Fisica_Modulo_II

Emerson Mariano da Silva

Fsica para Cincias Biolgicas

1 Edio 2009

Copyright 2009. Todos os direitos reservados desta edio SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA (SEAD/UECE). Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, dos autores.

Infomaes tcnicas Autores Emerson Mariano da Silva Design instrucional Antonio Germano Magalhes Junior Igor Lima Rodrigues Pedro Luiz Furquim Jeangros Projeto grfico Pedro Luiz Furquim Jeangros Igor Lima Rodrigues Marcos Paulo Rodrigues Nobre Ilustrao Pedro Luiz Furquim Jeangros Diagramao Pedro Luiz Furquim Jeangros Capa Marcos Paulo Rodrigues Nobre

PRESIDENTE DA REPBLICA Luiz Incio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAO Fernando Haddad SECRETRIO DE EDUCAO A DISTNCIA Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLTICAS EM EDUCAO A DISTNCIA DPEAD Hlio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa GOVERNO DO ESTADUAL DO CEAR GOVERNADOR Cid Ferreira Gomes UNIVERSIDADE ESTADUAL DA CEAR REITOR Francisco de Assis Moura Araripe VICE-REITOR Antnio de Oliveira Gomes Neto PR-REITORA DE GRADUAO Joseja Lineuda da Costa Murta SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA - SEaD COORDENADOR DA SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA Antnio Germano Magalhes Jnior COORDENADOR GERAL UAB/UECE Francisco Fbio Castelo Branco COORDENADORA ADJUNTA UAB/UECE Josete de Oliveira Castelo Branco Sales COORDENADORA DO CURSO DE LICENCIATURA EM CINCIAS BIOLGICAS Germana Costa Paixo COORDENADORA DE TUTORIA DO CURSO DE LICENCIATURA EM CINCIAS BIOLGICAS Jeanne Barros Leal de Pontes Medeiros ORGANIZAO DO CONTEDO Emerson Mariano da Silva

UNIDADE 01 - NOES DE MOVIMENTO E ENERGIAIntroduo .......................................................................................................................................9 Captulo I - Trabalhando com unidades de medidas, dimenses e a matemtica usada para a descrio das grandezas fsicas .................................................................................................................................. 11 1.1. Padres de medidas das grandezas fsicas ...........................................................................10 1.2. Anlise dimensional das grandezas fsicas ........................................................................... 11 1.3. O Sistema Internacional de Unidades (SI) e a converso de unidades. ................................. 13 1.4. Grandezas fsicas escalares e vetoriais ................................................................................14 1.5. Conhecendo um pouco da matemtica dos vetores lgebra vetorial .................................15 1.6. Valor mdio, desvio padro e algarismo significativo de uma grandeza fsica ......................21 1.7. Estudo sobre as leis de Newton do movimento ...................................................................24 1.7.1. Conceitos de fora e massa inercial: aspectos histricos pr e ps-Newton ...........24 1.7.2 Aplicaes da primeira lei de Newton a lei da inrcia ........................................26 1.7.3 Aplicaes da segunda lei de Newton dinmica .................................................26 1.7.4 Aplicaes da terceira lei de Newton ao e reao ...........................................29 1.7.5. Peso, massa e o campo gravitacional ....................................................................31 1.8 Conservao de energia: as definies de energia e trabalho ...............................................31

UNIDADE 02 - NOES DE TERMODINMICA E FLUIDOSIntroduo .....................................................................................................................................41 Captulo 2 - Temperatura e Calor .........................................................................................................42 2.1. Temperatura e equilbrio trmico.........................................................................................42 2.2. Termmetros e escalas termomtricas ................................................................................43 2.3. Dilatao trmica de slidos e lquidos ...............................................................................45 2.4. O calor, transferncia de energia e a termodinmica ...........................................................47 2.5 Algumas noes sobre calor especfico e capacidade trmica..............................................49 2.6. Transformao de fase e o calor latente ..............................................................................51 2.7. Processos de transferncia de calor .....................................................................................52 2.7.1. A conduo trmica .............................................................................................52 2.7.2. A conveco ........................................................................................................53 2.7.3. O mecanismo da radiao ...................................................................................54 2.8. Noes de termodinmica .................................................................................................55 2.8.1. A primeira lei da termodinmica e suas aplicaes ...............................................55 2.8.2. Entropia segunda lei da termodinmica ............................................................58 2.9. Fluidos - Esttica e dinmica. ..............................................................................................60 2.9.1. Noes sobre esttica de fluidos .........................................................................60 2.9.2. Noes de dinmica de fluidos e o princpio de Bernoulli ....................................66

UNIDADE 03 - NOES DE ELETRICIDADE E MAGNETISMOIntroduo .....................................................................................................................................75 Captulo 3 - As cargas, a fora eltrica, o campo e potencial eltricos ..................................................76 3.1. Cargas e a lei de Coulomb ..................................................................................................76 3.2. O campo eltrico e o movimento das cargas eletricamente carregadas ..............................79 3.3. O movimento de partculas eletricamente carregadas .........................................................83 3.4. O potencial eltrico de cargas puntiformes ........................................................................84 3.5. Capacitncia e capacitores .................................................................................................89 Captulo 4 - Noes de Magnetismo ....................................................................................................93 4.1. Um pouco de histria .........................................................................................................93 4.2. A fora magntica e o campo magntico ..........................................................................94

UNIDADE 04 - NOES DE ONDULATRIA E PTICAIntroduo ................................................................................................................................... 103 Captulo 5 - Noes de Ondulatria ..................................................................................................104 5.1. O modelo e a natureza das ondas .....................................................................................104 5.2. Velocidade de propagao e taxa de transferncia de energia das ondas em meios elsticos108 5.3. Ondas sonoras e o efeito Doppler .................................................................................... 111 Captulo 6 - Noes de tica ............................................................................................................. 115 6.1. A natureza da luz .............................................................................................................. 115 6.2. O modelo de raio, a reflexo e refrao da luz ................................................................. 115

NOES DE MOVIMENTO E ENERGIA

UNIDADEObjetivos Essa unidade tem como objetivos, apresentar uma introduo aos conceitos fsicos encontrados no estudo da mecnica clssica, mostrando aplicaes das leis de Newton do movimento e as formas de energia envolvidas nesses processos fsicos, atravs do princpio de conservao da energia, para um futuro entendimento das aplicaes dessas teorias fsicas aos sistemas biolgicos. Em adio, tem-se inicialmente a apresentao de algumas das teorias matemticas que so usadas na quanticao dos fenmenos fsicos a serem estudados ao longo desse curso.

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A Fsica terica a primeira cincia a se expressar matematicamente, pois os resultados de experimentos devem ser previstos ou interpretados mediante representaes matemticas. A lgica matemtica, qumica e biologia terica, por exemplo, foram desenvolvidas muito posteriormente. Conceitos fsicos foram expressos matematicamente na Grcia h mais de 2.000 anos, como por exemplo o princpio de Arquimedes. Entretanto, os tempos ureos da Fsica realmente tiveram incio com as leis de Kepler para o movimento dos corpos celestes, que posteriormente foram deduzidas a partir das leis de Newton. Em Fsica comum o uso de conceitos abstratos para descrever fenmenos ou comportamentos na natureza. Um dos conceitos mais utilizados nos estudos iniciais de mecnica o conceito de ponto material. No so raras as situaes em que se pretende descrever o movimento de um objeto cujo tamanho muito pequeno em relao s distncias consideradas no problema. As leis de Kepler, por exemplo, descrevem a terra como um ponto material orbitando em torno do sol, sem que haja necessidade de se considerar o real tamanho do planeta, ou sua real forma, tal como tipicamente um gegrafo o faria. Em Fsica, essa uma boa aproximao, desde que se esteja interessado primariamente em descrever a trajetria realizada pela terra em torno do sol. Para bilogos essa talvez parea uma aproximao injustificada, entretanto no difcil imaginar um exemplo suficientemente convincente. Considere, por exemplo, que se deseja estudar todos os aspectos do vo de uma determinada ave migratria. Do ponto de vista de sua trajetria durante a migrao, h pouca ou talvez nenhuma justificativa para se deter em detalhes como envergadura das asas, ngulo mximo de abertura entre o mero e o conjunto cbito e rdio. Nessa situao pode-se perfeitamente tratar a ave como um ponto material que se desloca durante a migrao. Entretanto, se o foco do estudo for entender as foras aplicadas pelos msculos aos ossos da asa durante vo, muito provavelmente a informao a respeito das dimenses da ave e de suas partes constituintes deve ser levada em considerao, no podendo ser aproximada por um ponto material. Sendo nosso foco a descrio, luz da Fsica, de sistemas biolgicos, no contexto da mecnica, h particular interesse no estudo do movimento. Assim, sero tratados com especial ateno temas relacionados aos seguintes tpicos: locomoo; movimento de rgos; movimento de fluidos em torno de corpos, como no vo e na natao; movimento de fluidos dentro de rgos, como o ar pelas vias areas ou a circulao sangunea; alm de outros temas igualmente relevantes em biologia.

Introduo

FSICA PARA CINCIAS BIOLGICAS

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1.1. Padres de medidas das grandezas fsicasPara auxiliar na medio em laboratrio e apresentao das comparaes entre os valores medidos das grandezas fsicas usado um conjunto padro de unidades. Dessa forma, certa grandeza fsica sempre ser expressa associada a sua respectiva unidade padro de medida. O padro definido para a unidade de medida do comprimento o metro. Assim, se o comprimento entre dois pontos de uma determinada bancada de laboratrio mede 8,5 metros, significa que o valor medido 8,5 vezes maior que o valor padro definido. importante mencionar que na prtica esse padro de medida de comprimento serve de base para expressar medidas de distncia e alturas entre pontos previamente estabelecidos, como os citados no exemplo acima. Faa voc mesmo! Com o auxlio de uma trena ou de qualquer outro instrumento de medio de comprimento faa medidas dos objetos em seu redor, catalogue-os e compare-os com o padro de unidades de medidas adotado. A unidade padro de medida de tempo o segundo, que definido como sendo a durao de vibraes da radiao em um determinado comprimento de onda emitido por um istopo do tomo de Csio. Na prtica, esse padro de medida do tempo, juntamente com seus mltiplos e submltiplos, nos auxiliam em medies entre dois pontos previamente determinados no tempo, como por exemplo, a medida do tempo entre o inicio e o final da aula, entre a partida e a chegada, ou entre o nascer e o pr do sol. Faa voc mesmo! Para auxiliar no entendimento desse padro de medida pesquise (livros e/ou internet) sobre alguns valores de medidas de tempo, monte uma tabela e compare-os. O padro de medida de massa foi estabelecido pela Agncia Internacional de Pesos e Medidas como sendo a massa de um quilograma de um cilindro de Platina-Irdio. Dessa forma, pode se conhecer a massa de um objeto ou corpo qualquer, comparando-se diretamente com a massa do quilograma padro. importante mencionar que no caso da massa, alm desse padro citado acima, existe outro padro de medida adotado internacionalmente para a escala atmica, ou seja, para comparao das massas dos tomos usa-se o padro de medida da massa do tomo 12C. Esse padro necessrio devido a uma maior preciso que exigida na comparao das massas atmicas e que no pode ser conseguida atravs da comparao com o quilograma. Faa voc mesmo! Pesquise (livros e/ou internet) sobre alguns valores de medidas de massas, incluindo as massas moleculares, monte uma tabela e compare-os.

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Aps a familiarizao com os padres internacionais de medidas de comprimento, de tempo e de massa, importante saber que esses padres so exemplo de grandezas fsicas fundamentais e que os mesmos servem de base para as grandezas fsicas derivadas, como por exemplo, a velocidade, a acelerao e a fora, que sero abordadas mais a diante.

Captulo 1Trabalhando com unidades de medidas, dimenses e a matemtica usada para a descrio das grandezas fsicas

1.2. Anlise dimensional das grandezas fsicasAs grandezas fsicas alm de serem expressas juntamente com suas respectivas unidades de medidas, que podem ser as unidades padres, seus mltiplos e submltiplos, ainda esto associadas a dimenses. Dessa forma, importante saber que a unidade em que so expressas as grandezas fsicas no afetam suas dimenses. Assim, a distncia entre as cidades de Fortaleza e Juazeiro do Norte, no Estado do Cear, pode ser expressa em quilmetros (km) ou metros (m), no entanto, sua dimenso continua sendo expressa em forma de comprimento, ou seja, no muda. Dessa forma, assim como foi definido anteriormente as unidades padres de medidas das grandezas fsicas fundamentais, comprimento, tempo e massa, pode-se definir as dimenses fundamentais associadas a essas grandezas: A dimenso de comprimento L; A dimenso de massa M; A dimenso de tempo T.

Para entender-se melhor como funcionam as operaes com as dimenses das grandezas fsicas, chamadas de anlise dimensional, analise o exemplo de um nibus que percorre o percurso entre as cidades de Fortaleza e Juazeiro do Norte, no Cear. Sabendo-se que a dimenso de comprimento L, e a de tempo T. Ento, a dimenso da velocidade mdia do nibus, medida entre o percurso das duas cidades, ser: .

Veja que a velocidade mdia uma grandeza fsica derivada de duas grandezas fsicas fundamentais, o comprimento e o tempo, assim, sua unidade de medida poder ser expressa como (metros por segundo) ou por seus respectivos mltiplos/submltiplos, como o caso da velocidade mdia do nibus que expressa em (quilmetros por hora).

A anlise dimensional uma ferramenta til para a validao e/ou confirmao, da consistncia das equaes matemticas associadas s representaes de modelos das grandezas e fenmenos fsicos.


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Por exemplo, fazendo uma anlise dimensional de uma das equaes clssicas da cinemtica unidimensional, dade, com a velocidade inicial , Simplificando as dimenses de tempo no segundo termo do lado direito da equao, obtm a dimenso da velocidade ou , Veja com esse exemplo que se podem tratar as dimenses como grandezas algbricas e assim realizar-se operaes matemticas de soma, subtrao, multiplicao e diviso. No entanto, ressalta-se que isso s ser possvel se as grandezas possurem as mesmas dimenses. Outro fato a se atentar que, apesar de podermos realizar operaes matemticas com as dimenses das grandezas fsicas, o resultado dessas operaes deve nos retornar dimenses e no nmeros. Como por exemplo, L + L = L, ou seja, quando se somam dimenses de comprimento, obtm-se como resultado, tambm, uma dimenso de comprimento e no duas vezes a dimenso de comprimento. Assim, chama-se ateno para o fato de que em anlise dimensional um nmero adimensional. Para entender melhor o que isso significa, veja o exemplo da anlise da dimenso da grandeza fsica chamada de frequncia. a quantidade de repetio de uma Por definio, a frequncia determinada onda, ou fenmeno ondulatrio, por segundo. Sua dimenso : a acelerao , que relaciona a velocie o tempo , tem-se:

[ f ]=Assim,

1 [tempo ] .

[ f ]=

1 -1 T ou [ f ] = T . Donde, deve-se expressar a unidade de , que tambm chamada de Hertz .

frequncia por

Faa voc mesmo! A partir das dimenses fundamentais de comprimento, de tempo e de massa, obtenha as dimenses das grandezas fsicas derivadas, rea, volume, velocidade, acelerao e densidade.

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1.3. O Sistema Internacional de Unidades (SI) e a converso de unidades.O SI como chamado o Sistema Internacional de Unidades um conjunto composto por grandezas fsicas, sete ao total, mostradas na Tabela 1.1 abaixo, que so usadas como unidades bases. Observe que, dentre essas grandezas esto os padres de comprimento, de tempo e de massa, apresentados acima.Tabela 1.1 Unidades bases de medidas do Sistema Internacional de Unidades (SI).

Unidade padro de medida Tempo segundo Comprimento metro Massa quilograma Quantidade de substncia mol Temperatura Kelvin Corrente eltrica Ampre Intensidade Luminosa Candela Grandeza fsica

Smbolo s m kg mol K A Cd

Chama-se ateno para o fato de que os exemplos e exerccios que sero apresentados ao longo desse manual, bem como os trabalhados e provas a serem realizadas durante a disciplina, trazem as grandezas fsicas, fundamentais ou derivadas, expressas em unidades do SI, como por exemplos, a velocidade, que no SI expressa em metros por segundo acelerao, que expressa em metros por segundo ao quadrado massa, que expressa em quilogramas ,a ,a

e fora, que no SI expressa em

Newton . Onde . Apesar do uso do sistema internacional de medidas como base para nossos estudos importante saber que existem outros sistemas de medidas que podem ser adotados para essa tarefa. Como o caso o sistema Gaussiano e o sistema ingls, muito adotado nos Estados Unidos (EUA). Faa voc mesmo! Pesquise em livros e/ou na internet sobre as unidades bsicas em que as grandezas fsicas so expressas nos sistemas, gaussiano e ingls, compare-as com as unidades usadas no SI. Dessa forma, a converso de unidades fundamental para unificar as unidades das grandezas fsicas usadas em todo mundo.


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Por exemplo, no sistema ingls a velocidade expressa em ps por segundo , ou seja, . Assim, importante saber que 1 aproximadamente igual a 0,304 metros para realizarmos a devida converso dos valores de velocidades obtidas no sistema ingls para o SI. Outro exemplo nessa linha de raciocnio que uma milha da de distncia nos EUA, equivale a aproximadamente 1.609 metros 1,609 quilmetros de um mvel medida em , mediou

. Assim, pode-se fazer a converso da velocidade para e vice-versa.

Faa voc mesmo! Faa uma pesquisa (livros e/ou internet) sobre os fatores de converso e monte tabelas com fatores de converso para as grandezas fsicas: comprimento, rea, massa, volume, tempo, velocidade, fora, presso e potncia.

1.4. Grandezas fsicas escalares e vetoriaisEm todo o estudo da Fsica encontram-se grandezas fsicas que podem ser classificadas como grandezas escalares ou como grandezas vetoriais. A temperatura e o volume so exemplos de grandezas escalares. Assim, quando se ouve cotidianamente que a temperatura do ar em um determinado local de 36C (Leia-se: trinta e seis graus Celsius) tem-se a especificao completa da informao, no necessitando de informaes adicionais, tais como em que direo e/ou em que sentido est essa temperatura. Da mesma forma, com a informao que o volume de uma caixa dgua de 1.000 litros, no precisa-se mais de nenhuma informao para caracterizarmos o volume de gua da caixa. Ento, menciona-se que nesses dois exemplos, citados acima, tem-se grandezas escalares, ou seja, grandezas fsicas que podem ser representadas apenas por um nmero, um valor numrico positivo ou negativo, com suas respectivas unidades de medida. Nesse caso, importante ressaltar que, por serem as grandezas escalares representadas somente por valores numricos e suas unidades de medidas, no necessitando de outras especificaes, como por exemplo, a direo para onde est apontando a grandeza, a manipulao matemtica dessas grandezas simples e se d atravs das quatro operaes bsicas da matemtica, adio e subtrao, multiplicao e diviso. No caso das grandezas vetoriais, para represent-las tem-se a necessidade de especificar alm dos valores numricos, a direo e sentido para onde aponta a grandeza e suas respectivas unidades de medidas.

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Exemplo clssico de grandeza vetorial a fora. Observe que, para descrever completamente uma fora, alm de seu valor numrico, que se denota mdulo, necessria a especificao de sua direo. Faa voc mesmo! Faa uma pesquisa (livros e/ou internet) e monte uma tabela com exemplos de grandezas fsicas escalares e vetoriais. Compareas e tente diferenci-las. Voltando os ao exemplo do nibus, que viaja entre Fortaleza-CE e Juazeiro do Norte/CE. Note que a distncia percorrida pelo nibus representa o comprimento de sua trajetria, assim, necessita somente de um valor numrico para ser caracterizada, j o deslocamento do nibus, que definido como a mudana de sua posio, depende alm do valor numrico, do conhecimento das coordenadas inicial e final da sua trajetria. Agora veja no mapa da Figura 1.1 abaixo a posio geogrfica aproximada dessas duas cidades. A linha reta traada entre as cidades representa o deslocamento do nibus, cujo mdulo o comprimento da reta e a seta na ponta da reta representa a direo dessa grandeza fsica. Assim, de agora em diante denotaremos essa reta de vetor, ou seja, nesse caso o vetor deslocamento do nibus.

Figura 1.1 Mapa do Estado do Cear com as localizaes geogrficas aproximadas das cidades de Fortaleza e Juazeiro do Norte e a representao do vetor deslocamento do nibus entre essas cidades.

1.5. Conhecendo um pouco da matemtica dos vetores lgebra vetorialDos exemplos mostrados acima pode-se definir que um vetor um ente matemtico que possui mdulo (valor numrico) e direo, diferente dos escalares que apresentam somente valores numricos. Assim, importante saber que existem propriedades matemticas prprias dos vetores e uma matemtica especfica usada para a manipulao desses que difere da usada para manipular os escalares, e que chamada de lgebra vetorial. Para representao de um vetor, ou de vetores, no espao, como por exemplo, em mapas, diagramas e sistemas de coordenadas, deve-se traar uma reta unindo dois pontos, inicial e final, denominados de origem e ex-


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tremidade, respectivamente, com uma seta na extremidade que vai indicar a direo e sentido do mesmo. O comprimento dessa reta nos d o mdulo ou a intensidade desse vetor. Para melhor entendimento dessa representao deve-se voltar ao exemplo do mapa anterior, mostrado na Figura 1.1. Veja que a reta que une o ponto inicial, cidade de Fortaleza-CE, e o ponto final, cidade de Juazeiro do Norte-CE, representa o vetor deslocamento do nibus que viaja entre as duas cidades, com direo e sentido a Juazeiro do Norte-CE. importante notar que, se o nibus agora viaja em direo a Fortaleza-CE, apesar da reta que representa o vetor deslocamento nesse caso se semelhante a do caso anterior, a direo e sentido do vetor so diferentes. Nesse caso, temos outro vetor, com mesmo mdulo, porm, com direo e sentido diferentes. Para melhor ilustrar essa situao veja o mapa da Figura 1.2 abaixo.

Figura 1.2 Mapa do Estado do Cear com as localizaes geogrficas aproximadas das cidades de Fortaleza e Juazeiro do Norte e as representaes dos vetores deslocamentos do nibus entre essas cidades.

Faa voc mesmo! Determine a distncia percorrida e o deslocamento (mdulo e direo) de uma viagem de frias entre sua cidade e a cidade de Fortaleza-CE. Dica! Use a ajuda dos mapas encontrados na internet para determinar o vetor deslocamento. Ento, denotando-se de Juazeiro do Norte-CE e de o vetor deslocamento de Fortaleza-CE a . O mdulo

o outro vetor, afirma-se que

do vetor denominado de (um escalar) e o mdulo do vetor de (outro escalar). Para a soma de dois vetores, geometricamente, como por exemplo, os mostrados no mapa da Figura 1.3 abaixo, que representam deslocamentos entre a cidade de Viosa do Cear-CE e Fortaleza-CE ( ) e, entre FortalezaCE e Juazeiro do Norte-CE ( ), respectivamente, deve-se unir a origem do vetor a extremidade do vetor , como mostrado na Figura 1.3. Assim,

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tem-se um novo vetor, chamado na Figura 1.3 de vetor soma de e , ou seja, triangular de adio.

, que representa a

. Esse mtodo conhecido como mtodo

Figura 1.3 Mapa do Estado do Cear com as localizaes geogrficas aproximadas das cidades de Fortaleza, Juazeiro do Norte e Viosa do Cear juntamente com as representaes dos vetores deslocamentos do nibus entre essas cidades a representao do vetor deslocamento total, que o vetor soma.

Para entender a subtrao de vetores, tambm usando a geometria, volte ao exemplo da Figura 1.2, que mostra dois vetores deslocamento de mesmo mdulo e direo e de sentidos contrrios. Observe que o vetor representa o deslocamento de Fortaleza-CE a Juazeiro do Norte-CE e o vetor ( ), representa o deslocamento inverso. Dessa forma,

pode ser escrita como , que nesse caso resulta em zero. Atente para o fato que a distncia percorrida pelo nibus nesse exemplo no zero, duas vezes a distncia de Fortaleza-CE a Juazeiro do NorteCE, no entanto o vetor deslocamento total, que representa a soma entre os vetores e nulo. Agora, para entender melhor como funciona a soma e subtrao de vetores, observe a Figura 1.4 abaixo que mostra soma e subtrao envolvendo vetores no espao. Do lado esquerdo tem-se a aplicao do mtodo do paralelogramo. Observe que nesse caso, usa-se esse mtodo quando as origens dos vetores e coincidem, assim, o vetor soma, ou vetor resultante a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores lado direito, tem-se a subtrao dos vetores e . e . Do

Figura 1.4 Diagrama esquemtico da soma e subtrao de vetores atravs do mtodo geomtrico.


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Faa voc mesmo! Com o auxlio de rgua e papel milimetrado construa vetores e realize somas e subtraes usando os mtodos geomtricos, do paralelogramo e triangular de adio. Outra forma de se manipular os vetores atravs de suas projees. Para aplicao dessa tcnica preciso entender um pouco sobre as componentes de um vetor, e sobre o vetor unitrio. Veja a Figura 1.5 abaixo e observe que o vetor , que est no plano , no eixo x .O

xy, faz um ngulo com o eixo x. Assim, a projeo do vetor ser o vetor , da mesma forma a projeo e

no eixo y o vetor

mdulo das componentes dos vetores por e .

so dados, respectivamente,

Em relao direo desses vetores,

segue a direo do eixo x e

a do eixo y, no entanto, a garantia desse fato se d atravs da multiplicao das componentes e y, respectivamente. e pelos vetores unitrios e nas direes x

Nesse caso, ainda pode-se escrever o vetor ponentes e .

em funo de suas com-

, e dos vetores unitrios nas direes x e y, na forma:

Figura 1.5 Representao do vetor e de suas componentes, os vetores plano cartesiano xy.

e

no

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Agora, usando-se do Teorema de Pitgoras e a definio da tangente de um ngulo, podem-se obter o mdulo e a direo de um vetor desconhecido, atravs de suas componentes dado por e . Assim, o mdulo do vetor .

e o a tangente do ngulo por

Faa voc mesmo! Com o auxlio de papel milimetrado, rgua e um transferidor, construa o vetor deslocamento e suas respectivas componentes nas direes leste (eixo x) e norte (eixo y) de uma caminhada (em linha reta) entre as cidades de Canind-CE e Fortaleza-CE. Determine o mdulo das componentes e calcule o mdulo e a direo do vetor deslocamento. Dica! Use um mapa e atravs da indicao da escala do mesmo determine a o mdulo das componentes do vetor deslocamento. pode se escrito como a soma de suas Sabendo-se que um vetor componentes nas direes x e y, como mostrado acima, fica evidente que se pode realizar soma e subtrao algbrica de vetores. No entanto, importante mencionar que para a realizao dessas operaes com vetores, ou componentes de vetores, estes devem estar na mesma direo. Por exemplo, somando-se algebricamente os vetores ( Veja que ma e ), tem-se que ( )e

j , ou seja, c = (ax + bx )i + (a y + by ) .

pode ser escrito em funo de suas componentes, na for, ento, os mdulos das componentes do vetor , respectivamente. sero

Faa voc mesmo! Com o auxlio de papel milimetrado, rgua e um transferidor, construa os vetores deslocamento e suas respectivas componentes nas direes leste (eixo x) e norte (eixo y) de uma caminhada (em linha reta) de Canind-CE a Redeno-CE e de Redeno-CE a FortalezaCE. Determine o mdulo do vetor deslocamento total atravs da soma algbrica das componentes dos vetores deslocamento. Dica! Use um mapa e atravs da indicao da escala do mesmo determine a o mdulo das componentes dos vetores deslocamento. A multiplicao de vetores pode ser realizada de duas formas, primeiro, um vetor multiplicado por um nmero escalar, segundo, um vetor multiplicado por outro.


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Por exemplo, se multiplicarmos o vetor que denotamos de deslocamento do nibus de Fortaleza-CE a Juazeiro do Norte-CE, mostrado no mapa da Figura 1.1 acima, por 3, o resultado ser um outro vetor ( ) de mdulo trs vezes maior do que o primeiro, com mesmo direo e sentido do primeiro, ou seja, . Chama-se ateno quando o escalar for negativo, por exemplo, se multiplicarmos o mesmo vetor por um escalar -5, o resultado da multiplicao

ser outro vetor ( ), cujo mdulo cinco vezes maior que o mdulo do vetor , no entanto, o sentido de e oposto ao de . Esse fato se d por consequncia do sinal negativo. importante mencionar que, para a diviso de vetores usa-se o artifcio matemtico da multiplicao pelo o inverso de um nmero, que acaba sendo a multiplicao por um escalar. Por exemplo, no caso acima se multiplicou um vetor por 3 obtendo um vetor . Assim, para a diviso tambm

por 3, o resultado seria um vetor . Uma das propriedades da multiplicao de um vetor por outro o produto escalar, onde o resultado da multiplicao de dois vetores um escalar. O produto escalar entre dois vetores e , tambm chamado de produto interno, definido pela multiplicao dos mdulos dos dois vetores vezes o cosseno do ngulo entre eles, como mostrado na Figura 1.6 abaixo. Por definio o produto interno de e , mostrado graficamente no lado direito da Figura 1.6. Observe que, quando se tm dois vetores perpendiculares, como mostrados na Figura 1.6 (lado esquerdo), o ngulo entre eles de 90 (noventa graus), ento, se relembrarmos da trigonometria, o cosseno do ngulo de 90 igual a 0, dessa forma, o produto interno entre dois vetores ser nulo, e quando esses esto em paralelo, o ngulo entre eles vale 0, o produto interno simplificado e igual ao produto dos mdulos dos vetores, ou seja, .

Figura 1.6 Representao esquemtica da multiplicao de vetores, produto interno.

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Faa voc mesmo! Calcule o produto interno dos vetores deslocamentos entre Canind-CE e Fortaleza-CE e entre Canind-CE e Redeno-CE. Dica! Use papel milimetrado, rgua e transferidor, alm do mapa rodovirio para obteno dos valores dos mdulos dos vetores deslocamento e do ngulo formado entre eles.

1.6. Valor mdio, desvio padro e algarismo significativo de uma grandeza fsicaOs padres de comportamento das sries de medidas das grandezas fsicas so obtidos atravs de uma cincia chamada de estatstica. atravs dos mtodos e tcnicas estatsticas e de grficos que se podem realizar anlises e interpretar numericamente as grandezas fsicas, e assim ressaltar as caractersticas mais importantes dessas grandezas para que possa apresent-las de forma conveniente. Para que se possa entender a representao, atravs de um nico valor numrico, das informaes em uma amostra de medidas de uma grandeza fsica, so usados os conceitos de medidas de tendncia de valor central advindos da estatstica. A mais difundida medida usada para expressar uma medida de valor central, com certeza, a mdia aritmtica, que daqui para frente adota-se somente o termo mdia, para simplificar o entendimento. Da definio tem-se que a mdia de uma grandeza fsica a soma de todos os valores numricos da amostra de medidas dessa grandeza dividida pelo numero total de medidas. Para evidenciar o uso dessa medida de tendncia de valor central analise os dados mensais dos casos de dengue na cidade de Fortaleza-CE, para os anos de 2006 e 2007 mostrados na Tabela 1.2 abaixo.Tabela 1.2 Descrio do nmero de casos mensais confirmados de dengue em Fortaleza-CE durante os anos de 2006 e 2007. (Fonte: Secretaria da Sade do Estado do Cear (www.saude.ce.gov.ce) ).

Nmero de casos Meses Janeiro Fevereiro Maro Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Mdia 2006 820 874 1.511 2.298 5.242 5.477 4.276 2.458 972 642 768 231 2.131 2007 743 1.217 2.227 4.013 4.811 4.249 2.765 1.715 1.003 916 757 610 2.086


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Veja na tabela acima que, a mdia anual dos casos de dengue observados na cidade de Fortaleza-CE dada pela soma dos valores em cada ms, dividido por 12, que o numero de meses do ano. Assim, calculando-se a mdia dos casos para o ano de 2006 obtm-se 2.131 casos confirmados e para o ano de 2007 tem-se 2.086 casos confirmados de dengue na cidade de Fortaleza-CE. Nesse caso, pode-se comparar tanto as mdias anuais, como a mdia de cada ano com os respectivos valores mensais observados naquele ano. Como por exemplo, para o ano de 2007, os valores observados nos meses de janeiro e de fevereiro, bem como os valores dos meses de agosto a dezembro esto abaixo da mdia, j os valores dos meses de maro a julho esto acima da mdia para esse ano. A frmula matemtica para clculo da mdia de uma amostra de medidas de uma determinada grandeza fsica : ,

Onde, no exemplo prtico visto acima, so os valores dos casos de dengue observados em cada um dos doze meses vistos na Tabela acima e n o numero total de meses. Faa voc mesmo! Mostre numericamente que os valores apresentados para a mdia dos casos de dengue observados nos anos de 2006 e 2007 na cidade de Fortaleza-CE esto corretos. Agora pense! Quando foram comparados os valores mdios dos casos de dengue observados no ano de 2007 em Fortaleza/CE, com os valores mensais desse ano se obtm concluses que os valores mensais esto acima ou abaixo da mdia, o que mostra que essa varivel fsica tem uma variao em torno de seu valor mdio, ou seja, apresenta uma variabilidade, ou disperso, em torno do valor mdio. Nesse contexto, para medir a variabilidade dessa grandeza usa-se uma medida de disperso, chamada de desvio da mdia, que definida como sendo o valor obtido da varivel menos o valor mdio, matematicamente tem-se que . A Tabela 1.3 mostra os desvios mensais em relao mdia anual para os casos confirmados de dengue nos anos de 2006 e 2007 em Fortaleza-CE.Tabela 1.3 Nmero de casos mensais confirmados de dengue nos anos de 2006 e 2007 em Fortaleza-CE e seus respectivos desvios em relao mdia anual. Fonte: Secretaria da Sade do Estado do Cear (www.saude.ce.gov.ce).

Nmero de casos Meses 2006 2007Jan Fev Mar Abr Mai 820 874 1.511 2.298 5.242 743 1.217 2.227 4.013 4.811

Desvio da mdia 2006 2007-1.311 -1.257 -620 167 3.111 -1.343 -869 142 1.928 2.726

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Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Mdia

5.477 4.276 2.458 972 642 768 231 2.131

4.249 2.765 1.715 1.003 916 757 610 2.086

3.346 2.145 327 -1.159 -1.489 -1.363 -1.900 -

2.164 680 -371 -1.083 -1.170 -1.329 -1.476 -

Faa voc mesmo! Mostre numericamente que os valores apresentados para os desvios mensais em relao mdia anual dos casos de dengue observados nos anos de 2006 e 2007 na cidade de Fortaleza-CE esto corretos e, que a soma deles zero. Por definio, diz-se quando os valores dos desvios so relativamente pequenos, em relao mdia, que a medida apresenta baixa disperso, e vice-versa, se os valores dos desvios so relativamente grandes, a medida apresenta alta disperso em relao mdia. correto afirmar que a soma dos desvios em relao mdia zero, ou seja, a soma dos desvios positivos e negativos, que representam valores acima e abaixo da mdia, respectivamente, se anula. Assim, estabeleceu-se outra medida de disperso para caracterizar a variabilidade das medidas das grandezas fsicas, o desvio-padro, que est relacionado com a preciso das medidas das grandezas fsicas. Na definio de sua formulao matemtica usa-se o artifcio matemtico de que toda soma dos quadrados positiva e no mnimo nula se todos os elementos da soma sejam tambm nulos. Dessa forma o desvio padro da medida de uma grandeza fsica dado por: . Note que ao calcular o desvio-padro de uma grandeza fsica o resultado estar na mesma unidade de medida dessa grandeza e que se pode descrev-la em relao mdia e ao desvio-padro, na forma: . Agora, veja na Tabela 1.4 abaixo, um exemplo de como se calcula o desvio padro dos casos de dengue observados na cidade de Fortaleza-CE para os anos de 2006 e 2007 usando uma planilha eletrnica.Tabela 1.4 Nmero de casos mensais confirmados de dengue nos anos de 2006 e 2007 em Fortaleza-CE e seus respectivos desvios em relao mdia anual e desvio padro.

Nmero de casos Meses Jan Fev Mar Abr Mai Jun 2006 820 874 1.511 2.298 5.242 5.477 2007 743 1.217 2.227 4.013 4.811 4.249

Desvios Absolutos 2006 -1.311 -1.257 -620 167 3.111 3.346 2007 -1.343 -869 142 1.928 2.726

Desvios ao quadrado 2006 1.718.066 1.579.421 384.090 27.973 9.679.877 2007 1.802.306 754.292 20.022 3.715.256 7.428.350 4.680.732

2.164 11.197.389


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Jul Ago Set Out Nov Dez Desvio padro

4.276 2.458 972 642 768 231

2.765 1.715 1.003 916 757 610

2.145 327 -1.159 -1.489 -1.363 -1.900

680 -371 -1.083 -1.170 -1.329 -1.476

4.602.098 107.093 1.342.702 2.216.377 1.857.088 3.609.050 1.866

461.720 137.270 1.171.806 1.367.730 1.764.912 2.177.100 1.522

Em relao aos exemplos estudados acima, note que quando se realizaram os clculos das mdias, desvios em relao mdia e desvio padro, nos resultados apareceram sempre casas decimais. No entanto, o importante para quem vai analisar os casos de dengue so os nmeros inteiros, da, os resultados terem sidos aproximados para um inteiro. No caso dos resultados obtidos em alguns experimentos fsicos tem-se a necessidade da representao das grandezas fsicas atravs de nmeros com casas decimais, ou seja, com algarismos significativos, que vo reduzir a incerteza experimental e mostrar qualidade da preciso dos resultados. Faa voc mesmo! Pesquise em livros e/ou internet e faa um texto sobre preciso e algarismos significativos das grandezas fsicas.

1.7. Estudo sobre as leis de Newton do movimentoNa mecnica clssica h particular interesse no estudo do movimento e da energia envolvida nesse. Assim, para a descrio, luz da Fsica, de sistemas biolgicos, e para o entendimento dos fenmenos fsicos relacionados a esses, alm da introduo sobre as grandezas fsicas, vista acima, incluindo as ferramentas matemticas, sero enfatizados conceitos de fora, de massa inercial, energia, conservao de energia entre outros. 1.7.1. Conceitos de fora e massa inercial: aspectos histricos pr e ps-Newton Do ponto de vista histrico, a formalizao do conceito de fora nos remete ao antigo universo grego. Nessa poca, essa formalizao teve grande contribuio de Aristteles, filsofo grego que viveu no sculo IV a.C.. De acordo com sua descrio, o universo era organizado em esferas, todas concntricas, sendo a terra uma esfera imvel e situada no centro. Para os corpos situados acima da esfera da lua, ou seja, os planetas visveis poca, somente o movimento circular ininterrupto era possvel. J para os corpos terrestres, situados abaixo da esfera lunar, espontaneamente era possvel um nico movimento: o retilneo. Os movimentos desses corpos eram determinados pelas suas naturezas especficas, que tinham relao com suas composies. Essas composies eram definidas em termos de quatro elementos constituintes: terra, gua, ar e fogo, cada um deles se movimentava de modo a procurar seu lugar natural

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no universo. Assim, corpos feitos de terra caem para a Terra, chuva cai do cu e se desloca pelos caminhos hidrogrficos at desembocar no mar, seu lugar natural. Em termos mecnicos, a proposio fundamental a respeito do movimento era fora = resistncia X velocidade. Assim, um corpo que deixasse de experimentar fora teria sua velocidade anulada, como o senso comum deixa transparecer, e um corpo movido sempre pela ao de uma fora. Note que essa forma de descrever movimento no contempla o conceito atual de meio dissipativo. Veja a diferena entre essa e a abordagem atualmente aceita: o ar, onde os objetos do nosso dia-a-dia esto mergulhados, dissipa, retira energia de movimento dos objetos que se deslocam. No havendo fora atuando no objeto para transferir-lhe energia, o movimento cessa. Um dos crticos de Aristteles, Hiparco, acreditava que um corpo lanado, por exemplo, absorveria a fora no incio do lanamento e a consumiria medida que o corpo se move no meio resistente ao movimento. Essa seria uma fora impressa, ou mpeto interno, um conceito que fora retomado no sexto sculo d.C. por Philoponus, e no sculo XIV, por Buridan. Este ltimo desenvolveu e popularizou a teoria do mpeto. Sobre o mpeto, Buridan afirmava que: Tinha carter eterno e s podia ser dissipado por influncias externas (gravidade, resistncia do meio, etc.); Era proporcional quantidade de matria e velocidade do corpo. Um misto entre o que a mecnica de Newton chama de fora e o que chama de quantidade de movimento ou momento linear. Note tambm que j presente a idia de quantidade de matria. Note que, pela primeira propriedade, no havendo resistncia o corpo se moveria indefinidamente. Essa teoria pavimentou o caminho para a dinmica de Galileu e para o famoso princpio da inrcia, de Isaac Newton. Fazendo uso de uma srie de experimentos, entre os quais, experimentos envolvendo planos inclinados, Galileu descreve a queda dos corpos como tendo velocidades proporcionais ao tempo de queda e espaos percorridos proporcionais ao quadrado do tempo. Em um manuscrito, o De Gravitatine, produzido 15 anos antes dos Princpia, Newton faz consideraes novas e essenciais. Para Newton, a matria dotada de uma fora interna ou inata (vis insita) que resiste alterao do estado de movimento sendo que esta alterao de estado somente se d pela ao de uma fora externa (vis impressa). Em seu livro I dos Princpia, a grandeza massa definida e relacionada ao conceito inrcia de um corpo. Essa relao estabelece que a massa de um corpo uma medida da sua inrcia, ou, vis inertiae. Nesse livro Newton comenta sobre a vis insita:Essa fora sempre proporcional ao corpo ao qual ele pertence, e em nada difere da inatividade da massa, a no ser pela nossa maneira de concebla. () um corpo no tem seu estado de repouso ou movimento facilmente alterado. Sob esse ponto de vista, essa vis insita (inata) pode ser chamada, mais significativamente, de inrcia (vis inertiae) ou fora de inatividade.


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Aps suas Definitiones, Newton estabelece os seus famosos trs axiomas ou leis para o movimento dos corpos. Na segunda lei, o termo que mede a proporcionalidade entre a fora aplicada e a alterao de seu estado de movimento (acelerao) chamado de massa inercial. Esses conceitos sero discutidos a seguir. 1.7.2 Aplicaes da primeira lei de Newton a lei da inrcia A primeira lei de Newton diz que todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que ele seja forado a mudar esse estado pela ao de foras aplicadas a ele. Analisemos essa lei em situaes de interesse da biologia. Para um animal em movimento fazer uma curva rpida, primeiro deve haver uma mudana na direo de seu centro de massa e o giro de seu corpo em torno do centro de massa. A habilidade de indivduos realizarem essas duas tarefas rapidamente tem impacto direto, por exemplo, na relao de competio presa/predador. Um dos aspectos mais determinantes para essa habilidade diz respeito inrcia do animal. Animais com maiores massas tm potencialmente maior dificuldade de manobras bruscas que animais com menor massa. Entender como sementes so dispersas pela ao do vento, em particular a longas distncias, importante no gerenciamento de populaes e comunidades, especialmente em cenrios de mudanas climticas como o que vivemos em nossos dias. Estudos utilizando tcnicas avanadas de Cincias Atmosfricas (Forest Large Eddy Simulation RAFLES baseado no Regional Atmospheric Modelling System RAMS) so utilizados para melhor compreender os aspectos fsicos associados a esse transporte de material biolgico. Note que esses estudos possibilitam tambm a previso de potenciais impactos ecolgicos advindos de mudanas climticas. Nesses estudos verifica-se que sementes em que a inrcia pouco contribui (sementes com pouca massa) tm distncia mdia de disperso em torno de 15% maior que sementes com grande massa, e maior inrcia. Faa voc mesmo! Pesquise em livros e/ou internet e elabore um texto, baseado na primeira lei de Newton do movimento, a lei da inrcia, para responder as seguintes perguntas: Por que, quando se est em p e solto dentro de um nibus e o mesmo acelerado tem-se a tendncia de ir para trs e quando o mesmo freia tem-se a tendncia de ir para frente? 1.7.3 Aplicaes da segunda lei de Newton dinmica A segunda lei de Newton afirma que a fora proporcional acelerao do corpo, sendo que a constante de proporcionalidade a massa do corpo. Em linguagem matemtica tem-se que, ,

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onde a fora total atuando no corpo, m a massa e representa a acelerao do corpo, que uma medida da variao da velocidade. No Sistema Internacional de Unidades a massa medida em quilograma (kg), a acelerao em metros por segundo ao quadrado (m/s2) e a fora em Newton (N). Por essa equao pode-se facilmente ver que, para uma dada massa, quanto maior a acelerao apresentada pelo corpo maior a fora aplicada causadora dessa variao na velocidade. Por outro lado, para imprimir ao corpo uma dada acelerao, maior ser a fora se maior for sua massa. Note a estreita relao entre a segunda lei e a primeira. Tambm fcil perceber que, se a fora total atuando no corpo for nula, o lado direito da igualdade zero, ou seja, a acelerao tambm deve ser nula. Como acelerao mede a variao na velocidade, esta variao ser nula significa que a velocidade no varia, constante. Novamente temos forte semelhana com o enunciado da lei da inrcia. Mecanismo de locomoo celular que orienta os corpos em movimento em direo ao gradiente de uma dada substncia qumica. A descrio mecnica do movimento de migrao de clulas em meio aquoso feita a partir da aplicao da segunda lei de Newton a esses corpos. Para que chegue a aplicaes sofisticadas da segunda lei necessrio que se compreenda bem seus fundamentos e se desenvolvam habilidades na resoluo de problemas mais simplificados. Para isso, mostra-se uma anlise detalhada do problema da disperso de sementes pela ao do vento. Nessa discusso faz-se um estudo de uma verso extremamente simplificada do fenmeno. Inicialmente supe-se que o vento imprima uma velocidade inicial semente na direo horizontal. Ateno especial deve ser dada direo dessa velocidade inicial. Supe-se tambm que os efeitos da resistncia do ar no so grandes o suficiente para serem levados em considerao. Isso permite utilizar a aproximao de que a semente sofre unicamente a ao da fora peso, direcionada verticalmente para baixo. Para melhor entendermos o papel da velocidade do vento na determinao da distncia que a semente viaja, vamos supor rvores de duas alturas distintas, h e H. Nessas circunstncias, uma representao do problema apresentada na Figura 1.7.

Figura 1.7 - Duas rvores da mesma espcie e de alturas diferentes, com detalhe da trajetria das sementes (lado direito) e diagrama esquemtico da situao proposta (lado esquerdo).

De acordo com a Figura 1.7, deve-se utilizar para localizar o corpo em queda um sistema de referncia composto pelos eixos x e y, de modo que a posio do corpo em um dado instante representada simplesmente pela posio de um ponto de coordenadas (x, y). Note que na construo do diagrama esquemtico representam-se apenas os elementos do problema que realmente importam para sua descrio do ponto de vista do movimento das sementes: foram omitidos nessa repreFSICA PARA CINCIAS BIOLGICAS

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sentao elementos como caule e folhagem da rvore; o solo (gua) passou a ser representado apenas por um nvel de altura, medido com o auxlio do eixo y; foram desprezadas as medidas das sementes, como seu volume ou rea, tratando-as apenas como pontos materiais. A Figura 1.8 detalha as condies em que a semente se encontra no instante em que se inicia a queda, focando no mais em aspectos de localizao, mas sim na representao da(s) fora(s) que atua(m) na semente e na velocidade inicial.

Figura 1.8 - Diagrama de foras em uma semente e o sistema de referncia adotado para descrever os vetores fora peso e velocidade.

Note que ambas as grandezas (fora peso e velocidade inicial) so vetores e tm em suas representaes geomtricas as propriedades direo e sentido explicitadas na figura. bom lembrar que, sendo a fora peso uma grandeza de natureza diferente da velocidade, no faz sentido comparar os tamanhos dos segmentos de reta que representam esses dois vetores. A aplicao da segunda lei exige que se conhea a fora atuante na semente. Como ser visto posteriormente, essa fora tem mdulo dado por:

, onde g o mdulo da acelerao da gravidade, aproximadamente 10 m/s2. Adotando-se o sistema de referncia descrito na Figura 1.8, a fora peso na semente dada por

Substituindo na segunda lei ( dade acima, tem-se que,

) o valor da fora dado na igual-

Da ltima igualdade pode-se ver que . Com o uso das equaes da cinemtica e tendo calculado acima a acelerao, pode-se facilmente encontrar o vetor posio e o vetor velocidade da semente para qualquer instante de tempo t aps o incio da queda. As equaes que relacionam essas quantidades com a acelerao e o tempo so dadas a seguir.

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O vetor velocidade dado por

Agrupando os termos da equao acima nas direes dos vetores unitrios chegamos s equaes para as componentes x e y do vetor velocidade:

De forma semelhante, o vetor posio dado por

Aps agrupar os termos de modo semelhante ao que foi feito com o vetor velocidade, chegamos s equaes para as coordenadas x e y, que so as componentes do vetor posio:

Veja pelas equaes acima que, ao simplificarmos o problema desprezando a resistncia do ar, a massa m no aparece. Assim, o efeito da inrcia das sementes no contribui para o movimento, diferentemente do que foi comentado ao se falar dos estudos relacionados disperso pelo vento. Dessa forma, pode-se agora, determinar o tempo de queda e o alcance mximo das sementes atravs das coordenadas x e y obtidas com a resoluo desse conjunto de equaes. Faa voc mesmo! No litoral cearense, particularmente na regio de Acara-CE, o vento no perodo de janeiro pode chegar a rajadas de 10,0 metros . Assim, no exemplo da Figura 1.8, considere h = 5,0 metros e H = 8,0 metros encontre o tempo de queda das sementes e o alcance mximo em que elas podem cair, para os dois casos. Compare-os.

1.7.4 Aplicaes da terceira lei de Newton ao e reao A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma: havendo dois corpos interagindo, de modo que um faa fora no outro, para toda fora aplicada a um deles surge outra fora de mesma intensidade, mesmo sentido e direo oposta, mas aplicada no outro corpo.FSICA PARA CINCIAS BIOLGICAS

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A aplicao dessa lei a sistemas biolgicos, quando se objetiva uma descrio mecnica, muito vasta. Para exemplificar, cita-se o problema da migrao de clulas. O movimento individual ou coletivo de clulas um componente muito importante em muitos processos biolgicos, dentre os quais pode-se mencionar: morfognese e o desenvolvimento embrionrio; respostas imunolgicas; cicatrizao; angiognese; e, finalmente, metstase em cncer. Nesses processos as clulas individualmente detectam sinais qumicos e mecnicos presentes no meio extracelular e alteram seus padres de movimento em resposta a esses sinais. No sistema imunolgico, por exemplo, os leuccitos se locomovem individualmente pelo meio extracelular, enquanto que no desenvolvimento embrionrio de vertebrados a reorganizao de tecidos ocorre com o movimento coletivo de clulas, com interao mecnica forte entre elas. importante lembrar que essas interaes mecnicas tm ao direta da rede de filamentos de actina e miosina. Examinando o movimento de leuccitos de um ponto de vista bem simplificado, pode-se imediatamente aplicar a terceira lei de Newton: a clula aplica uma fora no meio extracelular (ao) e o meio aplica uma fora de reao de mesma intensidade, mesma direo e sentido contrrio no leuccito, fazendo com que se desloque. No caso de movimentos coletivos ou teciduais, as clulas fazem foras umas nas outras, e nessa interao h o aparecimento desses pares ao-reao, sempre uma fora atuando em cada clula. Para migrar, uma clula promove a adeso de parte de sua superfcie ao meio extracelular, e posteriormente aplica nesse meio as foras geradas pelo seu citoesqueleto. Alm dessas foras, h tambm atuando na clula uma fora de resistncia ao movimento devida ao atrito entre membrana celular e o meio externo. Essa fora sempre com sentido contrrio ao do movimento migratrio. Uma representao bastante simplificada dessas foras atuando na clula e no meio extracelular pode ser vista na Figura 1.9.

Figura 1.9 - Imagem obtida por microscopia eletrnica de um leuccito em movimento de diapedese, com detalhe de um pseudpodo. direita o diagrama esquemtico do que seria o meio extracelular aderido clula. Imagem adaptada de www.fo.usp.br/lido/patoartegeral/ images/exs4A.jpg

Faa voc mesmo! Aplicao das trs leis de Newton em conjunto Monte um experimento com um balo de aniversrio, barbante, canudo e fita adesiva. Entre duas cadeiras, separadas de pelo menos 1,5 metros, estique o barbante, com um pedao do canudo dentro e, depois fixe o balo com fita adesiva. Encha o balo de ar e depois o solte. Faa um relatrio explicando atravs das trs leis de Newton do movimento o resultado de seu experimento.

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1.7.5. Peso, massa e o campo gravitacional Usou-se nos exemplos acima uma grandeza fsica chamada de acelerao gravitacional, que est ligada ao conceito de campo e, consequente de fora gravitacional. Veja que um pouco difcil aceitar o conceito de uma fora que um corpo pode exercer sobre outro corpo sem ter contato entre eles, no caso do exemplo da figura 1.7, a Terra que exerce sobre a semente. Uma explicao simplria, porm, eficiente, para esse fenmeno fsico, considerar que a interao gravitacional se d atravs de um campo, o campo gravitacional, gerado por um corpo (chamado de massa fonte) em todo o espao em seu redor. Da, quando um segundo corpo (massa teste) colocado na presena desse campo gravitacional fica sobe a ao de uma fora ligada a esse campo, a fora gravitacional. Dessa forma, a fora gravitacional exercida sobre uma massa teste de, mostrando que se pende da prpria massa teste. Assim, conhecido em algum ponto do espao, como o caso do exemplo da figura , que 1.7, a partcula (semente) fica sob a ao de uma fora gravitacional direcionada para o centro da Terra. Esse modelo tambm ser usado nos prximos estudos, como por exemplo, nos estudos com fora e campo eltrico.

1.8 Conservao de energia: as definies de energia e trabalhoA energia est presente no universo de vrias formas, pode-se afirmar que em todo processo fsico no universo tem-se a presena de pelo menos uma forma de energia, seja ela, energia mecnica, trmica, qumica, eltrica, entre outras. Dessa forma, o conhecimento do conceito fsico de energia juntamente com o de conservao de energia e de eficincia da converso de energia extremamente importante para a compreenso dos fenmenos fsicos que ocorrem nas transformaes de energia na biosfera, na respirao, na fotossntese e no corpo humano. A definio do princpio da conservao de energia mostra que possvel a transformao de uma forma de energia em outra, ou seja, sempre que ocorrer a diminuio de uma quantidade de uma determinada forma de energia, haver aumento de mesma quantidade de energia em outra forma, de modo que a energia total do sistema, que pode ser o universo, se mantm constante. Exemplos clssicos de transformao e conservao de energia que so encontrados no cotidiano so: a transformao de energia cintica do vento em energia eltrica, chamado de energia elica; a transformao da energia potencial armazenado na gua em energia eltrica, processo que ocorre numa usina hidroeltrica atravs da queda dgua; a transformao de energia qumica em energia eltrica, processo que ocorre nas diversas baterias de uso domstico e industrial; a transformao de energia retirada dos alimentos em energia mecnica, processo que ocorre nos seres humanos atravs da ingesto de alimentos que fornecem energia para a realizao das tarefas dirias.


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Note que, o conceito de energia alm de ser muito importante abstrato. Assim, uma maneira de se definir a energia em um determinado processo fsico atravs da sua capacidade de realizar trabalho. O conceito fsico de trabalho envolve a relao entre uma fora exercida enquanto um ponto material se move a uma determinada distncia. Por exemplo, na limpeza semanal de uma casa empurram-se mveis, como sof e cama, assim, quando esses mveis so deslocados, realizou-se trabalho sobre os mesmos, ou seja, transferiu-se energia cintica para esses mveis enquanto eles eram deslocados. Outra forma de exemplificar a realizao de trabalho, agora envolvendo uma forma de energia chamada de energia potencial, quando uma pessoa levanta uma caixa, ou um objeto qualquer que contenha massa, cujo esquema est mostrado na Figura 1.10 abaixo. Durante o deslocamento de levantamento da caixa, indicado pela letra (A) na Figura 1.10, a pessoa realiza a fora , considere-se que esta fora constante e para cima, na mesma direo do deslocamento da caixa, e assim realiza trabalho sobre a caixa, e essa adquire energia potencial.

Figura 1.10 Representao esquemtica do modelo descrito no exemplo de uma caixa levantada por uma pessoa (A) aps o deslocamento (B) e quando solta em queda livre (C).

Agora, se essa pessoa passa a andar com a caixa nos braos, ou seja, se deslocar com a caixa parada a um determinado nvel de altura, situao representa entre (A) e (B) no esquema da Figura 1.10, o trabalho que ela faz sobre a caixa nulo, pois a fora vertical ( ) que ela faz para segurar a caixa perpendicular ao movimento horina Figura 1.10. zontal, representado por Note que nesse exemplo menciona-se que, quando a caixa est no cho, em repouso, sua quantidade de energia potencial nula, pois est na superfcie de referncia, a superfcie terrestre, e sua quantidade de energia cintica tambm nula, pois a mesma est em repouso. Da, quando a caixa comea a subir, comea a se movimentar e variar sua altura em relao ao solo, adquirindo energia cintica e energia potencial, respectivamente. Atente para o fato de que ao se aproximar da altura da cintura da pessoa, representa por h na Figura 1.10, a caixa vai parando, ou seja, vai perdendo energia cintica, no entanto sua altura est aumentando, de zero at h, ou seja, est ganhando energia poten-

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cial. Segundo o princpio da conservao da energia, que diz que a energia desse sistema deve permanecer constante, assim, tem-se uma transformao de energia cintica em energia potencial. Caso a pessoa largue a caixa em queda livre, mostrado em (C) na Figura 1.10, na descida observa-se o mesmo processo fsico de transformao e conservao de energia, ou seja, a medida com que a caixa desce, comea a perder energia potencial e a ganhar energia cintica, at chegar ao cho, onde toda essa energia ser dissipada, principalmente na forma de energia sonora. Note que a grandeza fsica chamada de trabalho uma grandeza escalar, pois no depende de direo e sentido, expressa em unidades de energia, Joules (J), no entanto, sua forma matemtica baseia-se na propriedade do produto escalar entre dois vetores, o vetor fora o vetor deslocamento ( ), por isso que s existe trabalho realizado pela fora que est na direo do movimento (deslocamento). Assim, na descida da caixa, mostrado na Figura 1.10 (C), a fora do campo gravitacional, ou fora gravitacional ( realiza trabalho sobre a caixa, que dados por a fora ( ), , j que

) o deslocamento (h) esto na mesma direo.

Fsica do dia-a-dia: fluxo de energia na biosferaUma teia alim entar comp os t a d e pro dutores, consumid ores e d ecomp ositores. O s pro dutores geralm ente us am a luz s olar, energia radiante d o S ol ou radiao s olar, com o fonte d e energia para a realizao d e fotossntes e e, a ssim, pro duze m alim entos para os consumid ores. Ness a t arefa, ess es organis m os us am a energia para realizar trabalh o biolgico. Ess e tra balh o realizad o principalm ente atravs da contrao celular, n o trans p or te d e nutrientes e d e s ais minerais. imp or tante ressaltar que durante a realizao d e traba lh o biolgico, a ssim com o na realizao d e trabalh o m ecnico, m os trada n o exemplo da Figura 10 e, ap es ar d o enunciad o da lei d e cons er vao d e energia in dicar que a energia d o sis te ma cons tante, a transferncia d e energia, ou a convers o d e energia d e uma forma em outra, no tot alm ente ef iciente, ocorrend o dissipao d e energia, que ness e ca s o e m forma d e calor e para o m eio ex tern o, para a atm os fera terres tre, com o m os trad o na Figura 1.11.


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Figura 1.11 - Esquema simplificado do fluxo de energia na biosfera. Adaptado de Okuno et al. (1982).

Essa unidade apresenta uma discusso dos aspectos histricos e da teoria fsica da mecnica clssica, com objetivos de levar o aluno ao entendimento dos processos fsicos que ocorrem nos sistemas biolgicos. Nesse contexto, a unidade inicia apresentando o Sistema Internacional de Medidas (SI), seus padres, suas unidades fundamentais e dimenses, inclusive com anlise dimensional das grandezas fsicas. Traz tambm a diferenciao entre grandeza fsica escala e vetorial, com uma breve introduo a lgebra vetorial e a estatstica, com apresentao de medidas de valor central (mdia) e medidas de disperso (desvio mdio, desvio padro), alm de uma discusso sobre algarismos significativos. Em relao aos conceitos fsicos encontrados na mecnica clssica, a unidade apresenta os conceitos de massa inercial, de ponto material e de sistemas de referncia. Apresenta ainda, as leis de Newton do movimento e aplicaes dessas em modelos simplificados de sistemas biolgicos, como na disperso de sementes e no movimento de clulas. Na parte relativa aos conceitos de energia e trabalho, a unidade alm de apresentar uma breve introduo sobre as formas de energia, apresenta os conceitos de energia cintica e potencial, fazendo uma discusso sobre a conservao e transformao de energia, no caso de um indivduo que levanta uma caixa at a altura de sua cintura e depois caminha com a mesma. Por fim, mostra-se na unidade a relao da lei de conservao de energia com o fluxo de energia na biosfera.

1. Suponha que se deseja mudar o padro de medida de tempo no Sistema Internacional de Medidas (SI), assim, quais fenmenos naturais voc indicaria para a substituio desse padro? 2. Por que existe a necessidade de se ter dois padres de massa? 3. Mea sua altura e mostre o valor nos diversos sistemas de medidas, explicitando os fatores de converso usados.

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4. Mostre atravs de anlise dimensional que a equao da cinemtica unidimensional x = xinicial + vinicial t + 1 a t 2 est correta. 2

5. Na ausncia de uma fora possvel haver movimento? Explique usando um dos conceitos das trs leis de Newton do movimento. 6. Considere um ponto material, representando uma massa de ar, prximo ao litoral, que est sob a ao da fora do gradiente de presso atmosfrica orientada na direo do leste, essa massa de ar vai se mover nessa direo? Use a segunda lei de Newton do movimento para explicar sua resposta. 7. Cite exemplos nos quais uma fora que exercida sobre um corpo realiza trabalho sobre o mesmo e exemplos em que esta no realiza trabalho sobre o mesmo. 8. A energia cintica e a energia potencial podem ser negativas? Por qu?

Avaliao de desempenho1. Um peregrino percorre no primeiro dia a distncia de 30 Km, fazendo um ngulo de 30o com seu ponto referencial de partida, e alcanar o acampamento de descanso, no segundo dia, ele percorre mais 36 Km, na direo norte em relao ao acampamento. Faa um desenho representando os vetores deslocamento do andarilho no primeiro e segundo dia. Determine o mdulo das componentes, nas direes x e y, dos vetores deslocamento para esses dias e do vetor deslocamento total, em seguida, determine o mdulo e a direo do vetor deslocamento total do peregrino. 2. A Tabela mostrada abaixo apresenta dados de velocidade mdia do vento, em superfcie, para o ms de janeiro, no perodo de 1991 a 2000, observados e obtidos atravs de simulaes numricas com o modelo regional RSM e global ECHAM, para a cidade de Acara-CE. Esses so resultados dos estudos desenvolvidos no Laboratrio de Pesquisas Avanadas em Energia Elica (EOLUS) da Universidade Estadual do Cear (UECE). Calcule a mdia e desvio padro para cada conjunto de dados e depois compare os resultados obtidos.


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Tabela com os dados de velocidade mdia do vento, em , para o ms de janeiro, no perodo entre 1991 e 2000, para a cidade de Acara-CE.

Ano 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Velocidade mdia (m/s) Observada RSM 3,75 5,08 4,52 5,26 4,91 5,45 3,13 4,63 4,14 5,34 3,83 5,10 4,50 4,93 3,76 5,18 4,37 4,93 4,14 4,99

ECHAM 6,01 6,79 6,80 4,92 6,53 7,12 6,69 6,62 6,87 6,47

3. Considere um rapaz fazendo uma corrida numa pista plana e esboce um diagrama de foras para mostrar as foras que esto atuando sobre ele (considere o corredor como um ponto material). 4. Usando-se a expresso matemtica da segunda lei de Newton, faa uma anlise dimensional e mostre a que a dimenso da massa M. 5. Considere que, quando voc vai ao supermercado, em mdia, empurra o carrinho com uma fora de 40 N, que faz um ngulo de 20o abaixo do horizonte, dessa forma, calcule o trabalho que voc realiza quando percorre um corredor de compras que tem aproximadamente 30 metros. 6. Elabore um texto, com suas palavras, para explicar o conceito fsico de energia, cite exemplos em que um corpo possui energia cintica e/ou energia potencial e analise, atravs da lei de conservao de energia, as devidas transformaes de energia que possam ocorrer nesses exemplos.

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HENEINE, I. F. Biofsica bsica. So Paulo: Atheneu, 1999. OKUNO, E.; CALDAS, I. L.; CHOW, C. Fsica para ciencias biolgicas e biomdicas. So Paulo: HARBRA, 1982. RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Fsica 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Princpios de fsica. Andr Koch Torres Assis. So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. v.1 TREFIL, J.; HAZEN, R. M. Fsica viva. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v.1


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NOES DE TERMODINMICA E FLUIDOS

UNIDADEObjetivosEssa unidade tem como objetivos apresentar os conceitos fsicos encontrados na termologia, tais como temperatura, equilbrio trmico e calor, os processos fsicos de transferncia de energia (conduo, conveco e radiao), apresentar noes de termodinmica, mostrando aplicaes das leis da termodinmica e, noes de esttica e dinmica de fluidos, atravs da apresentao dos princpios de Pascal, de Arquimedes e de Bernoulli. Adicionalmente, objetiva mostrar aos alunos a existncia de uma relao dos conceitos fsicos, citados acima, com o funcionamento do corpo humano, atravs de exemplos qualitativos, em que o corpo humano funciona como regulador de temperatura num estado febril e, como sensor da variao presso atmosfrica (atravs dos tmpanos) e anlises quantitativas da perda energia por realizao de trabalho mecnico (dietas calricas).

2

Nessa unidade so abordados os conceitos fsicos encontrados na termologia, na termodinmica e na mecnica de fluidos, visando dotar os leitores do entendimento da relao desses conceitos fsicos com os sistemas biolgicos, particularmente, o funcionamento do corpo humano. O conceito fsico de temperatura aqui apresentado est relacionado com o conceito fsico de equilbrio trmico e o fenmeno fsico de dilatao trmica. Nesse contexto, apresenta-se a construo e o funcionamento dos termmetros, as escalas termomtricas, bem como o funcionamento do corpo humano como sensor de temperatura. A natureza do calor explorada juntamente com os conceitos fsicos de trabalho, visto na unidade anterior, atravs da relao do equivalente mecnico do calor e da energia interna de um sistema. Dessa forma, apresentam-se aplicaes da primeira lei da termodinmica, mostrando sua relao com a perda de calorias atravs da realizao de exerccios fsicos, ou seja, atravs da realizao de trabalho mecnico. Os processos fsicos de transferncia de calor, conduo, conveco e radiao, juntamente com o conceito fsico de condutividade trmica, so apresentados e usados para explicar a saldo de energia, proveniente do Sol, disponvel na superfcie terrestre, atravs do balano de energia a superfcie, bem como para o entendimento da distribuio da energia, produzida no organismo humano, em todo o corpo humano. O conceito de entropia mostrado com o auxilio da segunda lei da termodinmica para levar o leitor ao entendimento de processos irreversveis e reversveis. Por fim, aplicam-se os conceitos fsicos encontrados na mecnica de fluidos, ou seja, conceitos de esttica e na dinmica de fluidos, tais como presso, densidade, viscosidade e a fora de empuxo, juntamente com as definies dos princpios de Pascal, de Arquimedes e de Bernoulli, para encontrar relaes matemticas, como a equao de continuidade para fluidos e a equao de Bernoulli, visando auxiliar o leitor no entendimento, qualitativo e quantitativo, dos processos fsicos existentes numa doao de sangue, num mergulho numa piscina e no deslocamento at uma regio serrana.

Introduo


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2.1. Temperatura e equilbrio trmico

Captulo 2Temperatura e Calor

A grandeza fsica temperatura, que muitas vezes associada de forma errada com o grau de calor umas das mais familiares entre ns. No cotidiano comum ter-se notcias de medio de temperatura do ar, nos dias quentes ou frios, ou a temperatura corporal que pode indicar o estado febril de um individuo, ou mesmo na preparao dos alimentos, que ajustamos a temperatura do fogo ou do forno de cozinha para que os mesmos estejam em condies de consumo. De modo formal a temperatura uma grandeza escalar e seu conceito est associado lei zero da termodinmica, na qual estabelece que a temperatura uma propriedade dos sistemas termodinmicos em equilbrio. Alm disso, a temperatura de um corpo est diretamente relacionada agitao dos tomos e molculas deste, ou seja, diretamente relacionada com a velocidade com que os tomos e molculas de um corpo esto de movendo. Para entender-se o que significa sistemas termodinmicos em equilbrio e, consequentemente, o conceito de temperatura, deve-se ter noo do que seja o equilbrio trmico. O equilbrio trmico o estado em que dois corpos em contato trmico deixam de trocar energia, e assim, esto na mesma temperatura. Na prtica, diz-se que o corpo humano, atravs do tato, um sensor de temperatura, porm, importante a clareza que os sentidos do corpo humano nos do indicaes qualitativa sobre as grandezas fsicas e muitas vezes podem nos enganar, isso no diferente com a temperatura. Por exemplo, quando so retirados dois recipientes do congelador de uma geladeira, um de alumnio e outro de plstico, tem-se a falsa impresso que o de alumnio est mais frio que o de plstico, apesar deles estarem na mesma temperatura dentro do congelador. Isso acontece, pelo fato das propriedades do alumnio serem diferentes da do plstico, e assim, tem-se uma transferncia de energia, pelo calor, mais rpido entre sua pele e o recipiente de alumnio. Dessa forma, fica claro que a pele, atravs do tato, sensvel a taxa de variao de energia, que por outro lado, est associada a diferena de temperatura dos corpos. Para isso, veja a Figura 2.1, abaixo, e considere que os dois corpos a e b no estejam em contato trmico, ou seja, isolados um do outro e de suas vizinhanas, por paredes feitas de um material isolante trmico, como o isopor, ditas adiabticas, que impedem a troca de energia e de matria entre os corpos.

Ta

Tba b

Figura 2.1 Esquema representativo de um sistema isolado em que os corpos a e b esto separados por uma parede adiabtica, ou seja, esto isolados um do outro e de suas vizinhanas. As siglas e representam as temperaturas dos dois corpos a e b, respectivamente.

Assim, Ta Tb na impossibilidade de colocarmos a e b em contato trmico, para testar se os corpos esto em equilbrio trmico, pode-se usar um terceiro corpo (c) para essa funo. Basta colocar c em contato com a e b,

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separadamente, e assim determinar atravs dos equilbrios entre a e c e entre b e c, se a e b esto em estado de equilbrio trmico, mesmo sem estarem em contato direto. Esse terceiro corpo c ser o termmetro, um dispositivo de medio de temperatura dos corpos. Dessa forma, o termmetro vai entrar em equilbrio trmico com a e medir a temperatura do corpo a, depois com b e medir a temperatura do corpo b e, se as medies de temperaturas so iguais, significa que os corpos estaro em equilbrio trmico, caso as medies sejam diferentes, eles no esto em estado de equilbrio trmico. Agora se pode entender um postulado chamado de lei zero da termodinmica, que pode ser expresso como: se os corpos a e b esto em equilbrio trmico separadamente com um outro corpo c, isto significa que a e b esto em equilbrio trmico entre si.

2.2. Termmetros e escalas termomtricasJ foi visto que para se entender a idia da construo dos termmetros tem-se que recorrer definio da lei zero da termodinmica, mostrada no exemplo da Figura 2.1, acima. Ou seja, o terceiro corpo, imaginrio, chamado de c ser o termmetro. O dispositivo de medio de temperatura dos outros dois corpos. Dessa forma, atravs do equilbrio trmico com os outros dois corpos, separadamente, possvel obter as medies de temperaturas desses. A fotografia apresentada na Figura 2.2 mostra um termmetro comercial, usado para medir a temperatura corporal. Esses tambm so usados por meteorologistas para medir a temperatura do ar nas estaes meteorolgicas de superfcie. Observando-se a fotografia, mostrada na Figura 2.2, podese verificar que um termmetro composto por um tubo capilar de vidro, com escala graduada gravada e, dentro desse tudo se tem um reservatrio com um lquido, que geralmente lcool ou mercrio. A coluna desse lquido varia quando o mesmo submetido a variaes de temperatura, ou seja, o volume desse fluido muda quando se tem mudana de temperatura. O termmetro mostrado ao lado usa a escala Celsius de temperatura. Nessa escala, o ponto de gelo ou de congelamento da gua, na presso atmosfrica, escrito 0oC (zero grau Celsius) e o ponto de vapor ou ponto de ebulio da gua, na presso atmosfrica, de 100oC (cem graus Celsius). Assim, veja que se definiram dois pontos que representam as extremidades da coluna de fluido nos termmetros que usam essa escala termomtrica. Dessa forma, dividindo-se a distncia entre as extremidades da coluna de fluido em 100 (cem) segmentos iguais, cada um desses vai representar uma mudana de temFigura 2.2 Foto de um termmetro. peratura de 1oC (um grau Celsius). Alm da escala Celsius, adotada comercialmente em alguns lugares do mundo, existem outras escalas termomtricas, a escala Kevin e a escala Fahrenheit, no entanto, essas escalas tambm obedecem aos padres de calibrao atravs dos pontos de congelamento e ebulio da gua.


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A escala Kelvin universalmente adotada pela Fsica e pelos cientistas, por ser a escala que considera existir um limite de quo baixa pode ser a temperatura de um corpo, chamado de zero absoluto de temperatura. Assim, nas equaes fundamentais da Fsica a temperatura aparece como temperatura absoluta, temperatura medida na escala Kelvin. A escala Fahrenheit, mais usada comercialmente nos Estados Unidos, define o ponto de congelamento como sendo em 32oF (trinta e dois graus Fahrenheit) e a temperatura de ebulio da gua em 212oF (duzentos e doze graus Fahrenheit). A Figura 2.3 mostra um esquema de associao das trs escalas termomtricas citadas acima, explicitando os pontos de zero absoluto de temperatura, de temperatura normal do corpo humano e o ponto de ebulio da gua.

Figura 2.3 Esquema comparativo das trs escalas termomtricas (Kelvin, Celsius e Fahrenheit), para os pontos temperatura absoluta, de temperatura normal do corpo humano e de ebulio da gua.

Atravs desse esquema da Figura 2.3, mostrado acima, pode-se estabelecer uma relao matemtica para transformao dos valores medidos de temperatura dos corpos para qualquer uma das trs escalas vistas anteriormente. Assim, tem-se que:

Onde escala Kelvin e

a temperatura na escala Celsius, a temperatura na escala Fahrenheit.

a temperatura na

Faa voc mesmo! Em um dia de vero, na cidade de Fortaleza/CE, a temperatura mdia do ar pode alcanar os 37,5oC. Obtenha o valor da temperatura nas escalas Kelvin e Fahrenheit.

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2.3. Dilatao trmica de slidos e lquidosQuando se usa um termmetro para a medio de temperatura dos corpos slidos ou para medio de temperatura de fluidos, como o caso do ar, observa-se que, quando se tem variao na temperatura tem-se, tambm, variao da altura da coluna do elemento sensvel de medio do termmetro, que, como se viu anteriormente, pode ser lcool ou mercrio. Em outras palavras, quando se tem aumento da temperatura o volume da substncia, elemento sensvel do termmetro, aumenta. Da, diz-se que houve uma dilatao trmica. Esse fenmeno consequncia da relao existente entre a temperatura dos corpos e o movimento de seus tomos. Outro exemplo prtico da aplicao desse conceito fsico de dilatao trmica pode ser encontrado em pontes de concreto, existentes nas estradas, onde geralmente existem as chamadas juntas de dilatao entre as placas de concreto, que tem a funo de permitirem variaes no comprimento relacionadas a variao de temperatura diria observadas. Dessa forma, correto afirmar que quando um material aquecido varia suas dimenses e, em relao variao no comprimento, de qualquer um dos seus lados, esta, ser proporcional ao comprimento antigo e a diferena de temperatura ao qual o mesmo foi submetido. Esse fenmeno fsico no qual se tem variao nas dimenses do slido em qualquer uma de suas dimenses chamado de dilatao linear. Atravs de sua definio, descrita acima, possvel escrever uma equao matemtica para quantificao desse fenmeno, assim, DL = a Li DT , onde L a variao observada no comprimento do material, o coeficiente de dilatao linear, que, por exemplo, para o chumbo vale 29 10-6 / C . T a variao de temperatura. Sabendo-se L que pode ser escrito como L f - Li , ou seja, comprimento final menos o comprimento inicial e DT como a temperatura final menos a temperatura inicial (T f - Ti ) , assim, pode-se reescrever a equao apresentada acima, como, L f - Li = a Li (T f - Ti ) , onde L f o comprimento final e Li o comprimento inicial do material, T f a temperatura final e Ti a temperatura inicial. Faa voc mesmo! Pesquise (livros e internet) e monte uma tabela com os valores mdios do coeficiente de dilatao linear e suas respectivas faixas de temperatura para o alumnio, lato, cobre, ao, concreto, madeira, vidro, lcool, gasolina e gelo. Compare-os. Voltando-se a equao matemtica da dilatao trmica linear, observa-se que, se conhecendo o comprimento inicial e final de um determinado slido, em qualquer uma de suas dimenses, e a variao de temperatura aoFSICA PARA CINCIAS BIOLGICAS

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qual o mesmo est submetido, pode-se encontrar um coeficiente de dilatao trmica linear para o mesmo, atravs da relao matemtica, extrada da equao acima. Assim, tem-se que, a= DL L DT

Dessa forma, correto afirmar que, fisicamente representa uma frao da variao do comprimento do slido por grau de variao de temperatura ao qual esse foi submetido. Faa voc mesmo! Mostre, usando anlise dimensional que a expresso para a obteno do coeficiente de dilatao linear () est correta. Agora, voltando-se ao exemplo prtico da ponte de concreto, se considerarmos que ela est localizada na BR116, prxima ao municpio de Limoeiro do Norte-CE, e que em condies de temperatura mdia anual do ar, que de 25C, mede 120,0 metros de comprimento. Num dia de vero, com temperatura mdia diria de 34C (com para o concreto de 12 10-6 / C ) o comprimento mdio dessa ponte nesse dia, ser: L f -120, 0m = Lf Lf Lf Lf Lf 12 x10-6 120, 0m (34C - 25C ) C -6 12 x10 = 120, 0m + 120, 0m (34C - 25C ) C -6 12 x10 = 120, 0m + 1 + (34C - 25C ) C 12 x10-6 1 + = 120, 0m + (9C ) C = 120, 0m + (0, 000108) = 120, 000108 metros

Para fixar esse conceito de dilatao ou expanso trmica de slidos pode-se fazer analogia com uma ampliao fotogrfica. Atente para o fato que, apesar de tratar-se, no exemplo anterior, de expanso em apenas uma direo, os slidos apresentam mesmo percentual de variao do comprimento em todas as suas direes. Veja na Figura 2.4 a representao da dilatao de uma placa de zinco, considere que as dimenses da placa aumentam de comprimento conforme a razo .

Figura 2.4 Esquema representativo da dilatao trmica de uma placa de zinco.

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Ento, tanto a ampliao de rea de uma fotografia, quanto variao fracionria da rea de uma placa de zinco, mencionada no exemplo da Figura 2.4, por grau de temperatura, pode ser quantificada como: A f = L2f , sabe-se que L f = Li + a Li DT . Ento, A f = ( Li + a Li DT ) , Note que a expresso matemtica mostrada acima chamada de quadrado perfeito, definido como sendo o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do2 2 2 2 segundo termo: Li + 2a Li DT + a Li (DT ) . A variao da rea da placa de zinco da por, 2 2

DA = A f - Ai ,2 onde Ai = Li . Ento:

DA = L2 (1 + 2a Ai DT + a 2DT 2 ) - L2 i i

,

Lembre-se que uma quantidade muito pequena, da ordem de 10 -3 a 10 . Da, quando elevado ao quadrado, tem-se valores ainda menores, que mesmo sendo multiplicados pela variao de temperatura DT 2 , ainda so valores bem pequenos. Dessa forma, pode-se obter uma aproximao para a expresso matemtica, mostrada acima, eliminando-se o termo a 2DT 2 e, assim, obter uma expresso matemtica simplificada para calcular a variao da rea da placa de zinco,-6

DA = 2a Ai DT . Assume-se que g = 2a , chamado de coeficiente de dilatao de rea ou ainda coeficiente de expanso de rea. Faa voc mesmo! Usando um procedimento anlogo ao usado para chegar-se a variao fracionaria de rea por grau de variao de temperatura de um slido, determine uma expresso matemtica para a variao fracionria volumar (V) de um slido por grau de variao de temperatura e uma expresso matemtica para o coeficiente de dilatao volumar .

2.4. O calor, transferncia de energia e a termodinmicaNas sees anteriores foram apresentados os conceitos fsicos de temperatura e equilbrio trmico, no qual em contato trmico a temperatura dos corpos tende a se igualar.


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Na prtica, pode-se observar que uma xcara de ch quente quando deixada no meio ambiente tende a se resfriar com o tempo, ou um copo com gua gelada, em mesmas condies, tende a esquentar com o tempo. Ou seja, nos dois casos as temperaturas finais, da xcara e do copo, tende a se igualar a temperatura ambiente, em outras palavras, atinge o estado de equilbrio trmico com o meio ambiente. Note que nesses casos, por causa da diferena de temperatura entre os corpos, tem-se uma transferncia de uma quantidade de energia cintica das molculas dos corpos para o ambiente, isso o que se chama de calor, que uma grandeza fsica, freqentemente medido em calorias. Existe ainda uma relao entre as unidades caloria (cal) e Joule (J), chamada de equivalente mecnico do calor, onde: 1cal @ 4,186 J , Uma informao prtica e importante que a caloria usada para mensurar a quantidade de energia contida nos alimentos igual a quilocaloria, ou seja: 1Cal = 1Kcal ou 1Cal = 1000cal Dessa forma, imagine uma pessoa que adota uma dieta de referncia de 2000 Calorias por dia e pretende gastar essa energia adquirida com exerccios de musculao numa academia de ginstica levantando pesos de 50kg a uma altura mdia de 1,50 metros. Quantos exerccios e quanto tempo ela deveria ficar se exercitando na academia? Fazendo as contas, tem-se que, 2000Cal = 2000 1000cal = 2, 0 106 cal , transformando essa energia em trabalho a se realizado por essa pessoa, atravs da relao de equivalncia mecnica do calor, encontra-se: 1cal = 4,186 J W = 2, 0 106 cal 4,186 W = 8, 37 106 J Estudou-se na Unidade 1 e, sabe-se que o trabalho realizado para levantar objetos igual a mgh . Onde m a massa do objeto, g o mdulo da acelerao da gravidade e h a altura de levantamento do objeto. Assim, se a pessoa levanta o objeto vrias, ou n vezes, o trabalho resultante ser, n mgh , essa quantidade deve ser igual a quantidade de energia adquirida pela pessoa na dieta. Da, W = n mgh J cal

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Procura-se n, que representa quantas repeties so necessrias para gastar a energia adquirida na dieta. Assim, n= W 8, 37 106 J = = 11388 mgh (50, 0kg )(9, 80 m s 2 )(1, 5m)

Levando em conta que a pessoa deve levantar 11388 vezes o objeto, o que significa que ela deve fazer 570 sries de 20 repeties. Caso consiga realizar uma srie de 20 levantamentos a cada 2 minutos, levar 19 horas para consumir a energia adquirida na dieta. Com isso, chega-se a concluso que essa no a maneira mais indicada de gastar a energia adquirida diariamente atravs dos alimentos. Faa voc mesmo! Faa uma estimativa de quantas calorias voc ingere num dia normal e calcule para uma dada modalidade de exerccio quanto tempo levaria para gastar essa quantidade de energia. Dica! Para escolher a modalidade de exerccio pesquise e encontre o gasto de energia ao pratic-la por um determinado tempo.

2.5 Algumas noes sobre calor especfico e capacidade trmicaO calor especfico de uma substncia expressa uma medida de sua capacidade de absorver calor. Dessa forma, esse definido como sendo a quantidade de calor por unidade de massa necessria para aumentar de 10C a temperatura de uma substncia. Ressalta-se que, cada substancia requer uma quantidade nica de energia por unidade de massa para mudar em 10C a sua temperatura. A expresso matemtica do calor especfico : c J expresso em kg C . J Por exemplo, o calor especfico do alumnio de 900 kg C ou de 0, 215 Cal g C . Q mDT ,

Faa voc mesmo! Pesquise e monte uma tabela com valores de calores especficos de algumas substncias como o alumnio, o cobre, ouro, ferro, chumbo, prata, bronze, madeira, vidro, lcool, mercrio, gua e areia. Compare-os.


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Da definio de calor especifico, mostrada acima, pode-se quantificar a energia transferida entre os corpos, ou sistemas fsicos e suas vizinhanas, como, Q = mcDT , sabendo-se que a variao de temperatura escrita em sua forma matemtica como, DT = T f - Ti , pode-se reescrever a equao matemtica da energia transferida, mostrada acima, assim, Q = mc(

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