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MST
IME
.CO
M
FÍSICA
Movimento uniforme
frente 2
61
Movimento uniformeCapítulo 4
Nesta e nas próximas unidades estudaremos o movimento mais simples que um móvel
pode executar: o movimento uni-forme (MU). Ele pode ser observado em diversas situações cotidianas, como mostram as imagens abaixo:
Provavelmente, depois desses exemplos, você já tenha entendido o que é o movimento uniforme: um deslocamento com velocidade cons-tante. Vamos estudá-lo!
Numa escada rolante, nos deslocamos
em movimento uniforme.
As cadeiras de um teleférico executam movimento uniforme.
Durante a maior parte de um voo, os aviões
executam movimento uniforme, na chamada
“velocidade de cruzeiro”.
©
HO
MYD
ESIG
N | D
RE
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STIM
E.C
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IVAN
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V | D
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STIM
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DR
EA
MST
IME
.CO
M
62
1.1. Características do movimento uniforme
Veja a seguir as condições que caracterizam o movi-mento uniforme e também sua classificação em fun-ção da trajetória descrita.
1. A velocidade escalar média é sempre igual à velocidade escalar instantânea, que é constante e diferente de zero:
v vstm= =
∆∆
2. Um móvel que realiza um movimento uniforme, por ter velocidade constante, sempre efetua deslocamentos escalares iguais em intervalos de tempo iguais sobre a trajetória:
∆t
∆s
∆t
∆s
∆t
∆s
3. Por não haver variação da velocidade, a aceleração escalar de um móvel em movimento uniforme é sempre nula:
a avtm= =
∆∆
= 0
4. A classificação de um movimento como uniforme não depende da trajetória descrita pelo móvel, podendo ser retilínea ou curvilínea:
• Quando a trajetória é retilínea, o movimento também é chamado de movimento retilíneo uni-forme (MRU).
• Quando a trajetória é curvilínea, o movimento também é chamado de movimento curvilíneo uni-forme (MCU).
1.2. Função horária do espaço no movimento uniforme
Nós já vimos que os movimentos podem ser descri-tos por uma expressão matemática s = f (t) chamada função horária do espaço. Esta função também pode ser usada para classificar o movimento, já que cada tipo de movimento possui uma função horária carac-terística. Além disso, essas funções podem revelar outras informações além do espaço ocupado pelo móvel a cada instante, como a velocidade e a acelera-ção do móvel.
A função horária do movimento uniforme pode ser obtida a partir da expressão da sua velocidade. Para isso, vamos considerar um móvel que parte com velocidade constante v, de um espaço inicial s0, no ins-tante t = 0, e atinge o espaço s no instante t:
t=0
s0
t
s
A velocidade deste móvel pode ser calculada por
vst
s - st - 0
vs - s
t
0
0
= ∆∆
=
=
Isolando o espaço s na equação acima, temos
s s +v t0= ⋅
Nesta equação, s é o espaço ocupado pelo móvel no instante t, s0 é o espaço inicial do móvel (espaço ocupado quando t = 0) e v é a sua velocidade escalar.
Repare que a expressão obtida é uma função do primeiro grau, onde o termo independente s0 indica o espaço inicial do móvel e o coeficiente do tempo é a velocidade escalar com que o mesmo se desloca. Todos os movimentos uniformes possuem funções horárias nesse formato.
Exercícios resolvidos
01. Um móvel tem seu movimento descrito pela fun-ção horária s = 10 · t + 25 (SI)
Responda:
a) Qual é o espaço inicial do móvel (s0)?b) Qual é a velocidade escalar deste móvel?
Resolução:
a) Observando a forma geral da função horária do movimento uniforme, o espaço inicial do móvel (s0) é dado pelo seu termo independente. Observando a função dada, podemos concluir que o espaço inicial deste móvel é s0 = 25 m. Repare que também é possível determinar o espaço inicial substituindo o instante por t = 0.
b) Mais uma vez observando a forma geral da função horária do movimento uniforme, podemos ver que a velocidade escalar do móvel (v) é dada pelo coeficiente real que multiplica a variável t. Pela função dada, podemos concluir que a velocidade escalar deste móvel é v = 10 m/s.
02. Um automóvel parte do km 90 de uma estrada e segue no sentido crescente da quilometragem com velocidade escalar constante de 80 km/h.
a) Escreva a função horária do espaço para este automóvel.
b) Determine o instante no qual o automóvel passará pelo km 330 dessa estrada.
Resolução:
a) O espaço inicial do móvel é s0 = 90 km e a sua velocidade escalar é v = 80 km/h. Logo, a função horária de seu movimento é dada por
s = 90 + 80 · t
com s em quilômetros e t em horas.
63
b) Substituindo o espaço s = 330 km na função anterior, obtemos
330 = 90 + 80 ·⋅ t i 240 = 80 · t i t = 3 h
O automóvel passará pelo km 330 da estrada no instante t = 3 h.
03. Um móvel que se desloca sobre uma trajetória retilínea tem a função horária do seu espaço dada por x = 40 – 5 · t (SI).
a) É correto afirmar que este móvel parte da origem dos espaços?
b) O movimento descrito é progressivo ou retrógrado?
Resolução:
a) Não, pois observando a função horária do espaço, podemos afirmar que o móvel partiu do espaço inicial x0 = 40 m.
b) Pela função horária podemos ver que a velocidade escalar do móvel é negativa (– 5 m/s). Logo, seu movimento é retrógrado, ou seja, ele se desloca no sentido oposto ao da orientação da trajetória.
04. Escreva a função horária do espaço para o movi-mento uniforme descrito pela tabela abaixo:
t (s) 0 1 2 3 4s (m) 15 22 29 36 43
Resolução:
O espaço inicial, ocupado pelo móvel no instante t = 0 é s0 = 15 m. A cada segundo o espaço do móvel aumenta 7 m, mostrando que o movimento é uni-forme e sua velocidade é v = 7 m/s.
Assim, a função horária para esse movimento, com unidades do SI, é s = 15 + 7 · t.
2. Diagramas de posição no movimento uniforme
2.1. Diferentes linguagens
No nosso cotidiano, podemos utilizar diferentes for-mas de linguagem para expressar algo que pensa-mos ou que sentimos: podemos utilizar a linguagem falada, escrita, corporal ou outras ainda, dependendo da situação em que nos encontramos.
Na Física, não é diferente. A Física utiliza diver-sas formas de linguagem para expressar o comporta-mento dos corpos e dos fenômenos por ela estudados. Uma linguagem muito utilizada é a linguagem mate-mática, em que as relações são expressas por meio de funções e equações, como a função horária do espaço de um móvel, que acabamos de ver. Outras formas de linguagem muito utilizadas são as tabelas e, princi-palmente, os gráficos, que organizam as informações de forma prática, sintética e estruturada. Neste tópico nos dedicaremos a estudar a variação do espaço de um móvel em movimento uniforme através de tabe-las e, principalmente, gráficos.
2.2. Como ler um gráfico
Existem diversos tipos de gráficos: com linhas, com barras, circulares, de áreas etc. Aqui nos limitare-mos a estudar os gráficos com linhas, que são os mais utilizados no estudo dos movimentos. Veja abaixo algumas informações importantes a respeito des-ses gráficos.
A
D
B
Ct(s)
s (m)
A. Eixo vertical (das ordenadas) – O eixo vertical, ou eixo das ordenadas, contém os possíveis valores do espaço de um móvel (ordenadas). A inscrição s(m) na extremidade deste eixo indica que os valores lidos referem-se ao espaço (s) e são medidos em metros.
B. Eixo horizontal (das abscissas) – O eixo hori-zontal, ou eixo das abscissas, contém os possíveis valores do tempo, ou instante, do movimento estu-dado. A inscrição t(s) na extremidade deste eixo indica que os valores lidos referem-se ao tempo (t) e são medidos em segundos.
C. Coeficiente linear – O valor da ordenada obtido quando a abscissa é zero é o coeficiente linear da fun-ção que descreve o gráfico. Ele pode ser lido no ponto em que a curva do gráfico intercepta o eixo vertical.
D. Curva do gráfico e coeficiente angular – A união de todos os pontos que informam os valores das ordenadas em função das abscissas forma uma linha, também chamada de curva do gráfico, que des-creve o comportamento do fenômeno estudado. Atra-vés dessa curva, podemos determinar, por exemplo, o espaço (s) ocupado pelo móvel em qualquer instante (t). Basta, a partir de um ponto que pertença à curva, traçar dois segmentos auxiliares paralelos aos eixos e ler os valores exibidos nos pontos em que esses seg-mentos interceptam os eixos:
s1
t1
t(s)
P
s (m)
No exemplo acima, podemos ver que o ponto P indica que, no instante t1, o móvel ocupava o espaço s1.
A inclinação da curva em relação ao eixo horizon-tal é proporcional ao coeficiente angular da função que descreve o gráfico, como veremos mais adiante.
64
2.3. Gráfico espaço x tempo no movimento uniforme
O fato de a função horária do espaço para o movi-mento uniforme (s = s0 + v · t) ser uma função de pri-meiro grau indica que a curva do gráfico do espaço em função do tempo deve ser linear, isto é, uma reta. O coeficiente linear dessa função é o termo indepen-dente s0, que indica o espaço inicial do móvel, no ins-tante t = 0. Já o coeficiente angular, que define a incli-nação da curva do gráfico, é dado pela velocidade escalar v do móvel. Veja abaixo dois exemplos de dia-gramas horários do espaço, um para o movimento pro-gressivo (velocidade escalar positiva) e outro para o movimento retrógrado (velocidade escalar negativa):
s0
0t(s)
Movimento progressivo
v > 0s (m)
s0
0t(s)
Movimento retrógrado
v < 0
s (m)
Obtendo-se o gráfico a partir da função horária do espaço
Observe a função horária: s = – 5 + 2 · t (SI)
Ela descreve o movimento uniforme de um móvel para o qual o espaço inicial é s0 = –5 m e a velocidade escalar é v = 2 m/s. Vamos determinar o espaço s para alguns valores de t e montar uma tabela:
t (s) 0 1 2 4s (m) -5 -3 -1 3
Os valores lidos em cada coluna da tabela formam pares de coordenadas cartesianas que podem ser expressos na forma (x, y), sendo x o valor da abscissa e y o valor da ordenada correspondente. Veja abaixo os pares formados:
(0, –5) (1, –3) (2, –1) (4, 3)
Agora, devemos marcar os pontos no gráfico e tra-çar a reta:
4
21
3
0–1
–3–2
–5–6
–4
Ponto (0, –5)Ponto (1, –3)
Ponto (2, –1)
Ponto (4, 3)
1 2 3 4 t(s)
s (m)
Obtendo-se a função horária a partir do gráfico
Observe o gráfico abaixo:
56
21
34
0–1
–3–2
–4
1 2 3 4 t(s)
s (m)
Pela simples observação, podemos afirmar que o espaço inicial desse móvel é s0 = 5 m (ordenada onde a curva intercepta o eixo vertical). Também é possível montar uma tabela com alguns pares de coordenadas:
t (s) 0 1 2 3 4s (m) 5 3 1 –1 –3
Utilizando qualquer intervalo de tempo, encontra-mos a velocidade do móvel:
vst
m s= = = −∆∆
- --
/3 54 0
2
Repare que, antes mesmo de fazer os cálculos, era possível afirmar que esse móvel possui veloci-dade escalar negativa, pois o seu diagrama horário do espaço apresenta uma reta decrescente.
Finalmente, substituindo os dados encontrados na forma geral da função horária do movimento uni-forme (s = s0 + v · t), obtemos:
s = 5 – 2 · t © TATIANA BRIF-BARBOI | DREAMSTIME STOCK PHOTOS
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Exercícios resolvidos
01. Um ônibus de passageiros acessa uma estrada pelo km 300 e segue viagem no sentido decrescente da marcação de quilometragem, com seu velocímetro indicando um valor constante de 70 km/h. Construa o diagrama horário do espaço para esse ônibus, para as primeiras quatro horas de viagem.
Resolução:
De acordo com o texto, o ônibus inicia seu movi-mento na estrada partindo do km 300. Logo, este é o seu espaço inicial (s0 = 300 km). Como o movimento se dá no sentido decrescente da trajetória, a velocidade escalar é negativa: v = –70 km/h.
A função horária do espaço é s = 300 – 70 · t e com ela é possível montar a seguinte tabela:
t (h) 0 1 2 4s (km) 300 230 160 90
A partir dos dados da tabela, chegamos ao seguinte gráfico:
300
180
240
60
120
10 2 3 4 t(h)
s (km)
02. Um móvel realiza um movimento uniforme des-crito pelo gráfico abaixo:
20
–12
0 3 8 t(s)
s (m)
Determine:
a) A posição inicial desse móvel.b) A velocidade escalar do móvel.c) A função horária do espaço para esse movimento.
Resolução:
a) Por observação direta do gráfico, podemos afirmar que a posição inicial do móvel é s0 = –12 m, pois esta é a ordenada do ponto onde a curva do gráfico intercepta o eixo vertical.
b) Utilizando os dados referentes aos instantes t = 3 s e t = 8 s, podemos determinar a velocidade por:
vst
v m s= = → =∆∆
20 08 3
4--
/
c) A função horária do espaço para esse móvel, com unidades do SI, é: s = –12 + 4 · t.
3. Diagramas de velocidade
3.1. O gráfico v x t de um movimento uniforme
Como você já sabe, todo móvel em movimento uniforme mantém sua velocidade cons-tante ao longo do tempo. Desta forma, o gráfico da velocidade em função do tempo para um móvel que executa um movimento uniforme tem o seguinte formato:
v > 0
0t
Movimento progressivo
v
v < 0
0t
Movimento retrógrado
v
66
Vamos agora considerar um móvel que se des-loca com movimento uniforme progressivo e mar-car dois instantes (t1 e t2) sobre o diagrama horário da sua velocidade:
0 t1 t2t
v
v
Para este móvel, podemos escrever
v vst
st t
Logo
s v t t
m= = =
= ⋅ ( )
∆∆
∆
∆
2 1
2 1
-,
-
Isto é, a área do gráfico é numericamente igual ao deslocamento do móvel:
0 t1
t2 – t1
t2t
v
vÁrea = v · (t2 – t1)
Área = Δs
v
N
N
3.2. Calculando o deslocamento escalar ∆s
O resultado que acabamos de obter mostra que o des-locamento do móvel entre dois instantes quaisquer pode ser calculado através da área do gráfico.
Este resultado também se aplica aos movimentos retrógrados, onde o deslocamento possui sinal nega-tivo. Como não se define uma área negativa, podemos afirmar de forma geral que, para um diagrama horá-rio da velocidade, temos
Área sN= ∆
A letra N sobre o sinal da igualdade indica que as grandezas são “numericamente iguais”, isto é, pos-suem o mesmo valor apesar de suas unidades de medida (de área e deslocamento) serem diferentes!
3.3. Generalizando
A relação vista anteriormente pode ser generali-zada para qualquer diagrama horário que descreva qualquer movimento (não apenas o movimento uni-forme). Desta forma, quando o movimento não for estritamente progressivo ou estritamente retrógrado (quando houver inversão de sentido), além do deslo-camento, também pode ser calculada a distância per-corrida pelo móvel:
0
A1
A2
t
v
Deslocamento
s A AN
∆ = 1 2-
Distância percorrida
d A AN
= +1 2
Note que A1 representa um deslocamento no sen-tido crescente da trajetória (movimento progressivo) e A2 representa um deslocamento no sentido decres-cente da trajetória (movimento retrógrado).
Exercício resolvido
01. Um móvel tem sua velocidade variando ao longo do tempo conforme mostra o gráfico a seguir:
8
42
–2
–4–6
6
10 2 3 4 5 6 7 8 t(s)
v (m/s)
Baseado nesse gráfico, responda:
a) Para qual (ou quais) intervalo(s) de tempo o movimento deste móvel é uniforme?
b) O móvel parou em algum momento?c) Qual foi o deslocamento do móvel entre os
instantes t=0 s e t=8 s?d) Qual foi a distância percorrida pelo móvel entre
os instantes t=0 s e t=8 s?
67
Resolução:
a) O móvel executa movimento uniforme nos intervalos entre 0 s e 2 s e entre 6 s e 8 s, quando sua velocidade é constante.
b) O móvel parou nos instantes t = 3 s e t = 5 s, quando sua velocidade se anulou (v = 0).
c) Observe o gráfi co abaixo:
A1
A2
A3
8
42
–2
–4–6
6
10 2 3 4 5 6 7 8 t(s)
v (m/s)
A =
A =
A =
1
2
3
3 2 6
215
2 62
6
3 2 2
25
+( )⋅=
⋅=
+( )⋅=
Assim, ∆s = A1 – A2 + A3 i ∆s = 14 m.
d) d=A1+A2+A3 i d=26 m.
4. Velocidade relativa
Quando se está trafegando em uma estrada, é fácil perceber que o cruzamento com um veículo que trafega no sentido oposto é muito mais rápido que uma ultra-passagem entre veículos que trafegam no mesmo sentido. Além disso, sabemos que uma batida frontal tem, geralmente, consequências muito mais graves que uma batida traseira. Isso se explica pela diferença entre as velocidades relativas de entre os móveis!
4.1. Qual é o referencial?
Ao falarmos em velocidade relativa, estamos falando em uma mudança de refe-rencial. Quando o referencial não é especifi cado, é porque estamos utilizando a superfí cie terrestre (a estrada, por exemplo) como referencial, mas quando dese-jamos calcular a velocidade de um móvel em relação a outro, um desses móveis passa a ser o novo referencial. Observe a imagem a seguir:
A P
Se tomarmos a ambulância como referencial, podemos determinar a veloci-dade da viatura policial em relação à ambulância (vP, A) e se tomarmos a viatura policial como referencial, podemos determinar a velocidade da ambulância em relação à viatura policial (vA, P).
Adotar um ou outro móvel como referencial, signifi ca que estamos interessa-dos na visão de um observador que se encontra junto a esse corpo. Assim, pode-mos dizer que no referencial da ambulância, ela está em repouso e só a viatura se move. Já no referencial da viatura, ela está em repouso e apenas a ambulância se move.
68
Móveis no mesmo sentido:
5 m/s
A
3 m/s
B
Velocidade escalar de B em relação a A:
vB, A = vB – vA = 3 – 5 = –2 m/s
Velocidade escalar de A em relação a B:
vA, B = vA – vB = 5 – 3 = 2 m/s
Logo, para esses dois casos, podemos obter um único módulo para a velocidade relativa (vrel) entre os móveis que trafegam no mesmo sentido:
|vrel | = | vA | – | vB | = 5 – 3 = 2 m/s
Esse resultado mostra que um observador no móvel A percebe o móvel B se aproximando de A com velocidade de módulo igual a 2 m/s, no sen-tido oposto à orientação da trajetória, enquanto um observador no móvel B perceberá o móvel A se aproximando de B com velocidade também de módulo igual a 2 m/s, mas no mesmo sentido de orientação da trajetória:
Repouso
A
2 m/s
B
Móvel A adotado como referencial.
2 m/s
A
Repouso
B
Móvel B adotado como referencial.
Móveis em sentidos opostos:
5 m/s
A
3 m/s
B
Velocidade escalar de B em relação a A:
vB, A = vB – vA = –3 – 5 = –8 m/s
Velocidade escalar de A em relação a B:
vA, B = vA – vB = 5 – (– 3) = 8 m/s
Nesses dois casos, também podemos obter um único módulo para a velocidade relativa (vrel) entre os móveis que trafegam em sentidos opostos:
|vrel | = | vA | + | vB | = 5 + 3 = 8 m/s
Esse resultado mostra que um observador no móvel A percebe o móvel B se aproximando de A com velocidade de módulo igual a 8 m/s, no sen-tido oposto à orientação da trajetória, enquanto um observador no móvel B perceberá o móvel A se aproximando de B com velocidade também de módulo igual a 8 m/s, mas no mesmo sentido de orientação da trajetória:
Repouso
A
8 m/s
B
Móvel A adotado como referencial.
8 m/s
A
Repouso
B
Móvel B adotado como referencial.
4.2. Cálculo da velocidade escalar relativa
Considere dois móveis A e B que percorrem uma mesma trajetória. A velocidade escalar de um móvel A em relação a um móvel B é definida por
vA, B = vA – vB
De forma análoga, a velocidade escalar de um móvel B em relação a um móvel A é dada por
vB, A = vB – vA
É importante lembrar que no cálculo da velocidade relativa os sinais das velo-cidades escalares devem ser respeitados. Repare também que vA, B= –vB, A.
Observe os exemplos a seguir.
69
5. Encontro de móveis
É muito comum nos depararmos com problemas onde precisamos determinar o ins-tante e o local onde ocorre o encontro entre dois móveis. Veja alguns exemplos:
© CHRISTIAN LAGEREEK | DREAMSTIME.COM
Imagine que um caminhão parte de um posto de gasolina, à beira de uma estrada, e segue viagem com velocidade constante v. Algum tempo depois, um carro parte do mesmo posto e segue viagem no mesmo sentido do caminhão, com velocidade também constante e maior que v. Quanto tempo depois da partida do carro e a qual distância do posto o carro passará pelo caminhão?
© ELNUR | DREAMSTIME.COM
Um homem sai de casa a pé para trabalhar e esquece a sua pasta. Alguns minutos depois, percebendo o esquecimento, seu filho pega a pasta e vai de bicicleta ao encontro do pai. Onde e quando os dois se encontrarão?
5.1. Resolução através da função horária
Uma das formas de resolver os problemas que envolvem o encontro de dois móveis é pela utilização das funções horárias dos movimentos.
A função horária do espaço fornece o espaço do móvel a cada instante t. O encon-tro de dois móveis significa que ambos se encontram no mesmo ponto de uma traje-tória, ou seja, que os espaços dos dois móveis são idênticos. Igualando-se os espaços (e as funções horárias) dos móveis envolvidos, podemos calcular o instante do encontro e, a partir dele, o ponto da trajetória onde o encontro aconteceu:
sA = s0A + vA · t e sB = s0B + vB · t
sA = sB i s0A + vA · t = s0B + vB · t
ts sv v
=--
0B 0A
A B
Substituindo t nas funções horárias, podemos determinar a posição do encontro.
70
5.2. Resolução pela velocidade relativa
O mesmo resultado obtido anteriormente pode ser obtido também através da velocidade relativa entre os dois móveis. Como vimos anteriormente, ao utili-
v st
vdistância inicial
t
vs - s
t
ts - s
v - v
REL
A,B0B 0A
0B 0A
A B
= ∆∆
→ =∆
=∆
∆ =
zar a velocidade entre dois móveis, esta-mos alterando o referencial do problema, o que equivale a considerar que um deles encontra-se em repouso e apenas o outro se move com a velocidade relativa. Se, dessa forma, descobrirmos o tempo neces-sário para que o corpo em movimento cubra a distância inicial entre eles, sabe-remos qual foi o instante do encontro:
5.3. Análise de gráfi cos
Finalmente, os problemas de encontro de móveis podem ser resolvidos pelo método gráfi co, como é mostrado abaixo:
sE
s0A
sB = s0B + vB · t
sA = s0A + vA · t
s0B
tEt
s Encontro dos móveis
Instante do encontro
A
B
Local do encontro
Exercícios resolvidos
01. Dois móveis A e B se deslocam sobre uma mesma trajetória orientada. O móvel A parte da posição –50 m e se desloca com velocidade escalar constante de 10 m/s, o móvel B parte da posição 100 m e se desloca com velocidade escalar constante de –5 m/s. Determine:
a) O instante de encontro.b) A posição onde o encontro ocorre.
Resolução:
a) Como ambos se deslocam com velocidade constante, suas funções horárias terão a forma geral s = s0 + v · t.
• Para o móvel A, temos: sA = -50 + 10 · t • Para o móvel B, temos: sB = 100 – 5 · t.
Igualando as equações acima, temos:
–50 +10 · t = 100 – 5 · t
De onde obtemos
t = 10 s
O encontro ocorre no instante t = 10 sb) Como no instante do encontro o espaço é o mesmo para ambos os móveis,
basta escolher uma das duas funções horárias do espaço e substituir o instante encontrado no item anterior. Usando, por exemplo, a função horária do móvel A, tem-se
sA = -50 + 10 · 10 = 50 m
O encontro ocorre no espaço s = 50 m.
71
02. Um caminhão parte de um posto de gasolina, à beira de uma estrada, e segue viagem com velocidade constante de 60 km/h. Vinte minutos depois, um carro de passeio parte do mesmo posto e segue viagem no mesmo sentido do caminhão, com velocidade também constante de 100 km/h. Quanto tempo depois da partida do carro e a que distância do posto o carro passará pelo caminhão?
Resolução:
Primeiramente vamos determinar a distância percorrida pelo caminhão nos vinte minutos que se passaram até a partida do carro de passeio. Lembrando que 20 minutos equivalem a um terço de hora, temos
∆ ⋅ =s = km / h 3
km601
20h
Esta é a distância relativa entre o caminhão e o carro no momento da partida do segundo. A velocidade relativa entre eles é
vREL = vCARRO – vCAMINHÃO = 100 – 60 = 40 km/h
O tempo decorrido até o encontro dos dois é
∆∆
ts
vkm
km hhREL
REL
= = =20
400 5
/,
O encontro ocorrerá depois de meia hora (30 minutos). Para determinar a dis-tância do local do encontro ao posto, basta determinar a distância percorrida pelo carro nesse tempo:
∆sCARRO = vCARRO · ∆t = 100 km⁄h · 0,5 h = 50 km
O encontro ocorreu a 50 km do posto de gasolina.
6. Problemas de ultrapassagem
Até agora, ao nos referirmos aos móveis, em nenhum momento levamos em consi-deração as dimensões dos mesmos, ou seja, eles foram considerados pontos mate-riais. Entretanto, há uma situação em que as dimensões dos corpos tornam-se importantes e alteram o resultado dos cálculos.
6.1. Pontes e túneis
Considere duas situações: na primeira, um grande trem de passageiros atra-vessa uma ponte. Na segunda situação, a mesma ponte é atravessada por um ciclista. Qual é a diferença no cálculo do tempo necessário para a travessia nas duas situações?
Ciclista – O ciclista pode ser considerado, em relação a uma ponte, um ponto material, pois o tamanho da bicicleta é irrelevante para o cálculo do tempo gasto na travessia. Nesses casos, devemos proceder da seguinte forma:
Início da travessia
Ciclista
d
Fim da travessiav v
Pelo fato de o ciclista ser considerado um ponto material, podemos afirmar que a distância percorrida por ele para completar a travessia é igual ao comprimento da ponte (∆s = d). Assim, o tempo necessário para a travessia é dado por
∆t =dv
72
Trem – O trem deve ser considerado, em relação a uma ponte, um corpo extenso, pois seu tamanho é relevante para o cálculo do tempo gasto na travessia. Nesses casos, devemos proceder da seguinte forma:
Início da travessia
d L
Fim da travessiav v
Pelo fato de o trem ser considerado um corpo extenso, pode-mos afi rmar que a distância percorrida por ele para completar a traves-sia é igual ao comprimento da ponte mais o seu próprio comprimento (∆s = d + L). Assim, o tempo necessário para a travessia é dado por
∆t =d + L
v
6.2. Ultrapassagens entre dois móveis
Além do problema descrito anteriormente, quando um móvel passa por um corpo extenso em repouso (ponte ou túnel, por exemplo), também podemos determinar o tempo necessário para que um móvel ultrapasse outro móvel também em movimento. A resolução deste problema também depende das dimensões dos móveis envolvidos.
Infelizmente, muitas mortes são causadas todos os anos nas estradas devido à imprudência de alguns motoristas. Por não estimarem bem o tempo e o espaço neces-sários para uma ultrapassagem, esses motoristas acabam colidindo frontalmente com os veículos que trafegam no sentido oposto.
Vamos estudar dois casos: uma motocicleta ultrapassando um caminhão e um caminhão ultrapassando outro caminhão.
Motocicleta e caminhão – Nesse caso, a motocicleta será considerada um ponto material (representada pelo ponto roxo abaixo), enquanto o caminhão será conside-rado um corpo extenso, cujo tamanho é relevante para o problema. A ultrapassagem se inicia quando a motocicleta passa pela traseira do caminhão e termina quando ela passar pela dianteira do mesmo, que está em movimento:
Início daultrapassagem
Motociclista
Final daultrapassagem
L ΔsC
ΔsM
Repare que para completar a ultrapassagem, o motociclista deve andar uma dis-tância igual à percorrida pelo caminhão (∆sC) mais o seu comprimento (L). Utilizando a relação ∆s = v · ∆t, temos
∆ ∆⋅ ∆ ⋅ ∆
∆ ⋅ ( )∆
s = s +L
v t = v t + L
t v v = L
t =L
v v
M C
M C
M C
M C
-
-
Repare também que o comprimento do caminhão, L, é o deslocamento relativo entre a moto e o caminhão, enquanto vM – vC é a velocidade relativa entre os dois. Assim, o tempo necessário para a ultrapassagem tam-bém pode ser determinado a partir do movimento rela-tivo entre os dois móveis. Para determinar o espaço necessário para a ultrapassagem, basta multiplicar o intervalo de tempo encontrado pela velocidade da moto.
73
Dois caminhões – Neste caso, os dois caminhões são considerados corpos extensos e seus tamanhos são relevantes para o problema. A ultrapassagem se inicia quando a frente do caminhão 2 passa pela traseira do caminhão 1 e termina quando a traseira do caminhão 2 passa pela dianteira do caminhão 1:
Início daultrapassagem
Final daultrapassagem
L1 L2Δs1
Δs2
1 1
2 2
Para completar a ultrapassagem, o caminhão 2 deve andar uma distân-cia igual à percorrida pelo caminhão 1 (∆s1) mais os comprimentos de ambos (L1 + L2). Utilizando a relação ∆s = v · ∆t, temos
∆ = ∆ + +⋅ ∆ = ⋅ ∆ + +
∆ ⋅ −( ) = +
∆ =+−
s s L L
v t v t L L
t v v L L
tL L
v v
2 1 1 2
2 1 1 2
2 1 1 2
1 2
2 11( )Mais uma vez, repare que L1 + L2 é o deslocamento relativo entre os dois cami-
nhões, enquanto v2 – v1 é a velocidade relativa. Assim, também neste caso, o tempo necessário para a ultrapassagem pode ser determinado a partir do movimento relativo entre os dois móveis. Para determinar o espaço necessário para a ultra-passagem, basta multiplicar o intervalo de tempo encontrado pela velocidade do caminhão 2.
Exercícios resolvidos
01. Um trem com 200 m de comprimento atravessa um túnel de 250 m de extensão com velocidade constante de 54 km/h. Determine o tempo decorrido entre o início e o fi m da travessia.
Resolução:
Para a situação descrita, a unidade de medidas mais adequada para a veloci-dade do trem é o metro por segundo (m/s). Assim,
vkm / h
m /s=54
3,6= 15
O deslocamento total do trem para completar a travessia deve ser igual à soma do seu comprimento com a extensão do túnel:
∆s = 200 m + 250 m = 450 m
O tempo decorrido é dado por
∆ → ∆tm
m / s=
45015
t = 30s
O trem gastará 30 segundos desde o início até o fi nal da travessia.
7474
02. Um automóvel de 5 m de comprimento se deslocando com velocidade escalar constante de 108 km/h inicia a ultrapassagem de um ônibus de 15 m de compri-mento que se desloca com velocidade escalar constante de 72 km/h. Determine:
a) Quanto tempo o carro levará para completar a ultrapassagem?b) Qual será o deslocamento realizado pelo carro na pista para completar
essa ultrapassagem?
Resolução:
a) Como o tempo gasto na ultrapassagem será da ordem de alguns segundos, é mais apropriado utilizarmos as velocidades em unidades do sistema internacional. Assim, a velocidade do carro será 30 m/s e a do ônibus 20 m/s. A velocidade do carro em relação ao ônibus é
vREL = vC – vO = 30 – 20 = 10 m/s
A distância relativa que o carro deve percorrer para ultrapassar o ônibus é igual à soma de seus comprimentos:
∆sREL = 5 m + 15 m = 20 m
Finalmente, o tempo gasto na ultrapassagem será
∆∆
= → ∆ts
vm
m / sREL
REL
=20
10t = 2s
O carro levará 2 segundos para ultrapassar o ônibus.b) A distância percorrida pelo carro na pista durante a ultrapassagem é
∆sC = vC · ∆t = 30 m⁄s · 2 s i ∆sC = 60 m
Enquanto completa a ultrapassagem, o carro se deslocará 60 metros.
75
Anotações
76
©
KE
LVIN
TT
| DR
EA
MST
IME
.CO
M
FÍSICA
Movimento circular
frente 2
77
Movimento circularCapítulo 5
1. Movimento circular e uniforme (MCU)
1.1. Andando em círculos
É muito fácil observar o movimento circular no nosso cotidiano: basta olharmos as rodas de um carro ou de uma bicicleta girando. Cada ponto da roda realiza movimento circular em torno do centro da mesma. Também é possível obser-var esse movimento em um parque de diversões, no relógio analógico ou até mesmo no céu.
Em diversos brinquedos de um parque de diversões as pessoas realizam
movimentos circulares.
© RAMON GROSSO | DREAMSTIME.COM
As pás de um gerador eólico ou até mesmo de um ventilador também servem como exemplo.
© ROMAN MILERT | DREAMSTIME.COM
Os ponteiros de um relógio analógico realizam movimento circular.
©
ALE
XST
AR
| D
RE
AM
STIM
E.C
OM
78
1.2. O radiano e as grandezas angulares
Todos os movimentos circulares obedecem a uma mesma trajetória, a circunferência, havendo diferen-ças apenas entre os raios das mesmas. Por isso, na análise de um movimento circular, torna-se mais prá-tica a utilização de grandezas angulares como o deslo-camento angular e a velocidade angular, medidos res-pectivamente em radianos e radianos por segundo. Assim, para compreender essas grandezas, é funda-mental o domínio da medida de ângulos em radianos.
Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Toda circunferência completa tem 2π radianos, sendo π o número irracional pi, cujo valor é aproximadamente 3,14. Um radiano também equivale a um ângulo θ de aproximadamente 57,3°:
r
θ
Deslocamento angular (∆θ) – Considere um móvel que percorre a trajetória circular abaixo, deslocando-se do ponto A até o ponto B:
∆s
∆θA
B
Ao invés de descrevermos o deslocamento deste móvel pela distância percorrida sobre a trajetória (∆s), podemos descrevê-lo pelo ângulo ∆θ, medido em radianos.
Lembrando que o comprimento da circunferência completa é 2πr e isso equivale a um arco de 2π radia-nos, podemos escrever a seguinte relação entre ∆s e ∆θ:
∆⋅
=∆⋅ ⋅
⇒ ∆ =∆θ
π πθ
2 2s
rs
r
Velocidade angular (ω) – Vamos agora defi nir uma velocidade angular constante que informe o arco per-corrido por um móvel a cada unidade de tempo. A exemplo da velocidade escalar constante, defi nida por v = ∆s ⁄ ∆t, a velocidade angular pode ser escrita como
ω θ= ∆∆s
sendo o “radiano por segundo” (rad/s) sua unidade de medida no sistema internacional.
Comparando a velocidade linear (ou escalar) de um móvel com sua velocidade angular, podemos escrever
v v= ∆∆
=∆ ⋅
∆⇒ = ⋅s
tr
tr
θω
1.3. Movimento circular e uniforme (MCU)
Movimento circular e uniforme é todo movimento circular executado por um móvel que possui veloci-dade angular constante. Um móvel em MCU sofre deslocamentos angulares iguais em intervalos de tempo iguais, como mostrado na imagem a seguir:
∆t
∆t
∆t
∆θ∆θ∆θ
Exercício resolvido
01. Um móvel desloca-se com velocidade constante em uma trajetória circular com raio de 2,0 metros, percorrendo uma distância de 4,0 metros a cada segundo. Determine:
a) A velocidade angular deste móvel.b) deslocamento angular deste móvel após
3,0 segundos.
Resolução:
a) ω = =
∆∆ = ∆
∆ ⋅=
⋅⇒ ω =
vr
st
rs
t r4,0
1 2,02,0 rad/ s
b) ωθ θ
θ=∆∆
⇒ =∆
⇒ ∆ =t
rad2 03 0
6 0,,
,
78
b) ∆t 3 0,3 0,3 0
79
2. Frequência e período
O movimento circular e uni-forme (MCU) é um movi-mento periódico, ou seja, que se repete de tempos em tempos, a cada volta do móvel em torno da trajetó-ria circular. Além do MCU, outros movimentos podem ser classifi cados como periódicos: o de um pêndulo, de um planeta em torno do Sol, da Lua em torno da Terra, de uma corda de vio-lão vibrando, etc. Para movi-mentos ou qualquer outro fenômeno periódico pode-mos defi nir duas grande-zas muito importantes: fre-quência (f) e período (T).
Os planetas realizam um movimento periódico em
torno do Sol.
© OLAF SPEIER | DREAMSTIME.COM
Um metrônomo, usado por músicos para marcar o tempo das músicas, realiza um movimento periódico.
© CHRIS HILL | DREAMSTIME.COM
O movimento do pêndulo de um relógio também é periódico.
© SEBASTIAN KAULITZKI | DREAMSTIME.COM
80
2.1. Com qual frequência você vai ao cinema?
Como você responderia à pergunta acima? Provavelmente você pensou em quan-tas vezes vai ao cinema por mês ou, se for louco por filmes, quantas vezes vai ao cinema por semana.
Repare que quando perguntamos sobre uma frequência, desejamos saber quantas vezes um evento se repete num intervalo de tempo. No caso da pergunta acima, o evento é a ida ao cinema e o intervalo de tempo pode ser um mês, uma semana ou um ano.
Aplicando esta definição ao movimento circular e uniforme, podemos dizer que a frequência do MCU é o número de rotações (n) a cada segundo ou minuto.
fn=∆t
A unidade de medida da frequência no SI é o Hz (hertz), que equivale a rota-ções por segundo. Também pode ser utilizada a unidade rpm (rotações por minuto). 1 Hz equivale a 60 rpm. Logo, a conversão de unidades pode ser feita da seguinte maneira:
x60rpmHz
÷60
2.2. Período
O período de um movimento ou fenômeno periódico é o tempo necessário para que ocorra uma repetição completa. No caso do movimento circular, trata-se do tempo necessário para que o móvel complete uma volta na trajetória.
© MILKOVASA | DREAMSTIME.COM
O período de rotação da Terra é de vinte e quatro horas.
81
Para determinar o período (T) de um movimento, basta dividirmos um inter-valo de tempo medido (∆t) pelo número de repetições ou voltas (n) ocorridas nesse intervalo:
Tn
= ∆t
Repare que a equação do período é o inverso da equação vista para a frequên-cia, de onde concluímos que
Tf
f =1
T=
1ou
© TOSE | DREAMSTIME.COM
O período de translação da Terra é 1 ano ou 365 dias
© FRANK HERMERS | DREAMSTIME.COM
O período do movimento realizado pelo ponteiro das horas de um relógio é 12 horas
82
2.3. Relações com a velocidade angular
A partir das definições de período e frequência vistas nesta unidade e da definição de velocidade angular vistos na unidade anterior, podemos estabe-lecer relações entre essas grandezas.
A velocidade angular foi definida da seguinte forma:
ω θ= ∆∆t
Considere agora uma volta completa de um móvel em MCU. Para uma volta completa, o deslocamento angular é ∆θ = 2π rad e o tempo gasto é igual ao período T do movimento. Assim, temos
ωπ
=⋅
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
21
2
2 1
T
f =1
T
Mas também éverdade que
Substituindo em o, bbtemosω π= ⋅ ⋅2 f
Repare que acabamos de obter duas equações que relacionam o período e a frequência à velocidade angular de um móvel em MCU:
ωπ
ω π=⋅
= ⋅ ⋅2
2T
fe
Exercícios resolvidos
01. Uma partícula que realiza um movimento circu-lar e uniforme percorre um ângulo de 3 · π ⁄ 2 radia-nos em 3 segundos. Determine para este móvel a sua velocidade angular, o período e a frequência do seu movimento.
Resolução:
Da definição de velocidade angular, pode-mos escrever
ω θ πω π= ∆
∆= ⇒ =
trad s
3 23 2/
/
Da relação entre a velocidade angular e a frequên-cia, temos
ω π π π= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =22
214
0 25f f f = Hz,
Sendo o período igual ao inverso da frequência,
T = =10 25
4,
s
02. Um móvel em MCU numa trajetória de raio R = 4 m realiza cinco voltas completas por segundo.
a) Calcule a velocidade angular deste móvel.b) Determine a velocidade escalar deste móvel.
Resolução:
a) A frequência de um móvel que realiza cinco voltas por segundo é f = 5,0 Hz. A sua velocidade angular pode ser calculada por
ω = 2 · π · f = 2 · π · 5 i ω = 10 · π rad⁄s
b) A velocidade escalar relaciona-se com a velocidade angular por
v = ω · R i v = 10 · π · 4 i v = 40 · π m⁄s
3. Função horária e aceleração centrípeta
3.1. Função horária do MCU
Assim como foi feito nos movimentos retilíneos uniforme e uniformemente variado, também pode-mos escrever uma função horária para o MCU que informe a posição do móvel sobre a trajetória em um determinado instante.
Considere um móvel que se desloca sobre uma trajetória circular com velocidade angular constante, partindo do ponto A no instante t = 0 e chegando ao ponto B no instante t:
AB ∆θ
θ0
θ
O deslocamento angular deste móvel é ∆θ = θ – θ0, sendo θ0 e θ os ângulos que definem, res-pectivamente, as posições dos pontos A e B sobre a trajetória. De definição da velocidade angular, temos:
ω θ θ θω θ θ θ θ ω= ∆
∆=
−−
⇒ ⋅ = − ⇒ = + ⋅t t
t t00 00
Esta é a função horária do movimento circular e uniforme. Nela, temos
θ: posição angular do móvel no instante t.θ0: posição angular inicial do móvel, no instante
t = 0.ω: velocidade angular (constante) do móvel.
Repare na semelhança desta função com a função horária do movimento retilíneo uniforme:
s = s0 + v · t
Para transformar uma equação na outra, basta trocar as grandezas lineares s e v pelas grandezas angulares correspondentes θ e ω.
8383
3.2. Aceleração centrípeta
Ao contrário do que ocorre nos movimentos retilí-neos, quando um móvel descreve um movimento cir-cular, ele sempre possui aceleração, mesmo que o seu movimento seja uniforme.
A velocidade de um móvel é uma grandeza veto-rial, representada por um vetor tangente à trajetó-ria. Para que uma grandeza vetorial seja conside-rada constante, tanto a sua intensidade quanto a sua orientação devem ser constantes.
No movimento circular, mesmo que a intensidade da velocidade seja constante (movimento uniforme), sua orientação está em constante mudança e qual-quer mudança na velocidade de um móvel implica a existência de uma aceleração:
Mudançade
orientação v2
v1
Todo objeto em movimento curvilíneo apresenta um tipo de aceleração chamada de aceleração centrí-
peta ac���( ) .
A aceleração centrípeta é sempre perpendicular à reta que tangencia a curva no ponto onde se encon-tra o móvel e seu sentido é orientado para o centro de curvatura da trajetória:
R
v2
v3
v1
a1
a2a3
A intensidade da aceleração centrípeta é
ac = vR
2
onde R é o raio da trajetória. Esta relação também pode ser escrita na forma
ac = ω2 · R
Assim como para a aceleração escalar, a unidade de medida da aceleração centrípeta é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).
Exercícios resolvidos
01. Um ventilador, cujas pás descrevem uma circun-ferência de raio igual a 20 cm, gira com frequência de 480 rpm. Adotando π2 = 10, determine a intensidade da aceleração centrípeta de um ponto na extremi-dade dessas pás.
Resolução:
A frequência do movimento, em hertz, é dada por
frpm
Hz= =480
608
A velocidade angular de um ponto na extremi-dade das pás é
ω = 2 · π · f = 2 · π · 8 = 16 · π rad/s
A aceleração centrípeta desse ponto é, então,
ac = ω2 · R = (16 · π)2 · 0,2 = 256 · 10 · 0,2 i ac = 512 m/s2
02. Um móvel realiza um movimento circular e uni-forme cuja função horária é
θ π π= + ⋅ ⋅6
4 t
Determine o período e a frequência do movimento realizado por esse móvel.
Resolução:
A forma geral da função horária do movimento circular e uniforme é
θ = θ0 + ω · t
Comparando com a função do movimento des-crito, podemos concluir que a velocidade angular do móvel é ω = 4 · π rad/s.
Assim,
ω π π π= 2 f 4 = 2 f f = 2,0 Hz
Tf
T s
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
= = ⇒ =1 1
20 5,
A frequência e o período do movimento são, res-pectivamente, 2,0 Hz e 0,5 s.
84
4. Transmissão do movimento circular
É muito fácil encontrar exemplos no nosso cotidiano onde se aplica a transmis-são de movimento entre polias e engrenagens:
Nos automóveis, o movimento do motor precisa ser transferido para as rodas.
A transmissão pode ocorrer de duas formas: entre corpos que possuem a mesma velocidade linear (engrenagens e polias em contato ou ligadas por uma correia) ou entre corpos que possuem a mesma velocidade angular (polias e engre-nagens coaxiais)
© KOMMUNARR | DREAMSTIME.COM
Na bicicleta, o movimento dos pedais é transferido para a coroa, dela para a catraca e daí para a roda traseira.
© SLAWOMIR KRUZ | DREAMSTIME.COM
Nos relógios, muitas engrenagens são utilizadas para fazer os ponteiros girarem com a velocidade correta.
©
RU
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976
| DR
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MST
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85
4.1. Engrenagens e polias em contato ou ligadas por uma correia
Vamos começar primeiro estudando os casos das polias em contato ou ligadas por correia.
Contato – Quando duas engrenagens ou polias estão em contato, os pontos na periferia de ambas devem ter a mesma velocidade linear para que não haja escorregamento no ponto de contato.
vA = vB
Repare que as engrenagens giram em sentidos opostos, uma gira no sentido horário enquanto a outra gira no sentido anti-horário:
A
B
Correia – Quando duas engrenagens ou polias são ligadas por uma correia, os pontos na periferia de ambas devem ter a mesma velocidade linear para que não haja escorregamento entre elas e a correia:
vA = vB = vCORREIA
Repare que as polias giram no mesmo sentido:
A
B
Relações entre as demais grandezas – Considere as duas engrenagens em contato abaixo, com raios RA e RB. Já vimos que as velocidades escalares (ou linea-res) dos pontos da periferia das duas engrenagens são iguais (vA = vB):
RB
RA
Agora vamos determinar a relação entre as demais grandezas envolvidas. Dada a relação v = ω · R, pode-mos escrever
ω ωωωA A B B
A
B
B
A
R RRR
⋅ ⋅ ⇒ ==
Utilizando a relação entre a velocidade angular e a frequência (ω = 2 · π · f), temos
22
⋅ ⋅⋅ ⋅
⇒ =ππ
ff
=ff
A
B
B
A
A
B
B
A
RR
RR
Pelas duas equações obtidas acima, podemos veri-ficar que a velocidade angular e a frequência de rota-ção das engrenagens são inversamente proporcionais aos seus raios, ou seja, a engrenagem menor terá uma frequência maior e vice-versa.
4.2. Engrenagens e polias unidas por um eixo
Outra forma de transmissão de movimento utiliza engrenagens ou polias coaxiais, ou seja, que são uni-das por um mesmo eixo. É o que ocorre com as engre-nagens da catraca de uma bicicleta, como pode ser visto na imagem a seguir:
Por estarem presas ao mesmo eixo, todas as engre-nagens possuem a mesma frequência e a mesma velo-cidade angular. Já a velocidade linear v, é diretamente proporcional ao raio de cada engrenagem:
f = fvvA B A B
A
B
A
B
RR
⇒ = ⇒ =ω ω
©
EM
PIR
E331 | D
RE
AM
STIM
E.C
OM
86
4.3. Transmissão de movimentos circulares na bicicleta
A bicicleta ilustra muito bem as duas formas de transmissão do movimento circular. A imagem abaixo ilustra as principais partes do mecanismo de uma bicicleta:
Roda
Coroa
Pedal
Catraca
Os pedais e a coroa são ligados pelo mesmo eixo. Por isso, possuem a mesma frequência. A cada volta dada pelos pedais, a coroa também dá uma volta completa.
fCOROA = fPEDAL
A coroa e a catraca são unidas por uma corrente e, por isso, possuem a mesma velocidade escalar nos pontos de suas periferias. As velocidades angulas (e as frequências) são inversamente proporcionais aos raios.
ωωCATRACA CATRACA
CATRACACOROA COROA
COROAff
RR
= =
Quanto maior for a coroa e menor for a catraca, maior será a razão entre as frequências e maior será a velocidade da bicicleta.
A catraca e a roda, assim com o coroa e os pedais, são coaxiais, isto é, são unidos pelo mesmo eixo. Ambas terão a mesma frequência e as velocidades escalares dos pontos em suas periferias serão direta-mente proporcionais aos seus raios:
fRODA = fCATRACA
vv
RR
RODA
CATRACA
RODA
CATRACA
=
A velocidade da bicicleta é igual à velocidade esca-lar da roda, que é dada por
vR
RfCOROA
RODA RODACATRACA
PEDALR= ⋅ ⋅ = ⋅2 π
Repare que a velocidade da bicicleta é direta-mente proporcional à razão entre os raios da coroa e da catraca. Quando as marchas de uma bicicleta são trocadas, esta razão é alterada.
Exercícios resolvidos
01. Duas polias de raios RA = 60 cm e RB = 15 cm estão acopladas entre si por meio de uma correia tensio-nada. Se a polia maior completa uma volta a cada 2 segundos, determine:
a) O módulo da velocidade de um ponto qualquer da correia em m/s.
b) O tempo necessário para que a polia menor complete uma volta.Suponha que não haja escorregamento entre a
correia e as polias e utilize π = 3.
Resolução:a) Frequência de rotação da polia maior:
f =T
f = 0,5 z1 1
2= ⇒ H
A velocidade da correia é igual à velocidade de um ponto qualquer da periferia da polia maior:
v = 2 · π · R · f = 2 · 3 · 0,6 · 0,5 i v = 1,8 m/s
b) Dado que não há escorregamento, ambas as polias possuem a mesma velocidade escalar:
v = v =R
T=
RT
T = TRR
T = = s
A BA
A
B
BB A
B
A
B
2 2
20 150 6
0 5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅
⋅
π π
,,
,
A polia menor completa uma volta a cada 0,5 segundo.
02. Um ciclista pedala sua bicicleta com frequência de 45 rpm. Sabendo que o raio da engrenagem maior (coroa) é igual ao triplo do raio da engrenagem menor (catraca), determine:
a) A frequência de rotação da catraca, em Hz. b) A velocidade da bicicleta, cuja roda traseira tem
um raio de 40 cm. Utilize π = 3.
Resolução:a) A frequência da coroa é igual à frequência
dos pedais:
f =rpm
= HzCOROA45
600 75,
Dado que a coroa e catraca estão ligadas por uma corrente, temos
v v R f R f
f = f
CATRACA COROA CATRACA CATRACA COROA COROA
CATRACA C
= ⇒ ⋅ = ⋅
OOROACOROA
CATRACACATRACA
RR
= f = 2,25Hz0 75 3, ⋅ ⇒
b) Dado que a roda traseira e a catraca possuem a mesma frequência, e a velocidade da bicicleta é igual à da roda, temos
v = 2 · π · RRODA · fCATRACA = 2 · 3 · 0,4 · 2,25 i v = 5,4 m/s
A velocidade da bicicleta é 5,4 m/s.
