FINAS SEMI-ESPESSAS€¦ · •Rogério José Marczak •Resistência dos Materiais Avançada •3 n Aspectos indispensáveis para compreensão das teorias de placas: uAs placas podem

•Rogério José Marczak

•Resistência dos Materiais Avançada •1

FLEXÃO DE PLACAS

FINAS (Kirchhoff)

e

SEMI-ESPESSAS(Mindlin/Reissner)

Flexão de placasn Serão analisados problemas de geometria

plana (curvatura nula). n Os carregamentos levam em conta momentos e

cargas transversais, apenas.n O problema referente a cargas longitudinais

(membrana) podem ser resolvidos separadamente e superpostos aos resultados de placa (regime linear elástico).



n A teoria de placas é uma das mais importantes teorias estruturais:

Barras

Vigas

Placas

Cascas

Membranas

uTeoria de Kirchhoff-Love.

uContrapartida 2D da teoria de vigas de Euler-Bernoulli (hipótese das seções planas).

uDespreza o efeito das deformações cisalhantes transversais.

uBons resultados para espessura < 10 vezes as dimensões laterais da placa.

n Teoria de placas finas:



n Aspectos indispensáveis para compreensão das teorias de placas:

uAs placas podem ser consideradas finas ou não (influência do cisalhamento).

u “All you need is love...” (Beatles, 1968).

uKirchhoff se escreve com dois h’s.

uFlambagem não tem apenas significado culinário.

n Definições geométricas - placa plana:

x

y

z

2h

2h

Superfície de referência

Premissa: O comportamento de qualquer ponto (x,y,z) da placa pode ser completamente descrito pelo comportamento da superfície de referência (x,y).



n Campo de deslocamentos:

uHipótese das seções planas:

F “As linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície de referência da placa permanecem retas e perpendiculares à esta após a flexão ocorrer”.

F “Quaisquer linhas originalmente paralelas ao eixo zpemanecem inextensíveis”. Ou seja, a espessura hpermanece constante.

'A

yθ

x

dx

y

z

A

),( yxw),( yxu

B

'B 'A

xθ

y

dy

z

z

A

),( yxw),( yxv

B

'B

h

uGraficamente:



),(),,(),(),,(

),(),,(

yxwzyxwzyxzyxv

zyxzyxu

x

y

=

θ−=

θ−=

uCampo de deslocamentos:

0

2

2

2

2

=ε∂∂

−=ε

∂∂

−=ε

zz

yy

xx

ywz

xwz

0

22

=γ=γ

∂∂∂

−=γ

yzxz

xy yxwz

uCampo de deformações:

xwyx

ywyx

y

x

∂∂

=θ

∂∂

=θ

),(

),(

ywzv

xwzu

∂∂

−=

∂∂

−=

uCampo de tensões:

yx,

z

z

yx,

yyxx σσ ,

yzxz ττ ,xyτ

{ } [ ]{ }ε=σ C

00

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≅σ=τ=τ

∂∂

=τ

∂∂

υ−∂∂

υ−−

=σ

∂∂

υ−∂∂

υ−−

=σ

zzyzxz

xy

yy

xx

xywGz

xw

ywzE

yw

xwzE



uEsforços internos (tensões resultantes):

dzQ

dzQ

h

hyzy

h

hxzx

∫

∫+

−

+

−

τ=

τ=

2/

2/

2/

2/

dzzM

dzzM

dzzM

h

hxyxy

h

hyyyy

h

hxxxx

∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

τ=

σ=

σ=

2/

2/

2/

2/

2/

2/

Membrana Esforço cortante Flexão

dzN

dzN

dzN

h

hxyxy

h

hyyyy

h

hxxxx

∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

τ=

σ=

σ=

2/

2/

2/

2/

2/

2/

x

yz

uEquações diferenciais de equilíbrio:

xQ

yQyyM

xxM

xyMxyN

xxN

yyN

xyM

xyN

zq

zF

dx

dy

h



0=+∂

∂+

∂∂

zyx q

yQ

xQ

0

0

=+∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

yxyyy

xxyxx

Qx

My

M

Qy

Mx

M

Substituindo-se as duas últimas na primeira:

022

2

2=+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

zyyxyxx q

yM

yxM

xM

Equação diferencial de placas finas em termos dos esforços internos.

Substituindo-se as definições de esforços internos:

∂∂

υ+∂∂

=

∂∂

υ+∂∂

=

2

2

2

2

2

2

2

2

xw

ywDM

yw

xwDM

yy

xx

( )yx

wDM xy ∂∂∂

υ−=2

1

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2

2

yw

xw

xDQx

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2

2

yw

xw

yDQy

Onde:

( )2

3

112 υ−=

EhD

Módulo de rigidez à flexão da placa



Dq

yw

yxw

xw z−

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

42

Equação diferencial de placas finas em termos dos deslocamentos.

- Equação de Navier -

Substituindo as últimas equações na equação diferencial do problema:

Ou:

Dqw z−=∇4

uProblemas:

FAo se verificar o equilíbrio de um elemento diferencial da placa contendo um canto vivo, conclui-se que o equilíbrio não é verificado na direção z . Isto é, somente o esforço cortante não é suficiente para equilibrar qz.

FEntão define-se o esforço cortante efetivo:

• Levam ao aparecimento de cargas concentradas nos cantos.

∂

∂−=

xM

QV xyxx

∂

∂−=

yM

QV xyyy



uPor que precisamos desta nova variável ?

FEstá se impondo um estado plano de deformações (EPD) a um estado plano de tensões (EPT), o que é incoerente do ponto de vista da elasticidade.

FCausa: o efeito das deformações cisalhantes está sendo desprezado.

FConsequência: Ficam sobrando condições de contorno para serem impostas. A solução então é condensar duas condições de contorno em uma (momento torçor e esforço cortante) - o esforço cortante efetivo.

uCondições de contorno clássicas:

tn

tn

t

n

0== nn VM

0== nMw

0=∂∂

=nww

Aresta livre

Aresta apoiada

Aresta engastada



uTensões:

2

3

3

6

12

12

max hM

hN

hMz

hN

hM

zh

N

xyxyxy

xxyyyy

yyxxxx

+=τ

+=σ

−=σyx,

z

yyxx σσ ,

yx,

zyyxx σσ ,

Flexão

Membrana

uSoluções típicas:

FPlacas circulares: Permitem solução analítica fechada para muitos casos (coordenadas polares).

FPlacas retangulares: Normalmente utilizam soluções baseadas em séries infinitas (Navier, Levy, Marguerre etc.).

FOutras geometrias: • Existem soluções para algumas (placas elípticas,

triangulares, trapezoidais, rômbicas...).• Técnicas de mapeamento conforme.• Outros métodos aproximadados (Rayleigh-Ritz)



Apêndice

ALGUMAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA

PLACAS

A.1 Placas retangulares apoiadasn Carregamento senoidal:

n E.D.:

bπy

aπxqq sinsin0=x

y

a

b

bπy

aπx

Dqw sinsin02 =∇



n Condições de contorno:

n Solução geral:

b,Mwa,xMw

yy

xx

0y em000 em00

======

00 2

2

2

2=

∂∂

=∂∂

yw

xw

by

axCw ππ

= sinsin

n Deslocamento transversal:

n Momentos fletores:

by

ax

Dqw ππαπ

= sinsin40

( )by

ax

abqM

by

ax

baqM

by

ax

baqM

xy

yy

xx

ππαπ

υ−=

ππ

+

υαπ

=

ππ

υ

+απ

=

coscos1

sinsin1

sinsin1

40

2240

2240

2

2211

+=α

ba



n Esforços cortantes:

n Reações vinculares:

by

ax

bqQ

by

ax

aqQ

y

x

πππα

=

πππα

=

sinsin

coscos

0

0

ax

babqV

by

baaqV

y

x

π

+

υ−πα−

=

π

υ−

+πα−

=

sin12

sin21

220

220

ax

xyxx y

MQV

=∂∂

−=

by

xyyy x

MQV

=∂∂

−=

xV

yV

n Soma das reações:

( )ab

qabqdyVdxVdsVb

xa

y απυ−−

−π

−=+= ∫∫∫ 20

20

00

18422

20

0 0 04sinsin

π== ∫ ∫∫ ∫

abqdxdybπy

aπxqdAq

a b?



ε

n Reações nos cantos:

tMQV nt

tt ∂∂−= ( )

( )

( )baM

dsVR

xy

ba

ba t

,2

lim,

,0

−=

= ∫ε−

ε−→ε

( )ab

qRαπυ−

= 2012

R

RR

No mesmo sentido do

carregamento

Solução de Navier (1820)

( )yxfq ,=

( ) ∑∑∞

=

∞

=

ππ=

1 1cossin,

m nmn b

yna

xmayxf

n Carregamento genérico:

n Expansão - série dupla:

x

y

a

b



n Coeficientes de Fourier:


( )∫ ∫=a b

nm dxdyb

nππa

mππyxfab

a0 0

sinsin,4

byn

axma

Dw

m n

mn ππαπ

= ∑ ∑∞

=

∞

=

sinsin1

,...3,1 ,...3,14

2

2

2

2

2

+=α

bn

am

x

y

n Caso particular: 0qq =

∑ ∑∞

=

∞

=

ππαπ

=,...3,1 ,...3,1

40 sinsin116

m n byn

axm

mnDqw

Série converge rapidamente

ímpar) ,(

161 1

2

2

2

2

260

nmbn

ammn

bynsen

axmsen

Dqw

m n∑∑∞

=

∞

=

+

ππ

π=



x

y

x

y

x

y

x

y

w xxM

yyM xyM

x

yxQ

x

yyQ

n Esforços:



n Caso particular - placa quadrada sob carregamento uniforme:

uUsando apenas o primeiro termo da série:

uErro 2,5%.

n Caso particular - placa retangular com carga distribuída sobre uma área retangular.

3

40

max 0454,0Eh

aqw =

Solução de Lévy (1899)

x

y

a

b

( )yxfq ,=

( )yYYa

xmYw mmm

m =π

= ∑∞

=1sin

n Carregamento genérico:

n Expansão - série simples:



n Coeficientes de Fourier:


02 4

44

2

22=

π+′′

π− m

IVm Y

amY

amY

axm

by

by

by

mDqaw

m

m

m

m

m

m

mm

π

αα

α+

+

αα

+αα−

π= ∑

∞

=

sin2sinhcosh2

2

2coshcosh2

2tanh114

,...3,155

4

abm

m 2π

=α

x

y

n Caso particular: 0qq =

Série converge rapidamente



x

y

x

y

x

y

x

y

w xxM

yyM xyM

n Esforços:

x

yxQ

x

yyQ

n Esforços:



n Soluções tabulares:

uPlaca quadrada sob carga uniforme:

uCuidado com parametrizações diferentes:

uPlacas retangulares:

Daqw

40

max 00406,0=

Naviermax3

40Lévy

max 98,00443,0 wEh

aqw ==

Daqw

40

max α=Tabelas - f(a/b)

100Navier

LévyNavier

×−

w

ww

x

n Comparação - w:



100Navier

LévyNavier×

−

x

xx

QQQ

100Navier

LévyNavier×

−

xx

xxxx

MMM

x

x

n Comparação - Mxx:

n Comparação - Qx:

A.2 Placas retangulares com condições de contorno diversas



A.3 Placas finas circularesn Coordenadas polares

n Axissimetria

n E.D.:

Dq

drdwr

drd

rdrdr

drd

r=

11

r

a

+υ−=

υ+−=

drdw

rdrwdDM

drdw

rdrwdDM ttnn

12

2

2

2

n Momentos:

n Esforço cortante:

=

drdwr

drd

rDQ 1



n Caso particular:

n Solução geral:

022 qrQr π=π

0qq =

32

21

40 log

464C

arCrC

Drqw +++=

20rqQ =

r

a

Placas fina circular engastada

n Carregamento uniforme

n Solução:224

0 164

−=

ar

Daqw

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]υ+−υ+=υ+−υ+= 31116

3116

220220 raqMraqM ttnn



r

a

Placas fina circular apoiada


n Solução:

( )

−

υ+υ+−

= 2222

0

15

64ra

Draqw

( )( ) ( ) ( )[ ]υ+−υ+=−υ+= 31316

316

220220 raqMraqM ttnn

r

a

Placas semi-espessa circular engastada


n Solução (Dym pp.339):

( )

−

υ−κ+

−=

2

2

220

2240 1

1241

64 ar

Dhaq

ar

Daqw

Kirchhoff parcela devido ao cisalhamento



Solução unificada para placas circulares engastadas:

−+

−=

22240 211

64 arC

ar

Daqw

0

116

230

=φ

−=φ

t

n ar

ar

Daq


n Rotações:

( ) ( )

( ) ( )

υ+−′+υ+=

=

υ+−′+υ+=

220

220

311116

031116

arCaqM

MarCaqM

tt

ntnn

n Momentos:

n Esforços cortantes:

020

=

−=

t

n

QaraqQ



n Constantes:

uModelo de Kirchhoff:

uModelo de Mindlin:

uModelo de Reissner:( )

CCahC

=′

υ−κ=

2

2 134

( )0

134 2

2

=′

υ−κ=

CahC

0=′= CC

100=ha

r

w

n Deslocamentos:

Reissner

Mindlin

Kirhhoff



r

r

10=ha

5=ha

w

w

ReissnerMindlin

Kirhhoff

ReissnerMindlin

Kirhhoff

r

r

100=ha

5=ha

nnM

nnM

ReissnerMindlinKirhhoff

Mindlin

Kirhhoff

Reissner

n Momentos:

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