Funções Vetoriais

Disciplina: Cálculo II

Turma: 02

Paulo Henrique

(ECT – UFRN)

2013

FUNÇÕES VETORIAIS

FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS

Uma função vetorial 𝑭 de uma variável real t é uma função cujo

domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto

de vetores em (em particular).

Em que t é um parâmetro (−∞ < 𝑡 < ∞)

FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS

EXEMPLO 1:

Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:

A)

B)

𝐹 𝑡 = 𝑡², 𝑡 − 1, 5 − 𝑡

𝐹 𝑡 =𝑡 − 2

𝑡 + 2𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒋 + ln 9 − 𝑡² 𝒌

𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = 1,5

𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = −3,−2 𝑈 −2,3

LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

PROPRIEDADES

LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 2:

Em que:

lim𝑡→0𝐹 𝑡 = 1,1/2,3

lim𝑡→0𝐹 𝑡 =

𝜋

2, 0,0

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

LEMBRANDO QUE:

Uma função do tipo y=f(x) é contínua em x=a se

ANALOGAMENTE:

DESSA FORMA:

𝑭 é contínua em a se, e somente se, suas funções

componentes f, g e h forem contínuas em a.

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 3:

CURVAS ESPACIAIS

A curva C é traçada pelo movimento da ponta

do vetor de posição 𝒓(𝒕)

Vetor de posição

CURVAS ESPACIAIS

EXEMPLO 4

A)

B)

Como 𝒛 = 𝒕, à medida que t aumenta, a

circuferência deixa o plano xy

formando uma HÉLICE.

B)

Equação de uma

circunferência no

plano xy

Derivadas e Integrais de

Funções Vetoriais

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

O vetor 𝒓′(𝒕) é chamado de vetor tangente à curva definida por 𝒓 no ponto P.

A reta tangente a C em P é a reta que passa por P e é paralela a 𝒓′(𝒕).

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

TEOREMA:

EXEMPLO 5: Exercício 5. SEÇÃO 13.2.

Para: 𝒓 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝒕𝒊 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝒋 , 𝑡 = 𝜋/4

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada

(b) Determine 𝒓′(𝒕)

(c) Esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de t.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 6:

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma CIRCUNFERÊNCIA não centrada na

origem.

𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒓𝟏

𝒓 = (𝒙𝟎 + 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + 𝒚𝟎 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒋

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma ELIPSE

Centrada na origem Não centrada na origem

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma CICLÓIDE

É uma curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele

rola ao longo de uma reta.

Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento

𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento

𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕

𝜽 = 𝒕

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma HIPCICLÓIDE

É uma curva traçada pelo ponto fixo P em um círculo C de raio b

quando C rola dentro de um círculo fixo com centro O.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Parametrização de uma HIPCICLÓIDE

Quando b=1 e a=4, ou seja, a=4b, temos uma HIPOCICLÓIDE DE

QUATRO CÚSPIDES ou ASTRÓIDE.

𝒕 = 𝜽

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 7: Exercício 31. Seção 13.2

As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na

origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.

R: ângulo≈66°

EXEMPLO 8:

Encontre a área sob um arco de uma ciclóide.

R: 𝐴 = 3𝜋𝑟2

PROPRIEDADES

EXEMPLO 7: Exercício 31. Seção 13.2

As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na

origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas com precisão de

um grau.

RELEMBRANDO ...

PRODUTO ESCALAR ENTRE DOIS VETORES

PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES

PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES

PROPRIEDADES

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 8: Exercício 21. Seção 13.2

Se 𝒓 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ , determine:

𝒓′(𝒕)

𝑻(𝟏)

𝒓′′(𝒕)

𝒓′(𝒕) × 𝒓′′ 𝒕

INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

EXEMPLO 10: Exercício 35. Seção 13.2

Calcule a integral:

COMPRIMENTO DE ARCO

É o comprimento de uma curva é o limite dos comprimentos dos polígonos

inscritos

Para figuras planas com formas bem definidas

COMPRIMENTO DE ARCO

Para uma curva qualquer y=f(x)

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

CURVAS ESPACIAIS

A curva C é traçada pelo movimento da ponta

do vetor de posição 𝒓(𝒕)

Vetor posição

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

EXEMPLO 10: Exercício 35. Seção 13.2

Calcule a integral:

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

EXEMPLOS:

Calcule o comprimento de um arco de uma ciclóide.

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS

REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO

Muitas vezes é útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento

do arco, pois o comprimento do arco surge naturalmente e não é

necessário sistema de coordenadas.

ILUSTRAÇÃO:

REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO

Suponhamos que C seja uma curva dada pela função vetorial:

REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

EXEMPLO:

𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕

𝒂

𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

𝒈′ 𝒕 =𝒅

𝒅𝒕 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕

𝒂

= 𝒇 𝒕 .

REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO

EXEMPLO:

CURVATURA

CURVATURA

Curvas Suaves

Uma curva suave não tem quebras abruptas ou cúspides.

Quando o vetor tangente gira, ela o faz continuamente.

Uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos.

Uma curva é suave (lisa) se ela tem uma parametrização suave.

Exemplo:

Se 𝑟 𝑡 = 𝑡²𝑖 + 𝑡³𝑗, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1

O ponto (0,0) correspondente a t=0 é um ponto anguloso.

CURVATURA

EXEMPLO

CURVATURA

CURVATURA

CURVATURA

EXEMPLOS