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FUNES

1. Par Ordenado:A noo de par ordenado um conceito primitivo. Entende-se porpar ordenadoum conjunto de dois

elementos com as seguintes caractersticas:

I) (a,) ! (,a) a !

II) (a,) ! (c,d) a ! c e ! d

Essas duas condi"es #i$am a ordem dos elementos do par.

Obs.: % par ordenado ($,&) no a mesma coisa 'ue o conjunto $,& por'ue $,& ! &,$ sempre, mas ($,&) ! (&,$)

somente 'uando $ ! &.

Aplicao: A soluo do sistema x + y ! e x " y 1 $ ! * e & ! +, ao passo 'ue $ ! + e & ! * no soluo. e

representssemos por um conjunto, teramos: *,+ seria soluo e +,*, no seria soluo. uma contradio pois,

sendo *,+ ! +,*, o mesmo conjunto e no soluo. /or causa disso di0emos 'ue a soluo o par ordenado (*,+)

em 'ue #ica suentendido 'ue o primeiro elemento * re#ere-se 1 inc2gnita $ e o segundo elemento + re#ere-se a

inc2gnita &.

#. Prod$%o &ar%esiano de $' con($n%o A por $' con($n%o ) *sendo A e ) no a,ios-: o conjunto de todos os pares

ordenados otidos tomando-se o primeiro elemento em A e o segundo elemento em 3. Indica-se: A x )

*a/b-0a A e b ).

Indicamos a 'uantidade de elementos do produto cartesiano por: n*A x )- n*A- . n*)-/ onde n(A) e n(3) so

respectivamente a 'uantidade de elementos no conjunto A e 3.

Exe'plos:

eja A ! 4,+ e 3 ! *,5, temos: A $ 3 ! (4,*),(4,5),(+,*),(+,5)

3 $ A ! (*,4),(*,+),(5,4),(5,+)

A $ A ! (4,4),(4,+),(+,4),(+,+), indica-se tamm A $ A ! A+

2. 3epresen%ao 4r56ica de Pares Ordenados no Sis%e'a &ar%esiano Or%o7onal

% istema 6artesiano %rtogonal um sistema 'ue estabelece uma correspondncia biunvoca entre o conjunto de

todos os pontos P de um plano e o conjunto de todos os pares ordenados (ap, bp) de nmeros reais. /ara estaelecer

tal correspond7ncia inicialmente traamos duas retas dos n8meros reais, perpendiculares entre si no 0ero, dividindo o

plano em 5 regi"es com os dois ei$os, o 9ori0ontal c9amado de ei$o das ascissas e o vertical de ei$o das ordenadas.

% ponto de interseo tem coordenadas, par ordenado de reais associado a ele, O(0,0). A cada ponto P podemos

associar um par ordenado (a, b), otido da construo de retas perpendiculares neste ponto, onde o a o ponto de

interseo de uma das perpendiculares com o ei$o das ascissas (Ox) e o b o ponto de interseo da outra

perpendicular com o ei$o das ordenadas (Oy).

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Exe'plos: epresentar, no plano cartesiano, os pares ordenados dos produtos cartesianos:

a) eja A ! 4,+ e 3 ! -4,;. epresente A$3 ! (4,-4),(4,;),(+,-4),(+,;) e 3$A ! (-4,4),(-4,+),(;,4),(;,+).

) eja A ! a?$?.

c) eja A ! I. epresente I+! I $ I.

d) eja A ! (circun#er7ncia) e 3 ! 6@ (segmento de reta). epresente A $ 3 ! $ 6@.

a) )

/ontos pretos do plano representam os pares ordenados. egio cin0a do plano representa os pares

ordenados com e$ceo das lin9as pontil9adas.

c) d)

odos os pontos do plano. % cilindro 'ue intercepta o plano.

8. 3elao de $' con($n%o A e' $' con($n%o ): 'ual'uer subconjuntodo produto cartesiano A $ 3.

Indica-se: R rela!o de " em # R " x #. Buando o par ($,&) pertence 1 relao , escrevemos x3y.

Exe'plo

epresentar, no plano cartesiano ou diagramas de #lec9as, as rela"es aai$o:

a) e A ! 4,+, 3 ! *,5 e ! ($,&) A $ 3 > $ C & ! D ) e A !

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x

y

y 9

;1 1

*x/ 21 x -

c) e @ o disco de centro A*a/b-e raio r#ormado pelos pontos / ! ($,&) cuja distncia ao ponto A ? r. epresente a

relao < *x / y- =3 x =30*x ; a-#+ *y " b-#> r.

!. FUN?O

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$ C 2

e) #($) !53

12

xx @(#) ! $ I > $ ; e $

3

5

#) #($) ! x2 @(#) ! IC ! $ I > $ K ;

g) #($) !2

x @(#) ! ;.

D- #($) ! 932 ++ xx @(#) ! $ I > $ K2

3 $ I > $ K M, isto , @(#) ! $ I > $ K M

i) #($) ! 13 ++ xx @(#) ! $ I > $ K -4 .

j) #($) !x

1 @(#) ! $ I > $ K ; , isto , @(#) ! *

+IR

N) #($) !

4

32

x

x @(#) ! $ I > $ K

2

3e $ 5

l) #($) !1

1

+x @(#) ! $ I > $ K -4

m)#($) !2

2

+

x

x @(#) ! $ I > $ + e $ K -+

n) #($) !3 32

1

+x @(#) ! $ I > $ -

2

3

o) #($) !xxx

xx

242

2323

2

+

+ @(#) ! I- -J, ;, 5, pois )4).(6.()242(242

223+++ xxxxxxxxx

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p) #($) ! 1282

+ xx @(#) ! $ I > $ ? + e $ K J %s.: resolver a ine'uao: $ +L O$ C 4+ K ;.

') #($) ! 33

8

1

+

x

x @(#) ! I L +

r) #($) !23

32

+

xx

x @(#) ! $ = 4 , + < ou $ < * , < %s.: resolver a ine'uao 'uociente.

s) #($) ! 23 9xx @(#) ! < M , < %s.: resolver a ine'uao produto: $+.($ L M) K ;.

Exe'plo 2: @etermine a imagem de cada #uno:

a) #($) ! 5 ='*6- 8

) #($) !5

34 +x Haa & !

5

34 +x , isole $ em termos de & e oserve se 9 restri"es ao &,

oteremos: & !5

34 +x $ !4

35 y . o7o ='*6- =3, pois no 9 restri"es para &.

c) #($) ! 5$ L $+ & ! 5$ L $+L& % &! $+L 5$ % & $ ! + C y4 (completando o 'uadrado).

Pogo, 9 restri"es, pois devemos ter & K 5, isto , ='*6- ; /8.

d) #($) !

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3ijetiva (ver conjunto imagem)

c) #: I I, com #($) ! $*

3ijetiva (ver conjunto imagem)

d) #: I IC, com #($) ! $+

So-injetiva, pois #(+) ! #(-+) ! 5

orejetiva (ver conjunto imagem)

e) #: ICIC, com #($) ! x

Injetiva, pois #(u) ! #(v) vu = 22

)()( vu = u ! v,+

IRvu,

So-sorejetiva(ver conjunto imagem)

#) #: I I, com #($) ! $5

So-injetiva, pois #(+) ! #(-+) ! 4J, isto , #(v) ! #(u) no implica em u ! v.

So-sorejetiva(ver conjunto imagem)

g) #: IS I, com #($) ! -+$ C 4

Injetiva, pois #(u) ! #(v) -+uC4 ! -+vC4 u ! v

orejetiva(ver conjunto imagem)

Pogo 3ijetiva.

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) #: I IC, com #($) ! +$ e g: ICI, com g($) ! x

@etermine go# e #og.

SOU?O: (go#)($) ! g(#($)) ! g(+$) ! x2 . Pogo go#: I I, com (go#)($) !x

2

(#og)($) ! #(g($)) ! #( x ) ! x2 . Pogo #og: ICC, com (#og)($) !x

2

%s.: go# #og, o ' mostra 'ue a operao composio de #un"es no comutativa.

c) #: IS IS, com #($) ! $ C 4 e g: IS V, com g($) ! 4 L +$

@etermine go# e #og, se possvel.

SOU?O: (go#)($) ! g(#($)) ! g($C4) ! 4 L +($ C 4) ! - +$ L 4.Pogo go#: IS V, com (go#)($) ! - +$ - 4

(#og)($) no est de#inida, pois V IS, isto , 6(g) @(#).

Aplicao: % custo c de produo de p unidades de um produto dado por c(p) p % p reais e o n8mero p deunidades produ0idas, em #uno do tempo t, em 9oras, dado porp(t) t % *. /ede-se:

a) % custo das unidades produ0idas durante D 9oras.

SOU?O: p(D) ! +.D C 4 ! 44 unidades

c(D) ! 44+C +.44 ! *&+ reais.

) A #uno custo de produo (c) como #uno do tempo (t).

SOU?O: cop(t): c(p(t)) ! c(+t C 4) ! (+t C 4)+C +(+t C 4) ! &t% t % +

c) % custo das unidades produ0idas em D 9oras. Fse cop(t).

%PFWX%: cop(D) ! 5t+ C Ot C * ! 5.D+C O.D C * ! *&+ reais.

K. FUN?O =NLE3SA

@ada a #uno #: A 3 ijetiva, di0emos 'ue #- 4

: 3 A a #uno inversa de # se, e somente se, para todo ($,&) #,tivermos (&, $) # L 4.

%serva"es:

@(#) ! Im(# L 4) ! AY

Im(#) ! @(#L 4) ! 3Y

% gr#ico de # e # L 4so simtricos em relao a issetri0 do 4Z e *Z 'uadrantesY

@ado uma #uno #: A 3, ijetiva, de#inida por & ! #($) podemos oter a sentena 'ue de#ine a

#uno inversa # L 4do seguinte modo:

a) Em & ! #($), troca-se $ por & e & por $, otendo-se $ ! #(&)Y

) E$pressamos & em #uno de $ (isolando &), trans#ormando a e$presso $ ! #(&) em & ! # L 4($).

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Exe'plo 1: %ten9a a #uno inversa das #un"es ijetivas:

a) #: I I, com #($) ! *$ C + ) #: ICIC, com #($) ! $+

& ! *$ C + & ! $+

$ ! *& C + $ ! &+

*& ! $ L + &+! $

& !

3

2x & ! C x , mas - x IC

#L 4($) !3

2x #L 4($) ! x

Exe'plo #:A #uno #: I I, com #($) ! ($-5)+no injetora. Encontre a inversa da #uno de#inida pela restrio do

domnio de # para:

a) @(#) ! $ I > $ K 5

/rimeiro devemos mostrar 'ue a #uno # injetora para esse domnio.

Assuma: #(u) ! #(v). Ento, segue-se 'ue (u-5)+! (v-5)+ u, v K 5

u L 5 ! C 2)4( v

u ! 5 C (v L 5)

[as, como u K 5, o sinal positivo deve ser escol9ido

u ! 5 C v L 5

u ! 5

/ortanto, # injetiva.

Agora encontremos a inversa:

& ! ($-5)+

$ ! (&-5)+

x ! (&-5), desde 'ue $ K 5

& ! 5 C x

# L 4($) ! 5 C x

) @(#) ! $ I > $ ? 5

/rimeiro devemos mostrar 'ue a #uno # injetora para esse domnio.

Assuma: #(u) ! #(v). Ento, segue-se 'ue (u-5)+! (v-5)+ u, v ? 5

u L 5 ! C 2)4( v

u ! 5 C (v L 5)

[as, como u ? 5, o sinal negativo deve ser escol9ido

u ! 5 L (v L 5)

u ! v

/ortanto, injetora.

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Agora encontremos a inversa:

& ! ($-5)+

$ ! (&-5)+

- x ! 2)4( y , desde 'ue $ ? 5

& ! 5 - x

# L 4($) ! 5 - x

M. OUJ3AS AP=&AES

1. A ta$a do imposto de renda em um determinado estado 5\ sore a renda triutvel de at ] *;.;;;,;;, D\ para a

renda triutvel entre ] *;.;;;,;; e ] D;.;;;,;; e J\ sore a renda triutvel acima de ] D;.;;;,;;. E$presse a

ta$a do imposto de renda ($) como uma #uno da renda triutvel $.

SOU?O:

a-J*x- /8x se > x > 2.

%s.: 5\ ! 5^4;; ! ;,;5

b- J*x- 1# + /!.*x " 2.- se 2. > x > !.

%s.: /ara renda at *;.;;; teremos uma ta$a de 5\, isto , 4+;; e para o restante da renda ($ L *;.;;) teremos uma

ta$a de D\.

c- J*x- 1# + 1 + /G.*x;!.- se !. > x

%s: /ara renda at D;.;;; teremos 5\ sore os primeiros *;.;;;, isto , 4+;; mais D\ sore os outros +;.;;;, isto ,

4;;; e #inalmente mais J\ sore o restante da renda ($ L D;.;;;).

#. Fm #uncionrio de teatro estima 'ue D;; ingressos podem ser vendidos se os mesmos #orem o#ertados a ] T,;;

cada e 'ue, para cada ] ;,+D de aumento no preo do il9ete, dois ingressos a menos sero vendidos. E$presse a

renda 3como uma #uno do n8mero de naumentos de ] ;,+D para cada ingresso.

SOU?O:

% preo de um ingresso T C ;,+D.n e o n8mero de ingressos vendidos D;; L +.n. 6omo renda ! (n8mero de ingressos

vendidos) . (preo de cada ingresso), temos R (- % 0,./n)/(.00 /n).