 ⇔ (56)

⇔ Z0 = ±

√Z 211 − Z

214 = ±

√(Ze − Zo)2 − (Ze + Zo)2 cos2(β`)

sin2(β`)(57)

Devido à simetria da rede podemos utilizar a mesma impedância de referência em ambas asportas, resultando em Z0 escalar.

Para garantir Z0 ∈ R∗+, obtemos bandas de passagem em:

mπ +ψ < β` < (m + 1)π −ψ , ψ = arccos(|Ze − Zo |

Ze + Zo

), ∀m ∈ Z (58)

i.e., ao redor de β` = π2 (com periodicidade π ).

9.6 Aproximação

Desejamos usar os trechos de linhas acopladas estudados para implementar os protótipos deltro passa faixas, mas para tanto devemos associá-los a redes LC convenientes.

Primeiramente mostramos que a resposta da rede representada por Z ′ pode ser aproximadapela cascata de 3 tocos da g. 12, cuja matriz ABCD é dada por:

ABCD =[

cosθ jZ0 sinθjZ−10 sinθ cosθ

] [0 −jK

−jK−1 0

] [cosθ jZ0 sinθ

jZ−10 sinθ cosθ

]= (59)

=

(KZ0+

Z0K

)sinθ cosθ −j

(K cos2 θ − Z 2

0K sin2 θ

)−j

(1K cos2 θ − K

Z 20sin2 θ

) (KZ0+

Z0K

)sinθ cosθ

(60)

Z0 K Z0

θ 3λ4

θ

Figura 12: Rede de 3 tocos em cascata.

14

Igualando a matriz anterior à matriz das linhas acopladas, obtemos:

ABCD =

[Z11Z41

|Z ′ |Z41

1Z41

Z44Z41

]=

Ze+ZoZe−Zo

cos(β`) (Ze+Zo )2 cos2(β`)−(Ze−Zo )2j2(Ze−Zo ) sin(β`)

j2 sin(β`)Ze−Zo

Ze+ZoZe−Zo

cos(β`)

⇔ (61)

⇔

Ze+ZoZe−Zo

= KZ0+

Z0K

Ze−Zo2 =

Z 20K

⇔

Ze = Z0

(1 + Z0

K +Z 20

K 2

)Zo = Z0

(1 − Z0

K +Z 20

K 2

) (62)

em que utilizamos θ = β`, sinθ ≈ 1 e cos2 θ ≈ 0.

O objetivo agora é utilizar uma sequência dessas redes para implementar um protótipo passafaixa. Devido às aproximações utilizadas, essa implementação não se preza à síntese de ltroscom banda muito larga.

9.7 Cadeia de linhas acopladas

Consideramos uma rede com n + 1 trechos de linhas acopladas, substituídas pelos modelos de 3tocos respectivos. Os tocos inicial e nal da rede podem ser ignorados porque estão casados àsimpedâncias de entrada e saída do ltro (Z0), resultando na rede da g. 13.

K1 Z0 K2 Z0 Z0 Kn+1

3λ4

2θ 3λ4

2θ 2θ 3λ4

Figura 13: Rede com n + 1 trechos de linha acopladas representadas por cascatas de 3 tocos.

O próximo passo é trocar cada um dos os n trechos de comprimento 2θ por um paralelo LC.

9.8 Modelo LC

A linha de comprimento 2θ pode ser representada por uma rede T como a da g. 14:

ABCD =[

cos(2θ ) jZ0 sin(2θ )jZ−10 sin(2θ ) cos(2θ )

]= (63)

= −

[1 + YZ Z (2 + YZ )

Y 1 + YZ

]⇔ (64)

⇔

Y = sin(2θ )

jZ0

Z = Z0j tan θ

(65)

Z Z

Y

1 :−1

Figura 14: Rede T com transformador inversor. O transformador pode ser ignorado por não alterar aimpedância (resposta) da rede.

15

Considerando ω0 a frequência central, em que θ ≈ π2 , a impedância Z → 0 e pode ser ignorada,

deixando apenas:

ω0

vp` =

π

2⇒ θ =

ω0 + ∆ω

vp` =

π

2

(1 +

∆ω

ω0

), ∆ω = ω − ω0 (66)

Y = −jZ−10 sin[π

(1 +

∆ω

ω0

)]≈ j

π

Z0ω0(ω − ω0) (67)

Próximo à ressonância, a admitância de uma rede paralela LC é dada por:

Y =1

jωL+ jωC ≈ j2C(ω − ω0), ω0 =

1√LC

(68)

Comparando essa resposta à anterior, podemos substituir os trechos de linha com comprimento2θ por um paralelo LC com:

C =π

2Z0ω0, L =

2Z0

πω0(69)

resultando numa rede equivalente ilustrada na g. 15.

K1 K2 Kn+1

3λ4

3λ4

3λ4

L C L C L C

Figura 15: Rede de linhas acopladas com equivalentes LC.

9.9 Entrada e saída

O inversor de impedância K1 pode ser substituído pela rede da g. 16. Novamente o trechoinicial de linha com impedância Z0 pode ser removido sem alteração na resposta do ltro. Ummodelo simétrico pode ser utilizado para eliminar o inversor na saída da rede, restando aí apenasum transformador com relação 1 : Nn+1.

3λ4

N1 : 1

Z0 N1 =Z0

K1

Figura 16: Equivalente do inversor de impedância K1.

16

9.10 Síntese do protótipo

Realizamos a síntese do protótipo igualando sua resposta à da rede obtida. No caso n = 2, porexemplo, a admitância na entrada da rede (terminada em Z0) é:

Yin =1N 21

[jωC +

1jωL+

1K22

(jωC +

1jωL+ N 2

31Z0

)−1]= (70)

=K21

Z 20

jν√C

L+

1K22

(jν

√C

L+Z0

K23

)−1(ν =

ω

ω0−ω0

ω

)(71)

Igualando-se à impedância do protótipo passa faixa:

Yin = jωC1 +1

jωL1+

(jωL2 +

1jωC2

+ Z0

)−1= jν

√C1

L1+

(jν

√L2C2+ Z0

)−1(72)

obtemos as soluções para K1, K2 e K3 em termos das reatâncias do protótipo.

9.11 Caso geral

Resolvendo a rede para o caso geral é possível obtermos a seguinte solução:

Z0

K1=

√π∆

2д1(73)

Z0

Kn+1=

√π∆

2дnдn+1(74)

Z0

Ki=

π∆

2√дi−1дi, i ∈ 2, 3, . . . ,n (75)

Com esses valores é possível calcular as impedâncias características dos modos par e ímpar daslinhas acopladas para a confecção do ltro desejado.

17