CURSO FSICA BSICA IIICAMPUS BELMJordan Del Nerojordan@ufpa.brFaculdade de FsicaUFPASUMRIO- Interaes fundamentais da natureza;- nfase nas interaes mais familiares do nosso dia-a-dia (Gravitacional eEletromagntica) e suas relaes;- Evoluo do Eletromagnetismo Clssico, sua importncia e as equaes deMaxwell que descrevem o campo eletromagntico (para campos estticos evariveis no tempo) na sua forma diferencial e integral;- O operador diferencial nabla e os conceitos de grad, div e rot;- Produo em laboratrio da onda eletromagntica por Hertz;- Surgimento da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein;- Interesses e aplicaes do Eletromagnetismo nas diversas reas.Interaes Eletromagnticas Entre os constituintes da matria, podemos classificar em4 tipos de interaes fundamentais na natureza (emordem crescente da intensidade da interao):- GravitacionalPerceptvel na escala atmica- Nuclear fracaDecaimentos radioativos (o,|)- EletromagnticaInfluncia nas escalas macro e micro- Nuclear forteInterao que mantm os (+) e (0)Ligados no ncleo do tomoMatriatomos Interaes nucleares operam na escala nuclear e sub-nuclear, decaindo muito rapidamente para grandesdistncias. Fenmenos macroscpicos so estudadoslevando-se em conta somente as interaes gravitacional eeletromagntica. Diferem do ponto de vista quantitativo emvrias ordens de grandeza.Interaes EletromagnticasFora de Atrao=NmkgG112210 67 . 61) ( 1 1 =Fora Gravitacional(entre duas massas puntiformes)1 m1 kg 1 kg1 milho de toneladas de repulsoFora de Repulso =NmCk92210 98 . 81) ( 1 1 =Fora eltrica (ou Coulombiana)(entre cargas puntiformes)Fora Gravitacional e CoulombianaInteraes EletromagnticasInteraes entre carga eltrica e fton (portador da interao eletromagntica)Fsica Clssica: o eletromagnetismo descrito usandocampos eltrico e magntico. As relaes bsicas entreesses campos e matria so descritas pelas equaes deMaxwell (para campos estticos e variveis no tempo).E e B so independentesE e B se relacionam. , . 0, 0,ooE B xE xB icV = V = V = V =. , . 0, ,o o ooB EE B xE xB it tc cc cV = V = V = V = +c cO eletromagnetismo surgi atravs da experincia de C.Oersted (1820): uma corrente eltrica produz efeitosmagnticos (artigo a ao de correntes sobre ms.Corrente campo B correnteLei de Ampre => Lei de Biot-SavartLei de Induo de Faraday (1831)fioagulhasimantadasInteraes EletromagnticasInteraes entre carga eltrica e fton (portador da interao eletromagntica)Forma Diferencial da Equaes de Maxwell:E e B so independentes para campos estticos (ou estacionrios)Lei de Gauss p/ eletrostticaLei de Gauss p/ magnetostticaLei de Induo de FaradayLei de Induo de AmpreE e B se relacionam para campos variveis no tempo (ou transientes).. 00ooEBxExB icV =V =V =V =.. 0oo o oEBBxEtExB itcc V =V =cV = ccV = +cLei de Gauss p/ eletrostticaForma Integral:.sup. . . .. . . 0. . 0. .o o envol erfoE dV E dS dV qB dV B dSxE dS E dlxB dS B dl ic c V = = =V = =V = =V = =} } }} }} }} }.sup. . . .. . . 0. . . . .. . . . .o o envol erfE dV E dS dV qB dV B dSBxE dS E dl fe m dStExB dS B dl f mm dStc c V = = =V = =cV = = = ccV = = =c} } }} }} } }} } }Lei de Gauss p/ magnetostticaLei de Induo de FaradayLei de Induo deAmpre-MaxwellInteraes Eletromagnticas Definies:1- operador nabla (V): um operador diferencial e tem caractersticassemelhantes a de um vetor.2- operador nabla (V) atuando em uma funo ou campo escalar (|):Gradiente do campo (vetor):3- operador nabla (V) atuando em uma funo ou campo vetorial ( ):Divergente do campo (escalar):Rotacional do campo vetorial (vetor):( )^ ^ ^, , xyz i j kx y zc c cV = V = + +c c c^ ^ ^i j kx y z| | ||c c cV = + +c c cA^ ^ ^ ^ ^ ^. . . .yx zx y zAA AA i j k iA jA kAx y z x y zc| | c c c c c| |V = + + + + = + + ||c c c c c c\ .\ .^ ^ ^ ^ ^ ^. . . ?x y zxA i j k x iA jA kAx y z| | c c c| |V = + + + + = ||c c c\ .\ .^xixAxAcV =c^yjyAcc^^ ^ ^y yx x z zzkA AA A A Ai j kz y z z x x yAc c| | | | c c c c c | |= + + |||c c c c c c c\ .\ . \ .Interaes Eletromagnticas Definies:Gradiente do campo | (vetor): representa a magnitude e a orientao damxima taxa espacial de variao de |.Logo, ou . P/ u = 0, . Isto, quando tem a mesma orientao de . Assim,Divergente do campo vetorial (escalar): o fluxo lquido que flui p/ fora de uma superfcie incremental fechada,por unidade de volume, medida que o volume se reduz zero emtorno do ponto P.. . . d dx dy dzx y z| | ||c c c= + +c c c( ), , xyz | | =^ ^ ^ ^ ^ ^. . . . . . .dlGd i j k dx i dyj dz kx y z| | ||| | c c c| |= + + + + ||c c c\ .\ .. .cos . d Gdl G dl | u = =.cosdGdl|u = dmaximodl| =dl G|maxd dGdl dn| |= =Significado fsico:Medida do quanto o campovetorial diverge ou emanadesse ponto P.. 0 A V >P(diverge)ponto-fonte(converge). 0 A V so representaes pictricas de interaesentre campos quantizados).Interaes Eletromagnticas Eletromagnetismo (ou Eletrodinmica) Clssica:Formulada por Maxwell (1864). Permitiu obter uma das grandes snteses da cincia, aunificao do eletromagnetismo e da ptica, mostrandoque a luz uma onda eletromagntica. E e B se relacionamSe a luz se propagar em 1 direo (x)Lei de Induo de Faraday:Lei de Induo de Maxwell:,o oB ExE xBt tcc cV = V =c co oE Bx tB Ex tcc c= c cc c =c c( )( )..i kx wtoi kx wtoE EeB Be==. ( ).o ok E wB = 22ooE w ff cB ktt= = = =. .( ).o o o ok B wE c = 1oo o oE wkB c=21o occ=12 2 2 78, 9.10 / . , 4 .10 . /o oC N m T mA c t = =2 222 2A Act xc c=c cEq. da ondaInteraes Eletromagnticas Eletromagnetismo (ou Eletrodinmica) Clssica:Formulada por Maxwell (1864). As ondas Eletromagnticas foram produzidas pela 1vez por Hertz (1887) em laboratrio, foram denominadasondas Maxwellianas ou Hertzianas (ondas curtas derdio). Aplicaes das ondas eletromagnticas: Marconie outros. Extenso das eqs. de Maxwell: abrange todos osaparelhos de ptica e eletromagnetismo (motores,cclotrons, computadores eletrnicos, rdio, TV, radar,microscpios e telescpios). Desenvolvimento do Eletromagnetismo no terminoucom Maxwell: O. Heaviside (1850-1925), H. A. Lorentz(1853-1928) contribuiram para o esclarecimento dateoria eletromagntica.Interaes Eletromagnticas Eletromagnetismo (ou Eletrodinmica) Clssica:Formulada por Maxwell (1864). Serviu como ponte para a elaborao da Teoria darelatividade restrita (1905): para isso foi necessriomodificar a prpria mecnica newtoniana, mas a teoriaeletromagntica de Maxwell permaneceu intacta.Mecnica Newtoniana: v Sc. XXTeoria Eletromagntica de Maxwell: Luz => v = c => Sc. XIXSUMRIO- O que matria?- A matria contnua ou discreta?;- Introduo do conceito de carga eltrica;- Acarga eltrica contnua ou discreta;- A carga eltrica se conserva? Em que situaes?- discusso da lei de interao entre as cargas;- Associar a essa lei umsistema de coordenada para uma distribuiodiscreta e contnua de carga.A Eletricidade parte da Fsica em que seestuda os fenmenos envolvendo as cargaseltricas. Didaticamente, est dividida em trssegmentos:Eletrosttica, Eletrodinmica e Eletromagnetismo.O incio dos estudos da Eletricidade serdesenvolvido em torno de uma propriedadedenominada carga eltrica.EletricidadeMatria e Carga Eltrica A Matria formada de tomos que por sua vez soformados por partculas, cujas cargas e massas so:Matria e Carga EltricaA estrutura atmica mostra que os eltrons so aspartculas que orbitam em torno do ncleo, onde selocalizam os prtons.TOMO-Prtons-Neutrons- EltronsNcleoEletrosferaPara o tomo de H, onde: r = 5,3 10-11mAtrao eltrica entre eltron e prton ~ 3,7 108 NAtrao gravitacional entre eltron e prton ~ 8,1 1047 N839473, 7.100, 4568.108,1.10cGFF= =Incio da Eletricidade Em 600 a.C, quando Thales de Mileto verificou que umbasto de mbar (resina fssil) atritado (processo deeletrizao por atrito) a pele de animais atraa pequenosfragmentos de palha.Carga Eltrica(evoluo das constataes de Mileto) W. Gilbert (1600): Em seu trabalho De Magnete, mencionaoutros corpos que se eletrizam por atrito (vidro, enxofre). Charles Du Fay (1733): Atrao e repulso descrita emtermos de cargas eltricas (processo de eletrizao poratrito). Ex: pedao de seda no basto de vidro e ebonite numplo de animal. B. Franklin (1706-1790): concluiu que existem 2 tipos decarga: (+) e (-).Pelo estudo dos fenmenos eltricos, verificou-seque existe dois tipos de cargas eltricas.Convencionou-se, ento, que a carga do eltronseria negativa e a do prton, positiva.Eltron (e) carga eltrica negativaPrton (e+) carga eltrica positivaPrincpio da Atrao e RepulsoPartculas portadoras de cargas eltricas de mesmo sinal se repelem e as de sinais opostos se atraem.Resultado da ExperinciaLei de Du-FayCargas eltricas de mesmo sinal se repelem e sinaiscontrrios se atraemCARGA ELTRICAPropriedade de atrao ou repulso entre prtons e eltronsP PEPEENNA carga eltrica elementarExperimentalmente, concluiu-se que asquantidades de carga eltrica do eltron edo prton so iguais em valores absolutos.A este valor deu-se o nome de quantidadede carga eltrica elementar (e):e= 1,60 . 10-19Conde a unidade de medida C (Coulomb)Quantidade de Carga EltricaPara a determinao da quantidade decarga eltrica total (Q) que um corpo possui,utiliza-se a expresso:Onde:n = n de eltrons perdidos ou recebidos.e = carga eltrica elementar.Q =n . eQuantizao da Carga A carga era considerada como um fluidoeltrico contnuo (base em Fs. Clssica).Com base na teoria atmica da matria(Fs. Qunt.), foi mostrado que os fludosno so contnuos, mas sim formados detomos, que por sua vez so constitudosde uma certa quantidade mnima de cargaeltrica (e). Logo,Q =n . eOnde:n = n de eltrons perdidos ou recebidos.e = carga eltrica elementar.Unidade de Carga (MKS) A unidade de carga (C) definida a partir da unidade de corrente eltrica. O Coulomb a quantidade de carga que atravessa em 1s a seo reta de um fio percorrido por uma i constante de 1A.q it =Corpo Neutro: Possui o mesmo nmero de prtons e eltrons.Corpo Eletrizado: Possui nmero diferente de prtons e eltrons.- Positivamente eletrizado: mais (+) que (-).- Negativamente: mais (-) que (+).Em uma eletrizao sempre so os eltrons que se movem de um corpo para outro.Conservao da Carga Normalmente um corpo neutro (+) = (-). Quando eles soatritados, ficam carregados com cargas de mesmo valorabsoluto, mas de sinal contrrio. Esta hiptese, formuladapela 1 vez por Benjamin Franklin, considerada a 1formulao da lei de conservao de carga eltrica. Isto sugere a idia de que o processo de atrito no criacargas, mas apenas as transfere de um objeto para outro,perturbando ligeiramente o estado eletricamente neutro decada um. Confirmao por experincias muito precisas no macro emicro (Fsica Atmica e Nuclear => decaimento radioativo ereaes nucleares). Ex: aproximao e-e+ aniquilam => ( )Como: qtotal = 0 (antes e depois) => conservao da carga, masObs: m no conservada, pois transformada em E.2E mc =Condutores e IsolantesOs meios materiais, quanto aocomportamento eltrico, podem serclassificados em:1729- Stephen Gray: as cargas eltricas (eltrons) podiam ser transmitidos por diferentes materiais.Condutores e IsolantesCondutores:So materiais nos quais os portadoresde carga eltrica tm grande liberdade demovimento; podem ser de trs tipos:Eletrnicos (1 ordem ou classe)Os portadores de carga so oseltrons livres.Ex.: metais e grafite, etc.Inicos (2 ordem ou classe):Os portadores de cargas so ons(tomos ou grupos de tomos quereceberam ou perderam eltrons ctions enions).Ex.: solues eletrolticas (cidos, bases esais em soluo).Gasosos (3 ordem ou classe)Os portadores de carga que semovimentam so os eltrons e os ons.Ex.: gases ionizados (non, argnio, etc). Condutores, Semicondutores e Isolantes1. Introduo Materiais quanto condutividade eltrica: Metais (condutores) Semicondutores Isolantes Faixa de condutividade: 10-18 O-1m-1 (quartzo,poliestireno) a 108O-1m-1(prata, cobre).Condutores, Semicondutores e IsolantesMecnica Quntica Eltron tem comportamento de partculae/ou de onda, dependendo do caso. Soluo da equao de Schrdinger resultaem estados qunticos para os eltrons: discretos em tomos isolados bandas de estados em slidos.Condutores, Semicondutores e Isolantes3. Bandas de Energia dos Materiais eDensidade de Estados. Um estado quntico = uma soluo possvelda equao de Schrdinger. Conhecendo V(r,t) determina-se as soluespossveis (pares de E(energia) e k(nmerode onda)). tomos isolados: nveis discretos de energia,formando camadas, sub-camadas e orbitais. Em slidos ???ti Vm cc= + V hh22Condutores, Semicondutores e IsolantesModelo Kronig-PenneyNveis no permitidosNveis no permitidosNveis permitidosNveis permitidosNveis permitidossoluo da equao de Schrdinger.Condutores, Semicondutores e IsolantesResumo:metais, semicondutores e isolantesSemicondutor versus Isolante ?Depende do valor de EG.Limite ~ 2.5 a 3.0 eVIsolantes ou DieltricosSo materiais nos quais osportadores de carga eltrica noencontram facilidade de movimento.Ex.: ar atmosfrico, gua pura, ebonite,vidro, borracha, mica, plstico, etc.Processos de Eletrizao1- ATRITONa eletrizao por atrito os corpos ficam eletrizados com cargas de sinais opostos.Processos de Eletrizao2- CONTATONa eletrizao por contato, os corpos ficam eletrizados com cargas de mesmo sinal.Processos de Eletrizao3- INDUONa eletrizao por induo, os corpos ficam eletrizados com cargas de sinais opostos.Como carregar um corpo metlico por induoAtrao entre um corpo carregado e um corpo isolante neutroPolarizaoPositiva = prtonsNegativa = eltronsMdulo = 1,6x10-19CNmero de prtons nmero de eltronsNmero de prtons = nmero de eltronsOs corpo ficam eletrizados com cargas de sinaisOpostos.Os corpo ficam eletrizados com cargas de Mesmo sinal.Os corpo ficam eletrizados com cargas de sinaisOpostos.ELETROSCPIOSAparelhos destinados a detectar se um corpo esta eletrizadoLei de Coulomb (Fora Eltrica)J foi visto anteriormente que aspartculas com cargas de mesmo sinal serepelem e as de sinais diferentes se atraem.Essa fora de interao eletrostticaentre as partculas carregadas foi medidapela 1 vez por C. A. de Coulomb, em 1785.21F qQFroo(no ficou comprovado)2qQFro12 2 29 2 28,85.10 / .19.10 . /4ooC N mk N m Cctc== =2qQF kr=Lei de CoulombO mdulo da fora de interao eletrosttica entre duas partculas carregadas diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia que as separa.22 1dQ . Qk F =Grfico da Lei de Coulomb Fora Eltrica1- Fora de Repulso2- Fora de Atrao2qQFro2qQFro A Balana de ToroPara medir as foras:1 - Em 1766, J. Priestley (descobriu oO), repetiu a experincia de Franklin,condutor carregado (superfcie) e nointerior (Felt. = 0). Verificou que Felt. =Fgrav..- Em 1785, Coulomb (J. Mitchell)aperfeioou o mtodo de detectar afora eltrica entre duas cargas pormeio da toro de um fio.A partir dessa idia criou ummedidor de fora extremamentesensvel, denominado balana detoro.Balana de Toro de Coulomb (1785)Determinao de k?FC considervel e k (cte de toro)tambm.Aparecimento do torque (t) e do ngulo(u = 3,96.10-3rad).Comprimento da haste (L = 0,5m), as car-gas q = ? e Q = ? (so 2 de cada).O perodo de toro T = 769s e a distncia entre o centro das 2 esferas d = 0,1m. O perodo de oscilao de um pndulo de toro : 2IT tk=2212LI m| |= |\ .u L222kQq Ldku =29 2 29.10 . /dk N m CQqLku= =2CLF ku =Torque:Coulombs( )223 22 2*0, 01* 0, 25 1, 25.10 .2LI m kg m| |= = = |\ .28 2 2248, 34.10 . /Ikg m sTtk= =Balana de Toro de Coulomb (1785)Verificao da dependncia da Fora Coulomb com o inverso do quadrado da distncia que separa as 2 cargas eltricas:- Nas experincias de Coulomb, a preciso no era muito grande (da ordem de alguns por centos).- Cavendish (1772), por um mtodo baseado na idia de Priestley.Chamando: 2+c o expoente de r, Cavendish mostrou que |c| < 2%.-Usando mtodos anlogos, E. R. Williams e colaboradores demonstraram, em 1971, que(enorme preciso).- Assim, a dependncia foi verificada com enorme preciso.163.10 c=2CQqF krc +=163.10 c=2CQqF kr~Balana de Toro de Cavendish (1798)Determinao de G?FG muito pequeno e k (cte de toro)tambm.Aparecimento do torque (t) e do ngulo(u = 3,96.10-3rad).Comprimento da haste (L = 0,5m), as mas-sas m = 10g e M = 10kg (so 2 de cada).O perodo de toro T = 769s e a distncia entre o centro das 2 esferas d = 0,1m. O perodo de oscilao de um pndulo de toro : 2ITkt =2212LI m| |= |\ .( )223 22 2*0, 01* 0, 25 1, 25.10 .2LI m kg m| |= = = |\ .28 2 2248, 34.10 . /Ik kg m sTt= =u L222GMm Lkdu =211 2 26, 63.10 . /k dG N m kgMmLu= =2GLk F u =Torque:A constante de proporcionalidade kdependo do meio em que esto imersas aspartculas e denominada constanteeletrosttica.O valor de k no vcuo (ko) foi deter-minado empiricamente:ko= 9,0 . 109N . m2/C2(no SI)Esse valor tambm se aplica quando omeio em que se encontram as partculas oar (seco):kar ~ koDEPENDEDistanciaMdulo das cargasMeio 1 22.oQ QF kd=229.10 9Cm Nx ko =Lei deCoulomb(Tratamento Vetorial)Na eletrosttica, consideramos somenteconfiguraes de cargas em repouso (comrespeito a um referencial inercial), em equilbrioeletrosttico, isto , nada varia com o tempo.xyz++1q2qOLei deCoulombA fora que q1 exerce sobre q2, F21pode ser expressa sob forma vetorial:1222 121rrq qk F =Onde o vetorunitrio dirigido de q1para q2xyz++1 r2 r12 r12 r1q2qO12 r21 F o vetor unitrio dirigido de q2 para q1Observar que a fora eltrica obedece 3aLei de Newton (Ao e Reao)2122 112 rrq qk F =2 1 rFig 23.5r2- r1r2r12 1 211 2 12r r rr r r = =Lei deCoulomb^21rxzO yLei deCoulomb para mais de 2 cargasAplicao da Lei de Coulomb para cada par de cargas. Sejam q1,q2,..,qn, as cargas presentes. Calculamos a fora exercida sobre uma delas, q1, pelas demais, atravs da equao vetorial:xyz++1 r2 r12 r12 r1q2qO+3 r3q13 r12 F13 F12 13 1.....nF F F F = + + +1 212 21221q qF k rr=1 313 31231q qF k rr=Lei deCoulomb para n cargas puntiformes (descrio microscpica)Para uma distribuio discreta de carga: interaodas n cargas sobre a carga q1.12 13 1.....nF F F F = + + +1 3 1 1 221 31 12 2 221 31 1....nnnq q q q q qF k r k r k rr r r= + + +11221njjjjq qF k rr==11221njjjjqF kq rr==Lei deCoulombPara uma distribuio contnua de carga:descrio macroscpica em termos de cargasdistribudas sobre linhas, superfcies e volumes.11221njjjjqF kq rr==11211.jjjF kq r dqr=}12jqF k dqr=}. dq dl =. dq ds o =. dq dv = distribuio contnua de carga sobre uma linha:, onde: a densidade linear de carga distribuio contnua de carga sobre uma superfcie:, onde: o a densidade superficial de carga distribuio contnua de carga sobre um volume:, onde: a densidade volumtrica de carga qvqsqlLei deCoulomb Para uma distribuio contnua de carga sobre linhas,superfcies e volumes. Isso sugere que a carga eltrica,como a massa podem variar continuamente. Isso no verdade. Existe na natureza um valor mnimo (e) de carga. Isso significa que, quando temos num fio uma corrente de1A, a carga total que atravessa sua seco transversal em1s equivale carga de eltrons, o que ilustrabem o valor microscpico . Millikan demonstrou a existncia da carga elementar emsuas experincias com gotas de leo.186, 24.10191, 602.10 e C=PEar+++++++++PFC- - - - - - - -vterminalP = FCP = EarValores obtidos:q ne = ExercciosCap.26- Carga e MatriaLivro Halliday e Moiss: 2, 6, 9,11,13, 19,20,21.1- Duas esferas idnticas de massa m estocarregadas com carga q e suspensas por fiosisolantes de comprimento L. O ngulo de aberturaresultante 2u. a) Mostre que:b) se m=1g, L=20cm e u=30o, qual o valor de q?2 2 3cos 16oq L mgsen u tc u =2uL Lm mSoluo2uL Lm muLx. x L senu =uPeF2 d x =2 d Lsenu =.eF Ptgu =221. .4 cosoq senm gdutc u=22 21. .4 4 cosoq senm gL senutc u u=u2 2 3cos 16oq L mgsen u tc u =74 1, 6.10oq Lsen mgtg C u tc u= =Exerccio2- Cargas q, 2q e 3q so colocadas nos vrtices deum tringulo equiltero de lado a. Uma carga Q demesmo sinal que as outras 3 colocada no centrodo tringulo. Obtenha a fora resultante sobre Q.q2q3qQSoluoq2q3qQ,3 Q qF, Q qF,2 Q qF,3 Q qF,2 Q qF30o30o30o/ 2 ax32.cos30 3oa ax = =,3 , ,2,3 ,20y Q qy Q qy Q qyx Q qx Q qxF F F FF F F= + == ,3 ,32,2 ,22, ,2.3. 302.2.. 302oQ qy Q qQ qy Q qoQ qy Q qQ qF F sen kxQ qF F kxQqF F sen kx= == == =,3 , ,3 ,.cos30 .cos30x Q qx Q qx Q q Q qF F F F F = = , Q qF23 3 32 2xQqF kx| |= | |\ .2 23 3 3 3xQq QqF k ka a= =Exerccio Ex1- Duas cargas puntiformes, +q e q, estocolocadas nos vcuo, separadas por uma distncia 2d.Com que fora atuam sobre a 3 carga q, situadasobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas,a uma distncia D do ponto mdio deste segmento?q qq +D2dq qq +1 q qF F =2 q qF F=DdSoluoFu1 2F F =12 cos F F u =12dF Fr=rdUsando a Lei de Coulomb, temos:21 24oqqdFr r tc=( )( )3 32 2 2 2 2 2 2o oqq d qq dFD dD dtc tc= =++Onde:14oktc=2 2 2r D d = +e2 F daponta para -q.Exerccio Ex2- Uma carga Q est distribuda uniformementesobre um anel circular vertical de raio e deespessura desprezvel. Qual a fora exercida sobreuma carga puntiforme q, situada sobre o eixohorizontal que passa pelo centro do anel, a umadistncia D do seu plano?qd|dlDrudFdF Q dQl dlqd|dlDrudFdF Soluo. dl d | =214oqdF dQr tc=, onde:ngulo azimutal.. dQ dl =(arco). . . dQ dl d | = =Usando a Lei de Coulomb para uma distribuio contnua de cargadQ, temos:21.4oqdF dr |tc=2Qt=Logo:21.4 2oq QdF dr |tc t=2 21.8oqQdF dr|tc=2 21.cos . .8oqQ DdF dF dr ru |tc = =, onde:2 2 2r D = +qd|dlDrudFdF Soluo( )23 222 208oqQ DF dDt|tc =+}( )3 222 228oqQ DFDttc =+( )3 322 24 4o oqQ D qQ DFrDtc tc = =+O que o campo? O conceito de campo aparece como umaabstrao da interao a distncia entrecorpos. Um corpo A interage com outro corpo Batravs de algo que existe em volta de Be que interage com alguma propriedadedo corpo A. Este algo em B existeindependente de A e chamado decampo.Exemplos de campos vetoriais (gravitacional , de velocidade, eltrico e magntico)? Ex1: Corpos ou ponto do espao nas vizinhanas da Terra,associamos um vetor intensidade de campo gravitacional ( ).Esse vetor representa a acelerao gravitacional qual ficasujeito um corpo de prova abandonado nesse ponto. Ex2: Escoamento de gua de um rio: a todo ponto na guaassocia-se uma grandeza vetorial, o campo vetorial develocidade ( ), a velocidade com que a gua passa peloponto. Obs: e no variam com o tempo (campos estacionrios).gvvg Ex3: Se colocarmos uma carga perto de um bastocarregado, uma Featuar sobre a carga, dizendo-se, ento,que existe um ( ) nessa regio. Ex4: Analogamente, diz-se que existe um campo magntico( ) em torno de um m.EB Os campos (E) e (B) constituem conceitos fundamentais dateoria clssica Eletromagntica. Neste captulo, trataremos dos campos eltricos associadosa cargas e a um referencial inercial no qual eles seencontram em repouso (Eletrosttica). Antes de Faraday, o conceito de ao adistncia aplicava-se as Fe, Fme Fg.carga carga(interao direta e instantnea entre o parde cargas) Atualmente, se raciocina em termos decampos eltricos. Ou seja,carga campo carga(interao de campo entre o par decargas)E2FEq=1- A carga q1, produz um campo eltrico no espao a sua volta.2- O campo atua sobre q2; isso se traduz pela ao da fora (F= F21).A carga q2 tambm produz um E2 e que esse E2 atua sobre q1,que ser submetida a ao de uma fora F = F12 (3 Lei deNewton).Portanto, o E desempenha um papel de transmissor dainterao entre as cargas.Problemas:a- clculo dos E produzidos por distribuies de cargasconhecidas;b- clculo das foras que um dado campo E exerce sobre ascargas nele colocadas.Obs: Se q1 estiver acelerado, q2 tomar conhecimentoinstantaneamente (contradiz os resultadosexperimentais) atravs de uma perturbao no E quese propaga com velocidade c. O tempo necessrio :t = d/c.Michael Faraday- O campo eltrico (E) gerado por uma carga eltrica (Q) podeser representado por linhas imaginrias (linhas de fora ou decampo) indicando a sua orientao (direo e sentido) em umponto qualquer no espao. Isto , estas linhas servem paravisualizar a configurao dos campos eltricos.- A idia de magnitude convenciona-se que inversamenteproporcional ao espaamento dessas linhas.Obs: Faraday utilizava estas linhas, pois no apreciava Ecomo um vetor.As linhas de fora (ou decampo) so linhasimaginrias, tangentes aosvetores campo eltrico emcada ponto do espao eno mesmo sentido dosvetores campo eltrico.- Linhas de Fora do Campo no se interceptam, j que adireo do campo eltrico em qualquer ponto nica.- As linhas de fora (E) so traadas de tal forma que onmero de linhas que atravessam a unidade de rea de umaseo direo das mesmas proporcional ao mdulo docampo eltrico.- Caractersticas:. ..de linhas de linhasqA E=o on n- Quanto maior o valor da carga, mais linhas de fora (|E)devem ser utilizadas para representar o campo eltrico.- regies em que as linhas de fora so prximas E|, casocontrrio E+.Obs: No bvio que seja possvel traar um conjunto delinhas satisfazendo estas condies. Se a Lei de Coulombno fosse verdadeira, isso no seria possvel.Resumindo Em cada ponto, o vetor campo eltrico E tangente, linha de campo eltrico que passa pelo ponto. O nmero de linhas, por unidade de rea, que atravessam umasuperfcie perpendicular s linhas do campo, proporcional aovalor do campo eltrico na regio. Se o mdulo de E for muito grandeas linhas de campo estaro muitojuntas. Caso contrrio estaro maisespaadas. A densidade de linhas atravs dasuperfcie A maior que adensidade atravs da superfcie B. O campo no uniforme.Seu mdulo maior em A do queem B.EA > EBCaractersticas:AFASTAMENTO: APROXIMAO:Quando Q > 0Quando Q < 0origemterminamCarga puntiforme, linhas de campo tem direo radial e sentido que depende do sinal de Q.As Cargas positiva so as fontes das linhas de campoAs Cargas negativas so os sorvedouro das linhas de campo.Superposio de CamposEltricosEm primeiro plano ocampo resultanteCampo produzido porcada uma das cargasCargas Puntiformes de Sinais ContrriosCargas Puntiformes de Sinais IguaisLinhas de campo de duas cargas positivasLinhas de campo de um dipolo Carga positiva 2q e carga negativa q:metade das linhas que saem de 2q terminam em q e as restantes terminam no infinito.Visualizao 3D das Linhas de Campo As linhas de camposaem das cargas positivas e entram em cargas negativas. O nmero de linhas quesaem de uma carga (ouentram) proporcional aomdulo da carga.LINHAS DE CAMPO ELTRICOCamposEltricos individuais Carga +3q Carga q Soma dos vetores CampoEltrico em cada ponto Carga +3q Carga q Visualizao 2D das Linhas de Campo Carga +3q Carga qCampo Eltrico Uniforme (CEU) Um campo eltrico dito uniforme se, em qualquerponto dele, o vetor campo eltrico o mesmo (constante).Portanto, num campo eltrico uniforme, as linhas defora so paralelas entre si e distanciadas igualmente.Linhas de Campo do CEUEx: Num plano uniformementecarregado, o campo eltrico dito uniforme.Descontinuidade na placaNa prtica, um campo eltrico uniforme obtido porduas placas paralelas entre si, carregadas uniformementecom quantidade de cargas iguais, em valores absolutos, masde sinais opostos.Importante: Reconhecer os elementos de simetria de umproblema, pois isto permite prever a simetria das linhas defora. (a) simetria plana (linhas de fora ao plano, E=cte); (b)simetria esfrica (linhas de fora so radiais, E=cte, diminuicom a distncia); (c) simetria cilndrica ou axial (linhas de foraso radiais).Importante- As linhas de fora representam o modo como E varia numa dada regiodo espao.- O que significa um Evcuo? Historicamente, vcuo => meio elstico (ter), eo E como uma modificao deste meio (anlogo a tenso numa corda) =>tentativas falharam.- Por que introduzir um E aparentemente abstrato no vcuo? Pensa-se nacriao de um E, num ponto do vcuo, por uma configurao de cargas, ena atuao deste E sobre uma outra carga colocada neste ponto. Ainterao entre cargas passa a ser mediada pelo E.- Cargas se movem com relao as outras? Lei de Coulomb (ao distncia) sentida instantaneamente. Pelo E demora um certo tempo.- O prprio Newton (gravitao) considerava inadmissvel a idia de ao distncia no vcuo, pois no havia qualquer agente intermedirio.- As equaes de Maxwell para o Eletromagnetismo so expressas emfuno da intensidade dos campos E e B, e no em termos das linhas defora, e que as diferenas entre o ponto de vista da ao distncia e decampo aparecem quando houver variaes da distribuio de cargas como tempo. ( c = finita de propagao das O.E)Se colocarmos uma carga perto de umbasto carregado, uma Featuarsobre a carga, dizendo-se, ento, queexiste um E nessa regio. Portanto,2QF q E E kr= = Ao aplicarmos a expresso anterior, devemosusar uma carga de prova to pequena quantopossvel. Uma carga de prova grande poderiaperturbar a distribuio de cargas que produzem ocampo. Logo,0limqFEq=Campo Eltrico (E)Q - carga geradora ou superfcie carregada.q carga de provaObs: Definio de E, conceitualmente correta e muito apropriada nomomento, raramente aplicada na prtica, devido a dificuldadesexperimentais. O valor de E normalmente obtido por meio dequantidades mais facilmente mensurveis (potencial eltrico).Unidades no SI: N/C (Newton/Coulomb) ou V/m (Volt/metro)Conclui-se , atravs dessas expresses, que E e F tm a mesma direo: mas os sentidos dependem do sinal de q:q>0FEq > 0 : E e F tem o mesmo sentidoq>a,( )321.4yoaqEr tc~, onde: p = 2aq (momento de dipolo eltrico). Logo,31.4yopEr tc~Obs:31Ero21EroCarga puntiformeCampo de duas cargas positivasCampo sobre o plano de simetria de duas cargas de mesmo sinalSoluo1 2E E E = +Logo,( )1 22 22 21 14 4o oq q qE E kr ra ytc tc= = = =+. Em mdulo:12 .cosyE E u =( )( )12 22 2 212. . .4yoq aEa ya ytc=++( )32 2 21 2.4yoaqEa ytc=+Se y >>a,31.4yopEy tc~, onde: p = 2aq (momento de dipolo eltrico).ExercciosCap.27- Campo EltricoLivro Halliday e Moiss2- A fig. mostra que uma carga q1 = 1C a 10cm de umacarga q2 = 2C. Em que ponto da reta que une as 2 cargas nula a intensidade do campo eltrico (E)?1q2qP10 l cm =? x =SoluoO ponto tem de estar entre as cargas, pois somente nessaregio as foras exercidas por q1 e q2, sobre uma carga deprova, tm sentidos opostos. Sendo E1 e E2 as intensidadesdos campos eltricos devido s cargas q1 e q2, temos:1 2E E =( )1 22 21 14 4o oq qxl xtc tc=( )2122q xql x=( )12qx l xq= 21104,11 21l cmx cmqq= = =++12xl xqq= Lembrete para o prximo exerccioAdio de VetoresLembrete para o prximo exerccioSubtrao de Vetores( ) B A B A + = ExercciosCap.27- Campo EltricoLivro Halliday e Moiss 3- Uma carga puntiforme q est localizada no ponto(0,0,-d) de um sistema de coordenada cartesiano, eoutra +q, no ponto de coordenada (0,0,d). Qual ocampo eltrico no ponto (x,y,z)?xOyzq( )0, 0, P dq ( )0, 0, P d ( ), , Pxyz( )( )qqr r xi y j z d kr r xi y j z d k = + + = + + +vetores posio das cargas -q e +q.Soluo( ), ,q qExyz E E= +Logo,Em z = 0, obtemos:( )3 3, ,4q qoq qq r rExyzr rtc ( (= ` ( ( )( )( )( )( )( )( )( )3 32 2 2 22 2 2 2, ,4oxi y j z d k xi y j z d kqExyzx y z d x y z dtc ( + + + + +(= ` ( (+ + + + + )( )( )32 2 2 22, , 04oq dExy kx y dtc ( (= ` ( + + ( )Onde: p = 2qd (momento de dipolo eltrico):( )( )32 2 2 2, , 04opExy kx y d tc= + +SoluoPor outro lado, num ponto (0,0,z), com z > d (acima da carga +q), obtemos:( )( )( )( )( )( )( )3 32 2 2 22 2 2 2, ,4oxi y j z d k xi y j z d kqExyzx y z d x y z dtc ( + + + + +(= ` ( (+ + + + + )( )( )( )( )( )6 60, 0,4oz d k z d kqE zz d z dtc ( + (= ` ( + )( )( ) ( )2 21 10, 0,4oqE z kz d z dtc ( = ( ` + ( )( )( ) ( )( ) ( )2 22 20, 0,4.oz d z dqE z kz d z dtc (+ =( ` + ( )( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 22 20, 0,4.oz zd d z zd dqE z kz d z dtc (+ + + ( = ` +( )SoluoPor outro lado, num ponto (0,0,z), com z > d (acima da carga +q), obtemos:( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 22 20, 0,4.oz zd d z zd dqE z kz d z dtc (+ + + ( = ` +( )( ) ( )( ) ( )2 210, 0, 2.2 .4.oqE z d z kz d z dtc ( =( ` + ( )( )( ) ( )2 22 10, 0,2.oqdE z z kz d z dtc ( =( ` + ( )( )( )22 20, 0,2opE z zkz d tc=SoluoPor outro lado, num ponto (0,0,0) na origem, com d = 0, obtemos:( )( )3/ 2 3/ 22 20, 0, 04oq d dE kddtc ( (= ` ( (( ( )( )3 30, 0, 04oq d dE kd d tc (= ` ( )( )320, 0, 04oq dE kd tc| |= |\ .( )210, 0, 02oqE kd tc= Exerccio 1:Clculo de CampoEltricode q1e q2, no ponto PA Fora Eltrica e o Campo Eltrico obedecem aoPrincpio da SuperposioO Campo Eltrico total, devido a uma carga total Q, emcada ponto do espao, igual a diviso dessa carga emelementos infinitesimais de carga dQ.2( ) ( ) . .ijiijidQEr dE r k rr= =} } Para uma distribuio contnua decargas puntiformes:xOyzQdQP( ) dErrPr1( ) ( ) ( )ni iidEr E r dE r== =}dQr2( ) .kEr dQr=}Distribuies contnuas de cargaComo em todo clculo vetorial ns temos que calcular, separadamente, cada uma das componentes Ex, Ey, Ezk E j E i E Ez y x + + =}}}}=== A = A) ( ) (); ( ) (); ( ) () ( ) ( ) (cargas0P z P zP y P yP x P xPEiP i Pr dE r Er dE r Er dE r Er E d r E r Ei Prrrqk E 2A= ADensidade de cargaDensidade linear de cargaDensidade superficial de cargaDensidade volumtrica de cargadqdldS dqdqdVl ddq= dSdq= odVdq= Clculo do CampoEltrico de uma Linha Infinita de Carga+++++++++++ydEydExdEPuxdxdqruCalcular o CampoEltrico (E) a umadistncia y da linha?. dq dx =O campo dE devido a umdq no Ponto P dado por:214odqdEr tc=e. 0xxxE sen dE u=== =}O vetor dE temcomponentes x e y dado por:.sxdE dE enu = . sydE dE cou =Logo,(contribuio da direita e esquerdase anulam).02 .xyxE E cos dE u=== =}201 .2 .4xo xdxE cosrutc===}Fazendo mudanade varivel (x em u).. x y tgu =2.sec . dx y d u u =Clculo do CampoEltrico de uma Linha Infinita de Carga+++++++++++ydEydExdEPuxdxdqruCalcular o CampoEltrico (E) a umadistncia y da linha?/ 2220.sec ..2oy dE cosru tu u uutc===}Sabendo que:222cosyru=cosyru =/ 20.2ocosE dyu tu uutc===}( )/ 202oE senyu tuutc===2oEytc=0 0/ 2xxuu t= == + =Clculo do CampoEltrico de um Segmento de RetaExercciosCap.27- Campo EltricoLivro Halliday e Moiss 4- Um disco circular horizontal de raio R estuniformemente carregado com densidade superficial decarga o. Qual o campo eltrico num ponto do eixovertical que atravessa o disco em seu centro, a umadistncia x do centro?Obs: podemos pensar no discocomo subdividido em neis delargura infinitesimal dr e raio rvariando de 0 a R.A carga de um anel dq = o.dsdq = o.(2tr.dr)O campo dE que ele cria no Ponto P dado por:ExercciosCap.27- Campo EltricoLivro Halliday e MoissO campo dE que ele cria no Ponto P dado por:( )( )12 22 2 2( ) . 2 .k xEr r drx rx rto =++}2( ) .coskEr dqyu =}( )32 2 202( ) .4Rox rEr drx rtotc=+}d Eyu( )12 2 20( )2RoxEr x roc= +( )12 2 2( ) 12oxErx Roc ( (= (+ ( Se R (x>R) o campo pareceser radial como o de umacarga pontualCarga doDiscoLinhas de campo de discoPara pontos longe da borda e prximos ao disco podemos visualizar que o campo perpendicular ao planoMovimento de Cargas em Campo Eltrico Uniforme-Investigaremos a outra parte da interao carga-campo, sendo dado umcampo E, que foras e que torques atuaro sobre uma configurao decargas colocadas nesse campo?Um campo eltrico E exerce uma fora sobre uma partcula carregada, dadapor:- Esta fora produz uma acelerao:- Exemplo: partcula de massa m e carga q, abandonada do repouso soba ao de um E uniforme. Descreva o seu movimento?+++++++++v1- - - - - - - -vo = 0v2E qEam=As equaes de movimento da partcula?yqEtv atm= =,2 22 2t qEty am= =222yyqEv aym= =,F qE =qEam=F ma =. .F yW F y qE y qE = = =222 2yc yqEmv mE qEm| |= = = |\ .,Movimento de Cargas em Campo Eltrico UniformemE qaa m FE q F = == : Newton de Lei 2aImpressora de Jato de Tinta(deflexo de um feixe de eltrons)Aplicaes- Ex: eltron de massa m, carga e e velocidade vo, entraperpendicularmente num E uniforme. Descreva o seu movimento?Impressora de Jato de TintaLy222v 212121v||.|

\|= ===oxoxLmqEtmqEyt a yt xPrincpio de Funcionamento do Osciloscpio de raios catdicos de deflexo eletrosttica2222v 2121v 2121 v e velocidad com ) ( eltron-||.|

\|= =||.|

\|= ==zy yzx xzLmqEtmqEyLmqEtmqEx-e qTela de TV ou do MonitorDipolo num Campo Eltrico (E) UniformeA distncia entre as cargas considerada como um vetor de mdulo 2d. O produto deste vetor pelo valor da carga q um outro vetor na mesma direo designado por p = 2 dq (vetor momento de dipolo eltrico).opE t{F qE =( )2 . Fd sen t o =2 . . d qE sen t o =. . p E sen t o =2 . . d F sen t o =( )2 2 . dxF Fd sen t o = =dxF pxE t = =Portanto, um dipolo eltrico colocado num campo eltricoexterno E sofre um torque que tende a alinh-lo com o E.Logo, na forma vetorial, temos:Representao ao lado:p E t = opEtDipolo num Campo Eltrico (E) UniformePara isso, necessrio que um agente externo realize trabalho(W) para mudar a orientao desse dipolo eltrico. Esse W armazenado na forma de Energia Potencial (U), no sistemaconstitudo pelo dipolo e pelo dispositivo para criar o campoeltrico externo E. Se o nguloo variar de 90 at um nguloqualquer, o Wnecessrio para girar o eixo do dipolo dado por:90W dW d Uot o= = =} }Sabendo que:. . p E sen t o =Logo,90 90. . . U pE sen d pE sen do oo o o o = =} }| |90cos .cos U pE pEoo o = = Na forma vetorial:. U p E = Dipolo num Campo Eltrico (E) UniformeExerccioIntroduoLei de Gauss- Primeira das equaes de Maxwell bsica do Eletromagnetismo.- Outra forma de se expressar a Lei de Coulomb.Lei de Gauss- os clculos no so trabalhosos,porm o nmero de problemasque se pode resolver por meiodela pequeno). Essa lei maistil, pois mais fcil decompreender, do que,propriamente, pela resoluo deproblemas.- Apesar disso, envolve problemascom um alto grau de simetria(plana, cilndrica e esfrica).Lei de Coulomb- Se conhecermos a distribuiode cargas, podemos utilizar a Leide Coulomb, a fim de calcular Eem qualquer ponto no espao(x,y,z).- Esse mtodo funciona e direto,porm muito trabalhoso (a no sernos casos mais simples)precisando de um computador.Introduo- Antes de discutir a Lei de Gauss, necessrio definir o conceito defluxo de um campo vetorial (uE).Fluxo (propriedade relativa a qualquer campo vetorial) de Fluido (ugua):amtu=aVtu=axSt u=.cosaSv Sv u u= =uvSPara uma superfcie fechada o fluxo (fluido, E, B) nulo.No h nem fonte nem sorvedouro de fluido dentro da superfcie.{m V ={. V S x =Introduo-Vimos em Hidrodinmica o conceito de fluxo ou vazo de um fluidoatravs de uma superfcie S. No entorno de um ponto do fluido onde avelocidade v, o volume de fluido que atravessa o elemento desuperfcie AS (normal tem direo ) durante um intervalo de tempo dt o volume dV contido num cilindro de base AS e geratriz v. .dt (altura):( ). . . dV v n dt S = AVolume de fluido que atravessa AS durante dt.nnnS. v dtn. . v n dtS APara uma superfcie fechada S com normal externa . n. .adVv n Sdtu= = A. .aSv n dS u= }Em particular (sem fonte e nem sorvedouro):. . 0aSv n dS u= =}uv. dS n dS =.cos .aSv dS u u= }Integral estendida a toda superfcie fechada (volumeque sai atravs de S igual ao que entra)Introduo- Substituindo v por E, encaramos as linhas de fluxo como linhas de fora.- Trataremos apenas com superfcies fechadas, imersas no campo E. Issoporque, a Lei de Gauss expressa apenas em termos dessas superfcies.Obs1: ufluido incompressvel = 0 (superfcies fechadas) => sem fontes esorvedouro dentro da superfcie fechada.ufluido incompressvel = 0 (superfcies fechadas) => fontes e sorvedourodentro da superfcie fechada.Obs2: ueltrico = 0 (superfcies fechadas) => sem fontes e sorvedouro dentroda superfcie fechada.ueltrico = 0 (superfcies fechadas) => fontes (cargas positivas; nessecaso, ueltrico > 0 ) e sorvedouro (cargas negativas; nesse caso, ueltrico < 0 )dentro da superfcie fechada.Introduo- Substituindo v por E, encaramos as linhas de fluxo como linhas de fora.Exemplo de superfcies fechadas, num campo eltrico E,dos trs casosabaixo:ueltrico = 0 (superfcies fechadas) => sem fontes e sorvedouro dentroda superfcie fechada.ueltrico = 0 (superfcies fechadas) => fontes (cargas positivas; nessecaso, ueltrico > 0 ) e sorvedouro (cargas negativas; nesse caso, ueltrico < 0 )dentro da superfcie fechada.1S2S3S4S. .ESE n dS u = }0Eu >0Eu 0}{(E2.dS2) < 0}{(E3.dS3) > 0}E1E2E3dS1dS2dS3E|i= (E1.dS1) A Lei de GaussO Fluxo do Campo Eltrico (uE) atravs dequalquer superfcie fechada (gaussiana) sdepende da carga interna superfcie e valeqint/co. Isto , d uma relao entre o uE e a cargatotal q (levando em conta o sinal da carga),eventualmente contida na superfcie A.. . . .o E oSq E n dA c c = u =}A Lei de Gauss leva Lei de Coulomb2422. ... (4 )14esfo oS SoS rooE d A E dA qE dA qE r qqErtc ccc ttc== ====} }}Leva-se em conta certas condies de simetria(no caso, a mais simples mostrada abaixo):- E e dA so paralelos entre si eradiais superfcie esfrica.Aplicao da Lei de Gauss ao E de umacarga puntiforme isolada q colocada nocentro de uma superfcie esfrica de raio r.- Colocando uma carga de prova qono ponto onde calculamos E:2 2. 1 14 4oo o oq q F qFq r r tc tc= =A Lei de Coulomb leva Lei de Gausso onkqkqrrkqdArkqdArkqdA E dA n EStc ct |t ||41pois 4) 4 ( .22 2 2= = == = == =} }} } Fluxo do Campo de uma carga puntiformeatravs de uma Superfcie Esfrica centrada nacargaConstante para todos os dAGeneralizaodA cos udAEO Fluxo do Campo vale q/comesmo que asuperfcie no seja esfrica.202024 r d d sen r Ad r d sen r dA Ad r d sen r dAesfricaSt | u uu | uu | ut t} }} }}= = = = =Elementos de superfcie} } } }}= = = = =h r d dz r dz d r dA Adz d r dAhScilndricat | ||t2020Superfcie EsfricaSuperfcie CilndricaZERO dA E QSn= =} 0 internacConseqncias da Lei de GaussZERO A d E s .ZERO A d E > .} }}= ==3 213 3 0 2 2 01 1 0 interna. ..S SSA d E A d EA d E Q c ccCargas externas no contribuem para ofluxo (apesar de contribuirem para ocampo ltrico)Conseqncia da Lei de Gauss) ( 03 21zeroq qqSoSoS=+==' ''|c|c|Fluxo atravs de uma Superfcie Fechada(outro exemplo)expresso. dessa partira, sobre nada concluir para d no mas valeinternaEqdA E qQoSn o ooc |c | c| c}= ==A lei de Gauss afirma que o fluxo eltricolquido atravs de qualquer superfcie gaussiana fechada, igual carga lquida no interior da superfcie, dividida por c0.Esta lei s til para calcular o mdulo do campo eltrico em um nmero limitado de situaes nas quais existe elevado grau de simetria.Situaes em que a Lei de Gauss til clculo do mdulo do campo eltrico:simetria esfrica, cilndrica e planar.A Lei de GaussAplicao da Lei de Gauss para Clculo do Campo EltricoAnalisar a simetria da distribuio de cargas e obter: a direo do campo os pontos em que o mdulo de constante.Escolher a superfcie gaussiana (fechada) adequada: onde E constante ou onde .Escrever a Lei de Gauss para a superfcie escolhida, tirar E da integral e obter sua expresso.A d E EAnlise de simetria de uma distribuio esfricaPlanos de simetria: famlia de planos quecontm o centroA interseo de dois destes planos definea direo do campo eltricor > Rr < RRRrEscolha de superfcie gaussiana em problemas de simetria esfricaClculo do campo parar > R. A carga interna igual a Q0.Clculo do campo parar < R. A carga interna menor do que Q0.Campo criado por uma esfera uniformemente carregadaAnlise de simetria de um fio muito longoPlanos de simetria: plano perpendicular ao eixo famlia de planos quecontm o eixoA interseo de dois destes planos definea direo do campo eltricorea Lateral(2tr) lrea da Tampa(t r2)lCampo criado por um fio muito longo uniformemente carregadoLinhas de campo de discoPara pontos longe da borda e prximos ao disco podemos vizualizar que o campo perpendicular ao planoCampo criado por um plano infinito uniformemente carregadoModelos Atmicos de Thomson e RutherfordThomsonr+ = 1++++++++Desprezar o efeito dos eltrons.Carga + dos tomos estava distribuda numa esfera de raio r.Calcular o E na superfcie de 1 tomo de ouro (Z = 79)?21 .4oZ eEr tc++=131,1.10 / E NC+ =Desprezar o efeito dos eltrons.Carga + dos tomos se distribu no ncleo do tomo de raio rncleo.Calcular o E na superfcie do ncleo de 1 tomo de ouro (Z = 79)?21 .4no nZ eEr tc=212, 3.10 /nE NC =Rutherford+156, 9.10nr m=ou22nnrE Er++= En >> E+ => Fn cerca de 100000000 vezes maior F+. Isto , F|| se a carga estiver toda concentrada numa regio pequena (o ncleo) localizada no centro do tomo. Condutor um material que possui cargas livres para se movimentar por todo o material. O condutor est em equilbrio eletrosttico quando no h cargas em movimento. Conseqncias:1) O campo eltrico nulo no interior do material condutor em equilbrio eletrosttico. Se no fosse nulo, existiria fora eltrica agindo sobre suas cargas livres, que se movimentariam.2) O campo eltrico em pontos da superfcie de um condutor em equilbrio eletrosttico perpendicular superfcie. Se no fosse perpendicular, haveria movimento de cargas na superfcie. Condutores em Equilbrio Eletrosttico Qualquer excesso de carga num condutor em equilbrio eletrostticodeve estar na superfcie. Demonstra-se isso a partir da Lei de Gauss. Intervalo de tempo necessrio para um condutor atingir o equilbrio da ordem de 10-16s. Rdio FM transmitida na faixa de 100 MHz (A t ~ 10-8s)Condutores em Equilbrio EletrostticoLuz visvel ~ 10+15HzRaio X ~ 10+18HzRaio ~ 10+20HzCondutores em Equilbrio EletrostticoAs cargas no interior do condutor se redistribuem de tal forma que, no interior do condutor, o campo criado pelas cargas redistribudas se ope ao campo criado por Q. O rearranjo de cargas resulta num campo total nulo no interior do condutor.Notar que continua valendo o princpio da superposio) ( ) (condutor do cargas vizinhas cargasE E =O campo eltrico perpendicular superfcie do condutor.O mdulo do campo eltrico em pontos prximos superfcie (mas fora dela) igual a o/c0, onde o a carga por unidade de rea neste ponto da superfcie. Se a forma do condutor for irregular a carga tende a se acumular onde a superfcie for mais pontiaguda. (Esta propriedade poder ser demonstrada mais adiante quando aprendermos o conceito de potencial.)Campo na Superfcie do Condutor Podemos usar a lei de Gauss para obter a relao entre o campo eltrico e a densidade superficial de cargas sobre a face externa da superfcie de um condutor em equilbrio.Campo na Superfcie do CondutorPara isto conveniente traar uma superfcie gaussiana com a forma de um pequeno cilindro com as bases paralelas superfcie. Aplicando a lei de Gauss, neste pequeno cilindro, podemos calcular o campo na superfcie do condutor:0 0 0infEA qA E dA Ecococ= =}= = = u Clculo do Campo na Superfcie do CondutorCondutores em Equilbrio EletrostticoOutra forma mais qualitativa de se obter o mesmo resultado o de se considerar que quando estamos muito prximos a superfcie ns podemos considerar esta superfcie como sendo um plano infinito de carga o, e portanto com E = o / (2c0). Superposto a este campo devemos ter o campo criado pelo resto da superfcie do condutor.O campo criado pelo resto da superfcie tem que ser igual, e em sentido contrrio, ao campo criado pelo pequeno disco. Isto se faz necessrio para que o campo total no interior do condutor seja nulo. Sendo assim o campo no interior nulo e no exterior 2 ( o / (2c0) ). A carga no interior de um condutor tem que ser nula. Qualquer excesso de carga, num condutor deve estar na superfcie externa. Se o condutor for oco a carga em sua superfcie interna tem que ser nula. Caso contrrio E no ser nulo no interior do condutorConseqncia da Aplicao da Lei de Gauss Se num condutor oco houver uma carga no nula em sua cavidade interna, a carga na sua superfcie interna ser igual em mdulo a carga no interior da cavidade. A carga na superfcie externa ser igual a soma algbrica da carga existente no condutor com a carga existente na sua cavidade. Conseqncia da Aplicao da Lei de GaussTodas estas afirmaes podem ser obtidas pela aplicao da Lei de Gauss Numa teoria de campo, queremos exprimiro estudo do campo E num ponto P emtermos de seu comportamento navizinhana imediata de P. Pela Lei deGauss,Divergncia de um vetor e a Equao de PoissonPdSASAV.Eo SqE dScAu = =} um indicador global da presena decargas (fontes E) no volume interno a S.Queremos encontrar um indicador local quesinalize a presena de fontes num ponto P.Para isso, envolvemos P uma superfciegaussianaAS que limita um volumeAV econtm uma carga Aq:( ).Eo o SP VqE dSc cAAu = = =}01lim .Vo SE dSVcA (= (A }01lim .VSE E dSVA (V = (A }oEcV =(Equao de Poisson da Eletrosttica a forma local da Lei de Gauss).Esse limite, que caracteriza a densidade de fontes do E em P, independentede AS e define uma caracterstica local do E, que se chama divergncia.POTENCIAL ELTRICO (V)A lei de Coulomb tem a mesma forma que a leida gravitao universal, e portanto a foraeletrosttica tambm conservativa. possvel ento definir uma funo energiapotencial (escalar) associada a esta fora.Isto , o campo eltrico nas proximidades de umcorpo carregado pode ser descrito no somentepelo vetor intensidade do E, mas tambm pelafuno energia potencial eltrico (V). Pois, estsgrandezas se relacionam.Poder de atrao ou repulso dentro do campo eltricoQqq. k QVd=Unidade: Volt(V)POTENCIAL ELTRICO (V)VEd=POTENCIAL ELTRICO (V)Se uma carga de prova for colocada numcampo eletrosttico E, a fora sobre a cargaser q0E:E q F =0Ento essa fora q0E conservativa. Pois, o WFdepende apenas dos pontos inicial e final e nodo caminho entre eles.O trabalho (W) realizado por um agente externoque desloca a carga (sem variar a energiacintica) igual ao negativo do trabalho feitopela fora q0E.Num deslocamento infinitesimal ds, o trabalhodo CAMPO ELTRICO ser:0 campodW Fds q Eds = = E para um deslocamento finito de A a B:0B BcampoA AW Fds q Eds = = } }F Por definio, a variao da energia potencialdU igual ao negativo do trabalho realizadopor uma fora conservativa :s d E q s d F dU = =0No caso de um deslocamento finito dacarga de prova qo, entre os pontos A e B, avariao da energia potencial dada por:0B BB AA AU U U Fds q Eds A = = = } }A integral } = ABAs d E q U0 uma integral de linha e como a fora F conservativa essa integral no depende do percurso seguido entre A e B !Para uma fora conservativa o percurso vermelho equivalente ao percurso azulABi.e. a variao de energia potencial depende somente dos pontos A e B.A diferena de potencial, VB- VA, entre os pontos A e B definidacomo a variao da energia potencial dividida pela carga de prova q0:} == BAA BA Bs d EqU UV V0A ddp VB- VA igual ao trabalho por unidade de carga, que um agente externo deve efetuar para deslocar uma carga de prova, no campo eltrico, de A at B, sem alterar a energia cintica da carga.+ +EA BDefinio de ddpO potencial eltrico num ponto arbitrrio igual ao trabalho necessrio, por unidade de carga, para trazer uma carga de prova positiva (+q0) do infinito at o ponto considerado. Se VA= 0 no infinito :PPV Eds= }Concluso: Isto nos permite definir o potencial eltrico num ponto P.A unidade SI de potencial o joule por coulomb, definido como uma unidade chamada volt (V) :CJ1 V 1 Ou seja: necessrio efetuar 1 J de trabalho sobre uma carga de 1 C para cobrir uma ddp de 1 V.DIFERENA DEPOTENCIAL CAMPO UNIFORMEEA BdE paralelo ao eixo x e uniforme} = A = BAA Bs d E V V V} = = ABAEd ds E VE constante e pode sair da integralIMPORTANTEO sinal negativo depende do fato que VB< VA0.cos 0 .B BA AE ds Eds = = } }Se uma carga de prova +q0se desloca de A para BEA Bd+ +q0Ed q V q U0 0 = A = AA variao da sua energia potencial ser : NOTA: Se q0for positivo, AU ser negativoUma carga positiva perde energia potencial eltrica quando se desloca na direo do campo eltricoEm geral, em um campo eltrico uniforme}= = ABAs d E V} = BAd E s d Ed E q V q U = A = A0 0A variao de energia potencial da carga ser : Todos os pontos sobre um plano perpendicular a um campo eltrico uniforme esto num mesmo potencialEABdCB e C esto no mesmo potencialSUPERFCIES EQUIPOTENCIAISAo longo dessas superfcies o potencial constanteDef.: Qualquer superfcie constituda por uma distribuio contnua de pontos que possuam o mesmo potencial.Campo eltrico entre duas placas planas paralelas com cargasopostasd = 0,3 cmE = ?Movimento de um prton em um campo eltrico uniformeE = 8x104V/md = 0,5 mAV = ?POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMESEds0 = =}s d F WSuperfcies equipotenciaisPOTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES} = BAA Bs d E V Vrrqk E 2=s d rrqk s d E = 2mas:dr ds s d r cos= = udrds} } } = = = BArrBArBAA Brdrkq dr E s d E V V2(Coulomb)rrBrAABdsqBArrA BrkqV V = ((

= A BA Br rkq V V1 1A ddp entre dois pontos quaisquer A e B s depende das coordenadas radiais rAe rB.Se escolhemos VA= 0 por rA= :rqk V =O potencial eltrico de uma carga puntiforme a uma distncia r da carga valerrBrAABdsqPotencial total em um ponto P devido a um grupo de cargas=iiirqk Vri= distncia do ponto P carga qi(soma algbrica de escalares)Vale o princpio da superposio||.|

\|+ + + =iirqrqrqk V ...2211Pq1q2q3r1r2r3Energia potencial da interao de um sistemade partculas carregadasq1q2r12U q V k q qr= =2 11 212Se q1e q2tm o mesmo sinal : U >0q1q2r12q3r13r23Para um sistema com mais de 2 cargas:U kq qrq qrq qr= + +|\

|.|1 2122 3231 313Potencial de uma distribuio contnua de cargasPrdqPotencial de um pequeno elemento dq como carga puntiformedV k dqr=}V kdqr=} a mesma coisa que =iiirqk VO potencial nulo num ponto P infinitamente distante da distribuio de cargas.1MTODOPotencial de uma distribuio contnua de cargas2MTODO (til quando se conhece o campo eltrico)V VU UqEdsB AB AAB == }0E calculado em qualquer ponto mediante a lei de Gauss e depois substitumos esta expresso na equao acimaPotencial de um anel uniformemente carregadoaxdqPx a2 2+VP= ?Q = carga totalV kdqrkdqx aP = =+} }2 2Mas cada dq est a uma mesma distncia x a2 2+Vkx adqkQx aP =+=+}2 2 2 2Clculo do campo E a partir do potencial VNo caso do anel uniformemente carregado (s h componente x)2 / 3 2 22 / 3 2 22 / 1 2 2) () 2 ( ) )(21() (a xkQxx a x kQa xdxdkQdxdVEx+= + =+ = =Se dU q Eds = 0edVdUqEds = = 0E em x=0 ?) ( dz E dy E dx E s d E dVz y x+ + = =k dz j dy i dx s d k E j E i E Ez y x + + = + + =V E ouzVExVExVEz y xV =cc =cc =cc =; ;Potencial de um disco uniformemente carregadox r2 2+dA r dr = 2tPrxadro = carga por unidade de reaVP= ?2 2 2 22r xdr r kr xdq kdV+=+=t oUso o resultado do anelV kr drx rk x r r dra a=+= +} }to to222 202 2 1 20( )/( )| |V k x a x = + 22 21 2to/Podemos sempre achar E utilizando a formula dVdUqEds = = 0EdVdxkxx ax = = +|\

|.| 2 12 2toE em x=0 ?POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO E = 0 no interior do condutor. E = perpendicular superfcie de um condutor em equilbrio.No h componente paralela superfcie (E//= 0). Excesso de carga s pode se situar na superfcie do condutor.Todos os pontos sobre a superfcie de um condutor carregado, em equilbrio, tem o mesmo potencial.}= = = BAA Bs d E V Vs d E00Para os pontos A e B:A e B podem ser quaisquerV constante na superfcie de um condutor carregado em equilbrio. A superfcie de qualquer condutor carregado, em equilbrio, uma superfcie equipotencial. V= const. no interior do condutor, e igual ao valor que tem na superfcie do condutor. No interior do condutor : E = 0V = const.Superfcies equipotenciaisEdVdrr = A variao de V nula paraqualquer deslocamentoperpendicular ao campoeltrico E.POTENCIAL DA ESFERA CONDUTORA++++++++RkQr2E = 0No exterior da esferaNo interiorkQrV = No exterior da esferaNo interior (constante)kQRCondutor em equilbrio eletrosttico O Campo Eltrico nulo no interiorLinhas do campo eltricoSuperfcies equipotenciaisQQ = 01221rrEE=r1r2q1q2Duas esferas condutoras carregadas, muitoafastadas e ligadas por um fio condutorEE12= ?V k qrk qr= =1122qqrr1212=As esferas esto muito separadas. Posso considerar que o campo de uma no influi na outra.E k qr1112= E k qr2222=Campo mais intenso perto da esfera menorPoder das PontasCAPACITORES E DIELTRICOS Capacitor um dispositivo capaz de armazenar energia eletrosttica que pode ser liberada de maneira controlada durante um curto perodo de tempo. Um capacitor consiste de dois condutores separados espacialmente que podem ser carregados +Q e -Q respectivamente. Com formatos arbitrrios (qualquer simetria, sero chamados de placas). Em 1746, Pieter Van M., Prof. em Leiden,descobre a garrafa de Leiden, o 1capacitor (ou condensador), capaz dearmazenar carga eltrica. +-Representao:Capacidade Eltrica ou Capacitncia (C)Seja um condutor inicialmente neutro e isolado. Aoser eletrizado com carga Q, este adquire um potencial V.QVcomo:Q o V, assim temos: constanteVQouV C Q =Se construirmos o grficode Q versus V, teremos:nte numericameCVQtgN= =VQC= A capacitncia definida como arazo entre a carga num condutordo capacitor e a ddp aplicada.CQV=[ ][ ][ ][ ] CCoulombVoltFarad = = 1 1 FCV=A capacitncia de uma montagem depende da disposio geomtrica dos condutores. A capacitncia uma caracterstica do capacitore no depende da carga ou da ddp.Os submltiplos do Farad (F):1 mili-Farad1 mF = 10 3F1 micro-Farad 1 F = 10 6F1 nano-Farad1 nF = 10 9F1 pico-Farad 1pF = 10 12FQUCapacitores ou Condensadores Capacitores ou condensadores soelementos eltricos capazes de armazenarcarga eltrica e, conseqentemente, energiapotencial eltrica.Podem ser esfricos, cilndricos ouplanos, constituindo-se de dois condutoresdenominados armaduras que, ao seremeletrizados, armazenam cargas eltricas demesmo valor absoluto, porm de sinaiscontrriosCAPACITNCIA DE UM CONDUTOR ESFRICOO campo no exterior de uma distribuio esferossimtrica de carga, radial e valeE k Qr=2V V Eds kQdrrb aabab = = } }2=

((= |\

|.| kQrkQb aab1 1 1V V kQ a babb a =1 Q abCV k a b= =b a >>4oaC aktc = =CAPACITNCIA DE UM CONDUTOR ESFRICOO segundo condutor uma esferacondutora, concntrica primeira,oca e com raio infinito.1 1R rV V kQR r| | = |\ .Vr = 0 no infinito (r )RkRRQkQVQC04 c t = = = =C proporcional aoraio R e independe dacarga Q e da ddp (AV).Ex: Condutor esfrico (Terra) => RT = 6370km e co = 0,00000000000885710 C F =0 0RQV kR=RQ +. V E r =ELinhas de campo saemC| para poder escoar bastante carga para a Terra sem alterar o seu potencial.} = baa bs d E V V.E o campo na regio: a < r < blei de Gauss achamos:Ekr=2} }|.|

\| = = = babar a babkrdrk dr E V V ln 2 2 22ln 2 ln lnol Q Q lCkQ b b bVkl a a atc= = = =| | | | | | |||\ . \ . \ . constitudo por 2 cilindros coaxiais.b d a = +ln ln 1b d da a a| | | |= + ~ ||\ . \ .CAPACITOR CILNDRICO2o oal ACd dt c c= =Ento:Se,Portanto, o capacitor cilndrico como um capacitor plano enrolado.a = 5cm, l = 20cm e d = 1mm (garrafa de Leiden)560 C pF =CAPACITOR DE PLACAS PLANAS PARALELASo =Q/AAQE0 0c co= =AQdEd V0c= =CAd= c0 constitudo por duas placas iguais, planas eparalelas que, ao serem conectadas a umabateria, adquirem cargas eltricas de sinaiscontrrios, como mostra a figura.Assim, podemos considerar E entre as placascomo uniforme.Obs: Desprezaremos os efeitos de borda dos planosd