Flávia de Oliveira Lima Falcão Efeitos geomecânicos na … Petróleo Ipiranga no período de 1996 a 2000, na área de obras em postos de gasolina e bases de armazenamento e distribuição

Flávia de Oliveira Lima Falcão

Efeitos geomecânicos na

simulação de reservatórios de petróleo

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito

parcial para obtenção do grau de Mestre pelo

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil da PUC-Rio. Área de Concentração:

Geotecnia.

Orientador: Prof. Sérgio A. B. da Fontoura

Co-orientador: Dr. Daniel Nunes de Miranda Filho

Rio de Janeiro

Agosto de 2002

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do

trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.

Flávia de Oliveira Lima Falcão

Graduou-se em Engenharia Civil, com ênfase em Estruturas, na PUC-Rio em 1997. Fez os cursos de pós-graduação lato sensu em Engenharia Econômica e Administração Industrial, na Escola de Engenharia da UFRJ, em 1999, e Engenharia de Petróleo na CCE/PUC-Rio em 2000. Trabalhou na Companhia Brasileira de Petróleo Ipiranga no período de 1996 a 2000, na área de obras empostos de gasolina e bases de armazenamento e distribuição de derivados de petróleo.

Ficha Catalográfica

Falcão, Flávia de Oliveira Lima

Efeitos geomecânicos na simulação de reservatórios depetróleo / Flávia de Oliveira Lima Falcão; orientador: Sérgio Augusto Barreto da Fontoura; co-orientador: Daniel Nunes de Miranda Filho. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2002.

[18], 152 f.: il.; 30 cm

1. Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Reservatório. 3. Geomecânica. 4. Simulador de reservatório. 5. Análise acoplada. I. Fontoura,Sérgio Augusto Barreto da. II. Miranda Filho, Daniel Nunes de. III. Pontifícia Unversidade Católica do Rio de Janeiro.Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

Para Nilton

Agradecimentos

Agradeço ao Prof. Sérgio A. B. da Fontoura pela oportunidade de

desenvolvimento deste trabalho, por sua orientação e confiança. Obrigada pela

estrutura oferecida através do GTEP, tanto pessoal quanto de equipamentos,

cujo apoio foi essencial.

Agradeço ao meu co-orientador Daniel Nunes de Miranda Filho por sua

excepcional dedicação e pela transmissão de seu fascínio pelos fenômenos

envolvidos nesta ciência. Meu muito obrigado também aos pequenos Sofia e

Daniel.

Agradeço à Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior – CAPES, à Agência Nacional do Petróleo – ANP – e à Financiadora de

Estudos de Projetos – FINEP – por meio do Programa de Recursos Humanos da

ANP para o Setor Petróleo e Gás – PRH-ANP/MCT - pelo apoio financeiro

concedido durante o período de desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço, também, à Computer Modelling Group, CMG, pelo acordo acadêmico

com a PUC-Rio para utilização do programas IMEX e STARS. Em especial ao

Victor Manuel Salazar, pelos inúmeros esclarecimentos prestados durante o

aprendizado desses sistemas.

Agradeço aos professores do departamento de engenharia civil da PUC-Rio

pelos conhecimentos passados, e aos funcionários por todo o auxílio prestado,

em especial Ana Roxo, Cristiano e Lenilson.

Agradeço aos professores do curso de Engenharia de Petróleo (2ª turma),

oferecido pelo CCE–PUC-Rio, responsáveis pelo redirecionamento dos meus

rumos profissionais em direção ao petróleo.

Agradeço aos amigos geotécnicos da PUC-Rio pela força e amizade. Em

especial, Ana Julia, Matilde, Cassiane e Fred – amigos que levo para a vida.

Agradeço aos amigos do GTEP, com quem convivi diariamente durante o último

ano. Em especial Suzana, Mércia, Marcia, Patrícia, Ana Sophia, Bruno, Olga,

Shelly, Eudes e Claudio Rabe pelas conversas e trocas; ao Jorge Pastor, pelos

esclarecimentos e ponto de partida desta dissertação; Ewerton e Flávio, amigos

desde a fase dos créditos; e ao Cássio, por toda a ajuda prestada.

Agradeço aos meus pais, Maria e Jeová, aos meus irmãos, Rômulo e Marcela,

César e Lydia, Eliane e Ricardo, e aos meus sobrinhos Victor, Lara, Ana Clara,

Carol e Lucas, por todo e amor e confiança. Um obrigado especial à D. Wanda.

Agradeço aos meus sogros, S. Nilton e D. Nair, aos meus cunhados Luiz e

Márcia, e à pequena Luiza, por toda a compreensão e apoio, principalmente

durante os últimos meses.

Agradeço às minhas amigas de sempre Renatinha, Dani, Lu, Chris, Lorena,

Duda e Karina. Às amigas da Ipiranga Irene, Lili, Gigi e Claudinha. Um obrigado

especial à Marta.

Agradeço ao meu marido, Nilton, por todo o amor, apoio, compreensão e

confiança que muito me ajudaram durante esses dois anos.

Agradeço a DEUS e Nossa Senhora. Por tudo.

Resumo

Falcão, Flávia de Oliveira Lima; Miranda Filho, Daniel Nunes de; Fontoura, Sérgio A. B. Efeitos Geomecânicos na Simulação de Reservatórios de Petróleo. Rio de Janeiro, 2002. 152p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Simuladores de escoamento em reservatórios são ferramentas importantes

na otimização do desenvolvimento de um campo de petróleo. Estes simuladores

modelam o escoamento multifásico através de meios porosos compressíveis,

levando em conta as equações de equilíbrio de fases, as leis de fluxo e a

variação volumétrica do meio poroso associada à variação da pressão de poros

do sistema. As tensões in situ são consideradas através da aplicação de tensões

constantes no contorno do reservatório. Este trabalho descreve a utilização de

um simulador convencional de reservatório, baseado em diferenças finitas com e

sem um módulo geomecânico, e a utilização de um simulador acoplado, que

resolve as equações de escoamento e de tensão num mesmo código de

elementos finitos. Nesta dissertação são feitas comparações entre os modelos

geomecânicos aproximado e rigoroso oferecidos pelos simuladores comerciais,

além de ser apresentada uma análise de situações em que esta última forma

deve ser realmente considerada. O objetivo deste trabalho é analisar a influência

das tensões in situ em reservatórios de petróleo com base na comparação entre

os campos de poropressões obtidos a partir da modelagem de um mesmo

sistema com os dois simuladores geomecânicos. São apresentadas as formas

de acoplamento e a formulação utilizada em cada um dos modelos. Os modelos

geomecânicos utilizados em cada um dos simuladores são comparados. É feita

uma comparação entre os resultados obtidos pelos dois simuladores a partir de

um modelo bidimensional.

Palavras-chave Reservatório; geomecânica; simulador de reservatório; análise acoplada.

Abstract

Falcão, Flávia de Oliveira Lima; Miranda Filho, Daniel Nunes de; Fontoura, Sérgio A. B. Efeitos Geomecânicos na Simulação de Reservatórios de Petróleo. Rio de Janeiro, 2002. 152p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Numerical simulators for reservoir flow analysis are important tools for the

optimization of oil field development. These simulators model the multiphase flow

through compressible porous medium taking into account the phase equilibrium

equations, flow laws and the rock volumetric change associated to the pore

pressure change during production. Some simulators have been associated with

stress analysis modules in order to use the pore pressure field obtained by the

flow simulator and update the stress field within the reservoir. This dissertation

describes the use of a conventional reservoir simulator based on finite

differences that models multiphase flow in porous media, with and without a

geomechanical module, and the use of a fully-coupled simulator that solves both

the flow and stress equations in a single finite element code. This dissertation

compares the two geomechanical modules, the approximated and the precise,

offered by commercial simulators, and analyses the situations in which the

rigorous form should be considered, or not. The aim of this dissertation is to

investigate the influence of in situ stresses in petroleum reservoirs based on the

comparison of the pore pressure fields obtained from the modeling of the same

system with both geomechanical simulators. The coupling and formulation used

in each model are presented. The geomechanical models of both simulators are

described. A comparison of the simulators is made using a bidimensional model.

Keywords Reservoir; geomechanics; reservoir simulator; coupled analysis.

Sumário

1. Introdução 19

1.1. Motivação para o estudo 21

1.2. Objetivos 25

1.3. Escopo 26

2. Geomecânica aplicada à engenharia de reservatórios 28

2.1. A equação de balanço de materiais 29

2.1.1. Utilizações e Limitações do Método de Balanço de

Materiais 37

2.1.2. O Método de Havlena e Odeh de Aplicação da

Equação de Balanço de Materiais 38

2.2. Consideração da Geomecânica nos Simuladores de

Escoamento Tradicionais 42

2.3. Modelagem geomecânica 50

2.3.1. Modelo de Duas Etapas 53

2.3.2. Acoplamento Explícito 54

2.3.3. Acoplamento Implícito 55

2.3.4. Modelo de Etapa Única 56

3. Descrição dos simuladores FPORO, IMEX e STARS 57

3.1. Formulação utilizada no FPORO 58

3.1.1. Equação de equilíbrio 58

3.1.2. Equação de continuidade para fluxo monofásico 61

3.1.3. Equação de conservação de energia 73

3.2. Formulação utilizada no IMEX 75

3.2.1. Escoamento monofásico pouco-compressível 75

3.2.2. Escoamento monofásico compressível 78

3.2.3. Escoamento multifásico 80

3.3. Formulação utilizada no STARS 85

3.3.1. Formulação térmica-composicional 85

3.4. Comparação dos modelos geomecânicos de reservatório

nos simuladores FPORO e STARS 88

4. Comparação dos simuladores FPORO - STARS 90

5. Simulações utilizando os programas STARS e IMEX 97

5.1. Simulações para ¼ de 5-spot no simulador STARS 98

5.1.1. Comparação entre resultados com e sem o módulo

geomecânico para ¼ de 5-spot 110

5.1.2. Efeitos da variação da taxa de injeção 116

5.1.3. Efeitos do grau de consolidação do reservatório 124

5.2. Simulações para sistema radial depletivo no simulador

IMEX 134

6. Conclusões e sugestões 139

6.1. Conclusões 139

6.2. Sugestões 141

7. Referências bibliográficas 143

APÊNDICE A 148

Lista de figuras

Fig.1.1. Representação esquemática da rocha-reservatório (de Charlez8). 22

Fig.1.2. Ilustração de compactação/subsidência (de Charlez9). 23

Fig.2.1. Seção transversal de um reservatório com capa de gás e

aquífero (de Craft & Hawkins²). 30

Fig.2.2. Representação esquemática das condições existentes no

reservatório: (a) à pressão inicial e (b) a uma pressão p após

uma produção de pN . 35

Fig.2.3. Representação esquemática de um volume unitário de rocha. 43

Fig.2.4. Comparação entre as correlações de compressibilidade de Hall e

Newman (de Poston & Berg17). 47

Fig.2.5. Compressibilidade do volume poroso para arenitos friáveis (em

Newman19). 48

Fig.2.6. Esquema de interação entre geomecânica e fluxo em um

reservatório deformável. 50

Fig.3.1. Fluxo linear em rocha porosa cilíndrica de comprimento x 62

Fig.4.1. (a) Modelo do reservatório simulado; (b) malha cartesiana

utilizada no STARS. 90

Fig.4.2. Comparação entre as distribuições de poropressão para os

modelos FPORO e STARS com e sem módulo geomecânico,

para o tempo t=1000 dias. 93

Fig.4.3. Evolução de poropressão em x = 3000 e z = 3150 m. 94

Fig.4.4. Comparação entre as produções acumuladas. 95

Fig.4.5. Distribuição de tensões efetivas máximas ao longo do

reservatório em t = 2190 dias, segundo o modelo geomecânico

do STARS. 96

Fig.4.6. Distribuição de porosidade efetiva em t = 2190 dias segundo o

modelo geomecânico do STARS. 96


modelo sem módulo geomecânico do STARS. 96

Fig.5.1. (a) Modelo do reservatório simulado; (b) malha cartesiana

utilizada no STARS. 90

Fig.5.2. Comparação entre as distribuições de poropressão para os

modelos FPORO e STARS com (SGML) e sem opção

geomecânica (SML), para o tempo t=1000 dias. 93

Fig.5.3. Evolução de poropressão em x = 3000 e z = 3150 m. 94

Fig.5.4. Comparação entre as produções acumuladas. 95

Fig.5.5. Distribuição de tensões efetivas máximas ao longo do

reservatório em t = 2190 dias, segundo o modelo geomecânico

do STARS. 96


modelo geomecânico do STARS. 96


modelo sem módulo geomecânico do STARS. 96

Lista de tabelas

Tab. 2.1. Valores típicos de compressibilidade (de Craft & Hawkins²). 46

Tab. 4.1. Dados da rocha-reservatório utilizados nas simulações. 91

Tab. 4.2. Dados das rochas adjacentes utilizados por Pastor14. 92

Tab. 4.3. Incrementos de tempo utilizados no FPORO (Pastor14). 92

Tab. 5.1. Descrição geral dos modelos simulados. 101

Tab.5.2. Valores de saturação de água conata, porosidade e

compressibilidade adotados. 105

Tab. 5.3. Pressão de referência para os modelos simulados. 107

Tab. 5.4. Pressões de fundo de poço utilizadas nas simulações. 108

Tab. 5.5. Valores do módulo de Young utilizados na simulações dos

modelos ¼ de 5-spot. 108

Tab. 5.6. Tensões totais atuando no reservatório. 109

Tab. 5.7. Composição dos fluidos de reservatório. 109

Tab. 5.8. Resumo das simulações que geraram maiores discrepâncias

entre as produções acumuladas de óleo resultantes dos

modelos com e sem opção geomecânica do STARS. 112

Tab. 5.9. Parâmetros utilizados na análise do grau de consolidação do

reservatório. 124

Tab. 5.10. Resultados de produção para arenitos não-consolidados. 126

Tab. 5.11. Resultados de produção para arenitos friáveis. 132

Tab. 5.12. Parâmetros utilizados nas simulações com modelo radial. 135

Tab. 5.13. Índices para mecanismos de produção primários, para t=10

dias. 137

Tab. 5.14. Fatores de recuperação ao final de 1825 dias. 138

Tabela A1.Dados referentes às simulações utilizando o STARS. 149

Lista de símbolos

B Fator volume formação

b Forças de corpo

fC Capacidade de calor da formação

effc Compressibilidade efetiva da rocha

fc Compressibilidade da formação (ou volume poroso)

flc Compressibilidade do fluido

gc Compressibilidade do gás

rc Compressibilidade da matriz rochosa

sc Compressibilidade dos grãos sólidos

Tc Coeficiente térmico de compressibilidade da rocha

tc Compressibilidade total

vc Calor específico da rocha

vfc Calor específico do fluido

vsc Calor específico dos grãos sólidos

wc Compressibilidade da água

Dm Matriz de acumulação

E Matriz de escoamento

E Módulo de Young

F Vetor de força das condições de contorno

gG Volume de gás livre no reservatório, STC

giG Volume de gás inicial no reservatório, STC

g Vetor de aceleração da gravidade

gc Constante de conversão entre sistemas de unidade

gfw Gradiente de pressão da água doce

go Gradiente de pressão do óleo

gsw Gradiente de pressão da água salgada

He Entalpia específica

h Carga de elevação

1I Primeiro invariante das tensões

If , Ig ,

Io e Iw

Índice de expansão da formação, do gás, do óleo e da água,

respectivamente

Jf Fluxo de calor por condução no fluido

Js Fluxo de calor por condução no sólido

K Matriz de rigidez

K Módulo de compressão volumétrica da matriz rochosa

Kf Módulo de compressão volumétrica do fluido

Kp Módulo de compressão do poro

Ks Módulo de compressão volumétrica dos grãos sólidos

k Tensor da permeabilidade absoluta do meio poroso

hk Condutividade térmica da rocha e dos fluidos contidos

krl Permeabilidade relativa da fase l

kx , ky ,

kz

Permeabilidade absoluta nas direções x, y e z, respectivamente

L Matriz de acoplamento

Mm Massa molar

m Vetor binário: unidade para tensões normais, zero para tensões

cisalhantes

lm Fluxo de massa da fase l

m Razão entre os volumes iniciais de gás e óleo no reservatório

ml Massa da fase l em um volume unitário do meio

xm Taxa de escoamento mássico na direção x, por unidade de área

N Volume de óleo inicial no reservatório, STC

pN Produção de óleo acumulada, RC

P Vetor das incógnitas do reservatório (pressões, saturações e

temperatura)

Pc Pressão capilar

p Pressão de poros

p Pressão média

Q Vetor das condições de contorno da região próxima ao poço

q Vazão volumétrica, STC

q~ Vazão mássica, por unidade de volume

Hq Taxa de injeção ou produção da entalpia

R Lado direito das equações de escoamento, parcela de acumulação

R Constante dos gases

pR Razão de solubilidade gás-óleo de produção acumulada

soR Razão de solubilidade gás-óleo

S Saturação

T Matriz de transmissibilidade

T Temperatura

Tf Temperatura do fluido

Ts Temperatura do sólido

t Forças de superfície

U Energia específica interna

uf Velocidade de Darcy da fase fluida

ug Velocidade de Darcy do gás

uo Velocidade de Darcy do óleo

uw Velocidade de Darcy da água

xu ,

zu

u ,yVelocidade de Darcy nas direções x, y e z, respectivamente

V Volume

bV Volume total da rocha

Vf Volume de fluido

Vp Volume poroso inicial

rV Volume da matriz rochosa

Vs Volume dos grãos

v Vetor de deslocamentos do esqueleto sólido

fv Velocidade do fluido

vs Velocidade da fase sólida

vw Vetor de deslocamentos do fluido

W Volume de água inicial no reservatório, RC

eW Influxo de água no reservatório, RC

pW Produção de água acumulada, STC

vx Fração molar do componente ν na fase líquida

vy Fração molar do componente ν na fase gasosa

Z Fator de compressibilidade dos gases

α Coeficiente de Biot

Tα Coeficiente de dilatação térmica

pβ Coeficiente de compressibilidade do fluido à temperatura constante

sβ Coeficiente de expansão térmica para o sólido

Tβ Coeficiente de expansão térmica para o fluido

Γ Contorno

γ Peso específico do fluido

t∆ Indica a varição ocorrida ao longo de um passo de tempo

δ Vetor de deslocamentos

δ Deslocamento médio

ε Deformações totais da matriz rochosa

oε Deformações não associadas com variações de tensões ou

temperatura

Tε Deformação térmica

vε Deformação volumétrica do meio poroso

mΛ Coeficiente de condutividade térmica do meio poroso

λ Transmissibilidade

Lλ Parâmetro de Lamé

mλ Mobilidade da fase

fTλ ,

sTλ

Tensores de condutividade térmica das fases fluida e sólida,

respectivamente

µ Viscosidade do fluido

Lµ Parâmetro de Lamé

ν Coeficiente de Poisson

ξ Massa específica molar da fase

ρ Densidade da rocha

dgρ Densidade do gás dissolvido

fρ Densidade do fluido

gρ Densidade do gás

oρ Densidade do óleo

sρ Densidade dos grãos sólidos

σ Tensão total

'σ Tensão efetiva

o'σ Tensão efetiva inicial

vσ Tensão vertical

hσ Tensão horizontal

Φ Potencial

φ Porosidade

Ω Domínio

Índicesn Passo de tempo ν Iteração

Subscritosdg Gás dissolvido

fg Gás livre

g Fase gasosa

i inicial

l Fase

n Fase não-molhante

o Fase oleica

RC Condições de reservatório

STC Condições padrão

w Fase aquosa ou molhante ν Componente hidrocarboneto

1 Introdução

A importância da indústria do petróleo vem crescendo desde a segunda

metade do século XIX, quando o primeiro poço entrou em produção, em

Titusville, Pensilvânia, sob o comando do coronel Drake. Desde então, verificou-

se uma acirrada corrida em busca da descoberta de novos campos. A indústria

do petróleo tem um papel importante no cenário mundial. A participação do óleo

e gás natural na matriz energética mundial indica uma forte dependência desta

forma de energia não renovável (Yergin¹). Considerando que somente uma

parte do petróleo existente no mundo pode ser produzido economicamente, se

faz necessária uma busca contínua dos meios para aumentar sua recuperação.

Para tanto, é importante um conhecimento cada vez melhor dos mecanismos de

produção que afetam a recuperação de petróleo com impacto nas previsões de

produção. Estas, em última análise, afetam diretamente a economicidade dos

projetos, viabilizando projetos de desenvolvimento de campos petrolíferos.

A engenharia de reservatórios é responsável pelo estudo do escoamento

dos fluidos dentro da meio poroso, cálculo das reservas, definição dos métodos

de recuperação secundária e terciária, esquemas de desenvolvimento do campo,

entre outros. Craft & Hawkins² definem a engenharia de reservatórios como a

“aplicação de princípios científicos para problemas de drenagem que surgem

durante o desenvolvimento e produção de reservatórios de gás e óleo”. Também

foi definido por Moore (1955), segundo apresentado em Craft & Hawkins², como

“a arte do desenvolvimento e produção de óleo e gás de forma a obter uma alta

recuperação econômica”. Os reservatórios são a fonte esgotável de petróleo, e

portanto devem ser tratados como tal, sendo explorados mas sem prejudicar sua

capacidade de recuperação. Devido à sua complexidade, a engenharia de

Introdução 20

reservatórios envolve profissionais das mais variadas áreas de conhecimento:

geofísicos, geólogos, engenheiros e economistas.

A grande barreira em que se depara a engenharia de reservatórios é a

dificuldade de obtenção de dados a respeito dos meios porosos de interesse. Em

um campo recém descoberto, toda a caracterização é feita a partir da sísmica,

de testemunhos retirados de poços exploratórios (que representam muito pouco

comparado ao campo), perfilagens, análises de testes de formação e de

correlações com campos próximos e afloramentos. Daí o grande grau de

incerteza que envolve o estudo dos reservatórios de petróleo na fase inicial de

explotação. O risco associado é ainda maior ao considerar a complexidade dos

reservatórios de petróleo: a heterogeneidade e anisotropia das propriedades da

rocha; variações regionais das propriedades dos fluidos, assim como das

características de permeabilidade relativa; complexidade dos mecanismos de

recuperação de hidrocarbonetos, entre outros (Ertekin et al.³). Porém, com um

bom conhecimento do reservatório é possível ter um entendimento do seu

comportamento no passado, presente e futuro, além de prever a recuperação

necessária para viabilizar o desenvolvimento e operação da formação geológica

em estudo (Timmerman4).

Com o intuito de alcançar os objetivos da engenharia de reservatórios, a

principal ferramenta utilizada são os simuladores de reservatórios, que têm sido

usados desde a década de 50 do século passado. No início, tratava-se de

modelos rústicos capazes de reproduzir apenas escoamento monofásico em

uma direção. Com o desenvolvimento de computadores digitais de alta

velocidade e de métodos numéricos sofisticados, foi possível aperfeiçoá-los, a

ponto de hoje modelarem escoamento trifásico tridimensional (Watts5).

De acordo com Mattax & Dalton6, o advento da simulação numérica tornou

possível detalhar o estudo do reservatório através de sua subdivisão em blocos

com propriedades individuais. Através de uma malha de simulação, o modelo

geológico pôde ser incorporado à análise, permitindo a definição de regiões com

propriedades de fluido e rocha distintas. A resposta do problema passou a ser

obtida pela solução simultânea das equações de escoamento para cada

elemento que compõe o modelo. Porém, devido à complexidade do problema,

que envolve várias disciplinas, alguns simuladores acabam por fazer hipóteses

simplificadoras sobre a parte do problema que não é de interesse primário

Introdução 21

(Gutierrez & Lewis7). Assim, há um desenvolvimento contínuo de novas

tecnologias e modelos matemáticos a serem empregados no estudo de

simuladores de reservatórios de petróleo. Uma necessidade que se verifica na

representação do reservatório é a consideração da interação entre o

escoamento multifásico e o comportamento tensão/deformação no meio poroso.

Isso porque várias práticas de produção e processos a elas relacionados são

altamente dependentes do fato de a formação produtora responder

dinamicamente às mudanças nas tensões aplicadas.

1.1 Motivação para o Estudo

As acumulações de óleo e gás ocorrem em formações geológicas

subterrâneas denominadas reservatórios. De uma forma bastante resumida,

esse acúmulo é resultado de um processo de decomposição de matéria orgânica

depositada há milhões de anos em um sistema de rochas sedimentares. Ao

sofrer decomposição em condições de altas temperaturas e pressões, o produto

é um óleo com densidade menor que a da água, o que faz com que percole em

direção à superfície. Porém, essa substância pode ir ao encontro de uma rocha

selante que impedirá sua passagem, formando, então, uma jazida de petróleo.

Caso seu caminho de percolação não seja bloqueado, o petróleo chega a exudar

na superfície.

A rocha-reservatório, onde está confinado o petróleo, é composta por duas

partes: a matriz rochosa, formada pelos grãos e cimento, e os poros,

preenchidos por fluidos, conforme indicado na figura 1.1. Esse fluido pode estar

na fase gasosa, líquida ou uma combinação de ambas. A fase do fluido contido

no reservatório normalmente varia com a pressão, uma vez que a temperatura

permanece aproximadamente constante, ao considerar escoamento horizontal

dentro da formação.

Introdução 22

Representação esquemática da rocha-reservatório (de Charlez8). Fig.1.1.

A produção inicial de hidrocarbonetos do reservatório normalmente se dá a

partir de sua energia natural. Durante a produção primária, como é denominada,

óleo e gás são deslocados aos poços de produção através de cinco principais

mecanismos: (i) expansão de rocha, óleo e água conata com conseqüente

redução do volume poroso durante o processo de depleção, resultando no

deslocamento do óleo; (ii) gás em solução, em que o gás é liberado de solução,

se expande, e desloca o óleo para os poços produtores; (iii) capa de gás, em

que a queda de pressão acarretada pela produção leva à expansão do gás da

capa, deslocando o óleo; (iv) deslocamento do fluido causado pelo influxo de

água a partir de um aqüífero de fundo ou lateral; e (v) segregação gravitacional,

em que o gás, óleo e água tendem a voltar a ocupar uma distribuição baseada

em suas densidades. É possível que mais de um mecanismo seja responsável

pela produção de óleo do reservatório (Craft & Hawkins²). Um outro possível

mecanismo de produção combinado é relativo à geomecânica, em que as

tensões in situ podem provocar a compactação da rocha-reservatório e,

conseqüentemente, aumentar o volume de óleo produzido.

Com a produção de fluido a partir do reservatório, há uma redução da

pressão de poros inicial do meio poroso de interesse. De acordo com o princípio

das tensões efetivas de Terzaghi, decorrente dessa diminuição de poropressão,

há um aumento das tensões efetivas, que pode ser descrito através de:

p−=σσ ' (1.1)

onde 'σ é a tensão efetiva, referente à matriz rochosa, σ é a tensão total e p

é a pressão de poros, relacionada ao fluido aí contido. Com o aumento das

tensões efetivas, há uma diminuição do espaço poroso e, no caso de o fluido

ficar retido, haverá um aumento da poropressão. Este fenômeno acaba por

Introdução 23

preservar a energia natural do reservatório, o que é favorável para sua vida

produtiva. Por outro lado, se o excesso de poropressão for dissipado, ocorrerão

deformações no sentido de compactação do reservatório.

Dessa forma, a compactação é a resposta geomecânica da formação para

a redução da poropressão. De acordo com Charlez9, é definida como a redução

da espessura do reservatório durante a produção. Fisicamente, o processo de

compactação pode ser descrito da seguinte forma: o peso das camadas

sobrejacentes ao reservatório é suportada parcialmente pela matriz rochosa e

pelo fluido pressurizado situado nos poros da rocha. Quando a pressão do fluido

é reduzida devido à produção de óleo/gás, parte do carregamento é transferido à

matriz rochosa, resultando na compactação da formação. Essa compactação da

subsuperfície, dependendo das características das camadas sobrejacentes,

pode vir a produzir subsidência da superfície com deslocamentos siginificativos

tanto na direção vertical quanto horizontal. Esses deslocamentos são

direcionados para o centro da bacia de subsidência (figura 1.2), resultando em

um aumento (no sentido de compressão) das tensões horizontais no centro da

bacia e uma redução na parte externa, a qual pode chegar a exercer tração. A

amplitude desse deslocamento pode alcançar a ordem de metros.

Ilustração de compactação/subsidência (de Charlez9). Fig.1.2.

Assim, a compactação e subsidência podem trazer efeitos indesejados,

como danos ao revestimento e equipamentos do poço, afundamento de

plataformas, além de risco de alagamento ao longo da costa. Além destas, outra

possível consequência associada à influência das tensões in situ em

Introdução 24

reservatórios de petróleo é o aumento da produtividade decorrente da redução

do volume de poros (compaction drive mechanism). Por outro lado, essa redução

pode ser responsável também pela diminuição da permeabilidade, prejudicando

a produção. Diversos casos relatados na literatura exemplificam os efeitos

associados a esses processos.

No Campo de Valhall, no mar do Norte, o mecanismo de compaction drive

teve participação importante na produção de hidrocarbonetos, podendo ter sido

responsável por, aproximadamente, 25% da recuperação total (York et al.10). Por

outro lado, no campo de Ekofisk, a 200 km da costa da Noruega, estima-se um

gasto extra na ordem de US$ 2,6 bilhões de dólares na prevenção/reparação de

danos causados pela subsidência, através da construção de diques de

contenção ao redor dos tanques de armazenamento e elevação de

equipamentos de superfície, inclusive plataformas (Santarelli11).

Em Bolivar Coast, na Venezuela, verificou-se uma subsidência acumulada

de mais de 4 metros. Como consequência, algumas áreas foram inundadas e a

vegetação ficou permanentemente submersa, além da ocorrência de fraturas nas

tubulações. Por outro lado, a redução do volume de poros beneficiou a produção

de óleo na região afetada (Charlez9).

Outro ponto a ser analisado com relação às tensões in situ é observado

em reservatórios não consolidados situados em camadas menos profundas. Um

caso deste tipo foi observado na Venezuela, no Orinoco Belt, em que um poço

horizontal foi perfurado através de uma formação cujo material é uma areia não

consolidada. O poço colapsou parcialmente após sua perfuração. Como

conseqüência, só foi possível completar metade do comprimento planejado. O

fato de o poço ter sido perfurado ao longo da direção da tensão horizontal

máxima agravou o problema. No mesmo reservatório não consolidado, um

segundo poço horizontal apresentou problemas de produção de areia. Estando

situado em uma camada superior do reservatório, em relação ao primeiro poço,

composta por grãos finos e por uma composição de argila da ordem de 8-9%, foi

completado sem problemas. Porém, verificou-se o entupimento do poço

decorrente da produção de areia imediatamente após o início da sua operação

(Rodriguez et al.12, 13).

Introdução 25

1.2 Objetivos

O objetivo deste trabalho é analisar a influência das tensões in situ em

reservatórios de petróleo com base na comparação entre os campos de pressão

de poros obtidos a partir da modelagem de um mesmo caso em dois

simuladores geomecânicos. Para isso, serão utilizados os simuladores FPORO,

desenvolvido pelo Grupo de Tecnologia e Engenharia de Petróleo (GTEP) da

PUC-Rio, e o térmico-composicional STARS, da Computer Modelling Group

(CMG).

Será feita, também, uma comparação entre as duas formas de

consideração da geomecânica oferecidas pelo simulador comercial STARS – a

primeira aproximada e a outra acoplada. Serão apresentadas as diferenças

obtidas para o campo de pressão de poros e produção acumulada de óleo. Esse

objetivo será cumprido através de 108 simulações, as quais consideram a

combinação de alguns cenários envolvendo diferentes profundidades,

espessuras e tipo de material que forma a rocha-reservatório.

Com base nas simulações acima descritas, um outro objetivo é analisar os

efeitos de diferentes taxas de injeção e graus de consolidação do meio poroso

de interesse no comportamento do reservatório.

Por fim, um segundo conjunto de simulações será feito para modelar um

sistema depletivo através de um outro simulador comercial, também

desenvolvido pela CMG – o IMEX. Seu objetivo é avaliar de forma ponderada a

parcela de cada mecanismo de produção na performance do reservatório. Para

isso, será feito um balanço de materiais para três diferentes tipos de

reservatórios subsaturados: óleo vólatil, óleo pesado e um óleo intermediário,

denominado Black-Oil na indústria do petróleo. Os resultados serão

apresentados de forma comparativa para mostrar o mecanismo preponderante

em cada tipo de reservatório.

Introdução 26

1.3 Escopo

No capítulo dois é apresentada a equação de balanço de materiais, que

tem grande importância no entendimento dos mecanismos envolvidos na

produção de fluidos a partir do reservatório. Sua importância, porém, é muito

maior ao saber que era utilizada para previsão do comportamento do

reservatório antes do advento dos simuladores. Este capítulo descreve também

a forma aproximada com que a geomecânica é considerada nos simuladores

convencionais. Uma outra maneira de se considerar a geomecânica ainda mais

rigorosa é através de um modelo acoplado. As formas de acoplamento

geomecânico também são discutidas.

O capítulo três apresenta a formulação referente a escoamento de um

fluido monofásico compressível e outro pouco-compressível, conforme utilizada

no IMEX, sendo estendida para escoamento multifásico. Descreve também as

formulações utilizadas no STARS e FPORO. Por fim, neste capítulo é feita uma

comparação entre os módulos geomecânicos do STARS e do FPORO.

O capítulo quatro consiste na descrição da comparação dos simuladores

FPORO e STARS com base nos resultados apresentados em Pastor14. É

descrito o modelo bidimensional utilizado na comparação e os resultados obtidos

para o campo de pressão de poros. A comparação considera dois tipos de rocha

sobrejacente, que geraram diferentes resultados a partir de simulações feitas em

trabalho anterior no FPORO (Pastor14). Nessa comparação são avaliadas as

duas opções de consideração da geomecânica oferecidas pelo STARS.

A fim de comparar as duas formas de tratamento da geomecânica

oferecidas pelo simulador comercial STARS (com e sem o módulo acoplado), o

capítulo cinco descreve as simulações realizadas e os resultados obtidos.

Descreve, também, as demais comparações decorrentes dessas simulações, em

que são analisados os efeitos de diferentes taxas de injeção e graus de

consolidação da rocha-reservatório no comportamento do reservatório. As

simulações utilizando o IMEX, a fim de avaliar os mecanismos de produção

Introdução 27

primária em três diferentes tipos de reservatório, são descritas. São

apresentados os resultados do balanço de materiais.

Por fim, no capítulo seis são apresentadas as conclusões deste trabalho e

as sugestões para trabalhos futuros em continuidade ao estudo dos efeitos da

geomecânica em reservatórios de petróleo.

2 Geomecânica Aplicada à Engenharia de Reservatórios

O advento dos computadores e de sofisticados modelos matemáticos

possibilitaram o desenvolvimento dos simuladores de reservatórios. O primeiro

programa elaborado com o intuito de prever o comportamento do reservatório ao

longo de sua vida produtiva data do início da década de 50 (Watts5). Antes disso,

porém, o engenheiro de reservatório fazia uso da equação de balanço de

materiais para acompanhar os mecanismos responsáveis pela produção do

reservatório de petróleo. Essa equação foi primeiro desenvolvida por Schilthuis

em 1936, e a derivação descrita a seguir no item 2.1 é baseada na forma

apresentada em Craft & Hawkins2. A equação de balanço de materiais é a base

dos simuladores de escoamento. Portanto, seu total entendimento é importante

na prática da engenharia de reservatórios.

Devido às limitações computacionais e de formulações matemáticas, os

primeiros simuladores de reservatório eram restritos à modelagem de

escoamento monofásico unidimensional. Com o desenvolvimento tecnológico,

passaram a ser mais elaborados, sendo capazes de modelar escoamento

multifásico em sistemas com geometrias mais complexas (Watts5). Porém, o

comportamento do reservatório envolve, além do comportamento do fluxo,

parâmetros geomecânicos, como as tensões in situ e as deformações da rocha.

Devido à complexidade do tratamento da geomecânica e do escoamento

multifásico como processos acoplados, conforme explicam Gutierrez & Lewis7, a

geomecânica, se não totalmente negligenciada, é ainda tratada como um

aspecto a parte do escoamento multifásico. Ao tratar os dois assuntos

separadamente, a tendência de cada um é simplificar e fazer aproximações com

relação ao outro. É o que acontece nos simuladores de reservatório tradicionais,

Geomecânica aplicada à engenharia de reservatórios 29

como o IMEX e o STARS sem o módulo geomecânico, em que a consideração

da geomecânica é feita de forma aproximada através de um único parâmetro

geomecânico, a compressibilidade da rocha, como descrito no item 2.2.

Nos últimos anos, tem-se verificado maiores desenvolvimentos

tecnológicos e com isso a possibilidade de incorporar os efeitos geomecânicos

nos simuladores de reservatório. Essa consideração é feita através do

acoplamento hidromecânico. Nos softwares comerciais, o módulo geomecânico,

desenvolvido em elementos finitos, é acoplado ao simulador de escoamento, em

diferenças finitas, de forma explícita, como o STARS. Uma outra maneira de se

considerar a geomecânica ainda mais rigorosa é através de um modelo

totalmente acoplado, em que as equações de escoamento e equilíbrio são

resolvidos em um mesmo código de elementos finitos, como o FPORO. As

formas de acoplamento geomecânico são discutidas no item 2.3

2.1 A Equação de Balanço de Materiais

Quando um reservatório de hidrocarbonetos entra em produção, a retirada

de óleo e gás reduz a pressão do meio poroso levando à expansão das

substâncias remanescentes, que ocupam todo o espaço poroso. Quando o

reservatório de óleo apresenta um contato com um aquífero adjacente, a água

invade a zona de interesse de acordo com a queda de pressão devida à

produção, como mostra a figura 2.1. Esse volume de água diminui o espaço que

seria ocupado pela expansão de óleo e gás remanescentes, retardando o

declínio da pressão do reservatório. Conforme descrito por Craft & Hawkins2, o

grau de expansão de óleo e gás remanescentes no reservatório depende apenas

da pressão, uma vez que a temperatura durante a depleção é praticamente

constante. Assim, é possível prever o comportamento dos fluidos do reservatório

com o declínio da pressão, o que pode ser feito a partir de amostras

pressurizadas dos fluidos retiradas do fundo do poço, e fazendo medição de


seus volumes relativos em laboratório, mantendo a temperatura do reservatório e

variando a pressão.

Fig.2.1. Seção transversal de um reservatório com capa de gás e aquífero (de Craft &

Hawkins²).

A equação de balanço de materiais nada mais é que um simples balanço

de massa, ou um balanço volumétrico nas condições padrão. Isso significa que

uma vez que a massa do reservatório é constante (definido a partir de seus

limites iniciais), a soma algébrica da variação volumétrica de óleo, gás em

solução e rocha no reservatório deve ser nula. É importante ressaltar que a

dedução que se segue considera um modelo de reservatório com capa de gás e

alimentado por um aquífero adjacente. Ainda de acordo com Craft & Hawkins²,

ao considerar que o equilíbrio completo entre o óleo e o gás em solução no

reservatório é sempre respeitado, é possível escrever uma expressão de

balanço de material geral relacionando as quantidades de óleo e gás, a pressão

média do reservatório e a quantidade inicial de óleo contida no reservatório. Ao

fazer esses cálculos, os seguintes dados de produção, reservatório e laboratório

são considerados:

a) Pressões inicial e média do reservatório em intervalos de produção

sucessivos;


b) As quantidades de óleo e gás produzidas em condições padrão, ou seja,

medidos a 101,35 kPa (ou 14,7 psia) e 15,5°C (ou 60°F), em qualquer

intervalo de produção;

c) A razão entre os volumes iniciais da capa de gás e de óleo, dada por:

m = Volume inicial de gás livre no reservatório Volume inicial de óleo no reservatório

Se o valor dessa razão for determinada com uma precisão razoável, a

única incógnita no balanço de materiais é o volume inicial de óleo no caso

de reservatórios com capa de gás. O valor de m é determinado a partir de

dados de perfilagem e de testemunhos, podendo ser obtido também a

partir de dados de completação de poços. Este último também colabora na

localização dos contatos gás-óleo e óleo-água;

d) Os fatores volume formação1 do óleo e do gás dissolvido, assim como a

razão de solubilidade gás-óleo2. Esses valores são definidos como função

da pressão, e obtidos através de medições laboratoriais em amostras

recolhidas do fundo do poço, através dos métodos de liberação diferencial

e de equilíbrio (flash);

e) Quantidades de água produzida e que invade o reservatório.

Visando um melhor entendimento, a dedução é dividida em variações nos

volumes de óleo, gás, água e rocha que ocorrem entre o início da produção e um

tempo qualquer. A variação no volume de rocha é expressa como variação do

volume poroso, porém com sinal negativo. Os seguintes termos são utilizados no

desenvolvimento da equação de balanço de material, descrita segundo Craft &

Hawkins²:

t

1 Fator volume formação B é a razão entre o volume ocupado por uma dada massa de fluido em condições de pressão e temperatura do reservatório, e o volume ocupado pelo mesmo componente em condições padrão. Esse conceito é descrito de forma mais detalhada no item 3.1.2 desta dissertação. 2 Razão de solubilidade gás-óleo é a relação entre o volume de gás dissolvido no óleo e o volume de óleo a uma dada pressão e temperatura; ambos são medidos em condições padrão.


N Volume de óleo inicial no reservatório, STC3

oiB Fator volume formação de óleo inicial

pN Produção de óleo acumulada, STC

oB Fator volume formação de óleo

giG Volume de gás inicial no reservatório, STC

giB Fator volume formação de gás inicial

gG Volume de gás livre no reservatório, STC

soiR Razão de solubilidade gás-óleo inicial

pR Razão de solubilidade gás-óleo de produção acumulada

soR Razão de solubilidade gás-óleo

gB Fator volume formação do gás

W Volume de água inicial no reservatório, RC4

pW Produção de água acumulada, STC

wB Fator volume formação da água

eW Influxo de água no reservatório, RC

wc Compressibilidade isotérmica da água

p∆ Variação da pressão média do reservatório

wiS Saturação inicial de água

pV Volume poroso inicial, RC

fc Compressibilidade isotérmica da formação

Variação no volume de óleo:

Volume inicial de óleo no reservatório:

oiNB (2.1)

Volume de óleo no tempo e pressão t p :

3 STC indica a medição do volume em condições padrão. 4 RC indica a medição do volume nas condições de pressão e temperatura do reservatório.


( ) op BNN − (2.2)

Variação no volume de óleo:

( ) opoi BNNNB −− (2.3)

Variação no volume de gás:

Razão entre volumes iniciais de gás livre e de óleo:

oi

gigi

NBBG

m = (2.4)

Volume inicial de gás livre, em condições de reservatório:

oigigi NmBBG = (2.5)

Volume inicial de gás dissolvido, em condições padrão:

soiNR (2.6)

Volume de gás produzido, em condições padrão:

pp RN (2.7)

Volume de gás remanescente em solução no tempo e pressão t p :

( ) sop RNN − (2.8)

Volume de gás livre no tempo = volume inicial de gás (incluindo livre e

dissolvido) – volume de gás produzido – volume de gás remanescente em

solução (STC):

t

[ ] ( )[ ]sopppsoigi

oig RNNRNNR

BNmBG −−−

+= (2.9)


Volume de gás livre no reservatório no tempo t :

( ) gsopppsoigi

oig BRNNRNNR

BNmB

G

−−−+= (2.10)

Na expressão acima, o primeiro e segundo termos consideram os volumes

iniciais de gás livre e dissolvido no reservatório, subtraindo o gás dissolvido

produzido junto com o óleo e o gás dissolvido remanescente no rerservatório.

Com isso, obtém-se o volume de gás livre remanescente no reservatório no

tempo . t

Variação no volume de gás livre (RC): A partir da diferença entre os

volumes de gás livre no reservatório inicial e no tempo : t

( ) gsopppsoigi

oioi BRNNRNNR

BNmBNmB

−−−+− (2.11)

Variação no volume de gás dissolvido (RC), devido a sua produção em

conjunto com a do óleo.

( )[ ] gsopppsoi BRNNRNNR −−− (2.12)

Variação no volume de água:

Volume de água inicial no reservatório: W

Produção de água acumulada no tempo t : W p

Produção de água acumulada em condições de reservatório: pwWB

Volume de água que invadiu o reservatório no tempo t : W e

Parcela da variação no volume de água referente à sua compressibilidade:

pWcw∆ (2.13)

Variação no volume de água:


( ) pWcWBWpWcWBWWW wpwewpwe ∆−+−=∆+−+− (2.14)

Variação no volume poroso:

Variação no volume poroso devido à expansão da formação, resultante da

diminuição da pressão de poros:

pcV fp ∆− (2.15)

Esquematicamente, o balanço de materiais pode ser representado da

seguinte forma (Pirson15):

(N - Np)Bo

We - Wp

pi p

NmBoi (Bg/Bgi)NmBoi

NBoi

Gás em excesso

(a) (b)

Fig.2.2. Representação esquemática das condições existentes no reservatório: (a) à

pressão inicial e (b) a uma pressão p após uma produção de . pN

De acordo com a figura 2.2 (a), no tempo inicial o reservatório é composto

por uma capa de gás e óleo, o qual inclui gás em solução. Após a produção de

um determinado volume de óleo, o reservatório se encontra na forma indicada na

figura 2.2 (b), à uma pressão p inferior à inicial. Nessa situação, o volume de

água existente no reservatório é resultado do influxo de água a partir de um

aquífero adjacente, menos o volume de água produzida. O volume de óleo é o

inicial menos o produzido. Com a queda de pressão, parte do gás sai de

solução, criando uma camada de gás em excesso. Por fim, o volume de gás livre

é dado pelo seu volume inicial multiplicado pelo fator volume formação do gás,

de forma a retratar a expansão decorrente da queda de pressão.

Combinando as variações nos volumes de água e rocha em um mesmo

termo, obtém-se:


pcVpWcWBW fpwpwe ∆−∆−+− (2.16)

Sabendo que o volume de água inicial no reservatório pode ser definido

através de W , e que, por sua vez, o volume poroso inicial pode ser

definido como

wip SV=

wi

oioi

SNmB

−+

1pNB=V , e substituindo no termo (2.16) acima:

( ) pcScSNmBNB

WBW fwiwwi

oioipwe ∆+

−+

−+−1

(2.17)

ou, rearranjando os termos:

( ) pS

cScNBmWBW

wi

fwiwoipwe ∆

−

++−+−

11 (2.18)

A equação de balanço de materiais considera as variações de volume de

óleo e gás como sendo iguais às variações de volume de rocha e água. Assim, o

balanço de volumes é dado por:

( ) pS

cScNBmWBWRBNRNB

BRNBNRB

BNmBNmBBNNBNB

wi

fwiwoipwesogpsog

gppgsoigi

goioiopooi

∆

−

+++−=−

++−

−++−

11

(2.19)

Adicionando e subtraindo o termo no lado esquerdo da equação

acima e agrupando os termos:

soigp RBN

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) pS

cScNBmWBW

BBNmB

NBRR

BRRBNBRRBNNmBNB

wi

fwiwoipwe

gi

goipgsoip

gsosoiopgsosoiooioi

∆

−

+++−=

−−

+−++−+−+

11

(2.20)

Essa é a equação de balanço de materiais. Sua dedução pode ser

encontrada em várias outras referências bibliográficas, como Pirson15, Ahmed16

e Timmerman4. Para uma melhor adequação para as discussões que se


seguem, ela pode ser rearranjada da seguinte forma, conforme proposto em

Craft & Hawkins²:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] pwgsopopewi

fwiwoi

gi

goigsosoioio

WBBRRBNWpS

cScBmN

BB

BNmBRRBBN

+−+=+∆

−

++

+

−+−+−

11

1

(2.21)

Os termos do lado esquerdo da equação acima se referem aos diferentes

mecanismos de produção - o primeiro termo é referente à expansão de óleo e

gás dissolvido, o segundo se refere à expansão da capa de gás e o terceiro leva

em consideração a alteração do volume poroso, isto é, expansão de rocha e

água, respectivamente, e o quarto quantifica o volume de água proveniente do

influxo do aquífero adjacente ao reservatório. Já os termos do lado direito

representam a produção de hidrocarbonetos e água.

2.1.1 Utilizações e Limitações do Método de Balanço de Materiais

A equação de balanço de materiais, na forma acima apresentada, tem

como principais finalidades a determinação do volume inicial de hidrocarbonetos

in situ, o cálculo do volume de água de influxo e a previsão das pressões do

reservatório. A fim de prever o efeito da taxa de produção/injeção (de gás ou

água) na pressão do reservatório é preciso conhecer previamente o volume de

óleo inicial e a razão , o qual é obtido a partir de dados de perfilagem e

testemunho. Apesar de o influxo de água ser normalmente indicado através de

evidências geológicas, o balanço de materiais pode ser utilizado com essa

finalidade ao acompanhar o comportamento dos volume iniciais de óleo e gás no

reservatório calculados para períodos sucessivos de produção, sem considerar

qualquer atuação de aqüífero adjacente. No caso desses valores variarem

continuamente, indicando o déficit de massa, é confirmada a existência do

influxo de água no reservatório. A precisão dos valores calculados depende da

acuracidade dos dados disponíveis utilizados na equação.

m


Uma possível fonte de erro é a hipótese de que os dados de pressão –

volume – temperatura (PVT) utilizados no balanço de materiais são obtidos

utilizando processos de liberação de gás que procuram reproduzir o que ocorre

no reservatório (mais precisamente no poço) e nos separadores na superfície.

Porém, nem sempre se pode garantir a representatividade desses dados, o que

pode produzir resultados errôneos no balanço de materiais.

Outra fonte de erro é introduzida na determinação da pressão média do

reservatório ao final de um determinado intervalo de produção. Os erros podem

ser tanto instrumentais, devido à dificuldade de obtenção de pressões reais,

quanto decorrentes de uma ponderação não correta das pressões dos poços, no

caso de um campo com vários poços. O erro relacionado à determinação da

pressão é mais importante em casos de reservatórios depletivos subsaturados,

já que naqueles com capa de gás e influxo de água o declínio é retardado.

Enquanto a produção de óleo acumulada é conhecida com certa precisão,

a produção de gás e água correspondentes é normalmente bem menos precisa,

o que introduz ainda mais erros na equação. Essa verificação pode ser

exemplificada através do caso em que as produções de gás e água não são

mensurados diretamente, mas inferidas a partir de testes periódicos para

determinação de razões gás-óleo e percentual de água do volume líquido

produzido dos poços individualmente. Quando dois ou mais poços completados

em diferentes reservatórios estão produzindo para uma estocagem comum, só é

conhecida a produção do conjunto, a não ser que haja ferramentas específicas

de medição individual em cada poço.

2.1.2 O Método de Havlena e Odeh de Aplicação da Equação de Balanço de Materiais

Segundo Craft & Hawkins², em 1963 Havlena e Odeh publicaram um

trabalho em que propuseram uma forma de linearização da equação de balanço

de materiais. Esse método utiliza todos os pares de dados (pressão e produção


correspondente), com a condição de que estes devem levar à soluções lineares

da equação de balanço de materiais para obtenção das variáveis independentes.

Para o método de linearização deve-se reescrever a eq. (2.21) de balanço

de materiais da seguinte forma:

( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) p

ScSc

BmBB

BmBRRBB

WBWBRRBNN

wi

fwiwoi

gi

goigsosoioio

pwegsopop

∆

−

+++

−+−+−

+−−+=

111

(2.22)

Havlena e Odeh definiram os seguintes termos, conforme apresentado

em Craft & Hawkins²:

( )[ ] pwgsopop WBBRRBNF +−+= (2.23)

( ) ( )[ ]gsosoioioo BRRBBE −+−= (2.24)

−= 1

gi

goig B

BBE (2.25)

( ) pS

cScBmE

wi

fwiwoiwf ∆

−

++=

11, (2.26)

Subdividindo a expressão (2.26), tem-se:

( ) pS

cBmE

wi

foif ∆

−

+=1

1 (2.27)

( ) pSScBmE

wi

wiwoiw ∆

−

+=1

1 (2.28)

de forma que a equação de balanço de materiais pode ser reescrita da seguinte

forma:


( ) ewfgo WEEmEENF ++++= (2.29)

Nesta equação, o termo representa a produção total de óleo do

reservatório; , , e representam a expansão do óleo, do gás, da

formação e da água, respectivamente. Para qualquer tipo de reservatório essa

equação pode ser escrita na forma de uma reta. Uma vez obtida essa relação

linear, o gráfico resultante pode ser utilizado para estimar a produção futura. Por

exemplo, no caso de um reservatório sem capa de gás, sem influxo de água, e

negligenciando as compressibilidades da formação e da água (com base na

tabela 2.1), a eq. (2.29) assume a seguinte forma:

F

oE gE fE wE

oNEF = (2.30)

Verifica-se, assim, a linearização da equação de materiais, já que a

equação acima representa uma reta com inclinação , onde os eixos N x e

são os termos e , respectivamente, interceptados na origem.

y

F oE

Da eq. (2.29), ao analisar um caso em que não há influxo de água, e

rearranjando os termos, obtém-se:

wfgo EEmEEFN

+++= (2.31)

Efetuando uma multiplicação cruzada:

( )1=

+++F

EEmEEN wfgo (2.32)

Com base nessa equação, Pirson15 desenvolveu uma formulação que

define os índices de cada mecanismo de produção relacionado à pressão, da

seguinte forma:

Índice de expansão do óleo:


FNEI o

o = (2.33)

Índice de expansão do gás:

FNmE

I gg = (2.34)

Índice de expansão da formação:

FNE

I ff = (2.35)

Índice de expansão da água:

FNEI w

w = (2.36)

Cada um desses termos representa um mecanismo de produção

responsável por parte da produção total de óleo do campo. Ao somá-los devem

totalizar a unidade, ou seja:

1=+++ wfgo IIII (2.37)

Na eq. (2.37) acima, o termo relativo ao potencial da formação retrata a

influência da geomecânica, quando considerada de forma aproximada através

da compressibilidade da rocha, na produção de óleo do reservatório.


2.2 Consideração da Geomecânica nos Simuladores de Escoamento Tradicionais

A produção de fluidos de um reservatório de petróleo leva à diminuição da

pressão de poros, a qual contribui para o suporte das tensões que atuam na

rocha. A parcela adicional de tensão efetiva, decorrente da diminuição de

poropressão, é transferida para a matriz rochosa quando o aumento de tensão

excede a resistência do poro saturado com fluido. De acordo com Poston &

Berg17, a rigidez da matriz rochosa define o tipo de deformação inelástica que

pode ocorrer. Em rochas não consolidadas ou friáveis pode ocorrer

escorregamento e combinação dos grãos de rocha, reduzindo o volume poroso

ou acarretando a formação de microfissuras em matrizes rochosas cimentadas,

resultando em um sistema fragmentado. Em qualquer um dos casos, o efeito da

compressão inelástica do material do reservatório se dá no sentido de aumentar

a rigidez da matriz rochosa. A deformação pára quando uma condição de

equilíbrio for estabelicida no sistema. No caso de o diferencial de pressão

aplicada ser relaxada, o material comprimido não apresentaria condições de

retornar à sua configuração original uma vez que a estrutura interna sofre

alterações durante o processo de compactação. A essa não habilidade da rocha

de retornar ao seu volume original após o ciclo de compressão/descompressão é

chamada efeito de histerese. A deformação da rocha reservatório está

relacionada com a variação ou na compressibilidade total, ou do grão da rocha

ou do volume poroso. As definições dessas compressibilidades são

apresentadas em Poston & Berg17 e aqui descritas:

Compressibilidade do grão da rocha ( ): sc

É uma propriedade elástica definida como a variação volumétrica de um

volume unitário de material rochoso sólido, quando submetido à variação da

tensão confinante. Um valor padrão para esse parâmetro é de no mínimo 1/20

do valor da compressibilidade da formação, descrita a seguir. Assim, a influência

da compressibilidade do grão da rocha no desempenho do reservatório é

considerada mínima.


Compressibilidade total ( c ): t

É a variação de um volume unitário total da rocha quando submetida à

variação diferencial de pressão. É dada pela razão entre a compressibilidade do

poro e a porosidade. O estudo de subsidência considera a aplicação desta

compressibilidade total.

Compressibilidade da formação ( ): fc

É, na verdade, a compressibilidade do volume poroso. É a variação do

volume poroso unitário para uma dada variação da pressão.

Compressibilidade efetiva da rocha ( ): effc

Leva em consideração os efeitos combinados de expansão volumétrica da

água conata e a compressão do volume poroso decorrentes da perda de

pressão durante o processo depletivo de um reservatório sobrepressurizado. O

resultado desses dois fatores tem como conseqüência a redução do volume

poroso dos hidrocarbonetos. É expressa por:

wi

fwieff S

cSc

−+

=1

(2.38)

De uma forma resumida, essa expressão é uma medida do efeito de

variação da pressão no volume poroso dos hidrocarbonetos. Esse termo é

particularmente importante no estudo de reservatórios de gás

sobrepressurizados em que a pressão de poro inicial é elevada, normalmente

sujeito a uma queda de pressão acentuada durante a depleção.

Esses conceitos são melhor entendidos através da ilustração da figura 2.3,

apresentada por Smith et al.18, assim como a descrição que se segue:

V r

φ V b = 1

Fig.2.3. Representação esquemática de um volume unitário de rocha.


A figura 2.3 representa um volume de rocha unitário, composto pela matriz

rochosa e o poro. Para essa situação qualquer redução na poropressão resulta

na expansão da rocha no sentido de redução do volume poroso. A pressão

inicial é pi, enquanto o volume da matriz rochosa é Vr. Assim, a porosidade é

dada por:

rV−=1φ (2.39)

Considere, agora, que parte do fluido contido no espaço poroso é retirado,

deixando uma pressão p tal que p<pi. A equação geral da compressibilidade

isotérmica é:

TpV

Vc

∂∂−= 1

(2.40)

O sinal negativo é incluso na definição porque o comportamento normal de

uma substância é aumentar de volume ao diminuir a pressão. Assim, o termo

pV ∂∂ é normalmente uma quantidade negativa. O sinal negativo permite que a

compressibilidade seja um número positivo.

Aplicando a equação da compressibilidade para a matriz rochosa, obtém-

se:

T

r

rr p

VV

c∂∂−= 1

(2.41)

e para o volume poroso:

Tf p

c∂∂= φ

φ1

(2.42)

Nesse caso o sinal negativo foi omitido uma vez que a porosidade diminui

com a redução da poropressão. Substituindo a definição da porosidade, eq.

(2.39), no termo diferencial da equação acima, obtém-se:


pVc r

f ∂∂−=

φ1

(2.43)

Rearranjando a eq. (2.41) a fim de obter uma expressão para o termo

pVr ∂∂ , e substituindo na eq. (2.43):

φrr

fVcc = (2.44)

Através desta expressão a compressibilidade do volume poroso pode ser

calculada a partir da compressibilidade da matriz rochosa e da porosidade. Da

eq. (2.39), substituindo a expressão para V na eq. (2.44), obtém-se: r

−=φ

φ1rf cc (2.45)

De acordo com Smith et al.18, no desenvolvimento acima foi considerado

que o contorno da rocha não sofreu deslocamento. Como citado anteriormente,

quando há uma redução da pressão de poros uma parcela da rocha

sobrejacente é transferida para a matriz rochosa. Esse fenômeno causa

compactação do volume rochoso, acarretando uma redução do volume poroso, o

que pode ser encarado como uma expansão da matriz rochosa em direção ao

poro.

Apesar de as compressibilidades da água conata e da formação serem

consideradas pequenas quando comparadas com a compressibilidade dos

fluidos do reservatário, passam a ser significativas ao se tratar de um

reservatório subsaturado, ou seja, quando a pressão de poros é superior à

pressão de bolha. Nessas condições, essas compressibilidades não podem ser

negligenciadas, conforme descrevem Craft & Hawkins2. A tabela 2.1 apresenta

intervalos de valores típicos para esses parâmetros.


Tab. 2.1. Valores típicos de compressibilidade (de Craft & Hawkins²).

Rocha reservatório 3 – 10 x 10-6 psi-1

Água 2 – 4 x 10-6 psi-1

Óleo subsaturado 5 – 100 x 10-6 psi-1

Gás a 1000 psi 900 – 1300 x 10-6 psi-1

Gás a 5000 psi 50 – 200 x 10-6 psi-1

Segundo Poston & Berg17, informações de análise de testemunhos são

raramente disponibilizadas para estimar relações de compressibilidade em

função da pressão para a rocha reservatório. Por essa razão, há uma ampla

utilização de correlações publicadas quando se deseja determinar a

compressibilidade da formação do reservatório em estudo. A primeira correlação

considerada útil foi apresentada por Hall em 1953. Ele se baseou na análise de

12 amostras de calcáreo e arenito bem consolidados. Essa correlação indica que

a compressibilidade do volume poroso é inversamente relacionado à porosidade,

ou seja, quanto menor a porosidade, maior a compressibilidade. Isso se deve ao

fato de, em seus experimentos laboratoriais, Hall ter medido a porosidade na

condição de pressão inicial do reservatório, porém desconsiderando a tensão

efetiva proveniente das camadas sobrejacentes. Uma vez que essa correlação

foi determinada para rochas bem consolidadas, deve ser empregada com

cautela em reservatórios localizados em áreas geologicamente jovens, onde os

arenitos são menos consolidados. No caso de arenitos não consolidados e

formações altamente fraturadas essa correlação não deve ser aplicada.

Visando uma correlação que tivesse uma aplicação mais ampla, Newman19

apresentou um estudo com base em 256 amostras de arenitos e calcáreos,

representando 40 reservatórios. Além de arenitos e calcáreos consolidados,

foram apresentados resultados para arenitos friáveis e não consolidados.

Qualitativamente, essas amostras podem ser classificadas de acordo com as

definições a seguir:

Amostras consolidadas: São ditas duras, a ponto de não ser possível

quebrar suas extremidades manualmente;

Amostras friáveis: É possível cortá-las em cilindros, porém suas

extremidades podem ser quebradas com as mãos;


Amostras não consolidadas: Quebram apenas pela ação de seu peso

próprio, a não ser quando submetidas a algum tratamento especial, como

congelamento.

Os resultados obtidos por Newman19 são apresentados na figura 2.4, onde é

feita uma comparação com a curva de Hall. Poston & Berg17 chamam a atenção

para o fato de, no caso de arenitos não consolidados e friáveis, as correlações

não serem realistas, apesar das curvas apresentadas na figura 2.4. Os trechos

verticais das curvas ilustram um altíssimo grau de variação dos valores

encontrados para compressibilidade da formação para uma mesma rocha

reservatório. A figura 2.5 ilustra a grande dispersão de resultados encontrados

para o caso de arenitos friáveis. Por essa razão, na prática, em muitos casos a

compressibilidade do volume poroso da rocha é um parâmetro de ajuste , e não

uma propriedade da rocha em estudo.

Fig.2.4. Comparação entre as correlações de compressibilidade de Hall e Newman (de

Poston & Berg17).


Compressibilidade do volume poroso para arenitos friáveis (em Newman19). Fig.2.5.

Ao analisar o gráfico da figura 2.4, percebe-se uma diferença quanto ao

comportamento das curvas apresentadas: os arenitos não consolidados e

friáveis apresentam um comportamento oposto ao arenito consolidado e ao

calcáreo. Enquanto os primeiros apresentam uma compressibilidade crescente

com a porosidade, para os segundos quanto menor a porosidade, maior a

compressibilidade do volume poroso. Para uma melhor compreensão, pode ser

feita a correlação descrita a seguir.

Como a porosidade tende a diminuir com o aumento da pressão, a qual

normalmente é diretamente proporcional à profundidade, pode-se dizer que o

comportamento da curva porosidade versus compressibilidade do volume poroso

deve seguir a mesma forma da curva profundidade versus compressibilidade do

volume poroso. Assim, ao analisar a curva do arenito não consolidado na figura

2.4, percebe-se que a compressibilidade diminui com o aumento da

profundidade. Porém, o que se percebe no caso de arenito consolidado é o

inverso: quanto maior a profundidade, maior a compressibilidade. De acordo com

Newman19, para determinação dessas correlações, a porosidade foi medida em

amostras em que foram reproduzidas a mesma distribuição de poropressão em


que se encontrava no reservatório, porém com um estado de tensões atuantes

nulo. Outro fato relevante é exposto por Geertsma20 com relação à deformação

sofrida pelo material rochoso. Segundo ele, um material com alto grau de

cimentação (neste caso, arenitos consolidados e calcáreo) sofre deformações

elásticas, que é um processo reversível. Com o decréscimo desse grau de

cimentação (chegando a arenitos não consolidados e friáveis), o material passa

a sofrer deformações cataclásticas, que envolvem esmagamento das partículas

e outros constituintes do esqueleto sólido, caracterizando um comportamento

irreversível. Dessa forma, é como se os materiais consolidados sofressem pré-

adensamento durante o processo de deposição das camadas sedimentares, e

ao recompor o estado de poropressão a que estava submetido no reservatório,

apresenta uma maior compressibilidade quanto mais profundo se encontrava

sua posição inicial, já que sofreu deformações elásticas.

Os simuladores de escoamento em reservatório tradicionais geralmente

representam a variação da porosidade como função da pressão e temperatura,

de acordo com a formulação a seguir:

( ) ( )[ ]000 1 TTcppc Tf −−−+=φφ (2.46)

onde , 0p 0T e são os valores de referência. O coeficiente é a

compressibilidade da formação, definida como sendo função da pressão, e é

o coeficiente térmico da compressibilidade da rocha. Nos simuladores de

escoamento tradicionais, este é o único parâmetro que reflete o comportamento

mecânico da rocha-reservatório (Settari & Mourits

0φ fc

Tc

21). Porém, como citado

anteriormente, em muitos casos não é possível a medição deste parâmetro,

sendo necessário o uso de correlações, que nem sempre retratam a realidade.


2.3 Modelagem Geomecânica

A geomecânica é uma área interdisciplinar que envolve o estudo de

sistemas com ênfase na mecânica de vários fenômenos que interagem entre si.

Considera aspectos de numerosas disciplinas da engenharia, como civil,

mecânica, hidráulica, de materiais e geológica, com bases apropriadas na

matemática e física. Com isso, tem uma importante participação em

desenvolvimentos tecnológicos em uma vasta área de aplicação, entre os quais

se encontra a indústria do petróleo, mais especificamente a compactação e

subsidência induzidas pela produção (Zamam et al.22).

A figura 2.6 ilustra os parâmetros principais envolvidos no escoamento de

fluidos em meio poroso deformável, e como esses parâmetros teoricamente

interagem entre si. A pressão do fluido é a principal quantidade necessária para

prever o movimento do fluido e a produtividade de um reservatório. É

responsável, também, por parte do suporte das cargas transmitidas pelas rochas

adjacentes ao reservatório. Uma mudança na pressão do fluido altera o estado

de tensões efetivas, o que sugere duas formas de acoplamento do escoamento

de fluido com a deformação da rocha: acoplamento tensão–permeabilidade,

onde a deformação da rocha causa mudança da estrutura do poro, afetando a

permeabilidade e o escoamento; e acoplamento deformação–poropressão, em

que a deformação da rocha afeta a poropressão e vice-versa.

TENSÕES IN SITU

DEFORMAÇÃO DA ROCHA

PRESSÃO DE POROS

PERMEABILIDADE

Fig.2.6. Esquema de interação entre geomecânica e fluxo em um reservatório

deformável.


Várias formas de implementação dos efeitos geomecânicos na simulação

de reservatórios foram propostas. A principal diferença entre elas é o grau de

acoplamento entre o modelo geomecânico e o de escoamento.

De uma forma geral, o modelo geomecânico é embutido nos simuladores

comerciais de reservatórios de uma forma modular, a qual apresenta vários

graus de acoplamento. Esse é o caso do STARS, um simulador térmico ao qual

é acoplado um módulo que calcula a variação do volume de poro no reservatório

(Fung et al.23).

O sistema de acoplamento modular busca permitir que o código

convencional da análise de tensão possa ser usado em conjunto com um

simulador de reservatórios comercial. Para isso, tem como base a reformulação

da relação entre tensão e escoamento. Settari & Walters24, definem esse tipo de

abordagem como parcialmente acoplada já que as equações de tensão e

escoamento são resolvidas separadamente para cada incremento de tempo.

Porém, se as iterações forem feitas até a total convergência, esse método pode

resolver o problema tão rigorosamente quanto a solução totalmente acoplada

(simultânea). O acoplamento é feito através de um código de interface que

permite a comunicação entre os simuladores.

Settari e Walters24 classificam os graus de acoplamento conforme descrito

a seguir. Para um melhor entendimento, deve-se considerar a formulação geral

de um problema acoplado em elementos finitos. Após a discretização no espaço

e no tempo, o sistema pode ser escrito na forma matricial como:

=

∆∆

RF

PELLK

Tt

tδ (2.47)

onde K é a matriz de rigidez, δt∆

Pt∆

é o vetor dos incrementos de deslocamento

no tempo t , é a matriz de acoplamento para as incógnitas do escoamento, E

é a matriz de escoamento e o vetor dos incrementos das incógnitas do

reservatório (isto é, pressões, saturações e temperatura) no tempo t . Do lado

direito da equação, é o vetor das condições de força atuando no contorno e

L

FR representa o lado direito das equações de escoamento, ou seja, a parcela de


acumulação. indica a variação ocorrida ao longo de um intervalo de tempo,

isto é:

t∆

1

−1iT

nn

t δδδ −=∆ +1 , nnt PPP −=∆ +1 (2.48)

onde os subscritos n e indicam os intervalos de tempo atual e o próximo,

respectivamente.

1+n

Na notação de simuladores de reservatórios convencionais, a matriz de

escoamento é definida como a diferença entre a matriz de transmissibilidade e a

de acumulação, ou seja, . A matriz T é simétrica, dada por: mDTE −=

−

+−

+

NN

iii

TT

TTT

TT

21

2121

211

......

......

(2.49)

onde:

=

−

−

21

21

00

2i

i

n

w

TT

, ( )2121 +− +−= iii TTT (2.50)

Os subscritos e indicam as fases molhante e não-molhante,

respectivamente. A matriz é dada por:

w n

Dm

N

i

D

D

D

..

..

1

(2.51)


onde o i-ésimo bloco de é uma matriz 2 x 2: mD

=

ii

ii

dddd

i2221

1211D (2.52)

Esses termos de acumulação e transmissibilidade são discutidos com maiores

detalhes no capítulo 3.

De acordo com Settari & Walters24, a transmissibilidade é uma propriedade

do meio poroso, que define o fluido que escoa através do meio, a direção do

escoamento e sua posição no espaço, uma vez que é determinada para cada

bloco da malha. O vetor R é dado por , onde Q é o vetor das

condições de contorno na região próxima ao poço, definindo sua taxa de

produção/injeção.

nTPQR −=

2.3.1 Modelo de Duas Etapas

Os modelos de duas etapas podem ser descritos da seguinte forma: na

primeira etapa consideram apenas o modelo de escoamento, isto é, 0=∆ δt .

Assim, chega-se à hipótese assumida nos simuladores de reservatório

convencionais, uma situação de não variação das tensões, descrita pela

seguinte equação matricial:

[ ] ntm TPQPDT −=∆− (2.53)

Em alguns casos é possível considerar a pressão e/ou temperatura como

carregamentos externos, isto é, ∆ conhecido. Dessa forma, a segunda etapa

deste modelo considera a metade superior da eq. (2.47), que pode ser

desacoplada e reescrita como:

Pt

PLFK tt ∆−=∆ δ (2.54)


Na prática, essas simulações podem ser feitas de duas maneiras: (i)

através da utilização apenas do modelo de reservatórios, considerando o

reservatório indeformável em sua fronteira externa. A compressibilidade da rocha

é o único parâmetro geomecânico utilizado, de forma a permitir a deformação

interna do reservatório; (ii) utilizando a solução do reservatório para todo o

intervalo de tempo analisado, eq. (2.53), é possível computar o vetor das

incógnitas do reservatório e, a partir daí, calcular a solução de tensões

transientes através da eq. (2.54). Esse método tem como vantagens a utilização

de modelos convencionais e o fato de considerar duas histórias independentes,

sem qualquer acoplamento.

P

Ainda de acordo Settari & Walters24, uma vez que o modelo de reservatório

é normalmente desenvolvido no código de diferenças finitas, enquanto o modelo

de tensão em elementos finitos, o efeito do acoplamento através da matriz é

refletido no fato de a permeabilidade e a porosidade serem função da tensão.

TL

2.3.2 Acoplamento Explícito

De acordo com Settari & Walters24, o modelo explícito tem como base os

termos de acoplamento do passo de tempo anterior. Partindo da solução do

modelo de reservatórios e das variações de tensão conhecidas ao final do

intervalo de tempo anterior, ∆ , resolve-se a equação: ntδ

[ ] nt

Tnnt δ∆−−=∆− + LTPQPDT 1 (2.55)

Utilizando, então, a solução para o modelo de escoamento , a

solução da tensão é calculada a partir de:

1+∆ ntP

11 ++ ∆−=∆ n

tn

t PLFK δ (2.56)


Na eq. (2.55) a discretização dos termos de acumulação pode ser feita na

forma de conservação de massa. Os termos dependentes da tensão na matriz

podem ser tratados explícitamente em termos da tensão. T

O acoplamento explícito é um caso especial do sistema implícitamente

acoplado, sendo feita apenas uma iteração por passo de tempo.

2.3.3 Acoplamento Implícito

O método implícito consiste na repetição até a convergência das equações

de escoamento e tensão durante o intervalo de tempo, de acordo com:

[ ] ( ) (νν δLTPQPDT tTn

t ∆−−=∆− +1 ) (2.57a)

( ) ( )11 ++ ∆−=∆ ννδ PLFK tt , ,1=ν ... n intervalos de tempo (2.57b)

onde

, ( ) ( ) nt δδδ νν −=∆ ( ) ( ) n

t PPP −=∆ νν (2.58)

Segundo Settari & Walters24, quando a iteração (2.57) converge, obtém-se

e , e a solução é idêntica ao sistema totalmente

acoplado, conforme eq. (2.47). Ao incluir o termo do acoplamento na eq. (2.57a)

é equivalente a expandir a porosidade

( ) ( )1+= nPP ν ( ) ( )1+= nδδ ν

φ no modelo de escoamento como

função de p , T e das tensões principais ou seu primeiro invariante . Assim,

no modelo de reservatório, a porosidade é determinada diretamente através da

deformação volumétrica calculada a partir do modelo de tensão, o que é

diferente de definí-la como função da compressibilidade. O acoplamento através

das propriedades de escoamento (isto é, efeitos da tensão na matriz ) pode

ser explícito ( ) ou implícito .

1I

TnT=T ( )( )νTT =


2.3.4 Modelo de Etapa Única

Nessa abordagem, o sistema da eq. (2.47) pode ser solucionado

simultaneamente utilizando a mesma discretização. Normalmente é utilizado o

método dos elementos finitos. Como a solução de escoamento e geomecânica é

feita em um mesmo código computacional, esse modelo apresenta vantagens

de consistência interna. Serão necessários grandes esforços para que os

modelos totalmente acoplados apresentem as mesmas capacidades dos

simuladores comerciais existentes.

O FPORO se enquadra no método de solução em uma única etapa, uma

vez que os problemas de escoamento e tensões são tratados no mesmo código

de elementos finitos.

3 Descrição dos Simuladores FPORO, IMEX e STARS

Uma das formas de classificação dos simuladores de reservatório é

baseada no tipo de fluido aí contido. Os simuladores comerciais podem ser

classificados em duas categorias: Black-Oil e composicional. O primeiro é

utilizado em casos em que os processos de recuperação são pouco sensitivos à

variação composicional que ocorre nos fluidos do reservatório. A transferência

de massa é considerada como sendo função apenas da pressão. Os fatores

volume formação e a razão de solubilidade dos fluidos do reservatório são os

únicos parâmetros que governam o comportamento pressão-volume-

temperatura. Com base nessa classificação, o IMEX é um simulador Black-Oil,

em que o comportamento geomecânico da rocha é considerado de forma

aproximada através da compressibilidade da rocha, conforme apresentado no

item 2.2. Neste trabalho, o IMEX é utilizado na modelagem de um reservatório

considerando variações do tipo de óleo contido: volátil, pesado e um

intermediário, denominado Black-Oil. A formulação aqui apresentada é referente

a escoamento de um fluido monofásico compressível e outro pouco-

compressível. Essa formulação é extendida para escoamento multifásico.

Já os simuladores composicionais são utilizados quando os processos de

recuperação são sensitivos à variação composicional. Essas situações incluem,

por exemplo, reservatórios de gás condensado sob depleção primária e

reservatórios sujeitos a processos de recuperação térmica (Ertekin et al.³).

Nessa situação, o equilíbrio necessário no processo de transferência de massa

depende não só da pressão, mas também da composição do fluido. É dessa

forma que pode ser classificado o STARS, como um simulador térmico-

composicional que considera dois ou mais componentes hidrocarbonetos. Ao

STARS está acoplado um módulo geomecânico, desenvolvido em elementos

Descrição dos simuladores FPORO, IMEX e STARS 58

finitos, que inclui o efeito das tensões na simulação de reservatórios. Dessa

forma, é feita uma combinação da simulação tradicional de escoamento com

uma análise de tensões do reservatório. Esta opção pode ser acionada ou não

pelo usuário. No caso de não ser utilizada, a geomecânica é tratada de forma

aproximada através da compressibilidade da rocha, da mesma forma que no

IMEX. Tanto o IMEX quanto o STARS são softwares desenvolvidos pela

Computer Modelling Group - CMG. Suas formulações são apresentadas nos

itens 3.2 e 3.3.

O último simulador a ser estudado é o FPORO, desenvolvido internamente

pelo Grupo de Tecnologia e Engenharia de Petróleo – GTEP, da PUC-Rio. É um

modelo poro-elasto-plástico totalmente acoplado, que resolve tanto problemas

de fluxo como de tensão no mesmo código de elementos finitos. A primeira

versão deste simulador modela apenas fluxo monofásico. O FPORO utiliza uma

formulação de fluxo não-isotérmico num meio poroso deformável, o que consiste

nas equações de equilíbrio, de conservação de massa e de energia para o meio.

De acordo com Pastor14, toda a formulação matemática foi baseada na teoria de

Biot. Sua formulação é apresentada no item 3.1, a seguir.

No item 3.4, é feita uma comparação dos modelos geomecânicos dos

simuladores FPORO e STARS.

3.1 Formulação Utilizada no FPORO

3.1.1 Equação de Equilíbrio

O comportamento mecânico da rocha segue o princípio das tensões

efetivas de Terzaghi, conforme apresentado por Zienkiewicz & Taylor25:


pm+= 'σσ (3.1)

onde σ é a tensão total, 'σ a tensão efetiva, p a pressão de poros e um

vetor unidimensional com elementos binários, onde 1 define os componentes de

tensão normal e 0 os componentes de tensão cisalhante, isto é:

m

[ ]T000111=m (3.2)

O comportamento das rochas depende muito das partes não sólidas do

material. Desta forma, também o espaço poroso deve ser considerado. Além de

ser essencial para a produção do óleo, representa um importante papel no

comportamento mecânico da rocha (FJÆR et al.26). Com base nisso, Nur &

Byerlee27 apresentaram a eq. (3.1) de forma modificada:

pmασσ += ' (3.3)

onde α é a constante de Biot dada por:

sKK−=1α (3.4)

onde K é o módulo de compressibilidade da matriz rochosa e é o módulo de

compressibilidade dos grãos. O inverso de é denominado a

compressibilidade dos grãos.

sK

sK

Substituindo a eq. (3.4) em (3.3), obtém-se:

pKK

s

−+= 1' mσσ (3.5)

Como o esqueleto sólido é analisado sem considerar o fluido contido nos

poros, sua deformação não depende da pressão de poros. Desta forma, a

deformação da matriz rochosa pode ser descrita através da seguinte relação

constitutiva, como apresentado por Zienkiewicz & Taylor25:


( ) 00 '' σεεεσ +−−= TD (3.6)

onde ε é a deformação total da matriz rochosa, Tε a deformação térmica, 0ε

representa outras deformações não associadas com variações de tensões e

temperatura e 0'σ a tensão efetiva inicial. A deformação térmica Tε é dada por:

( )03TTs

T −= βε m (3.7)

onde sβ é o coeficiente de expansão térmica e T é o incremento de

temperatura.

0T−

A matriz constitutiva D depende da trajetória de tensões, podendo ser

definida através de vários modelos constitutivos, como apresentado em Desai &

Siriwardane28. O FPORO considera o modelo elastoplástico, sendo o trecho

elástico linear. De acordo com Nur & Byerlee27, a relação deslocamento-

deformação infinitesimal é expressa por:

( )ijjiij vv ,,21 −=ε (3.8)

onde é o vetor de deslocamentos do esqueleto sólido. iv

A equação de equilíbrio entre tensões totais σ , forças de corpo e

tensões especificadas no contorno

b

t Γ de um domínio Ω , pode ser obtida a

partir do princípio dos trabalhos virtuais em função do campo de deslocamentos

. Essa formulação é proposta por Zienkiewicz & Taylorv 25, e sua forma integral é

dada por:

∫∫∫ ΓΩΩ=Γ−Ω−Ω 0ddd TTT tvbvσε δδδ (3.9)

Substituindo as equações (3.5) e (3.6) em (3.9), obtém-se:


∫∫∫

∫∫∫∫∫

ΓΩΩ

ΩΩΩΩΩ

=Γ−Ω−Ω

−Ω+Ω+Ω−Ω−Ω

03

'00

ddpdKK

pddddd

TT

s

T

TTT

TTT

tvbvm

mDDD

δδδε

δεσδεεδεεδεεδε

(3.10)

3.1.2 Equação de Continuidade para Fluxo Monofásico

Seja um volume unitário de material poroso cujo volume total é V , volume

de poros V , e volume da fase sólida, incluindo poros não conectados V . Dessa

forma,

b

rp

V rpb VV += (3.11)

No caso de o meio estar completamente saturado, o volume de fluido V

que pode circular entre os poros deve ser igual ao próprio volume de poros, ou

seja:

f

pf VV = (3.12)

Define-se porosidade φ como a razão entre o volume ocupado pelo fluido

(que preenche totalmente os poros) e o volume total, isto é:

b

p

VV

=φ (3.13)

Aziz & Settari29 descrevem o fluxo monofásico a partir da consideração do

escoamento de um único fluido (composto por um único componente) na direção

axial em uma amostra cilíndrica, como mostrado na figura 3.1, a seguir. O

volume de controle deve ser representativo frente ao meio poroso, de forma que

suas propriedades sejam as mesmas.


Seja m o componente na direção x do vetor de fluxo de massa (isto é,

fluxo de massa por unidade de área por unidade de tempo) de um fluido cuja

densidade é

x&

fρ .

Fig.3.1. Fluxo linear em rocha porosa cilíndrica de comprimento ∆x

Com relação à figura 3.1, o influxo de massa através da superfície do

volume de controle, com área transversal , na posição A x , durante um intervalo

de tempo é dado por: t∆

tAmxx

∆& (3.14)

e o fluxo de massa saindo da superfície do volume de controle em

durante o intervalo de tempo ∆ é

xx ∆+

t

tAmxxx

∆∆+

& (3.15)

A diferença entre fluxo de massa que entra e o que sai deve ser igual à

soma de massa acumulada no volume de controle. A massa acumulada devido à

compressibilidade durante um intervalo de tempo é t∆

( ) tVt bf ∆

∆∂∂ φρ (3.16)

e a massa removida do volume de controle, isto é, a massa depletada (ou

acumulada) devido à produção de q~ (massa por unidade de volume por unidade

de tempo) durante um intervalo de tempo é t∆

tVq b∆∆~ (3.17)


Combinando esses termos em uma única equação, obtém-se:

(Massa que entra) – (Massa que sai) = (Massa acumulada)

( ) ( ) tVqVt

tAmm bbfxxxxx∆∆+

∆∂∂=∆−

∆+~φρ&& (3.18)

Dividindo tudo por e sabendo que , obtém-se: tVb∆∆ xAVb ∆=∆

( ) qtx

mmf

xxxxx ~+∂∂=

∆−

∆+ φρ&&

(3.19)

Aplicando o limite , tem-se a equação de conservação de massa para o

sistema da figura 3.1.

0→∆x

( ) qtx

mf

x ~+∂∂=

∂∂− φρ&

(3.20)

Nota-se que q~ é negativo para uma fonte (injeção), uma vez que foi assumido

positivo para produção.

É possível expressar o fluxo de massa em termos da velocidade superficial

(ou de Darcy):

xfx um ρ=& (3.21)

onde é denominada velocidade de Darcy na direção x. Substituindo (3.21) em

(3.20):

xu

( ) qtx

uf

xf ~+∂∂=

∂∂

− φρρ

(3.22)

Analogamente, para o caso tridimensional a equação de conservação de

massa para fluxo monofásico é dada por:


( ) qt

uz

uy

ux fzfyfxf

~+∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂− φρρρρ (3.23)

ou, de uma forma mais genérica

( ) qt ff

~+∂∂=⋅∇− φρρ u (3.24)

A velocidade de Darcy é definida como o produto entre a velocidade do fluido

e a porosidade, ou seja:

u

fvu φ= (3.25)

onde é a velocidade do fluido. De acordo com Bear & Corapcioglufv 30, A

velocidade de Darcy u pode ser decomposta em duas parcelas: uma referente à

fase fluida, outra à sólida:

sf vuu φ+= (3.26)

onde é a velocidade da fase sólida. sv

De acordo com Aziz & Settari29, em complemento à equação da

continuidade (ou de conservação de massa) desenvolvida acima, é necessária

uma relação entre a taxa de escoamento e o gradiente de pressão para cada

fase. Tal relação foi formulada por Darcy (1856) para fluxo monofásico. A forma

diferencial dessa relação é

+∇−=

cf g

p gku ρµ

(3.27)

onde k é a matriz de permeabilidade absoluta do meio poroso, µ é a

viscosidade do fluido, g é o vetor de aceleração da gravidade e é uma

constante de conversão entre os sistemas de unidade. No caso de o eixo de

coordenadas da direção vertical ser crescente para baixo, pode-se escrever:

cg

z


zzgg

g cf

c

∇−=∇−= γρρ g (3.28)

Com a definição da eq. (3.28), a lei de Darcy pode ser reescrita como:

( )zp ∇−∇−= γµku (3.29)

Lewis & Schrefler31 apresentam a lei de Darcy na seguinte forma:

( )ghp fρµ

+∇−= ku (3.30)

onde a carga de elevação. O tensor permeabilidade usado nas equações

acima deve ser determinado experimentalmente. Na maioria dos problemas

práticos, é possível (ou mesmo necessário) adotar

h

k como um tensor diagonal,

dado por:

z

y

x

kk

k (3.31)

Se , o meio é dito isotrópico, caso contrário, anisotrópico. zyx kkk ==

A velocidade da fase fluida u pode ser expressa através da lei de Darcy: f

( )ghp ff ρµ

+∇−= ku (3.32)

Substituindo a eq. (3.26) em (3.24) e considerando o termo de produção q~ como

sendo nulo, obtém-se:

( )[ ] ( ) 0=∂∂++⋅∇ φρφρ fsff t

vu (3.33)


Considerando que a densidade do fluido é constante em relação às coordenadas

espaciais, e dividindo a eq. (3.33) por este termo:

( ) ( ) 01 =∂∂++⋅∇ φρ

ρφ f

fsf tvu (3.34)

Desenvolvendo a eq. (3.34) e desconsiderando a variação espacial da

porosidade:

0=∂

∂+

∂∂+⋅∇+⋅∇

ttf

fsf

ρρφφφ vu (3.35)

Por definição, a deformação volumétrica do meio poroso é dada por:

v⋅∇=vε (3.36)

A derivada em relação ao tempo da eq. (3.36) é expressa por:

sv

tv⋅∇=

∂∂ε

(3.37)

Dessa forma, pode-se escrever uma expressão para : sv⋅∇

tT

s ∂∂=⋅∇ εmv (3.38)

Substituindo a eq. (3.38) em (3.35), obtém-se:

0=∂

∂+

∂∂+

∂∂+⋅∇

tttf

f

Tf

ρρφφεφmu (3.39)

A derivada em relação ao tempo da eq. (3.13) é dada por:

( )b

s

b

b

VdV

VdVd −−= φφ 1 (3.40)


Na eq. (3.40), o termo b

b

VdV

corresponde à deformação volumétrica d vε . Ou

seja:

εε ddVdV T

vb

b m== (3.41)

Com relação ao termo relativo à variação do volume de grãos b

s

VdV

, em

Hudson32, Detournay & Cheng apresentam uma forma de obtenção a partir da

consideração da resposta volumétrica de um material poroelástico sujeito a uma

tensão total P e uma pressão de poros p . Este carregamento pode ser

decomposto em duas parcelas. A primeira corresponde à tensão efetiva de

Terzaghi: (pressão de poros nula); a segunda componente considera

a pressão confinante com igual magnitude à pressão de poros: . Para um

material poroso ideal, que caracteriza-se por apresentar os poros totalmente

conectados e pelo material da matriz rochosa ser homogêneo e isotrópico, pode-

se dizer:

pP −' P=

pp ='

( ) sss

s

Kp

KP

VV '

1' −

−−=∆

φ (3.42)

Sabendo que:

3σTP m−= (3.43)

e

( ) bs VV φ−= 1 (3.44)

Aplicando as definições de 'P e ' , e substituindo as equações (3.43) e (3.44)

em (3.42), obtém-se:

p


( )ss

T

b

s

Kp

K

p

VV φ

σ−−

+=∆ 13m

(3.45)

No limite:

( )ss

T

b

s

Kdp

K

dpd

VdV φ

σ−−

+= 13m

(3.46)

A derivada da eq. (3.5) é dada por:

dpKKdds

−+= 1' mσσ (3.47)

Substituindo a eq. (3.47) em (3.46):

( )ss

s

T

b

s

Kdp

K

dpdpKKd

VdV φ

σ−−

+

−+

= 11'

3mm

(3.48)

Na eq. (3.48), o segundo pode ser substituído por dp dpTmm31 :

( )ss

T

s

T

b

s

Kdp

K

dpdpKKd

VdV φ

σ−−

+

−+

= 1311'

3mmmm

(3.49)

A derivada da eq. (3.6) é dada por:

( )Tddd εεσ −=D' (3.50)

Substituindo a eq. (3.50) em (3.49) e rearranjando os termos:


( ) ( ) dpKK

KKdd

VdV

sss

TT

b

s

−++

−= 2

13

φεεDm (3.51)

Substituindo as equações (3.41) e (3.51) em (3.40):

( ) ( ) ( ) dpKK

KKdd

ddsss

TT

T

−+−

−−−= 2

13

1 φεεφεφ Dmm (3.52)

A derivada da eq. (3.52) em relação ao tempo é dada por:

( ) ( )tp

KK

KttKtt ss

T

s

TT

∂∂

−+−

∂∂

−∂∂−−

∂∂=

∂∂

2

13

1 φεεφεφ Dmm (3.53)

A formulação acima, conforme apresentada por Detournay & Cheng32, não

considera a dependência da densidade do sólido sρ em relação à temperatura.

Lewis & Schrefler31 propõem a inclusão desta consideração através da correção

do termo correspondente à taxa de variação do volume dos grãos devido a

variações de pressão no problema isotérmico. Esse termo é representado por:

( )tp

Ks ∂∂−φ1

(3.54)

A compressibilidade dos grãos (inverso ao módulo de compressibilidade) é

definida por:

cteT

s

ss pK=

∂∂= ρ

ρ11

(3.55)

Assim, a expressão (3.54) pode ser reescrita da seguinte forma:

( )tp

ps

s ∂∂

∂∂

−ρ

ρφ 11 (3.56)

Na análise não-isotérmica, a densidade do sólido é função da pressão e da

temperatura, ou seja:


( )Tpss ,ρρ = (3.57)

Dessa forma, a eq. (3.56) deve ser estendida para:

( )

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

tT

Ttp

p p

s

T

s

s

ρρρ

φ 11 (3.58)

Por definição, sabe-se que o coeficiente de expansão térmica do sólido é dado

por:

ctep

s

ss T =∂

∂−= ρρ

β 1 (3.59)

Assim, substituindo o termo corrigido expresso em (3.58), e considerando as

definições das equações (3.55) e (3.59) em (3.53), obtém-se:

( ) ( ) ( )tT

tp

KK

KttKtt sss

T

s

TT

∂∂−−

∂∂

−+−

∂

∂−

∂∂−−

∂∂=

∂∂ βφφεεφεφ 11

31 2

Dmm (3.60)

A integral desta equação no tempo, procedimento inverso ao utilizado na

obtenção da eq. (3.53), fornece a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) dTdpKK

KKdddd s

sss

TT

T βφφεεφεφ −−

−−+−−−= 11

31 2

Dmm (3.61)

A eq. (3.61) representa a variação efetiva da porosidade em função das

variações de deformação, pressão e temperatura.

A derivada da eq. (3.7) em relação ao tempo é dada por:

tT

tsT

∂∂=

∂∂

3βε m (3.62)


Substituindo a eq. (3.62) em (3.60) e rearranjando os termos:

( ) ( ) ( )tp

KK

KtT

KtKt sss

T

ss

T

∂∂

−

+−

∂∂

−−+

∂∂

−−=

∂∂

2

11

931

φφβεφφ DmmDm (3.63)

A consideração da variação da densidade do sólido em relação à pressão

e temperatura deve ser repetida para a densidade do fluido, ou seja:

( )Tpff ,ρρ = (3.64)

Dessa forma:

dtTd

Tdtpd

pdtd w

p

fw

T

ffw

∂∂

+∂

∂=

ρρρ (3.65)

Onde ( ) ( ) ( )∇⋅+

∂∂= w

w

tdtd v é a derivada material, é o vetor dos

deslocamentos do fluido.

wv

Sejam as definições de módulo de compressibilidade do fluido, à

temperatura constante:

cteT

f

ffp pK

=∂

∂==

ρρ

β 11 (3.66)

e o coeficiente de expansão térmica do fluido à pressão constante:

ctep

f

fT T =∂

∂−=

ρρ

β 1 (3.67)

Com base nessas definições, a eq. (3.65) pode ser reescrita da seguinte forma:

dtTd

dtpd

Kdtd w

Tfw

f

ffw βρρρ

−= (3.68)


Ao analisar a derivada material, pode-se considerar que ( ) ( )tw ∂

∂<<∇⋅v .

Dessa forma, essa derivada pode ser aproximada pela derivada parcial, isto é

( ) ( )tdt

dw∂

∂≅ . Fisicamente, isso significa que apesar de o meio poroso sofrer

deformações, permanece estacionário. Dessa forma, a eq. (3.68) pode ser

reescrita como:

tT

tp

Kt Tff

ff

∂∂−

∂∂=

∂∂

βρρρ

(3.69)

Substituindo as equações (3.32), (3.63) e (3.69) em (3.39), obtém-se

( ) ( )

( ) ( ) 0119

31

2 =

∂∂−

∂∂+

∂∂

−+−

∂∂

−−

+∂∂

−−+

∂∂+

+∇−⋅∇

tT

tp

Ktp

KK

KtT

K

tKtghp

Tff

f

fsss

T

s

s

TTf

T

βρρ

ρφφφβ

εφεφρµ

Dmm

Dmmk

(3.70)

Rearranjando os termos:

( ) ( )

( ) 019

13 2

=∂∂

−−−

+∂∂

−++−

∂∂

−+

+∇⋅∇−

tT

K

tp

KK

KKtKghp

Tss

sT

sfss

TT

fT

φββφβ

φφερµ

Dmm

Dmmk

(3.71)

A eq. (3.71) é denominada equação de equilíbrio para escoamento de fluido

monofásico não-isotérmico.


3.1.3 Equação de Conservação de Energia

A equação da conservação de energia, apresentada por Bear &

Corapcioglu30, considera que o fluido contido nos poros não muda de fase,

permanecendo na fase líquida. É dada por:

ff

fffff

vff

fTpTT

tT

c vJv ∇

∂∂−⋅−∇=

∇⋅+

∂∂

φφφρρ

(3.72)

onde é o calor específico do fluido, velocidade do fluido, T a

temperatura do fluido e é o fluxo de calor por condução no fluido. A eq.

(3.72) é uma extensão para meios porosos da equação proposta por Bird et al.

vfc fv f

fJ33

para meios contínuos. Os termos do lado esquerdo da equação expressam a

dependência da energia em relação ao tempo e a variação da energia devido à

convecção. Já o lado direito apresenta a variação de energia por condução e a

variação reversível de energia provocada por compressão.

De forma análoga, a conservação de energia para a fase sólida é dada

por:

( ) ( ) ( )t

TTtTc v

sssss

vss ∂∂−−−⋅−∇=

∇⋅+

∂∂− εβφφρφ 111 Jv (3.73)

onde é o calor específico do sólido, velocidade do sólido, a

temperatura do sólido, é o fluxo de calor por condução no sólido e

vsc sv sT

sJ

( ) TLL αµλβ 23 += (3.74)

Na eq. (3.74), Tα é o coeficiente de dilatação térmica, e Lλ e Lµ são as

constantes de Lamé. O segundo termo do lado direito da eq. (3.73) indica a

variação reversível de energia provocada por deformação.


No desenvolvimento da equação de conservação de energia, é assumida a

hipótese de que em dado ponto o fluido, o sólido e o meio poroso como um todo

se encontram à mesma temperatura média, ou seja:

fs TTT == (3.75)

Essa consideração é baseada em duas hipóteses: a primeira, de os grãos serem

pequenos em relação ao tamanho dos canais através dos quais o fluido escoa,

de forma a não haver entupimento dos mesmos; e a segunda, em que o

equilíbrio de temperatura entre fluidos e sólidos é alcançado rapidamente

quando comparado a outros processos de transporte que ocorrem no domínio.

Desta forma, a partir das equações (3.72), (3.73) e (3.75), a equação da

conservação de energia é dada por:

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )

∂∂−−⋅∇

∂∂−−+⋅∇−

=∇−++∂∂−+

tT

TpT

TcctTcc

vfsf

svssfvffvssvff

f

εβφφφφ

ρφφρρφφρ

ρ

11

11

vJJ

vv

(3.76)

Como para a condução de calor a lei de Fourier é válida, podem ser feitas

as seguintes definições:

TfTf ∇−= λJ e T

sTs ∇−= λJ (3.77)

onde fT

λ e sT

λ são os tensores de condutividade térmica das fases fluida e

sólida, respectivamente.

O termo Tp ∂∂ da eq. (3.76) pode ser reescrito com base nas equações

(3.66) e (3.67):

constanteTp

ff p

T ==

∂∂

ρρ ββ

(3.78)


Substituindo as equações (3.77) e (3.78) em (3.76), obtém-se uma outra forma

da equação de conservação de energia:

( ) ( ) ( ) 01 =

∂∂−+∇+∇∇−∇+

∂∂

tTTTTc

tTc v

fT

p

Tm

TTfvffmv

εβφφββφρρ vΛv (3.79)

onde

( ) ( ) vssvffmv ccc ρφφρρ −+= 1 (3.80)

ρ é a densidade da rocha, é o calor específico da rocha, é o coeficiente

de condutividade térmica do meio poroso como um todo, dado por:

vc mΛ

( ) sfm λφφλ −+= 1Λ (3.81)

A eq. (3.80) representa a capacidade de aquecimento por unidade de volume do

meio poroso.

3.2 Formulação Utilizada no IMEX

3.2.1 Escoamento Monofásico Pouco-Compressível

Segundo Aziz & Settari29, no escoamento de fluidos pouco compressíveis é

possível assumir a compressibilidade do fluido, definida por:

T

f

fT

f

ffl pp

VV

c∂

∂=

∂∂

−=ρ

ρ11

(3.82)


constante em um intervalo de pressões de interesse. Ao integrar a eq. (3.82) ao

longo do intervalo de interesse, obtém-se:

( )[ ]ofl

off ppc −= expρρ (3.83)

onde é a densidade na pressão de referência . Seja a definição de fator

volume formação

ofρ op

B dada por:

[ ][ ]STC

RC

VVB = (3.84)

onde é o volume ocupado por uma dada massa de fluido em condições de

pressão e temperatura do reservatório, e [ ] é o volume ocupado pelo

mesmo componente em condições padrão, ou seja, pressão de 101,35 kPa (ou

14,7 psia) e temperatura de 15.5 º C (ou 60º F).

[ ]RCV

STCV

A partir dessa definição, nota-se que:

( )[ ] ( ) ( ) ...!211exp 22

0 +−+−+=−== ofl

ofl

ofl

o

f

f ppcppcppcBB

ρρ

(3.85)

onde oB é o fator volume formação em . op

Considerando apenas os dois primeiros termos da expansão, já que c é

pequeno (na ordem de 10

fl

-6 psi-1), tem-se:

( )[ ]ofl

o

ppcBB

−+=1

(3.86)

Se a variação do volume poroso com a pressão for significativa, deve ser

considerada através da seguinte relação:

( )[ ]of

o ppc −+= 1φφ (3.87)


onde é a compressibilidade da formação. fc

Substituindo a eq. (3.29) em (3.24), obtém-se

( ) ( ) qt

zpk

ff ~+

∂∂=∇−∇⋅∇ φργ

µρ

(3.88)

Dividindo essa expressão por stcf ,ρ e aplicando a definição de fator volume

formação B :

( )[ ] qBt

zp +

∂∂=∇−∇⋅∇ φγλ (3.89)

onde λ é a transmissibilidade definida por Bk

µλ = . O termo da derivada em

relação ao tempo da equação acima pode ser expressa em termos de tp ∂∂

utilizando a expressão para B1 , dada na eq. (3.86), e para φ pela eq. (3.87).

Com isso, a eq. (3.89) pode ser reescrita como

( )[ ] qtp

Bc

Bc

zp foofl +

∂∂

+=∇−∇⋅∇ φφγλ (3.90)

Outra forma da equação de escoamento é obtida pela substituição de

(3.83) em (3.88), e negligenciando os termos envolvendo o quadrado do

gradiente de pressão multiplicado por c , por ser pequeno em comparação com

os outros termos. A equação resultante é

fl

qkt

pkc

pf

fl ~2

ρµφµ

+∂∂=∇ (3.91)

Ao escrever a equação acima, conhecida como equação da difusividade,

também foi assumido que as propriedades do fluido são constantes, enquanto

e os termos gravitacionais são negligenciados. fc


Pode-se também expressar as equações de conservação de uma forma

que não envolve explicitamente os termos de gravidade. Isso pode ser feito

através da definição de potencial, introduzido por Hubbert em 1940, 1956 e

apresentado em Aziz & Settari29.

Define-se:

zdpp

p

−=Φ ∫0 γ

(3.92)

A lei de Darcy pode ser reescrita como:

( ) Φ∇−=∇−∇−= γµ

γµ

kzpku (3.93)

Enquanto a equação de escoamento para fluido monofásico assume a seguinte

forma:

[ ] qtppc +

∂∂=Φ∇⋅∇ γλγ )( (3.94)

onde

( )Bc

Bdpdpc foφφ +

= 1

(3.95)

3.2.2 Escoamento Monofásico Compressível

Para fluidos monofásicos compressíveis, utiliza-se a eq. (3.89) acima

deduzida:


( )[ ] qBt

zp +

∂∂=∇−∇⋅∇ φγλ (3.89 bis)

No caso de escoamento de gás, não é apropriado adotar a

compressibilidade constante. Conforme descrevem Aziz & Settari29, a equação

de fluxo deve ser da seguinte forma:

( )[ ] ( ) qtppczp +

∂∂=∇−∇⋅∇ γλ (3.96)

Outra forma da equação é obtida a partir da lei dos gases:

ZRTpMm

g =ρ (3.97)

onde gρ é a densidade do gás, e , mM Z e R são a massa molar, fator de

compressibilidade e constante dos gases, respectivamente.

Substituindo a eq. (3.97) em (3.88) e negligenciando os termos

gravitacionais, que são normalmente pequenos para fluxo de gás, obtém-se:

qkM

RTZp

tkp

Zp

m

~+

∂∂=

∇⋅∇ φ

µ (3.98)

Na equação acima, φ e k são constantes. De acordo com Al-Hussainy et

al. (1966), conforme apresentado por Aziz & Settari29, sabendo que

, pode-se escrever que: 22 ppp ∇=∇⋅

( )[ ]( ) qkM

ZRTZp

tkZpZ

dpdp

m

~22ln 222

22 µφµµ +

∂∂=∇−∇ (3.99)

A derivada do lado direito da eq. (3.99) pode ser escrita como

tp

Zpc

Zp

tg

∂∂=

∂∂

(3.100)


onde é a compressibilidade do gás, dada por: gc

dpdZ

Zpdpd

cT

g

gg

111 −==ρ

ρ (3.101)

Substituindo a eq. (3.100) em (3.99) e negligenciando o segundo termo do

lado esquerdo desta, obtém-se:

qkM

ZRTtp

kc

pm

g ~2222 µφµ

+∂

∂=∇ (3.102)

3.2.3 Escoamento Multifásico

De acordo com Aziz & Settari29, ao substituir a definição apresentada na

eq. (3.21) na lei de conservação de massa para escoamento monofásico, a eq.

(3.24) pode ser generalizada da seguinte forma para escoamento multifásico:

( )l

l qtm ~+∂

∂=⋅∇− lm& (3.103)

onde é a massa da fase l (óleo, água ou gás) em um volume unitário do

meio, é o fluxo de massa do componente l e é a taxa de efluxo de

massa por unidade de volume.

lm

lm& lm&⋅∇

No modelo Black-Oil é assumida a existência de 3 fases distintas: óleo,

água e gás. Os dois primeiros são considerados imiscíveis, enquanto o gás é

solúvel no óleo, mas não na água. Ao considerar a solubilidade do gás igual a

zero nas condições padrão, pode-se definir o óleo no reservatório como sendo

uma solução de 2 componentes: óleo e gás, também em condições padrão.

Nessa análise, assume-se que os fluidos estão à temperatura constante e em

equilíbrio termodinâmico ao longo do reservatório. Sob essas condições, o


comportamento pressão-volume-temperatura (PVT) do sistema pode ser

expresso pelos fatores volume formação, definidos abaixo:

[ ][ ] ( )o

STCo

RCdgoo pf

VVV

B =+

= (3.104)

[ ][ ] ( )w

STCw

RCww pf

VV

B == (3.105)

[ ][ ] ( )g

STCg

RCgg pf

VV

B == (3.106)

onde é o volume ocupado por uma massa fixa do componente nas

condições de reservatório e [ ] é o volume ocupado pelo mesmo

componente em condições padrão. A transferência de massa entre as fases óleo

e gás é descrita através da razão de solubilidade gás-óleo:

[ ]RClV

STClV

( )0pfVV

RSTCo

dgso =

= (3.107)

Esta equação fornece a quantidade de gás dissolvido no óleo como função

da pressão da fase oleica. Ainda de acordo com Aziz & Settari29, as densidades

das três fases nas condições de reservatório são relacionadas às densidades em

condições padrão através das seguintes relações:

( )STCdgsoSTCoo

o RB ,,1 ρρρ += (3.108)

( )STCww

w B ,1 ρρ = (3.109)

( )STCgg

g B ,1 ρρ = (3.110)

A densidade do óleo também pode ser expressa como:


dgoo ρρρ += (3.111)

onde oρ e dgρ são as densidades dos dois componentes, dadas por:

STCoo

o B ,1 ρρ = (3.112)

STCdgo

sodg B

R,ρρ = (3.113)

A saturação da fase , , é a fração do volume poroso ocupado por esta

fase. A equação de conservação de massa para cada componente pode ser

escrita através da equação (3.103). Para o componente óleo na fase oleica:

l lS

oo um oρ=& (3.114)

ooo Sm φρ= (3.115)

Sustituindo as equações (3.18) e (3.19) em (3.103), e dividindo por STCo,ρ :

oooo

qSBtB

+

∂∂=

⋅∇− φ11

ou (3.116)

onde

STCo

oo

qq,

~

ρ= (3.117)

Todos os termos da equação (3.117) tem a dimensão tempoVolume

Volume

RC

STC 1⋅

.

Analogamente, a equação para a fase aquosa é dada por:


wwww

qSBtB

+

∂∂=

⋅∇− φ11

wu (3.118)

onde

STCw

ww

qq,

~

ρ= (3.119)

O componente gás existe tanto na fase gás quanto em solução na fase

óleo:

ogg uum dgg ρρ +=& (3.120)

[ ]odgggg SSm ρρφ += (3.121)

STCgsofgSTCo

gsofgdgfgg RqqRqqqqq ,

~~~~~~ ρρρ

+=

+=+= (3.122)

onde fgq~ é a vazão mássica do gás livre.

Substituindo na equação (3.103), obtém-se a equação final do gás:

osofggg

oo

so

go

so qRqSB

SBR

tBBR ++

+

∂∂=

+⋅∇− 11 φgo uu (3.123)

Os termos , e representam o volume produzido em condições padrão

por unidade de tempo, por unidade de volume em condições de reservatório.

oq wq gq

A lei de Darcy pode ser extendida para descrever o escoamento

simultâneo de mais de uma fase. De acordo com Aziz & Settari29, a eq. (3.29)

pode ser reescrita da seguinte forma:


( )zpkkll

l

rll ∇−∇−= γ

µu (3.124)

onde c

ll ggργ = e =o, w, g (óleo, água ou gás, respectivamente) e é a

permeabilidade relativa da fase l .

l rlk

A eq. (3.124) pode ser substituída na equação de conservação de massa

para cada fase (equações 3.116, 3.118 e 3.123), obtendo as seguintes equações

de escoamento:

( )[ ] oo

oooo q

BS

tzp +

∂∂=∇−∇⋅∇ φγλ (3.125)

( )[ ] ww

wwww q

BS

tzp +

∂∂=∇−∇⋅∇ φγλ (3.126)

( ) ( )[ ] fgosog

go

o

sogggoooso qqR

BS

SBR

tzpzpR ++

+

∂∂=∇−∇+∇−∇⋅∇ φγλγλ (3.127)

onde as transmissibilidades lλ são definidas como

kBk

ll

rll µ

λ = (3.128)

Enquanto a equação de conservação é suficiente para descrever o fluxo

monofásico, uma vez que a única variável dependente é p, o mesmo não ocorre

para fluxo multifásico: as eq. (3.125) a (3.127) contém 6 variáveis dependentes.

Assim, faz-se necessária a inclusão de relações adicionais para completar a

descrição:

1=++ gwo SSS (3.129)

( )gwwocow SSfppP ,=−= (3.130)


( )gwogcog SSfppP ,=−= (3.131)

Essas relações entre pressões de capilaridade e saturações são, geralmente,

empíricas.

3.3 Formulação Utilizada no STARS

3.3.1 Formulação Térmica-Composicional

A formulação térmica visa modelar processos como o de injeção de vapor,

em que o vapor é utilizado para aquecer a seção de um reservatório, de forma a

assegurar o aumento das taxas de produção através da redução da viscosidade

do óleo. De uma forma geral, pode-se dizer que a idéia base desse processo é o

de injetar energia térmica na formação de interesse, permitindo que a rocha

aquecida faça transferência de calor para aquecer o óleo em escoamento,

reduzindo sua viscosidade. Além da redução de viscosidade do óleo, outros

mecanismos estão associados a esse método de recuperação avançada, como

a expansão térmica e a alteração de molhabilidade. De acordo com Mattax &

Dalton6, o sucesso econômico de uma operação de injeção de vapor depende da

eficiência com a qual o óleo é recuperado, ou seja, o grau com o qual o óleo é

deslocado dos poros da rocha reservatório, e da eficiência de varrido. Por este,

entende-se a fração do volume do reservatório atingido pela injeção.

Do ponto de vista de modelagem, a maior dificuldade ao reproduzir o

processo de injeção de vapor é a estabilidade computacional. As equações de

balanço de massa e energia são fortemente não-lineares e praticamente

acopladas, o que causa problemas de estabilidade. O processo físico que leva a

esses problemas computacionais é descrito a seguir: O vapor injetado sofre

condensação conforme sua movimentação através do reservatório, o que causa


grande variação de volume. Essa variação afeta o balanço de massa, o qual, por

sua vez, determina como os fluidos, incluindo o vapor, se movimentam através

do reservatório. Assim, a variação de volume afeta também o balanço de

energia, que determina a quantidade de vapor que sofre condensação. Em

outras palavras, a movimentaçao dos fluidos afeta em muito o movimento da

energia, e vice-versa. Esse acoplamento se traduz na necessidade das

equações que representam os balanços serem solucionadas simultaneamente.

Além das dificuldades numéricas descritas, outra barreira na modelagem

de injeção de vapor é devida à complexidade do processo em si. As

propriedades do fluido dependem de sua composição, pressão e temperatura. O

comportamento de fase deve ser conhecido em várias temperaturas e a perda

de calor às rochas adjacentes também deve ser considerada. Com relação ao

transporte de calor, este ocorre predominantemente na direção vertical, podendo

ser ignorada a condução no plano paralelo ao topo do reservatório. Desta forma,

o cálculo da perda de calor às camadas superiores pode ser feito na forma de

cálculos individuais em apenas uma direção, um para cada coluna da malha.

Outra consideração a ser feita ao simular injeção de vapor é a representação

adequada do escorregamento do vapor em relação ao óleo. Esse fenômeno

ocorre principalmente devido à diferença de densidade. Para modelá-lo é preciso

definir as células da malha estreitas o suficiente de modo a permitir o

escoamento de vapor nas camadas superiores do reservatório.

Segundo Mattax & Dalton6, na formulação composicional, a equação de

conservação é desenvolvida para cada um dos componentes que descrevem o

fluido de interesse. Dessa forma, os componentes do fluido de interesse são

agrupados, formando os pseudo-componentes. O número de pseudo-

componentes a ser utilizado visando uma simulação adequada depende do

processo a ser modelado e do nível de detalhamento desejado. Por exemplo, ao

modelar a injeção de CO2, basta a definição de três componentes (óleo, gás e

CO2), além da água. No caso de um processo mais elaborado, será necessário

um maior número de pseudo-componentes.

Na formulação composicional deve ser considerada a equação de

conservação para a água, já que esta também coexiste no reservatório. No caso

térmico, a equação de balanço de material da água deve refletir o fato de que a

água pode existir nas fases aquosa e vapor (Mattax & Dalton6):


( ) ([ ]ggwwwwggmgwwwmw SySt

qy ξξφλξλξ +∂∂=+Φ∇+Φ∇⋅∇ ,, ) (3.132)

Nota-se que nesta equação não foi considerado o transporte de nenhum

outro componente além da água na fase aquosa. Esta hipótese tende a ser

conservadora, porém é a forma usual considerada nos programas.

Ainda segundo Mattax & Dalton6, a equação para o componente

hidrocarboneto ν considera seu escoamento tanto na fase oleica quanto

gasosa:

( ) ( )[ ]ggooggmgoomo SySxt

qyx ξξφλξλξ ννννν +∂∂=+Φ∇+Φ∇⋅∇ ,, (3.133)

Nas equações acima, mλ é a mobilidade da fase ( µλ rm kk= ), é o

potencial da fase,

Φ

ξ é a massa específica molar da fase, e são as frações

molares do componente nas fases líquida e gasosa, respectivamente, e é a

taxa de injeção ou produção do componente v .

v vyx

v vq

A equação da energia é dada por:

( )

( ) ( )[ ]gggwwwoovf

Hggggewwwweooooeh

SUSUSUTCt

qHHHTk

ξξξφρφ

λξλξλξ

+++−∂∂

=+Φ∇+Φ∇+Φ∇+∇⋅∇

1

,,,

(3.134)

onde é a condutividade térmica da rocha e dos fluidos aí contidos, hk T é a

temperatura, é a entalpia específica, U é a energia específica interna, eH ρ é

a densidade da rocha correspondente à porosidade inicial, é a capacidade

de calor da rocha e é a taxa de injeção ou produção da entalpia (Mattax &

Dalton

fC

Hq6).


3.4 Comparação dos Modelos Geomecânicos de Reservatório nos Simuladores FPORO e STARS

O FPORO é um simulador térmico totalmente acoplado que soluciona as

equações de escoamento e tensão em um mesmo código de elementos finitos.

Em sua análise, ele considera não apenas a rocha-reservatório, mas também as

camadas sobre-, sub- e adjacentes. O material é tratado com base na

formulação poro-elasto-plástica. Já o simulador comercial STARS com o módulo

geomecânico caracteriza-se por fazer uma análise acoplada elasto-plástica em

elementos finitos da formação do reservatório através de um conjunto de

condições de contorno de deslocamentos e tensão efetivas, de acordo com Fung

et al.23

Segundo Pastor14, em sua primeira versão o FPORO considera

escoamento monofásico ao longo do reservatório. O fluido analisado é

Newtoniano, compressível e não muda de fase durante seu deslocamento no

reservatório. O STARS, como descrito anteriormente, é um simulador

composicional, que considera mais de dois componentes hidrocarbonetos.

Na solução de um problema, para cada iteração, o processo de solução do

sistema de equações não-lineares no FPORO é realizado em três passos:

(i) Mantendo o campo de temperaturas constante, são resolvidas as

equações de equilíbrio e continuidade, até a convergência;

(ii) Mantendo os campos de deslocamentos e de pressões constantes,

resultantes de (i), é resolvida a equação de energia até a

convergência.;

(iii) O processo é repetido até que a convergência seja alcançada.

Uma nova versão do FPORO considera a variação da permeabilidade em

folhelhos durante a perfuração do poço, de acordo com Araújo34. Novas relações

de variação de permeabilidade estão em fase de implementação com o objetivo


de analisar a variação desta propriedade no reservatório decorrente do início da

produção.

De acordo com Fung et al.23, atualmente o modelo geomecânico da CMG

está acoplado ao simulador térmico STARS. A implementação do acoplamento

entre o modelo geomecânico e o simulador de reservatório se dá da seguinte

forma:

(i) Para um dado passo de tempo, são calculadas as variações de

temperatura e pressão, a partir das quais são computadas as

cargas distribuídas no sistema;

(ii) A mudança no volume poroso pode ser causado pela combinação

das tensões compressivas/de tração ou cisalhantes. Assim, a partir

da aplicação das cargas calculadas em (i), é feito um incremento na

análise de tensão através do cálculo da variação total de volume

para cada elemento. Já que há uma correspondência de um-para-

um entre o grid de elementos finitos e o do reservatório, a variação

volumétrica em cada elemento é a mesma para o bloco do

reservatório. A permeabilidade efetiva é calculada como uma

função da variação do volume poroso. O índice de produtividade do

poço (IP) também é modificado para refletir a variação da

permeabilidade dos blocos através dos quais o poço é completado.

(iii) A variação do volume poroso calculada em (ii) é usada para

atualizar de forma explícita a compressibilidade da rocha. As

variações no volume poroso e as mudanças associadas nas

transmissibilidades são usadas no modelo do reservatório para

calcular balanços de massa e energia.

(iv) O simulador de reservatórios sofre iterações para convergência no

próximo passo de tempo, o que leva de volta ao cálculo das cargas

distribuídas no sistema.

4 Comparação dos Simuladores FPORO-STARS

A diferença básica entre os simuladores desenvolvidos pela PUC-Rio e

pela CMG consiste na consideração das camadas adjacentes ao reservatório no

primeiro, além deste ser um modelo totalmente acoplado, enquanto o segundo

considera apenas o reservatório e utiliza um acoplamento explícito. Com o intuito

de fazer uma comparação entre os simuladores FPORO e STARS, foi utilizado o

modelo apresentado em Pastor14. Este modelo bidimensional tem 3000 metros

de comprimento, uma espessura de 300 metros, e seu topo está situado a 3000

metros de profundidade. O reservatório está saturado com um fluido com as

mesmas propriedades da água, e produz através de um único poço situado em

uma de suas extremidades, conforme indicado no esquema da figura 4.1a:

z

x

3000 m

300 m

700 m

Poço

Overburden

Underburden

Reservatório

3000 m (a) (b)

Fig.4.1. (a) Modelo do reservatório simulado; (b) malha cartesiana utilizada no STARS.

A malha utilizada está representada na figura 4.1b, e consiste em 30

blocos na direção x, um na direção y, que corresponde à largura do reservatório,

enquanto na direção z, com numeração crescente no sentido descendente, 32

camadas. A primeira, com apenas 10 cm de espessura, foi saturada com óleo a

fim de garantir a consistência do modelo. Abaixo desta, a 3000 metros de

Comparação dos simuladores FPORO-STARS 91

profundidade, seguem as demais 31 camadas, todas saturadas com água. A

caracterização deste reservatório, assim como do fluido com o qual está

preenchido, foi feita de acordo com os dados apresentados em Pastor14, e aqui

reproduzidos na tabela 4.1. Com base nesse modelo, foi analisada a situação de

pressão especificada em um sistema bidimensional com escoamento linear.

Tab. 4.1. Dados da rocha-reservatório utilizados nas simulações.

DADOS DO RESERVATÓRIO

Porosidade (%) 40

Módulo de Young E (Mpa) 280

Coeficiente de Poisson ν 0,2

Temperaturada (ºC) 20

Permeabilidade k (m²) 1x10-14 ( = 10 md)

Compressibilidade da rocha (1/kPa) 6,43E-6

DADOS DO FLUIDO

Módulo de compressibilidade Kf (Mpa) 1000

Viscosidade (cp) 1,0

DADOS DO POÇO

Pressão de fundo de poço a 3150 m de prof. (kPa) 10500

Raio (m) 0,127

ESTADO INICIAL DE TENSÕES

PROF.

(m)

PRESSÃO

(kPa)

TENSÃO

VERTICAL (kPa)

TENSÃO HORIZONTAL

(kPa)

3000 30500 62000 55000

3150 31500 65000 57700

3300 33000 68200 60500

Os dados das camadas sobrejacentes utilizados por Pastor14 são

apresentados na tabela 4.2.


Tab. 4.2. Dados das rochas adjacentes utilizados por Pastor14.

φ (%) E (Mpa) ν Kf (Mpa) k (m²)

280 5

5000 0,2 1000 1 x 10-19

Com relação à discretização no tempo, o FPORO utilizou os incrementos

apresentados na tabela 4.3 a seguir:

Tab. 4.3. Incrementos de tempo utilizados no FPORO (Pastor14).

Tempo (s) ∆t (s)

0 – 10 1

10 – 10² 10

10² - 10³ 10²

10³ - 104 10³

104 - 105 104

105 - 106 105

Já no STARS, os intervalos de tempo utilizados são calculados pelo

próprio simulador, com base em: (i) variações máximas permitidas entre

intervalos de tempo sucessivos para os parâmetros definidos pelo usuário:

pressão ............................... 2000 kPa

saturação ............................. 0,15

temperatura .......................... 30°C

fração molar do óleo ............. 0,20

fração molar do gás .............. 0,20

(ii) intervalo de tempo máximo, nesse caso definido como cinco dias; (iii)

intervalos menores devido à dificuldade de convergência.

Ao considerar uma rocha sobrejacente com as mesmas características

geomecânicas da rocha-reservatório, ou seja, mesmos coeficiente de Poisson e

módulo de Young, há uma proximidade muito grande das respostas obtidas a

partir do FPORO e do STARS com modelo geomecânico, como mostra a figura

4.2. Uma pequena diferença pode ser notada ao perceber que o simulador

FPORO prevê um ligeiro aumento de poropressão acima de sua distribuição

inicial. Incluindo nessa comparação a resposta do simulador comercial sem a


opção geomecânica, percebe-se que sua resposta difere das outras duas no

sentido de manter mais a energia do reservatório, ou seja, para um mesmo

tempo este apresenta níveis de poropressão superiores aos demais. Vale

ressaltar, mais uma vez, que nesse modelo, apesar de não haver um módulo

geomecânico acoplado, esses efeitos são considerados de forma simplificada

através unicamente da compressibilidade da rocha-reservatório, sem considerar

as camadas adjacentes. Daí a diferença entre as previsões para o campo de

poropressões.

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

FPORO, E = 280 MPa

FPORO, E = 5000 MPa

STARS, sem módulo

STARS, com módulo

Fig.4.2. Comparação entre as distribuições de poropressão para os modelos FPORO e

STARS com e sem módulo geomecânico, para o tempo t=1000 dias.

Na prática, há casos de reservatórios que se encontram abaixo de

camadas cuja rigidez é mais elevada que a da própria rocha-reservatório.

Visando abordar essa situação, foi analisado no FPORO um caso extremo em

que o módulo de Young da camada sobrejacente é de 5000 Mpa, ou seja, quase

vinte vezes mais rígido que a rocha-reservatório. A resposta deste simulador

para essa situação também está indicada na figura 4.2. Ao comparar essa curva

com a geomecânica do STARS, verifica-se que essa situação provoca um

aumento de poropressão em níveis muito mais elevados em partes do

reservatório, ultrapassando em muito a distribuição inicial. Percebe-se, assim, o

possível erro embutido ao não considerar as camadas adjacentes na análise do

comportamento do reservatório.


A figura 4.3 mostra a evolução da poropressão no ponto mais externo do

reservatório ao longo do tempo para as quatro situações: STARS com e sem

opção geomecânica, FPORO com módulo de Young da camada sobrejacente

igual a 280 MPa e 5000 MPa. Mais uma vez fica clara a proximidade das

respostas dos simuladores geomecânicos ao considerar as rochas adjacentes

com as mesmas propriedades geomecânicas da rocha-reservatório, com uma

ligeira superioridade do FPORO. Com uma camada sobrejacente mais rígida,

percebe-se um aumento máximo de poropressão na extremidade do reservatório

em aproximadamente 2000 dias. Com o decorrer da simulação, seu

comportamento se aproxima das outras curvas geomecânicas.

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

34000

36000

38000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Tempo (dias)

Poro

pres

são

(KPa

)

FPORO, E = 280 MPaFPORO, E = 5000 MPaSTARS, sem móduloSTARS, com módulo

Fig.4.3. Evolução de poropressão em x = 3000 e z = 3150 m.

O aumento da poropressão gerado pelo FPORO considerando a rocha

sobrejacente mais rígida pode ser explicado a partir da seguinte análise: com a

produção de óleo do reservatório, há uma redução da pressão de poros nas

proximidades do poço, o que acarreta um aumento das tensões efetivas nessa

área. Por se tratar um corpo muito rígido, a camada sobrejacente se comporta

como uma viga, aliviando as tensões efetivas no limite externo do reservatório, o

que, por sua vez, implica em um aumento da pressão de poros nessa região.

Esse mecanismo é denominado efeito de arqueamento (Bévillon et al.35). O

acúmulo de poropressão é verificado durante o escoamento em regime

transiente, ou seja, até todo o reservatório ser atingido pelo diferencial de

pressão imposto pelo início da produção. Nos intervalos de tempo subsequentes,

esse excesso de poropressão é dissipado.


Ao comparar as respostas obtidas pelos modelos com e sem opção

geomecânica do STARS (figuras 4.2 e 4.3), verifica-se que no modelo

geomecânico a distribuição de poropressão se dá em níveis inferiores ao outro

modelo. A fim de completar essa comparação, a figura 4.4 mostra a produção

acumulada obtida através de cada um dos modelos, que indica que o modelo

geomecânico produziu aproximadamente 30% mais. A partir dessas duas

constatações, pode-se associá-las à ocorrência do mecanismo de compaction

drive, em que a compactação do reservatório contribui para a produção de fluido.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Tempo (dias)

Prod

ução

acu

mul

ada

(m³)

STARS, sem módulo

STARS, com módulo

Fig.4.4. Comparação entre as produções acumuladas.

A figura 4.5 mostra a distribuição das tensões efetivas máximas ao longo

do reservatório no tempo t = 2190 dias (6 anos). Verifica-se que a maior variação

de tensão se dá nas regiões próximas ao poço, enquanto a extremidade externa

sofre influência em níveis muito menos elevados, chegando a não sofrer

nenhuma alteração no bloco situado no canto inferior. Essa variação no campo

de tensões efetivas é refletida na porosidade, porém de uma forma não tão

sensível, como indicado na figura 4.6, i.e., no mesmo tempo, quase metade do

reservatório mantém sua porosidade inicial.

No simulador STARS sem opção geomecânica, a variação da porosidade

é função da compressibilidade da rocha, sendo este o único parâmetro

geomecânico considerado. Desta forma, verifica-se uma grande discrepância

entre as distribuições de porosidade obtidas através dos modelos com e sem

geomecânica, como indica a comparação entre as figuras 4.6 e 4.7.


Fig.4.5. Distribuição de tensões efetivas máximas ao longo do reservatório em t = 2190

dias, segundo o modelo geomecânico do STARS.

Fig.4.6. Distribuição de porosidade efetiva em t = 2190 dias segundo o modelo

geomecânico do STARS.

Fig.4.7. Distribuição de porosidade efetiva em t = 2190 dias segundo o modelo sem

módulo geomecânico do STARS.

5 Simulações Utilizando os Pragramas STARS e IMEX

As simulações executadas no programa STARS têm como objetivo a

obtenção de resultados que possam possibilitar uma comparação entre os

modelos geomecânicos adotados pelo próprio simulador térmico-composicional.

As situações modeladas procuram retratar casos facilmente encontrados na

prática. Já o simulador IMEX foi utilizado com o intuito de fazer uma análise dos

mecanismos envolvidos na equação de balanço de materiais em um sistema

depletivo.

Fig. 5.1. Tipos de malhas oferecidas pelos simuladores comerciais: (a) em coordenadas

Cartesianas; (b) em coordenadas cilíndricas; (c) malha com profundidade e/ou espessura

variável; (d) malha “corner point” (do manual do usuário do STARS).

Os simuladores comerciais IMEX e STARS oferecem vários tipos de

malhas: coordenadas cartesianas, cilíndricas, retangular com variação das

Simulações utilizando os programas STARS e IMEX 98

espessuras das camadas ou de sua profundidade, e malhas do tipo corner

points, em que as células apresentam dimensões irregulares. Para uma melhor

visualização, esses quatro tipos de malhas são apresentados na figura 5.1.

5.1 Simulações para ¼ de 5-Spot no Simulador STARS

Nessa primeira situação, foi utilizada uma malha cartesiana para modelar o

que é denominado por “¼ de five-spot” na indústria do petróleo. Seja um campo

de petróleo com vários poços produtores, como indicado na figura 5.2 a seguir.

Visando aumentar a recuperação de hidrocarbonetos, são dispostos alguns

poços injetores (de água ou vapor) em torno de cada poço produtor. O fluido

injetado tem como objetivo deslocar o óleo em direção ao poço produtor. A área

delimitada pela linha cheia é o que se chama five-spot; a área hachurada indica

o ¼ de five-spot. A linha vermelha indica a distância entre o poço produtor e o

injetor, denominada espaçamento.

x

y

Poços produtores

Poços injetores

Fig. 5.2. Vista superior do arranjo de poços 5-spot para produção de hidrocarbonetos.

A partir desse arranjo, foi definido o modelo básico, que tem um

espaçamento de 200 metros, de forma que os lados nas direções x e y têm

aproximadamente 280 metros. O reservatório está situado a uma profundidade

de 1500 metros, e tem 50 metros de espessura. A rocha reservatório foi

classificada como sendo um arenito consolidado, e foi especificada uma taxa de


injeção de água de 300 m³/dia. Para essa situação, foi utilizada uma malha

cartesiana regular, com 15 células nas direções x e y e 11 células na direção z

(profundidade), como mostra a figura 5.3. Os poços têm um raio de 0,127 metro,

ou cinco polegadas, completados ao longo de toda a extensão da camada do

reservatório.

z

yx

Fig. 5.3. Vista 3-D da malha utilizada na primeira etapa das simulações.

Esse caso foi simulado no STARS em duas situações: a primeira utilizando

o módulo geomecânico e a segunda considerando a geomecânica de forma

aproximada, através da compressibilidade da rocha. A fim de encontrar maiores

contrastes entre as duas opções, ou seja, situações em que a consideração da

geomecânica de forma consistente forneça resultados que justifiquem sua

utilização, foram geradas variações deste modelo. Os parâmetros variados foram

o tipo de rocha, a profundidade em que se encontra o reservatório, sua

espessura e a taxa de injeção de água. É importante ressaltar que cada situação

simulada envolve um conjunto de parâmetros, que juntos caracterizam o material

nessa situação. Assim, ao considerar nova situação, os parâmetros devem variar

como um todo, de forma a manter a consistência dos dados. A figura 5.4 ilustra

a consistência dos conjuntos de dados da rocha para cada situação. As

variações empregadas e os parâmetros são descritos a seguir.


Conjunto 1

Conjunto 2

Conjunto 3

φ, k, So, cf, E

500 m

1500 m

3000 m

φ, k, So, cf, E

φ, k, So, cf, E

Fig. 5.4. Esquema das situações simuladas.

Considerando um arenito consolidado, foram simuladas as seguintes

situações: Foram definidas três espessuras de reservatório (20, 50 e 80 metros).

Para cada caso foram consideradas três profundidades (500, 1500 e 300 metros)

e, para cada situação, a taxa de injeção de água teve três valores definidos (100,

300 e 500 m³/dia). Todos esses modelos foram repetidos para o caso de arenitos

não-consolidados. O diagrama da tabela 5.1 mostra mais claramente os casos

simulados, lembrando que a tabela deve ser duplicada para considerar os casos

em que a geomecânica foi considerada de forma aproximada. Desta forma, são

totalizadas 108 simulações, das quais apenas sete apresentaram problemas de

convergência, todas elas com o módulo geomecânico.

Para cada situação simulada, os dados básicos da rocha determinados

pelo usuário no STARS são: porosidade e compressibilidade, com as respectivas

pressões em que foram medidas, permeabilidade, e saturação de água conata.

Para um determinado ponto, devem ser descritas a pressão e a temperatura do

reservatório. Ao utilizar o módulo geomecânico, além destes parâmetros também

devem ser definidos o módulo de Young e o coeficiente de Poisson do material,

o estado de tensões iniciais totais em que se encontra o reservatório e o

gradiente de tensões. Também é oferecida uma opção para incluir o efeito de

amolgamento na região próxima ao poço, o que vem a alterar a permeabilidade

nessa área. Porém, optou-se por não utilizar essa função.


Tab. 5.1. Descrição geral dos modelos simulados. Arenito consolidado

Espessura 20 metros Profundidade 500 metros

Taxa de injeção 100 m³/dia

300 m³/dia

500 m³/dia Profundidade 1500 metros


300 m³/dia



300 m³/dia

500 m³/dia Espessura 50 metros

Profundidade 500 metros


300 m³/dia



300 m³/dia

500 m³/dia



300 m³/dia




300 m³/dia



300 m³/dia



300 m³/dia

500 m³/dia

Arenito não-consolidadoEspessura 20 metros



300 m³/dia

500 m³/dia



300 m³/dia



300 m³/dia




300 m³/dia



300 m³/dia



300 m³/dia




300 m³/dia



300 m³/dia

500 m³/dia



300 m³/dia

500 m³/dia

A porosidade do arenito pode ser determinada a partir de ensaios

laboratoriais feitos em amostras de testemunhos ou a partir de dados de


perfilagem. Neste trabalho, a porosidade foi obtida a partir de uma relação

porosidade – profundidade, indicada no gráfico da figura 5.5. Neste gráfico são

apresentadas curvas para arenitos quartzoso e lítico. O primeiro, com uma

predominância de grãos de quartzo, os quais representam normalmente 70% da

composição do material, apresenta uma melhor seleção de grãos. No arenito

lítico, o quartzo se encontra a uma proporção inferior a 40%, de forma geral, e o

componente lítico consiste em fragmentos de rocha. Com base nessas

distribuições de grãos, foi considerado que o comportamento da curva do arenito

quartzoso se aproxima mais do não consolidado, enquanto o lítico está mais

relacionado ao consolidado, mesmo sabendo que essa correlação não se aplica

a outras propriedades dos materiais, como resistência. Assim, acompanhando

essas curvas para obtenção da porosidade das rochas consolidada e não-

consolidada a uma profundidade de 500 metros (aproximadamente 1600 pés),

este gráfico fornece valores de porosidade em torno de 31% e 37%,

respectivamente. Porém, esses valores não são observados na realidade, em

especial o segundo. A não consistência desses valores pode ser justificada com

Fig. 5.5. Porosidade em função da profundidade para arenitos lítico e quartzoso (de

Poston & Berg17).


base no gráfico da figura 5.6, onde se verifica que para pequenas profundidades

é difícil a obtenção de dados a partir de testemunhos, sendo mais comuns os

perfis. Porém, nestes há uma grande margem de erro embutida, dificultando a

determinação da porosidade para reservatórios mais próximos à superfície.

Assim, para os casos em que o reservatório está situado a 500 metros de

profundidade foi adotada uma porosidade de 22% para arenito consolidado, o

que está de acordo com vários casos práticos. Para manter a consistência dos

dados, foi preservada a diferença apontada pelo gráfico 5.5, considerando-se,

assim, uma porosidade de 28% para o arenito não-consolidado.

Porosidade em função da profundidade (de Poston & Berg17). Fig. 5.6.

Para os reservatórios situados a uma profundidade de 1500 metros

(aproximadamente 5000 pés) a curva para arenito lítico do gráfico 5.5 aponta um

valor de 20% para o arenito consolidado, condizente com a realidade. Já no caso

do arenito não-consolidado, o valor obtido pelo gráfico é de aproximadamente


33%, o que mais uma vez não é verificado na prática. Assim, foi aplicada a

diferença entre os valores de porosidade obtidos para o caso do reservatório

mais raso, resultando em 26% para o arenito não-consolidado. Por fim, para os

reservatórios situados a uma profundidade de 3000 metros (aproximadamente

10.000 pés) foi adotado o mesmo procedimento anterior, chegando aos valores

de porosidade de 15% e 23% para os arenitos consolidado e não-consolidado,

respectivamente.

Na determinação da permeabilidade, foi utilizado o gráfico da figura 5.7,

apresentado em Timmerman4. Neste são apresentadas relações de

permeabilidade em função da porosidade para diversos tipos de arenitos,

classificados em: (i) bom e limpo; (ii) bem selecionado com grãos maiores; (iii)

extremamente bem selecionado com grãos menores; (iv) bem selecionado com

grãos menores; (v) moderadamente selecionado com grãos maiores; (vi) mau

selecionado com grãos menores. Nas situações analisadas, foram consideradas

as curvas (vi) e (ii) para os arenitos consolidado e não-consolidado,

respectivamente. Partindo das porosidades acima determinadas, para os

reservatórios situados a 500 metros de profundidade, os valores obtidos foram

Fig. 5.7. Relação entre porosidade e permeabilidade para: (1) arenito bom e limpo; (2)

bem selecionado com grãos maiores; (3) extremamente bem selecionado com grãos

menores; (4) bem selecionado com grãos menores; (5) moderadamente selecionado

com grãos maiores; (6) mau selecionado com grãos menores (de Timmerman4).


400 md e 5000 md; a 1500 metros, 25 md e 1000 md; e finalmente a 3000

metros, 8 md e 750 md.1

A saturação de água conata está fortemente relacionada à pressão capilar

(Timmerman4), a qual não está sendo considerada nesta análise. Apesar de

essa propriedade ser função também da porosidade, este parâmetro foi

relacionado apenas ao tipo de arenito, se consolidado ou não-consolidado, tendo

sido atribuídos os valores de 25% e 15%, respectivamente. De uma forma geral,

essa saturação é maior no caso de arenitos consolidados porque sua

permeabilidade é inferior ao não-consolidado, o que interfere diretamente no

escoamento de água da rocha-reservatório.

A determinação das compressibilidades dos volumes porosos em cada um

dos modelos simulados foi feita com base na correlação de Newman19,

apresentada na figura 2.5, a partir dos valores de porosidade. Os valores

adotados são apresentados na tabela 5.2, a seguir.

Tab. 5.2. Valores de saturação de água conata, porosidade e compressibilidade

adotados.

Compressibilidade Tipo de

Arenito Swi (%)

Profundidade (metros)

Porosidade (%) x 10-6 psi-1 x 10-7 kPa-1

500 22 2,3 3,34

1500 20 2,7 3,92 Consolidado 25

3000 15 3,6 5,22

500 28 40 58

1500 26 10 14,5 Não-

consolidado 15

3000 23 6 8,7

Vale ressaltar que nesse trabalho a compressibilidade da rocha é utilizada como

propriedade do material. Sua utilização como parâmetro de ajuste só seria

justificada caso se desejasse que os dois modelos chegassem ao mesmo

1 Na indústria do petróleo, a unidade utilizada para quantificar a permeabilidade intrínsica da rocha é o Darcy, onde 1 Darcy corresponde a 9.86 x 10-9 cm2. Com relação à condutividade hidráulica, 1 Darcy corresponde a aproximadamente 10-3 cm/s, considerando escoamento de água a 20°C (Goodman37).


resultado. Porém, a finalidade dessas simulações é comparar as respostas dos

dois simuladores para uma mesma situação modelada.

Outra definição necessária é a da temperatura do reservatório. Esse

parâmetro é obtido a partir do gradiente de temperatura geotérmico, apresentado

na figura 5.8 (Hearst et al.36). No sistema internacional, esse gradiente de 1°F

para cada 100 pés corresponde a 25°C por quilometro. Assim, nas profunidades

de 500 metros, 1500 metros e 3000 metros o reservatório se encontra nas

temperaturas de 30°C, 55°C e 92,5°C, respectivamente.

Fig. 5.8. Gradiente geotérmico (em Hearst et al.36).

Em complemento à temperatura, também deve ser definida a pressão em

um ponto de referência. Esse valor é obtido a partir do gradiente de pressão

litostática, apresentado no gráfico da figura 5.9, considerando uma situação de

pressões normalmente distribuídas.


Fig. 5.9. Gradientes de pressão para óleo (go), água salgada (gsw) e água fresca (gfw) (de

Poston & Berg17).

Para cada combinação de profundidade com espessura do reservatório, foi

determinada a pressão em sua camada central. Foi considerado que até o topo

do reservatório o meio poroso estava saturado com água doce; a partir daí foi

considerada a curva do óleo. Os valores obtidos são apresentados na tabela 5.3.

Tab. 5.3. Pressão de referência para os modelos simulados.

Espessura (metros)

Profundidade (metros)

Pressão (kPa)

500 5000

1500 14800 20

3000 29500

500 5100

1500 14900 50

3000 29600

500 5250

1500 15000 80

3000 29700

As pressões de fundo do poço foram definidas para cada profundidade:


Tab. 5.4. Pressões de fundo de poço utilizadas nas simulações. Profundidade

(metros)

Pressão de fundo de poço (kPa)

500 2000

1500 5000

3000 10000

Ao utilizar o módulo geomecânico do STARS, outros parâmetros são

solicitados, além dos já descritos. São eles: Módulo de Young, coeficiente de

Poisson e o estado de tensões atuantes. O módulo de Young E é calculado a

partir da relação a seguir, apresentada em Goodman37:

( )ν213 −= EK p (5.1)

onde é o inverso da compressibilidade da formação acima determinada e pK ν

é o coeficiente de Poisson. Este, por sua vez, foi considerado constante e igual a

0,2. Desta forma, os valores obtidos para o módulo de Young são apresentados

na tabela a seguir:

Tab. 5.5. Valores do módulo de Young utilizados na simulações dos modelos ¼ de 5-

spot. Módulo de Young

(x 106 kPa) Profundidade

(metros) Consolidado Não-consolidado

500 5,4 0,31

1500 4,6 1,24

3000 3,45 2,07

As tensões verticais e o gradiente relacionado é obtido a partir do gráfico

de tensão litostática, apresentado na figura 5.9, acima exposta. As tensões

horizontais foram estimadas a partir da teoria da plasticidade, com base na

formulação a seguir, apresentada em Goodman37:

−=

ννσσ

1vh (5.2)

As tensões totais obtidas são apresentadas na tabela a seguir.


Tab. 5.6. Tensões totais atuando no reservatório.

Tensão Total (kPa)

Gradiente da Tensão

total (kPa/m) Profundidade

(metros) Vertical Horizontal Vertical

500 11400 2840 22,6

1500 34000 8500 Horizontal

3000 68000 17000 5,65

Nessa primeira situação, o fluido de reservatório utilizado foi caracterizado

a partir de um típico Black-Oil. Com o intuito de publicar esses dados típicos,

mas sem comprometer a privacidade de qualquer uma das empresas de petróleo

que utilizam os serviços de análise de fluido feito pela Core Laboratories, de

Dallas, Texas, foi criada uma empresa fictícia, a Good Oil Company, cujos dados

de fluido foram publicados por Smith et al.18. Trata-se de um reservatório sub-

saturado, ou seja, todo o gás está dissolvido no óleo, onde não há a presença

nem de capa de gás nem de um aqüífero adjacente.

O fluido foi modelado no WINPROP, um simulador de propriedades de

equilíbrio multifásico de equações de estado, também desenvolvido pela CMG.

O fluido resultante é constituído por quatro pseudo-componentes

hidrocarbonetos, além da água. Os dados gerados são incluídos em duas

seções do arquivo do entrada de dados do STARS: no de inicialização e no de

dados do fluido propriamente dito.

Na inicialização é descrita a fração molar de cada componente em

condições de escoamento na superfície. Neste modelo, os componentes se

encontram na seguinte proporção:

Tab. 5.7. Composição dos fluidos de reservatório.

COMPONENTE FRAÇÃO MOLAR FASE

Água 1.0000 Aquosa

H2S a C1 0.3754 Oleica

C2 a C3 0.1662 Oleica

IC4 a Fc6 0.1255 Oleica

C7+ 0.3329 Oleica

Os pseudo-componentes apresentados na tabela acima foram gerados a

partir dos seguintes componentes: ácido sulfídrico (H2S), dióxido de carbono

(CO2), nitrogênio (N2) e metano (C1); etano (C2) e propano (C3); iso-butano


(IC4), n-butano (NC4), iso-pentano (IC5), n-pentano (NC5) e hexanos (FC6); e

heptanos (C7+). Essa composição está de acordo com a característica do

petróleo, uma vez que é constituído principalmente por carbono e hidrogênio,

este último representando entre 11-13% da composição (Amyx et al.38). A

segunda parte dos dados gerados pelo WINPROP deve ser inserida na seção

relativa às propriedades do fluido, onde devem ser inseridas as seguintes

informações para cada pseudo-componente: massa molecular, pressão e

temperatura críticas, coeficientes de K-values (são razões de equilíbrio em

função da temperatura e pressão, definidas para cada componente, de acordo

com Daubert39), densidade molar parcial nas condições de pressão e

temperatura de referência, compressibilidade do líquido à temperatura constante

e um coeficiente de correlação de expansão térmica.

5.1.1 Comparação entre Resultados com e sem o Módulo Geomecânico para ¼ de 5-Spot

Para cada uma das situações modeladas foi feita uma análise do campo

de poropressões e produção acumulada de óleo, de forma a possibilitar uma

comparação entre os simuladores com e sem o módulo geomecânico. Os dados

utilizados na comparação são referentes à seção A-B, indicada na figura 5.10 a

seguir, e ao tempo t=730 dias. O tempo de cada simulação é apresentado na

tabela 5.8. Com relação ao campo de poropressões, o que se verificou foi uma

grande similaridade entre os resultados, chegando, em muitos casos, a uma

coincidência dos valores obtidos. A diferença das poropressões entre os dois

modelos foi de no máximo 1%, sendo o valor superior resultante da simulação

em que a geomecânica é considerada de forma acoplada.

Verificou-se que as pequenas diferenças entre os campos de poropressão

estão diretamente associadas às diferenças significativas no volume de óleo

produzido ao final do tempo de simulação. Os dados relativos à produção para

todos os casos simulados são apresentados na tabela A.1 do apêndice A. A

tabela 5.8, a seguir, resume os casos que levaram a maiores discrepâncias entre

os volumes de óleo produzidos resultantes dos dois modelos.


(a) (b)

Fig. 5.10. Vistas da seção da malha a que se referem os dados de comparação: (a)

Superior; e (b) 3-D.

No caso de arenitos consolidados, essas discrepâncias se deram

principalmente em arenitos mais espessos, situados a maiores profundidades e

sujeitos a uma menor taxa de injeção. Com relação aos arenitos não

consolidados, as discrepâncias no volume de óleo produzido são mais

amplamente observadas. O reservatório menos espesso foi o que apresentou

menor número de ocorrências de discrepâncias, sendo que as verificadas se

deram em todas as profundidades analisadas, porém sujeitas à menor taxa de

injeção. Já o reservatório com espessura intermediária apresentou um maior

número de casos em que foram observadas diferenças entre as produções de

acumaladas de óleo. Esses casos ocorreram em todas as profundidades

analisadas, principalmente quando sujeitos à menor taxa de injeção. Ainda com

relação aos arenitos não-consolidados, as diferenças foram mais frequentes no

caso do reservatório mais espesso, embora sendo verificadas em todas as

profundidades e taxas de injeção.

A respeito dos arenitos consolidados e a ocorrência de discrepâncias em

reservatórios sujeitos a baixas taxas de injeção de água, pode-se dizer que

nesse caso a pressão do reservatório se encontra em um nível bastante inferior

ao original, o que resulta em uma maior tensão efetiva. Daí a maior influência do

efeito do mecanismo de compactação do reservatório na produção de óleo. Esse

efeito é mais observado em arenitos mais espessos situados em maiores

profundidades.


Tab. 5.8. Resumo das simulações que geraram maiores discrepâncias entre as

produções acumuladas de óleo resultantes dos modelos com e sem opção geomecânica

do STARS.

x10³ (m³) Diferença (%) (KPa) (%)

Consolidado 50 1500 100 sim 8 139não 5 132

3000 100 sim 7 172não 4 163

80 1500 100 sim 9 140não 4 128

3000 100 sim 35 172não 19 148

20 500 100 sim 20 177não 16 160

1500 100 sim 29 156não 23 142

3000 100 sim 32 159não 26 152

50 500 100 sim 58 282não 38 225

1500 100 sim 15 180não 19 151

3000 100 sim 17 207não 16 190

80 500 100 sim 40 364não 14 278

300 sim 52 647não 16 563

500 sim 37 786não 17 728

1500 300 sim 21 473não 37 423

500 sim 17 697não 16 659

3000 100 sim 12 266não 6 241

300 sim 11 503não 8 480

14.14%

Não-consolidado

4.56%

10.40%

13.03%

104

5.50%

9.43%

7.40%

23.65%

8.02%

15.95%

20.44%

4.43%

8.49%

9.40%

8.32%

5.14%

5.06%

0.91%

Arenito Espessura (m)

Produção acumuladaMaior diferença de

poropressão em t=730 dias (com módulo-sem módulo)Prof. (m)

Taxa de injeção (m³/dia)

Módulo geomecânico

(sim/não)

Tempo de simulação

(min.)

16 0.08%

30 0.14%

135 0.26%

2 0.03%

5 0.02%

9 0.02%

1 0.01%

2 0.01%

0.03%

260 0.52%

2 0.00%

12 0.06%

10 0.02%

4 0.06%

7 0.03%

4 0.06%

2

Por outro lado, as diferenças nas produções acumuladas de óleo em

arenitos não consolidados foram observadas em diversas situações. De uma

forma geral, foram mais presentes no caso de reservatórios sujeitos à menores

taxas de injeção, seguindo a mesma justificativa acima exposta. Porém, as

discrepâncias também estavam presentes em arenitos não consolidados

submetidos à taxas de injeção mais elevadas. Nessas situações, os

reservatórios eram mais espessos e situados a maiores profundidades. Percebe-

se, assim, que os arenitos não consolidados sofrem mais a influência do


mecanismo de compactação do reservatório na produção de óleo, quando

comparados aos arenitos consolidados.

Pode-se concluir, então, que apesar de o simulador que resume a

geomecânica através da compressibilidade da rocha fornecer uma boa

aproximação para o campo de pressão de poros, pode gerar resultados

divergentes para o volume de óleo produzido, ao comparar com o simulador que

representa a geomecânica de forma acoplada. A boa aproximação para o campo

de pressão de poros é decorrente do ajuste histórico, muito utilizado na indústria

do petróleo: devido ao grande grau de incertezas que envolve o conhecimento

do reservatório, durante sua vida produtiva os dados de produção são

comparados com os de simulação. Com base nos primeiros, os simuladores

comerciais são ajustados de forma a tentar reproduzir os dados reais. O que se

verificou é que esse ajuste histórico se torna mais difícil no que se refere à

produção de óleo, devido às discrepâncias acima descritas.

Abaixo são apresentados dois casos selecionados em que a pequena

diferença na poropressão resultou em diferenças relevantes na produção de

óleo. O primeiro trata de um arenito consolidado, espessura de 80 metros,

profundidade 3000 metros e taxa de injeção 100 m³/dia. O segundo considera

um arenito não consolidado, espessura de 80 metros, profundidade 500 metros,

sujeito a uma taxa de injeção de água de 100 m³/dia. A seguir são apresentados

gráficos comparativos entre as distribuições de poropressão ao longo do

reservatório para o tempo t=730 dias para as duas situações, ou seja, com e

sem a opção geomecânica, assim como os de produção de óleo acumulada. A

escolha deste intervalo de tempo para comparar as respostas é devido a este

ser o que apresentou maior discrepância entre os resultados. A gráfico da

distribuição de poropressão tem como base os dados relativos à linha AB

indicada na figura 5.10.

A figura 5.11 apresenta as distribuições de pressão de poros para o caso

do arenito consolidado, mostrando a coincidência entre os resultados obtidos a

partir dos dois modelos de consideração da geomecânica. A discrepância entre

os resultados de produção é indicada no gráfico da figura 5.12. O modelo com

opção geomecânica produziu aproximadamente 170 mil m³ de óleo, enquanto o

modelo sem essa opção produziu quase 150 mil m³ (o geomecânico produziu


14% a mais), correspondendo a uma recuperação de 24 e 20%,

respectivamente.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

com geomecânica

sem geomecânica

Fig. 5.11. Distribuições de poropressão para arenito consolidado, espessura 80 metros,

profundidade 3000 metros, taxa de injeção 100 m³/dia, com e sem o módulo

geomecânico, no tempo t=730 dias, ao longo da linha AB.

Fig. 5.12. Produção de óleo acumulada em condições padrão para arenito consolidado,

espessura 80 metros, profundidade 3000 metros, taxa de injeção 100 m³/dia, com e sem

o módulo geomecânico.


Os resultados referentes ao caso do arenito não-consolidado selecionado

são apresentados nos gráficos a seguir. A figura 5.13 apresenta a distribuição de

pressão de poros, onde mais uma vez se verifica a boa aproximação entre os

dois modelos de consideração da geomecânica. As discrepâncias entre

produção são verificadas no gráfico da figura 5.14. O modelo com geomecânica

acoplada resultou em uma produção quase 25% mais elevada que o modelo

aproximado, ou seja, quase 90 mil metros cúbicos.

Com base nos resultados apresentados, verifica-se que o simulador sem o

módulo geomecânico levou menos tempo para chegar ao fim, de uma forma

geral, e que não apresentou problemas de convergência em nenhuma das

situações simuladas. Porém, a divergência em relação aos dados de produção

gerados pelos dois simuladores de escoamento leva a optar pelo modelo com o

módulo geomecânico acoplado, uma vez que esse tem sua formulação baseada

em conceitos geomecânicos mais rigorosos.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

com geomecânica

sem geomecânica

Fig. 5.13. Distribuições de poropressão para arenito não-consolidado, espessura 80

metros, profundidade 500 metros, taxa de injeção 100 m³/dia, com e sem o módulo

geomecânico, no tempo t=730 dias, ao longo da linha AB.


Fig. 5.14. Produção de óleo acumulada em condições padrão para arenito não-

consolidado, espessura 80 metros, profundidade 500 metros, taxa de injeção 100 m³/dia,

com e sem o módulo geomecânico.

As 108 simulações acima descritas e analisadas foram geradas com a

finalidade de comparar os modelos de escoamento do STARS. Porém, podem

também servir como base para vários outros estudos. Desta forma, a seguir será

feita uma comparação das respostas de um reservatório para diferentes taxas de

injeção, e, posteriormente, uma análise do efeito do grau de consolidação da

rocha de interesse no comportamento do reservatório.

5.1.2 Efeitos da Variação da Taxa de Injeção

Esta análise é baseada na simulação com módulo geomecânico de um

reservatório com 80 metros de espessura, situado a 3000 metros de

profundidade, cuja rocha é classificada como um arenito consolidado. As taxas

de injeção variaram entre 100, 300 e 500 m³/dia. A seguir são comparadas as

distribuição de poropressão, o campo de tensões efetivas máximas e a

saturação de óleo ao longo da seção do reservatório indicada na figura 5.10, no


tempo t=730 dias. Por fim, são comparadas as produções de óleo acumuladas

em cada uma das situações, as taxas de produção de óleo e o tempo de

erupção de água (intervalo de tempo que a água injetada leva para alcançar o

poço produtor), observado no gráfico de percentual de água produzido em

relação à vazão de líquidos, denominado cortes de água.

Na análise do gráfico de taxas de produção de óleo, figura 5.15, percebe-

se claramente um aumento da vazão decorrente de uma maior taxa de injeção

de água. As curvas, porém, mostram uma queda abrupta nos casos de taxa de

injeção de 300 e 500 m³/dia, indicando o momento em que a água de injeção

alcança o poço produtor e começa a ser produzida. Esse momento, denominado

de erupção de água, é indicado mais claramente no gráfico da figura 5.16, em

que o percentual de água produzida sofre uma elevação acentuada em

aproximadamente t=750 e t=1200 dias para os casos de taxa de injeção de 500

e 300 m³/dia, respectivamente. No caso de taxa de injeção de 100 m³/dia, a

erupção de água não chega a ocorrer dentro do tempo de simulação, de 5 anos.

Fig. 5.15. Taxa de produção de óleo em condições padrão para arenito consolidado,

espessura 80 metros, profundidade 3000 metros e taxas de injeção de 100, 300 e 500

m³/dia.


Fig. 5.16. Percentual de água produzida em relação à vazão de líquidos, em condições

padrão, para arenito consolidado, espessura 80 metros, profundidade 3000 metros e

taxas de injeção de 100, 300 e 500 m³/dia.

As diferenças no comportamento de produção de óleo acumulada são

claramente verificadas no gráfico da figura 5.17. Ao analisar as curvas referentes

às taxas de injeção de 300 e 500 m³/dia, percebe-se que, apesar de as duas

alcançarem praticamente o mesmo valor de produção acumulada ao final da

simulação, o caso com taxa de injeção mais elevada fornece uma produção

maior nos períodos de tempo iniciais, indicado por uma inclinação mais

acentuado na sua curva. Pode-se estimar que a curva com taxa de injeção de

100 m³/dia deve alcançar valores de produção acumulada próximos aos das

outras curvas, porém em um momento além do tempo desta simulação. Ao

calcular os fatores de recuperação finais para cada uma das situações, pode-se

comparar a eficiência desses métodos de recuperação e comprovar as

observações acima descritas, já que os casos com taxa de injeção de 300 e 500

m³/dia apresentam fatores de recuperação de 43,7% e 44,4%, respectivamente,

enquanto o de 100 m³/dia, apenas 23,9%.


Fig. 5.17. Produção de óleo acumulada em condições padrão para arenito consolidado,

espessura 80 metros, profundidade 3000 metros e taxas de injeção de 100, 300 e 500

m³/dia.

O efeito do deslocamento do óleo provocado pela injeção de água pode

ser verificado através da saturação de óleo no reservatório mostrado na figura

5.18. Percebe-se que para taxas de injeção mais elevadas, o deslocamento do

óleo em direção ao poço produtor é mais pronunciado.

Com relação à distribuição de poropressões (figura 5.19), em todos os

casos percebe-se uma distribuição decrescente das áreas mais próximas ao

poço injetor em direção ao produtor. Porém, os níveis de poropressão próximo

ao poço injetor são mais elevados quanto maior a taxa de injeção, chegando a

ultrapassar o valor inicial para os casos de taxa de injeção de 300 e 500 m³/dia.

Já na região próxima ao poço produtor, as poropressões atingem valores mais

próximos nos três casos.


Taxa de injeção de 100 m³/dia



Fig. 5.18. Saturação de óleo em t=730 dias para arenito consolidado, 80 metros de

espessura, 3000 metros de profundidade e taxas de injeção de 100, 300 e 500 m³/dia.




Fig. 5.19. Distribuição de poropressão (em kPa) ao longo do reservatório em t=730 dias

para arenito consolidado, 80 metros de espessura, 3000 metros de profundidade e taxas

de injeção de 100, 300 e 500 m³/dia.


A distribuição de tensões efetivas máximas, indicadas na figura 5.20,

mostra que na situação com menor taxa de injeção as tensões são mais

elevadas, como já era de se esperar – uma menor taxa de injeção implica em

uma menor pressão média do reservatório (figura 5.21) e, de acordo com o

princípio das tensões efetivas de Terzaghi, em uma maior distribuição de

tensões efetivas. Com isso, para o caso de taxa de injeção de 500 m³/dia, indica

a menor distribuição de tensões efetivas máximas, uma vez que o reservatório

apresenta uma maior pressão de poros nessa situação.

Taxa injeção 100 m³/dia



Fig. 5.20. Campo das tensões efetivas máximas (em kPa) em t=730 dias para arenito

consolidado, 80 metros de espessura, 3000 metros de profundidade e taxas de injeção

de 100, 300 e 500 m³/dia.

No gráfico da figura 5.21 é feita uma comparação direta entre as

distribuições de poropressão ao longo da linha AB, indicada na figura 5.10, e as

pressões médias no tempo t=730 dias para o modelo de reservatório de ¼ de 5-

spot com taxas de injeção de 100, 300 e 500 m³/dia. A situação em que foi

considerada uma taxa de injeção de água maior resultou em uma pressão média

no reservatório mais próxima da original, como já era de se esperar. Essa

distribuição de poropressão mais elevada acaba por proporcionar seu maior

potencial de produção, comparado aos demais casos.


0

10000

20000

30000

40000

50000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)t=0

Pressão para taxa injeção 100 m³/dia



Pressão média - 100 m³/dia



Fig. 5.21. Comparação das distribuições de poropressão ao longo da linha AB (da figura

4.11) e das pressões médias no reservatório para as situações de taxa de injeção de

100, 300 e 500 m³/dia, em t=730 dias.

Apenas com fins ilustrativos, as distribuições de poropressão são

apresentadas em uma figura tridimensional (figura 5.22), de modo a facilitar a

verificação da influência de diferentes taxas de injeção na pressão do

reservatório como um todo.





Fig. 5.22. Distribuição de pressão de poros em t=730 dias para arenito consolidado, 80

metros espessura, 3000 metros profundidade sujeito às taxas de injeção de 100, 300 e

500 m³/dia.


5.1.3 Efeitos do Grau de Consolidação do Reservatório

Ao analisar a correlação de Newman19 para compressibilidade do meio

poroso, percebe-se que, no caso de arenitos não-consolidados e friáveis,

qualquer pequena variação no valor da porosidade implica em uma grande

diferença na compressibilidade relacionada, uma vez que este eixo está em

escala logarítimica. Como para esses materiais a determinação em laboratório

da porosidade é difícil de ser alcançada com alguma precisão (principalmente no

caso de material não-consolidado), com esta análise procura-se demonstrar a

implicação da utilização de um valor mal dimensionado desta propriedade, o que

ocorre com certa freqüência.

Para a análise do efeito do grau de compressibilidade no comportamento

do reservatório foram feitas simulações sem o módulo geomecânico com um

modelo de ¼ de 5-spot cuja espessura é de 20 metros, situado à 1500 metros de

profundidade, sujeito a uma taxa de injeção água de 300 m³/dia. Foram

simulados arenitos não-consolidades e friáveis, cujos valores de

compressibilidade do volume poroso estão indicados na tabela 5.9, e

comparados com arenitos consolidados:

Tab. 5.9. Parâmetros utilizados na análise do grau de consolidação do reservatório.

Compressibilidade do volume

poroso

Comparação Material Porosidade

(%) x10–6 kPa -1 x10–6 Psi -1

28 2,9 20

28 5,8 40 Arenito

não-consolidado 28 10,2 70 1

Arenito

consolidado 28 0,29 2

20 0,29 2

21 1,45 10 Arenito friável

22 5,80 40 2

Arenito

consolidado 21 0,39 2,7


Para uma melhor compreensão da facilidade com que esses valores de

compressibilidade se confundem nas curvas, o gráfico da correlação de

Newman19 é mais uma vez exposto através da figura 5.23, com a indicação dos

valores que constam na tabela 5.9.

Fig. 5.23. Correlação de Newman com indicação dos valores de compressibilidade do

volume poroso utilizados (de Poston & Berg17).

Para cada uma das situações, ou seja, arenito não-consolidado e friável,

são apresentados gráficos comparativos da distribuição de poropressão e a

saturação de óleo no tempo t=730 dias ao longo da seção do reservatório

indicada na figura 5.10. São também apresentados os gráficos de cortes de água

e de produção acumulada.

Para os arenitos não-consolidados, a figura 5.24 mostra que há uma

grande proximidade nas produções de óleo acumuladas. Também os fatores de

recuperação resultantes são muito similares, como mostra a tabela 5.10. Porém,

estes valores diferem muito dos resultados para arenito consolidado sob as

mesmas condições. Apesar de as compressibilidades variarem bastante para

cada uma das situações, o efeito é mais claro no caso de menor

compressibilidade, que resultou em uma menor produção. Esse efeito também é


verificado no volume de óleo original no reservatório. Para o arenito consolidado,

o volume de óleo original é inferior devido a uma combinação entre os efeitos de

maior saturação de água conata e menor compressibilidade da formação.

Fig. 5.24. Produção de óleo acumulada para arenitos não consolidados.

Tab. 5.10. Resultados de produção para arenitos não-consolidados.

Material Swi (%)

Porosidade (%)

Compressibilidade (x 10-6 psi–1)

Volume de

óleo in situ

(m³)

Produção

de óleo

acumulada

(m³)

Fator de

Recuperação

(%)

28 20 380.950 211.930 55,6

28 40 380.950 214.930 56,4 Arenito não

consolidado 25

28 70 380.950 219.140 57,5

Arenito

consolidado 15 28 2 240.100 112.430 46,8

Assim, com base nesses dados, pode-se dizer que quanto menos

compressível é o arenito, menor a variação de espaço poroso em condições de

reservatório, implicando em um menor volume de óleo produzido.


Com relação à erupção de água, o esperado era que sua ocorrência se

desse primeiro no caso do arenito não-consolidado com menor

compressibilidade. Na realidade, caso o sistema fosse rígido, o tempo para a

água injetada alcançar o poço produtor seria apenas o necessário para percorrer

o espaçamento entre os dois poços. Porém, verifica-se através da figura 5.25

que quanto maior a compressibilidade do material, menor o tempo de erupção

de água. De acordo com o gráfico da figura 5.25, para arenitos não consolidados

com compressibilidades de 70, 40 e 20 psi-1, o tempo de erupção de água se dá

em 700, 725 e 760 dias, respectivamente. Para um melhor entendimento, deve-

se analisar o gráfico de permeabilidade relativa do óleo em relação à água

(figura 5.26). Para o caso retratado no gráfico 5.25, a permeabilidade relativa da

água é superior à do óleo, já que a saturação de água está em um ponto mais

avançado. Para evitar essa situação, é preciso retroceder no gráfico de

permeabilidade relativa para um ponto com maior saturação de óleo. Isso pode

ser feito através da diminuição da mobilidade do óleo (razão entre a

permeabilidade e a viscosidade do fluido), mais precisamente com o aumento da

viscosidade dos pseudo-componentes em duas ordens de grandeza. Assim, por

exemplo, a viscosidade do pseudo-componente mais pesado C7+ passa de

5.29E-02 para 5,29 cP. Os resultados obtidos são apresentados na figura 5.27.

Fig. 5.25. Cortes de água para arenitos não consolidados.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Saturação de água

Perm

eabi

lidad

e re

lativ

a

Krw

Krow

1as sim. 2as sim.

Fig. 5.26. Curva de permeabilidade relativa água-óleo.

Fig. 5.27. Cortes de água para arenitos não-consolidados em novo ponto da curva de

permeabilidade relativa.

Apesar de as curvas dos arenitos não-consolidados estarem muito

próximas, é possível verificar que a erupção de água ocorre primeiro no material

menos compressível e por último no mais compressível, como esperado.

No gráfico da figura 5.27, nota-se que as curvas de cortes de água para os

arenitos não-consolidados apresentam uma forma mais inclinada quando

comparadas às curvas do gráfico 5.25. Essa diferença se dá porque no caso em


que o óleo tem menor mobilidade ainda há uma grande quantidade de óleo a ser

produzida depois da erupção de água, como pode ser verificado no gráfico da

figura 5.28. Ainda com relação ao gráfico da figura 5.27, observa-se que as

curvas, logo nos tempos iniciais, apresentam uma pequena distorção. Esta é

devido ao distúrbio causado ao sistema pelo processo de injeção de água.

Quando há uma estabilidade na pressão média do sistema, as curvas passam a

se comportar de forma contínua, sem oscilações. Essa observação também é

válida para o gráfico da figura 5.24.

Fig. 5.28. Produção acumulada para arenitos não consolidados em novo ponto da curva

de permeabilidade relativa.

A distribuição de poropressão para os arenitos não consolidados é

coerente com os demais dados apresentados anteriormente. Nos três casos, as

distribuições são muito próximas, sendo que o caso com maior

compressibilidade apresenta poropressão mais elevada (figura 5.29),

consequência dos efeitos combinados da compressibilidade da rocha e injeção

de água. Ao comparar essa distribuição com a do arenito consolidado e a inicial,

percebe-se como os arenitos não consolidados dissipam de uma forma muita

rápida a poropressão original do reservatório, como mostra o gráfico da figura


5.30, em que são apresentadas as curvas de distribuição de poropressão ao

longo do reservatório no tempo t=730 dias.

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

cpor 20

cpor 40

cpor 70

Fig. 5.29. Distribuição de poropressão em t=730 dias para arenitos não consolidados.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

cpor 20

cpor 40

cpor 70

consolidado

Fig. 5.30. Comparação entre distribuições de poropressão em t=730 dias para arenitos

não consolidados e consolidado.

No caso de arenitos friáveis, as produções de óleo acumuladas são

apresentadas no gráfico da figura 5.31:


Fig. 5.31. Produção acumulada para arenitos friáveis.

Assim como no caso dos arenitos não-consolidados, para os friáveis as

produções acumuladas apresentam um comportamento similar, porém com

diferenças mais visíveis, em que o material mais compressível apresenta maior

produção de óleo. Isso se deve ao fato de o material ser mais sensível à

variação de poropressão decorrente da retirada de fluido, o que implica na

expansão da formação, que por sua vez colabora no deslocamento de óleo em

direção ao poço produtor. Percebe-se que essa diferença entre produções

acumuladas ocorre no estágio inicial da produção, ou seja, antes da ocorrência

de erupção de água, e depois é mantida até o final da simulação. A curva

relativa ao material menos compressível indica que este material começou a

produzir água pouco antes dos demais, como confirma o gráfico da figura 5.32.

A tabela 5.11 apresenta os valores de volume original de óleo no

reservatório, produção de óleo acumulada e recuperação a fim de quantificar o

efeito da compressibilidade da rocha. Mais uma vez, verifica-se que quanto mais

incompressível é o material (sendo a compressibilidade medida em condições de

superfície), menos variação sofre o volume poroso ao considerá-lo em condições

de reservatório, resultando em um menor volume de óleo in situ. No caso do

material mais compressível, ao considerar condições de reservatório, o material


sofre compressão, aumentando o espaço poroso e, consequentemente,

apresentando um maior volume de óleo in situ.

Fig. 5.32. Cortes de água para arenitos friáveis.

Tab. 5.11. Resultados de produção para arenitos friáveis.

Material Swi (%)

Porosidade(%)

Compressibilidade (x 10-6 psi–1)

Volume

de óleo

in situ

(m³)

Produção

de óleo

acumulada

(m³)

Fator de

Recuperação

(%)

20 2 272.110 146.960 54,0

21 10 285.720 154.670 54,1 Arenito

friável 25

22 40 299.320 164.680 55,0

Arenito

consolidado 15 21 2,7 240.100 112.290 46,8

No gráfico da distribuição de poropressão ao longo do reservatório no

tempo t=730 dias (figura 5.33), percebe-se a proximidade das curvas referentes

aos arenitos friáveis. Porém, ao comparar essas curvas com a inicial e a do

arenito consolidado (figura 5.34), verifica-se, assim como no caso de arenitos


não-consolidados, a rapidez com que esses reservatórios dissipam sua energia

natural.

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

cpor 2

cpor 10

cpor 40

Fig. 5.33. Distribuição de poropressão para arenitos friáveis

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 50 100 150 200 250Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

cpor 2

cpor 10

cpor 40

consolidado

Fig. 5.34. Distribuição de poropressão para arenitos friáveis e consolidado.


5.2 Simulações para Sistema Radial Depletivo no Simulador IMEX

A segunda etapa das simulações tem como objetivo quantificar a

colaboração de cada um dos mecanismos primários de produção na retirada de

óleo do reservatório. Ou seja, através da equação de balanço de materiais,

conforme apresentada no item 2.1, procura-se apresentar, de forma ponderada,

o percentual de produção relativo a cada mecanismo: expansão de rocha, gás

em solução, óleo e água conata (nessa situação, não foram considerados a

existência de capa de gás e influxo de água a partir de um aquífero adjacente).

Para isso, foi utilizada uma malha em coordenadas cilíndricas, como mostra a

figura 5.35. Esse modelo consiste em ¼ da circunferência, com um poço no

centro de 0,127 metros de raio (ou cinco polegadas). O reservatório tem um raio

externo de 300 metros, divididos em 10 células cujas dimensões seguem uma

escala logarítimica crescente. Essa distribuição visa facilitar a observação da

região mais próxima ao poço, já que essa é mais sensível aos efeitos da

produção de óleo, uma vez que está sujeita a maiores diferenciais de pressão. O

reservatório tem 80 metros de espessura, divididos em 11 camadas de 7,3

metros cada.

Fig. 5.35. Modelo cilíndrico para representação do reservatório: (a) vista transversal e (b)

vista superior.


A rocha-reservatório foi classificada como um arenito consolidado. O topo

do reservatório se encontra a uma profundidade de 1500 metros. Os parâmetros

utilizados foram obtidos com base nos dados apresentados no item 5.1,

apresentados de forma resumida na tabela 5.12.

Tab. 5.12. Parâmetros utilizados nas simulações com modelo radial.

DESCRIÇÃO VALOR

Porosidade (%) 20

Permeabilidade (md) 25

Compressibilidade da rocha (kPa-1) 3,92 x 10-7

Saturação de água residual (%) 25

Profundidade de referência (m) 1540

Pressão de referência (kPa) 14800

Temperatura de referência (°C) 55

Pressão no fundo do poço (kPa) 5000

Visando comparar diferentes situações, as simulações foram feitas em três

estágios, cada um considerando um diferente tipo de reservatório: Black-Oil (na

indústria do petróleo, esse jargão define um óleo médio), óleo-volátil e óleo-

pesado. Desta forma, os resultados podem ser apresentados de forma

comparativa, mostrando a eficiência de cada mecanismo para cada situação

analisada.

Dados básicos para a utilização da equação de balanço de materiais,

como apresentada no item 2.1, são os volumes de óleo e gás tanto nas

condições do reservatório como nas condições padrão. Para facilitar o emprego

da equação de balanço de materiais foi utilizado o simulador Black-Oil IMEX,

também desenvolvido pela CMG, cuja formulação foi apresentada no item 3.2. O

IMEX considera os componentes hidrocarbonetos em duas fases: oleica e

gasosa. Com relação à consideração da geomecânica, esta é feita apenas na

forma aproximada, semelhante ao STARS sem o módulo geomecânico. As

equações de escoamento utilizadas são as de escoamento multifásico com

formulação Black-Oil, e podem ser encontradas de forma detalhada em várias

referências, como Aziz & Settari29, Crichlow40 e Peaceman41.

O fluido Black-Oil foi o mesmo utilizado nas simulações do modelo de ¼ de

5-spot. Já os fluidos óleo-volátil e óleo-pesado foram também gerados no


WINPROP, a partir do primeiro fluido. A única diferença, no entanto, está no

ponto do envelope de fase em que cada um se encontra, o que foi feito através

da definição de diferentes temperaturas iniciais do reservatório. A figura 5.36

mostra os pontos do envelope de fase correspondentes a cada fluido.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

-200 -100 0 100 200 300 400

Temperatura (° C)

Pres

são

(kPa

)

A B

Pc

C

Fig. 5.36. Envelope de fases dos fluidos utilizados.

Assim, na figura 5.36 a isoterma A identifica o óleo-pesado, B o Black-Oil e

C o óleo-volátil. O que chama a atenção na diferença entre eles é o fato de o

óleo volátil ter mais componentes leves em sua composição; o inverso é

verificado no caso do óleo pesado, enquanto o Black-Oil é o caso intermediário.

Para as três situações, as respostas das simulações para o campo de

poropressões foram analisadas em três diferentes intervalos de tempo, sendo

que no tempo t = 10 dias foi verificado o maior contraste entre as curvas. Dessa

forma, a figura 5.37 apresenta uma comparação direta entre essas distribuições

nesse momento.


4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 50 100 150 200 250 300

Distância (m)

Poro

pres

são

(KPa

)

t=0

Óleo-volátil

Black oil

Óleo-pesado

Fig. 5.37. Comparação entre as distribuições de poropressão ao longo da distância entre

os reservatórios Black-Oil, óleo-volátil e óleo-pesado, no tempo t=10 dias.

O gráfico da figura 5.37 mostra claramente que o reservatório com óleo-

volátil apresenta uma melhor preservação da energia original do reservatório, já

que tem um maior percentual de gás dissolvido. Com a diminuição da pressão,

decorrente da produção, esse óleo sofre mais expansão que os demais, o que

favorece a ocupação do espaço poroso pelo óleo, mantendo a poropressão em

níveis mais próximos do original. Já no caso dos fluidos Black-Oil e o óleo-

pesado, suas distribuições quase se confundem, sendo a do segundo

ligeiramente inferior. Esse resultado era esperado, uma vez que o óleo-pesado

tem menos gás dissolvido em sua composição.

A tabela 5.13 apresenta os resultados obtidos a partir do balanço de

materiais para os dois modelos de reservatório no tempo t = 10 dias. Os

mecanismos primários analisados são expansão do óleo (Io), expansão da água

(Iw) e expansão da formação (If).

Tab. 5.13. Índices para mecanismos de produção primários, para t=10 dias.

Tipos de Reservatório Pontenciais (%) Óleo-volátil Black oil Óleo-pesado

Ιo 94 82 60

Ιw 4 12 26

Ι f 2 7 14

No caso de reservatórios subsaturados, a tabela 5.13 mostra a grande

influência do potencial do óleo, ainda mais forte quanto mais leve é o óleo (ou


seja, maior quantidade de gás em solução). Esse gás distribuído de forma

dispersa no óleo, com a queda de pressão no reservatório, expande e desloca o

óleo em direção ao poço produtor. Percebe-se, também, que o potencial de

produção da formação é o menor em todos os casos. Inversamente ao potencial

do óleo, quanto mais pesado o óleo in situ, maior a influência do potencial da

formação na produção. Pode-se dizer que esse mecanismo traduz os efeitos

geomecânicos nos simuladores de escoamento tradicionais, em que o único

parâmetro geomecânico utilizado é a compressibilidade da rocha.

Na tabela 5.14 constam os fatores de recuperação obtidos para cada tipo

de reservatório ao final dos 1825 dias de simulação. Observa-se que o mais

eficiente é o óleo-volátil, enquanto o menos é o óleo-pesado. Essa verificação

mais uma vez mostra a importância da existência de gás em solução na

produção de óleo, já que o óleo mais leve apresentou um maior fator de

recuperação. Observa-se, também, que o caso em que o efeito geomecânico,

traduzido pelo índice de produção da formação, influenciou mais a produção

resultou em um menor fator de recuperação.

Tab. 5.14. Fatores de recuperação ao final de 1825 dias.

Tipos de Reservatório

Óleo volátil Black-oil Óleo pesado

Fator de

recuperação

(%)

19 7 3

6 Conclusões e Sugestões

6.1 Conclusões

Da comparação dos simuladores geomecânicos FPORO E STARS pode-

se concluir que para o caso analisado, em que o FPORO considera uma rocha

sobrejacente com as mesmas características que a rocha-reservatório, a

consideração das camadas adjacentes na simulação não influencia na resposta

para o campo de pressão de poros obtido. Porém, no caso da rocha

sobrejacente ser muito mais rígida que a rocha-reservatório, o FPORO indica a

influência das tensões in situ nos diferentes campos de poropressão obtidos a

partir dos dois simuladores geomecânicos no reservatório de petróleo.

Comparando as respostas dos simuladores com e sem opção

geomecânica do STARS para o sistema bidimensional, verifica-se a contribuição

do mecanismo de compaction drive na produção. O modelo com essa

consideração apresentou uma produção acumulada aproximadamente 30%

maior e, conseqüentemente, uma distribuição de poropressão em níveis

inferiores, já que se trata de um sistema muito pouco compressível.

Ainda com relação ao modelo bidimensional, é verificada uma diferença

entre as previsões da porosidade da rocha-reservatório obtidas pelos dois

modelos do STARS. Enquanto o modelo acoplado considera a variação das

tensões efetivas no reservatório, o modelo convencional trata a variação da

Conclusões e sugestões 140

porosidade como função da compressibilidade da rocha, o que induz à

consideração do reservatório como sendo uma material mais sensível à

compactação do que ocorre na realidade.

Foram feitas comparações em um sistema 3D entre as duas formas de

consideração da geomecânica oferecidas pelo simulador térmico-composicional

STARS - aproximada e acoplada. Como uma extensão do caso bidimensional,

também foram verificados alguns casos em que a consideração da geomecânica

de uma forma mais rigorosa resultou em uma produção de óleo mais elevada.

Na situação que apresentou maior discrepância entre os resultados, o modelo

acoplado produziu quase 25% a mais que o aproximado. Desta forma, verifica-se

a importância da consideração da geomecânica na simulação de reservatórios

de petróleo.

Ao analisar os efeitos de diferentes taxas de injeção em um reservatório de

arenito consolidado verificou-se que uma maior taxa de injeção de água resulta

no estabelecimento de uma pressão média mais próxima da original do

reservatório. Com isso, obtém-se uma maior eficiência desse mecanismo na

produção, resultando em um maior fator de recuperação.

Na análise do efeito de diferentes graus de consolidação da rocha de

interesse no comportamento do reservatório, verificou-se que os arenitos não

consolidados e friáveis dissipam a energia do reservatório de uma forma muito

mais rápida que os materiais consolidados. Isso porque, com a diminuição da

pressão de poros decorrente da produção de óleo, o arenito consolidado tem

uma maior capacidade de expansão, reduzindo o espaço poroso e assim

colaborando na manutenção da pressão. Isso considerando que o arenito

consolidado apresentou uma produção acumulada inferior à do arenito não-

consolidado ou friável. Nestes, em decorrência à maior retirada de fluido do

reservatório, houve uma queda na pressão média da formação de interesse.

O balanço de materiais em um sistema depletivo para três diferentes tipos

de reservatórios subsaturados mostra que o principal mecanismo responsável

pela produção de óleo é o de expansão do óleo. Esse efeito é ainda mais

relevante quanto mais leve for o óleo a ser produzido, favorecendo a obtenção

de um fator de recuperação mais elevado. Por outro lado, a contribuição da

geomecânica, representada pela compressibilidade da rocha, foi a que


apresentou menor influência na produção de óleo do reservatório. A situação em

que sua participação foi maior resultou no menor fator de recuperação. A

expansão do gás em solução também colabora na manutenção da poropressão

do reservatório.

6.2 Sugestões

A engenharia de reservatórios, como aqui demonstrado, é um assunto que

envolve diversas áreas de conhecimento, oferecendo, assim, inúmeras linhas de

estudo visando um maior aprofundamento no assunto.

A comparação entre os simuladores geomecânicos STARS e FPORO

teve como base a análise de um único caso. Para proporcionar um melhor

embasamento às conclusões obtidas a partir dessa comparação, devem ser

considerados novos cenários. Como sugestão, o simulador desenvolvido pela

PUC-Rio pode modelar um caso em que a vazão de produção seja especificada,

ao invés da pressão de fundo de poço. Assim, pode-se fazer uma análise da

energia do reservatório utilizada para uma mesma produção acumulada, a partir

dos dois simuladores geomecânicos. Essa condição possibilitaria quantificar a

influência das rochas adjacentes como mecanismo de produção, através de um

balanço de materiais.

Ainda com relação aos simuladores geomecânicos, é válida a análise de

um modelo axi-simétrico no FPORO, representando uma condição mais próxima

de casos reais. Uma sugestão para a CMG é a de incluir as rochas adjacentes

em seu modelo geomecânico, assim como é considerado no simulador

desenvolvido pela PUC-Rio.

Uma outra sugestão relacionada ao FPORO envolve a formulação de

escoamento adotada. Atualmente, é considerado escoamento monofásico.

Porém, para representar o escoamento em reservatórios de petróleo é preciso


implementar uma formulação mais condizente com a realidade. É sugerida,

assim, a implementação da formulação Black-Oil, como a existente no IMEX.

Ainda com relação ao FPORO, sugere-se um aperfeiçoamento da

geometria do problema, de forma a passar a considerar casos tridimensionais e

condições de contorno mais elaboradas, principalmente em relação ao poço.

Dessa forma, esse programa seria capaz de representar arranjos como os

existentes nos campos de petróleo. Essa alteração resultaria em um módulo

geomecânico que poderia ser acoplado ao simuladores composicionais

comerciais. Isso viabilizaria uma análise acoplada rigorosa entre geomecânica e

escoamento de fluidos, gerando uma poderosa ferramenta de previsão de

comportamento do reservatório. Essas sugestões, porém, exigem um grande

esforço computacional na sua implementação.

No que se refere às comparações realizadas entre os modelos do

simulador composicional STARS, novas análises geomecânicas podem ser

desenvolvidas de forma a verificar sua influência em outras situações. Alguns

possíveis casos são reservatórios heterogêneos, novos arranjos de produção ou

mesmo a utilização de métodos térmicos de recuperação, como injeção de

vapor, uma vez que os casos aqui considerados eram todos isotérmicos. Além

disso, poderia ser feito, junto com a CMG, uma comparação das formulações

utilizadas para um melhor entendimento dos procedimentos de cálculo utilizados.

7 Referências Bibliográficas

1

2

3

4

5

6

7

8

YERGIN, D. O Petróleo: Uma História de Ganância, Dinheiro e Poder. Tradução de Leila Marina U. Di Natale, Maria Cristina Guimarães, Maria

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APÊNDICE A

Neste apêndice é apresentada a tabela A1, em que são relacionadas as

simulações feitas utilizando o simulador STARS. Para cada caso, são

apresentados os seguintes dados:

(i) As características do modelo considerado: tipo de arenito, isto é,

consolidado ou não-consolidado, espessura e profundidade em que o

reservatório se encontra e a taxa de injeção a que está submetido;

(ii) A forma como foi considerada a geomecânica, se através do módulo

acoplado ou de forma aproximada;

(iii) O tempo de duração de cada simulação;

(iv) A produção de óleo acumulada resultante de cada simulação e uma

comparação direta entre os dois modelos: quanto, quantitativamente,

um produziu a mais que o outro, e quanto isso representa em termos

percentuais.

(v) Para os casos que apresentaram um diferença percentual acima de

4% na produção de óleo acumulada, foi calculada a maior diferença

entre as distribuições de poropressão no tempo t=730 dias. De uma

forma geral, essas diferenças ocorreram a uma distância inferior a

200 metros a partir do poço produtor.

Apêndice A 149

Tabela A1. Dados referentes às simulações utilizando o STARS.

(m³) (com-sem) (com-sem)/com (com-sem) (com-sem)/com

Consolidado 20 500 100 sim 14 135,710não 12 135,380

300 sim 15 138,160não 13 138,000

500 sim 16 138,210não 13 138,110

1500 100 sim 10 103,620não 7 102,700

300 simnão 11 102,870

500 simnão 12 101,030

3000 100 sim 9 83,899não 5 82,748

300 simnão 10 75,887

500 simnão 15 70,714

50 500 100 sim 16 151,650não 23 149,150

300 sim 55 339,320não 12 338,960

500 sim 15 337,040não 13 336,490

1500 100 sim 8 139,110não 5 132,070

300 sim 8 274,930não 18 274,650

500 simnão 9 256,890

7040 5.06%

0.10%280

360 0.11%

550 0.16%

2500 1.65%

1151

NÃO CONVERGE

NÃO CONVERGE

NÃO CONVERGE

NÃO CONVERGE

330

160

100

920


Produção acumulada Maior diferença de poropressão em t=730 diasProfundidade

(m)



(sim/não)


(min.)

0.14%

NÃO CONVERGE

0.24%

0.12%

0.07%

0.89%

1.37%

30

Apêndice A 150


Consolidado 50 3000 100 sim 7 172,150não 4 163,310

300 sim 9 198,090não 7 1.97E+05

500 simnão 8 197,420

80 500 100 sim 29 156,280não 26 153,470

300 sim 18 455,990não 16 452,460

500 sim 16 527,260não 12 526,010

1500 100 sim 9 139,500não 4 127,890

300 sim 11 393,420não 7 389,070

500 sim 8 408,260não 7 405,320

3000 100 sim 35 171,900não 19 147,590

300 sim 9 332,690não 6 328,580

500 sim 17 331,970não 7 319,630

Não-consolidado 20 500 100 sim 18 176,580não 21 159,660

300 sim 22 225,780não 19 220,810

500 sim 23 226,210não 19 221,420

2 0.03%

104 0.91%

135 0.26%

16 0.08%

NÃO CONVERGE



(m)



(sim/não)


(min.)

1040 0.53%

8840 5.14%

2810 1.80%

3530 0.77%

1250 0.24%

11610 8.32%

4350 1.11%

2940 0.72%

24310 14.14%

4110 1.24%

12340 3.72%

16920 9.58%

4970 2.20%

4790 2.12%

Apêndice A 151



300 sim 71 198,610não 138 195,890

500 sim 20 186,350não 17 182,600

3000 100 sim 32 159,310não 26 152,260

300 sim 20 174,250não 19 171,960

500 sim 26 174,350não 21 172,390

50 500 100 sim 54 282,330não 38 223,010

300 sim 27 469,440não 23 453,420

500 sim 16 556,940não 14 542,650

1500 100 sim 15 179,820não 19 151,140

300 sim 22 4.57E+05não 35 4.45E+05

500 sim 18 456,220não 14 445,880

3000 100 sim 17 206,660não 16 190,090

300 sim 20 419,980não 9 412,040

500 sim 14 427,670não 12 424,220 3450 0.81%

16570 8.02%

7,940 1.89%

11780 2.58%

10340 2.27%

14290 2.57%

28680 15.95%

59320 21.01%

16020 3.41%

2290 1.31%

1960 1.12%

3750 2.01%

7050 4.43%

13200 8.49%

2720 1.37%

5 0.02%



(m)



(sim/não)


(min.)

9 0.02%

1 0.01%

2 0.01%

5 0.07%

8 0.04%

260 0.52%

Apêndice A 152



300 sim 52 647,070não 16 562,780

500 sim 37 786,110não 17 727,910

1500 100 simnão 166 253,640

300 sim 21 472,650não 37 423,490

500 sim 17 697,300não 16 658,970

3000 100 sim 12 266,370não 6 241,260

300 sim 11 502,710não 8 479,790

500 sim 11 673,600não 11 660,520

2 0.00%

12 0.06%

10 0.02%

7 0.03%

4 0.06%

2 0.03%

NÃO CONVERGE

4 0.06%

Maior diferença de poropressão em t=730 diasProfundidade

(m)



(sim/não)


(min.)

86050 23.65%


Produção acumulada

13080 1.94%

38330 5.50%

25110 9.43%

22920 4.56%

49160 10.40%

84290 13.03%

58200 7.40%

Documents

Flávia de Oliveira Lima Falcão Efeitos geomecânicos na … Petróleo Ipiranga no período de 1996 a 2000, na área de obras em postos de gasolina e bases de armazenamento e distribuição