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Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA
DE
ERROS
FÍSICA EXPERIMENTAL I
“ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei
José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
TEORIA DE ERROS
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
3
1. INTRODUÇÃO
Objetivo das medidas experimentaisO objetivo da imensa maioria dos experimentos que são
executados é fazer um estudo quantitativo das propriedades do sistema observado.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Exemplo de um laboratório
experimental
Esse estudo é realizado através de inúmeras medições das grandezas físicas de interesse do experimentador.
4
1. INTRODUÇÃO
O uso de aparelhos de medidaNeste processo são utilizados aparelhos de medida
adequados e, posteriormente, os dados obtidos são tratados e analisados.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Os instrumentos de medida podem ter diferentes graus de precisão, mas, por mais preciso que qualquer instrumento seja, os dados experimentais sempre contém erros.
Exemplo de um paquímetro Exemplo de um micrômetro
5
1. INTRODUÇÃO
A importância do erro em medidasConsiderar simplesmente um número como medida
(direta ou indireta) de uma grandeza, sem avaliar o erro de que foi afetada esta medida, não tem muito significado.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
É necessário, portanto, avaliar o erro que certamente existe, associado ao resultado da medição.
Escalas de um paquímetro Medida com paquímetro e nônio
6
1. INTRODUÇÃO
Fatores que influenciam os erros de medidaA tarefa de determinação do erro em uma grandeza
medida não é simples, porque o ato de medir é sempre acompanhado da interferência dos mais diversos fatores.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Esses fatores influenciam com maior ou menor intensidade o resultado da medida.
Erro no equipamento levando a uma medida errada Erros de paralaxe levando a uma
medida errada no tamanho do lápis
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1. INTRODUÇÃO
Medida exata.... esta desconhecidaSejam quais forem os tipos de experimentos, na sua
grande maioria, é impossível analisar ou indicar todos os fatores que tem influência no resultado da medida.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Isto faz com que o valor real do erro na grandeza medida permaneça desconhecido.
Erro de zeragem influenciando o
erro experimental
Medida exata, esta desconhecida
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1. INTRODUÇÃO
Cercar as fontes de erro, o desafio no laboratórioComo consequência, a teoria de erros limita-se a estimar
o erro máximo de que a medida pode ser acometida.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
O grau de certeza desta estimativa do erro depende, entre outras coisas, da quantidade de fatores que se levam em conta, e que têm influência no resultado das medidas.
Medida do diâmetro de um anel feita com
um paquímetro
Comprar o pãozinho também é uma forma de medir
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1. INTRODUÇÃO
A estatística matemáticaAtualmente, qualquer experimentador que faça medições
não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos de tratamento dos dados experimentais.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Deve-se, no entanto, aceitar que a estatística matemática não é perfeita.
Estatística nos negócios
A definição de média
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1. INTRODUÇÃO
A arte de mentir com números.... será?Daí o fato de que, até agora, não existem recomendações
universalmente aceitas, com respeito à representação de resultados de investigações experimentais.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
As normas que a seguir são apresentadas, apesar de não serem únicas, deverão ser seguidas nesta disciplina.
Para que serve a estatística...
Para que serve a estatística...
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
TEORIA DE ERROS
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
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Generalidades sobre os errosNão existem, e nem poderiam existir, instrumentos que
permitam medir uma grandeza física sem erro algum.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Além desse erro, que é inerente ao aparelho, quando se realiza uma medida cometem-se outros tipos de erros.
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Não se deve, no entanto, confundir erro com engano, também chamado erro grosseiro, pois este aparece devido à falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável.
Deve-se interpretar o termo ERROS, então, como representativo daqueles erros que são inevitáveis.
13
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Definições
Neste sentido, os erros podem ser divididos em três categorias:
Como vimos, todas as medidas que realizamos trazem consigo um erro associado ou ao instrumento de medida ou ao processo de medição, ou a ambos.
a) erros de escala;
b) erros sistemáticos;
c) erros aleatórios.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
14
Erros de escala
Erros de escala (xESC): ocorrem sempre, e estão associados aos instrumentos de medida utilizados no processo de medição.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Logo, erro de escala é aquele devido ao limite de precisão do instrumento de medida.
Para todos os efeitos, em um instrumento analógico vamos considerar esse erro como sendo igual à metade da menor divisão da escala de medida.
Já para um instrumento digital esse erro é, em geral, uma percentagem da medida obtida.
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Erros de escala: um exemplo
Por exemplo, em uma régua centimetrada, a menor divisão da escala é 1 cm.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Assim, o erro de escala de uma régua centimetrada é igual a 0,5 cm.
L = (7,4 0,5) cm
Qual é o valor da medida do comprimento L da haste azul da figura ao lado?
Régua centimetrada
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Erros de escala: outro exemplo
Seja agora uma régua milimetrada, a menor divisão da escala é 1 mm.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Assim, o erro de escala de uma régua milimetrada é igual a 0,5 mm.
L = (83,6 0,5) mm
Qual é o valor da medida do comprimento L da haste cinza da figura ao lado?Régua
milimetrada
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Erro sistemáticoErros sistemáticos (xSIS): ocorrem quando todos os
valores medidos são muito maiores ou muito menores do que o valor real esperado.
No caso dos erros de escala, eles perturba todas as medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os valores obtidos se afastem do valor provável em um sentido definido, sempre para mais ou sempre para menos.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Como o erro sistemático segue um certo comportamento padrão, é possível descobrir sua origem e eliminá-lo.
Em geral, os erros sistemáticos estão associados a equipamentos mal aferidos e/ou com defeitos.
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Erro aleatório
Erros aleatórios (xALE): ocorrem totalmente ao acaso, portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade.
TEORIA DE ERROS
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2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor, campos externos, oxidações, e outros fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes, sem o seu conhecimento.
Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que temos que conviver com eles e aprender a tratá-los da maneira adequada.
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Como minimizar os diferentes tipos de erros
Em relação aos erros sistemáticos (xSIS), a única alternativa para resolver a sua existência é identificar o que os causou e refazer as medidas experimentais já realizadas.
Já em relação ao erro aleatório (xALE), estes devem ser tratados com técnicas estatísticas.
Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticas condições, calcular a média e os respectivos desvios destas medidas.
Em relação aos erros de escala (xESC), eles são inerentes ao processo de medição e, portanto sempre devem ser considerados.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
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ESCALEMAX xxx
Como expressar o erroComo vimos, a medida de uma grandeza sempre deve
conter o valor do erro associado a ela.
G = (M M) UG Grandeza
M Medida
ΔM Erro da medida
U Unidade
Como os erros sistemáticos implicam na repetição do processo de medida, a expressão do erro de uma medida deve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
TEORIA DE ERROS
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
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O tratamento dos erros aleatóriosConsidere que, durante a realização de uma série de
medidas, as seguintes condições são observadas:
TEORIA DE ERROS
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3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
a) não ocorreram erros grosseiros;
b) os erros sistemáticos também não existem;c) os erros de escala são de ordem inferior aos erros
aleatórios,
d) todas as fontes de erro contribuíram para aumentar ou diminuir, aleatoriamente, a medida realizada.
Neste caso o experimentador é obrigado a avaliar erro aleatório, e incluí-lo nos dados obtidos no experimento.
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Como minimizar os diferentes tipos de errosVamos introduzir uma sequência matemática baseada no
procedimento estatístico usualmente indicado para o tratamento de medidas experimentais.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Esta sequência deverá ser seguida para informar o resultado final quando a mesma medida é obtida após a repetição do procedimento nas mesmas condições experimentais.
Nestes casos, expressamos o valor por meio de dados que representam significativamente a grandeza física e têm a propriedade de transmitir uma informação compreensível para outras pessoas: a média, o desvio da medida, etc.
24
N
iixN
x1
1
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Valor médio de uma medida
Assim, uma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N vezes o procedimento de medição.
Quando isto é feito o resultado da medida é apresentado em termos do valor mais provável (valor médio) e dos desvios (desvio médio e desvio padrão).
Definimos então o valor mais provável de uma grandeza (valor médio) como a média aritmética de N medidas realizadas com a mesma confiabilidade, cuja fórmula é apresentada ao lado.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
25
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Valor verdadeiro de uma medida
É possível mostrar que para um número infinito de medidas a média aritmética é o valor verdadeiro da medida.
Mas, como na prática, realiza-se apenas um número N limitado de medidas, obtém-se assim apenas uma estimativa do valor verdadeiro e não um valor definitivo.
Portanto, é usual chamar-se a média aritmética das N medidas de valor mais provável da grandeza.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
N
ii
NV x
Nx
1
1lim
26
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Erro aleatório
Para um número infinito de medidas ocorre a anulação do erro randômico, pois a sua natureza aleatória faz com que o desvio seja ora para mais, ora para menos.
Na prática é impossível fazer-se um número infinito de medidas, de maneira que a média corresponde ao valor mais provável da grandeza, e o erro aleatório não se anula.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Deve-se, portanto, calcular este erro aleatório, e para isto existem vários procedimentos possíveis, os quais os principais serão descritos a seguir.
27
xxx ii Desvio de uma medida é a
diferença entre o valor obtido na i-ésima medida e o valor médio grandeza, cuja fórmula é apresentada ao lado.
Como o valor da medida pode estar abaixo ou acima do valor médio do conjunto de medidas, o desvio xi pode ser tanto negativo quanto positivo.
DesviosA partir da definição de valor médio, definimos os
conceitos de desvio de uma medida e seu desvio absoluto.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
xxi 0 ix xxi 0 ix
28
01
N
iix
Assim, define-se o desvio absoluto de uma medida como sendo o módulo do seu desvio, cuja equação é mostrada ao lado.
xxx ii
Desvio absolutoÉ possível mostrar que a soma de todos
os desvios é igual a zero, como mostra a equação ao lado.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Por esta razão, a informação do desvio pura e simplesmente não é muito útil quando fazemos o tratamento estatístico de dados.
29
Desvio médio de uma medida é a média aritmética dos desvios absolutos, e é expresso na fórmula mostrada ao lado.
Com a definição de desvio médio indica-se o resultado de N medidas de mesma confiabilidade como expresso na equação mostrada ao lado.
N
iixN
x1
1
Desvio médio
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Com a definição de desvio absoluto, passa-se à definição de desvio médio.
xxx
30
Pode-se perguntar o quanto é boa a estimativa dada pelo valor médio da medida, ou seja, com que precisão este valor médio é uma estimativa do valor verdadeiro da medida.
Desvio padrão
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
A definição da grandeza chamada desvio padrão contribui para essa interpretação, pois dá ideia da dispersão das medidas em torno do valor médio.
O desvio padrão de um conjunto de N medidas de uma grandeza é dado pela equação ao lado.
N
iix x
N 1
2
11
31
A definição de desvio padrão informa a incerteza com que um dado conjunto de medidas é realizado, e não a média.
O desvio padrão informa indiretamente sobre a precisão do instrumento de medida e o rigor com que o processo de medição é executado.
O significado do desvio padrão
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
De certo modo, o desvio padrão fornece uma estimativa sobre a confiabilidade do valor médio do conjunto das N medidas realizadas.
32
xALEx
Desvio padrão e erro aleatórioAssim, na apresentação do resultado de um conjunto de
N medidas de uma dada grandeza, deve-se informar a precisão atribuída ao valor verdadeiro calculado a partir do desvio padrão destas medidas de igual confiabilidade.
Como o desvio padrão está associado à dispersão dos valores obtidos, dá-se preferência a ele como expressão do erro aleatório.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
xxx
33
ExemploConsidere que a medição do comprimento L de objetos
idênticos, realizada com o auxílio de uma régua centimetrada, forneceu as leituras mostradas abaixo.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
34
Cálculo com a ajuda de planilhaVamos aplicar as definições feitas acima e determinar as
grandezas estatísticas abaixo.
a) o valor médio do comprimento do objeto;
b) os desvios de cada medida em relação ao valor médio;
c) os desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio;
d) o desvio médio destas medidas;
e) o desvio padrão destas medidas.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
35
Cálculo do valor médio
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
50
1501
iiLLN = 50
N
iiLN
L1
1
A partir da tabela calculamos o valor da soma contida na equação acima.
7,1205050
1
i
iLObserve que ao obter este resultado,
nós obedecemos o critério de arredondamento de uma soma, arredondando até a primeira casa decimal.
36
Ainda o cálculo do valor médio
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
507,12050
L
Calculemos então o valor médio dos comprimentos.
Este resultado não é correto!cmL 401,241
Observe que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de centésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada.
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
37
O valor médio expresso de forma correta
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O valor médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
cmL 401,241
No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro.
cmL 0,241
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
38
Cálculo dos desvios
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
LLL ii A partir da tabela calculamos
o valor de cada item Li, usando a equação ao lado e o valor médio dos comprimentos, calculado anteriormente.
b) Cálculo dos desvios de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma.
cmL 0,241Podemos calcular
também a soma de todos estes desvios.
cmLi
i 7,050
1
39
Soma dos desvios é nula (ou desprezível)
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
A partir deste resultado, podemos calcular o valor médio dos desvios.
Esta informação não contém qualquer utilidade, pois o objetivo destes cálculos estatísticos é estimar o erro máximo, que nunca pode ser igual a zero.
cmLi
i 014,0501 50
1
cmLi
i 0,0501 50
1
b) O cálculo dos desvios de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma.
40
Cálculo dos desvios absolutos
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
LLL ii A partir da tabela calculamos
o valor de cada módulo de Li, usando a equação ao lado e o valor médio dos comprimentos, calculado anteriormente.cmL 0,241
Podemos calcular também a soma do módulo de todos estes desvios.
cmLi
i 9,1150
1
c) O cálculo dos desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma.
41
Cálculo do desvio médio
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
A partir deste resultado, podemos calcular o valor do desvio médio destas medidas.
Calculamos o valor do desvio médio a partir do valor da soma dos módulos dos desvios calculados acima.
N
iiLN
L1
1
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
N = 50
50
1501
iiLL
509,11
L
cmL 823,0
42
O desvio médio expresso de forma incorreta
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Este resultado não é correto!
Observe novamente aqui que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de milésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada.
cmL 823,0
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
Também o desvio médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
43
O desvio médio expresso de forma correta
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro.
cmL 238,0 cmL 2,0
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
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Cálculo do desvio padrão
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
A partir deste resultado, podemos calcular o valor do desvio padrão destas medidas.
Calculamos o valor do desvio padrão partir do valor da soma dos quadrados dos desvios calculados acima.
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.
N = 50
N
iiL L
N 1
2
11
50
1
2
71
iiL L
250
1
2 4,4 cmLi
i
45
O desvio padrão expresso de forma incorreta
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
74,4
L cmL 03,0
Como nos casos anteriores, este resultado também não é correto!
Observe novamente aqui que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de centésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada.
Também o desvio padrão a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.
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TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio padrão a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro.
cmL 30,0 cmL 3,0
O desvio padrão expresso de forma correta
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.
47
Cálculo com a ajuda de planilhaCom a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente
conseguimos determinar:
cmL 3,0cmL 2,0cmL 0,241
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
A partir destes resultados, expressamos o valor experimental a partir do valor médio das medidas de comprimento e do seu erro aleatório.
Lembremos que vamos adotar o erro aleatório como sendo o desvio padrão das medidas.
cmL 3,00,241
48
Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partir da equação abaixo.
Erro percentualÉ frequente no laboratório realizarmos medidas de
grandezas das quais existe um valor de referência, um valor esperado.
Para o cálculo deste erro relativo percentual E% usamos as regras de arredondamento, como foram definidas anteriormente.
100%
REF
REFMED
xxx
E
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
49
Erro relativoPor sua vez, como todas as medidas são obtidas com
seus respectivos erros, é interessante determinar qual o peso deste erro frente ao valor expresso da medida.
Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equação abaixo.
100%
MED
MED
xxER
Para o cálculo deste erro relativo ER% usamos as regras de arredondamento como foram definidas anteriormente.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
50
Num dado experimento, medimos a aceleração da gravidade e obtemos o valor apresentado abaixo.
2/05,089,9 smg
10081,981,989,9
%
E
Exemplo: cálculo do erro percentual
Queremos determinar o erro percentual e o erro relativo desta medida.
%8%E
Para determinar o valor do erro percentual, usamos o valor medido para g = 9,89 m/s2, bem como o valor de referência para g = 9,81 m/s2.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
10081,908,0% E
51
Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor medido para de g = 9,89 m/s2, além do erro obtido no mesmo processo g = 0,05 m/s2.
2/05,089,9 smg
%5,0%ER10089,905,0% ER
Exemplo: cálculo do erro relativo
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
TEORIA DE ERROS
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
53
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Cálculo de erros em medidas indiretas
Como já vimos, medidas indiretas são obtidas efetuando-se operações matemáticas a partir de medidas obtidas diretamente do experimento.
Geralmente a grandeza física de interesse (medida indireta) está relacionada matematicamente com outras grandezas físicas (medidas diretas).
Isto significa que existe uma fórmula relacionando a grandeza associada à medida direta com as grandezas associadas às medidas indiretas.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
54
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
O uso do cálculo das diferenciais
Cada uma dessas medidas diretas, por sua vez, contém erros.
Resulta daí que a medida indireta tem um erro que é o resultado da propagação dos erros das medidas diretas.
Apresenta-se a seguir uma “receita” sem a dedução formal da fórmula, de como calcular o erro propagado em uma medida indireta.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
A fórmula a ser apresentada é obtida a partir do conceito de diferenciais, já visto na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.
55
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Medida indireta, uma função de várias variáveis
Considere uma grandeza física Y (medida indireta) que depende de n outras grandezas físicas x1, x2, ..., xn (medidas diretas), segundo a expressão matemática geral mostrada abaixo.
nxxxYY ,..., 21Y Grandeza associada à
medida indiretaxi Grandezas associadas
à medidas diretas
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
56
nn
xxYx
xYx
xYY
...22
11
Na fórmula acima x1, x2,..., xn são os erros relativos a cada medida direta xi.
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
As diferenciaisO erro associado à medida indireta Y (Y) é calculado a partir
da diferencial da função Y(x1,x2,…xn).
Em outras palavras, trata-se o erro como sendo equivalente a diferencial de uma função matemática conhecida de múltiplas (n) variáveis.
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
57
Considere a área de um retângulo, do qual foram medidas a largura a e o comprimento b, tendo sido obtidos os valores médios e os respectivos erros como mostrado abaixo.
babaA ,
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
a = (12,34 0,02) cm b = (8,95 0,01) cm
Como é conhecido, a expressão matemática para calcular a área do retângulo A é simplesmente o produto da largura a pelo comprimento b.
58
Com a fórmula para o cálculo da área A, podemos calcular o erro propagado A em função dos desvios das medidas da largura a e do comprimento b.
bbAa
aAA
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
Usamos a fórmula geral para o cálculo do erro propagado para escrever a expressão de A, como mostrado ao lado.
baA
a
bA
baabA
59
Agora podemos calcular numericamente o valor da área A, com os valores das medidas da largura a e do comprimento b.
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
a = (12,34 0,02) cm
b = (8,95 0,01) cma = 12,34 cm b = 8,95 cm
baA
59,843,12 A 2443,011 cmAUsamos os critérios de arredondamento
para expressar corretamente o valor da área A.2011 cmA
60
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
baabA a = 12,34 cm a = 0,02 cm
b = 8,95 cm b = 0,01 cm01,034,1220,059,8 A
1234,0179,0 A
Podemos também calcular numericamente o valor do erro propagado A, a partir dos valores das medidas da largura a e do comprimento b e seus respectivos desvios.
1,02,0 A23,0 cmA
61
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
TEORIA DE ERROS
Física Experimental I – Teoria de Erros
baabA a = 12,34 cm a = 0,02 cm
b = 8,95 cm b = 0,01 cm
Por fim, expressamos o valor da área A e seu respectivo erro propagado A.
23,0011 cmA
baA
