Funcoes_Vetoriais

Funções Vetoriais

Disciplina: Cálculo II

Turma: 02

Paulo Henrique

(ECT – UFRN)

2013

FUNÇÕES VETORIAIS

FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS

Uma função vetorial 𝑭 de uma variável real t é uma função cujo

domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto

de vetores em (em particular).

Em que t é um parâmetro (−∞ < 𝑡 < ∞)

FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS

EXEMPLO 1:

Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:

A)

B)

𝐹 𝑡 = 𝑡², 𝑡 − 1, 5 − 𝑡

𝐹 𝑡 =𝑡 − 2

𝑡 + 2𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒋 + ln 9 − 𝑡² 𝒌

𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = 1,5

𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = −3,−2 𝑈 −2,3

LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

PROPRIEDADES

LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 2:

Em que:

lim𝑡→0𝐹 𝑡 = 1,1/2,3

lim𝑡→0𝐹 𝑡 =

𝜋

2, 0,0

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

LEMBRANDO QUE:

Uma função do tipo y=f(x) é contínua em x=a se

ANALOGAMENTE:

DESSA FORMA:

𝑭 é contínua em a se, e somente se, suas funções

componentes f, g e h forem contínuas em a.

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 3:

CURVAS ESPACIAIS

A curva C é traçada pelo movimento da ponta

do vetor de posição 𝒓(𝒕)

Vetor de posição

CURVAS ESPACIAIS

EXEMPLO 4

A)

B)

Como 𝒛 = 𝒕, à medida que t aumenta, a

circuferência deixa o plano xy

formando uma HÉLICE.

B)

Equação de uma

circunferência no

plano xy

Derivadas e Integrais de

Funções Vetoriais

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

O vetor 𝒓′(𝒕) é chamado de vetor tangente à curva definida por 𝒓 no ponto P.

A reta tangente a C em P é a reta que passa por P e é paralela a 𝒓′(𝒕).


TEOREMA:

EXEMPLO 5: Exercício 5. SEÇÃO 13.2.

Para: 𝒓 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝒕𝒊 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝒋 , 𝑡 = 𝜋/4

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada

(b) Determine 𝒓′(𝒕)

(c) Esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de t.


EXEMPLO 6:

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma CIRCUNFERÊNCIA não centrada na

origem.

𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒓𝟏

𝒓 = (𝒙𝟎 + 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + 𝒚𝟎 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒋


Parametrização de uma ELIPSE

Centrada na origem Não centrada na origem


Parametrização de uma CICLÓIDE

É uma curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele

rola ao longo de uma reta.

Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento

𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕


Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento

𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕

𝜽 = 𝒕


Parametrização de uma HIPCICLÓIDE

É uma curva traçada pelo ponto fixo P em um círculo C de raio b

quando C rola dentro de um círculo fixo com centro O.


Parametrização de uma HIPCICLÓIDE

Quando b=1 e a=4, ou seja, a=4b, temos uma HIPOCICLÓIDE DE

QUATRO CÚSPIDES ou ASTRÓIDE.

𝒕 = 𝜽


EXEMPLO 7: Exercício 31. Seção 13.2

As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na

origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.

R: ângulo≈66°

EXEMPLO 8:

Encontre a área sob um arco de uma ciclóide.

R: 𝐴 = 3𝜋𝑟2

PROPRIEDADES


As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na

origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas com precisão de

um grau.

RELEMBRANDO ...

PRODUTO ESCALAR ENTRE DOIS VETORES

PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES

PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES

PROPRIEDADES



Se 𝒓 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ , determine:

𝒓′(𝒕)

𝑻(𝟏)

𝒓′′(𝒕)

𝒓′(𝒕) × 𝒓′′ 𝒕

INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL


Calcule a integral:

COMPRIMENTO DE ARCO

É o comprimento de uma curva é o limite dos comprimentos dos polígonos

inscritos

Para figuras planas com formas bem definidas

COMPRIMENTO DE ARCO

Para uma curva qualquer y=f(x)

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

CURVAS ESPACIAIS

A curva C é traçada pelo movimento da ponta

do vetor de posição 𝒓(𝒕)

Vetor posição



Calcule a integral:


EXEMPLOS:

Calcule o comprimento de um arco de uma ciclóide.



REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO

Muitas vezes é útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento

do arco, pois o comprimento do arco surge naturalmente e não é

necessário sistema de coordenadas.

ILUSTRAÇÃO:


Suponhamos que C seja uma curva dada pela função vetorial:


TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

EXEMPLO:

𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕

𝒂

𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

𝒈′ 𝒕 =𝒅

𝒅𝒕 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕

𝒂

= 𝒇 𝒕 .


EXEMPLO:

CURVATURA

CURVATURA

Curvas Suaves

Uma curva suave não tem quebras abruptas ou cúspides.

Quando o vetor tangente gira, ela o faz continuamente.

Uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos.

Uma curva é suave (lisa) se ela tem uma parametrização suave.

Exemplo:

Se 𝑟 𝑡 = 𝑡²𝑖 + 𝑡³𝑗, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1

O ponto (0,0) correspondente a t=0 é um ponto anguloso.

CURVATURA

EXEMPLO

CURVATURA

CURVATURA

CURVATURA

EXEMPLOS

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