1

Limites de Função de várias variáveis

1. Limites:

No curso de CDI-I estudamos limite de uma função real de uma variável. A definição rigorosa de

limite é dada por:

|)(| || 0 se / )( 0,)(lim LxfpxLxfpx

A seguir veremos o conceito de limites das funções de duas ou mais variáveis.

Consideremos a função ),( yxfz de domínio 2D e um ponto Dyx ),( 00 , tais que f seja

definida em pontos ),( yx bastantes próximos do ponto ),( 00 yx . Denominamos vizinhança circular de

raio do ponto ),( 00 yx ao conjunto dos pontos ),( yx , tais que:

2

0

2

0 )()(0 yyxx ou 22

0

2

0 )()(0 yyxx

que constitui o disco aberto de centro ),( 00 yx , conforme ilustra a figura a seguir.

Diremos que a constante l é o limite da função f, quando o ponto variável ),( yx tende para o

ponto ),( 00 yx , quando dado um número 0 , tão pequeno quanto desejarmos, for possível

determinarmos em correspondência com ele um outro número 0 , tal que para todo ),( yx que

satisfaça a desigualdade: 22

0

2

0 )()(0 yyxx

tenhamos

lyxfl ),( ou |),(| lyxf

Nestas condições podemos escrever:

lyxfyxyx

),(lim),(),( 00

ou lyxf

yyxx

),(lim

0

0

Lembre-se: Limites fundamentais

1) 1sen

lim0

x

x

x , 1

senlim

0

x

x

x e 1

lim

0

x

xtg

x , pois, quando 0x (em radianos) xtgxx sen

2) ex

x

x

11lim e ex x

x

1

01lim , onde: ...718182,2e

2

Cálculo de limites

No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmas propriedades estudadas em

CDI-I.

Exemplos:

1) )42(lim 323

)1,2(),(

xyyxyx

yx = ... = -4

2) yxyx

)2 ,0(),(

lim = ... = 2

3) )1ln(lim 2

)2,1(),(

xyx

yx= ... = 2 ln

4) )sen(lim)

2,0(),(

yxyx

= ... = 1

5) 2

4lim

3

)1,1(),(

yx

yx

yx= ... =

2

3

6) Calcule:22

4222lim

223

)1,2(),(

yxxy

xxxyyxx

yx

Solução: 22

4222lim

223

)1,2(),(

yxxy

xxyxyxx

yx=

= 21

2lim

)1).(2(

)2).(2(lim

)1(2)1(

)2.(2)2.(lim

2

)1,2(),(

2

)1,2(),(

22

)1,2(),(

y

xyx

yx

xyxx

yyx

xyxxyxx

yxyxyx

Observações:

1) A condição de existência do limite de uma função de uma variável é que os limites laterais, devem

existir e serem iguais, ou seja:

Lxfpx

)(lim Lxfxfpxpx

)(lim)(lim

2) Para funções de várias variáveis, como existe uma infinidade de caminhos para se aproximar do

ponto de análise, devemos provar que existe o limite usando a sua definição, salvo as situações

onde pode se empregar as propriedades.

Propriedade:

Sempre que, por dois caminhos distintos, os limites forem diferentes, o limite da função não existe.

Nota: Se tomando vários caminhos o resultado insiste em ser o mesmo, use a definição para provar

que este valor é realmente o limite de tal função.

Exemplos:

1) Calculeyx

y

yx

2lim

)0,0(),(

Solução:

1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0

yx

y

yx

2lim

)0,0(),(= 00lim

0lim

00

xx x

2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0

yx

y

yx

2lim

)0,0(),(= 22lim

2lim

00

yy y

y

Portanto, como existem dois caminhos com limites diferentes, o limite não existe.

3

2) Calcule22)0,0(),(

2lim

yx

xy

yx

Solução:

1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0

22)0,0(),(

2lim

yx

xy

yx = 00lim

0lim

020

xx x

2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0

22)0,0(),(

2lim

yx

xy

yx = 00lim

0lim

020

yy y

3o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando a bissetriz dos quadrantes impares, ou seja, y = x

22)0,0(),(

2lim

yx

xy

yx = 11lim

2

2lim

02

2

0

xx x

x

Portanto, como existem dois caminhos com limites diferentes, o limite não existe.

3) Mostre que42

2

)0,0(),(lim

yx

xy

yx não existe.

Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o limite nesta direção.

Se 0x 42

2

)0,0(),(lim

yx

xy

yx = 00lim

)0,0(),(

yx

Se 0y 42

2

)0,0(),(lim

yx

xy

yx = 00lim

)0,0(),(

yx

Se xy 42

2

)0,0(),(lim

yx

xy

yx =...= 00lim

)0,0(),(

yx

Se xy 42

2

)0,0(),(lim

yx

xy

yx =...= 00lim

)0,0(),(

yx

Se 2yx 2

1

2

1lim

2lim

)(limlim

)04

4

0422

22

042

2

)0,0(),(

yyyyx y

y

yy

yy

yx

xy

Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.

4) Mostre que24

2

)0,0(),(lim

yx

yx

yx não existe.

Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o limite nesta direção.

Se 0x 00lim)0,0(),(

yx

Se 0y 00lim)0,0(),(

yx

Se 2xy 2

1

2

1lim

2lim

)(limlim

04

4

0224

22

024

2

)0,0(),(

xxxyx x

x

xx

xx

yx

yx

Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.

4

5) Seja f definida por 22

2

33

2),(

yx

yxyxf

. Determine o limite de ),( yxf quando )0 ,0(),( yx .

a) Ao longo do eixo dos x.

b) Ao longo do eixo dos y.

c) Ao longo da bissetriz dos quadrantes ímpares.

d) Ao longo da curva 4xy .

Resposta: a) y = 0 => 0 b) x = 0 => 0 c) y = x => 0 d) 4xy => 0

Nota: Não podemos concluir a partir desses elementos que o limite de tal função existe, devemos usar

a definição, ou uma propriedade, para poder provar o que suspeitamos. A seguir, provaremos que o

valor desse limite é zero, usando a seguinte propriedade.

Propriedade:

Se y)g(x, e 0),(lim),(),( 00

yxfyxyx

é uma função limitada numa bola aberta de centro em ),( 00 yx ,

então: 0y)g(x,).,(lim),(),( 00

yxfyxyx

.

Exemplos:

1) No exemplo 6, verificamos que o limite insiste em ser nulo, usando a propriedade, prove que:

033

2lim

22

2

)0,0(),(

yx

yx

yx

Solução:

22

2

22

2

.3

2

33

2

yx

xy

yx

yx

03

2lim

)0,0(),(

y

yx e 1

22

2

yx

x, para todo )0,0(),( yx , ou seja,

22

2

yx

x

é uma função limitada.

Assim, 0.3

2lim

33

2lim

22

2

)0,0(),(22

2

)0,0(),(

yx

xy

yx

yx

yxyx

Nota: A expressão 22

2

yx

x

tem como valor mínimo 0 (quando x = 0 e y 0) e como valor máximo 1

(quando y = 0 e x 0). Ainda: 1022

2

yx

x .

2) 01

sen.lim)0,0(),(

y

xyx

, pois 0lim)0,0(),(

x

yx e 1

1sen1

y, ou seja, ),( yxg é uma função limitada.

3) Calcule, caso exista, 22

3

)0,0(),(lim

yx

x

yx

Solução: 22

2

22

3

.yx

xx

yx

x

0lim)0,0(),(

x

yx e 1

22

2

yx

x, para todo )0,0(),( yx , ou seja

22

2

yx

x

é uma função limitada.

Assim,

0.limlim22

2

)0,0(),(22

3

)0,0(),(

yx

xx

yx

x

yxyx

5

4) Calcule, caso exista, 22

2

)0,0(),(lim

yx

x

yx

Solução:

1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0

22

2

)0,0(),(lim

yx

x

yx = 11limlim

02

2

0

xx x

x

2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0

22

2

)0,0(),(lim

yx

x

yx = 00lim

0lim

020

yy y

Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.

Cuidado:2222

2

yx

xx

yx

x

, mas

22 yx

x

não é limitada!

Prova: 22 yx

x

não é limitada

Solução: Tome: 0y limitada é nãologo1

limlim0

lim

1limlim

0lim

02

02

0

02

02

0

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxx

xxx