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Exercicios de mecanica
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Fısica I (Quımica)
2 Lista de exercıciosSemana 3
17 de agosto de 2015
1– Sao dados tres deslocamentos, em metros:
~d1 = 4, 0~ex + 5, 0~ey − 6, 0~ez
~d2 = −1, 0~ex + 2, 0~ey + 3, 0~ez
~d3 = 4, 0~ex + 3, 0~ey + 2, 0~ez
Determine: (a) ~r = ~d1 − ~d2 +~d3; (b) o angulo entre ~r e o semieixo positivo z; (c) A componente de ~d1
paralela a ~d2 e esta no plano definido por ~d1 e ~d2;Resp: (a) 9, 0~ex + 6, 0~ey − 7, 0~ez; (b) 122, 9o; (c) −3, 2.
Solucao:
a. ~r = [4, 0 − (−1, 0)+ 4, 0] ~ex + [5, 0 − 2, 0 + 3, 0] ~ey + [−(6, 0)− 3, 0 + 2, 0] ~ez = 9, 0~ex + 6, 0~ey − 7, 0~ez
b. cosθ =~r · ~ez
|~r| · |~ez|=
−7, 0√
(9, 0)2+ (6, 0)2
+ (−7, 0)2= −0, 543 θ = arccos(−0, 543) = 122, 9o
c. d‖ = d1 cosθ = d1
~d1 · ~d2
|d1| · |d2|=
~d1 · ~d2
d2=
−4 + 10 − 18√
14= −3, 2
2– Se
~a −~b = 2~c;
~a +~b = 4~c e
~c = 3~ex + 4~ey
determine (a) ~a e (b) ~b.Resp: (a) 9~ex + 12~ey; (b) 3~ex + 4~ey.
Solucao:
(a)
~a −~b = 2~c+
~a +~b = 4~c;
2~a = 6~c ~a = 3~c = (3~ex + 4~ey) = 9~ex + 12~ey
(b) ~b = ~a − 2~c = 3~c − 2~c = ~c = 3~ex + 4~ey
3– Considere dois deslocamentos, um de modulo 3 m, outro de modulo 4 m. Mostre que os vetores deslocamentopodem ser combinados para produzir um deslocamento de modulo (a) 7 m; (b) 1 m; e (c) 5 m.
Solucao:
a. |4~ex + 3~ex| = |7~ex| = 7 m
b. |4~ex − 3~ex| = |1~ex| = 1 m
c. |3~ex + 4~ey| =√
32+ 42
= 5 m
4– Sao dados dois vetores, ~a = 2~ex + ~ey e ~b = 4~ex + 7~ey. Determine: (a) as componentes ao longo dos eixos x
e y de ~c = ~a +~b; (b) seu modulo e (c) o angulo θ que faz com o eixo x.Resp: (a) 6 e 8; (b) 10; (c) 53, 1◦.
Solucao:
a. ~c = ~a +~b = (2~ex + ~ey) + (4~ex + 7~ey) = 6~ex + 8~ey; 6 e 8
b. |~c| =√~c · ~c =
√62+ 82
= 10
c. tanθ =|8~ey||6~ex|
= 1, 333 θ = arctan(1, 333) = 53, 1◦
5– O vetor ~a = ax ~ex + ay ~ey + az~ez faz angulos α, β e γ com as direcoes x, y e z.
(a) .
Mostre que
cosα =ax
√
a2x + a2
y + a2z
cos β =ay
√
a2x + a2
y + a2z
cosγ =az
√
a2x + a2
y + a2z
(b) . Mostre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.Solucao:Angulo com a direcao x:
(a) . ~ex · ~a = (~ex) · (ax~ex + ay ~ey + az~ez) = (~ex) · (ax ~ex) = ax = |~ex| · |~a| cosα cosα =ax
√
a2x + a2
y + a2z
.
Assim para as demais direcoes.
(b) . cos2 α =a2
x
a2x + a2
y + a2z
+ · · · = cos2 α + cos2 β + cos2 γ =a2
x
a2x + a2
y + a2z
+ · · · = |~a| · |~a|a2
= 1
6– Dados os vetores ~a = 2, 0~ex − 5, 0~ey e ~b = 4, 0~ex + 3, 0~ey, calcule: (a) o produto escalar ~a ·~b e (b) o produto
vetorial ~a ×~b.
Resp: (a) −7; (b) 26~ez.Solucao:
a. ~a ·~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) · (4, 0~ex + 3, 0~ey) = (2, 0)(4, 0)+ (−5, 0)(3, 0) = −7
b. ~a ×~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) × (4, 0~ex + 3, 0~ey)
= (2, 0~ex) × (4, 0~ex)
+ (2, 0~ex) × (3, 0~ey)
+ (−5, 0~ey) × (4, 0~ex)
+ (−5, 0~ey) × (3, 0~ey)
= 0 + 6, 0~ez + 0 + 20, 0~ez = 26~ez
Ou, atraves de determinante,
~a ×~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) × (4, 0~ex + 3, 0~ey) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~ex ~ey
2, 0 −5, 04, 0 3, 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 26~ez
7– Dois vetores estao no plano x y. O vetor ~a tem modulo 4, 0 unidades e faz um angulo de 40o com o eixo x.
O vetor ~b tem modulo 6, 0 unidades e faz um angulo de 110o com o mesmo eixo. Calcule: (a) O produto
escalar ~a ·~b; (b) o produto vetorial ~a ×~b e (c) o produto vetorial ~b × ~a.
Resp: (a) 8, 2; (b) 22~ez; (c) −22~ez.Solucao:O angulo θ entre os vetores e 110o − 40o
= 70o. Entao
a. ~a ·~b = |~a| · |~b| cosθ = (4, 0) · (6, 0) cos 70o= 8, 2
b.∣
∣
∣
∣
~a ×~b∣
∣
∣
∣
= |~a| · |~b| sinθ = (4, 0) · (6, 0) sin 70o= 22 = 22~ez
c. ~b × ~a = −~a ×~b = −22~ez
8– Os vetores ~a e ~b da figura possuem o mesmo modulo; 10, 0 m. Estao orien-
tados de forma tal que θ1 = 30o e θ2 = 105o. Determine, para ~a + ~b: (a) acomponente x; (b) a componente y; (c) o angulo que o vetor resultante ~rfaz com a horizontal.
θ2
θ1a
b
0 x
y
Resp: (a) 1.6 m; (b) 12 m; (c) 83o.Solucao:
a. rx = ax cos 30o+ bx cos (30o
+ 105o) = 10 · (0, 87− 0, 71) = 1, 6 m
b. ry = ay sin 30o+ by sin (30o
+ 105o) = 10 · (0, 50+ 0.71) = 12 m
c. tanθr =ry
rx=
12, 1
1, 6= 7, 6 θr = arctan 7, 6 = 83o
rx
ry
θ2
θ1
a
r
0 x
b
y