21
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Segunda Prova (Diurno) Disciplina: Física III-A - 2018/1 Data: 18/06/2018 Seção 1: Múltipla Escolha (7 × 0, 8 = 5.6 pontos) 1. Um elétron é abandonado do repouso em uma região do espaço onde há um campo elétrico uniforme E no plano da página, apontando para o topo da mesma, e um campo magnético uniforme B apontando para fora do plano da página. Nessa situação, qual ca- minho na figura abaixo melhor descreve a trajetória inicial do elétron nessa região? 1 3 2 4 5 6 7 (a) 4 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 5 (f) 6 (g) 7 2. Um nêutron é formado por três partículas elementa- res conhecidas como quarks. Um deles é um quark up, com carga +2/3 e e os outros dois são quarks down, cada um com carga -1/3 e. Em um modelo simplificado para a estrutura interna do nêutron, os três quarks realizam movimentos circulares uniformes de mesma velocidade escalar v e raio R, todos execu- tados no mesmo plano. O quark up gira em sentido anti-horário e os quarks down giram em sentido ho- rário, como vistos por um mesmo observador. Nessas condições, supondo que as correntes elétricas associa- das ao movimento de cada quark podem ser tratadas como correntes estacionárias, a intensidade do mo- mento de dipolo magnético total do nêutron vale: (a) 2 3 evR (b) 3 2 evR (c) 1 2 evR (d) 1 3 evR (e) evR (f) 2evR (g) 3evR (h) 0 3. Um fio condutor retilíneo é constituído por um cilin- dro condutor de raio a e resistividade ρ a e uma casca cilíndrica condutora maciça de raio interno a, raio ex- terno b (b>a) e resistividade ρ b , coaxial ao cilindro. Uma seção transversal deste fio é mostrada na figura abaixo. Sabendo que o fio é é submetido a uma dife- rença de potencial constante entre suas extremidades, a razão J a /J b entre as intensidades das densidades de corrente que fluem no cilindro e na casca cilíndrica vale: (a) ρ b ρ a (b) ρ a ρ b (c) ρ a ρ a + ρ b (d) ρ b ρ a + ρ b (e) ρ a a ρ b (b - a) (f) ρ b (b - a) ρ a a (g) 1 4. A figura abaixo mostra três fios que conduzem cor- rentes de mesma intensidade do ponto a ao b. O fio 1 é formado por dois segmentos de reta inclinados de mesmo comprimento, o fio 2 é um único segmento de reta horizontal de comprimento L e o fio 3 é um semi- círculo de diâmetro L. O segmento de reta tracejado na figura tem comprimento L/2. Os fios estão numa região de campo magnético constante B perpendicu- lar ao plano da página, com sentindo para dentro. Sejam F 1 , F 2 e F 3 as intensidades das forças mag- néticas que o campo exerce sobre os fios 1, 2 e 3, respectivamente. Nessas condições, podemos afirmar que: Gabarito Pág. 1

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Universidade Federal do Rio de JaneiroInstituto de FísicaSegunda Prova (Diurno)Disciplina: Física III-A - 2018/1Data: 18/06/2018

Seção 1: Múltipla Escolha (7× 0, 8 = 5.6 pontos)

1. Um elétron é abandonado do repouso em uma regiãodo espaço onde há um campo elétrico uniforme ~E noplano da página, apontando para o topo da mesma,e um campo magnético uniforme ~B apontando parafora do plano da página. Nessa situação, qual ca-minho na figura abaixo melhor descreve a trajetóriainicial do elétron nessa região?

1

3

2

4

5

66

7

(a) 4

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 5

(f) 6

(g) 7

2. Um nêutron é formado por três partículas elementa-res conhecidas como quarks. Um deles é um quarkup, com carga +2/3 e e os outros dois são quarksdown, cada um com carga −1/3 e. Em um modelosimplificado para a estrutura interna do nêutron, ostrês quarks realizam movimentos circulares uniformesde mesma velocidade escalar v e raio R, todos execu-tados no mesmo plano. O quark up gira em sentidoanti-horário e os quarks down giram em sentido ho-rário, como vistos por um mesmo observador. Nessascondições, supondo que as correntes elétricas associa-das ao movimento de cada quark podem ser tratadascomo correntes estacionárias, a intensidade do mo-mento de dipolo magnético total do nêutron vale:

(a)2

3evR

(b)3

2evR

(c)1

2evR

(d)1

3evR

(e) evR

(f) 2evR

(g) 3evR

(h) 0

3. Um fio condutor retilíneo é constituído por um cilin-dro condutor de raio a e resistividade ρa e uma cascacilíndrica condutora maciça de raio interno a, raio ex-terno b (b > a) e resistividade ρb, coaxial ao cilindro.Uma seção transversal deste fio é mostrada na figuraabaixo. Sabendo que o fio é é submetido a uma dife-rença de potencial constante entre suas extremidades,a razão Ja/Jb entre as intensidades das densidades decorrente que fluem no cilindro e na casca cilíndricavale:

(a)ρbρa

(b)ρaρb

(c)ρa

ρa + ρb

(d)ρb

ρa + ρb

(e)ρaa

ρb(b− a)

(f)ρb(b− a)

ρaa

(g) 1

4. A figura abaixo mostra três fios que conduzem cor-rentes de mesma intensidade do ponto a ao b. O fio1 é formado por dois segmentos de reta inclinados demesmo comprimento, o fio 2 é um único segmento dereta horizontal de comprimento L e o fio 3 é um semi-círculo de diâmetro L. O segmento de reta tracejadona figura tem comprimento L/2. Os fios estão numa

região de campo magnético constante ~B perpendicu-lar ao plano da página, com sentindo para dentro.Sejam F1, F2 e F3 as intensidades das forças mag-néticas que o campo exerce sobre os fios 1, 2 e 3,respectivamente. Nessas condições, podemos afirmarque:

Gabarito Pág. 1

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(a) F1 = F2 = F3

(b) F1 > F2 > F3

(c) F1 > F3 > F2

(d) F2 > F1 > F3

(e) F2 > F3 > F1

(f) F3 > F1 > F2

(g) F3 > F2 > F1

5. Uma barra condutora fina encontra-se imersa em umaregião de campo magnético constante ~B que apontapara fora do plano do papel, como mostrado na figuraabaixo. Ela gira com velocidade angular constante ωem sentido horário em torno de um eixo paralelo àdireção do campo e que passa por seu centro, quecorresponde ao ponto B na figura. A barra perma-nece perpendicular à direção do campo durante todoo movimento. Considerando os pontos A, B e C mos-trados na figura, podemos afirmar que, após estabe-lecido o equilíbrio de cargas no interior da barra, ospotenciais elétricos nesses pontos, dados por VA, VB

e VC , satisfazem:

(a) VA = VC < VB

(b) VA = VB = VC

(c) VA = VC > VB

(d) VA > VB > VC

(e) VA < VB < VC

(f) VA > VC > VB

(g) VC > VA > VB

(h) VB > VA > VC

6. Considere um fio fino, retilíneo e infinito, transpor-tando uma corrente estacionária de intensidade I.Traça-se então uma curva amperiana circular, de raioR, que circunde o fio num plano perpendicular a ele,mas de forma que o fio não passe pelo centro da am-periana, como mostrado na figura abaixo. Nessa situ-ação, qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA?

(a) Pela lei de Ampère, a circulação do campo mag-nético produzido pelo fio tem módulo igual aµ0I.

(b) Por simetria, o campo magnético produzido pelofio é sempre tangente à amperiana.

(c) Por simetria, o módulo do campo magnético pro-duzido pelo fio tem o mesmo valor em todos ospontos da amperiana.

(d) Pela lei de Ampère, o campo magnético produ-zido pelo fio é sempre tangente à amperiana.

(e) Pela lei de Ampère, o módulo do campo mag-nético produzido pelo fio tem o mesmo valor emtodos os pontos da amperiana.

7. Considere uma partícula de carga q e velocidade ~v =vyy + vzz, imersa num campo magnético uniforme

e estacionário ~B = B0z. Qual é a força magnéticasofrida por essa partícula?

(a) qvyB0x

(b) qvzB0x

(c) qvyB0y

(d) qvzB0y

(e) ~0

Gabarito Pág. 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2018/1 – Segunda Prova: 18/06/2018 (Diurno)

Formulario

~Fm = q ~v × ~B, d~Fm = I d~l× ~B,

S

~B.d ~A = 0, d ~B =µ0

I d~l× r

r2, I =

S

~J .d ~A,

~J = nq~v, ~J =~E

ρ, R =

ρL

A, P = V I,

C

~B.d~l = µ0IS

enc + µ0ǫ0dΦS

E

dt,

EC

ind = −dΦS

B

dt, EC

ind =

C

(~v × ~B) · d~l, ~µ = IA n

Secao 2. Questoes discursivas (2 × 2,2 = 4,4 pontos)

1. (2,2 pontos) Um cilindro condutor, macico, de raio R possui densidade de corrente estacionaria e nao-

uniforme dada por ~J(s) = (k/s) exp(s/R) z (s ≤ R), onde k e uma constante positiva, s e a distanciaao eixo do cilindro e z e o unitario da direcao correspondente a esse eixo.

(a) Determine a corrente total que atravessa uma secao transversal do cilindro. (0,8 ponto)(b) Determine o campo magnetico (modulo, direcao e sentido) produzido pelo cilindro em todo o espaco.Justifique cuidadosamente todos os argumentos utilizados. (1,4 ponto)

2. (2,2 pontos) A figura abaixo mostra um trilho condutor com forma de U e de resistencia desprezıvelsobre o qual uma barra curva, na forma de um semicırculo de raio R, desliza sem atrito e com velocidadeconstante ~v = vx (v > 0). Todo o sistema esta sobre o plano XY e sob a acao de um campo magnetico

constante ~B = Bz (B > 0). A barra curva possui resistividade ρ e secao transversal constante de areaA. Nos calculos abaixo, escolha o vetor unitario normal ao plano definido pela barra curva e o trilhocondutor como n = z.

(a) Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na barra em movimento. (1,2 ponto)(b) Determine a forca magnetica (modulo, direcao e sentido) que o campo magnetico exerce sobre abarra devido a corrente induzida. (1,0 ponto)

1

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Gabarito

Secao 2. Questoes discursivas (2 × 2,2 = 4,4 pontos)

1. Resolucao:(a) Como a intensidade da densidade de corrente J(s) depende apenas de s, podemos dividir a secaotransversal do cilindro em aneis infinitesimais concentricos de raio s e espessura ds, com area infinitesimaldada por dA = 2πs ds. Como J(s) e constante sobre um anel, podemos integrar sobre eles para obtera corrente total:

I =

~J · d ~A =

[J(s)z] · (dAz) =

J(s)dA =

∫ R

0

J(s)2πs ds,

onde tomamos o vetor unitario normal a secao transversal como z. Substituindo a expressao de J(s),obtemos:

I = 2πk

∫ R

0

exp(s/R) ds → I = 2πkR(e− 1) ,

onde e e o numero de Euler.

(b) Pela simetria cilındrica do problema, sabemos que a intensidade do campo magnetico deve dependerapenas de s. Sua direcao e sentido podem ser inferidos por argumentos basicos de eletromagnetismo.Por exemplo, sabemos que o campo nao deve ter componente radial perpendicular ao eixo do cilindro(s) nessa situacao, pois essa componente geraria linhas de campo abertas, violando a lei de Gauss parao magnetismo. A lei de Biot-Savart tambem elimina a componente ao longo do eixo do cilindro (z)pois, como a densidade de corrente flui ao longo dessa direcao em todo o cilindro, o campo magneticoresultante deve ser ortogonal a esta direcao. Com isso, concluımos que o campo deve circular comsentido dado pela regra da mao direita a partir de z, resultando na forma ~B = B(s)φ.

Dada esta forma do campo, a escolha adequada de curva amperiana C consiste em um cırculo de raio s,coaxial ao eixo do cilindro e orientada no mesmo sentido de φ ponto a ponto. Calculando a circulacaode ~B sobre esta curva, temos:

ΓC

B =

C

~B · d~l =

C

[B(s)φ] · (dlφ) = B(s)

C

dl = B(s)2πs,

onde usamos que B(s) e constante sobre C, uma vez que todos os pontos da curva se encontram a umamesma distancia s do eixo.

Vamos agora calcular a corrente total que atravessa uma superfıcie S delimitada por C, que escolhemossimplesmente como sendo o disco definido por C. Para isso, devemos distinguir as regioes do espacodefinidas por s ≤ R e s > R.

(I) s > R:

Neste caso, a curva amperiana engloba totalmente a secao transversal do cilindro. Pela regra da maodireita a partir da orientacao de C, o sentido positivo para a corrente corresponde a z, de forma que acorrente total enclausurada por esta curva corresponde ao valor calculado no item (a):

ISenc = I = 2πkR(e− 1).

Aplicando a lei de Ampere, obtemos:

ΓC

B = µ0IS

enc

B(s)2πs = µ02πkR(e− 1)

B(s) =µ0kR(e− 1)

s(s > R) .

(II) s ≤ R:

Neste caso, a curva engloba apenas a porcao da secao transversal contida em um disco de raio s.Podemos entao adaptar o calculo do item (a) para integrar apenas sobre este disco:

ISenc =

∫ s

0

J(s′)2πs′ds′ = 2πk

∫ s

0

exp(s′/R)ds′ = 2πkR(

es/R − 1)

.

1

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Aplicando a lei de Ampere a este caso, obtemos:

B(s)2πs = µ02πkR(

es/R − 1)

→ B(s) =µ0kR

s

(

es/R − 1)

(s ≤ R) .

2. Resolucao:(a) Considere um instante t onde o centro do semicırculo definido pelo comprimento da barra se encontraa uma distancia x(t) da parte vertical do trilho. Nesse instante, o fluxo de campo magnetico atraves daarea S definida pelo circuito formado pelo trilho e a barra e dado por:

ΦS

B =

S

~B · d ~A = ~B · ~A = B

(

πR2

2+ 2R x

)

,

onde usamos que ~B e uniforme e que ~A = An = Az. Note que a area total A do circuito e a soma daarea de um retangulo de lados 2R e x com a area definida pelo semicırculo.

Pela lei de Faraday, a forca eletromotriz induzida sobre o circuito e dada por:

Eind = −dΦS

B

dt= −B 2R

dx

dt= −2BRv,

uma vez que a velocidade escalar da barra e dada por v = dx/dt (x(t) aumenta com t). O sinal negativoindica que a corrente e a fem induzida possuem sentidos contrarios ao sentido estabelecido como positivo,que e dado pela aplicacao da regra da mao direita a partir de n = z. Este sentido positivo correspondeao sentido anti-horario, de forma que a corrente induzida tem sentido horario. A mesma conclusaopode ser obtida a partir da lei de Lenz.

Finalmente, como a barra tem comprimento L = πR, sua resistencia eletrica e dada por Rb = ρL/A =ρπR/A. Com isso, a intensidade da corrente induzida e dada pela lei de Ohm:

Iind =|Eind|

Rb

=2BRv

ρπR/A→ Iind =

2BAv

ρπ.

(b) Como o campo magnetico e uniforme, a forca resultante sobre a barra pode ser escrita como:

~Fm =

Iind d~l× ~B = Iind

(∫

d~l

)

× ~B = Iind ∆~r × ~B

onde ∆~r = −2Ry e o vetor deslocamento correspondente as extremidades da barra, orientado no sentidoda corrente induzida. Fazendo o produto vetorial, obtemos:

~Fm = Iind(−2Ry)× (Bz) = −Iind2RBx → ~Fm = −4B2RAv

ρπx .

O sentido da forca tambem pode ser obtido a partir da lei de Lenz, uma vez que a forca magneticatambem atua de forma a impedir a variacao de fluxo de campo magnetico no circuito.

2

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Gabarito dos 900 Testes Gerados

Teste 001: 1D 2F 3D 4H 5G 6F 7E

Teste 002: 1D 2C 3E 4F 5B 6G 7B

Teste 003: 1A 2A 3B 4E 5C 6F 7F

Teste 004: 1C 2B 3D 4C 5A 6F 7A

Teste 005: 1B 2D 3A 4E 5E 6C 7D

Teste 006: 1B 2B 3C 4A 5E 6E 7F

Teste 007: 1E 2B 3F 4A 5C 6D 7E

Teste 008: 1A 2E 3G 4C 5B 6C 7E

Teste 009: 1G 2H 3D 4E 5D 6H 7A

Teste 010: 1E 2E 3H 4C 5F 6C 7G

Teste 011: 1D 2F 3B 4D 5C 6G 7C

Teste 012: 1C 2C 3B 4E 5D 6A 7D

Teste 013: 1E 2F 3C 4C 5B 6D 7B

Teste 014: 1E 2C 3G 4E 5A 6C 7B

Teste 015: 1H 2B 3C 4B 5E 6G 7A

Teste 016: 1A 2A 3E 4C 5B 6G 7C

Teste 017: 1A 2D 3C 4G 5D 6B 7F

Teste 018: 1G 2E 3F 4B 5A 6E 7D

Teste 019: 1C 2C 3D 4F 5F 6D 7B

Teste 020: 1B 2H 3A 4D 5B 6F 7A

Teste 021: 1E 2E 3B 4H 5B 6C 7G

Teste 022: 1G 2D 3B 4C 5D 6E 7B

Teste 023: 1C 2F 3E 4B 5G 6C 7A

Teste 024: 1A 2C 3G 4C 5B 6G 7D

Teste 025: 1C 2G 3G 4E 5B 6F 7B

Teste 026: 1C 2F 3D 4C 5H 6B 7B

Teste 027: 1G 2F 3C 4B 5C 6G 7E

Teste 028: 1G 2E 3G 4E 5A 6B 7B

Teste 029: 1F 2B 3G 4F 5D 6B 7D

Teste 030: 1C 2A 3B 4C 5A 6D 7D

Teste 031: 1B 2B 3D 4E 5E 6F 7G

Teste 032: 1E 2G 3C 4H 5D 6B 7E

Teste 033: 1D 2G 3B 4E 5E 6D 7A

Teste 034: 1A 2D 3F 4D 5C 6E 7H

Teste 035: 1C 2G 3D 4C 5D 6E 7H

Teste 036: 1A 2D 3B 4C 5H 6B 7D

Teste 037: 1E 2B 3G 4C 5F 6D 7A

Teste 038: 1E 2A 3A 4C 5F 6D 7C

Teste 039: 1E 2A 3E 4A 5B 6F 7G

Teste 040: 1D 2B 3A 4B 5A 6C 7D

Teste 041: 1C 2E 3E 4B 5B 6G 7G

Teste 042: 1E 2B 3H 4A 5D 6D 7H

Teste 043: 1F 2B 3A 4E 5C 6B 7A

Teste 044: 1E 2H 3C 4C 5E 6D 7B

Teste 045: 1E 2C 3C 4B 5A 6E 7G

Teste 046: 1E 2H 3E 4B 5D 6F 7A

Teste 047: 1B 2G 3B 4F 5F 6C 7G

Teste 048: 1H 2B 3D 4C 5D 6E 7E

Teste 049: 1B 2B 3A 4D 5E 6F 7D

Teste 050: 1A 2B 3D 4G 5A 6B 7E

Teste 051: 1D 2D 3E 4C 5A 6A 7E

Teste 052: 1E 2G 3C 4G 5B 6D 7A

Teste 053: 1F 2E 3D 4A 5B 6D 7F

Teste 054: 1D 2E 3G 4C 5A 6A 7D

Teste 055: 1B 2B 3C 4D 5D 6F 7E

Teste 056: 1E 2E 3A 4D 5H 6D 7H

Gabarito Pág. 1

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Teste 057: 1E 2F 3H 4E 5D 6C 7B

Teste 058: 1G 2B 3G 4C 5F 6D 7D

Teste 059: 1C 2F 3D 4G 5D 6G 7E

Teste 060: 1D 2A 3A 4D 5G 6F 7A

Teste 061: 1C 2G 3A 4E 5E 6A 7B

Teste 062: 1B 2G 3A 4B 5C 6E 7E

Teste 063: 1F 2A 3C 4F 5B 6B 7D

Teste 064: 1B 2F 3E 4A 5B 6G 7F

Teste 065: 1B 2F 3D 4A 5D 6B 7A

Teste 066: 1A 2B 3C 4D 5B 6A 7E

Teste 067: 1F 2F 3A 4B 5A 6C 7E

Teste 068: 1G 2E 3C 4C 5D 6E 7B

Teste 069: 1B 2D 3B 4D 5F 6F 7A

Teste 070: 1C 2G 3E 4A 5E 6H 7A

Teste 071: 1A 2E 3G 4H 5D 6E 7C

Teste 072: 1H 2B 3B 4C 5C 6A 7G

Teste 073: 1B 2D 3G 4C 5B 6E 7G

Teste 074: 1D 2B 3E 4G 5C 6D 7A

Teste 075: 1F 2B 3A 4C 5G 6G 7D

Teste 076: 1B 2A 3D 4D 5F 6E 7A

Teste 077: 1F 2A 3E 4D 5D 6G 7B

Teste 078: 1C 2C 3B 4D 5D 6B 7F

Teste 079: 1D 2A 3G 4B 5D 6G 7E

Teste 080: 1B 2B 3A 4A 5C 6E 7E

Teste 081: 1A 2C 3E 4C 5A 6E 7B

Teste 082: 1B 2E 3D 4C 5C 6A 7A

Teste 083: 1A 2C 3E 4E 5B 6A 7F

Teste 084: 1A 2D 3C 4A 5E 6B 7H

Teste 085: 1E 2D 3D 4F 5B 6B 7G

Teste 086: 1B 2A 3A 4C 5E 6B 7F

Teste 087: 1B 2G 3G 4A 5A 6B 7D

Teste 088: 1B 2A 3C 4A 5C 6E 7E

Teste 089: 1G 2F 3D 4E 5F 6G 7D

Teste 090: 1E 2D 3G 4D 5F 6A 7A

Teste 091: 1F 2C 3C 4D 5G 6F 7B

Teste 092: 1C 2A 3A 4G 5F 6B 7D

Teste 093: 1A 2A 3E 4E 5C 6C 7G

Teste 094: 1F 2B 3G 4B 5A 6E 7E

Teste 095: 1E 2E 3F 4A 5H 6A 7C

Teste 096: 1D 2C 3A 4C 5E 6E 7D

Teste 097: 1C 2B 3A 4F 5E 6F 7E

Teste 098: 1E 2A 3E 4C 5C 6G 7D

Teste 099: 1A 2C 3D 4C 5F 6B 7G

Teste 100: 1A 2D 3D 4C 5E 6G 7B

Teste 101: 1F 2E 3B 4D 5G 6B 7E

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