Finitude das Algebras de Rees associadas a filtrac˘oes ... · (Malba Tahan) Agradecimentos Agrade˘co a Deus, por iluminar a minha vida e por me dar for˘ca e empenho na ... com

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matematica

Programa de Pos-Graduacao em Matematica

Dissertacao de Mestrado

Finitude das Algebras de Reesassociadas a filtracoes monomiais

Manuela da Silva Souza

Salvador-Bahia

Fevereiro de 2009



Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do Tıtulo de Mestre em

Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira

Bahiano.

Salvador-Bahia

Fevereiro de 2009

Souza, Manuela da Silva.

Finitude das Algebras de Rees associadas a filtracoes monomiais /

Manuela da Silva Souza. – Salvador, 2009.

45 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

Dissertacao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matematica, Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2009.

Referencias bibliograficas.

1. Algebra. 2. Aneis (Algebra). 3. Aneis comutativos. I. Bahiano,

Carlos Eduardo Nogueira. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matematica. III. Tıtulo.

CDD - 512.4



Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do Tıtulo de Mestre em

Matematica, em 06 de fevereiro de 2009.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)

UFBA

Prof. Dr. Jose Fernandes Silva Andrade

UFBA

Prof. Dr. Paulo Roberto Brumatti

UNICAMP

A minha mae.

Aquele que toma a realidade e faz um sonho e um

artista. Tambem sera um artista aquele que do sonho

fizer a realidade.

(Malba Tahan)

Agradecimentos

Agradeco a Deus, por iluminar a minha vida e por me dar forca e empenho na

conduta dos meus estudos.

Aos meus pais, meus irmaos e minha madrinha, pelo afeto, carinho e compreensao

em todos os momentos.

Ao meu amado Teles (Meu Bem), meu companheiro e cumplice, por tornar a

minha vida mais feliz e colorida.

A meu orientador, meu “teacher”Bahiano, pela disponibilidade, pela paciencia e

por puxar as minhas orelhas, sempre que necessario.

Aos professores Ze Fernandes e Paulo Brumatti, pelas sugestoes feitas a dis-

sertacao, em especial, a Ze Fernandes, um conselheiro sabio, pelo exemplo de vida.

Ao professor Enaldo, pelo incentivo, pelo carinho e principalmente pela generosi-

dade.

A toda equipe do Laboratorio de ensino de matematica da UFBA

(LEMA-UFBA), em especial, a professora Lina e a Fabiana, pelo aprendizado e por todos

os nossos momentos juntos.

A professora Cecılia, por ter me ensinado a olhar a matematica com outros olhos,

ainda no tempo da escola, e pela torcida.

As “super-poderosas”, Fa, Liu e Vanessinha, sinonimos de amizade e companhe-

rismo, pela parceria academica durante esses 6 anos e por tornar essa caminhada mais

suave e alegre.

As minhas amigas da epoca do Serravalle, Mag e Edilene e a Isis, pelo carinho e

por entender os momentos que nao pude estar presente.

A Joao Paulo (JP), pelo apoio com o latex.

Aos meus colegas de turma, Tiago e Luide, e a todos os familiares, amigos,

professores e funcionarios do IM-UFBA que contribuiram de forma direta ou indireta

nesta conquista ou que torceram por mim.

Para finalizar, a CAPES pelo apoio financeiro.

Resumo

Neste trabalho mostra-se que as Algebras de Rees associadas a certas filtracoes,

em particular, a filtracao simbolica associada a ideais monomiais, sao finitamente

geradas. Alem disso, apresenta-se um estudo introdutorio sobre as algebras de cober-

tura de vertices associadas a grafos simples e mostra-se que essas algebras configuram um

caso particular das Algebras de Rees simbolicas associadas a ideais monomiais.

Palavras-chave: Algebras de Rees; Ideais monomiais; Cone racional; Aneis de semi-

grupo; Potencias simbolicas.

Abstract

In this work we deal with Rees algebras associated to some filtrations, in

particular, we show that those associated with symbolics filtrations related to monomials

ideals are finitely generated. The vertex cover algebras associated to simple graph are

introduced and also presented as a particular case of symbolic Rees algebras of monomial

ideals.

Keywords: Rees Algebras; Monomial Ideals; Rational cone; Semigroup rings;

Symbolic Powers.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ideais monomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Decomposicao primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Aneis de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Potencias simbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Algebras de Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Cone racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Geracao Finita de Semigrupos Afins 20

3 Algebras de Rees simbolicas de ideais monomiais 29

3.1 Geracao finita das Algebras de Rees simbolicas de ideais monomiais . . . . 29

3.2 Algebras de cobertura de vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Conclusao 43

Referencias 44

Introducao

Nas ultimas quatro decadas, o estudo detalhado de certas algebras (aneis) especi-

ais ganharam muito impulso em algebra comutativa devido a relacao mais profunda dessa

area com a geometria algebrica, a combinatoria e a computacao. E o caso das Algebras de

Rees associadas a uma filtracao. Formalmente, se B e um anel comutativo com unidade

e = = Inn∈N uma filtracao multiplicativa de ideais em B, a Algebra de Rees associada a

= e a B−algebra R=(B) =⊕n≥0

Intn. Essas algebras foram introduzidas pelo matematico

ingles David Rees para provar o lema de Artin-Rees (1956) sobre filtracoes de modulos.

Se considerarmos R=(B) como uma subalgebra de B[t] surge naturalmente a per-

gunta: Uma vez que B[t] e uma B−algebra finitamente gerada, R=(B) possui geracao

finita? Em geral, a resposta e nao. Um contra exemplo foi encontrado, por exemplo,

por Nagata em [10]. Diante da resposta negativa, buscam-se hipoteses razoaveis com

o intuito de encontrar uma resposta positiva que possa ser generalizada em funcao de

caracterısticas e invariantes dos ideais da filtracao, ja que para um mesmo anel B, a

depender da escolha da =, R=(B) pode ter ou nao geracao finita.

A nocao de potencia simbolica foi introduzida por W. Krull na decada de 30 (do

seculo passado). Trata-se de um objeto extremamente natural em algebra comutativa,

cujo primeiro significado geometrico foi dado por Oscar Zariski. Cerca de 20 anos depois,

Hochester chamou a atencao para o comportamento peculiar desses objetos quando se

considerava o caso de certos ideais primos. Paralelamente, varios pesquisadores deram

inıcio ao estudo abstrato das filtracoes simbolicas, isto e, filtracoes dadas pelas potencias

silmbolicas de um mesmo ideal, introduzindo formalmente a Algebra de Rees simbolica.

No caso particular em que o ideal e primo em um anel noetheriano, em 1985 Cowsik

questionou se a Algebra de Rees simbolica associada seria sempre finitamente gerada.

P. Roberts foi o primeiro a encontrar um contra-exemplo para essa conjectura baseado

no contra-exemplo de Nagata citado no paragrafo acima. Em 1988, gracas ao trabalho

de Lyubeznik – On arithmetical rank of monomial ideals – sabe-se que a Algebra de Rees

simbolica de ideais monomiais gerados por monomios livres de quadrado tem tipo de

geracao finita (veja [8]). Tal resultado foi estendido para qualquer ideal monomial com

o trabalho de Herzog, Takayuki e Trung, publicado em 2007, intitulado Symbolic Powers

1

Introducao 2

of monomial ideals and vertex cover algebras (ver ref. [6]), e esse mesmo artigo motivou

o presente trabalho.

Os objetos de estudo desta dissertacao sao as algebras de Rees associadas a certas

filtracoes monomiais, em particular, a filtracao simbolica. Nosso principal objetivo e

mostrar que as Algebras de Rees simbolicas de ideais monomiais de K[x1, x2, . . . , xr],

K um corpo, sao finitamente geradas.

A leitura deste texto pressupoe, naturalmente, conhecimentos sobre a teoria de

aneis, modulos e algebras. Definicoes e resultados dessa natureza podem ser encontrados

por exemplo em [1] ou [13]. E possıvel que um leitor principiante considere a leitura dessas

referencias um tanto difıceis. Se tal acontecer, o leitor pode troca-las por [7].

A dissertacao esta dividida em tres capıtulos. No primeiro capıtulo aborda-se as

ferramentas, conceitos e resultados necessarios para a compreensao dos capıtulos seguintes.

O capıtulo 2 trata dos semigrupos afins finitamente gerados e da relacao que existe en-

tre o fato da intersecao de uma colecao finita deles ainda ser finitamente gerada e as

Algebras de Rees associadas a = = J1n ∩ J2

n ∩ . . . ∩ Jsnn∈N, no qual J1, J2, . . . , Js e

uma colecao de ideais monomiais, ser tambem finitamente geradas. No ultimo capıtulo,

mostra-se o resultado principal desta dissertacao, apresenta-se um estudo introdutorio

sobre as algebras de cobertura de vertices associadas a grafos simples e mostra-se que o

numero de coberturas de vertices indecomponıveis associadas a esses grafos e finito. A

dissertacao contem ainda um exemplo em que os geradores das estruturas estudadas sao

explicitamente calculados.

Destacamos que, para os fins deste trabalho, aneis serao sempre aneis comutativos

com unidade (nao nula!).

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo faremos uma breve discussao de alguns conceitos e resultados que

serao muito uteis nesta dissertacao. O capıtulo esta organizado em 5 secoes cujos tıtulos

sao palavras chaves deste trabalho. As secoes 1.1, 1.3 e 1.4 consistem, respectivamente,

dos seguintes topicos de algebra comutativa: ideais monomiais, potencias simbolicas e

Algebras de Rees. A leitura desta parte pode ser dispensada ou apenas usada para

eventuais consultas, caso o leitor tenha feito um curso de algebra comutativa. A secao 1.2

aborda um pouco sobre os aneis de semigrupos e a ultima secao, cones racionais, trata de

um topico de analise convexa de muita utilidade neste contexto e grande apelo intuitivo.

Lembrando mais uma vez, sempre que usarmos o termo anel estaremos nos

referindo a anel comutativo com unidade.

1.1 Ideais monomiais

Seja p ∈ K[x1, x2, . . . , xr], K corpo. Da teoria elementar de aneis, sabemos que

se cada termo de p pertence a um ideal I entao p ∈ I. No entanto, a recıproca pode nao

ser verdadeira, mesmo quando p encontra-se em sua forma normal (sem parcelas redun-

dantes). Nesta secao, estudaremos uma classe especial de ideais, os ideais monomiais,

em que a recıproca e sempre valida, desde que p esteja em sua forma normal. Alem

disso, por se tratar de uma importantıssima ferramenta neste trabalho, caracterizaremos

a decomposicao primaria desses ideais.

Denote Xα := x1α1 . . . xr

αr com α = (α1, · · · , αr) ∈ Nr.

1.1.1 Definicao e propriedades

Definicao 1.1.1. Seja I ⊂ K[x1, x2, . . . , xr] um ideal. Dizemos que I e um ideal monomial

se I = 〈Xα; α ∈ Λ ⊂ Nr〉, para algum Λ ⊂ Nr nao vazio, ou seja, I e gerado por uma

colecao nao vazia de monomios.3

Preliminares 4

Lema 1.1.2. Seja I um ideal monomial gerado por Xα; α ∈ Λ ⊂ Nr. Dado f perten-

cente a K[x1, x2, . . . , xr] em sua forma normal entao f ∈ I se, e somente se, cada termo

de f e divisıvel por algum Xα.

Demonstracao. Se f ∈ I entao f =s∑i=1

giXα(i) com gi ∈ K[x1, x2, . . . , xr] e α(i) ∈ Λ.

Escrevendo cada gi como soma de termos e distribuindo os produtos, encontramos que

cada termo aβXβ de f com aβ 6= 0 tem β = α(i) + γ para algum α(i) ∈ Λ e γ ∈ Nr.

A recıproca e imediata.

2

Note que pelo teorema da base de Hilbert (ver [1]), K[x1, x2, . . . , xr], K um corpo,

e um anel noetheriano, ou seja, se I e um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] entao existe um

conjunto finito de polinomios que geram I. Em particular, se I e um ideal monomial,

pelo lema 1.1.2 e possıvel verificar facilmente que I e gerado por uma colecao finita

de monomios, mais precisamente, pela colecao de monomios associados aos termos dos

polinomios geradores.

O teorema a seguir apresenta uma demonstracao alternativa para este resultado.

Teorema 1.1.3. Se I = 〈Xα; α ∈ Λ ⊂ Nr〉 entao ∃ α(1), . . . , α(k) ∈ Λ tais que

I = 〈Xα(1), . . . , Xα(k)〉. Em outras palavras, todo ideal monomial e gerado por uma colecao

finita de monomios.

Demonstracao. Vamos mostrar essa afirmacao por inducao no numero de variaveis.

Se r = 1 entao I e gerado por xa11 , x

a21 , . . . com ai ∈ Λ ⊂ N.

Seja α = minai; ai ∈ Λ. Entao xα1 divide todos os outros geradores de I. Logo,

I = 〈xα1 〉.Suponha a afirmacao valida para r ≥ 1 e denote a variavel xr+1 por y.

Observe que todo monomio de K[x1, x2, . . . , xr, y] pode ser escrito da forma Xβym com

β ∈ Nr e m ∈ N.Seja I = 〈Xβ; Xβym ∈ I para algum m ∈ N〉. Por construcao, I e um ideal

monomial de K[x1, x2, . . . , xr]. Assim, por hipotese de inducao, I e gerado por uma lista

finita de monomios, isto e:

I = 〈Xβ(1), . . . , Xβ(s)〉. (1.1)

Consequentemente, ∃ m(1),m(2), . . . ,m(s) ∈ N tais que Xβ(i)ym(i) ∈ I, i ∈ 1, 2, . . . , s.Tomando m0 = maxm(1),m(2), . . . ,m(s) temos que

Xβ(i)ymo ∈ I, ∀ i ∈ 1, 2, . . . , s. (1.2)

Por outro lado, para cada k ∈ N, 0 ≤ k ≤ m0, considere Ik = 〈Xβ; Xβyk ∈ I〉. Mais

uma vez, usando a hipotese de inducao, para cada k temos:

Ik = 〈Xβk(1), . . . , Xβk(tk)〉. (1.3)

Preliminares 5

Pela definicao de Ik,

Xβk(j)yk ∈ I, j ∈ 1, 2, . . . , tk. (1.4)

Defina

G1 = 〈Xβ(i)ymo , 1 ≤ i ≤ s〉 e G2 = 〈Xβk(j)yk, 0 ≤ k ≤ m0, 1 ≤ j ≤ tk〉.

Afirmamos que I = 〈G1 ∪G2〉.Com efeito, de 1.2 e 1.4 e imediato que I ⊃ 〈G1 ∪G2〉.Seja Xβym ∈ I.

Se m ≥ m0, como Xβ ∈ I, por 1.1 e pelo lema 1.1.2, Xβ e divisıvel por Xβ(i)

para algum i. Assim, Xβym e divisıvel por Xβ(i)ym0 , o que conclui esse caso.

Se m < m0 entao Xβ ∈ Im. Usando 1.4 e o lema 1.1.2 temos que Xβ e divisıvel

por Xβm(j) para algum j. Portanto, Xβym e divisıvel por Xβm(j)ym e isso conclui a prova.

2

Fazendo uso do teorema anterior e possıvel verificar, sem muita dificuldade, que

o produto, a intersecao e o radical de ideais monomiais sao tambem ideais monomiais.

1.1.2 Decomposicao primaria

Uma decomposicao primaria de um ideal I em um anel A e uma expressao de I

como intersecao de um numero finito de ideais primarios. A decomposicao primaria nos

permite reduzir, em certo sentido, o estudo de um ideal arbitrario ao estudo de ideais

primarios. Vale ressaltar que uma decomposicao primaria de um ideal I em um anel

qualquer pode nao existir. No entanto, se I e um ideal em um anel de polinomios com

coeficientes em um corpo, ou mais geralmente, se I e um ideal em um anel noetheriano,

pelo teorema de Lasker-Noether (ref. [13]), I tem uma decomposicao primaria.

Definicao 1.1.4. Seja I um ideal e I =s⋂i=1

Qi uma decomposicao primaria de I em que

Qi e Pi−primario.s⋂i=1

Qi e dita uma decomposicao primaria minimal ou reduzida de I,

se satisfizer as seguintes condicoes:

(i) Para todo i ∈ 1, 2, . . . , s, Qi 6⊃s⋂

j=1, j 6=i

Qj;

(ii) Se i 6= j entao Pi 6= Pj, ou seja, os primos associados aos ideais primarios da

decomposicao sao dois a dois disjuntos.

Observacao 1.1.5. Toda decomposicao primaria pode ser reduzida a uma decomposicao

primaria minimal. Esse processo consiste na eliminacao dos primarios que ja contem a

Preliminares 6

intersecao dos outros presentes na decomposicao e observando-se que intersecao de dois

ideais P−primarios e tambem P−primario.

Exemplo 1.1.6. Seja I = (x2, xy) um ideal de K[x, y].

I = (x) ∩ (y − cx, x2) e uma decomposicao primaria minimal, ∀ c ∈ K

cujos primos associados sao√

(x) = (x) e√

(y − cx, x2) = (x, y).

Isso mostra que a decomposicao minimal pode nao ser unica.

O proximo teorema mostrara que os primos associados as componentes primarias

da decomposicao de I, sao unicamente determinados. O ponto importante e que de-

terminar tais primos nao depende da decomposicao minimal; depende apenas de uma

propriedade intrınseca ao ideal.

Teorema 1.1.7. Seja I =s⋂i=1

Qi uma decomposicao primaria minimal de I em que Pi e

o radical de Qi. Um ideal P ∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) e igual a algum Pi se, e somente

se, ∃ c 6∈ I tal que P =√

(I : c).

Demonstracao. Seja P ∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) tal que P = Pj para algum j. Como a

decomposicao e minimal, ∃ c ∈s⋂

i=1, i 6=j

Qi tal que c 6∈ Qj. Assim,

(I : c) = (s⋂i=1

Qi : c) =s⋂i=1

(Qi : c) =

[s⋂

i=1, i 6=j

(Qi : c)

]∩ (Qj : c) = (Qj : c).

Portanto,√

(I : c) =√

(Qj : c) = Pj = P.

Reciprocamente, suponha que para algum c 6∈ I,√

(I : c) = P.

Como (I : c) =s⋂i=1

(Qi : c) entao

P =√

(I : c) =s⋂i=1

√(Qi : c) =

⋂c 6∈Qi

Pi.

Logo, P = Pi para algum i.

2

O conjunto dos primos associados as componentes primarias da decomposicao

minimal de I e chamado de conjunto dos primos associados de I ou simplesmente, primos

de I e e denotado por Ass(I).

Um primo associado de I que nao contem nenhum outro primo de I e chamado

de primo mınimo; caso contrario, e dito primo imerso. O conjunto de todos os primos

mınimos de I e denotado por Min(I).

Preliminares 7

Note que no exemplo 1.1.6 a nao unicidade da decomposicao minimal ocorre

devido a componente primaria associada ao primo imerso de I. De maneira geral, as

componentes primarias associadas aos primos mınimos de uma decomposicao primaria

sao unicamente determinadas (veja ref. [1]).

Observacao 1.1.8. Se P ∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) e P ⊃ I entao P ⊃ P para algum

P ∈ Ass(I) (veja ref. [1]).

Observacao 1.1.9. Min(I) ⊂ Ass(In), ∀ n ∈ N.

De agora diante, para simplificar a notacao, uma decomposicao primaria minimal

de um ideal I sera escrita da seguinte forma:

I =⋂

P∈Ass(I)

Q(P ) em que Q(P ) e P -primario.

O lema a seguir auxiliara a demostracao do teorema que caracterizara uma de-

composicao primaria de um ideal monomial.

Lema 1.1.10. Seja J ⊂ K[x1, x2, . . . , xr] um ideal gerado por monomios. Se Xα, Xβ sao

monomios tais que MDC(Xα, Xβ) = 1 entao

(XαXβ, J) = (Xα, J) ∩ (Xβ, J).

Demonstracao. Note que (XαXβ, J) ⊂ (Xα, J) ∩ (Xβ, J).

Reciprocamente, seja f ∈ (Xα, J) ∩ (Xβ, J). Entao,

f = g1Xα + h1 = g2X

β + h2 com h1, h2 ∈ J e g1, g2 ∈ K[x1, x2, . . . , xr].

Sem perda da generalidade, podemos supor que g1 e g2 estao em suas formas

normais e que todos os seus termos nao pertencem a J.

Se g1Xα ∈ J temos que f ∈ J ⊂ (XαXβ, J). Caso contrario, existe um termo

aiXγ(i)Xα de g1X

α que nao pertence a J. Como

g1Xα = g2X

β + h2 − h1 ∈ (Xβ, J),

temos necessariamente que Xγ(i)Xα ∈ (Xβ). Uma vez que MDC(Xα, Xβ) = 1 temos que

Xβ | Xγ(i). Repetindo o argumento em todos os termos de g1Xα que nao pertencem a J

obtemos

g1Xα ∈ (XαXβ, J).

Portanto, f ∈ (XαXβ, J).

2

Preliminares 8

Teorema 1.1.11. Se I e um ideal monomial entao existe uma decomposicao primaria

I =s⋂i=1

Qi em que cada Qi e um ideal monomial gerado por potencias de variaveis. Em

particular, os primos associados de I sao gerados por subconjuntos de variaveis.

Demonstracao. Seja I = (Xα(1), . . . , Xα(k)) em que Xα(1), . . . , Xα(k) e um conjunto

mınimo de geradores de I.

Provaremos por inducao no numero de geradores que existe tal decomposicao

primaria.

Re-enumerando os ındices das variaveis, se necessario, podemos supor

Xα(1) = x1α1(1) . . . xt

αt(1) com t ≤ r.

Se k = 1 entao I = (Xα(1)). Usando recursivamente o lema 1.1.10 temos:

I = (x1α1(1)) ∩ . . . ∩ (xt

αt(1)).

Defina J = (Xα(2), . . . , Xα(k)). Por conseguinte, I = (Xα(1), J). Usando nova-

mente o lema 1.1.10 de forma recursiva temos:

I = (x1α1(1), J) ∩ . . . ∩ (xt

αt(1), J).

Como um numero de geradores de J e k−1, por hipotese de inducao, J tem uma

decomposicao primaria J =u⋂i=1

Qi em que cada Qi e gerado por potencias de variaveis.

Portanto, para cada j ∈ 1, . . . , t,

(xjαj(1), J) = (xj

αj(1),

u⋂i=1

Qi) =u⋂i=1

(xjαj(1), Qi)

o que conclui a inducao.

Alem disso, sabe-se que os primos associados sao os radicais dos ideais primarios

de uma decomposicao primaria. Assim, e imediato que o radical de um ideal primario

descrito como acima, e gerado por um subconjunto de variaveis.

2

Observacao 1.1.12. A decomposicao primaria dada acima pode nao ser minimal. Por

exemplo, I = (x2, xy, y2) ⊂ K[x, y] e um ideal (x, y)−primario. Consequentemente, sua

decomposicao minimal e dada por ele proprio. Desta forma, nenhuma decomposicao

primaria cujas componentes sao geradas por potencias de variaveis e minimal.

Preliminares 9

1.2 Aneis de semigrupos

Nesta secao, definiremos os aneis de semigrupos afins. Comecemos relembrando

o conceito de monoide para a partir daı, definirmos semigrupo afim.

Definicao 1.2.1. Seja E um conjunto nao vazio onde esta definida uma operacao

∗ : E× E 7−→ E.

Dizemos que o par (E, ∗) e um monoide se as seguintes propriedades sao satisfeitas:

• a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,∀ a, b, c ∈ E (associatividade)

• ∃ e ∈ E tal que a ∗ e = e ∗ a = a,∀ a ∈ E (existencia do elemento neutro)

A fim de simplificar a notacao, usaremos E em lugar de (E, ∗) quando nao houver

possibilidade de ambiguidade para *.

Exemplo 1.2.2. N e um monoide com a operacao usual de soma.

Exemplo 1.2.3. Todo grupo e um monoide.

Exemplo 1.2.4. (Zr,+) e um monoide.

Definicao 1.2.5. Seja E um monoide e H um subconjunto de E. Dizemos que H e um

submonoide de E se H e ele proprio um monoide com a mesma operacao de E.

Definicao 1.2.6. Dizemos que H e um semigrupo afim, se H e um submonoide de (Zr,+).

Exemplo 1.2.7. Nr e um semigrupo afim.

O proximo exemplo mostra que nem todo semigrupo afim e finitamente gerado. A

posteriori (Cap.2) mostraremos uma condicao suficiente e necessaria para que isso ocorra.

Exemplo 1.2.8. Seja H = (i, j) ∈ N; ij 6= 0 ou (i, j) = (0, 0).H e um semigrupo afim de Z2 que nao e finitamente gerado.

De fato, sejam h1 = (i1, j1), h2 = (i2, j2) ∈ H. Note que se

i1j1 + i1j2 + i2j1 + i2j2 = 0

entao i1j1 = 0 e i2j2 = 0 o que equivale a dizer que h1 = h2 = (0, 0) ∈ H ou seja

h1 + h2 ∈ H.Suponhamos por absurdo que H fosse finitamente gerado:

H = 〈(i1, j1), (i2, j2), . . . , (im, jm)〉 com (i1, j1), (i2, j2), . . . , (im, jm) ∈ H − (0, 0).

Preliminares 10

Considere o elemento (i, j) = (1,maxj1, j2, . . . , jm + 1) ∈ H. Consequentemente,

∃ n1, n2, . . . , nm ∈ N tais que

(1,maxj1, j2, . . . , jm+ 1) = n1(i1, j1) + n2(i2, j2) + · · ·+ nm(im, jm).

Assim, determinar n1, n2, . . . , nm ∈ N se resume a resolver o sistema,n1i1 + n2i2 + · · ·+ nmim = 1

n1j1 + n2j2 + · · ·+ nmjm = maxj1, j2, . . . , jm+ 1.

Da primeira equacao, ∃! r ∈ 1, 2, . . . ,m tal que

nrir = 1⇒ nr = 1 e nk = 0 para k 6= r.

Portanto, aplicando esse resultado na segunda equacao temos maxj1, j2, . . . , jm+1 = jr

o que e um absurdo.

Logo, H nao e um semigrupo afim finitamente gerado.

Definicao 1.2.9. Sejam A um anel e H um semigrupo afim. Definimos

A[H] := f : Hr −→ A ; f tem suporte finito.

em que o suporte de uma funcao f e o conjunto de elementos h ∈ Hr tais que f(h) 6= 0.

Dados f e g ∈ A[H], definindo-se a soma em A[H] por:

[f + g] : Hr −→ A

h 7−→ [f + g](h) = f(h) + g(h)

e o produto por:

[f. g] : Hr −→ A

h 7−→ [f. g](h) =∑

v+w=h

f(v)g(w)

e possıvel verificar que, com as operacoes acima, A[H] e um anel.

Tambem podemos definir um produto de elementos de A por elementos de A[H]

da seguinte forma:

[a.f ] : Hr −→ A

h 7−→ [a.f ](h) = af(h)

Novamente e facil verificar que A[H] e um A−modulo. Mais ainda, A[H] e uma

algebra sobre A.Se K e um corpo, K[H] e chamado anel de semigrupo.

Preliminares 11

Toda funcao f ∈ A[H] pode ser escrita de forma unica, a menos de ordem entre

as parcelas, como uma soma finita de termos, isto e, funcoes cujo suporte e unitario.

Se m ∈ A[H] e um termo, com m(h) = m(h1, . . . , hr) = a podemos utilizar a notacao

axh11 x

h22 . . . xhrr para representar m.

Note que K[H] e uma subalgebra do anel de polinomios de Laurent

K[x1, x1−1, x2, x2

−1, . . . , xr, xr−1] gerada por xh1

1 xh22 . . . xhrr h∈H . Se H = Nr entao K[H]

e o anel polinomios em r variaveis sobre K.Note ainda que se Λ ⊂ Nr e nao vazio e I e um ideal monomial em K[x1, x2, . . . , xr]

gerado por Xα; α ∈ Λ, pelo lema 1.1.2, e possıvel verificar facilmente que

I ∼= K[H] em que H = (α1, α2, . . . , αr) ∈ Nr ; xα11 x

α22 · · ·xαrr ∈ I ∪ 0.

1.3 Potencias simbolicas

A formacao do anel de fracoes e o processo de localizacao associado sao uma das

mais importantes ferramentas usadas em algebra comutativa. Apesar da riqueza deste

tema, para sermos objetivos, nesta secao daremos apenas a definicao e propriedades do

anel de fracoes necessarias para definir potencia simbolica.

Seja A um anel, S um sistema multiplicativo de A, isto e, S ⊂ A e tal que 1 ∈ S,

0 6∈ S e S e fechado com respeito ao produto de seus elementos.

Considere a relacao de equivalencia ∼ no conjunto A× S dada por

(a, s) ∼ (b, t)⇔ (at− bs)u = 0 para algum u ∈ S.

Note que se A e um domınio de integridade (a, s) ∼ (b, t) ⇔ at = bs.

Defina S−1A :=A× S∼

e denote cada classe de equivalencia (a, s) :=a

s.

Dadosa

s,b

t∈ S−1A se considerarmos a soma e o produto dados por:

a

s+b

t=at+ bs

ste

a

s

b

t=ab

st;

temos que S−1A e um anel o qual denominamos de anel de fracoes de A em S.

Quando S = A− P e P e um ideal primo, denotaremos S−1A por AP .

E possıvel verificar facilmente que

ϕ : A −→ S−1A

x 7−→ =x

1

e um homomorfismo de aneis com unidade em que o nucleo e o conjunto dos elementos

cujos anuladores interceptam S.

Preliminares 12

Se A e um domınio de integridade e S = A − 0 entao o anel de fracoes e

um corpo, o qual denominamos de corpo de fracoes de A. Em particular, se A = Z e

S = Z− 0 entao S−1Z = Q.

Sejam I um ideal de A e J um ideal de S−1A,

J c := ϕ−1(J) = x ∈ A; ϕ(x) ∈ J

Ie := 〈ϕ(I)〉 = c∑i=0

yiϕ(xi); xi ∈ I, yi ∈ S−1A e c ∈ N.

Os conjuntos J c e Ie sao, respectivamente, ideais de A e S−1A e

I ⊂ (Ic)e, J ⊃ (J c)e.

Alem disso, e possıvel ver sem muita dificuldade que

Ie = xs∈ S−1A; x ∈ I, s ∈ S.

Na proxima proposicao encontram-se listadas algumas propriedades que serao

necessarias mais tarde.

Proposicao 1.3.1. Sejam I1, I2, . . . , In ideais quaisquer de A e Q um ideal P−primario.

Entao as seguintes propriedades sao satisfeitas:

(a) (n⋂k=1

Ik)ec =

n⋂k=1

Ikec

(b) P ∩ S = ∅ ⇒ Qec = Q

(c) P ∩ S 6= ∅ ⇒ Qec = A

Demonstracao. (a) Basta mostrar para k = 2 e observar que o caso geral segue por

inducao.

Claramente (I1 ∩ I2)ec ⊂ I1ec ∩ I2ec.

Reciprocamente, se z ∈ I1ec ∩ I2ec = (I1e ∩ I2e)c entao

z

1∈ I1e ∩ I2e. Desta forma,

z

1=x

s=y

tem que x ∈ I1, y ∈ I2 e s, t ∈ S.

Da segunda igualdade, v(tx − sy) = 0 para algum v ∈ S. Consequentemente,

vtx = vsy ∈ I1 ∩ I2.

Assim,z

1=x

s=vtx

vts∈ (I1 ∩ I2)e, ou seja, z ∈ (I1 ∩ I2)ec.

(b) Como Qec ⊃ Q, resta apenas mostrar que Qec ⊂ Q.

Preliminares 13

Se f ∈ Qec entao ∃ x ∈ Q e s ∈ S tais quef

1=x

s. Por sua vez, a ultima igualdade

implica que t(x − sf) = 0 para algum t ∈ S, ou seja, tsf = tx ∈ Q. Como ts ∈ S entao

ts 6∈ P, portanto, f ∈ Q pois, Q e P - primario.

(c) Se s ∈ P ∩ S entao sn ∈ Q ∩ S para algum n > 0 e portantosn

1∈ Qe. Logo,

Qe = S−1A o que implica em Qec = A.2

A definicao dada a seguir de potencia simbolica para aneis de polinomios e a

usual em aneis noetherianos, embora existam outros ideais que tambem sao chamados de

potencia simbolica.

Definicao 1.3.2. Dado um ideal I ⊂ K[x1, x2, . . . , xr] e n ∈ N. A n-esima potencia

simbolica ordinaria de I e definida como sendo o ideal

I(n) := (In)ec em que S = K[x1, x2, . . . , xr]−⋃

P∈Min(I)

P.

Para simplificar, chamaremos I(n) apenas de n-esima potencia simbolica de I.

O proximo teorema dara uma condicao equivalente para potencia simbolica muito

usada e que sera muito util neste contexto.

Teorema 1.3.3. Seja I um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] e In =⋂

P∈Ass(In)

Q(P ) uma decom-

posicao primaria de In. Entao:

I(n) =⋂

P∈Min(I)

Q(P ).

Demonstracao. Note que, em virtude da proposicao 1.3.1, segue que

(In)ec = (⋂

P∈Ass(In)

Q(P ))ec =⋂

P∈Ass(In)

Q(P )ec.

Por outro lado, como

P ∩ S = ∅ ⇔ P ⊂⋃

P∈Min(I)

P

P ⊂⋃

P∈Min(I)

P ⇔ P ∈ Min(I)

temos P ∩ S = ∅ equivale a P ∈ Min(I).

Consequentemente, temos:

Q(P )ec = Q(P ), se P ∈ Min(I)

Q(P )ec = K[x1, x2, . . . , xr], caso contrario.

Logo, pela observacao 1.1.9, I(n) =⋂

P∈Min(I)

Q(P ).

2

Preliminares 14

1.4 Algebras de Rees

Nesta secao, introduziremos o principal conceito deste trabalho: as Algebras de

Rees. Para entendermos melhor essas algebras, falaremos um pouco sobre uma classe de

aneis que, assim como o anel de polinomios, admite uma decomposicao de seus elementos

em componentes homogeneas. Essa classe de aneis e tratada formalmente na proxima

definicao.

Um anel A e dito N−graduado se podemos escrever

A =⊕λ∈N

Aλ

em que cada Aλ e um subgrupo de A e AiAj ⊂ Ai+j, ∀ i, j ∈ N.Observe que como cada Aλ e um A0−modulo entao A e uma A0−algebra.

Os elementos f ∈ Aλ sao ditos homogeneos de grau λ. Um ideal homogeneo em

A e um ideal que admite um conjunto de geradores composto por elementos homogeneos.

Note que a soma de elementos homogeneos de graus diferentes nao e um elemento

homogeneo. Assim, ideais homogeneos contem elementos nao homogeneos.

Se A e um anel N−graduado entao todo elemento f ∈ A, nao nulo, e escrito de

forma unica como

f = f0 + f1 + f2 + · · ·

com fj ∈ Aj e fj 6= 0 somente para um numero finito de ındices. Em outras palavras,

f e escrito de forma unica como soma de um numero finito de elementos homogeneos.

Cada fj e chamada de componente homogenea de f em grau j.

Observacao 1.4.1. E possıvel verificar que I e um ideal homogeneo se, e somente se,

f ∈ I ⇒ fj ∈ I, ∀ j.

Exemplo 1.4.2. De imediato temos que o anel de polinomios S = K[x1, x2, . . . , xr] e um

anel N−graduado atraves do grau total, isto e,

S =⊕λ∈N

Sλ

em que Sλ e o espaco vetorial dos polinomios homogeneos de grau λ.

Deste ponto ate o final da secao, iremos nos restringir a definir e a apresentar

alguns resultados sobre um tipo especial de aneis graduados: as Algebras de Rees.

Definicao 1.4.3. Seja B um anel. Dizemos que uma famılia de ideais = = Inn∈N de Be uma filtracao multiplicativa se I0 = B; In+1 ⊂ In, ∀ n ∈ N e IjIk ⊂ Ij+k, ∀ j, k ∈ N.

Preliminares 15

Definicao 1.4.4. Seja = = Inn∈N uma filtracao multiplicativa de ideais em B. A

B−algebra

R=(B) =∞⊕n=0

Intn = B⊕ I1t⊕ I2t2 ⊕ · · ·

e chamada Algebra de Rees associada a =.

O ideal∞⊕n=1

Intn e denominado de ideal irrelevante.

Observe que R=(B) e uma B−algebra finitamente gerada se, e somente se, o

ideal irrelevante e finitamente gerado. Ironicamente, e o ideal irrelevante que determina

a noetherianidade da Algebra de Rees, desde que B seja noetheriano. Em virtude desta

observacao, apresentar um conjunto finito de geradores G para o ideal irrelevante e equi-

valente a dizer que G ∪ 1B e um conjunto de geradores da B−algebra R=(B). Por esse

motivo, sempre que apresentarmos um conjunto de geradores para R=(B) omitiremos o 1.

A filtracao multiplicativa = = Inn∈N e chamada de filtracao I-adica. Neste

caso, R=(B) e denominada Algebra de Rees de I ou Algebra de Rees ordinaria associada

a I e e denotada por RI(B).

Proposicao 1.4.5. Sejam S = K[x1, x2, . . . , xr], = = Inn∈N uma filtracao de S e R=(S)

a Algebra de Rees associada a =. Entao, existe um conjunto de geradores da forma gntn

com gn ∈ In. Em particular, se para todo n, In e um ideal homogeneo (resp. monomial)

e possıvel tomar gn ∈ In homogeneo (resp. monomio).

Demonstracao. Seja Gn um conjunto de geradores de In. Defina

Gn = gtn ; g ∈ Gn.

E imediato que⋃n∈N

Gn e um conjunto de geradores de R=(S). Em particular, se

cada In e homogeneo (resp. monomial) entao Gn pode ser escolhido de tal forma a ser

composto por elementos homogeneos (resp. monomiais).

2

A Algebra de Rees R=(S) e uma algebra monomial se ela pode ser gerada por

um conjunto de monomios de S[t] = K[x1, x2, . . . , xr, t]. Pela proposicao anterior, se = e

uma filtracao monomial, ou seja, In e um ideal monomial ∀ n ∈ N, R=(S) e uma algebra

monomial.

Usando os mesmos argumentos da demonstracao do lema 1.1.2, e possıvel verificar

facilmente que se R=(S) e uma algebra monomial, ftn ∈ R=(S) se, e somente se, para

cada termo nao nulo fs de f tem-se que fstn pertence a R=(S). Consequentemente, temos

R=(S) ∼= K[H] em que

H = (α1, α2, . . . , αr, αr+1) ∈ Nr+1;xα11 x

α22 · · ·xαrr tαr+1 ∈ R=(S) ∪ 0

= (α1, α2, . . . , αr, αr+1) ∈ Nr+1;xα11 x

α22 · · · xαrr ∈ Iαr+1 ∪ 0.

Preliminares 16

De forma geral, toda algebra monomial pode ser vista como um anel de semigrupo.

O seguinte teorema da uma classe de exemplos de Algebras de Rees finitamente

geradas.

Teorema 1.4.6. Se B e um anel noetheriano e I ⊂ B e um ideal entao a Algebra de Rees

ordinaria associada a I e uma B−algebra finitamente gerada.

Demonstracao. Vamos mostrar que se I = 〈g1, g2, . . . , gs〉 entao

RI(B) =⊕n≥0

Intn = 〈g1t, g2t, . . . , gst〉

ou equivalentemente que

Ψ : B[x1, x2, . . . , xs] −→ RI(B)

xi 7−→ git, ∀ i ∈ 1, 2, . . . , s

e um epimorfismo de B−algebras.

Claramente, Ψ e um homomorfismo. Resta mostrar que Ψ e sobrejetiva.

Seja gtn ∈ Intn, g ∈ In. Neste caso,

g =∑

α1+···+αs=n

aα1···αsg1α1 · · · gsαs com aα1...αs ∈ B.

Considere h =∑

α1+···+αs=n

aα1···αsx1α1 · · ·xsαs ∈ B[x1, x2, . . . , xs]. Temos:

Ψ(h) = h(g1t, . . . , gst) =∑

α1+···+αs=n

aα1···αrg1tα1 · · · gstαs = gtn.

Como todo elemento de RI(B) e escrito como soma de um numero finito de

componentes homogeneas temos que Ψ e sobrejetiva.

2

1.5 Cone racional

Nesta secao, trataremos de alguns conceitos e resultados classicos de analise con-

vexa indispensaveis neste trabalho. Nosso objetivo aqui e: definir cone racional, mostrar

que todo cone racional e um cone finitamente gerado e exibir uma versao do Teorema de

Caratheodory para cones racionais. Em benefıcio da concisao do texto, alguns resultados

apresentados nesta secao nao serao demonstrados. O leitor interessado pode encontrar

tais demonstracoes em [11].

Preliminares 17

Um subconjunto nao vazio D do Rn e chamado cone se e fechado para com-

binacoes lineares com coeficientes reais nao negativos, isto e,

ax+ by ∈ D sempre que x, y ∈ D e a, b ≥ 0.

Uma face de um cone D e um subconjunto convexo D′ de D tal que todo segmento

em D com um ponto interior em D′ esta completamente contido em D′.

Se V ⊂ Rn e nao vazio, o conjunto

R+V = c∑i=0

aivi; ai ∈ R+, vi ∈ V e c ∈ N

e obviamente o menor cone contendo V, ou equivalentemente, e o cone gerado por V.

O cone R+V e dito um poliedral convexo do subespaco RV do Rn, se pode

ser expresso como uma intersecao finita de semi-espacos fechados de RV passando pela

origem, ou seja, ∃ ω1, . . . , ωt ∈ Rn, ωi 6= 0 tais que

R+V = V1+ ∩ V2

+ ∩ . . . ∩ Vt+ em que Vi+ = v ∈ RV ; 〈〈ωi, v〉〉 ≥ 0

em que 〈〈ω, v〉〉 denota o produto interno canonico de ω por v.

Enunciaremos agora um resultado que afirma que R+V e um poliedral convexo

se, e somente se, R+V e um cone finitamente gerado.

Teorema 1.5.1. Seja V ⊂ Rn, nao vazio. Sao equivalentes:

(a) R+V e a intersecao finita de semi-espacos fechados de RV passando pela origem;

(b) R+V tem um numero finito de faces;

(c) ∃v1, . . . , vs ∈ V tais que R+V = R+v1, . . . , vs, isto e, R+V e um cone finitamente

gerado.

Demonstracao. Veja [11].

Definicao 1.5.2. Seja V ⊂ Rn, nao vazio. O conjunto

Q+V = d∑i=0

civi ; ci ∈ Q+, vi ∈ V e d ∈ N

e um cone racional, se existem ω1, ω2, . . . , ωm ∈ Rn, ωi 6= 0 tais que

Q+V = V1+ ∩ V2

+ ∩ . . . ∩ Vm+ em que Vi+ = v ∈ QV ; 〈〈ωi, v〉〉 ≥ 0

e um semi-espaco fechado de QV passando pela origem.

Preliminares 18

O teorema a seguir e uma versao do teorema de Caratheodory para cones racionais.

Essencialmente, esse resultado diz que um cone racional qualquer e a uniao de cones

racionais cujos geradores sao linearmente independentes.

Teorema 1.5.3 (Teorema de Caratheodory). Sejam v1, . . . , vm ∈ Rn. O cone

Q+v1, . . . , vm e a uniao dos cones Q+vi1 , vi2 , . . . , vis com vi1 , vi2 , . . . , vis ∈ v1, . . . , vmlinearmente independentes sobre R. Em particular, se v1, . . . , vm ∈ Qn entao Q+v1, . . . , vme a uniao de cones racionais cujos geradores sao linearmente independentes sobre Q.

Demonstracao. Veja [11].

Proposicao 1.5.4. Q+V e um cone racional se, e somente se, e um cone finitamente

gerado.

Demonstracao. Note que Q+v1, . . . , vs = QV ∩ R+v1, . . . , vs com v1, . . . , vs ⊂ V

linearmente independente.

De fato, obviamente Q+v1, . . . , vs ⊂ QV ∩ R+v1, . . . , vs.Reciprocamente, se v ∈ QV ∩ R+v1, . . . , vs uma vez que o sistema de equacao

com coeficientes em Qv1y1 + · · ·+ vsys = v

tem unica solucao (y1, . . . , yr) ∈ Qs ∩ (R+)s entao (y1, . . . , yr) ∈ (Q+)s, isto e,

v ∈ Q+v1, . . . , vr.

Pelo teorema de Caratheodory, Q+v1, . . . , vm = QV ∩ R+v1, . . . , vm para

quaisquer v1, . . . , vm ∈ V.O resultado segue do teorema 1.5.1.

2

Exemplo 1.5.5. Seja H = (c+ d, b+ d, a+ b+ c+ d) ; a, b, c, d ∈ N ⊂ R3.

Note que H e um semigrupo afim gerado pelo conjunto

(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Como H e um semigrupo afim, o cone racional Q+H corresponde ao conjunto de

pontos de R+H com coordenadas racionais.

Observe que Q+H tem quatro faces de dimensao 2:

Q+(0, 0, 1), (0, 1, 1), Q+(0, 0, 1), (1, 0, 1), Q+(0, 1, 1), (1, 1, 1) e Q+(1, 0, 1), (1, 1, 1).

Preliminares 19

Alem disso, Q+H = H1+ ∩H2

+ ∩H3+ ∩H4

+ em que

H1+ = v ∈ QH ; 〈〈(1, 0, 0), v〉〉 ≥ 0

H2+ = v ∈ QH ; 〈〈(0, 1, 0), v〉〉 ≥ 0

H3+ = v ∈ QH ; 〈〈(0,−1, 1), v〉〉 ≥ 0

H4+ = v ∈ QH ; 〈〈(−1, 0, 1), v〉〉 ≥ 0.

Note ainda que

Q+H = Q+(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)

= Q+(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) ∪Q+(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)

= Q+(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 1) ∪Q+(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1)

em que cada um dos conjuntos (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1),(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) e linearmente independente sobre

Q.

A figura abaixo traz um esboco de R+H = R+(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Figura 1.5.5.

Capıtulo 2

Geracao Finita de Semigrupos Afins

Neste capıtulo, mostraremos uma condicao necessaria e suficiente para que um

semigrupo afim seja finitamente gerado. Este resultado e um alicerce nao apenas deste

capıtulo mas de todo este texto, pois, dele descendem quase todos os resultados a partir

deste capıtulo. Nosso objetivo central aqui e mostrar que a Algebra de Rees associada

a uma filtracao e finitamente gerada sempre que o n-esimo termo desta filtracao e a

intersecao de todas as potencias n-esimas de uma colecao finita de ideais monomiais, isto e,

= = J1n ∩ . . . ∩ Jsnn∈N em que cada Ji e um ideal monomial.

Recomendamos ao leitor voltar ao capıtulo anterior caso nao esteja familiarizado

com as definicoes de semigrupo afim e cone racional. Iniciaremos o nosso estudo com o

“teorema alicerce”.

Teorema 2.0.6. Seja H um semigrupo afim. H e finitamente gerado se, e somente se,

Q+H e um cone racional.

Demonstracao. Se H = 〈h1, . . . , hk〉 entao Q+H = Q+h1, . . . , hk. Segue da propo-

sicao 1.5.4 que Q+H e um cone racional.

Reciprocamente, como Q+H e um cone racional, Q+H = Q+q1, . . . , qm com

q1, . . . , qm ∈ H. Seja ZH = c∑j=0

ajhj; aj ∈ Z, hj ∈ H e c ∈ N o menor subgrupo

de Zr contendo H. Observe que como Zr e um grupo abeliano de posto r, definindo

s := posto ZH, temos s ≤ r.

Considere os cones Q+qi1 , . . . , qis em que qi1 , . . . , qis ∈ q1, . . . , qm ⊂ H sao

linearmente independentes em Qr, ou equivalentemente, linearmente independentes em

ZH. Pelo teorema 1.5.3, Q+q1, . . . , qm e a uniao desses cones. Como existe apenas um

numero finito de cones da forma Q+qi1 , . . . , qis e H = H ∩ Q+q1, . . . , qm e suficiente

mostrar que cada semigrupo afim H ∩Q+qi1 , . . . , qis e finitamente gerado.

Para simplicar a notacao, assumiremos sem perda da generalidade que

Q+H = Q+q1, . . . , qs em que q1, . . . , qs sao linearmente independentes.20

Geracao Finita de Semigrupos Afins 21

Seja B = s∑i=1

ciqi; 0 ≤ ci < 1 ∩ ZH. Afirmamos que:

1) ZH =⋃p∈B

Lp em que Lp = p+ Zq1, . . . , qs

2) Lp ∩ Lp′ = ∅, se p 6= p′.

1) Obviamente ZH ⊃⋃p∈B

Lp.

Observe que QH = Qq1, . . . , qs. Com efeito, se x ∈ QH, ∃ x1, x2 ∈ Q+H tais

que x = x1 − x2. Consequentemente, x ∈ Qq1, . . . , qs.Seja y ∈ ZH. Como ZH ⊂ QH entao y ∈ QH. Assim,

y =s∑i=1

aibiqi com ai ∈ Z e bi ∈ N− 0

Pelo algoritmo da divisao, para cada i, ∃ di, ri ∈ Z tais que ai = bidi+ ri com 0 ≤ ri < bi.

Desta forma temos:

y =s∑i=1

diqi +s∑i=1

ciqi com ci =ribi, 0 ≤ ci < 1

Portanto, y ∈ Lp para p =s∑i=1

ciqi. Logo, ZH ⊂⋃p∈B

Lp.

2) Se x ∈ Lp ∩ Lp′ ,

x = p+s∑i=1

αiqi = p′ +s∑i=1

βiqi com αi, βi ∈ Z,

ou seja,

p− p′ =s∑i=1

(αi − βi)qi ∈ Zq1, . . . , qs o que implica em p = p′.

Como H = H ∩ ZH entao H =⋃p∈B

(Lp ∩H) com Lp ∩H 6= Lp′ ∩H para p 6= p′.

Definindo Hp := H ∩ Lp temos que H e a uniao disjunta dos Hp′s.

Vamos mostrar que cada Hp e finitamente gerado.

Defina

Ip = 〈xc11 · · ·xcss ; (c1, . . . , cs) ∈ Ωp〉

em que Ωp = (c1, . . . , cs) ∈ Ns; p+s∑i=1

ciqi ∈ HP.

Pelo teorema 1.1.3, e possıvel extrair dentre os geradores de Ip um conjunto finito

e mınimo que ainda gera Ip. Denote por G(Ip) tal conjunto.

Afirmamos que todo elemento de Hp e a soma de um elemento de

Λ = p+s∑i=1

ciqi; xc11 · · ·xcss ∈ G(Ip) com um elemento de Z+q1, . . . , qs.


De fato, seja x ∈ Hp ⊂ H ⊂ Q+q1, . . . , qr.

Como x ∈ Hp temos que x = p +s∑i=1

αiqi com αi ∈ Z. Por outro lado, como

x ∈ Q+q1, . . . , qs,

x =s∑j=1

βjqj, βj ∈ Q+

= p′ +s∑j=1

λjqj, λj ∈ Z+, p′ ∈ B

Assim, repetindo argumentos ja usados anteriormente temos que p = p′. Desta

forma, se x ∈ Hp

x = p+s∑j=1

λjqj com p ∈ B, λj ∈ Z+.

Consequentemente, xλ11 · · ·xλss ∈ Ip. Com isso, ∃ xc11 · · · xcss ∈ G(Ip) tal que

xλ11 · · ·xλss = (xa1

1 · · ·xass )xc11 · · ·xcss em que ak + ck = λk, ak, ck ∈ N, ∀ k ∈ 1, . . . , s.

Portanto, x = p+s∑i=1

ciqi +s∑i=1

aiqi. Isso mostra que se x ∈ Hp entao x e a soma

de um elemento de Λ com um elemento de Z+q1, . . . , qs. Alem disto, B e finito pois B e

um conjunto limitado em ZH ⊂ Zr (note que ser∑i=1

ciqi ∈ B entao |s∑i=1

ciqi| ≤s∑i=1

|qi|).

Logo, G =⋃p∈B

p +s∑i=1

ciqi; xc11 · · ·xcss ∈ G(Ip) ∪ q1, . . . , qs e um conjunto de

geradores de H.

2

O corolario a seguir mostra que a intersecao finita de semigrupos afins finitamente

gerados e tambem um semigrupo afim que satisfaz a mesma propriedade.

Corolario 2.0.7. Se H1, H2, . . . , Hs sao semigrupos afins finitamente gerados entaos⋂i=1

Hi

e um semigrupo afim finitamente gerado.

Demonstracao. Seja H =s⋂i=1

Hi. E possıvel verificar facilmente que H e um semigrupo

afim.

Resta mostrar que H e finitamente gerado. Para isso, provaremos que Q+H e

um cone racional.

Afirmamos que Q+H =s⋂i=1

Q+Hi.

De fato, como Q+H ⊂ Q+Hi para todo i ∈ 1, 2, . . . , s segue que

Q+H ⊂s⋂i=1

Q+Hi.


Por outro lado, seja p ∈s⋂i=1

Q+Hi. Entao, para cada i fixo,

p =

mi∑j=1

cijhij com cij ∈ Q+, ∀ i, j e hij ∈ Hi, ∀ j.

Como cij ∈ Q+ entao ∃ aij ∈ N, bij ∈ N − 0 tais que cij =aijbij. Defina

ni = MMCbi1, . . . , bimi. Note que nip ∈ Hi. Tomando n = n1n2 . . . ns temos np ∈ Hi

para todo i ∈ 1, . . . , s o que equivale a dizer que np = h ∈ H. Logo, p =1

nh ∈ Q+H, o

que finaliza a prova da afirmacao.

Como a intersecao finita de cones racionais e um cone racional, pelo teorema

2.0.6, H e um semigrupo afim finitamente gerado.

2

Agora estamos aptos a mostrar

Teorema 2.0.8. Sejam S = K[x1, x2, . . . , xr], J1, J2, . . . , Js ⊂ S ideais monomiais e

= = s⋂i=1

Jinn∈N. Entao a Algebra de Rees

⊕n≥0

(s⋂i=1

Jin)tn e uma S-algebra finitamente

gerada.

Demonstracao. Seja A =⊕n≥0

(s⋂i=1

Jni )tn. Uma vez que = e uma filtracao multiplicativa,

A e uma S-algebra.

Afirmamos que A =s⋂i=1

Ai em que Ai =∞⊕n=0

Jni tn.

De fato, se f ∈ A entao

f =m∑n=0

cntn com cn ∈

s⋂i=1

Jni

o que equivale a dizer que cn ∈ Jni para todo i ∈ 1, 2, . . . , s, ou seja, f ∈s⋂i=1

Ai.

Por outro lado, se g ∈s⋂i=1

Ai, para cada i fixo,

g =

ui∑n=1

cnitn com cni ∈ Jni .

Considerando os coeficientes nulos, quando necessario, podemos escrever:

g =u∑n=1

cnitn em que u = maxu1, u2, . . . , us.


Como g ∈ S[t] entao g e escrito de forma unica como soma de partes homogeneas

em t. Consequentemente cni nao depende de i. Assim, definindo cn := cni para todo i

temos cn ∈s⋂i=1

Jni . Portanto, g =u∑n=1

cntn ∈ A.

Logo, A =s⋂i=1

Ai.

Como J1, J2, . . . , Js sao ideais monomiais, as Algebras de Rees A,A1, A2, . . . , As

sao algebras monomiais. Portanto, A ' K[H] e Ai ' K[Hi] em que H,H1, . . . , Hs sao

semigrupos afins dados por:

H = (α1, α2, . . . , αr, αr+1) ∈ Nr+1;xα11 x

α22 · · ·xαrr tαr+1 ∈ A ∪ 0

Hi = (α1, α2, . . . , αr, αr+1) ∈ Nr+1;xα11 x

α22 · · ·xαrr tαr+1 ∈ Ai ∪ 0.

Em outras palavras, vamos tratar A e cada Ai como aneis de semigrupos afins.

Observe que para cada i, Ai e a Algebra de Rees associada a filtracao Ji−adica.

Logo, Ai = 〈fi1t, fi2t, . . . , fiu(i)t〉 com Ji = 〈fi1, fi2, . . . , fiu(i)〉 em que cada fij e um

monomio.

Queremos mostrar que Hi e um semigrupo afim finitamente gerado.

A fim de simplificar a notacao, considere Ai = 〈f1t, f2t, . . . , fut〉 para i fixo, porem

arbitrario, e escreva fj = xhj11 x

hj22 · · ·x

hjrr , ∀ j ∈ 1, 2, . . . , u.

Como fjt ∈ Ai entao (hj1, hj2, . . . , hjr, 1) ∈ Hi para todo j.

Ademais, os vetores da base canonica do Rr+1, e1, e2, . . . , er ∈ Hi tendo em vista

que x1, x2, . . . , xr ∈ S = J0i ⊂ Ai.

Afirmamos que Hi = 〈e1, . . . , en, (h11, h12, . . . , h1r, 1), . . . , (hu1, hu2, . . . , hur, 1)〉.De fato, se (α1, . . . , αr, αr+1) ∈ Hi entao xα1

1 · · ·xαrr tαr+1 ∈ Ai. Por conseguinte,

como Ai = 〈f1t, f2t, . . . , fut〉 temos que ∃ c1, . . . , cr, d1, . . . , du ∈ N tais que

xα11 · · ·xαrr tαr+1 = xc11 · · ·xcnn (f1t)

d1 . . . (fut)du ∈ Aj

= xβ1

1 · · ·xβrr tαr+1

com βk = ck +u∑j=1

djhjk para k ∈ 1, 2, . . . , r e αr+1 =u∑j=1

dj.

Assim,

(α1, . . . , αr, αr+1) = (c1 +u∑j=1

djh1j, . . . , cr +u∑j=1

djhjr,

u∑j=1

dj)

= c1e1 + · · ·+ cnen + d1(h11, h12, . . . , h1r, 1) +

+ · · ·+ du(hu1, hu2, . . . , hun, 1).

Logo,

(α1, . . . , αn, αn+1) ∈ 〈e1, . . . , en, (h11, h12, . . . , h1r, 1), . . . , (hu1, hu2, . . . , hur, 1)〉.


Por outro lado, como A =s⋂i=1

Ai entao H =s⋂i=1

Hi pois,

(α1, . . . , αr, αr+1) ∈ H ⇔ xα11 · · ·xαrr tαr+1 ∈ A

xα11 · · ·xαrr tαr+1 ∈ A ⇔ xα1

1 · · ·xαrr tαr+1 ∈ Ai, ∀ i

xα11 · · ·xαrr tαr+1 ∈ Ai, ∀ i ⇔ (α1, . . . , αr, αr+1) ∈ Hi, ∀ i.

Portanto, pelo corolario 2.0.7, H =r⋂j=1

Hj e um semigrupo afim finitamente

gerado. Desta forma, considerando

H = 〈e1, . . . , er, (c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . , (cm1, . . . , cmr, cmr+1)〉

em que e1, . . . , er, (c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . , (cm1, . . . , cmr, cmr+1) e um conjunto mınimo

de geradores de H, temos:

A = 〈xc111 · · ·xc1rr tc1r+1 , . . . , xcm11 · · ·xcmrr tcmr+1〉.

Com efeito, seja xβ1

1 · · · xβrr tβr+1 ∈ A. Entao (β1, . . . , βn, βn+1) ∈ H. Se βr+1 = 0,

nada temos a mostrar. Caso contrario, ∃ a1, . . . , ar+m ∈ N tais que

(β1, . . . , βr, βr+1) = a1e1+· · ·+arer+ar+1(c11, . . . , c1r, c1r+1)+· · ·+ar+m(cm1, . . . , cmr, cmr+1).

Logo,

xβ1

1 · · ·xβrr tβr+1 = xa11 · · ·xarr (xc111 · · · xc1rr tc1r+1)ar+1 . . . (xcm1

1 · · ·xcmrr tcmr+1)ar+m .

2

O proximo exemplo ilustrara num caso concreto os passos da demostracao do teo-

rema 2.0.8 e exibira um conjunto de geradores para Algebra de Rees neste caso particular.

Exemplo 2.0.9. Sejam S = K[x, y, z] e A =⊕n≥0

[(x, y)n∩(y, z)n∩(x, z)n]tn ⊂ K[x, y, z][t].

Note que A = [⊕n≥0

(x, y)ntn] ∩ [⊕n≥0

(y, z)ntn] ∩ [⊕n≥0

(x, z)ntn].

Sejam

A1 =⊕n≥0

(x, y)ntn, A2 =⊕n≥0

(y, z)ntn e A3 =⊕n≥0

(x, z)ntn.

Temos A1 = 〈xt, yt〉, A2 = 〈yt, zt〉 e A3 = 〈xt, zt〉.Sabemos que e possıvel tratar, a menos de isomorfismo, A, A1, A2 e A3 como os

aneis de semigrupos K[H], K[H1], K[H2] e K[H3] em que

H = (α1, α2, α3, α4) ∈ N4 ; xα1yα2zα3 ∈ (x, y)α4 ∩ (y, z)α4 ∩ (x, z)α4 ∪ 0

H1 = (α1, α2, α3, α4) ∈ N4 ; xα1yα2zα3 ∈ (x, y)α4 ∪ 0 = 〈e1, e2, e3, e1 + e4, e2 + e4〉

H2 = (α1, α2, α3, α4) ∈ N4 ; xα1yα2zα3 ∈ (y, z)α4 ∪ 0 = 〈e1, e2, e3, e2 + e4, e3 + e4〉

H3 = (α1, α2, α3, α4) ∈ N4 ; xα1yα2zα3 ∈ (x, z)α4 ∪ 0 = 〈e1, e2, e3, e1 + e4, e3 + e4〉.


com e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

Como H = H1 ∩H2 ∩H3 entao H e um semigrupo afim finitamente gerado.

Afirmamos que H = 〈e1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4〉.Chamemos H = 〈e1, e2, e3, e1 + e2 + e4, e2 + e3 + e4, e1 + e3 + e4, e1 + e2 + e3 + 2e4〉.Observe que como e1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4 ∈ H

entao H ⊂ H. Resta mostrar que H ⊂ H.

Seja α = (α1, α2, α3, α4) ∈ H. Consequentemente, ∃ ai, bi, ci ∈ N, i = 1, 2, 3, 4, 5

tais que

α = a1e1 + a2e2 + a3e3 + a4(e1 + e4) + a5(e2 + e4)

= (a1 + a4, a2 + a5, a3, a4 + a5) (2.1)

α = b1e1 + b2e2 + b3e3 + b4(e2 + e4) + b5(e3 + e4)

= (b1, b2 + b4, b3 + b5, b4 + b5) (2.2)

α = c1e1 + c2e2 + c3e3 + c4(e1 + e4) + c5(e3 + e4)

= (c1 + c4, c2, c3 + c5, c4 + c5) (2.3)

De 2.1, 2.2 e 2.3 temos (respectivamente):α1 + α2 ≥ α4

α2 + α3 ≥ α4

α1 + α3 ≥ α4

(2.4)

Se α4 = 0 entao α = α1e1 + α2e2 + α3e3 ∈ H.Se α4 ≥ 1 temos que existem pelo menos dois elementos do conjunto α1, α2, α3

nao nulos. De fato, suponha que αi = αj = 0 com i 6= j. Entao, por 2.4, α4 = 0, o que

contradiz a nossa hipotese.

Assim, temos duas possibilidades:

1) α1 = 0 ou α2 = 0 ou a3 = 0

2) α1, α2, α3 ≥ 1

Para a primeira possibilidade, observe que se α1 = 0, por 2.4, α2 ≥ α4 e α3 ≥ α4,

ou seja, ∃ α′2, α′3 ∈ N tais que α2 = α4 + α′2 e α3 = α4 + α′3. Portanto,

α = (0, α2, α3, α4) = (0, α4 + α′2, α4 + α′3, α4) = α′2e2 + α′3e3 + α4(e2 + e3 + e4) ∈ H.

Os outros casos sao analogos.

Para a segunda possibilidade, sejam n1, n2, n3 os maiores naturais que satisfazem

α = n1e1 + n2e2 + n3e3 + α com α ∈ H − 0.


Como cada ni e maior possıvel, α − ei 6∈ H, ∀ i ∈ 1, 2, 3 pois, caso contrario, se por

exemplo α− e1 ∈ H − 0 entao α = (n1 + 1)e1 + n2e2 + n3e3 + α− e1 e por sua vez n1

nao seria maximo.

Desta forma, assumiremos sem perda que α− ei 6∈ H, ∀ i ∈ 1, 2, 3, ou seja,(α1 − 1, α2, α3, α4) 6∈ H

(α1, α2 − 1, α3, α4) 6∈ H

(α1, α2, α3 − 1, α4) 6∈ H

(2.5)

Analisemos o caso (α1 − 1, α2, α3, α4) 6∈ H (os outros sao simetricos).

Note que como α2 + α3 ≥ α4 (por 2.4) temos que xα1−1yα2zα3 ∈ (y, z)α4 , isto e,

(α1 − 1, α2, α3, α4) ∈ H2. Portanto, (α1 − 1, α2, α3, α4) 6∈ H1 ou (α1 − 1, α2, α3, α4) 6∈ H3

o que implica em

α1 − 1 + α2 < α4 ou α1 − 1 + α3 < α4 (2.6)

Para os demais casos temos:

(α1, α2 − 1, α3, α4) 6∈ H ⇒ α2 − 1 + α1 < α4 ou α2 − 1 + α3 < α4 (2.7)

(α1, α2 − 1, α3, α4) 6∈ H ⇒ α3 − 1 + α1 < α4 ou α3 − 1 + α2 < α4 (2.8)

Assim, de 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 temos as seguintes possibilidades:

1) α1 + α2 − 1 < α4, α2 + α3 − 1 < α4 e α1 + α3 − 1 < α4

2) α1 + α2 − 1 < α4, α2 + α3 − 1 < α4 e α1 + α3 − 1 ≥ α4

3) α1 + α2 − 1 < α4, α1 + α3 − 1 < α4 e α2 + α3 − 1 ≥ α4

4) α2 + α3 − 1 < α4, α1 + α3 − 1 < α4 e α1 + α2 − 1 ≥ α4

Se a primeira possibilidade ocorrer, ou seja, se

α1 + α2 − 1 < α4, α2 + α3 − 1 < α4 e α1 + α3 − 1 < α4

entao usando 2.4 temos

α4 ≤ α1 + α2 < α4 + 1 ⇒ α1 + α2 = α4

α4 ≤ α2 + α3 < α4 + 1 ⇒ α2 + α2 = α4

α4 ≤ α1 + α3 < α4 + 1 ⇒ α1 + α3 = α4

e concluımos que α1 = α2 = α3 e α4 = 2α1.

Logo,

α = (α1, α1, α1, 2α1) = α1(e1 + e2 + e3 + 2e4) ∈ H.


Se a segunda possibilidade ocorrer, usando os mesmos argumentos do item an-

terior temos que α1 + α2 = α4 e α2 + α3 = α4 e portanto α1 = α3. Substituindo essas

informacoes na desigualdade α1 + α3 − 1 ≥ α4 encontramos α1 + α1 − 1 ≥ α1 + α2

o que nos leva aconcluir que α1 > α2 e ∃ α′1 > 0 tal que α1 = α2 + α′1.

Portanto,

α = (α1, α2, α3, α4)

= (α2 + α′1, α2, α2 + α′1, 2α2 + α′1)

= (α2, α2, α2, 2α2) + (α′1, 0, α′1, α

′1)

= α2(e1 + e2 + e3 + 2e4) + α′1(e1 + e3 + e4) ∈ H.

As possibilidades 3) e 4) sao analogos a 2).

Assim, H = H = 〈e1, e2, e3, e1 +e2 +e4, e2 +e3 +e4, e1 +e3 +e4, e1 +e2 +e3 +2e4〉.Logo, A = 〈xyt, yzt, xzt, xyzt2〉.

Capıtulo 3

Algebras de Rees simbolicas de

ideais monomiais

Este capıtulo trata das Algebras de Rees associadas a uma filtracao dada por

potencias simbolicas de um mesmo ideal monomial, denominadas Algebras de Rees simbo-

licas de ideais monomiais. Na secao 3.1, mostraremos que tais algebras possuem geracao

finita. Na secao seguinte, introduziremos o conceito de algebra de cobertura de vertices

e provaremos que essas algebras sao um caso particular das Algebras de Rees simbolicas

de ideais monomiais.

3.1 Geracao finita das Algebras de Rees simbolicas

de ideais monomiais

Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e I ⊂ S um ideal monomial livre de quadrado. Sabemos

que ⊕n≥0

I(n)tn =⊕n≥0

(⋂

P∈Min(I)

P n)tn

(posteriormente falaremos mais sobre a igualdade acima) que por sua vez e uma S−algebra

finitamente gerada, usando o teorema 2.0.8.

O objetivo desta secao e mostrar que as Algebras de Rees simbolicas de ideais

monomiais sao, de forma geral, um caso particular do teorema 2.0.8 e portanto sao tambem

finitamente geradas. O proximo lema auxiliara na demostracao da proposicao 3.1.3. Antes

de enuncia-lo, necessitamos lembrar a seguinte definicao:

Sejam A um anel e B um subanel de A. Um elemento x ∈ A e dito ser inteiro

sobre B se satisfaz uma equacao da forma

xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0

29

Algebras de Rees simbolicas de ideais monomiais 30

em que ai ∈ B, ∀ i ∈ 1, . . . , n. Claramente, todo elemento de B e inteiro em B. Se todo

elemento de A e inteiro em B dizemos que A e inteiro em B.

Lema 3.1.1. Sejam A um anel e B um subanel de A. Se A e inteiro em B e A e uma

B−algebra finitamente gerada entao A e um B−modulo finitamente gerado.

Demonstracao. Como A e uma B−algebra finitamente gerada, ∃ ω1, . . . , ωk ∈ A tais

que A = B[ω1, . . . , ωk]. Ademais, como A e inteiro em B, ωi e inteiro em B para todo i.

Afirmamos que se A = B[ω1] entao A e um B−modulo finitamente gerado.

De fato, ∃ n ∈ N tal que ω1n + a1ω1

n−1 + · · ·+ an = 0. Consequentemente,

ω1n+s = −(a1ω1

n+s−1 + · · ·+ anω1s), ∀ s ≥ 0.

Procedendo por inducao em s, podemos ver que todas as potencias de ω1 per-

tencem ao B−modulo gerado por 1, ω1, . . . , ω1n−1. Portanto, A = B[ω1] e um B−modulo

finitamente gerado, o que conclui a afirmacao.

Agora, supondo B[ω1, . . . , ωu] um B− modulo finitamente gerado para todo u tal

que 1 ≤ u < k, vamos mostrar que B[ω1, . . . , ωu] um B− modulo finitamente gerado para

u = k.

Seja Bu = B[ω1, . . . , ωu]. Entao, por hipotese de inducao, Bk−1 e um B−modulo

finitamente gerado. Por outro lado, como ωk e inteiro sobre Bk−1 (pois B ⊂ Bk−1),

Bk = Bk−1[ωk] e um Bk−1−modulo finitamente gerado.

Portanto, e possıvel verificar facilmente que Bk = B[ω1, . . . , ωk] e um B−modulo

finitamente gerado.

2

Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e considere = = Inn∈N uma filtracao de ideais ho-

mogeneos de S.Denote por A =

⊕n≥0

Intn a Algebra de Rees associada a =. Define-se

A(d) =⊕n≥0

And =⊕n≥0

Indtnd

como sendo a d-esima veronessiana de A.E facil ver que A(d) e uma subalgebra de A.

Definicao 3.1.2. Seja B uma B0−algebra. Dizemos que B e uma B0−algebra graduada

padrao se e isomorfa ao anel quociente de B0[x1, x2, . . . , xr] por um ideal homogeneo.

A proposicao a seguir estabelece duas equivalencias para que uma S−algebra seja

finitamente gerada. Nesse contexto, trata-se apenas de um resultado tecnico que sera util

posteriomente.


Proposicao 3.1.3. Sao equivalentes:

(a) A e uma S-algebra finitamente gerada.

(b) Existe um numero natural d tal que A(d) e uma S−algebra graduada padrao.

(c) Existe um numero natural d tal que A(d) e uma S−algebra finitamente gerada.

Demonstracao. (a) ⇒ (b) Como A e uma S−algebra finitamente gerada e = e uma

filtracao de ideais homogeneos, pela proposicao 1.4.5, A = S[f1tc1 , . . . , fmt

cm ] em que

fi ∈ Ici e um elemento homogeneo, ∀ i ∈ 1, . . . ,m. Seja c = MMCc1, . . . , cm.Defina B = S[g1, . . . , gm] com gi = fi

cci tc. Note que B e um subanel de A.

Alem disso,

B =⊕j≥0

Bj

com Bj = 〈uα1···αmg1α1 · · · gmαm ; |α| :=

m∑i=1

αi = j , uα1···αm ∈ S〉, ∀ j > 0 e B0 = S.

Observe que como ficci ⊂ (Ici)

cci ⊂ Ic entao gi ∈ Ac, ∀ i.

Consequentemente, uα1···αmg1α1 · · · gmαm ∈ (Ac)

j ⊂ Ajc, ou seja, Bj ⊂ Ajc para

todo j ∈ N.Por outro lado, como fit

ci e um elemento inteiro em B (pois e raiz do polinomio

p(x) = xcci − gi) para todo i, e A e em particular uma B−algebra finitamente gerada,

pelo lema 3.1.1 temos que A e um B−modulo finitamente gerado. Por sua vez, como B e

noetheriano (pois e imagem homomorfica do anel de polinomios em m variaveis sobre S)

entao A(c) e tambem um B−modulo finitamente gerado.

Seja ak ∈ Askc ; k = 1, . . . , θ um conjunto de geradores de A(c) como B−modulo

e considere d = sc em que s = maxs1, . . . , sθ.Afirmamos que Ajd = Ad

j, ∀ j ≥ 0.

Com efeito, para j = 0 ou j = 1 e trivial. Suponha a afirmacao valida para todo

j ≥ 1 e mostremos que a mesma e valida para j + 1.

Para isso, note que BjAkc = A(j+k)c, ∀ j ≥ 0 e k ≥ s.

De fato, como Bj ⊂ Ajc tem-se BjAkc ⊂ AjcAkc ⊂ A(j+k)c. Reciprocamente,

considere f ∈ A(j+k)c ⊂ A(c). Entao

f = ht(j+k)c =∑λ

bλaλ com h ∈ I(j+k)c, bλ ∈ B e aλ ∈ Asλc.

Observe que, k ≥ s ≥ sλ. Alem disso, o grau em t de bλ e (j + k)c − sλc, para

todo λ.


Fixado λ, para simplificar a notacao, escreva

bλ =∑

|α|=(j+k)−sλ

uα1···αmg1α1 · · · gmαm

=∑

|α|=(j+k)−sλ

uα1···αm(f1

cc1 )α1 · · · (fm

ccm )αmt(j+k)c−sλ e

aλ = aλtsλ com aλ ∈ Isλc

Desta forma, e suficiente mostrar que

aλuα1···αm(f1

cc1 )α1 · · · (fm

ccm )αmt(j+k)c ∈ BjAkc

com |α| = (j + k)− sλ.Como α ∈ Nm e |α| = j + (k− sλ) entao ∃ β, γ ∈ Nm tais que α = β + γ em que

|β| = j e |γ| = k − sλ.Portanto, aλuα1···αm(f1

cc1 )α1 · · · (fm

ccm )αmt(j+k)c

= [uα1···αm(f1

cc1 )β1 · · · (fm

ccm )βmtjc][aλ(f1

cc1 )γ1 · · · (fm

ccm )γmtkc]

= [uα1···αmg1β1 · · · gmβm ][aλ(f1

cc1 )γ1 · · · (fm

ccm )γmtkc] ∈ BjAkc

pois, aλ ∈ Isλc e para cada i, (ficci )γi ∈ Icγi ⊂ Icγi .

Com isso, concluımos que BjAkc = A(j+k)c, ∀ j ≥ 0 e k ≥ s. Em particular,

trocando j por js e k por ks temos

BjsAkd = BjsAksc = A(js+ks)c = A(j+k)d, ∀ j, k ≥ 0.

Note ainda que BjBj = Bj+j, ∀ j, j ≥ 0.

Assim,

A(j+1)d = BjsAd = Bs(B(j−1)sAd) = BsAjd = BsAdj ⊂ AscAd

j = AdAdj ⊂ Ad

j+1.

Como a outra inclusao e obvia, concluımos a afirmacao.

Para finalizar a demonstracao, considere o homomorfismo de S−algebras induzido

por

ϕ : S[y1, . . . , yl] 7−→ A(d)

yi 7−→ pi = qitd com qi ∈ Id

em que p1, . . . , pl e um conjunto de geradores homogeneos de Ad como S−modulo.

Se mostrarmos que ϕ e um epimorfismo de S−algebras cujo nucleo e um ideal

homogeneo, obtemos o desejado. Com efeito, claramente ϕ e um homomorfismo. Se

f ∈ A(d) entao

f = f0 + f1 + · · ·+ fn com fj ∈ Ajd.


Para cada j fixo, j ≥ 1, como Ajd = Adj,

fj =∑λ

vλ1···λl pλ11 · · · p

λll , |λ| = j.

Assim, tomando g0 = f0 e gj =∑λ

vλ1···λly1λ1 · · · ylλl para 1 ≤ j ≤ n em S[y1, . . . , yl]

tem-se ϕ(gj) = fj para todo j. Logo, ϕ e sobrejetiva.

Seja p ∈ S[y1, . . . , yl] tal que ϕ(p) = 0. Escreva

p = p0 + p1 + · · ·+ pn

em que pj e um polinomio homogeneo de grau j, em S[y1, . . . , yl], isto e,

pj =∑|λj |=j

ωλ1j ···λljy1λ1j · · · ylλlj para 1 ≤ j ≤ n em que λj = (λ1j, . . . , λlj) e p0 ∈ S.

Portanto,

0 = ϕ(p) = ϕ(p0) + ϕ(p1) + · · ·+ ϕ(pn)

= p0 + (∑|λ1|=1

ωλ11···λl1 q1λ11 · · · qlλl1)td + · · ·+ (

∑|λl|=l

ωλ1l···λll q1λ1n · · · qlλln)tnd,

ou seja, 0 = (∑|λj |=j

ωλ1j ···λlj q1λ1j · · · qlλlj)tjd = ϕ(pj) para todo j tal que 1 ≤ j ≤ n e

p0 = ϕ(p0) = 0. Portanto, pj ∈ Nuc(ϕ), ∀ j. Logo, pela observacao 1.4.1, Nuc(ϕ) e um

ideal homogeneo.

(b)⇒ (c) E imediato.

(c)⇒ (a) Para cada j ∈ 0, . . . , d− 1, defina

A(d;j) :=⊕n≥0

And+j.

Note que A(d;j) e um A(d)−modulo. Com efeito, basta ver que AidAnd+j ⊂ A(i+n)d+j para

todo i, n ≥ 0.

Seja

ψn : And+j −→ A(d)

hntnd+j 7−→ hnt

nd, hn ∈ Ind+j ⊂ Ind.

Se ψn(hntnd+j) = ψn(hnt

nd+j) entao hntnd = hnt

nd, isto e, hn = hn. Portanto, ψn e um

homomorfismo injetor, ∀ n ∈ N. Consequentemente, definindo

ψ : A(d;j) 7−→ A(d)

h0td + h1t

d+j + · · ·+ hktkd+j 7−→ h0 + ψ1(h1t

d+j) + · · ·+ ψk(hktkd+j).


temos que ψ e um homomorfismo injetor de A(d)−modulos.

Assim, A(d;j) e isomorfo a um submodulo de A(d) (como A(d)−modulo) que e, em

particular, um ideal de A(d). Consequentemente, como A(d) e uma S−algebra finitamente

gerada, A(d;j) e um (ideal) submodulo de A(d) finitamente gerado, ∀ j ∈ 0, · · · , d− 1.

Portanto, A =d−1⊕j=0

A(d;j) e um A(d)−modulo e finitamente gerado, o que e sufi-

ciente para concluir a prova.

2

Definicao 3.1.4. Sejam I, J ⊂ S ideais homogeneos. A n-esima potencia simbolica de I

com respeito a J e o ideal dado por

In : J∞ = f ∈ S; fJk ⊂ In para algum k ∈ N

Note se J ⊂√In, como J ⊂ S e S e um anel noetheriano, entao ∃ k ∈ N tal que

Jk ⊂ (√In)k ⊂ In (ver ref. [13]). Portanto, neste caso, In : J∞ = S.Se J 6⊂

√In entao

In : J∞ =⋂

P∈Ass(In), J 6⊂P

Q(P )

em que In =⋂

P∈Ass(In)

Q(P ) e uma decomposicao primaria de In.

Com efeito, se f ∈ In : J∞ entao fJk ⊂ In para algum k ∈ N. Consequente-

mente, como In =⋂

P∈Ass(In)

Q(P ), em particular,

fJk ⊂ Q(P ), para todo P ∈ Ass(In) tal que J 6⊂ P.

Para cada P tal que J 6⊂ P, ∃gP ∈ J tal que (gP )k 6∈ P. Como f(gP )k ∈ Q(P )

concluımos que f ∈ Q(P ), ∀ P ∈ Ass(In) tal que J 6⊂ P, ou seja,

f ∈⋂


Q(P ).

Reciprocamente, para cada P ∈ Ass(In), como P ⊂ S e S e um anel noetheriano,

existe k(P ) ∈ N tal que P k(P ) ⊂ Q(P ). Tomando k = maxk(P ); J ⊂ P temos que

P k ⊂ Q(P ) para todo P ∈ Ass(In) com J ⊂ P. Entao, Jk ⊂ P k ⊂ Q(P ) para todo

P ∈ Ass(In) tal que J ⊂ P, isto e,

Jk ⊂⋂

P∈Ass(In), J⊂P

Q(P ).

Assim, se g ∈⋂


Q(P ) entao gJk ⊂ In. Logo, g ∈ In : J∞.


A Algebra de Rees simbolica de I com respeito a J e definido como sendo a

S−algebra graduada ⊕n≥0

(In : J∞)tn.

Mostraremos que para ideais monomiais esta algebra e finitamente gerada. Come-

cemos enunciando um lema que nos sera util.

Lema 3.1.5. Sejam I, J ideais monomiais de S, A = P ∈ Ass(I); J 6⊂ P e P1, P2, . . . , Pu

elementos maximos de A (com respeito a inclusao). Se Ass(I : J∞) = Ass(In : J∞) para

todo n ∈ N e I =⋂

P∈Ass(I)

Q(P ) e uma decomposicao primaria de I. Entao

(In : J∞) =u⋂i=1

Qin, ∀ n ∈ N

com Qi :=⋂

P∈Ass(I), P⊂Pi

Q(P ) para todo i = 1, 2, . . . , u.

Demonstracao. Dado n ∈ N, seja In : J∞ =⋂

P∈Ass(In:J∞)

Qn(P ) uma decomposicao

primaria de In : J∞. Uma vez que Ass(I : J∞) = Ass(In : J∞),

In : J∞ =⋂

P∈Ass(I:J∞)

Qn(P ).

Defina Qn,i :=⋂

P∈Ass(I:J∞), P⊂Pi

Qn(P ). Observe que A = Ass(I : J∞). Assim,

como P1, P2, . . . , Pr sao elementos maximos de A temos:

(In : J∞) =u⋂i=1

Qn,i.

Resta mostrar que Qn,i = Qin, ∀ i ∈ 1, . . . , u.

Renomeando as variaveis x1, x2, . . . , xr, se necessario, assuma Pi = (x1, x2, . . . , xs)

em que s ≤ r (pela proposicao 1.1.11 os primos asssociados de I sao gerados por subcon-

juntos de variaveis).

Seja R = K[x1, . . . , xr]Pi = K(xs+1, . . . , xr)[x1, . . . , xs].

Para cada monomio f ∈ K[x1, . . . , xr], denote por f ∗ o divisor de f, de maior

grau possıvel, envolvendo apenas as variaveis x1, x2, . . . , xs. E imediato que (fg)∗ = f ∗g∗

para f, g monomios. Afirmamos que:

1) Qi = Iec = (f ∗)f∈I, f monomio

2) Qn,i = (In)ec = (g∗)g∈In, g monomio


1) Note que

Iec =⋂

P∈Ass(I)

(Q(P ))ec =⋂

P∈Ass(I), P⊂Pi

Q(P )ec =⋂

P∈Ass(I), P⊂Pi

Q(P ) = Qi.

Seja f ∗ ∈ (f ∗)f∈I, f monomio. Consequentemente, ∃ t ∈ K[xs+1, . . . , xr] tal que

f = tf ∗ ∈ I, ou seja,f ∗

1=f

t∈ Ie.

Portanto, f ∗ ∈ Iec e por sua vez (f ∗)f∈I, f monomio ⊂ Iec.

Reciprocamente, como Iec e um ideal monomial (pois, Qi = Iec), e suficiente

provar que todo monomio de Iec esta em (f ∗)f∈I, f monomio.

Seja p ∈ Iec, p monomio. Entao,

p

1=f

scom f ∈ I e s ∈ K[xs+1, . . . , xr],

o que implica em, sp = f ∈ I. Como I e um ideal monomial, considerando c como sendo

o coeficiente do termo lıder de sp, o monomio

h :=termo lıder(sp)

c=

termo lıder(s)p

c∈ I.

Por conseguinte, h∗ = p∗ ∈ (f ∗)f∈I, f monomio. Logo, como p∗|p temos que p ∈ (f ∗)f∈I, f monomio.

2) E analogo a demonstracao anterior.

Portanto, como todo monomio g∗ com g ∈ In pode ser escrito como produto de

n elementos da forma f ∗ com f ∈ I, isto e, se g = fn com f ∈ I tem-se g∗ = (f ∗)n, entao

Qn,i = Qin.

2

Teorema 3.1.6. Sejam I, J ⊂ S ideais monomiais. Entao A =∞⊕n=0

(In : J∞)tn e uma

S−algebra finitamente gerada.

Demonstracao. Pela proposicao 3.1.3, e suficiente mostrar que

A(d) =⊕n≥0

(Idn : J∞)tn

e uma S−algebra finitamente gerada para algum d ∈ N.Afirmamos que ∃ d ∈ N tal que Ass(I : J∞) = Ass(In : J∞), ∀ n ∈ N com

I = Id.

Com efeito, como ∃ d ∈ N tal que Ass(Id) = Ass(In), ∀ n ≥ d (ver ref.[3]), em

particular, Ass(Id) = Ass(Idn), ∀ n ∈ N. Assim,

Ass(Idn : J∞) = P ∈ Ass(Idn); J 6⊂ P

= P ∈ Ass(Id); J 6⊂ P

= Ass(Id : J∞).


Definindo I := Id, obtemos o desejado.

Como I e um ideal monomial, considerando os Qi′s como no lema 3.1.5 temos:

A(d) =⊕n≥0

(In : J∞)tn =⊕n≥0

(u⋂i=1

Qin)tn

em que os Qi′s sao ideais monomiais (pois, cada Qi e uma intersecao finita de ideais

monomiais).

Logo, pelo teorema 2.0.8, A(d) e uma S−algebra finitamente gerada.

2

Corolario 3.1.7. Se I ⊂ S e um ideal monomial entao⊕n≥0

I(n)tn e uma S−algebra

finitamente gerada.

Demonstracao. Seja⋂

P∈Ass(In)

Q(P ) uma decomposicao primaria de In.

Se Ass(In) = Min(I) para todo n ∈ N entao

I(n) =⋂

P∈Min(I)

Q(P ) =⋂

P∈Ass(In)

Q(P ) = In, ∀ n ∈ N

e neste caso a tese segue do teorema 1.4.6.

Se existe n ∈ N tal que Ass(In) 6= Min(I) entao

I(n) = In : J∞ com J =⋂

P∈Ass∗(I)\Min(I)

P,

em que Ass∗(I) =⋃n≥0

Ass(In) (note que Ass∗(I) e um conjunto finito por [3]). Com

efeito, como In : J∞ =⋂

P∈Ass(I), J 6⊂P

Q(P ) definindo D = P ∈ Ass(In); J 6⊂ P e

suficiente mostrar que D = Min(I).

Se P ∈ Ass(In) ⊂ Ass∗(I) e P 6∈ Min(I) entao P 6∈ D.Por outro lado, se P ∈ Min(I) e J ⊂ P entao ∃ P ∈ Ass(In)\Min(I) (para algum

n ∈ N) tal que P ⊂ P . Consequentemente, In ⊂ P ⊂ P o que equivale a I ⊂ P ⊂ P .

Assim, pela observacao 1.1.9, ∃ P ∈ Ass(I) tal que P ⊂ P ⊂ P . Como P ∈ Min(I) tem-se

P = P , o que e um absurdo. Neste caso, o resultado segue do teorema 3.1.6.

2

O corolario anterior mostra que as Algebras de Rees simbolicas de ideais mono-

miais sao finitamente geradas, mas nao da informacoes sobre os geradores dessas algebras.

O exemplo a seguir explicitara um conjunto de geradores em um caso particular.

Exemplo 3.1.8. Seja I = (xy, yz, xz) ⊂ K[x, y, z] um ideal monomial e

I = (x, y) ∩ (y, z) ∩ (x, z)


uma decomposicao primaria de I. Como I e gerado por monomios livres de quadrado,

I(n) = (x, y)(n) ∩ (y, z)(n) ∩ (x, z)(n).

Alem disso, (x, y)(n) = (x, y)n, (y, z)(n) = (y, z)n e (x, z)(n) = (x, z)n pois (x, y), (y, z) e

(x, z) sao ideais gerados por subconjuntos de variaveis.

Assim,⊕n≥0

I(n)tn =⊕n≥0

[(x, y)n ∩ (y, z)n ∩ (y, z)n]tn = 〈xyt, yzt, xzt, xyzt〉

como foi visto no exemplo 2.0.9.

De forma geral, se I e um ideal radical de um anel noetheriano A,

I(n) =⋂

P∈Min(I)

P (n).

Alem disso, se P e gerado por uma sequencia regular entao P (n) = P n. No caso particular

que I e um ideal de S gerado por monomios livres de quadrado,

I(n) =⋂

P∈Min(I)

P n.

O leitor interessado pode encontrar tais resultados em [3].

3.2 Algebras de cobertura de vertices

Nesta secao estudaremos as coberturas de vertices associadas a grafos simples.

Mostraremos que para cada grafo simples existe apenas um numero finito de coberturas

de vertices indecomponıveis. A estrategia usada sera traduzir esse problema combinatorio

para um problema algebrico, mais precisamente, ao estudo do tipo de geracao das Algebras

de Rees simbolicas de ideais monomiais.

Dado um conjunto finito [r] := 1, . . . , r, um grafo simples G de vertices em [r]

e um par G = ([r], E(G)) em que E(G) e uma colecao de subconjuntos i, j com i 6= j

de [r] chamados arestas.

Um subconjunto C ⊂ [r] e chamado uma cobertura de vertices de G se para toda

aresta i, j de G, i ∈ C ou j ∈ C.

Exemplo 3.2.1. G = ([3], E(G)) em que E(G) = 1, 2, 1, 3, 2, 3 e um grafo

simples chamado triangulo.

C1 = 1, 2, C2 = 2, 3, C3 = 1, 3 e C4 = 1, 2, 3 sao todas as coberturas de

vertices de G.


Figura 3.2.1: Grafo do triangulo.

Um subconjunto C ⊂ [n] pode ser identificado com um (0, 1)−vetor aC ∈ Nr

dado por

aC(i) =

1, se i ∈ C0, se i 6∈ C

em que aC(i) denota a i-esima coordenada do vetor aC ∈ Nr.

Claramente um (0, 1)−vetor aC ∈ Nr corresponde a uma cobertura de vertices

de G se, e somente se, aC(i) + aC(j) ≥ 1, ∀ i, j ∈ E(G).

De modo geral, chamaremos um vetor a = (a1, . . . , ar) ∈ Nr de uma cobertura de

vertice de G de ordem k se ai + aj ≥ k, ∀ i, j ∈ E(G).

Uma cobertura de vertice ordinaria corresponde segundo a nossa definicao a um

(0, 1)−vetor que e uma cobertura de vertice de ordem 1.

Dizemos que uma cobertura de vertice a de grau k e decomponıvel se existem

coberturas de vertice b e c 6= a de graus i e j respectivamente tais que a = b+c e k = i+j.

Caso contrario, a e dita indecomponıvel.

Exemplo 3.2.2. Seja G o grafo do triangulo. Entao a = (1, 1, 1) e uma cobertura de

vertices de ordem 2 indecomponıvel. De fato, se a = b+ c com b, c 6= a temos:

a = (1, 0, 0) + (0, 1, 1) ou a = (0, 1, 0) + (1, 0, 1) ou a = (0, 0, 1) + (1, 1, 0).

Em qualquer uma das possibilidades, a ordem de b e 0 e a ordem de c e 1.

Seja A(G) uma subalgebra de S[t] gerada pelo conjunto

x1a1 · · ·xrartk ; a = (a1, . . . , ar) ∈ Nr e uma cobertura de vertice de G de ordem k.

Note que

A(G) =⊕k≥0

Ak(G)

em que A0(G) = S e Ak(G) e um S−modulo gerado por

x1a1 · · ·xrartk ; a e uma cobertura de vertice de ordem k.


Com efeito, se a = (a1, . . . , ar) e uma cobertura de vertice de ordem k e

b = (b1, . . . , br) e uma cobertura de vertice de ordem l entao como

(x1a1 · · ·xrartk)(x1

b1 · · ·xrbrtl) = x1a1+b1 · · ·xrar+brtk+l

em que (ai + bi) + (aj + bj) = (ai + aj) + (bi + bj) ≥ k + l para todo i, j ∈ E(G) temos

que a+ b e uma cobertura de vertice de ordem k + l.

Logo, Ak(G)Al(G) ⊂ Ak+l(G).

Assim, A(G) e uma S−algebra graduada a qual denominamos de algebra de cober-

tura de vertices.

Defina

I∗(G) :=⋂

i,j∈E(G)

Pi,j

em que Pi,j e o ideal primo gerado pelas variaveis xi e xj.

Proposicao 3.2.3. Seja G um grafo simples no conjunto de vertices [r]. Entao A(G)

e a algebra de Rees simbolica do ideal I∗(G). Em particular, A(G) e uma S−algebra

finitamente gerada.

Demonstracao. Note que Ak(G) = I∗(G)(k)tk para todo k ∈ N.De fato, como

x1a1 . . . xr

artk ∈ Ak(G) ⇔ ai + aj ≥ k, ∀i, j ∈ E(G)

ai + aj ≥ k, ∀i, j ∈ E(G) ⇔ x1a1 . . . xr

ar ∈ Pi,jk, ∀i, j ∈ E(G)

x1a1 . . . xr

ar ∈ Pi,jk, ∀i, j ∈ E(G) ⇔ x1a1 . . . xr

ar ∈⋂

i,j∈E(G)

Pi,jk.

e Pi,j e gerado por um subconjunto de variaveis temos que x1a1 . . . xr

artk ∈ Ak(G), o que

equivale a dizer que

x1a1 . . . xr

ar ∈⋂

i,j∈E(G)

Pi,jk =

⋂i,j∈E(G)

Pi,j(k) = I∗(G)(k).

Portanto, pelo corolario 3.1.7, A(G) e uma S−algebra finitamente gerada.

2

Seja a = (a1, . . . , ar) uma cobertura de vertices de ordem k. Por definicao, a e

uma cobertura de vertices decomponıvel se existem b e c coberturas de vetices disjuntas

de a de ordens i e j respectivamente tais que a = b + c e k = i + j. Do ponto de vista

algebrico, a e uma cobertura de vertices decomponıvel se, e somente se,

x1a1 · · ·xrartk = (x1

b1 · · · xrbrti)(x1c1 · · ·xrcrtj)

com x1b1 · · ·xrbrti ∈ Ai(G) e x1

c1 · · ·xrcrtj ∈ Aj(G), b, c 6= a.


E facil ver que cada cobertura de vertice de G indecomponıvel de ordem > 0

esta associada de forma biunıvoca a um gerador monomial mınimo da S−algebra A(G),

ou seja, a um monomio que gera a S−algebra A(G) e nao e escrito como produto de

dois elementos de A(G) diferentes de 1. Alem disso, o conjunto formado pelos geradores

monomiais mınimos de A(G) e unicamente determinado. Com efeito, se existissem dois

conjuntos disjuntos com essa propriedade, teriamos um elemento que pertenceria a apenas

um deles, mas que seria produto de elementos diferentes de 1 do outro, o que e impossıvel.

Ademais, as coberturas de vertices indecomponıveis de ordem 0 sao apenas o vetor nulo e

os vetores da base canonica e1, . . . , er ∈ Nr. De fato, se a = (a1, . . . , ar) e uma cobertura

de vetices de ordem 0,

a = a1e1 + · · ·+ arer

= e1 + · · ·+ e1︸︷︷︸a1−vezes

+ · · ·+ er + · · ·+ er︸︷︷︸ar−vezes

em que cada ei e uma cobertura de vetices de ordem 0.

Portanto, pelo lema 3.2.3, como A(G) e uma S−algebra finitamente gerada, existe

apenas um numero finito de coberturas de vertices de G indecomponıveis.

Exemplo 3.2.4. Seja G o grafo do triangulo. Neste caso,

A(G) =⊕n≥0

I∗(G)(n)tn em que I∗(G) = (x, y) ∩ (y, z) ∩ (x, z).

Pelo exemplo 3.1.8, A(G) = 〈xyt, yzt, xzt, xyzt〉. Note que xyt, yzt, xzt e xyzt sao gera-

dores mınimos de A(G). Com efeito, se escrevermos esses elementos como produto de

dois outros diferentes de 1 temos as seguintes possibilidades:

xyt = x(yt) = y(xt) = (xy)t

yzt = y(zt) = z(yt) = (yz)t

xzt = x(zt) = z(xt) = (xz)t

xyzt2 = x(yzt2) = y(xzt2) = z(yzt2) = xy(zt2) = yz(xt2) = xz(yt2) = xyz(t2)

Como I∗(G)(n)tn = (x, y)n ∩ (y, z)n ∩ (x, z)ntn (veja o exemplo 3.1.8), e possıvel

verificar facilmente que em nenhum dos casos os dois fatores pertencem simultaneamente

a A(G).

Logo, (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 1) sao as unicas coberturas de vertices

indecomponıveis de ordem > 0 do grafo do triangulo sendo que as tres primeiras sao de

ordem 1 e a ultima de ordem 2.

Note que no exemplo anterior o grau maximo (em t) dos geradores mınimos da

algebra de cobertura de vertices associada ao grafo do triangulo e 2. De forma geral, 2 e

uma cota superior para o grau dos geradores mınimos de A(G) (veja [6]).


O conceito de cobertura de vertices pode ser facilmente estendida para complexos

simpliciais pesados. Um peso em um complexo simplicial ∆ e uma funcao ω que associa a

cada faceta de ∆ um numero natural. Assim, a algebra de cobertura de vertices A(∆, ω)

e definida de forma similar ao caso do grafo (descrito nessa secao), alem de ser tambem

finitamente gerada. Em adicao, A(∆, ω) e normal e Cohen-Macaulay. Esses conceitos e

resultados podem ser encontrados em [6].

Conclusao

Embora esta dissertacao mostre que as Algebras de Rees simbolicas de ideais

monomiais tem tipo de geracao finita, ela nao fornece informacoes sobre esses geradores.

No caso particular em que os ideais monomiais sao gerados por monomios livres

de quadrado, em 2004, Bahiano em [2] estabeleceu uma quota superior para o tipo de

geracao das Algebras de Rees associadas a esses ideais. Esse mesmo trabalho nos motivou

a adaptar para a nossa linguagem um exemplo, originalmente tratado em [2], de uma

Algebra de Rees simbolica em que um conjunto de geradores e explicitado.

Para o caso em que os ideais monomiais sao quaisquer, ainda nao existe uma cota

superior para o tipo de geracao nem outro tipo de informacao sobre os geradores.

Outra questao que surgiu naturalmente ao longo deste trabalho e se a intersecao

finita de algebras finitamente geradas e sempre finitamente gerada. Essa pergunta tem

como motivacao o fato de mostrarmos neste texto que, em particular, a resposta e po-

sitiva, se a intersecao e dada por um numero finito de Algebras de Rees ordinarias as-

sociadas a ideais monomiais. Se essa conjectura for verdadeira, isso fornecera uma nova

demonstracao para o caso acima, mais simples que a apresentada no segundo capıtulo

desta dissertacao.

43

Referencias Bibliograficas

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Berlin: Springer-Verlag, 1994. (Graduate Texts in Mathematics, 150)

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44

Referencias 45

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Verlag, 1958.

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