FMGR - Curso de Matem Tica Financeira - 2013.2 - PDF

7/22/2019 FMGR - Curso de Matem Tica Financeira - 2013.2 - PDF

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Matemtica Financeira Prof. Augusto Dornelas 1

Curso de Matemtica Financeira

Prof. Augusto Dornelas


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Sumrio:

1. Apresentao

2. Introduo

3. Um Pouco de Histria

4. Mercados e Moeda

5. Conceitos Fundamentais

6. Operaes com Mercadorias

7. Modelo de Capitalizao Simples

8. Modelo de Capitalizao Composta

9. Rendas Certas ou Sries Financeiras

10. Sistemas de Amortizao

11. Operaes com Produtos Financeiros

12. Anexos (tabelas Financeiras)


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Curso de Matemtica Financeira

Prof.: Augusto Dornelas

Caros alunos:

Estamos iniciando o curso de Matemtica Financeira que uma disciplina bastantemotivadora e desafiadora, uma vez que nos propicia uma contextualizao necessriae benfica no processo de ensino-aprendizagem de Matemtica.

Exercer a cidadania em sua plenitude tambm construir e adquirir conhecimentosnecessrios para resolver problemas profissionais, individuais e sociais que,certamente, fazem parte de nosso dia-a-dia.

O estudo da disciplina tem por objetivo proporcionar aos participantes do curso, aconstruo de conhecimentos necessrios capacitao e ao desenvolvimento decompetncias para a abordagem de questes ligadas rea financeira, como tambmde possibilitar a avaliao de alternativas no tocante tomada de decises.

Podemos conceituar a Matemtica Financeira como um conjunto de conceitos,

definies e procedimentos metodolgicos matemticos para a anlise, mensurao eoperacionalizao de operaes financeiras, tendo em vista o princpio da prefernciapela liquidez.

J operaes financeiras podem ser definidas como relao de dois ou mais agenteseconmicos, envolvendo captao e aplicao de recursos entre agentes superavitriose deficitrios, segundo critrios econmico-financeiros definidos entre as partes. Asoperaes financeiras esto presentes nas mais variadas situaes mercantis e definanas do nosso cotidiano, desde as mais simples operaes de desconto parapagamento vista, at mais sofisticadas como a realizao de emprstimos efinanciamentos, compra da casa prpria, investimentos, desconto de duplicatas,amortizao de dvidas, sries de pagamentos e ou recebimentos, anlise dealternativas de investimentos, dentre outras.


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Alm do mais, a Matemtica Financeira um tpico bastante exigido em concursospblicos, notadamente nos das reas fiscal e financeira e grande o nmero decandidatos com boa preparao em todas as outras disciplinas, mas que muitas vezes

tropeam nas questes que envolvem Matemtica Financeira e so eliminados por noterem conseguido o mnimo necessrio para no cair em ponto de corte.

Neste nosso curso vamos trabalhar com a Matemtica Financeira de uma maneira maisconstrutiva, baseada em apreenses de conceitos, resoluo de situaes problemas,buscando construir os fundamentos da disciplina para a construo de seqnciasdidticas que contribuam com o aprendizado, com o desenvolvimento cognitivo e coma busca da autonomia que deve ser objetivo primordial em qualquer aprendizado.

Nosso curso requer conhecimentos bsicos de matemtica que foram abordados nadisciplina de Matemtica cursada no 1 semestre e nas aulas de nivelamento, alm demanejo de calculadoras, cientfica ou financeira.

Demais informaes acerca de avaliaes, metodologia, bibliografia, carga horria,contedo e recursos necessrios para um aprendizado proveitoso vocs encontraro naementa e plano de aula que se encontram disponveis no site da faculdade.

Portanto, mos obra.

INTRODUO

Ao longo do processo de evoluo das sociedades econmicas, constatou-se que oproblema econmico enfrentado pelos agentes econmicos (governos, instituies,organizaes e indivduos), decorria da escassez de fatores de produo (terra, capital,trabalho, insumos, recursos financeiros) utilizados na elaborao de bens e servios,pelo fato de que as necessidades dos agentes era ilimitadas e deveriam ser satisfeitaspela aquisio de bens e servios cuja oferta era limitada.

O problema de satisfazer as necessidades foi solucionado, em parte, atravs daespecializao e da diviso social do trabalho que viabilizou a produo e excedentesde produo, alm de proporcionar o surgimento das trocas de bens, que conhecidocomo escambo.

Posteriormente utilizao de mercadorias-moeda, criou-se um bem intermedirio queveio a facilitar o processo de trocas: a moeda.

Assim, o valor monetrio ou o preo propriamente dito dos bens e servios, passou aser mensurado ou expresso atravs de um denominador comum de medida, a moeda,que proporcionou a valorao dos resultados da produo econmica por um meiode troca que vinha a eliminar as ineficincias geradas pelo escambo e pelas chamadasmercadorias-moeda, alm de propiciar mais uma fonte ou alternativa de acumulaode riquezas.

O aumento da produtividade e conseqentemente da produo, dinamizou a economia,gerou novos postos de trabalho e renda, como tambm propiciou o aprovisionamentode poupanas (parcela da renda no consumida) que viabilizaria as decises de


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investimentos (reinverso de parte da riqueza gerada para fins de aumento dacapacidade de produo).

Paralelo ao desenvolvimento do setor real da economia, iniciou-se um processo decriao e desenvolvimento do setor monetrio, representado pelas instituiesfinanceiras que intermediariam as poupanas de uns para as necessidades deinvestimentos de outros agentes econmicos.

O que proporcionou, tambm, o desenvolvimento de tcnicas ou modelos econmico-financeiros para compreenso, mensurao e anlise do comportamento do capitalfinanceiro em razo do tempo de aplicao e das relaes de ganhos advindas dacaptao e da aplicao de recursos; este comportamento analisado pela MatemticaFinanceira, que de uma forma simplificada, podemos conceituar como o ramo daMatemtica Aplicada e/ou Elementar que estuda o comportamento do dinheiro notempo, levando em considerao outras variveis constantes do modelo, tais como, ataxa de juros e o tipo ou processo de capitalizao.

1. Conceitos Fundamentais

O estudo da Matemtica Financeira exige que tenhamos alguns conceitos bsicos quenos auxiliaro a compreender as operaes mais usuais na prtica financeira cotidiana.

As variveis de maior relevncia estudadas nos modelos financeiros so: O Princpio da Equivalncia: o princpio fundamental da Matemtica

Financeira; este princpio baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor aolongo do tempo, significando que uma determinada quantia tem significadoseconmicos diferentes em pocas diferentes, ainda que em ambiente noinflacionrio. Apesar de termos afirmado que um valor tem significados emdatas diferenciadas, podemos relacion-los a partir de um conceito deequivalncia (porm, no igualdade!). Seguindo este raciocnio, podemosimaginar uma quantia, situada na data presente, que tenha o mesmo significadoeconmico que certa quantia conhecida no futuro; em outras palavras, um ValorFuturo (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido e vice-versa. Adiferena entre o Valor Presente e o Valor Futuro a parcela correspondente aos

juros (J), que podem ser definidos como um aluguel devido ao capitalemprestado (ou tomado). Existem vrias justificativas para a existncia dosjuros, dentre elas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital,que apregoaque o capital associado aos outros fatores de produo, , tambmprodutivo. Como o capital , ento, um dos fatores de produo, os juroscorrespondem remunerao do fator capital, da mesma forma, por exemplo,que os salrios remuneram o fator trabalho. Outra teoria a do preo do tempoou abstinncia de Bhm-Bawerk (escola psicolgica austraca) que diz que umcapital emprestado um bem presente que se d em troca de um bem futuro.Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bempresente, os juros compensariam essa diferena. Assim, o Valor Futuro o


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resultado da soma do Valor Presente com a sua remunerao sob a forma dejuros: FV = PV + J.

Capital (C): valor monetrio presente a ser aplicado ou tomado; aplicaesrealizadas no presente (principal - C) que tero seus valores aumentados nofuturo atravs de um processo de capitalizao.

Montante (M), capital futuro ou valor acumulado: valores disponveis nofuturo (M), se considerados ou avaliados hoje, tero seus valores reduzidos (C)atravs de um processo de descapitalizao. O clculo de um montante (M)equivalente a um principal (C), ou de um (C) equivalente a um (M) a base damatemtica financeira, a partir deste clculo outras variveis podem serencontradas; o caminho , basicamente, sempre o mesmo: um sistema de umaequao com uma incgnita, conhece-se trs variveis e procura-se encontraruma quarta.

Tempo: prazo de aplicao ou resgate (n), que representa o perodo de tempoem que o capital ficar aplicado, ou o prazo de durao da operao financeira.

Juros(J): montante menos principal. J = M C, representa os recebimentosauferidos ou pagos pelo aplicador ou pelo tomador de recursos financeiros.

Taxa de Juros (i): coeficiente que relaciona o juro e o principal. Capitalizao (cap): freqncia e forma com que o juro incorporado ao

capital. Inflao: a diminuio do poder aquisitivo da moeda num determinado perodo

de tempo, devido a alteraes no nvel geral de preos. Risco: eventos possveis de perdas e suas probabilidades conhecidas de

ocorrncia; os juros produzidos de uma certa forma compensam e refletem ospossveis riscos do investimento.

Aspectos intrnsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisio ouoferta de emprstimos a terceiros.

Fluxo de Caixa: esquema financeiro que retrata as entradas e sadas derecursos de caixa.

Lucros: ganhos resultantes do confronto entre receitas e despesas. Spread: remunerao pelo risco, podendo ser definido, tambm como a taxa

resultante da diferena entre as taxas utilizadas na captao e na aplicao derecursos.

A seguir, nos deteremos a uma anlise geral de cada um desses conceitos que nosserviro e subsdio ao entendimento dos demais tpicos constantes do programa denossa disciplina.

1.1 Fluxo de Caixa

Esquema financeiro que nos permite visualizar, ao longo do tempo, os recebimentos aserem auferidos (entradas de recursos) e os pagamentos a serem realizados (sadasde recursos). Este esquema financeiro Poe ser representado por meio de tabelas,quadros ou diagramas, que permitem que os movimentos monetrios sejamidentificados ao longo do tempo, sendo de fundamental importncia na anlise decustos e rentabilidade de operaes financeiras diversas e no estudo de viabilidade


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econmica de projetos de investimento e planejamento de curto prazo (oramento decaixa) e de longo prazo (oramento de capital).

REPRESENTAO GRFICA DO FLUXO DE CAIXA

Por exemplo: o extrato bancrio.

A forma mais comum de mostrar movimentos financeiros ao longo de um determinadoperodo em forma de tabela como a fornecida abaixo:

Data Histrico Dbito Crdito Saldo

01Jan

02Jan

03Jan

04Jan

05

Jan06Jan

07Jan

SaldoAnterior

Depsito

Cheque

Cheque

Depsito

Saqueeletrnico

Dep.Salrio

800,00

1.5000,00

600,00

1.000,00

500,00

4.900,00

500,00

1.500,00

700,00

-800,00

-300,00

-900,004.000,00

Vale ressaltar que dependendo dos registros a serem efetuados no incio ou no final decada perodo, teremos realidades financeiras diferentes; se localizados no incio decada perodo teremos recebimentos/pagamentos antecipados e se no final de cadaperodo, teremos uma anlise postecipada desses registros. Note que a utilizao de

fluxos de caixa nos permite confrontar resultados planejados (anlise a priori) comresultados realizados (anlise a posteriori), permitindo uma maior eficincia naadministrao das tomadas de decises que comumente nos vemos na obrigao deempreender.

Para melhor visualizarmos as movimentaes financeiras ocorridas com relao aoquadro acima, podemos representar atravs de grficos de barra, por exemplo, o saldodirio ou a movimentao diria.

Grfico do Saldo Dirio:


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Grfico da Movimentao Diria:

Diagrama de Fluxo

O diagrama de fluxo uma representao grfica esquemtica do fluxo do dinheiro notempo; onde a escala horizontal graduada em perodos uniformes (dias, meses,anos) e representa as datas de recebimento e/ou pagamentos, estipulados em funodas datas reais que queremos analisar, juntamente com os fluxos financeirosrelacionados com cada uma.

Representamos por 1, 2, 3,... , n os subperodos de nossa anlise, permitindo-nosanlises ex-ante (valores monetrios a serem realizados no futuro) ou ex-post(valores monetrios realizados em datas passadas).


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Recebimentos (+)

R1 R2 R3 R4 Rn

. . .

0 1 2 3 4 . . . n

P0

Pagamentos (-)

As setas voltadas para cima indicam recebimentos (entradas de recursos em caixa),enquanto as setas voltadas para baixo representam os pagamentos a serem efetuados(sadas de recursos de caixa), sendo esta representao uma mera conveno parafacilitar a visualizao das situaes-problema.

Portanto, o Diagrama de Fluxo de Caixa constitudo de um segmento de retagraduado de forma a representar os intervalos de tempo entre os fluxos, que sorepresentados por setas verticais orientados para cima (recebimentos - fluxospositivos) ou para baixo (pagamentos fluxos negativos) com origem na escalacronolgica, na graduao correspondente poca de ocorrncia.

Vejamos um outro exemplo:


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Onde, os valores abaixo da reta graduada representam pagamentos, investimentos,sadas de dinheiro de caixa e, contrariamente, os valores representados pelas setasvoltadas para cima representam recebimentos, retornos ao investimento ousimplesmente, entradas de recursos em caixa.

1.2 Juros

Remunerao econmica devida a um capital aplicado por certo perodo de tempo;podendo ser tambm visualizado como remunerao do capital aplicado em atividadesprodutivas ou como remunerao auferida elo capital financeiro devido a suadisponibilizao ao atendimento demanda ou oferta de servios financeiros produo, financiamento ou investimento.

Podemos encar-lo, tambm, como a diferena entre o valor presente e o valor futurode um mesmo capital, que fora emprestado ou aplicado em determinada aplicao derecursos, ou seja: J = VF VP .

1.3 Taxa de JurosCoeficiente monetrio que determina a magnitude da remunerao do fator capital,resultante do confronto entre a demanda e a oferta de recursos financeiros, onde osgrupos de agentes econmicos (superavitrios e deficitrios) interagem entre si,propiciando a determinao de um preo de equilbrio de mercado entre recursosdemandados e ofertados no sistema.

Graficamente temos:


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i(taxa de juros)

SM

ie

DM

Me M(montante de recursos)

Onde ie e Me so a taxa e equilbrio e o montante e recursos de equilbrio,

respectivamente. A taxa de juros pode ser expressa sob a forma percentual (2%am)ou decimal (0,02am), sempre acrescida do perodo de capitalizao a que est sujeita;podendo ser real (quando so expurgados os efeitos inflacionrios) ou aparente(quando sua magnitude contm os efeitos inflacionrios).

O nvel de preos dos bens e servios funo de sua escassez; da mesma maneiraque as foras de oferta e demanda determinam o preo dos bens e servios, as forasde oferta de fundos e a procura de crdito determinam o preo do crdito que representado pela taxa de juros. Na verdade, essas foras de mercado determinam onvel (iE) da taxa de juros pura (i), correspondente a uma situao de virtual equilbriode mercado decorrente da quantidade (QE) de recursos demandados (Q).

A essa de juros pura, que pode ser encarada como a taxa praticada pelas instituiesfinanceiras com clientes preferenciais, O mercado financeiro agrega um conjunto deoutras taxas (spread) que visam cobrir impostos (IOF), comisses (flat) e custos deintermediao financeira e uma taxa correspondente remunerao do fator risco ,que varivel e visa remunerar o risco especfico daquele tipo de operao. Oresultado a taxa real (iR) de juros, que corresponde ao custo real das operaesfinanceiras. Assim, a taxa real pode ser expressa como:

iR= custos + riscos + flat + IOF + margem de lucro + riscos


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taxa real ainda pode ser agregada a expectativa de inflao (i) para constituir ataxa efetiva (ie) de juros, como a seguir:

ie = ( 1 + iR ) . ( 1 + i ) , conhecida como Equao de Fischer.Note que a taxa de inflao acumula-se taxa real de juros, como nos acrscimossucessivos, que abordamos anteriormente, para formar a taxa efetiva. No basta,portanto, somar a taxa de inflao taxa de juros, pois os juros incidem sobre ocapital j corrigido monetariamente, ou seja, j compensado pelo desgaste da inflao.Graficamente teramos:

ie ---------------------------

---------------------------

Inflao

custos, flats, risco, margem, IOF

Vejamos alguns conceitos referentes s taxas de juros:

Taxa de juros efetiva: quando o perodo de tempo da capitalizao igual aoperodo de tempo em que a taxa de juro est expressa; por exemplo: i = 1%a.m, cap. m. Por conveno, quando a capitalizao no for mencionada, ataxa de juro ser considerada efetiva.


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Taxa de juros nominal: quando o perodo de tempo da capitalizao diferenteao perodo de tempo em que a taxa de juro est expressa; por exemplo: i =12% a.a, cap. m.

A taxa de juros pode ser expressa em duas escalas: a escala centesimal(oupercentual) ou a escala unitria(ou decimal). A escala centesimal retrataquantas unidades monetrias a aplicao render de juro por cada cemunidades monetrias de capital aplicadas, e a escala unitria quantas unidadesmonetrias de juro por uma unidade monetria de capital aplicada. Apassagem da escala centesimal para a unitria atravs da diviso da primeirapor cem, e da unitria para centesimal pela multiplicao da primeira por cem.

Por exemplo:

i = 10% - escala centesimal. L - se: 10 porcento. Diz que a aplicao render $10,00por cada $100,00 aplicados.

i = 0,10 - escala unitria. Diz que a aplicao render $0,10 por cada $1,00 aplicado.

Por conveno a escala centesimal recebe o smbolo % (porcento) aps o ltimo dgitoe vem acompanhada do perodo de tempo a que se refere a taxa. Por exemplo: i =10% a.a, esta aplicao render $10,00 por cada $100,00 aplicados por ano deaplicao.

Assim a.a. indica ao ano, como a.d. (ao dia), a.m (ao ms), a.b.( ao bimestre), a.t.

(ao trimestre), a.s. (ao semestre) etc. Na escala unitria o tempo a que se refere ataxa vem expresso como subscrito de i, por exemplo: ia = 0,10, esta aplicao render$0,10 por cada $1,00 aplicado por ano de aplicao. Assim ia indica ao ano, como idao dia, ib ao bimestre, it ao trimestre, is ao semestre etc.Cabe destacar que o clculo financeiro utiliza, sempre, escala unitria e os resultadosde taxa so apresentados na escala centesimal; ressaltemos, tambm, que astransformaes de taxas equivalentes diferem do tipo de capitalizao que estaremosutilizando, em outras oportunidades trataremos sobre isso.

Ainda com relao taxa de juro, tem-se um importante conceito denominadotaxas proporcionais. Diz-se que duas taxas de juro so proporcionais quandoas igualdades abaixo so verdadeiras:

ip = i/k

ou

i = k. ip, onde: i retrata, por hiptese, a taxa de um perodo de tempo maior, ip a taxade um perodo de tempo menor e k igual ao nmero subperodos que o perodomaior tem.

Por exemplo:

im = ia/12is = ia/2


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ia = 12.im

Via taxas proporcionais transforma-se uma taxa de juro em outra proporcional

equivalente , bastando dividir ou multiplicar a taxa de juro por k , sendo k o nmerosubperodos que o perodo maior tem com relao ao memor.

Por exemplo:

Se i = 12%aa, podemos ter as seguintes taxas equivalentesproporcionais: 6%as(12%/2) , 4%aq(12%/3), 3%at(12%/4),2%ab(12$/6) e 11%am(12%/12).

Analogamente, se i= 1,5%am teremos as seguintes taxasproporcionais: 3%ab(1,5% . 2), 4,5%at(1,5% . 3), 6%aq(1,5% . 4),9%as(1,5% . 6) e 18%aa(1,5% . 12).

1.4 Spread

Taxa de juro resultante do confronto entre as taxas de juros empregadas na captaoe na aplicao de recursos financeiros. Podemos encarar o spread como aremunerao obtida pelas instituies financeiras pela prestao de servios deintermediao entre demandantes e ofertantes de recursos, levando-se emconsiderao que envolve no s a remunerao pela intermediao, como tambm osriscos envolvidos nas operaes financeiras.

Podemos visualizar sua determinao atravs do seguinte esquema:


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i(%)

SMA

SMC

iA

DMAiC

DMC

MC MA M($)

i(%)

i

Remunerao

pelo

Risco (Spread)

i0

Taxa Bsica (se m risco) R Risco


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Onde: spread = |iA iC | e i0 a taxa bsica praticada com clientes preferenciais demercado, como a Prime-rate(EUA) e a Libor(Inglaterra).

1.5 Lucro

Retorno ao capital mercantil (industrial, comercial, agrrio) empregado em atividadesprodutivas, onde so geradas receitas e despesas operacionais. Jamais dever serconfundido com juro, pois, enquanto este o resultado de atividades financeiras, olucro originrio de atividades estritamente produtivas, como fora designado acima.

1.6 Regimes de Capitalizao

Processo ou forma como os juros so agregados ao capital financeiro aplicado;podendo ser a Capitalizao Simples ou Linear se os rendimentos no ocorrem sob anova gerao de novos rendimentos ou Capitalizao Composta ou Exponencial se osrendimentos ocorrem obrigatoriamente sobre os rendimentos obtidos em perodosanteriores ao que se est analisando (juros sobre juros, como popularmentedescrito).

Um capital pode ficar aplicado por qualquer perodo de tempo, 0 < n < + , ou seja, npode assumir qualquer valor positivo maior do que zero, no esquecer que umaoperao financeira um acordo bilateral livre, portanto, nada pr-determinado.Durante este perodo poder haver uma ou mais incorporaes de juro ao capitalaplicado (capitalizaes), caso haja mais de uma incorporao de juro faz-senecessrio definir se o juro incorporado ao capital aplicado passar ou no a render

juro. Em caso afirmativo tem-se o regime de capitalizao composto, e em casonegativo o regime de capitalizao simples.

REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES - neste regime apenas o principalrende juro.

REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA - neste regime o principal e ojuro incorporado rendem juro. Juro sobre juro.

Para uma melhor compreenso do exposto acima, vejamos os seguintes casos, notocante a uma aplicao de $ 1.000,00 segundo as ticas das Capitalizaes Simples eComposta, durante um prazo de trs meses a uma taxa de 5%am.

Capitalizao SimplesPerodo Capital ($) Juro ($) Montante ($)n = 0 1.000,00 - 1.000,00n = 1 1.000,00 0,05. 1.000,00 1.050,00n = 2 1.000,00 0,05. 1.000,00 1.100,00n = 3 1.000,00 0,05. 1.000,00 1.150,00


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Capitalizao CompostaPerodo Capital ($) Juro ($) Montante ($)n = 0 1.000,00 - 1.000,00

n = 1 1.000,00 0,05. 1.000,00 1.050,00n = 2 1.050,00 0,05. 1.050,00 1.102,50n = 3 1.102,50 0,05. 1.102,50 1.157,62

Verifica-se que ao final dos trs meses, com aumentos sucessivos de 5%am, obteve-seum montante de $ 1.150,00 sob o regime de capitalizao simples; registrando-se umndice global de 1.150,00/1.000,00 = 1,15 e uma taxa global de 1,15 1 = 0,15 =15%at.

J sob o regime de capitalizao composta, nota-se que ao final dos trs meses

obteve-se um montante global de $ 1.157,62 e , um ndice global de aumento de1.152,67 / 1.000,00 = 1,15762 e uma taxa global de aumento de 1,15762 1 =0,15762at = 15,762%at.

fcil percebermos a distino entre os dois regimes de capitalizao, devendo-seatentar para o fato e que, enquanto no regime de capitalizao simples os sucessivosincrementos de aumento incidem sempre sobe capital inicialmente aplicado, noregime de capitalizao composta estes mesmos incrementos so obtidos sempresobre o montante (capital + juros) do perodo imediatamente anterior, onde j estoincorporados os incrementos anteriormente acumulados.

Na prtica, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimentomais rpido (veremos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo umafuno do 1 grau crescimento linear, os juros compostos crescem muito maisrapidamente segundo uma funo exponencial).

2. Operaes com Mercadorias

Normalmente atribui-se, no Brasil, o fechamento de empresas devido a dificuldades naobteno e administrao do capital de giro , dentre outros fatores relativos aoambiente econmico e financeiro nacional, tais como: altos nveis de concentrao derenda, taxas de juros estratosfricas e carga tributria extorsiva constituem entravesserssimos atividade econmica, o que gera desafios muitas vezes intransponveis gesto empresarial.Num contexto adverso como foi citado acima, o conhecimento da matemticacomercial e financeira, facilita a compreenso, a reflexo e a anlise dos diferentesfenmenos, alm de propiciar uma maior capacidade de previso financeira com vistas tomada de decises, que vo desde o clculo das comisses de vendas, avaliaode projetos alternativos de investimento e financiamento.A seguir daremos algumas abordagens relativas a modelos matemtico-financeirossimples, mas que serviro de base para compreendermos situaes com graus decomplexidades mais elevadas.


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2.1 PORCENTAGEM

comum a utilizao de expresses refletindo acrscimo ou redues em preos,nmeros ou quantidade, tomando sempre por base 100 unidades, como nos exemplosseguintes:

A gasolina teve um aumento de 15%, significando que em cada R$ 100,00 houveum acrscimo de R$ 15,00.

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias, significando queem cada R$ 100,00 foi dado um desconto de R$ 10,00.

Dos jogadores que jogam no Grmio, 90% so craques, significando que em cada100 jogadores que jogam no Grmio, 90 so craques.

Portanto, toda frao com denominador 100 representa uma porcentagem.

Razo centesimal

Toda razo que tem para conseqente o nmero 100, recebe a denominao de razocentesimal. Alguns exemplos:

100

125,

100

16,

100

7

Estas razes centesimais podem ser representadas de outras formas:

As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas de taxas centesimais ou taxas

percentuais.

Considerando a seguinte situao Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantoscavalos ele vendeu?Na resoluo deste exemplo, valos aplicar a taxa percentual (50%) sobre total decavalos.

Portanto, ele vendeu 25 cavalos, que representa a quantidade correspondente porcentagem procurada.


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Portanto, chegamos a seguinte definio:

Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um

determinado valor.

EXEMPLO 1 Calcular 10% de 300.

Logo, 30 o valor correspondente porcentagem procurada.

EXEMPLO 2 Calcular 25% de 200 quilos.

Logo, 50kg o valor correspondente porcentagem procurada.

EXEMPLO 3 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto, o jogador fez 6 gols de falta.

EXEMPLO 4 Se eu comprei um ttulo de um clube por R$ 250,00 e o revendi por R$300,00 qual a taxa percentual de lucro obtida?

Para a resoluo deste exerccio, montamos uma equao onde somando os R$ 250,00iniciais com a porcentagem que aumentou em relao e esses R$ 250,00 resulte nosR$ 300,00 do valor da revenda.

Portanto, a taxa percentual de lucro obtido na revenda foi de 20%.


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Fator de multiplicao

Quando ocorrer um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o

novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10 que o fator de multiplicao.Caso o acrscimo seja de 20%, podemos multiplicar o valor por 1,20, e assim pordiante.

Veja a tabela abaixo:

Acrscimo Fator de multiplicao

10% 1,10

15% 1,1520% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Por exemplo, aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: R$ 10,00 x 1,10 = R$11,00.

Caso ocorra um decrscimo, o fator de multiplicao ser calculado da forma

abaixo:

Fator de multiplicao = 1 taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Decrscimo Fator de multiplicao

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Por exemplo, descontando 10% no valor de R$ 10,00 temos: R$ 10,00 x 0,90 = R$9,00.


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EXERCCIOS COM PORCENTAGENS

1. Escreva na forma de frao:a) 9 %b) 31 %c) 55 %d) 70 %e) 82 %

2. Qual a forma irredutvel da frao correspondente a:a) 50 %b) 75 %c) 10 %d) 80 %

3. Qual quantia que corresponde a 65% de R$ 3.000,00?

4. Qual o nmero de pessoas que corresponde a 15% de 10.000 pessoas?

5. Um clube venceu 70% das partidas que disputou durante um campeonato. Se esseclube disputou 30 partidas nesse campeonato, quantas partidas venceu?

6. Na 5 srie A, apenas 60% dos alunos j completaram 12 anos. Se a 5 srie Atm 40 alunos, quantos ainda no completaram 12 anos?

7. A 5 srie A tem 40 alunos. Uma pesquisa mostrou que 90% dos alunos praticamesportes e que, entre os alunos que praticam esportes, 50% sabem nadar. Nessas

condies, calcule:a) Quantos alunos praticam esportesb) Quantos alunos sabem nadarc) Quantos alunos no praticam esportesd) Quantos alunos no sabem nadar

8. Sabendo-se que 40% de certa quantia correspondem a R$ 9.600,00, qual essaquantia?

9. Um clube perdeu 6 partidas durante um torneio de voleibol, o que corresponde a20% das partidas que o clube disputou. Quantas partidas o clube disputou nocampeonato?

10.O Bradesco fechou 2008 com crescimento invejvel. Os ativos totais cresceram33%, chegando a R$ 454,4 bilhes. Calcular o total de ativos do ano anterior.

11.A receita bruta da Renault-Nissan (montadora de veculos) em 2009 foi de US$57,2 bilhes e o custo de produo no mesmo perodo foi de US$ 47,3 bilhes.Calcule a participao percentual dos custos com relao receita.

12.Segundo dados referentes a 2008 o Brasil ocupa o 4 lugar entre os maioresexportadores de produtos agrcolas do mundo, tendo exportado neste ano um totalde US$ 61,4 bilhes, dos quais o produto de maior importncia em nossa pauta deexportaes foi a soja, com um total exportado de US$ 17,2 bilhes. Qual aparticipao percentual da soja no ano de 2008?


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13.Com a nova lei de distribuio dos royalties do petrleo, o Rio de Janeiro passar areceber da Petrobrs R$ 236 milhes que corresponde a 3,2% do que recebe hoje;com base nesta informao, calcule o valor que hoje recebe este Estado.

14.Um levantamento realizado pelo Ministrio da Sade detectou discrepncias nacompra de remdios pelos Estados da federao. Enquanto Rondnia pagou R$2.468,74 por cada ampola de Adalimumabe (contra artrite), Gois pagou pelomesmo R$ 1.538,49. Expresse em termos percentuais a relao entre o preo pagopor Gois e o de Rondnia.

15.Segundo projees do IBGE a classe A2 dever gastar em 2010 cerca de R$ 351,80bilhes, enquanto a classe B2 dever gastar R$ 495, 70 bilhes. Calcule em termospercentuais o total de gastos da classe A2 com relao B2.

16.A VOTORANTIM METAIS desembolsou US$ 420 milhes para comprar 16,4% dasaes da mineradora MILPO, do Peru. Com base nestes dados, calcule o valor totaldas aes da referida mineradora.

17.(JC, 30/03/11) O crdito chegou ao nvel mais uma vez recorde de 46,5% doProduto Interno Bruto (PIB) no ano passado, o equivalente a R$ 1,74 trilho.

Baseado no texto, estime o PIB brasileiro referente a 2010.

2.2 Variao Percentual

Suponhamos que o preo de uma mercadoria variou durante um determinado perodode $ 100,00 para $ 110,00. Se perguntarmos maioria das pessoas qual a magnitudede variao no preo, certamente a maioria vai responder que foi de 10%. Agora, casoperguntssemos sobre a variao percentual sofrida no preo de uma mercadoria quepassou de $ 83,79 para $ 91,32 , tambm certamente, a maioria responderia que mais difcil. Ora, vejamos se isto verdade.

Utilizando-nos de uma regra de trs simples poderemos determinar a primeiravariao, ou seja, 10%:

100 100% = 1 100 100% = 1ou:

10 x 110 x

Onde x = 10 = 10%E o valor de x pode ser obtido por:

100110 = 100 . (1 + x) , onde x = 110 - 1 = 0,1 = 10%

100

Utilizando qualquer um dos procedimentos poderemos verificar facilmente que asegunda variao citada da ordem de 8,99%.

Generalizando, termos que a variao percentual, tanto para maior quanto para menorpode ser obtida das seguintes formas:


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i

if

i

f

VVVii

V

Vi

=

=

%)

1%)

Onde:Vf o valor final e Vi o valor inicial da situao a ser encontrada a variaopercentual.

Vejamos, agora, algumas aplicaes:

1. A HP, gigante do setor de tecnologia, viu seu faturamento decrescer no binio2008-2009 de US$ 118,4 bilhes para US$ 114,6 bilhes. Calcule a magnitude davariao percentual em seu faturamento.

2. O economista Andr Loes, do HSBC, especula que a taxa SELIC, hoje em8,75%a.a., chegar a 12,5% no final do ano. Baseando-se na informao, calcule avariao percentual prevista pelo economista.

3. A RENAULT NISSAN vendeu em 2008 , 3.655 automveis e no ano de 2009 asvendas pularam para 16.320 veculos vendidos. Calcule a variao percentual devendas no perodo considerado.

4. No ano 2000, o nmero de agncias bancrias no Brasil era de 16.400 e fechou oano de 2008 com um total de 19.100 agncias. Calcule a variao percentual donmero de agncias no perodo considerado.

5. A NET, companhia de TV por assinatura possua em 2004 , 76.000 consumidores, jem 2009 atingiu 665.000 contratos. Calcule a variao percentual no volume decontratos da NET no perodo considerado.

6. O PAC I (Programa de Acelerao do Crescimento) tinha previso de gastos de R$656,6 bilhes para o programa de 2007 a 2010, j o PAC II tem um oramento de R$1,59 trilho a partir de 2011. Calcule a variao percentual de oramento entre asduas verses do programa.

7. O lucro lquido da processadora de cartes CIELO no segundo trimestre de 2010 foide RS 457,7 milhes, enquanto no mesmo perodo de 2009 foi de R$ 364,8 milhes.Calcule a variao percentual do lucro da empresa relativo ao perodo considerado.

8. Em novembro de 2010 as exportaes brasileiras totalizaram US$ 17,688 bilhes, jem dezembro houve um total de US$ 20,919 bilhes exportados. Calcule a variaopercentual das exportaes referente ao bimestre.


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2.3 Acrscimos e abatimentos

O valor resultante de um acrscimo chamado de valor bruto (Vb) e igual ao

principal ou valor inicial (Vi ) mais a parte que foi acrescida( i . Vi ) , assim:

Vb = Vi + i . Vi

Colocando Vi em evidncia na equao anterior, temos que:

Vb = Vi . ( 1 + i )

Da mesma forma, ao realizarmos um abatimento, o valor resultante o valor lquido(VL), que igual ao principal( Vi ) menos a parte que foi abatida( i . Vi ) .

Logo:

VL = Vi i . Vi

e , portanto, VL = Vi . ( 1 i ) .

2.4 Operaes com mercadorias

Nos acrscimos como nos abatimentos, podemos considerar como principal tanto opreo inicial (PC ), que o preo antes da operao ou preo de custo, como o preofinal (PV ) que o preo depois da operao ou preo de venda.

Um mesmo acrscimo ou abatimento pode ser representado por duas porcentagens,uma calculada "sobre" o preo inicial e outra calculada "sobre" o preo final.Assim, se o principal o preo inicial, o que mais comum, em um acrscimo o preofinal um valor bruto igual ao preo inicial mais o acrscimo, denotando uma vendacom lucro sobre o preo de compra , ou seja:

PV = PC + iC . PC , onde iC a taxa sobre o preo de custo , e , portanto:

PV = PC . ( 1 + iC )

J no caso de venda com lucro sobre o preo de venda, teramos:

PV = PC + iV . PV , onde iV a taxa sobre o preo de venda, portanto:

PV - iV . PV = PC e

PV . ( 1 iV ) = PC

PC

Ou, PV =


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( 1 iV )

Nas operaes envolvendo Markup ou margem de lucro teremos, em funo dasrelaes acima apresentadas, o seguinte:

MC = (Pv - PC ) / PC , onde MC representa a margem de lucro em funo do preo decusto

e

MV = ( PV - PC ) / PV , onde MV representa a margem de lucro em funo do preo de

venda.

Exerccios de fixao:

1) Quanto 8% de 1.253.897,33?Resp.: 100.311,79

2) Quanto por cento 1.200 de 8.000?Resp.: 15%

3) 1.000,00 so 3% de quanto?Resp.: 33.333,33

4) A cotao da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variaopercentual?Resp.: 2,15%

5) A saca de caf passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variaopercentual?Resp.: - 25%

6) A saca de caf passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variao percentual?Resp.: 33,33%

7) O preo de venda de certa mercadoria representa um acrscimo de 15% sobre o

preo de custo de R$ 5.800,00. Qual o preo de venda?Resp.: 6.670,00

8) O preo de venda de certa mercadoria R$ 1.500,00 e representa um acrscimo de25% sobre o preo de custo. Calcule o preo de custo.Resp.: 1.200,00

9) O preo de venda de certa mercadoria de R$ 6.700,00, o que inclui uma margemque representa 25% desse preo de venda. Calcule o preo de custo.Resp.: 5.025,00


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10) O preo de custo de certa mercadoria de R$ 8.000,00, o que permite vend-lacom uma margem que representa 20% do preo de venda. Calcule esse preo devenda.

Resp.: 10.000,00

11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi amargem sobre o preo de custo? Qual sobre o de venda?Resp.: 33,33% e 25%

12) O preo de venda de certa mercadoria R$ 1.500,00 e resulta de um abatimentode 25% sobre o preo de custo. Calcule o preo de custo.Resp.: R$ 2.000,00

13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vend-la com um prejuzo de30% sobre o preo de custo. Calcular o preo de venda.Resp.: R$ 6.300,00

14) O preo de venda de certa mercadoria de R$ 6.700,00 e resulta de um descontode 25% sobre a venda. Calcule o preo de custo.Resp.: R$ 8.375,0015) O preo de custo de certa mercadoria de R$ 8.000,00, o que obriga a vend-lacom um prejuzo que representa 20% do preo de venda. Calcule esse preo de venda.Resp.: R$ 6.666,67

16) Um comerciante vendeu suas mercadorias com lucro de 18% sobre o preo decusto. Determinar o preo de venda sabendo que as mercadorias custaram R$35.000,00.Resp.: Pv = R$ 41.300,00

17) Uma pessoa vendeu certo produto com prejuzo de 12,5% sobre o preo de custo.Sabendo que o preo de custo foi de R$ 210,00, calcular o preo de venda.Resp.: PV = R$ 183,75

18) Um automvel foi comprado por R$ 10.000,00 para ser vendido com lucro de 20%sobre o preo de venda. Por quanto dever ser vendido o referido automvel?Resp.: PV = R$ 12.500,00

19) Durante uma crise econmica, um imvel adquirido por R$ 150.000,00 foi vendidocom um prejuzo de 10% sobre seu preo de venda. Calcular o preo de venda doimvel.Resp.: PV = R$ 136.363,63

20) Ao se vender um objeto por R$ 300,00 ganhou-se 20% sobre o preo de custo.Quanto custou o objeto?Resp.: PC = R$ 250,00

21)Um produto foi comprado por R$ 25.000,00 e vendido por R$ 30.000,00. Qual amargem de lucro sobre o preo de compra? E sobre o preo de venda?Resp.: MC = 20% e MV = 16,67%

22) Quanto custou um objeto que, vendido por R$ 1.200,00, forneceu um lucro de20% sobre o preo de custo?Resp.: PC = R$ 1.000,00


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23) Se o mesmo lucro da questo anterior fosse sobre o preo de venda, qual seria opreo de custo?

Resp.: PC = R$ 960,0024) Se a margem e contribuio unitria igual a 30% do preo de venda, qual essamargem como porcentagem do custo varivel por unidade?Resp.: 42,86%

25) Se a margem e contribuio unitria igual a 25% do custo varivel por unidade,,qual o valor dessa margem como porcentagem do preo de venda?Resp.: 20%

26) Os concorrentes acusam de dumping o empresrio Wilson Zanatta, dono da BomGosto(indstria de laticnios), por vender leite com uma margem de prejuzo de 31%do preo de custo que em mdia de R$ 1,42. Baseando-se nas informaes dadas,calcule o preo de venda.

Res.: R$ 0,98

27) Um automvel Palio, comprado em 2008 por R$ 28.500,00 foi revendido em 2010por seu proprietrio a uma concessionria com um prejuzo de 20% sobre o preo devenda; com esses dados calcular o preo de venda.Resp.: R$ 23.750,00

28) O Dlar fechou ao preo de venda de R$ 1,764 em 17/03/10 apresentando umprejuzo de 2,6% sobre o preo de compra no incio do ms de maro. Calcular o preode compra.Resp.: R$ 1,811

29) As aes PETROBRAS PN atingiram um preo de venda de R$ 29,43 em05/08/10, resultado de uma desvalorizao de 5,9% nos ltimos 12 meses. Com basenestes dados, calcule o preo pelo qual um aplicador podia comprar este tipo de ao aum ano atrs.

30)A ao Vale PNA atingiu o preo de venda de cotao de R$ 42,26 , com resultadode uma valorizao de 22% nos ltimos 12 meses. Calcule seu valor de cotaoreferente a um ano atrs.

31) Em 30/03/11 o preo do barril de petrleo vista alcanou US$ 115,13, revelandouma alta de 2,98% relativa a 30 dias antes. Com base nas informaes prestadas,determine quanto custava um barril no ms anterior.

32) Seja MC a margem de contribuio como porcentagem do custo varivel e MP amargem de contribuio como porcentagem do preo de venda. Mostre que MC = MP/(1 MP)

33) Seja MC a margem de contribuio como porcentagem do custo varivel e MP amargem de contribuio como porcentagem do preo de venda. Mostre que MP = MC/ (1 + MC)

2.5 Acrscimos e Descontos Sucessivos


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Os acrscimos e Descontos podem ser feitos de forma sucessiva, ou seja , em umasrie de operaes, onde cada uma realizada acumuladamente, "sobre" o resultadoda operao anterior. Dessa forma, o valor bruto de cada acrscimo ou o lquido de

cada desconto passa a ser o principal da operao posterior.Vamos imaginar uma srie de acrscimos feitos de forma sucessiva, a partir de umprincipal. O bruto do primeiro acrscimo seria calculado da seguinte maneira:

V1 = V0 . ( 1 + i1 )V2 = V1 . ( 1 + i2 ) = V0 . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 )V3 = V2 . ( 1 + i3 ) = V0 . ( 1 +i 1 ) . ( 1 + i2 ) . ( 1 + i3 )...Podemos generalizar as constataes acima da seguinte forma:Vn = V0 . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 ) . ( 1 + i3 ) ... ( 1 + in )

Obs.: No caso de acrscimos iguais, teramos que Vn = V0 . ( 1 + in )n !

Como os acrscimos so sempre realizados sobre valores anteriormente acumulados,o acrscimo total sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma dastaxas. Caso queiramos obter uma taxa nica equivalente aplicao de diversas taxasde forma sucessiva. Portanto, o valor final produzido por essa taxa nica deacrscimos, que chamaremos de iE ser igual ao valor final produzido pelas diversastaxas de acrscimos sucessivos, ou seja:

V0 . ( 1 + iE ) = V0 . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 ) ... ( 1 + in )

e

iE = ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 ) ... ( 1 + in ) - 1E no caso de acrscimos iguais, teramos que iE = ( 1 + i )

n 1 !

Por extenso, vejamos agora o caso de descontos sucessivos ;

V1 = V0 . ( 1 i1 )V2 = V1 . ( 1 i2 ) = V0 . ( 1 i1 ) . ( 1 i2 )

V3 = V2 . ( 1 i3 ) = V0 . ( 1 i1 ) . ( 1 i2 ) . ( 1 i3 )...

Vn = V0 . ( 1 i1 ) . ( 1 - i2 ) ... ( 1 - i3 )

E no caso de descontos idnticos, teramos que : Vn = V0 . ( 1 i )n

Como os descontos sucessivos resultam em um abatimento total diferente da (menorque a) soma das taxas de descontos, podemos calcular a taxa nica que corresponde aplicao de diversas taxas de abatimento sucessivas. O valor lquido produzido por


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essa taxa nica de descontos, que chamaremos de iD ser igual ao valor lquidoproduzido pelas diversas taxas de descontos sucessivos, ou seja:

V0 . ( 1 iD ) = V0 . ( 1 i1 ) . ( 1 i2 ) ... ( 1 in )

Donde conclumos que :

- iD = ( 1 i1 ) . ( 1 i2 ) ... ( 1 in ) 1 , ou : iD = 1 - ( 1 i1 ) . ( 1 i2 ) ... ( 1 in )

E, caso os descontos sucessivos fossem realizados a taxas idnticas, teramos que:

-iD = ( 1 i )n 1 ou iD = 1 - ( 1 i )n .

Exerccios de fixao:

1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preo de fbrica de R$ 1.200,00por unidade e que sofre os acrscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%.Resp.: R$ 1.388,65

2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, osacrscimos de 5%, 10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00.Resp.: R$ 94.108,79

3) Calcular o valor lquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, osdescontos de 5%, 10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00.

Resp.: R$ 58.140,00

4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 apssofrer os descontos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%.Resp.: R$ 165.343,92

5) Qual a taxa nica que corresponde aos acrscimos de 5%, 10%, 15% e 20%aplicados de forma sucessiva?Resp.: 59,39%

6) Qual a taxa nica que corresponde aos descontos de 5%, 10%, 15% e 20%aplicados de forma sucessiva?Resp.: 41,86%

7) Uma mercadoria cujo preo de fbrica de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva,os acrscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preo final a R$21.024,36. Qual a porcentagem do o ltimo acrscimo?Resp.: 20,00%

8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20%e um terceiro. Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preo daetiqueta de R$ 42.016,81. Qual a porcentagem do ltimo desconto?Resp.: 30,00%


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9) O acrscimo total de 27,63% foi resultante da aplicao de cinco taxas iguais deforma sucessiva. Qual a porcentagem dessas taxas?Resp.: 5,00%

10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicao de cinco taxas iguais deforma sucessiva. Qual a porcentagem dessas taxas?Resp.: 5,00%

11) As vendas de veculos bicombustveis (flex) no Brasil apresentaram crescimentometerico desde seu lanamento em 2003. Para se ter uma idia, entre 2006 e 2007cresceu 40%, entre 2007 e 2008 cresceu 16% e entre 2008 e 2009 cresceu 14%. Seem 2006 foram vendidas 1.430.000 unidades calcule a quantidade de unidadesvendidas em 2009.Resp.: 2.647.445 unidades

12) A inflao medida pelo IPCA atingiu os ndices de 4,46% em 2007, 5,9% em 2008

e 4,31% em 2009. Para um produto que tem seu preo reajustado pelo ndice emquesto e que custava R$ 2.750,00 em 2007, calcule seu preo final em 2009.Resp.: R$ 3.173,25

13) A Receita mundial da SIEMENS que em 2007 era da ordem de 72 bilhes,aumentou em 7% em 2008 e diminuiu em 3% em 2009 e tem-se expectativas decrescimento de 7% em 2010. Calcule o faturamento previsto para 2010.Resp.: 70,96 bilhes

14) O Nmero de correspondentes bancrios que em 2002 era de 32.500 aumentou41,5% em 2004, 58,7% em 2006 e 48% em 2008. Calcule o nmero decorrespondentes no incio de 2009.

Resp.: 108.014 correspondentes15) A Hyundai do Brasil, montadora de veculos, atingiu em 2006 um total de 5.177veculos vendidos, em 2007 houve um aumento de 268% nas vendas, em 2008 130%e em 2009 obteve um aumento de 62%. Calcule o volume de vendas referente ao anode 2009.Resp.: 70.985 veculos

16) O Formspring.me, site que, em tempo recorde conquistou o gosto dos brasileiros,tinha 1,3 milhes de usurios em dezembro de 2009, teve um aumento de 200% em

janeiro de 2010, seguido de 23,8% em fevereiro e de 4,2 em maro. Calcule o total deusurios em maro de 2010, atentando para os aumentos verificados nos mesesanteriores.

17) A evoluo da corrente de comrcio do MERCOSUL alcanou os seguintespercentuais: de 2002 a 2005 aumentou 111.24%, de 2005 a 2008 houve umaevoluo da ordem de 95,21% e espera-se para o 1 semestre de 2010, com relao a2008 uma reduo de 52,58%. Sabendo-se que em 2002 o comrcio entre os pasesdo bloco giraram em torno de US$ 8,9 bilhes, estime o total de negcios ao final do1 semestre deste ano.

18) Os gastos com carto de crdito de brasileiros no exterior obtiveram os seguintespercentuais de crescimento: 50% no perodo 2007/2008, 4,17% de 2008/2009 e de60% no perodo 2009/2010. Se os gastos em 2007 foram de cerca de US$ 4 bilhes,estime o total de gastos referentes a 2010.


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3. Modelo de Capitalizao Simples

Neste captulo estaremos sistematizando a aplicao de modelos matemtico-financeiros relacionados com o parmetro dos juros simples. Devido s suas restriestcnicas, a aplicabilidade deste tipo de modelo se torna bastante limitada, restringindosua utilizao a operaes de curto e curtssimo prazo, como tambm no clculo decertas operaes financeiras, tais como, encargos a pagar em operaes deemprstimos e rendimentos financeiros para certas aplicaes.

Algumas taxas praticadas no mercado financeiro so expressas em termos de juros

simples, embora que a formao dos montantes destas operaes se processem sob aforma de capitalizao composta; como por exemplo, as Cadernetas de Poupana, quepagam uma taxa de 6%aa, mas que, proporcionalmente, creditam 0,5%am que socapitalizados exponencialmente para a formao do montante final.

Apesar de sua restrita utilizao, sua abordagem ser e grande valia para acompreenso do modelo de capitalizao composta que estudaremos no prximocapitulo.

3.1 Juros Simples

Podemos citar como exemplo de pagamento de juros as seguintes situaes:

Um cliente bancrio toma emprestado de um banco a quantia de $ 1.000,00 eassina uma promissria concordando em que, ao fim de quatro meses, pagaros $ 1.000,00 iniciais acrescidos da quantia de R$ 200,00.

Um banco estipula em seus contratos de aplicaes financeiras no valor de R$10.000,00 , por um prazo de 2 anos as seguintes condies:

- a restituio dos R$ 10.000,00 ao fim dos 3 anos.

- o pagamento de R$ 2.500,00 ao final do prazo de aplicao, a ttulo de

remunerao do capital aplicado,As importncias de $ 200,00 no primeiro caso e de $ 2.500,00 no segundo configurama cobrana e o pagamento de juros, configurando esta varivel como sendo:

o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado.

ou

a recompensa monetria recebida quando o capital aplicado.

Voltando s situaes apresentadas anteriormente, na primeira existe uma relaodireta entre a quantia emprestada e o valor pago a ttulo de juros, note que esteltimo representa 1/5 do total tomado num perodo de 4 meses, o que indica que est


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pagando proporcionalmente $ 200,00 em 4 meses, o que representa 20%aq (200/100= 0,2) ou $ 50,00 mensalmente, o que representa 5%am (50/1000 = 0,05) . J nosegundo caso apresentado, o aplicador est recebendo anualmente $ 1.250,00 o que

representa 12,5%aa (1.250,00/10.000,00 = 0,125aa) .Note que:

A magnitude dos juros pagos ou recebidos sobre um emprstimo ou em umaaplicao dependem, ao mesmo tempo, da quantia emprestada/aplicada e do tempodurante o qual os recursos monetrios foram utilizados.

Deve notar-se, por vezes, que a lgica e a prtica dos negcios nem sempre esto deacordo. Por exemplo, um ano consta de 365 dias (exceto o ano bissexto) e estdividido em 12 meses de extenso desigual.

3.2 Taxa de Juros

Quando uma quantia de valor C, numa certa data, aumenta para o valor Mnuma dataposterior,

C chamado de principal ou valor presente.

Mdenomina-se montante ou valor futuro e

Chamamos de juro a diferena ente M e C , ou seja:J = M C .

Exemplo:

Um cliente toma emprestados R$ 1.000,00 em um banco, concordando em pagar, ao

final de um ano, R$ 1.100,00 para saldar seu emprstimo.Temos que:

C = 1.000,00

M = 1.100,00

O valor dos juros (J) ser:

J = M - C = 1.100 - 1.000 = 100,00

J a taxa de juros cobrada ser:

A taxa de juros produzida ou cobrada a relao entre os juros auferidos numaunidade de tempo e o valor principal; ou seja:

A taxa de juros um coeficiente que corresponde razo entre os juros pagos ourecebidos no fim de um determinado perodo de tempo e o capital inicial.No exemplo apresentado, o valor do capital inicial R$ 1.000,00 , o valor dos juros:R$ 100,00 por um ano.

J a taxa de juros iser, conforme definido acima, poder ser encontrada atravs dadiviso entre o valor referente aos juros no perodo determinado pelo valor doprincipal:

i = M / C

i = 100 / 1.000

i = 0,10 por um ano ou = 0,10 ao ano = 10%aa


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A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, ms, trimestre, etc.)e pode ser apresentada sob a forma unitria (que geralmente uma frao decimal)ou na forma percentual.

Obs.: Para a converso da forma unitria para a forma percentual, basta multiplicarpor 100 e acrescentar o smbolo de percentual (%); ao menos que se especifique demodo diverso, dada uma taxa de juros, a unidade de tempo subentendida o ano.

No exemplo acima, por se tratar de um perodo de um ano, poderamos escreversimplesmente:

i = 10%, pois:

Apesar da taxa de juros poder ser escrita tanto da forma unitria quanto percentual,ela geralmente vem expressa como uma percentagem. Porm:

Obs.:Para efeito de clculos, a taxa de juros dever ser sempre convertida para a sua

forma unitria.- Converso da taxa percentual para a forma unitria: basta dividir por cem e eliminaro smbolo "percentual".

Exemplo:

i = 25 %

i = 25 % / 100 %

i = 0,25

Esta converso, por mais banal que possa parecer, uma das principais fontes deerros na resoluo de problemas que envolvem a Matemtica Financeira.

Deve-se ter, tambm, especial ateno entre o perodo de tempo considerado e a

unidade de tempo qual a taxa de juros se refere.Assim, se estamos falando de taxas de juros anuais, devemos ajustar o perodo decapitalizao sempre em anos:

Exemplo:

1 ms deve ser contado como 1/12 ano

47 dias, como frao de ano = 47 / 360

1 bimestre, como 1/6 ano, etc.

Se estivermos falando em taxas de juros dirias, o tempo deve ser sempre contado emdias, no caso de taxas de juros mensais, o tempo deve ser contado em meses. Eassim, sucessivamente.

Recomenda-se muito cuidado, um erro bastante freqente a no converso doperodo em que a taxa est expressa e o perodo de capitalizao; portanto, noesquea, antes de comear iniciar os clculos, de transformar o tempo de aplicao namesma unidade expressa pela taxa.


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3.3 Frmulas para o clculo dos juros simples:

a) Modelo empregando taxas variveis:

i

ii

i

1

1 1

1

J

JJ

J

1

1 1

1

i

ii

i

2

2 2

2

J

J J

J

2

22

2

i

i i

i

3

3 3

3

J

JJ

J

3

3 3

3

i

ii

i

n

nn

n

J

J J

J

n

nn

n

|

||

| | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | |

0 1 2

0 1 2 0 1 2

0 1 2 3 n

3 n 3 n

3 n

1 n

1 n 1 n

1 n

t =1 J1 = C . i1

t = 2 J2 = C . i2

t = 3 J3 = C . i3

.

.

.

t = n Jn = C . in

Como JTotal = J1 + J2 + J3 + ... + Jn

= C.i1 + C.i2 + C.i 3 + ... + C.in

= C( i1 + i2 + i3 + ... + in )

n

= C. it t = 1

Este tipo e sistemtica utilizada, por exemplo, em pagamentos de IOC/IOF, desgioe LTN, descontos bancrios e em outras operaes que tenham clusulas contratuais,obrigando sua utilizao.

b) Modelo empregando taxa fixa:

Se a taxa fixa, teremos que:

i1 = i2 = i3 = ... = in = i ; logo J = C.( i + i + i + + i ) = C . i . n

Deve-se notar que os juros simples se comportam de maneira linear, ou seja, osacrscimos (ou decrscimos) so constantes durante todo o prazo de capitalizao,demonstrando uma proporcionalidade entre J e n.

3.4 Homogeneizao entre taxa e prazo de aplicao:


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Devido necessidade de compatibilizao de dimensionamento entre as unidadesenvolvidas na anlise financeira, variveis taxa de juro e prazo de capitalizao devemapresentar como unidade dimensional um mesmo perodo de tempo especfico para

amos os casos, em outras palavras, para um clculo correto do valor dos juros a seremauferidos(ou pagos), a taxa de juro e o prazo de capitalizao devero estar expressosnas mesmas unidades de tempo.

Para obtermos uma taxa de juro equivalente a uma expressa em determinado perodopara um de perodo menor, basta dividirmos a magnitude do perodo mais pelonmero de sub-perodos que ele contm.

Vejamos um exemplo: Qual o juro simples produzido por uma aplicao de um capitalde $ 1.000,00 a uma taxa de 24%aa durante um prazo de trs meses?

3.5 Juros simples exato e ordinrio

O juro simples exato calcula-se tomando-se como base o ano civil com 365 dias (ou366 se o ano for bissexto); j o juro simples ordinrio calcula-se tomando-se comobase o ano comercial com 360 dias.

O uso do ano de 360 dias simplifica a maioria dos clculos, e tambm:

Obs.: O uso do ano do ano de 360 dias aumenta os juros auferidos por quem emprestao dinheiro.

Caso a questo no esclarea se para achar os juros simples exatos ou ordinrios,vale o seguinte:

Obs.: Numa prova de concurso pblico, diante de um problema como este,

recomendamos comear pelo ordinrio (que o que se pratica habitualmente nastransaes bancrias e comerciais) e conferir as alternativas. Caso nenhuma estivercorreta, calcule o juro exato e confira as alternativas novamente. provvel que, nohavendo erro de clculo, agora voc encontre a alternativa a assinalar!.

Vejamos o seguinte exemplo:

Calcular os juros simples exatos e ordinrios de R$ 2.000,00 durante 50 dias, a 5%.

Soluo:

a) Juro simples ordinrio (usamos o ano de 360 dias):

n = 50/360 = 5/36 e

J = C . i . n

J = 2.000 . (0,05) . (5/36) = 125/9

J = R$ 13,89

b) Juro simples exato (usamos o ano de 365 dias):n = 50/365 = 10/73 e

J = C .i .n


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J = 2.000 . (0,05) . (10/73) = 1.000/73

J = R$ 13,70

3.6 Tempo Exato e Aproximado

Para o clculo dos juros, podemos efetu-lo de duas maneiras distintas:

Tempo exato: calculamos o nmero exato de dias envolvidos na situao-problema.

Tempo aproximado aquele que se obtm supondo que cada ms tem 30dias.

Vejamos um exemplo:Calcular o nmero de dias exato e o nmero de dias aproximado entre 20 de Junho e24 de agosto de um mesmo ano.

Tempo exato:

No nosso exemplo ser o nmero de dias restantes de junho + nmero de dias dejulho + nmero indicado de dias de agosto =

= 10 + 31 + 24 = 65

Tempo aproximado.

Primeiro mtodo= 10 + 30 + 24 = 64

Segundo mtodo: subtrao de datas

Agosto, 24. Escreve-se..... 8 : 24

Junho, 20. Escreve-se...... 6 : 20

Resultado: ......................... 2 : 04

Assim, o tempo aproximado de 2 meses e 4 dias ou 64 dias.

Observe que este mtodo pode ser usado inclusive para anos diferentes:

Exemplo: Calcular o nmero de dias aproximados entre: 01.03.1998 e 25.07.1994. Osistema parecido com a subtrao de horas. Quando naprimeira linha o nmero de

dias menor que na segunda linha, soma-se 30 aos dias da primeira linha, subtraindo-se 1 do nmero de meses:

1998 : 03 : 01.......................... 1998 : 02 : 31

1994 : 07 : 25.......................... 1994 : 07 : 25

Quando o nmero de meses na primeira linha menor que o nmero de meses dasegunda linha, soma-se 12 aos meses e subtrai-se 1 dos anos:

1998 : 02 : 31.......................... 1997 : 14 : 31

1994 : 07 : 25.......................... 1994 : 07 : 25

Efetuando-se a subtrao, temos: 3 : 07 : 06


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3 : 07 : 06 = 3 . 360 + 7 . 30 + 6 =

= 1.080 + 210 + 6 = 1.296 dias

Vejamos um outro exemplo:

Calcular o juro exato e o juro ordinrio de uma aplicao de R$ 2.000,00 a 6% de 20de Abril de 97 a 1 de Julho de 97, usando o tempo exato e o tempo aproximado.

Calculando o nmero de dias obtemos:

tempo exato: = 10 + 31 + 30 + 1 = 72 dias

tempo aproximado: 10 + 30 + 30 + 1 = 71 dias

Temos, portanto, que achar 4 respostas:

a) Juro exato, tempo exato:J = 2.000 (0,06) (72/365) = R$ 23,67

b) Juro exato, tempo aproximado:J = 2.000 (0,06) (71/365) = R$ 23,34

c) Juro ordinrio, tempo exato:

I = 2.000 (0,06) (72/360) = R$ 24,00

d) Juro ordinrio, tempo aproximado:J = 2.000 (0,06) (71/360) = R$ 23,67

Dentre os quatro mtodos para calcularmos os juros simples, exemplificados acima, omais comum o de juro ordinrio para o nmero exato de dias.

3.7 Montante, Capital Acumulado ou Valor Futuro

Quando aplicamos um capital, sujeito a uma taxa de juros e um determinado perodode aplicao, h a gerao de um valor acumulado, ao qual denominamos deMontante.Este Montante o resultado da soma do capital inicialmente aplicado com os jurosproduzidos durante o prazo de aplicao ou capitalizao;ou seja: Montante = Capital+ Juros; ou ainda : M = C + J .

Vamos obter, agora, as frmulas para o clculo do montante:


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a) Montante a taxas variveis:

M = C + J = C + C . it = C . ( 1 + it )

b) Montante a taxa fixa:

M = C + J = C + C . i . n = c.(1+ i.n)

3.8 Valor Atual ou Valor Presente:

Trata-se do valor antecipado de qualquer compromisso financeiro que foi estabelecidopara ser concretizado no futuro.

Atravs do diagrama abaixo, temos que:

A N

0 n

Onde:A = Valor atual do compromisso (note que A = C)N = Valor de resgate, valor de face ou valor nominal do ttulo (note que N = M)

n= prazo de vencimento

Como os casos de juros e de montante, podemos calcular o valor atual de duasformas:

a)A taxas variveis:N

Como, M = C . ( 1 + it ) , por analogia : A =( 1+ it )

b)A taxa fixa:

Como, M = C . ( 1 + it ) , por analogia : A = N( 1 + i . n )

Vejamos alguns exemplos:


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1) Determinar o valor atual de um compromisso financeiro no valor de R$ 1.500,00,vencvel daqui a 9 meses, quando se aplica uma taxa de juros de 6%am.

Temos que:

N = 1.500,00, i = 0,06am e n = 9/12 = 3 / 4

Logo:

A = 1.500 / [1 + 0,06 (3/4)] =

= 1.500 / 1 + 0,045 = 1.500 / 1,045

= R$ 1.435,41

2) Uma duplicata datada de 1 de Abril no valor de R$ 1.200,00 devida em 8 mesescom juros de 12%aa vendida, a 14 de Julho, a Y, um agiota, que negocia este ttulona base de 36%aa. Quanto pagar Y pela referida duplicata?

Soluo:1 passo: encontrar o valor da duplicata na data do seu vencimento, 1 de dezembro.

Temos:

A = 1.200, i = 0,12aa e n = 8/12 = 2/3.

N = A . (1+in) = 1.200 (1+0,12(2/3)).

N = 1.200 + 96 = R$ 1.296,00

2 passo: encontrar o valor atual, em 14 de Julho, a juros de 36%, da duplicata cujovalor em 1 de dezembro R$ 1.296,00.

Primeiro vamos achar n:

Julho: 31 - 14 = 17 diasAgosto: 31 diasSetembro: 30 diasOutubro: 31 diasNovembro: 30 diasDezembro: 01 dia

Logo, n = 140 dias.

Portanto:

N = 1.296, i = 0,36aa e n = 140 dias

A = 1296 / [ 1 + 0,36 (140/360) ]

= 1.296 / 1 + 0,14 = 1.296 / 1,14

= R$ 1.136,84

Portanto, Y pagar R$ 1.136,84 pela duplicata.

3.9 Operaes de Desconto Simples

Este tipo de operao utilizada com o objetivo de permitir uma maior liquidez decaixa s unidades consumidoras e produtoras; as operaes de desconto consistem na


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antecipao de recursos financeiros para por exemplo capital de giro, em contrapartidaa ttulos de crdito.

Bancos e outras instituies financeiras realizam operaes de desconto de ttulosdiversos. Nesse caso, o credor do ttulo recebe hoje o valor do ttulo que apresentavencimento futuro, mediante o pagamento de de desgio e cesso dos direitoscreditrios. Nessas operaes so negociados ttulos como Motas Promissrias,duplicatas, entre outros.

A operao de desconto inversa da capitalizao e consiste em se determinar umValor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em termos prticos, asoperaes de desconto so realizadas com os ttulos de crdito que so osinstrumentos de crdito que possuem garantia legal (duplicatas, notas promissrias,etc.). Possuindo garantia legal, esses ttulos podem ser negociados livremente, antesde sua data de vencimento.

Assim, um ttulo de crdito pode ser convertido em dinheiro ou substitudo por outro(s)ttulo(s) anteriormente data prevista para sua liquidao. A converso feita peloValor Atual (A) ou Valor Presente do ttulo, que corresponde ao Valor de Face, ValorNominal (N) ou Valor Futuro do ttulo, menos o desconto (D) que a compensao emvalor pela antecipao do resgate do ttulo.

O Regime de Capitalizao Simples utiliza duas formas de clculo para o desconto: oDesconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como apenas amodalidade comercial praticada, ainda que sua utilizao seja restrita a operaes decurto prazo, nos ateremos ao seu estudo.

Podemos conceituar desconto como a diferena ente o valor nominal (ou e resgate) dottulo e seu valor atual (ou descontado), ou seja: D = N A; ilustrativamente,teremos:

$

N(Valor Nominal)

D (Desconto) (Valor Atual)

A

A

Tempo

n(perodo de antecipao)


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As operaes de desconto simples pem ser classificadas em:

a) Desconto Simples Racional:

DR = f(A)

DR = N - A = A.(1 + i.n) - A = A.(1 + i.n - 1) = A.i.n

DR = f(N)

DR = N - A = N - N

1+i.n

DR = N.(1 + i.n) - n

1+i.n

DR = N . i . n1 + i.n

b) Desconto Simples Comercial:

Convencionalmente um juro simples cobrado sobre o valor nominal do ttulo,mediante uma taxa de desconto i* ; ou seja: DC = N . i

* . n .Podemos obter o valor atual comercial de um ttulo da seguinte forma:


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Como DC = N AC AC = N DC = N N . i

* . n = N . ( 1 i* . n )

Exemplo: Calcular o desconto comercial de um ttulo de R$ 500,00, descontado 27 diasantes do vencimento, taxa de desconto de 5% ao ms.

Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um ttulo de R$ 1100,00, 25 dias antes doseu vencimento, taxa de desconto de 8% a.m.

Ainda com relao ao desconto comercial, por ser praticamente o nico utilizado nasoperaes de curto e mdio prazos no mercado de crdito, desejamos acrescentar quena determinao do valor atual comercial de um ttulo so adicionadas outras taxas eimpostos, a fim de obtermos o valor lquido final,; a exemplo do Imposto SobreOperaes Financeiras(IOF), taxas de Servio(TS), dentre outras.Onde:IOF = N . i . n ; i = taxa der IOF mensale TS = N . i ; i = taxa de servio incidente sobre o valor global da operao, a

exemplo das chamadas taxas de abertura de crdito.

Assim:

AC = N - DC

VL = N - DC - IOF

VL = N DC IOF TS


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3.10 Taxa Efetiva de Desconto ou Emprstimo:

Normalmente, nas operaes de crdito, a taxa declarada nem sempre representa overdadeiro custo da operao, havendo uma taxa de juros implcita, cuja magnitudepode ser comparada com outras alternativas de aplicao ou captao de recursos.Para a sistematizao de seu clculo, iremos empregar os modelos de capitalizaosimples, utilizando a frmula J = C . i . n e compostos, mediante a utilizao dafrmula do montante composto M = C . (1 + i)n, embora que esta ltima s serabordada com mais nfase a partir do prximo captulo.

Como demonstrao do exposto acima, vejamos o seguinte exemplo:

Um ttulo com valor nominal de R$ 100.000,00 descontado comercialmente a umataxa de 4%am (j incluso o IOF), para um prazo de vencimento de 47 dias. Nestascondies, determinar:

a) A taxa efetiva de juros simples implcita (para o cliente) na operao.b) Idem, empregando capitalizao composta.

3.11 Mtodo Hamburgus para o clculo dos Juros Simples emContas de Cheque Especial:

Este mtodo representa o emprego direto da frmula de juros simples aos saldosdevedores mantidos em conta corrente, atravs da cobrana de uma taxa mensal de

juros durante prazos dirios.

Vejamos o seguinte diagrama:

SD1 SD2 SDn| | | | | . . . | | |

0 d1 d2 dn 30 dias

Onde SDt o saldo devedor da conta corrente no perodo t e dt o nmero de diascontidos em cada perodo t em que a conta ficou a descoberto.

Admitindo-se a cobrana de uma taxa mensal im de juros simples, teremos

Jt = SDt . (im / 30) . dt

Com dever ser debitado o valor total dos juros simples na conta corrente, teremosque:


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Jt = SDt . (im / 30) . dt

n n

JT = Jt = SDt . (im / 30) . dtt = 1 t = 1

n

JT = (im / 30) . SDt . dt;onde os valores que se encontramt = 1

entre conchete s chamamos de nmeros-produto.

semelhana do clculo dos juros, o IOF tambm ser debitado em conta corrente namesma data e para os mesmos saldos devedores apresentados, podendo ser calculadoda seguinte forma:

nIOF = (i / 30) . SDt . dt;onde a taxa representativa do

t = 1

IOF se encontra no patamar de 3,38%aa.

Vejamos o seguinte exemplo:

Sabendo-se que o Banco da Produo S.A. cobra juros simples de 4,2%am e um IOFde 0,123%am de seus clientes portadores de cheques especiais, determinar, segundoo quadro abaixo (extrato de conta particular), os valores dos juros e do IOF, tendocomo data de contabilizao o dia 30/03.

Dia Ms Histrico Valor (R$) Saldo (D/C) N de dias

02/03 Transporte - 80.000,00(C) -

10/03 Cheque 90.000,00 10.000,00(D) 6

16/03 Cheque 25.000,00 35.000,00(D) 2

18/03 Depsito 40.000,00 5.000,00(C) -

23/03 Db. Autorizado 13.500,00 8.500,00(D) 730/03 Depsito 60.000,00 51.500,00(C) -

Exerccios de fixao:

1) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, taxa de 36% aoano, rende $ 72.000,00 de juros, determinar o futuro valor, no regime de capitalizaosimples.Resp. $ 112.000,00


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2) Um emprstimo de $ 40.000,00 dever ser quitado por $ 80.000,00 no final de12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nesta operao decapitalizao simples.

Resp.: 8,33% a.m. e 100% a.a

3) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicao de $ 2.000,00, feitaa uma taxa de 4,94% ao ms, no regime de capitalizao simples, pelo prazo de 76dias.Resp.: $ 250,29 e $ 2.250,29

4) Uma aplicao de $ 5.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de$ 825,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicao, no regime de

juros simples?Resp.: 33% a.a

5) Determinar o valor de um ttulo cujo valor de resgate de $ 6.000,00,sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada para gerar este ttulo de 5% ao mse que o seu vencimento de 4 meses.Resp.: $ 5.000,00

6) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 bimestres, taxa de 36% aoano rende $ 7.200,00 de juros, determinar o montante no regime de capitalizaosimples.Resp.: $ 19.200,00.

7) Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si prprio. Qual foi a taxalinear considerada?Resp.: 25% ao m.

8) Depositei a quantia de $72.000,00 em um banco que remunera seus clientes ataxa simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldoera de $73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicao?Resp.: 25 dias

9) Pretendo poupar uma parte do salrio, para daqui a 2 bimestres ter ummontante de $500, 00, sabendo que a taxa de 48% ao ano, quanto devo aplicarsendo o regime de capitalizao simples?Resp.: 431,03

10) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao ms.Resp.: R$ 101,33

11) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a14% ao ms.Resp.: R$ 2.768,33

12) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzir jurossimples de R$ 1.500,00?Resp.: 1a6m


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13) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzir omontante a juros simples de R$ 3.250,00?Resp.: 3a

14) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Cmbio no dia 15 de janeiro de1995 e, ao resgat-las no dia 16 de maro do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00.Quanto recebeu de juros? Que taxa mensal remunerou seu capital nesse perodo?Resp.: R$ 70 500,00; 14,10% a.m.

15) Um empresrio pediu um emprstimo de R$ 25.000,00 a uma instituiofinanceira, por certo perodo. Na liberao do emprstimo, pagou antecipadamente,como previa o contrato, 22% de juros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantiaefetivamente liberada? Considerando a quantia liberada como emprstimo, qual foi ataxa efetiva de juros, considerando o prazo relativo operao de 1 ms?Resp.: R$ 5.500,00; R$ 19.500,00; 28,21%

16) Um ttulo foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, taxa de 7% a.me.,por R$ 4.451,67. Calcular o Valor Nominal do ttulo.Resp.: R$ 5.000,00

17) Uma nota promissria de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seuvencimento, por R$ 5.250,00. Calcular a taxa de desconto.Resp.: 15% a.m.

18) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, trs ttulos de R$20.000,00; R$ 15.000,00 e R$ 35.000,00, vencveis, respectivamente, em 27 de

junho, 28 de julho e 24 de agosto do mesmo ano. Calcule o valor atual utilizando ataxa de desconto de 15% a.m.

Resp.: R$ 46.325,0019) Uma empresa devedora de trs ttulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$3.000,00, vencveis em 32, 63 e 90 dias, respectivamente, prope ao banco credorsubstitu-los por dois outros, de mesmo valor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule ovalor nominal desses ttulos a uma taxa de desconto de 15% ao ms.Resp.: R$ 3.057,89

20) Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me.,em 6 meses.Resp.: R$ 1.120,00

4. Modelo de Capitalizao Composta:

Nesta nova modalidade de regime de capitalizao, estudaremos o modelo decapitalizao composta que , como j vimos anteriormente, permite a incidncia de

juro sobre juro; ou seja, diferentemente da capitalizao simples, neste modelo osjuros provenientes de um determinado perodo so calculados a partir do montantegerado no perodo imediatamente anterior.

Esta modalidade de capitalizao de grande importncia no mercado financeiro, dadaa sua larga utilizao em operaes financeiras no curto, mdio e longo prazos.


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4.1 Montante, Capital acumulado ou Valor Futuro (M):

Partiremos da hiptese de, no mercado financeiro, estar sendo utilizada uma taxa dejuros compotos it, por perodo de capitalizao, sobre um capital inicial ou principal (C)aplicado com o objetivo de auferir juros.

a) Montante a taxas variveis:

Vejamos o diagrama a seguir:

C i1 M1 i2 M2 i3 M3 ... Mn-1 in Mn| | | | | |

0 1 2 3 ... (n 1) n

A partir do diagrama acima e levando em considerao que M = C + J , teremos que:

Data 0 : M = CData 1 : M1 = C + C . i1 = C . ( 1 + i1 )Data 2 : M2 = M1 + M1 . i2 = M1 . ( 1 + i2 ) = C . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 )Data 3 : M3 = M2 + M2 . i3 = M2 . (1 + i3 ) = C . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2 ) . ( 1 + i3 )...

Data n:Mn = Mn-1+ Mn-1 . in = Mn-1 . ( 1 + in ) =C . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2) . ...( 1 + in )

Portanto, ao final de n perodos de capitalizao, o montante final poder ser obtidopela frmula acima, ou seja:

M = C . ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2) ( 1 + i3 ) ...( 1 + in ) ; podemos tambm represent-lapor:

n

M = C . (1 + it ) ; onde representa o produtrio das taxas. t = 1

b) Montante a taxa fixa

Como: i1 = i2 = i3 = ... = in = i , teremos que:

M = C . ( 1 + i ) . ( 1 + i) ( 1 + i ) ...( 1 + i )

Logo: M = C . ( 1 + i )n ;onde o fator ( 1 + i )n conhecido como fator deacumulao de um capital e pode ser representado por: ( 1 + i )n = rn = FAC(n,i), seuclculo pode ser realizado atravs da utilizao de tabelas financeiras , mquinas de


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calcular, tanto cientficas quanto financeiras e programas computacionais com oEXCEL.

4.2 Juros Compostos (J):

A partir das frmulas de montante determinadas anteriormente, poderemos, tambm,determinar as de juros compostos.

a) Juros compostos a taxas variveis:

Como M = C + J , temos que J = M C ; portanto,

n

J = C .

(1 + it )

- C

t = 1

n

J = C . (1 + it ) - 1t = 1

b) Juros compostos a taxa fixa:

J = C . ( 1 + i )n - C = C . [ ( 1 + i )n - 1 ]

4.3 Valor Atual ou Valor Presente (A):

Seguindo a metodologia que utilizamos para a determinao do valor atual nacapitalizao simples, podemos determinar o valor atual ou presente (A=C) de umcompromisso financeiro(M) vencvel daqui a n perodos a partir da data de hoje,realizando um processo de descapitalizao do valor futuro(M), segundo uma taxa de

juros corrente de mercado.Portanto:

a) Valor Atual Composto, empregando taxas variveis:


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n

Como, M = A . (1+it

), temos que:A = M

n (1+it) t=1

b) No caso da taxa ser constante, teremos:

MA = = M . ( 1 + i )-n

( 1 + i )n

1Onde, o fator = ( 1 + i )-n denominado fator de valor atual de( 1 + i )n

um capital e pode ser representado por ( 1 + i )-n = vn = FVA(n,i); como no caso do rn, este fator, tambm, pode ser calculado atravs da utilizao de tabelas financeiras ,mquinas de calcular, tanto cientficas quanto financeiras e programas computacionaiscomo o EXCEL.

Vejamos algumas aplicaes:

1) Calcular os montantes e os respectivos juros de um capital de R$ 100.000,00aplicado a juros compostos, pelos praz de 1 ano e 3 meses e a uma taxa de 1,5%at.

2)Determine o valor de resgate em CR$(cruzeiros reais) e em R$(reais), para umCertificado de Depsito Bancrio (CDB) adquirido em dezembro de 1993 por CR$ 100milhes para receber uma taxa lquida de juros compostos de 10%am, pelo prazo de12 meses. A data do resgate do ttulo foi estabelecida para o dia 17/12/94, quando sedar a converso: R$ 1,00 = CR$ 3.660,44.

3)Se uma caderneta de Poupana forneceu durante os seis ltimos meses taxasmensais de rentabilidade (incluindo juros e TR) de, respectivamente, 0,6567%,0,6331%, 0,6299%, 0,6929%, 0,6446%, 0,6954% e 0,476%, que capital acumuladohaver, quando so depositados R$ 1.000.000,00 no incio do perodo citado?

4) Quanto se deve depositar na data atual em um Fundo de Renda Fixa para se teracumulados R$ 300.000,00 ao final de 1 ano e 6 meses, quando se sabe que o referidofundo fornece uma taxa mdia de 1%am?

5)Em quanto tempo um capital aplicado taxa de 0,65% duplicar seu valor inicial?


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4.4 Taxas de Juros Equivalentes:

Dizemos que duas ou mais taxas de juros so equivalentes quando, incidindo sobre um

mesmo capital, resultarem rendimentos (juros) ou valores acumulados (montante)idnticos, ao fim de um esmo perodo financeiro.

Vejamos o seguinte diagrama:

C i MA

0 1

C MB i1 i2 i3 ... im

0 1 2 3 ... 1

m subperodos

Onde, i a taxa de juros compostos correspondente a um perodo financeiro e im uma

taxa de juros compostos correspondente a um subperodo (1/m) do perodo financeiro.

Como MA = MB, teremos:

C . ( 1 + i )1 = C . ( 1 + im )m e :

i = ( 1 + im )m - 1 e

im = ( 1 + i )1/m - 1

A partir da demonstrao acima podemos obter as seguintes relaes de equivalncia:

(1 + ia ) = ( 1 + is )2 = ( 1 + iq )

3 = ( 1 + it )4 = ( 1 + ib )

6 = ( 1 + im)12

E, se quisermos generalizar para uma taxa id relativa a d dias(perodo menor) comrelao a uma taxa iD(perodo maior) relativa D dias , termos que:

(1 + iD ) = ( 1 + id )D/d ou que:

iD = ( 1 + id )D/d - 1 e que id = ( 1 + id )

d/D - 1

Alguns exemplos:


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1) Determinar a taxa anual ia equivalente, conhecida a taxa mensal im no regime decapitalizao composta:

VF1 = VF2

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

ia = (1 + im)12 - 1

2) Determinar a taxa mensal im equivalente, conhecida a taxa anual ia de juroscompostos.

VF1 = VF2

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

12a )i+1( - 1 = im ou im = (1 + ia) 12

1

- 1

3) Determinar a taxa mensal equivalente a 79,58563% ao ano no regime decapitalizao composta.

VF1 = VF2

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

PV (1 + 0,7958563) = PV (1 + im)12

12 7958563,1 - 1 = im

0,05 = im ou im = 0,05 = 5% ao ms

4) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65 % ao ano.

iq = (1 + it)q/t 1

i183 = (1 +0,65)183/360 1

i183 = (1,65)183/360

1

i183 = 28,99% para o perodo de 183 dias

5) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao ms.

i491 = (1,05)491/30 1

i491 = 122,23% para o perodo de 491 dias.

6) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.


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i27 = (1,13)

27/90 1

i27 = 3,73% para o perodo de 27 dias.

Vejamos mais alguns exemplos:

1) Determine as taxas de juros compostos mensal, bimestral, trimestral ,quadrimestrale semestral, equivalentes a 2%aa.

2) Determine as taxas anuais equivalentes a 3%am, 2%ab, 7%at, 6%aq e 15%as .

3) Uma letra de cmbio transacionada no mercado financeiro oferecendo uma taxabruta de rentabilidade de 41,64%aa. Sabendo-se que o seu prazo de vencimento de63 dias, determine a taxa bruta equivalente a este prazo de aplicao.

4) Se um CDB oferece um rendimento lquido de 7,25% para um prazo de aplicao de92 dias, qual a taxa anual de rendimento lquido?

4.5 Taxa Efetiva e Taxa Nominal

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