FIS107 Mecânica Estatística - Pós-graduação em Física ...fis107.files.wordpress.com/2019/08/fis107-7-bosons-new.pdf · 3 ⇣(3/2) (b) Neste caso se deve determinar o temperatura

!1

FIS107 Mecânica Estatística - Pós-graduação em Física - UFABC Prof. Germán Lugones

CAPÍTULO 7 Estatística de Bose-Einstein

No capítulo anterior mostramos que para um gás de bósons se verifica

�

onde devemos ter � para todo � para que a função de partição � não fique divergente.No limite termodinâmico V →∞, os níveis de energia de uma partícula tendem a formar um contínuo. Portanto, podemos substituir as somatórias das equações acima por integrais,

�

A somatória deve ser realizada sobre todos os estados de uma partícula; logo, a integração deve ser feita no espaço das fases de uma partícula.

PVkT

= ln Ξ(z, V, T ) = − ∑i

ln (1 − ze−βϵi) Eq. (1)

N = ∑i

1z−1eβϵi − 1 Eq. (2)

ze−βϵi < 1 ϵi Ξ

∑i

⋯ ⟶ 1h 3 ∫ ⋯d 3qd 3p

Gás ideal de bósons não relativísticos

!2

Os integrandos advindos das Eqs. (1) e (2) dependem apenas das energias de uma partícula. Como o nosso intuito é descrever partículas não-interagentes, o integrando deve depender apenas do módulo do momentum. Isto significa que:

• o integrando não depende das coordenadas {q} e a integral em d3q resulta em um fator V,

• se integrarmos em coordenadas esféricas, a integração angular dará como resultado um fator ! e restará uma integral no módulo de p.

• podemos escrever a integração apenas em função da energia de uma partícula, usando a relação de dispersão ! ou ! .

!

4π

ϵ = ϵ(p) p = p(ϵ)

∑i

⋯ ⟶ 1h 3 ∫ ⋯d 3qd 3p = V

h 3 ∫ ⋯4πp2dp = Vh 3 ∫ ⋯4πp(ϵ)2 dp

dϵdϵ

!3

A relação anterior pode ser condensada na forma:

!

sendo

!

onde ! é o número de microestados com energias entre ! e ! + d!.

∑i

⋯ ⟶ ∫ ⋯ω(ϵ)dϵ

ω(ϵ) = 4πVh 3 p(ϵ)2 dp

dϵω(ϵ)dϵ

!4

EXEMPLOS:

1. No caso de partículas livres não-relativisticas temos ! , logo:

!

Portanto: !

2. No caso de partículas livres relativisticas temos ! , logo:

!

Portanto: !

ϵ = p2/(2m)

p(ϵ)2 = 2mϵ, dpdϵ

= 12 (2m)1/2ϵ−1/2 ⟹ ω(ϵ) = 2πV

h 3 (2m)3/2ϵ1/2

∑i

⋯ ⟶ 2πVh 3 (2m)3/2 ∫

∞

0⋯ϵ1/2dϵ

ϵ = p2c2 + m2c4

p(ϵ)2 = 1c2 (ϵ2 − m2c4), dp

dϵ= 1

cϵdϵ

ϵ2 − m2c4

⟹ ω(ϵ) = 4πVh 3c3 (ϵ2 − m2c4)1/2dϵ

∑i

⋯ ⟶ 4πVh 3c3 ∫

∞

mc2⋯ (ϵ2 − m2c4)1/2dϵ

!5

Vamos nos concentrar agora no caso de partículas livres não-relativisticas. Substituindo as somas por integrais obtemos:

!

Porém, estas expressões estão incompletas já que ao introduzirmos a densidade de estados ω(ε) estamos negligenciando o estado com energia ε = 0 que está presente nas expressões originais (veja que ω(0) = 0).

PVkT

= − 2πVh 3 (2m)3/2 ∫

∞

0ϵ1/2 ln (1 − ze−βϵ) dϵ

N = 2πVh 3 (2m)3/2 ∫

∞

0

ϵ1/2dϵz−1eβϵ − 1

!6

!7

Para corrigir esta omissão, calculamos explicitamente o termo com ε = 0 a partir das Eqs. (1) e (2).

O termo com ! na Eq. (1) é:

!

O termo com ε=0 na Eq. (2) representa o número de partículas no estado fundamental, o qual será chamado de N0:

!

Comentário: Usando a última equação podemos escrever a fugacidade em função de N0:

!

ϵ = 0

− ln(1 − ze−β0) = − ln(1 − z)

N0 = 1z−1eβ0 − 1 = z

1 − z

z = N0N0 + 1

!8

Adicionando a contribuição do estado com ε=0 as Eqs. (1) e (2) ficam:

�

• O limite inferior pode ser tomado com zero já que o integrando não acrescenta nenhuma contribuição para ε=0.

• Vejamos qual é a contribuição do termo -ln(1-z) na equação para PV/(kT):

�

N0 é o número de partículas no estado fundamental, o qual em princípio pode adotar valores entre 0 e o número total de partículas: N0=0,1,…,N. Logo, podemos afirmar que N0≤N.

PVkT

= − 2πVh 3 (2m)3/2 ∫

∞

0ϵ1/2 ln (1 − ze−βϵ) dϵ − ln(1 − z)

N = 2πVh 3 (2m)3/2 ∫

∞

0

ϵ1/2dϵz−1eβϵ − 1 + z

1 − z

− ln(1 − z) = − ln(1 − N0N0 + 1 ) = ln(N0 + 1)

!9

Assim, temos

!

O primeiro termo na equação para PV/(kT) é proporcional ao volume, mas o segundo é (no máximo) proporcional ao logaritmo do número de partículas.

Portanto, no limite termodinâmico (V→∞, N →∞), o segundo termo é desprezível em relação ao primeiro.

− ln(1 − z) ≤ln(N + 1)

!10

Definindo x="# e integrando por partes na Eq. para PV/(kT), obtemos:

�

onde � é a função de Bose-Einstein de índice ν, definida como:

�

Na expressão anterior � é a função Gamma:

�

PVkT

= − 2π

Vλ3 ∫

∞

0x1/2 ln (1 − ze−x) d x = V

λ34

3 π ∫∞

0

x3/2d xz−1ex − 1 = V

λ3 g 5/2(z)

N − N0 = 2π

Vλ3 ∫

∞

0

x1/2d xz−1ex − 1 = V

λ3 g 3/2(z)

g ν(z)

g ν(z) = 1Γ(ν) ∫

∞

0

xν−1d xz−1ex − 1

Γ(ν)

Γ(ν) = ∫∞

0xν−1e−xd x

!11

Para números inteiros temos: !

Alguns valores de interesse são:

!

Γ(ν) = (ν − 1)!

Γ ( 32 ) =

π2

Γ ( 52 ) =

3 π4

!12

A energia interna U pode ser obtida da seguinte forma:

!

Comparando a última equação com a expressão

!

vemos que se verifica a relação:

! .

U = − ∂∂β

ln Ξz,V

= kT2 ∂∂T ( PV

kT )z,V

= kT2 ∂∂T ( V

λ3 g 5/2(z))z,V

= kT2Vg 5/2(z) ∂∂T ( 1

λ3 )z,V

= 32 kT

Vλ3 g 5/2(z)

PVkT

= Vλ3 g 5/2(z)

P = 23

UV

!13

Potencial químico e fugacidade

Lembremos (ver capítulo anterior) que em um gás de Bose-Einstein se deve verificar que o potencial químico ! deve ser menor que a energia do estado fundamental de uma partícula.

No caso que estamos analisando (gás ideal de bósons não relativísticos; !=p2/2m) a menor energia possível é !=0, e portanto,

Assim, a fugacidade z = e"μ deve ser :

onde ! e ! .

μ

μ < 0

0 < z < 1

μ = 0 ⟹ z = 1 μ = − ∞ ⟹ z = 0

!14

Analisemos as propriedades da função de Bose-Einstein:

!

Verifica-se que ze−x < 1, portanto podemos escrever:

!

onde usamos a soma da série geométrica começando de l = 1, i.e.

!

É fácil encontrar uma expansão em série para g$(z):

!

g ν(z) = 1Γ(ν) ∫

∞

0

xν−1d xz−1ex − 1

1z−1ex − 1 = ze−x

1 − ze−x =∞

∑l= 1

(ze−x)l

∞

∑l= 1

ql = q1 − q

g ν(z) = 1Γ(v) ∫

∞

0xν−1

∞

∑l= 1

(ze−x)l d x =∞

∑l= 1

zl

lv = z + z2

2v + z3

3v + ⋯

Propriedades das funções de Bose-Einstein

!15

Da expressão seguinte

!

podemos tirar as seguintes conclusões:

• Se z ≪ 1, temos g$(z) ≈ z , para todo $. • g$(z) é uma função monotonamente crescente de z. • Quando z → 1 (com $>1), a função g$(z) tende à função zeta de Riemann de

indice $:

!

• Veja que g$(z) < %($) • Alguns valores úteis são: %(3/2) = 2.612 , %(5/2) = 1.341 • Quando z → 1, a função g$(z) diverge se $≤1.

g ν(z) = z + z2

2ν + z3

3ν + ⋯

g ν(z) = 1 + 12ν + 1

3ν + ⋯ = ζ(ν)

!16

Função de Bose-Einstein para diferentes indices $. Veja que g1(z) e g1/2(z) divergem para z=1.

!17

O número de partículas de um gás ideal de Bose em um volume V é

onde N0 = z / (1-z) é o número de partículas no estado com energia ε=0 e N# = V/&3 g3/2(z) é o número de partículas nos estados excitados.

Pelas propriedades das funções de Bose-Einstein, temos

portanto, para valores dados de V e T, o número total de partículas nos estados excitados possui um limite superior

Condensação de Bose-Einstein

g⌫(z) =1

�(⌫)

Z1

0

x⌫�1dx

z�1ex � 1. (8.17)

Na Eq. (8.14), o termo � ln(1 � z) não foi incluído por ter uma contribuição desprezível no limitetermodinâmico. Para ver isto, obtemos z = N0/(N0 � 1) da Eq. (8.16) e portanto temos:

� 1

Vln(1 � z) = � 1

Vln(N0 � 1) ⇠ O(N�1 ln N). (8.18)

Finalmente, a energia interna U é

U = � @

@�ln ⌅

��z,V

= kT 2 @

@T

✓PV

kT

◆

z,V

= kT 2 @

@T

✓V

�3g5/2(z)

◆

z,V

(8.19)

= kT 2V g5/2(z)@

@T

✓1

�3

◆

z,V

=3

2kT

V

�3g5/2(z). (8.20)

Comparando a última equação com a expressão PV = kTV ��3g5/2(z) acima, vemos que se verificaa relação:

P =2

3

U

V. (8.21)

8.2 Propriedades das funções de Bose-Einstein

Analisemos as propriedades da função de Bose-Einstein:

g⌫(z) =1

�(⌫)

Z1

0

x⌫�1dx

z�1ex � 1. (8.22)

Verifica-se que ze�x < 1, portanto podemos escrever:

1

z�1ex � 1=

ze�x

1 � ze�x=

1X

l=1

�ze�x

�l (8.23)

onde usamos a soma da série geométrica começando de l = 1, i.e.1X

l=1

ql =q

1 � q(8.24)

8.3 Gás de bósons: Condensação de Bose

O número de partículas de um gás ideal de Bose em um volume V é

N =V

�3g3/2(z) +

z

1 � z= N✏ + N0, (8.25)

onde N0 = z

1�zé o número de partículas no estado ✏ = 0 e N✏ = V

�3 g3/2(z) é o número de partículasno estado excitado.

76


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2, 612 (8.26)

portanto, para valores dados de V e T , o número total de partículas nos estados excitados possuium limite superior

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)

Se o número de partículas do sistema for maior que Nmax✏ não será possível colocar todas as partícu-

las nos estados excitados. Portanto, um número macroscópico de partículas N0 deverão ser colocadasno estado com energia ✏ = 0. Este fenómeno é denominado condensação de Bose-Einstein.

Quando acontece a condensação de Bose-Einstein:

1. os estados excitados recebem o máximo de partículas V

�3 ⇣(3/2)

2. o estado fundamental tem capacidade ilimitada para receber partículas, portanto teremosN0 = N � Nmax

✏ = N � V

�3 ⇣(3/2)

(b) Neste caso se deve determinar o temperatura critica Tc no qual

N = Nmax

✏

=V

�3⇣(3/2)

=

✓2⇡mkTc

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)

isolando Tc se tem:

Tc =h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)

então a temperaturas mais baixas à temperatura critica T < Tc lá condensação de Bose. Ou sejaN > Nmax

✏ portanto, os lá um número de partículas N0 deveram ser colocadas (condensação deBose-Einstein) no estado com energia ✏ = 0

(c)No caso que acontece a condensação de Bose N > Nmax✏ . Onde o número de estados excita-

dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.30)

77


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2)


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2)


N = Nmax

✏

=V

�3⇣(3/2)

=

✓2⇡mkTc

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)

isolando Tc se tem:

Tc =h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.30)

77

!18

Se o número de partículas do sistema for maior que N#max, não será possível colocar todas as partículas nos estados excitados. Portanto, um número macroscópico de partículas N0 deverá ser colocado no estado com energia ε = 0. Este fenómeno é denominado condensação de Bose-Einstein.

Quando acontece a condensação de Bose-Einstein: 1. os estados excitados recebem o máximo de partículas

2. o estado fundamental tem capacidade ilimitada para receber partículas, portanto teremos


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2)


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2)


N = Nmax

✏

=V

�3⇣(3/2)

=

✓2⇡mkTc

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)

isolando Tc se tem:

Tc =h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.30)

77


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2)


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2)


N = Nmax

✏

=V

�3⇣(3/2)

=

✓2⇡mkTc

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)

isolando Tc se tem:

Tc =h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.30)

77

!19

Comentários:

1. A condensação de Bose-Einstein é um fenómeno puramente quântico.

2. Ela acontece mesmo que não existam interações entre as partículas do gás.

3. A condensação acontece no espaço dos momentos, e não no espaço das coordenadas. O fenômeno é completamente diferente da condensação de um vapor em líquido, a qual acontece no espaço ordinário.

5. Lembremos que N0 = z / (1-z), o seja:

Quando acontece a condensação de Bose-Einstein temos N0≫1, logo:

onde z0 é o valor da fugacidade quando há condensação de BE.

z0 ⇡ 1

z =N0

N0 + 1=

✓1 +

1

N0

◆�1

!20

A condição para que exista condensação de Bose-Einstein pode ser escrita de outras formas. Sabemos que a condensação acontece quando:

Isolando a temperatura, a equação anterior adota a forma:

a qual pode ser escrita como

onde definimos a temperatura crítica


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)


las nos estados excitados. Portanto, um número macroscópico de partículas N0 deverá ser colocadono estado com energia ✏ = 0. Este fenómeno é denominado condensação de Bose-Einstein.



�3 ⇣(3/2),


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2).

A condição para que exista condensação de Bose-Einstein pode ser escrita de outras formas.Sabemos que a condensação acontece quando:

N > Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2) =

✓2⇡mkT

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)


T <h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)


T < Tc (8.30)

se definimos a temperatura crítica Tc = h2

2⇡mk

⇣N

V ⇣(3/2)

⌘2/3.

então a temperaturas mais baixas à temperatura critica T < Tc lá condensação de Bose. Ouseja N > Nmax

✏ portanto, os lá um número de partículas N0 deveram ser colocadas (condensaçãode Bose-Einstein) no estado com energia ✏ = 0


dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.31)

77


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2),


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2).


N > Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2) =

✓2⇡mkT

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)


T <h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)


T < Tc (8.30)


2⇡mk

⇣N

V ⇣(3/2)

⌘2/3.




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.31)

77


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2),


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2).


N > Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2) =

✓2⇡mkT

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)


T <h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)


T < Tc (8.30)


2⇡mk

⇣N

V ⇣(3/2)

⌘2/3.




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.31)

77


0 g3/2(z) ⇣(3/2) = 2.612 (8.26)


Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2). (8.27)





�3 ⇣(3/2),


✏ = N � V

�3 ⇣(3/2).


N > Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2) =

✓2⇡mkT

h2

◆3/2

V ⇣(3/2) (8.28)


T <h2

2⇡mk

✓N

V ⇣(3/2)

◆2/3

, (8.29)


T < Tc (8.30)


2⇡mk

⇣N

V ⇣(3/2)

⌘2/3.




dos máximo é

Nmax

✏ =V

�3⇣(3/2)

=V

�3

1X

k=0

1

k3/2

=V

�3g3/2(z = 1). (8.31)

77

!21

Para T < Tc o sistema tem duas fases

1. fase normal: consiste de N# partículas nos estados excitados (#≠0)

!

2. fase condensada: consiste de N0 partículas no estado fundamental (#=0)

!

Nϵ = Vλ3 ζ(3/2) = N ( T

Tc )3/2

N0 = N − Nϵ = N 1 − ( TTc )

3/2

!22

- T=0: só temos fase condensada.

- 0 < T < Tc: temos ambas fases, normal e condensada. Neste caso, temos z=1 e '=0. O número de partículas nos estados excitados é o máximo possível, mas esse valor máximo depende da temperatura de acordo com a expressão dada no slide anterior.

- T > Tc: temos apenas a fase normal. Neste caso 0<z<1, e portanto '<0. O número de partículas no estado fundamental é desprezível do ponto de vista macroscópica.

!23

Dada uma serie da forma !

podemos inverter a série e obter !

Para encontrar os coeficientes Ai substituímos x na primeira equação acima:

!

Igualando os coeficientes de potências iguais de y, obtemos:

!

y = a1x + a2x2 + a3x3 + …

x = A1y + A2y2 + A3y3 + …

y = a1A1y + (a2A21 + a1A2) y2+

(a3A31 + 2a2A1A2 + a1A3) y3 + (3a3A2

1 A2 + a2A22 + a2A1A3) + …

A1 = a−11

A2 = − a−31 a2

A3 = a−51 (2a2

2 − a1a3)A4 = a−7

1 (5a1a2a3 − a21 a4 − 5a3

2)A5 = a−9

1 (6a21 a2a4 + 3a2

1 a23 + 14a4

2 − a31a5 − 21a1a2

2 a3)

Interlúdio matemático - Como inverter uma série

!24

Limite clássico do gás ideal de bósons

Invertendo a série (com N0 ≈0):

!

e substituindo z em:

!

obtemos a expansão virial:

!

(N − N0) = Vλ3 (z + z2

23/2 + z3

33/2 + ⋯)PVkT

= Vλ3 (z + z2

25/2 + z3

35/2 + ⋯)PV

NkT=

∞

∑l= 1

al ( λ3

v )l−1

!25

onde os coeficientes são:

!

a1 = 1

a2 = − 14 2

= − 0.17678

a3 = − ( 29 3

− 18 ) = − 0.00330

a4 = − ( 332 + 5

32 2− 1

2 6 ) = − 0.00011

Para o calor específico obtemos

!

Adotando o primeiro termo das somatórias (l=1), obtemos as expressões para o gás ideal clássico:

!

CV

Nk≡ 1

Nk ( ∂U∂T )

N,V= 3

2 { ∂∂T ( PV

Nk )}v

= 32

∞

∑l= 1

5 − 3l2 al ( λ3

v )l−1

= 32 1 + 0.0884 ( λ3

v ) + 0.0066 ( λ3

v )2

+ 0.0004 ( λ3

v )3

+ ⋯

PVNkT

= 1,

CV

Nk= 3

2 , . . .!26

!27

Vamos construir um diagrama PV para T constante. A T=const. a condensação de Bose-Einstein se inicia agora quando se alcança o volume específico crítico vc dado por:

!

Veja que ! é proporcional a ! .

Para ! , temos condensação de B.E e portanto, ! . Usando

!

vemos que a pressão do gás é independente de V (ou de v), e adota o valor constante (para uma T dada):

!

vc = λ3/ζ (3/2) Eq. (*)

vc T−3/2

v < vc z = 1PVkT

= Vλ3 g 5/2(1)

P0 = kTλ3 ζ(5/2) Eq. (**)

Isotermas do gás de Bose-Einstein

!28

A região da fase mista é marcada por uma linha de transição dada pela equação

!

À direita desta linha só temos a fase normal. Esta equação pode ser obtida eliminando T das Eqs. (*) e (**) do slide anterior.

P0v5/3c = h 2

2πm

ζ ( 52 )

{ζ ( 32 )}

5/3 = constante

190 Chapter 7 . Ideal Bose Systems

P01

P02

Pv5/3 ! const.

Vc2 Vc1

T2 " T 1

Tran

sitio

n lin

e

V

FIGURE 7.6 The isotherms of an ideal Bose gas.

see (27). The region of the mixed phase in the (P,v)-diagram is marked by a boundary line(called the transition line) given by the equation

P0v5/3c = h2

2⇡m

⇣⇣

52

⌘

n⇣⇣

32

⌘o5/3 = const.; (42)

see Figure 7.6. Clearly, the region to the left of this line belongs to the mixed phase, whilethe region to the right belongs to the normal phase alone.

Finally, we examine the adiabats of the ideal Bose gas. For this, we need an expressionfor the entropy of the system. Making use of the thermodynamic formula

U � TS + PV ⌘ Nµ (43)

and the expressions for U and P obtained above, we get

SNk

⌘ U + PVNkT

� µ

kT=

8>>><

>>>:

52

g5/2(z)

g3/2(z)� lnz for T > Tc, (44a)

52

v�3 ⇣

✓52

◆for T Tc; (44b)

again, the value of z(T), for T > Tc, is to be obtained from equation (26). Now, a reversibleadiabatic process implies the constancy of S and N . For T > Tc, this implies the constancyof z as well and in turn, by (26), the constancy of (v/�3). For T Tc, it again implies thesame. We thus obtain, quite generally, the following relationship between the volume andthe temperature of the system when it undergoes a reversible adiabatic process:

vT 3/2 = const. (45)

The corresponding relationship between the pressure and the temperature is

P/T 5/2 = const.; (46)

!29

Vamos analisar a existência do fenômeno de condensação de Bose-Einstein em uma e duas dimensões.

Para isso, consideremos uma “caixa" de lado L, no espaço de d dimensões. A energia de uma partícula é ε = p2/2m, onde p é o módulo do momento e m a massa da partícula. Suponhamos que as partículas têm spin s, logo, a degenerescência de cada nível de energia é g= 2s+1.

No espaço de d dimensões, a densidade de estados é:

Para d=2:

!Σ(ϵ) = g

h 2 ∫ d 2qd 2p = g L2

h 2 ∫ 2πpdp = 2πg L2

h 2p2

2 = 2πg L2

h 2 mϵ

ω(ϵ)dϵ = d Σ(ϵ)dϵ

dϵ = g L2m2πℏ2 dϵ

Condensação de Bose-Einstein em 1D e 2D

!30

Para d=1:

!

A densidade média de partículas é obtida a partir de:

!

onde, no limite termodinâmico, fazemos a substituição!

Σ(ϵ) = gh ∫ dqdp = g L

hp = g L

h2mϵ

ω(ϵ)dϵ = d Σ(ϵ)dϵ

dϵ =g L m

2πℏ 2ϵdϵ

N = ∑i

1z−1eβϵi − 1

∑i

⋯ ⟶ ∫ ⋯ω(ϵ)dϵ

!31

Dessa forma obtemos:

d=2

!

d=1

!

onde devemos ter 0 < z < 1, para que ⟨N⟩ seja uma grandeza positiva.

⟨N⟩L2 = g m

2πℏ2 ∫+ ∞

0

dεz−1eβε − 1 = g m

2πℏ2 kT∫+ ∞

0

d xz−1ex − 1 = g m

2πℏ2 kTg 1(z)

⟨N⟩L

=g m

2 2πℏ ∫+ ∞

0

1ε

dεz−1eβε − 1 = g mkT

2 2πℏ ∫+ ∞

0

1x

d xz−1ex − 1 = g mkT

2 2 πℏg 1

2(z)

!32

A condensação de Bose-Einstein deveria acontecer para o valor crítico z=1. Portanto, podemos obter a temperatura crítica para que ocorra condensação substituindo z=1 em ⟨N⟩/L2 e ⟨N⟩/L.

Mas, vimos antes que as funções g1(z) e g1/2(z) são divergentes em z=1. Portanto as temperaturas críticas são:

d = 2

!

d = 1

!

Tc = ⟨N⟩L2

2πℏ2

g mk1

g 1(1) = 0

Tc = ( ⟨N⟩L

2 2πℏg mk

1g 1/2(1) )

2

= 0

!33

Como a temperatura crítica é zero em ambos os casos, a condensação de Bose-Einstein nunca acontece se o sistema e unidimensional ou bidimensional.

O motivo é que não há nenhuma restrição para a quantidade de partículas que podem ser colocadas nos estados excitados.

!34

A aplicação mais importante da estatística de Bose-Einstein diz respeito à radiação electromagnética em equilíbrio térmico; i.e. à radiação de corpo negro.

Essa radiação pode ser considerada como um gás de fótons. A linearidade das equações de electrodinâmica expressa o fato de que os fótons não interagem uns com os outros (princípio de superposição para o campo electromagnético), de modo que o gás de fótons é um gás ideal.

Como o momento angular dos fótons é inteiro, este gás obedece a estatística de Bose-Einstein. Se a radiação não está no vácuo, mas em um meio material, a condição para um gás de fótons ideal requer também que a interação entre a radiação e a matéria seja pequena.

Em general, esta condição é satisfeita em gases ao longo do espectro de radiação excepto para frequências na vizinhança de linhas de absorção do material.

Gás de fótons

!35

Pelo menos, uma pequena quantidade de matéria deve estar presente para que o equilíbrio térmico da radiação seja alcançado, já que a interacção direta entre dois fótons é nula.

O mecanismo pelo qual o equilíbrio é estabelecido consiste na absorção e emissão de fótons pela matéria. Isso resulta em uma importante característica do gás de fótons: o número N de fótons é variável, e não uma constante como em um gás ordinário. Assim, o número N deve ser determinado a partir das condições de equilíbrio térmico.

A energia livre de Helmholtz F do gás de fótons deve ser mínima no equilíbrio térmico,

! .

Mas, a derivada anterior nada mais é do que o potencial químico ' do gás de fótons, portanto ' = 0 para o gás de fótons.

∂F∂N T,V

= 0

!36

De acordo com a teoria quântica da radiação, os fótons são bósons sem massa e spin �.

A condição de massa nula implica que um fóton sempre se move com a velocidade da luz c no espaço livre, e que seu spin pode ter apenas duas orientações independentes: paralela e antiparalela ao momento. Um fóton num estado spin definido corresponde a uma onda eletromagnética plana com polarização circular à esquerda ou à direita.

É possível superpor dois estados do fóton com spin definido e obter um estado linearmente polarizado, mas que não é um auto-estado de spin. A seguir consideramos fótons polarizados linearmente.

!37

Para nós, é suficiente considerar as seguintes propriedades de um fóton de frequência (:

!

Das condições acima temos ! = pc. Também, como temos dois estados de polarização, a degenerescência de um estado de energia é g=2. Como o potencial químico é nulo, o gás de fótons tem fugacidade z=1.

Para obter as propriedades do gás de fótons usamos

!

No limite termodinâmico a soma sobre os níveis de energia uma partícula pode ser substituída por uma integral

!

Energia: ϵ = ℏω

Momentum: p = ℏk, |k | = ωc

Vetor polarização e : |e | = 1, k ⋅ e = 0

PVkT

= ln Ξ(z, V, T ) = − ∑i

ln(1 − ze−βϵi)

∑i

⋯ ⟶ gh 3 ∫ ⋯d 3qd 3p = ∫ ⋯ ω(ϵ)dϵ

!38

A densidade de estados ! é dada por

!

onde usamos coordenadas esféricas no momento p, e integramos sobre as variáveis angulares, já que a energia depende apenas do modulo do momento.

Temos ainda um fator 2 que leva em consideração os dois estados de polarização do fóton, os quais devem ser considerados como dois estados diferentes ⟹ há o dobro do estados disponíveis.

Usando p = !/c obtemos:

!

ω(ϵ)dϵ

2 Vd 3ph 3 = 8πVp2dp

h 3 = ω(ϵ)dϵ

ω(ϵ)dϵ = 8πVh 3c3 ϵ2dϵ

!39

No limite termodinâmico e usando z=1, temos:

!

Integrando por partes obtemos:

!

Introduzindo x = "! temos:

!

ln Ξ(z, V, T ) = − ∑i

ln(1 − ze−βϵi) = − 8πVh 3c3 ∫

∞

0ϵ2 ln(1 − e−βϵ)dϵ,

PVkT

= ln Ξ(z, V, T ) = 8πV3kTh 3c3 ∫

∞

0

ϵ3dϵeβϵ − 1

ln Ξ = 8πV(kT )4

3kTh 3c3 ∫∞

0

x3d xex − 1 = 8πV(kT )3

3h 3c3 × Γ(4)g 4(1)

= 8πV(kT )3

3h 3c3 × 3! ζ(4)

Eq. (***)

!40

Usando %(4) = )4/90 ≈ 1.0823 obtemos finalmente:

!

A energia interna é

!

i.e. obtemos a lei de Stefan.

Comparando as duas expressões acima, temos

!

PVkT

= ln Ξ = 8πV(kT )3

3h 3c3 × π4

15 = 8π5V(kT )3

45h 3c3

U = kT2 ( ∂ ln Ξ∂T )

z,V= 8π5V(kT )4

15h 3c3

PV = U3

!41

Usando ! junto com a Eq. (***) e a relação ! = ℏ(, obtemos:

!

Portanto, a energia por unidade de volume é:

!

onde foi definido:

!

Esta é a lei de radiação de Planck, a qual fornece a densidade de energia dos fótons de frequência (, independentemente da polarização e da direção do momento.

U = 3PV

U = Vℏπ2c3 ∫

∞

0

ω3dωeβℏω − 1

UV

= ∫∞

0dω u (ω, T )

u (ω, T ) = ℏπ2c3

ω3

eβℏω − 1

!42

Derivando a U/V em relação a T, obtemos o calor específico:

!

o qual cresce ilimitadamente quando T→∞, ja que a densidade de fótons também tende a infinito.

cV = 4π2k4T3

15(ℏc)3

Um sólido é constituído por átomos ou moléculas dispostos numa estrutura cristalina. A uma dada temperatura, os átomos da rede não estão em repouso, mas vibram em torno das suas posições médias.

!43

Fônons em sólidos

Para temperaturas suficientemente baixas, as excitações são de pequena amplitude. Nesse caso, o hamiltoniano do sólido pode ser aproximado por uma soma de termos, cada um representando um oscilador harmónico (correspondente a um modo normal de oscilação da rede).

!44

Modelo de Einstein:

Na primeira parte do curso, apresentamos o modelo de Einstein, em que os átomos foram representados como osciladores harmônicos quânticos unidimensionais independentes. Os níveis de energia de uma partícula eram dados por !j = (j + 1/2) ħ(. Usando esses níveis de energia, foi possível obter a energia interna, a entropia e a capacidade calorífica Cv como funções de T.

6.2 Vibrations of a solid 165

3

0TΤΕ

Τ 3

Csolid / NkBFig. 6.5 The heat capacityof a solid (gray line) goesto zero more slowly thanin the Einstein model(solid line).

oscillators of lowest frequency that are the most easily excited. The lowestenergy modes in turn correspond to the smallest wave vectors k = !k⃗!, orthe longest wavelengths ! = 2 "/k. Indeed, the modes with k⃗ = 0 simplydescribe pure translations of the lattice and have zero stiffness. By continuity,we expect limk⃗→0 K̃#k⃗$ = 0, and ignoring considerations of crystal symmetry,the expansion of K̃#k⃗$ at small wavevectors takes the form

K̃#k⃗$ = Bk2 +!#k4$%

The odd terms are absent in the expansion, since K̃#k⃗$ = K̃#−k⃗$ follows fromK#r⃗ − r⃗ ′$ = K#r⃗ ′ − r⃗$ in real space. The corresponding frequencies at longwavelengths are

&#k⃗$ =√

Bk2

m= vk' (6.40)

where v = √B/m is the speed of sound in the crystal. (In a real material, K̃()

is not proportional to *(), and different polarizations of sound have differentvelocities.)

0 kπ/a

ωl

ω

ωt

Fig. 6.6 The dispersion ofphonons in an isotropiccrystal has differentbranches for longitudinaland transverse waves.

Para Cv, encontramos um acordo qualitativo com a experiência. Obtivemos o limite correto para altas temperaturas e mostramos que Cv→0 quando T→0. No entanto, quantitativamente, as previsões não eram muito precisas.

!45

U m m o d e l o m a i s sofisticado de um sólido foi proposto por Debye (1912).

No modelo de Debye, não consideramos as vibrações das partículas ind iv idua is , mas as vibrações "coletivas" do sistema, associadas às ondas estacionárias presentes no sólido.

!46

- Uma diferença fundamental quando comparada ao modelo de Einstein é que a frequência de uma onda depende do seu comprimento de onda:

• No modelo Einstein, as vibrações têm frequência fixa, e os níveis de energia são uniformemente distribuídos em energia. • No modelo Debye, as vibrações cobrem um intervalo de frequências e a densidade de estados varia com a frequência.

- Outra característica essencial do modelo Debye é a existência de uma freqüência de corte (cutoff).

Um sólido só pode suportar ondas com frequências abaixo de um limite definido.

Isso equivale a dizer que as ondas no sólido têm um comprimento de onda mínimo que é determinado pelo espaçamento dos átomos no sólido; claramente, não pode haver ondas com comprimento de onda inferior ao dobro do espaçamento entre os átomos.

!47

Modos de vibração do sólido:

Consideremos ondas estacionárias no sólido. Adotamos a condição de contorno de que os átomos na superfície do sólido estão em posições fixas (isto é, os átomos na superfície não podem vibrar).

Para tornar as coisas simples, consideremos inicialmente um sólido unidimensional consistindo de N+1 átomos indicados por 0,1,2, ..., N.

Para uma onda no sólido com o número de onda k, o deslocamento do átomo m é dado por yk(m) = A sin(k ) m/ N).

As condições de contorno, yk(0) = 0 e yk(N) = 0, impõem a restrição de que k deve ser um inteiro, k = 1, 2, 3 ... .

As ondas estacionárias com valores diferentes de k são conhecidas como diferentes “modos” de vibração.

!48

Como exemplo, adotemos N=7.

No modo com k=6 os átomos não oscilam, i.e. não existe um modo de vibração com k = 6.

Também, é fácil ver que os modos com k=7, 8, 9, …. simplesmente reproduzem m o d o s c o m v a l o r e s menores de k.

Isto ocorre porque:

!

A troca de sinal indica apenas uma fase que carece de relevância.

y2N−k(m) = A sin [(2N − k)π mN ] = − A sin [kπ

mN ] = − yk(m)

Debye model: vibrational modes

From the plot on the previous slide, we see that in mode k = 6,

the atoms do not vibrate at all: a wave with k = 6 does not

“exist” as a distinct vibrational mode.

In fact, further analysis shows that waves with k = 7,8,9...

simply reproduce vibrational modes with smaller values of k.

This is because, for example:

y2N−k(m) = A sin(

(2N − k)πm

N

)

= −A sin(

kπm

N

)

= −yk(m).

(100)

The overall phase (minus sign) has no significance for our

purposes.

Statistical Physics 70 Part 5: The Bose-Einstein Distribution

Debye model: vibrational modes

Statistical Physics 71 Part 5: The Bose-Einstein Distribution

A análise anterior mostra que para um “sólido unidimensional” apenas ondas com k = 1, 2, 3, ..., N-2 existem como modos distintos. Em outras palavras, há um número de onda máximo e, portanto, uma frequência máxima, determinada pelo número de átomos no sólido.

No caso 3D, podemos considerar que existem 3N modos distintos, com frequências

�

Estritamente falando, o número de modos é um pouco inferior a 3N, uma vez que partículas na superfície do objeto não podem vibrar. No entanto, para um objeto macroscópico, o número de partículas na superfície é muito pequeno em comparação com o número de partículas no interior.

ω1, ω2, ⋯, ω3N

!49

!50

Relação de dispersão:

Para determinar a frequência máxima, precisamos conhecer a relação entre o número de onda e a frequência (i.e. a relação de dispersão).

Para uma onda que se propaga através de um sólido, a relação de dispersão depende das forças entre os átomos que compõem o sólido.

No modelo de Einstein, havia apenas uma frequência na qual os átomos podiam vibrar.

No modelo de Debye, consideramos uma situação mais realista, na qual a frequência ( da vibração se relaciona com o número de onda k de maneira similar aos fótons em um corpo negro; i.e. adotamos

( = kcs

onde cs é a velocidade do som no material.

!51

Fônons:

Finalmente, assumimos que a energia ! de uma onda está quantizada de acordo com a fórmula de Planck ! = ℏ( = ℏcsk.

! não é a energia vibratória de um único átomo, mas representa a energia de um modo vibracional no material, ao qual muitos átomos contribuem.

Um modo de vibração com energia ! é chamado de fônon.

Matematicamente, os fônons surgem de forma semelhante aos fótons na quantização do campo eletromagnetico. Um estado quântico da estrutura cristalina perto de seu estado fundamental pode ser especificado contabilizando todos os fônons presentes. Os fônons são quanta de energia vibratória (som) em um material.

Portanto, a temperaturas muito baixas, um sólido pode ser considerado como um volume contendo um gás de fônons não-interagentes (i.e. bósons não-interagentes).

!52

Degenerescência dos fônons:

Em 3D, o estado da rede no qual se encontra um fônon corresponde a uma onda de som da forma:

� onde k = (/cs.

O vetor de polarização � tem três direções independentes, as quais correspondem a: - um modo longitudinal: onda de compressão. - dois modos transversais: modos “shear" (cisalhamento).

Portanto, para cada valor ! da energia do fônon temos 3 estados diferentes, i.e. a degenerescência dos fônons é g=3.

Aei(k⋅r−ωt)

A

!53

Densidade de modos: No limite termodinâmico, temos uma distribuição contínua de modos normais.

Queremos determinar f((), tal que f(()d( seja o número de modos normais com frequências entre ( e ( + d(. Para isso fazemos:

!

Como k = (/c, obtemos

!

∑i

→ gh 3 ∫ ⋯d 3qd 3p = 3 V

h 3 ∫ ⋯d 3p = 3Vh 3 ∫ ⋯4πp2dp

= 3Vh 3 ∫ ⋯4π(ℏk)2d(ℏk) = 3V

(2π)3 ∫ ⋯4πk2dk = ∫ ⋯f(k)dk

f(ω)dω = 3V2π2c3 ω2dω

Frequência de corte: Os fônons têm uma frequência máxima (cutoff) dada por:

�

Nesta equação estamos dizendo que o número total de modos deve ser 3N, e que eles possuem frequências menores que a frequência (m. A partir da condição acima (usando v =V/N) obtemos:

�

O comprimento de onda correspondente é:

�

Veja que &m é da ordem da distância entre os átomos da rede, o qual é razoável já que não esperamos vibrações coletivas com comprimento de onda menor que a distância entre os átomos.

∫ωm

0f(ω)dω = 3N

ωm = c ( 6π2

v )1/3

λm = 2πcωm

= ( 43 πv)

1/3

!54

Grandezas termodinâmicas:

O problema do gás fônons é muito parecido ao problema do gás de fótons, mas, com as seguintes diferenças: - a degenerescência dos fótons é 2 e a dos fônons é 3. - no caso dos fônons, temos um cutoff (m na integração.

Portanto, podemos facilmente adaptar o resultado obtido antes para o gás de fótons:

�

Introduzindo t = "ħ(, temos:

�

U = Vℏπ2c3 ∫

∞

0

ω3dωeβℏω − 1 ⟶ U = 3

2Vℏ

π2c3 ∫ωm

0

ω3dωeβℏω − 1

U = N9(kT )4

(ℏωm)3 ∫βℏωm

0

t3dtet − 1

!55

fótons fônons

!56

Definimos a função de Debye D(x) como

!

e a temperatura de Debye TD como

!

Portanto

!

D(x) ≡ 3x3 ∫

x

0dt

t3

et − 1 =1 − 3

8 x + 120 x2 + ⋯ (x ≪ 1)

π4

5x3 + O (e−x) (x ≫ 1)

kTD ≡ ℏωm = ℏc ( 6π2

v )1/3

U = 3NkT D ( TD

T ) =3NkT (1 − 3

8TD

T + ⋯) (T ≫ TD)3NkT [ π4

5 ( TTD )

3+ O (e−TD/T)] (T ≪ TD)

!57

Portanto, o calor específico é dado por:

!

O comportamento de Cv nos limites de altas e baixas temperaturas é

!

CV = 3Nk D ( TD

T ) + 3NkTdD (TD /T)

dT= 3 4D ( TD

T ) −3Nk TD

T

eTD/T − 1

CV

Nk=

3 [1 − 120 ( TD

T )2

+ ⋯] (T ≫ TD)12π4

5 ( TTD )

3+ O (e−TD/T) (T ≪ TD)

!58

208 Chapter 7 . Ideal Bose Systems

0.5

0

1.0

0 0.5 1.0

(Cv/ 3

Nk)

(T /! )

T 3 -law

FIGURE 7.14 The specific heat of a solid, according to the Einstein model: – – – , and according to the Debye

model: —–. The circles denote the experimental results for copper.

that is

!DZ

0

g(!)d! = 3N , (12)

where g(!)d! denotes the number of normal modes of vibration whose frequency lies inthe range (!,! + d!). For g(!), Debye adopted the Rayleigh expression (7.3.2), modified soas to suit the problem under study. Writing cL for the velocity of propagation of the longi-tudinal modes and cT for that of the transverse modes (and noting that, for any frequency!, the transverse mode is doubly degenerate), equation (12) becomes

!DZ

0

V

!2d!

2⇡2c3L

+ !2d!

⇡2c3T

!

= 3N , (13)

from which one obtains for the cutoff frequency

!3D = 18⇡2 N

V

1

c3L

+ 2

c3T

!�1

. (14)

Accordingly, the Debye spectrum may be written as

g(!) =

8><

>:

9N

!3D

!2 for ! !D,

0 for ! > !D.(15)

Before we proceed further to calculate the specific heat of solids on the basis of theDebye spectrum, two remarks seem to be in order. First, the Debye spectrum is only anidealization of the actual situation obtaining in a solid; it may, for instance, be comparedwith a typical spectrum such as the one shown in Figure 7.15. While for low-frequencymodes (the so-called acoustic modes) the Debye approximation is reasonable, serious dis-crepancies are seen in the case of high-frequency modes (the so-called optical modes). At

• A baixas temperaturas, CV tende a zero como T3 em acordo com os valores experimentais (linha contínua).

• Lembrar que o modelo de Einstein previa uma aproximação exponencial (linha tracejada).

• A altas temperaturas o sólido apresenta o comportamento clássico CV = 3Nk. • Para a maioria dos sólidos TD ≈ 200K, i.e. eles tem comportamento clássico a T

ambiente.

CV

3Nk

T/TD

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FIS107 Mecânica Estatística - Pós-graduação em Física ...fis107.files.wordpress.com/2019/08/fis107-7-bosons-new.pdf · 3 ⇣(3/2) (b) Neste caso se deve determinar o temperatura