Fundamentos dos Cálculos 1 Farmacêuticos · Números e Numerais Um número é uma quantidade total, ou quantidade de unidades. Um numeral é uma palavra ou sinal, ou um grupo de

Números e Numerais

Um número é uma quantidade total, ou quantidade de unidades. Um numeral é uma palavra ou sinal,ou um grupo de palavras ou sinais, que expressa um número. Por exemplo, 3, 6 e 48 são numeraisarábicos que expressam números que são, respectivamente, 3, 6 e 48 vezes a unidade 1.

Existem muitos símbolos usados na matemática e na ciência que oferecem instruções para umcálculo específico ou que indicam um valor relativo. Alguns dos símbolos comuns em aritmética sãoapresentados na Tabela 1.1.

Tipos de Números

Em aritmética, a ciência de calcular números positivos e reais, um número normalmente é (a) umnúmero natural ou inteiro, como 549; (b) uma fração, ou subdivisão de um número inteiro, como 4/7;ou (c) um número misto, formado por um número inteiro e uma fração, como 37/8.

Um número como 4, 8 ou 12, por si só, sem aplicação a qualquer coisa concreta, é chamado denúmero abstrato ou puro. Ele meramente designa quantas vezes a unidade 1 está contida nele mesmo,sem implicar que qualquer outra coisa esteja sendo contada ou medida. Um número abstrato pode sersomado, subtraído, multiplicado ou dividido por qualquer outro número abstrato. O resultado dequaisquer dessas operações sempre é um número abstrato que designa um novo total de unidades.

Um número que designa uma quantidade de objetos ou unidades de medida, como 4 gramas, 8mililitros ou 12 onças,* é chamado de número concreto ou denominado. Ele designa a quantidade totalde tudo o que foi medido. Um número denominado pode ser somado ou subtraído de qualquer outronúmero da mesma denominação, mas ele só pode ser multiplicado ou dividido por um número puro.O resultado de qualquer uma dessas operações é sempre um número da mesma denominação.

Exemplos:10 gramas + 5 gramas = 15 gramas

10 mililitros − 5 mililitros = 5 mililitros300 miligramas × 2 = 600 miligramas

12 onças ÷ 3 = 4 onças

A regra aritmética mais importante é a seguinte: números de denominações diferentes não têmnenhuma conexão numérica entre si e não podem ser empregados juntos em qualquer operação aritmé-tica direta. Veremos inúmeras vezes que, caso as quantidades sejam somadas, ou se uma quantida-

Fundamentos dos CálculosFarmacêuticos

1

* N. de T.: Para conversões intersistemas ver Capítulo 2, p. 52 ou Apêndice A, p. 375.

18 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA

de for subtraída de outra, elas devem ser expressas com a mesma denominação! Quando aparente-mente multiplicamos ou dividimos um número denominado por um número de denominaçãodiferente, na verdade estamos utilizando o multiplicador ou divisor como um número abstrato.Se, por exemplo, 1 onça vale 5¢ e queremos achar o custo de 12 onças, não multiplicamos 5¢ por12 onças, mas pelo número abstrato 12.

Numerais Arábicos

O conhecido sistema numérico arábico é geralmente chamado de sistema decimal. Com somente 10números – um zero e nove dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) – qualquer número pode ser expresso por umsistema engenhoso, no qual diferentes valores são atribuídos aos dígitos de acordo com o lugar queocupam. O lugar central é normalmente identificado por um sinal colocado a sua direita, chamado devírgula decimal. Qualquer dígito que ocupe esse lugar expressa seu próprio valor – em outras palavras,um certo número de números um. O valor anterior de um dígito é aumentado dez vezes cada vez queeste se move uma casa para a esquerda e, reciprocamente, seu valor é um décimo de seu valor anteriorcada vez que este se move uma casa à direita. O zero demarca um lugar não ocupado por um dos dígitos.

A simplicidade do sistema é demonstrada posteriormente pelo fato de estes 10 números decimais aten-derem a todas as nossas necessidades quando trabalhamos com números inteiros positivos, e, com a ajuda dealguns sinais, o sistema é adequado para expressar frações, números negativos e números hipotéticos.

O alcance prático do sistema é representado pelo seguinte esquema (que pode ser estendido àesquerda ou à direita, atingindo valores cada vez mais altos ou mais baixos):

TABELA 1.1 ALGUNS SÍMBOLOS ARITMÉTICOS UTILIZADOS EM FARMÁCIAa

Símbolo Significado

% porcento; partes em cem‰ por mil; partes em mil+ mais; soma; ou positivo− menos; subtrair; ou negativo± somar ou subtrair; mais ou menos; positivo ou negativo; expressão de amplitude, erro, ou tolerância÷ dividido por/ dividido por× vezes; multiplicado por< o valor à esquerda é menor do que o valor à direita (p. ex., 5<6)= é igual a, iguais> o valor à esquerda é maior do que o valor à direita (p. ex., 6>5)≠ não é igual a, não se iguala≈ é aproximadamente igual a≡ é equivalente a≤ o valor à esquerda é menor ou igual ao valor à direita≥ o valor à esquerda é maior que ou igual ao valor à direita. vírgula decimal, marcador decimal (vírgula): símbolo de razão (p. ex., a:b):: símbolo de proporção (p. ex., a:b:: c:d)∞ varia de acordo com; é proporcional ax2 x ao quadradox3 x ao cubo

a Tabela adaptada do Barron’s Mathematics Study Dictionary, de Frank Tapson, com a permissão do autor. Muitos outros símbolos(letras ou sinais) são usados em farmácia, como nos sistemas métrico e apotecário de pesos e medidas, em estatística, emfarmacocinética, nas prescrições, em cálculos físicos, e em outras áreas. Muitos desses símbolos estão incluídos e são definidosem outras partes deste livro.

CÁLCULOS FARMACÊUTICOS 19

Esquema do sistema decimal:

Etc. Etc.

Portanto, o valor total de qualquer número expresso no sistema arábico decimal é a soma dosvalores de seus dígitos, determinados por suas posições.

Exemplo:5.083,623 significa:5.000,000 ou 5 mil+ 000,000 mais 0 cem+ 080,000 mais 8 dez+ 003,000 mais 3 unidades+ 000,600 mais 6 décimos+ 000,020 mais 2 centésimos+ 000,003 mais 3 milésimos

A universalização do uso desse sistema resultou da facilidade com que pode ser adaptado aos váriospropósitos de cálculos aritméticos.

Numerais Romanos

O sistema numérico romano surgiu por volta de 500 a.C. e foi usado na Roma Antiga e na Europa atécerca de 900 d.C., quando o sistema numérico arábico entrou em vigor.

O sistema de numeração romano expressa uma variedade bastante grande de números por meio douso de algumas letras do alfabeto, em uma simples notação “posicional” indicando a adição a ou asubtração de uma sucessão de bases que variam de 1 a 5, 10, 50, 100, e de 500 a 1.000. Os numeraisromanos registram somente quantidades: eles são inúteis para cálculos.

Para expressar quantidades no sistema romano, oito letras de valores fixos são empregadas (não hánenhuma letra para o valor zero):

ss = ½I ou i = 1V ou v = 5X ou x = 10L ou l = 50C ou c = 100D ou d = 500M ou m = 1.000

Outras quantidades são expressas combinando-se essas letras. Existem quatro regras gerais para ler-se numerais romanos: 11. Uma letra repetida uma vez ou mais repete seu valor (p. ex., XX = 20; XXX = 30).2. Uma ou mais letras colocadas depois de uma letra de maior valor aumenta o valor da letra maior (p.

ex., VI = 6; XII = 12; LX = 60).3. Uma letra colocada antes de uma letra de maior valor diminui o valor da letra maior (p. ex., IV = 4;

XL = 40; CM = 900).

º m

ilhão

º ce

m m

ilº

dez

mil

º m

ilº

cem

º de

zº

umº

um d

écim

oº

um c

enté

sim

oº

um m

ilési

mo

º de

z m

ilési

mos

º ce

m m

ilési

mos

º um

mili

onés

imo


4. Uma barra colocada sobre uma letra ou letras aumenta o valor 1.000 vezes (p. ex., XV = 15, masX–V– = 15.000).

Exemplos:ii = 2 xxx = 30 cxi = 111 Ixxxviii = 88

iii = 3 xiii = 13 dl = 550 xciv = 94

iv = 4 xiv = 14 mv = 1.005 cdxliv = 444

vi = 6 xviii = 18 cd = 400 cdxc = 490

vii = 7 xix = 19 mc = 1.100 cmxcix = 999

ix = 9 ci = 101 cm = 900 MCDXCII = 1.492

Deve-se notar que as datas são geralmente expressas em letras maiúsculas. Os numerais romanossão usados em farmácia apenas ocasionalmente em prescrições: (1) para designar o número de unida-des de dosagem prescrito (p. ex., cápsulas no C); (2) para indicar a quantidade do medicamento a seradministrada (p. ex., colheres de chá ii); e (3) em casos raros, nos quais o sistema de medida comum ouapotecário são usados (p. ex., grãos iv).a

PROBLEMAS PRÁTICOS

1. Escreva em numerais romanos 3. Interprete a quantidade descrita nas frases(a) 28 (f ) 37 a seguir, retiradas de prescrições(b) 64 (g) 84 (a) Cápsulas no xlv(c) 72 (h) 48 (b) Gotas ij(d) 126 (i) 1.989 (c) Tabletes no xlviii(e) 99 (d) Onças no lxiv

(e) Pastilhas no xvi2. Escreva em numerais arábicos (f ) Adesivos transdérmicos no lxxxiv

(a) xli (c) MCMLIX(b) cl (d) MDCCCXIV

Frações Comuns e Decimais

Às vezes, a aritmética utilizada na farmácia requer a manipulação de frações comuns e decimais. Abreve revisão a seguir poderá ser útil para o leitor, mesmo que ele possua um conhecimento prévioenvolvendo o uso de frações.

Frações Comuns

Um número na forma 1/8, 3/16, e assim por diante, é chamado de fração comum, ou simplesmentefração. Seu denominador, ou segundo número, ou, ainda, número inferior, sempre indica o número

a Nas prescrições, os médicos ou outros profissionais da saúde podem utilizar numerais romanos em letra maiúscula ouminúscula. Quando a letra minúscula i é usada, deve ter o ponto para distingui-la da letra l. Às vezes, um j pode serusado em vez de um i no final de uma seqüência (p. ex., viij). Seguindo o costume latino, os numerais romanos sãogeralmente colocados depois de um símbolo ou termo (p. ex., cápsulas no xxiv ou onças fluidas xij).


de partes de alíquota nas quais 1 é dividido; seu numerador, primeiro número ou número superior,especifica o número de partes que nos interessa.

O valor de uma fração é o quociente (isto é, o resultado da divisão de um número por outro) quando seunumerador é dividido pelo seu denominador. Se o numerador for menor que o denominador, a fração échamada própria e seu valor é menor que 1. Se o numerador e denominador forem iguais, seu valor é 1. Seo numerador for maior que o denominador, a fração é chamada imprópria e seu valor é maior que 1.

Dois princípios devem ser compreendidos por qualquer pessoa que tente fazer cálculos com fraçõescomuns.

No primeiro princípio, multiplicando-se o numerador aumenta-se o valor de uma fração, e multi-plicando-se o denominador diminui-se o seu valor, mas quando numerador e denominador são multipli-cados pelo mesmo número, o valor não se altera.

21

6

73

23

7

2�

��

�

Este princípio nos permite reduzir duas ou mais frações a uma denominação comum, quando necessá-rio. Geralmente desejamos o menor denominador comum, que é o menor número divisível por todosos outros denominadores. Esse denominador é facilmente encontrado testando-se sucessivos múltiplosdo maior denominador até que alcancemos um número divisível por todos os outros denominadores.Então, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador de cada fração pelo número de vezesque seu denominador é contido no denominador comum.

Exemplo:Reduza as frações 3/4, 4/5 e 1/3 a um denominador comum.Ao testarmos sucessivos múltiplos de 5, descobrimos que 60 é o menor número divisível por 4, 5 e

3; 4 está contido 15 vezes em 60; 5, 12 vezes; e 3, 20 vezes.

Respostas

De acordo com o segundo princípio, dividir o numerador diminui o valor de uma fração, e dividir odenominador aumenta o seu valor, mas quando tanto o numerador quanto o denominador são divididospelo mesmo número, o valor não se altera.

Este princípio nos permite reduzir uma fração de difícil manuseio a termos menores mais convenien-tes, seja durante uma série de cálculos ou quando registramos o resultado final. Para reduzirmos umafração a termos menores, dividimos o numerador e o denominador pelo maior divisor comum.

Exemplo:Reduza 36/2.880 aos seus menores termos.O maior divisor comum é 36

,80

1

36880.2

3636

880.2

36�

��

� resposta.

Além de aprender bem esses dois princípios, o aluno deve seguir duas regras antes de tentar usar umatalho.


Regra 1. Antes de executar qualquer operação aritmética que envolva frações, reduza todo númeromisto a uma fração imprópria. Para isso, multiplique o inteiro, ou número inteiro, pelo denominadorda fração, some o numerador e escreva o resultado em cima do denominador. Por exemplo, antes detentar multiplicar 3/4 por 11/5, primeiro reduza 11/5 a uma fração imprópria:

56

51

5

1)51(1 �

��

Se o resultado final de um cálculo for uma fração imprópria, você pode, se quiser, reduzi-lo a umnúmero misto. Para isso, simplesmente divida o numerador pelo denominador e expresse o restantecomo uma fração comum, não como uma fração decimal:

51

56 156 ��

Regra 2. Ao executar uma operação que envolva uma fração e um número inteiro, expresse (ou pelomenos visualize) o número inteiro como uma fração que tenha 1 como seu denominador.

Pense em 3, como 3/1, 42 como 42/1, e assim por diante. Essa visualização é desejável quando umafração é subtraída de um número inteiro, e é necessária quando uma fração é dividida por um númerointeiro.

Adição de Frações

Para somar frações comuns, reduza-as a um denominador comum, some os numeradores e escreva asoma em cima do denominador comum. Caso sejam usados números inteiros e mistos, o procedimen-to mais seguro (embora não seja o mais rápido) é aplicar as Regras 1 e 2. Se a soma for uma fraçãoimprópria, você poderá reduzi-la a um número misto.

Exemplo:Na preparação de várias fórmulas, um farmacêutico utilizou 1/4 onça (oz.), 1/12 oz., 1/8 oz. e 1/6 oz. de

um produto. Calcule a quantidade total do produto que foi utilizada.O menor denominador comum das frações é 24,

244

61

243

81

242

121

246

41 e,,, ��

.24

15.

24

4326ozoz �

��

.,. 85

2415 ozoz � resposta.

Subtração de Frações

Para subtrair uma fração de outra, reduza-as a um denominador comum, subtraia e escreva a diferençaem cima do denominador comum. Se um número inteiro ou misto estiver envolvido, primeiro apliqueas Regras 1 ou 2. Se a diferença for uma fração imprópria, você poderá reduzi-la a um número misto.

Exemplos:Um paciente hospitalizado recebeu 7/12 litros de uma infusão intravenosa prescrita. Se ele não tivesse

recebido o 1/8 litro final, que fração de um litro ele teria recebido?O menor denominador comum é 24.

243

81

2414

127 e ��


.litros,2411

litros24

314resposta�

�

Se 3 onças fluidas (fl. oz.) de uma mistura líquida contiverem 1/24 fl. oz. do produto A, 1/4 fl. oz. doproduto B, e 1/3 fl. oz. do produto C, quantas onças fluidas do produto D são necessárias?

O menor denominador comum é 24.

248

31

246

41

241

241 e,, ��

oz.fl.85

oz.fl.2415

oz.fl.24

861��

��

Interprete 3 fl. oz. como 3/1 fl. oz., e reduza-o a uma fração cujo denominador seja 8:

.ozfl..ozfl. 824

13 �

Subtraindo:

oz.fl.8

19oz.fl.

8524

��

Altere a diferença para um número misto:

.,ozfl.2.ozfl.)819(.ozfl. 83

819 �� resposta.

Multiplicação de Frações

Para multiplicar frações, multiplique os numeradores e escreva a resposta em cima do produto dosdenominadores. Se um dos dois for um número misto, primeiro aplique a Regra 1. Se o multiplicadorfor um número inteiro, simplesmente multiplique o numerador da fração e escreva o produto em cimado denominador.

Exemplo:Se a dose de um medicamento de um adulto são 2 colheres de chá cheias (col. chá), calcule a dose para

uma criança se esta for 1/4 da dose do adulto.

chá,col.2

1

4

2

1

chácol.2

4

1�� resposta.

Divisão de Frações

Na divisão de frações, é importante que o aluno compreenda o significado de recíproco. Por definição,o recíproco de um número é 1 dividido pelo número. Por exemplo, o recíproco de 3 é 1/3, Se vocêaplica a Regra 2 e considera 3 igual à fração 3/1, seu recíproco é igual à inversão dessa fração. Portanto,de forma geral, quando a é uma fração, seu recíproco é 1/a e tem o mesmo valor da fração invertida.Assim, o recíproco de 1/4 é 4/1 ou 4, e o recíproco de 21/2, ou 5/2, é 2/5.

Se a fração 3/4 é interpretada como 3 dividido por 4, então se deve enfatizar que dividir por 4 é exata-mente igual a multiplicar pelo recíproco de 4, ou 1/4. Esse método de calcular a divisão das frações é chama-do de método recíproco, e demonstra a relação recíproca, ou relação inversa, entre a multiplicação e a divisão.

Para dividir por uma fração, então, apenas inverta seus termos e multiplique. Quando uma fraçãoé dividida por um número inteiro, primeiro interprete o número inteiro como uma fração cujo deno-minador é 1, inverta-a para obter a sua recíproca e multiplique-a.


Exemplos:Se 1/2 onça é dividida em 4 partes iguais, quanto conterá cada parte?Interpretando 4 como 4/1:

oz.,81

oz.4211

41

oz.21

14

oz.21

��

�� resposta.

Um fabricante deseja preparar amostras de um ungüento dentro de envelopes lacrados de alumínio, cadaenvelope contendo 1/32 onça de ungüento. Quantas amostras podem ser preparadas com 1 libra (16 onças) deungüento?

amostras,51211

3216

1

32

1

16

32

1

1

16�

��

�� resposta.

Se a dose para uma criança de um xarope para tosse é 3/4 de colher de chá e isso representa 1/4 da dose paraum adulto, qual é a dose para um adulto?

chá,col.3chácol.14

43

1

4chácol.

4

3

4

1chácol.

4

3�

��

�� resposta.

Frações Decimais

Uma fração cujo denominador é 10 ou qualquer potência de 10 é chamada de fração decimal, ousimplesmente decimal. O denominador de uma fração decimal nunca é escrito, porque a vírgula deci-mal indica o valor de posicionamento dos numerais. O numerador e a vírgula decimal são suficientespara expressar a fração. Portanto, 1/10 é escrito 0,1, 45/100 é escrito 0,45, e 65/1.000 é escrito 0,065.

Todas as operações com frações decimais são realizadas da mesma forma como são feitas com númerosinteiros, mas é preciso ter cautela ao colocar a vírgula decimal em seu lugar apropriado nos resultados.

Uma fração decimal pode ser alterada para uma fração comum escrevendo-se o numerador emcima do denominador e (se desejado) reduzindo-a a termos mais baixos:

0,125 = 125/1.000 = 1/8

Uma fração comum pode ser alterada para uma fração decimal dividindo-se o numerador pelodenominador (note que o resultado pode ser uma fração decimal repetida ou infinita):

3/8 = 3 ÷ 8 = 0,3751/3 = 1 ÷ 3 = 0,3333....

Porcentagem

O termo por cento e seu sinal correspondente, %, significa “por uma centena”. Assim, 50 por cento(50%) significa 50 partes em cada 100 do mesmo item.

As frações comuns podem ser convertidas em porcentagem dividindo o numerador pelo denomi-nador e multiplicando por 100.

Exemplo:Converta 3/8 para por cento.

3/8 × 100 = 37,5%, resposta.


Frações decimais podem ser convertidas a por cento se multiplicadas por 100.

Exemplo:Converta 0,125 para por cento.

0,125 × 100 = 12,5%, resposta.

Exemplos de expressões equivalentes a frações comuns, frações decimais e porcentagem são apresenta-dos na Tabela 1.2.

1. Some as seguintes frações:(a) 5/8 + 9/32 + 1/4(b) 1/150 + 1/200 + 1/100(c) 1/60 + 1/20 + 1/16 + 1/32

2. Encontre a diferença:(a) 31/2 – 15/64(b) 1/30 – 1/40(c) 21/3 – 11/2(d) 1/150 – 1/400

3. Encontre o produto:(a) 30/75 × 15/32 × 25(b) 21/2 × 12 × 7/8(c) 1/125 × 9/20

4. Qual é a recíproca de cada número abaixo?(a) 1/10(b) 31/

3(c) 12/1(d) 3/2(e) 17/8(f ) 1/64

5. Encontre o quociente:(a) 2/3 ÷ 1/24

TABELA 1.2 EQUIVALÊNCIAS ENTRE FRAÇÕES COMUNS, FRAÇÕES DECIMAIS E PORCENTAGEM

Fração Fração Porcentagem Fração Fração Porcentagemcomum decimal (%) comum decimal (%)

1/1.000 0,001 0,1 1/5 0,2 201/500 0,002 0,2 1/4 0,25 251/100 0,01 1 1/3 0,333 33,31/50 0,02 2 3/8 0,375 37,51/40 0,025 2,5 2/5 0,4 401/30 0,033 3,3 1/2 0,5 501/25 0,04 4 3/5 0,6 601/15 0,067 6,7 5/8 0,625 62,51/10 0,1 10 2/3 0,667 66,71/9 0,111 11,1 3/4 0,75 751/8 0,125 12,5 4/5 0,8 801/7 0,143 14,3 7/8 0,875 87,51/6 0,167 16,7 8/9 0,889 88,9

PROBLEMAS PRÁTICOS

(b) 1/5.000 ÷ 12(c) 61/4 ÷ 1/2

6. Resolva cada uma das seguintes expressões:(a) (1/120 ÷ 1/150) × 50 = ?

(b) 100

1 21

× 1.000 = ?

(c) 3/4 × ? = 48,

(d) 5500

1

× ? = 5.

7. Qual parte fracional:(a) de 64 é 2?(b) de 1/16 é 1/20?(c) de 1/32 é 2?

8. Qual fração decimal:(a) de 18 é 21/4?(b) de 25 é 0,005?(c) de 7.000 é 437,5?

9. Escreva os números abaixo como decimais esome-os:

3/1.000, 75/100, 3/20, 5/8, 13/25


10. Escreva os números abaixo como decimais esome-os:

3/5, 1/20, 65/1.000, 19/40, 3/8

11. Quantas doses de 0,000065 grama podem serfeitas com 0,130 grama de um fármaco?

12. Dê a fração decimal e os equivalentes porcen-tuais para cada uma das seguintes frações co-muns:(a) 1/35(b) 3/7(c) 1/250(d) 1/400

13. Se o estudo clínico de um novo fármaco de-monstrasse que ele atendeu aos critérios deefetividade em 646 dos 942 pacientes testa-dos no estudo, como seriam os resultados ex-pressos como uma fração decimal e como umaporcentagem?

14. Um farmacêutico possuía 3 onças de clori-drato de hidromorfona. Ele usou o seguinte:1/8 onça1/4 onça11/2 onça

Quantas onças de cloridrato de hidromor-fona restaram?

15. Um farmacêutico possuía 5 gramas de sulfatode codeína, que foram usados para preparar oseguinte:8 cápsulas, cada uma contendo 0,0325 grama12 cápsulas, cada uma contendo 0,015 grama18 cápsulas, cada uma contendo 0,008 grama

Quantos gramas de sulfato de codeína res-taram depois que ele preparou as cápsulas?

16. A literatura sobre um produto farmacêuticoindica que 26 dos 2.103 pacientes submeti-dos a um estudo clínico relataram dor de ca-beça depois de ingerir o produto. Calcule (a)a fração decimal e (b) a porcentagem de pa-cientes que informaram essa reação adversa.

Notação Exponencial

Muitas medidas físicas e químicas envolvem tanto números muito grandes quanto muito pequenos.Como freqüentemente é difícil controlar números de tal magnitude, mesmo para executar as opera-ções aritméticas mais simples, é mais adequado empregar a notação exponencial, ou potências de 10,para expressá-los. Assim, podemos expressar 121 como 1,21 × 102, 1.210 como 1,21 × 103, e 1.210.000como 1,21 × 106. Da mesma forma, podemos expressar 0,0121 como 1,21 × 10-2, 0,00121 como1,21 × 10-3, e 0,00000121 como 1,21 × 10-6.

Quando números são escritos dessa maneira, a primeira parte é chamada de coeficiente, geralmen-te escrito com um número à esquerda da vírgula decimal. A segunda parte é o fator exponencial oupotência de 10.

O expoente representa o número de casas que a vírgula decimal foi movida – positivo à esquerda enegativo à direita – para formar o exponencial. Assim, quando convertemos 19.000 para 1,9 × 104,movemos a vírgula decimal 4 casas à esquerda; conseqüentemente, temos o expoente 4. Quando con-vertemos 0,0000019 para 1,9 × 10-6, movemos a vírgula decimal 6 casas à direita; conseqüentemente,temos expoente negativo -6.

Na multiplicação de exponenciais, os expoentes são somados. Por exemplo, 102 × 104 = 106. Namultiplicação de números expressos exponencialmente, os coeficientes são multiplicados de forma ha-bitual, e então esse produto é multiplicado pela potência de 10 encontrada algebricamente a partir dasoma dos expoentes.

Exemplos:(2,5 × 102) × (2,5 × 104) = 6,25 × 106, ou 6,3 × 106

(2,5 × 102) × (2,5 × 10-4) = 6,25 × 10-2, ou 6,3 × 10-2

(5,4 × 102) × (4,5 × 103) = 24,3 × 105 = 2,4 × 106


Na divisão de exponenciais, os expoentes são subtraídos. Por exemplo, 102 ÷ 105 = 10-3. Na divisãode números expressos exponencialmente, os coeficientes são divididos de forma habitual e o resultado émultiplicado pela potência de 10 encontrada algebricamente pela subtração dos expoentes.

Exemplos:(7,5 × 105) ÷ (2,5 × 103) = 3,0 × 102

(7,5 × 10-4) ÷ (2,5 × 106) = 3,0 × 10-10

(2,8 × 10-2) ÷ (8,0 × 10-6) = 0,35 × 104 = 3,5 × 103

Note que em cada um desses exemplos o resultado é arredondado para o menor número significati-vo de casas, sendo expresso apenas com um número à esquerda da vírgula decimal.

Na adição e subtração de exponenciais, as expressões devem ser alteradas (movendo-se os pontosdecimais) para formas que tenham qualquer potência comum de 10, e então os coeficientes são apenassomados ou subtraídos. O resultado deve ser arredondado para o menor número de casas decimais edeve ser expresso com um só número à esquerda da vírgula decimal.

Exemplos:(1,4 × 104) + (5,1 × 103)

1,4 × 104

5,1 × 103 = 0,51 × 104

Total: 1,91 × 104, ou 1,9 × 104, resposta.

(1,4 × 104) – (5,1 × 103)

1,4 × 104 = 14,0 × 103

– 5,1 × 103

Diferença: 8,9 × 103, resposta.

(9,83 × 103) + (4,1 × 101) + (2,6 × 103)9,83 × 103

4,1 × 101 = 0,041 × 103

2,6 × 103

Total: 12,471 × 103, ou12,5 × 103 = 1,25 × 104, resposta.

PROBLEMAS PRÁTICOS

1. Escreva os números a seguir na forma expo-nencial:(a) 12.650(b) 0,0000000055(c) 451(d) 0,065(e) 625.000.000

2. Escreva os números a seguir na forma numé-rica comum:(a) 4,1 × 106

(b) 3,65 × 10-2

(c) 5,13 × 10-6

(d) 2,5 × 105

(e) 8,6956 × 103

3. Calcule o produto:(a) (3,5 × 103) × (5,0 × 104)(b) (8,2 × 102) × (2,0 × 10-6)(c) (1,5 × 10-6) × (4,0 × 106)(d) (1,5 × 103) × (8,0 × 104)(e) (7,2 × 105) × (5,0 × 10-3)

4. Calcule o quociente:(a) (9,3 × 105) ÷ (3,1 × 102)(b) (3,6 × 10-4) ÷ (1,2 × 106)(c) (3,3 × 107) ÷ (1,1 × 10-2)


5. Calcule a soma:(a) (9,2 × 103) + (7,6 × 104)(b) (1,8 × 10-6) + (3,4 × 10-5)(c) (4,9 × 102) + (2,5 × 103)

6. Calcule a diferença:(a) (6,5 × 106) − (5,9 × 104)(b) (8,2 × 10-3) – (1,6 × 10-3)(c) (7,4 × 103) – (4,6 × 102)

Razão, Proporção e Variação

Razão

A magnitude relativa de duas quantidades é denominada razão. Às vezes, a razão é definida como oquociente de dois números. Quando duas quantidades estão sendo comparadas, o quociente é sempreexpresso como uma operação, não como um resultado; em outras palavras, ele é expresso como umafração, e a fração é interpretada como a operação de dividir o numerador pelo denominador. Portanto,uma razão nos fornece o conceito de uma fração comum que expressa a relação entre seus dois números.

A razão entre 20 e 10, por exemplo, não é expressa como 2 (ou seja, o quociente de 20 dividido por10), mas sim como a fração 20/10. Da mesma forma, quando a fração 1/2 é interpretada como umarazão, ela é tradicionalmente escrita 1:2, e não é lida como “um meio”, mas sim como “1 para 2”.

Todas as regras que governam as frações comuns também se aplicam a uma razão. O princípio deque, se os dois os termos de uma razão são multiplicados ou divididos por um mesmo número, o valorpermanece inalterado, o valor sendo o quociente do primeiro termo dividido pelo segundo, é particular-mente importante. Por exemplo, a razão 20:4 ou 20/4 tem o valor de 5; se ambos os termos foremdivididos por 2, a razão passa a ser 10:2 ou 10/2; novamente, temos o valor de 5.

Os termos de uma razão devem ser do mesmo tipo, porque o valor de uma razão é um númeroabstrato que expressa quantas vezes maior ou menor é o primeiro termo (ou numerador) em relação aosegundo termo (ou denominador).b Os termos podem ser números abstratos ou números concretos damesma denominação. Assim, podemos ter uma razão de 20 para 4 (20/4) ou 20 gramas para 4 gramas(20 gramas/4 gramas). Para reconhecer essa relação claramente, devemos interpretar que a razão expres-sa, em seu denominador, o número de partes que uma certa quantidade (usada para comparação)contém e, em seu numerador, o número dessas partes que a quantidade que estamos medindo contém.

Quando duas razões têm o mesmo valor, elas são equivalentes. Um aspecto interessante das razõesequivalentes é que o produto do numerador de uma e o denominador de outra sempre se igualam ao produtodo denominador de uma e ao numerador da outra; ou seja, os produtos cruzados são iguais:

Porque 2/4 = 4/8,2 × 8 (ou 16) = 4 × 4 (ou 16).

Também é verdade que se duas razões forem iguais, os seus recíprocos serão iguais:

Porque 2/4 = 4/8, então 4/2 = 8/4.

Descobrimos também que o numerador de uma fração é igual ao produto entre o seu denominador e aoutra fração:

Se 6/15 = 2/5,

então 6 = ,65

215ou15 5

2 ��

��

�

b A razão de um galão para três quartilhos não é 1:3, porque o galão contém 8 quartilhos, e, portanto, a razão é 8:3.


e 2 = .215

65ou5 15

6 ��

��

�

E o denominador de uma é igual ao quociente de seu numerador dividido pela outra fração:

15 = 6 ÷ 2/5 (ou 6 × 5/2) = 15,

e 5 = 2 ÷ 6/15 (ou 2 × 15/6) = 5.

Uma aplicação prática extremamente útil desses fatos é encontrada na proporção.

Proporção

Uma proporção é a expressão da igualdade entre duas razões. Ela pode ser expressa de três formasdiferentes:

(1) a:b = c:d(2) a:b :: c:d(3)

dc

ba

�

Cada uma dessas expressões pode ser lida da seguinte forma: a está para b assim como c está para d, e a e d sãochamados extremos (significando “membros externos”) e b e c são as médias (“membros medianos”).

Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esse princípio nospermite achar o termo desconhecido de qualquer proporção, quando os outros três termos foremconhecidos. Se o termo desconhecido for a média, ele será o produto dos extremos dividido pela médiadada; se for um extremo, será o produto dos meios dividido pelo extremo dado. Usando essa informação,podemos derivar as seguintes equações fracionárias:

Se dc

ba

� , então

.e,,,abc

dbad

cc

adb

dbc

a ��

Em uma proporção que é ajustada adequadamente, não importa a posição dos termos. No entanto,algumas pessoas preferem colocar o termo desconhecido na quarta posição – ou seja, no denominadorda segunda razão. É importante nomear as unidades em cada posição (p. ex., mL, mg, etc.) para assegurara relação apropriada entre as razões de uma proporção.

O uso de razões e proporções possibilita a solução de muitos dos problemas de cálculos farmacêu-ticos incluídos neste livro.

Exemplos:Se 3 comprimidos contêm 975 miligramas de aspirina, quantos miligramas existem em 12 comprimidos?

s)(miligrama

s)(miligrama975

os)(comprimid12

os)(comprimid3

x�

.,miligramas3.900miligramas3

97512respostax �

��


Se 3 comprimidos contêm 975 miligramas de aspirina, quantos comprimidos deverão conter 3.900miligramas?

s)(miligrama3.900

s)(miligrama975

os)(comprimid

os)(comprimid3�

x

.s,comprimido12scomprimido975

900.33 respostax ��

Se 12 comprimidos contêm 3.900 miligramas de aspirina, quantos miligramas existem em 3 comprimidos?

s)(miligrama

s)(miligrama3.900

os)(comprimid3

os)(comprimid12

x�

.,miligramas759miligramas12

900.33 respostax ��

Se 12 comprimidos contêm 3.900 miligramas de aspirina, quantos comprimidos deverão conter 975miligramas?

s)(miligrama975

s)(miligrama3.900

os)(comprimid

os)(comprimid12�

x

.s,comprimido3scomprimido900.3

97512respostax �

��

As proporções não precisam conter números inteiros. Se frações comuns ou decimais forem forne-cidas nos dados, elas podem ser incluídas na proporção, sem alterar o método. Para facilitar o cálculo,recomenda-se que as frações comuns sejam convertidas para frações decimais antes de estabelecer aproporção.

Exemplo:Se 30 mililitros (mL) representam 1/6 do volume de uma prescrição, quantos mililitros representarão

1/4 do volume?

1/6 = 0,167 e 1/4 = 0,25

(mL)x

(mL)30

(volume)0,25

(volume)0,167�

x = 44,91 ou ≈ 45 mL, resposta.

Variação

Nos exemplos anteriores, as relações eram claramente proporcionais. A maioria dos cálculos farmacêu-ticos envolve relações simples e diretas: duas vezes a causa, o dobro do efeito, e assim por diante.Ocasionalmente, elas envolvem relações inversas: duas vezes a causa, metade do efeito, e assim pordiante, como quando diminuímos a concentração de uma solução, aumentando a quantidade de diluente.c

c Ao representarmos uma proporção inversa, não devemos esquecer que toda proporção afirma a equivalência de duasfrações; assim, ambos os numeradores devem ser menores ou maiores que os seus respectivos denominadores.


Veja um problema típico de proporção inversa:

Se 10 quartilhos de uma solução a 5% são diluídos a 40 quartilhos, qual é a porcentagem deconcentração da dilução?

(%)5

(%)x

s)(quartilho40

s)(quartilho10�

.%,25,1%40

510respostax �

��

Análise Dimensional

Ao realizarem cálculos farmacêuticos, alguns alunos preferem usar um método chamado de análisedimensional (também conhecido como análise fatorial ou método fatorial). Esse método envolve oseqüenciamento lógico e a colocação de uma série de razões (chamadas fatores) em uma equação. Asrazões são preparadas a partir dos dados apresentados e, também, pela seleção de fatores de conversão,e contêm tanto as quantidades aritméticas como suas unidades de medida. Alguns termos são inverti-dos (aos seus recíprocos) para permitir o cancelamento de unidades idênticas no(s) numerador(es) edenominador(es) e deixar apenas os termos desejados da resposta. Uma das vantagens de se empregara análise dimensional é a consolidação de vários passos aritméticos em uma única equação.

Para resolver problemas utilizando a análise dimensional, o aluno que não está familiarizado com oprocesso deve considerar os seguintes passos:2,3

Passo 1. Identifique a quantidade dada e sua unidade de medida.Passo 2. Identifique a unidade desejada na resposta.Passo 3. Estabeleça o caminho para conversão de unidades (partindo da quantidade e unidade dadas

para obter a resposta aritmética na unidade desejada) e identifique os fatores de conversãonecessários. Isso pode incluir:(a) um fator de conversão para a quantidade e unidade dadas, e/ou(b) um fator de conversão para chegar à unidade desejada na resposta.

CÁPSULA DE CÁLCULOS FARMACÊUTICOS

Razão e Proporção

• Uma razão expressa a magnitude relativa de duas quantidades semelhantes (p. ex., 1:2, expressocomo “1 para 2”).

• Uma proporção expressa a igualdade de duas razões (p. ex., 1:2 = 2:4).• Os quatro termos de uma proporção são descritos da seguinte forma:

d

c

b

ad,:c::b:ad,:cb:a �� ouou

e são expressos como “a está para b assim como c está para d.”• Dados três dos quatro termos de uma proporção, o valor do quarto, ou termo desconhecido, pode ser

calculado.• O método razão e proporção é uma ferramenta útil para a resolução de muitos problemas de cálculos

farmacêuticos.


Passo 4. Estabeleça as razões nas devidas unidades, de tal forma que, com o cancelamento de unida-des de medida nos numeradores e denominadores, reste somente a unidade desejada na resposta.

Passo 5. Execute o cálculo multiplicando os numeradores, multiplicando os denominadores, e divi-dindo o produto dos numeradores pelo produto dos denominadores.

O esquema geral demonstrado aqui e na “Cápsula de Cálculos Farmacêuticos: Análise Dimensio-nal” pode ser útil para a utilização do método.

Exemplos de Cálculos que Utilizam a Análise Dimensional

Quantas onças fluidas (fl. oz.) há em 2,5 litros (L)?

Passo 1. A quantidade dada é 2,5 L.Passo 2. A unidade desejada para a resposta é onças.Passo 3. Os fatores de conversão necessários são aqueles que converterão litros em onças.

Como aprenderemos mais adiante, esses fatores de conversão são os seguintes:1 litro = 1.000 mL (para converter os 2,5 L dados para mililitros), e1 onça = 29,57 mL (para converter mililitros para onças).

Passo 4. A configuração do caminho para conversão de unidades:

Nota: O caminho para conversão de unidades é configurado de tal forma que todas as unidades demedida serão anuladas, exceto a unidade desejada na resposta, onças, que é colocada no numerador.

Passo 5. Faça o cálculo:

Quantidade Fator de conversão para Fator de conversão para Cálculo da dada a quantidade dada a quantidade desejada conversão Quantidade desejada

2,5 L 1.000 mL 1 fl. oz.

1 L 29,57 mL=

Caminho para conversão de unidades


=


ou

oz.fl.84,5529,57

2.500

29,571

11.0002,5

mL29,57

oz.fl.1

L1

1.000mLL2,5 ��

��

��


2,5 L 1.000 mL 1 fl. oz. 2,5 × 1.000 × 1 = 2.500

84,55 fl. oz.1 L 29,57 mL 1 × 29,57 29,57


=


Nota: O problema também pode ser resolvido por razão e proporção:

Passo 1.

mL2.500x;(mL)x

(mL)1.000

(L)2,5

(L)1��

Passo 2.

.oz.,fl.84,55xoz.)(fl.x

oz.)(fl.1

mL2.500

(mL)29,57

resposta�

�

Uma prescrição médica requer que 1.000 mililitros de uma infusão intravenosa de dextrose sejamadministrados durante um período de 8 horas. Utilizando-se uma administração intravenosa que libera10 gotas/mililitro, quantas gotas por minuto deveriam ser administradas ao paciente?

Resolução por razão e proporção:

8 horas = 480 minutos (min)

resposta.minuto,porgotas21min480

1

mL1

gotas1.000mL1.000 ��

Nota: “Gotas” foram colocadas no numerador e “minutos” no denominador para chegar à resposta notermo desejado, gotas por minuto.

CÁPSULA DE CÁLCULOS FARMACÊUTICOS

Análise Dimensional

• Trata-se de um método alternativo ao método de razão e proporção para resolução de problemas decálculos farmacêuticos.

• O método envolve o seqüenciamento lógico e colocação de uma série de razões para incorporar múlti-plos passos aritméticos em uma única equação.

• Ao aplicarmos determinados fatores de conversão à equação – tais como recíprocos – as unidadesindesejadas de medida são canceladas, restando o resultado aritmético e a unidade desejada.

• Esquema de análise dimensional:


=



1. Se uma injeção de insulina contém 100 uni-dades de insulina em cada mililitro, quantosmililitros devem ser injetados para que umpaciente receba 40 unidades de insulina?

2. O elixir pediátrico Digoxina* (LANOXINA)contém 0,05 mg de digoxina em cada milili-tro de elixir. Quantos miligramas de digoxi-na seriam administrados com uma dose de0,6 mL?

3. Em um estudo clínico, o fármaco triazolamprovocou sonolência em 30 dos 1.500 pacien-tes testados. Quantos pacientes de uma de-terminada farmácia poderiam esperar efeitossemelhantes, em uma contagem de 100 pa-cientes?

4. Uma fórmula para 1.250 comprimidos con-tém 3,25 gramas (g) de diazepam. Quantosgramas de diazepam deveriam ser usados parapreparar 350 comprimidos?

5. Se 100 cápsulas contêm 500 mg de um in-grediente ativo, quantos miligramas do ingre-diente estarão contidos em 48 cápsulas?

6. Cada comprimido de TYLENOL COMCODEÍNA** contém 30 mg de fosfato de co-deína e 300 mg de paracetamol. Se ingerissedois comprimidos diariamente durante umasemana, quantos miligramas de cada fármacoo paciente tomaria?

7. Um xarope para tosse contém 10 mg de dex-trometorfan hidrobromida por 5 mL. Quan-tos miligramas do fármaco estão contidos emum recipiente de 120 mL do xarope?

8. Se um fluido intravenoso é ajustado para li-berar 15 mg de um medicamento por hora aum paciente, quantos miligramas do medica-mento são liberados por minuto?

9. O medicamento biotecnológico filgrastim(NEUPOGEN) está disponível em frascosque contêm 480 microgramas (mcg) de fil-

PROBLEMAS PRÁTICOS

grastim por 0,8 mL. Quantos microgramasde medicamento seriam administrados emcada injeção de 0,5 mL?

10. Um frasco com 100 comprimidos de um fár-maco custa ao farmacêutico R$ 42,00. Qualseria o custo de 24 comprimidos?

11. Quantos comprimidos de 0,1 mg conterão amesma quantidade de fármaco que 50 com-primidos que contêm 0,025 mg cada um domesmo fármaco?

12. Aciclovir (ZOVIRAX) suspensão contém200 mg de aciclovir em cada 5 mL. Quantosmiligramas de aciclovir estão contidos em umquartilho (473 mL) de suspensão?

13. Um aerossol inalatório dosificador contém225 mg de sulfato de metaproterenol que ésuficiente para 300 inalações. Quantos mili-gramas de sulfato de metaproterenol são ad-ministrados a cada inalação?

14. Um produto vitamínico pediátrico contém oequivalente a 0,5 mg do íon fluoreto em cadamililitro. Quantos miligramas do íon fluore-to seriam fornecidos por um dispositivo quelibera 0,6 mL?

15. Se uma vitamina pediátrica contém 1.500unidades de vitamina A por mililitro de solu-ção, quantas unidades de vitamina A são ad-ministradas a uma criança que recebe 2 gotasda solução de um conta-gotas calibrado paraliberar 20 gotas por mililitro de solução?

16. Um elixir contém 40 mg de fármaco em cada5 mL. Quantos miligramas do fármaco seriamutilizados para preparar 4.000 mL do elixir?

17. Um elixir de sulfato ferroso contém 220 mgde sulfato ferroso em cada 5 mL. Se cada mi-ligrama de sulfato ferroso contém o equiva-lente a 0,2 mg de ferro elementar, quantosmiligramas de ferro elementar estariam repre-sentados em cada 5 mL do elixir?

* N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Digoxina (Glaxo).

** N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Tylex (Janssencilag).


18. A uma temperatura constante, o volume deum gás varia inversamente em relação à pres-são. Se um gás ocupa um volume de 1.000 mLa uma pressão de 760 mm, qual é o seu volu-me a uma pressão de 570 mm?

19. Se uma solução oftálmica contiver 1 mg defosfato de dexametasona em cada mililitro desolução, quantos miligramas de fosfato dedexametasona estariam contidos em 2 gotas,se o conta-gotas utilizado liberasse 20 gotaspor mililitro?

20. Um recipiente de spray nasal de 15 mL libera20 sprays por mililitro de solução, sendo quecada spray contém 1,5 mg de fármaco. (a)Qual é o número total de sprays que serão li-berados? (b) Quantos miligramas de fármacoestão contidos no recipiente de 15mL de spray?

21. Uma preparação de penicilina V potássicapossui 400.000 unidades em cada comprimi-do de 250 mg. Quantas unidades um pacien-te receberia se tomasse quatro comprimidospor dia durante 10 dias?

22. Se um pacote de 5 g de um suplemento depotássio provê 20 miliequivalentes do íonpotássio e 3,34 miliequivalentes do íon clore-to, (a) quantos gramas do pó proveriam 6 mi-liequivalentes do íon potássio, e (b) quantomiliequivalentes do íon cloreto seriam provi-dos por essa quantidade de pó?

23. Se um elixir de cloreto de potássio contém 20miliequivalentes do íon potássio a cada 15 mLde elixir, quantos mililitros darão ao paciente25 miliequivalentes do íon potássio?

24. A concentração sérica do fármaco antibacte-riano ciprofloxacina aumenta proporcional-mente com a dose de fármaco administrada.Se uma dose de 250 mg de fármaco resultaem uma concentração sérica de 1,2 microgra-mas de fármaco por mililitro, quantos micro-gramas de fármaco seriam esperados por mi-lilitro de sangue, se for administrada uma dosede 500 mg de fármaco?

25. A dosagem do fármaco tiabendazol (MINTE-ZOL)* é determinada em proporção direta aopeso do paciente. Se a dose de um fármacopara um paciente que pesa 150 libras é de 1,5gramas, qual seria a dose para um pacienteque pesa 110 libras?

26. Se 0,5 mL de uma vacina para o vírus da ca-xumba contiver 5.000 unidades de antígeno,quantas unidades haveria em cada mililitro,se 0,5 mL de vacina fosse diluído com 2 mLde água para injeção?

27. Uma amostra de ginseng oriental contém0,4 mg de componentes ativos em cada 100 mgde pó. Quantos miligramas de componentesativos estariam contidos em 15 mg do pó daplanta?

Números Significativos

Quando contamos objetos com exatidão, qualquer número no numeral que expressa o número total deobjetos deve ser considerado em relação ao seu valor de face. Esses números podem ser chamados deabsolutos. Quando registrarmos uma medida, o último número à direita deve ser considerado umaaproximação, uma admissão de que o limite de precisão possível ou de exatidão necessária foi alcançadoe que quaisquer números adicionais à direita não seriam significativos – em outras palavras, seriaminsignificantes para um determinado propósito, ou seriam desnecessários.

Um número denominado, como 325 gramas, é interpretado da seguinte forma: O 3 significa 300gramas, nem mais nem menos, e o 2 significa exatamente 20 gramas a mais; mas o 5 final significaaproximadamente 5 gramas a mais, ou seja, 5 gramas mais ou menos alguma fração de um grama. Se essafração é, para um determinado propósito, desprezível, depende da precisão com que a quantidade foi(ou será) pesada.

* N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Thiaben (Uci Farma).


Portanto, números significativos são números sucessivos que expressam o valor de um númerodenominado de forma suficientemente precisa para um determinado propósito. A exatidão varia como quantidade de números significativos, que são todos absolutos em valor, com exceção do último, queé chamado de incerto.

Qualquer um dos dígitos em um número denominado válido deve ser considerado significativo.No entanto, se o zero é significativo ou não, depende de seu posicionamento ou de fatos conhecidossobre um determinado número.

A interpretação do zero pode ser resumida da seguinte maneira:

1. Qualquer zero entre dígitos é significativo.2. Zeros iniciais à esquerda do primeiro dígito nunca são significativos: eles são incluídos meramente

para indicar a localização da vírgula decimal e, assim, atribuir um valor para os dígitos que ossucedem.

3. Um ou mais zeros finais à direita da vírgula decimal podem ser considerados significativos.

Exemplos:Considerando-se que os seguintes números são todos denominados:

1. Em 12,5, há três números significativos; em 1,256, há quatro números significativos; e em 102,56,há cinco números significativos.

2. Em 0,5 há um número significativo. O dígito 5 indica quantos décimos nós temos. O 0 não-significativo simplesmente chama a nossa atenção para a vírgula decimal.

3. Da mesma forma, em 0,05, há apenas um número significativo, assim como em 0,005.4. Em 0,65, existem dois números significativos, assim como em 0,065 e 0,0065.5. Em 0,0605 existem três números significativos. O primeiro 0 indica a vírgula decimal, o segundo 0

indica o número de casas à direita da vírgula decimal ocupadas pelos números restantes, e o terceiro0 contribui significativamente para o valor do número. Em 0,06050, há quatro números significa-tivos, porque o último 0 também contribui para o valor do número.

Como já foi apontado, um dos fatores que determina o grau de aproximação para apurar a medidaé a precisão do instrumento utilizado. Seria incorreto argumentar que 7,76 mililitros foram medidosem um instrumento calibrado em unidades de 1 mililitro, ou que 25,562 gramas foram pesados emuma balança com sensibilidade para pesar 0,01 grama.

Devemos distinguir de forma clara números significativos de casas decimais. Ao registrarmos umamedida, o número de casas decimais que incluímos indica o grau de precisão com o qual a medida foifeita; por outro lado, a quantidade de números significativos indica o grau de exatidão necessário paraum determinado propósito.

Às vezes, precisamos registrar um valor “correto para (tantas) casas decimais.” Nunca devemosconfundir essa expressão comum com a expressão “correto para (tantos) números significativos”. Porexemplo, se o valor 27,625918 é arredondado para cinco casas decimais, escreve-se 27,62592; masquando esse valor é arredondado para cinco números significativos, escreve-se 27,626.

Regras de Arredondamento

1. Ao arredondar uma medida, diminua ao máximo o números de casas, pois, dessa forma, terá ape-nas um número incerto. Por exemplo, ao usar uma régua calibrada em centímetros, seria corretoregistrar uma medida como 11,3 centímetros, mas seria incorreto registrá-la como 11,32 centíme-tros, pois os 3 (décimos) são incertos e nenhum outro número deveria vir a seguir.

2. Ao eliminar números supérfluos em um cálculo, adicione 1 ao último número se este for igual ou maiordo que 5. Por exemplo, 2,43 pode ser arredondado para 2,4, mas 2,46 deve ser arredondado para 2,5.


3. Ao adicionar ou subtrair números aproximados, inclua apenas o número de casas decimais do nú-mero, de forma que o resultado final tenha o mínimo de casas decimais possíveis. Por exemplo, aoadicionar 162,4 gramas + 0,489 gramas + 0,1875 gramas + 120,78 gramas, o resultado da soma é283,8565 gramas, mas com o arredondamento é 283,9 gramas. Entretanto, quando um instru-mento tem a capacidade de pesar com precisão todas as quantidades em um determinado cálculo,o arredondamento pode ser considerado inapropriado.

Em relação ao que foi descrito acima, existe uma suposição feita em cálculos farmacêuticos deque todas as medidas descritas em uma prescrição ou na manipulação de uma fórmula são executadascom igual precisão pelo farmacêutico. Assim, por exemplo, se as quantidades 5,5 gramas, 0,01 grama,e 0,005 grama são especificadas em uma fórmula, elas podem ser somadas como se fossem pesosexatos, cujo resultado seria 5,515 gramas.

4. Ao multiplicar ou dividir dois números aproximados, retenha apenas a quantidade de númerossignificativos do número que tiver a menor quantidade de números significativos. Por exemplo, semultiplicar 1,6437 gramas por 0,26, a resposta pode ser arredondada de 0,427362 gramas para0,43 gramas.

5. Ao multiplicar ou dividir um número aproximado por um número absoluto, o resultado deve serarredondado para a mesma quantidade de números significativos do número aproximado. Assim,se 1,54 miligramas são multiplicados por 96, o produto, 243,84 miligramas, pode ser arredondadopara 244 miligramas, ou para três números significativos.

PROBLEMAS PRÁTICOS

1. Informe a quantidade de números significa-tivos em cada das quantidades em itálico:(a) Uma onça é igual a 29,57 mililitros.(b) Um litro é igual a 1.000 mililitros.(c) Uma polegada é igual a 2,54 centímetros.(d) O custo de um ingrediente é de R$1,05

por quilo.(e) Um grama é igual a 1.000.000 microgra-

mas.(f ) Um micrograma é igual a 0,001 mili-

grama.

2. Arredonde os números abaixo para três nú-meros significativos:(a) 32,75(b) 200,39(c) 0,03629(d) 21,635(e) 0,00944

3. Arredonde os números abaixo para três casasdecimais:(a) 0,00083(b) 34,79502

(c) 0,00494(d) 6,12963

4. Se uma mistura de sete ingredientes contiveros seguintes pesos aproximados, qual o totalaproximado do peso combinado dos ingre-dientes?26,83 gramas, 275,3 gramas, 2,752 gramas,4,04 gramas, 5,197 gramas 16,64 gramas e0,085 grama.

5. Efetue os cálculos abaixo, mantendo apenasos números significativos nos resultados:(a) 6,39 – 0,008(b) 7,01 – 6,0(c) 5,0 – 48,3 gramas(d) 24 × 0,25 grama(e) 56,824 ÷ 0,0905(f ) 250 ÷ 1,109


Estimativa

Uma das melhores formas de conferir se um cálculo numérico é razoável é estimar a resposta. Sechegarmos a uma resposta errada, usando um método errado, uma repetição mecânica do cálculo podenão revelar o erro. Entretanto, um resultado absurdo, tal como a colocação do vírgula decimal no lugarerrado, provavelmente não passará despercebido se antes for realizada uma estimativa.

Como é imprescindível que os farmacêuticos garantam a exatidão de seus cálculos empregandotodos os recursos possíveis, os alunos de farmácia são aconselhados a utilizar a estimativa como umdesses recursos. A habilidade de estimar é obtida com a prática constante. Portanto, os alunos defarmácia devem adquirir o hábito de estimar a resposta para cada problema, antes de tentar resolvê-lo.A estimativa é empregada como um dos meios para julgar a racionalidade do resultado final.

É importante conferir a exatidão de cada cálculo, primeiro somando a coluna para cima e depoispara baixo. Conseqüentemente, o aluno deve seguir invariavelmente este procedimento: (1) estimar,(2) calcular, (3) conferir.

O processo de estimativa é basicamente simples. Primeiro, os números dados em um problema sãoarredondados mentalmente para números ligeiramente maiores ou menores que contenham menosnúmeros significativos; por exemplo, 59 seria arredondado para 60, e 732 para 700. A seguir, oscálculos necessários são executados, até onde for possível, mentalmente, e o resultado, embora seja umpouco maior ou menor que a resposta exata, é aproximado o bastante para servir como uma estimativa.

Na adição, podemos obter uma estimativa razoável do total somando primeiro os números dacoluna que estiver mais à esquerda. Os números remanescentes descartados de cada número provavel-mente indicam mais ou menos do que a metade do valor de uma unidade da ordem que acabamos deadicionar e, conseqüentemente, ao somatório da coluna mais à esquerda, adicionamos metade paracada número na coluna.

Exemplo:Some os seguintes números: 7.428, 3.652, 1.327, 4.605, 2.791 e 4.490.Estimativa:Os números na coluna de milhares somam 21.000, e com cada número que contribui 500 ou mais

em média, ou cada par que contribui 1.000 ou mais, obtemos 21.000 + 3.000 = 24.000, respostaestimada (resposta certa, 24.293).

Na multiplicação, o produto dos dois dígitos posicionados mais à esquerda, somados a um númerosuficiente de zeros para dar o posicionamento correto ao valor do resultado, serve como uma boaestimativa. O número de zeros providos deve ser igual ao número total de números descartados. Aaproximação para a resposta correta é mais precisa se os números descartados são usados para arredon-dar o valor dos números retidos.

Exemplo:Multiplique 612 por 413.Estimativa:4 × 6 = 24, e como descartamos quatro números, temos que prover quatro zeros, o que resulta em

240.000, resposta estimada (resposta certa, 252.756).Na divisão, os números dados podem ser arredondados para aproximações convenientes, mas, no-

vamente, é necessário ter cuidado para preservar o posicionamento correto ao valor do resultado.

Exemplo:Divida 2.456 por 5,91.Estimativa:Os números podem ser arredondados para 2.400 e 6. Podemos dividir 24 por 6 mentalmente, mas

precisamos lembrar dos dois zeros substituídos por 56 em 2.456. A resposta estimada é 400 (respostacerta, 416).


PROBLEMAS PRÁTICOS

1. Estime as somas:(a) 5.641 (b) 3.298 (c) R$ 75,82

2.177 368 37,92294 5.192 14,69

8.266 627 45,983.503 4.835 28,91

49,87

2. Estime os produtos:(a) 42 × 39 =(b) 365 × 98 =(c) 596 × 204 =(d) 6.549 × 830 =(e) 8.431 × 9.760 =(f ) 2,04 × 705,3 =(g) 0,0726 × 6.951 =(h) 6,1 × 67,39 =

3. Estime os quocientes:(a) 171 ÷ 19 =(b) 184 ÷ 2.300 =(c) 160 ÷ 3.200 =(d) 86.450 ÷72 =(e) 98.000 ÷ 49 =(f ) 1,0745 ÷ 500 =(g) 1,9214 ÷ 0,026 =(h) 458,4 ÷ 8 =

RESPOSTAS PARA OS PROBLEMAS PRÁTICOS

Numerais Romanos (p. 20)

1. (a) xxviii(b) lxiv(c) lxxii(d) cxxvi(e) xcix(f ) xxxvii(g) lxxxiv(h) xlviii(i) MCMLXXXIX

2. (a) 41(b) 150(c) 1.959(d) 1.814

3. (a) 45(b) 2(c) 48(d) 64(e) 16(f ) 84

Frações Comuns, Frações Decimais ePorcentagem (p. 25)

1. (a) 37/32 ou 1 5/32(b) 13/600(c) 77/480

2. (a) 209/64 ou 3 17/64(b) 1/120(c) 5/6(d) 1/240

3. (a) 225/48 ou 4 11/16(b) 105/4 ou 26 1/4(c) 9/2.500

4. (a) 10/1 ou 10(b) 3/10(c) 1/12(d) 2/3(e) 8/15(f ) 64/1 ou 64

5. (a) 48/3 ou 16(b) 1/60.000(c) 25/2 ou 12 1/2


6. (a) 62 1/2(b) 15(c) 64(d) 12.500

7. (a) 1/32(b) 4/5(c) 64/1

8. (a) 0,125(b) 0,0002(c) 0,0625

9. 2,048

10. 1,565

11. 2.000 doses

12. (a) 0,028 ou 2,8%(b) 0,43 ou 43%(c) 0,004 ou 0,4%(d) 0,0025 ou 0,25%

13. 0,68 ou 68%

14. 1 1/8 onças de cloridrato de hidromorfona

15. 4,416 gramas de sulfato de codeína

16. 0,012 ou 1,2%

Notações Exponenciais (p. 27)

1. (a) 1,265 × 104

(b) 5,5 × 10-9

(c) 4,51 × 102

(d) 6,5 × 10-2

(e) 6,25 × 108

2. (a) 4.100.000(b) 0,0365(c) 0,00000513(d) 250.000(e) 8.695,6

3. (a) 17,5 × 107 = 1,75 × 108

(b) 16,4 × 10-4 = 1,64 × 10-3

(c) 6,0 × 100 = 6(d) 12 × 107 = 1,2 × 108

(e) 36 × 102 = 3,6 × 103

4. (a) 3,0 × 103

(b) 3,0 × 10-10

(c) 3,0 × 109

5. (a) 8,52 × 104, ou 8,5 × 104

(b) 3,58 × 10-5, ou 3,6 × 10-5

(c) 2,99 × 103, ou 3,0 × 103

6. (a) 6,441 × 106, ou 6,4 × 106

(b) 6,6 × 10-3

(c) 6,94 × 103, ou 6,9 × 103

Razão, Proporção, Variação e AnáliseDimensional (p. 34)

1. 0,4 mL de injeção de insulina

2. 0,003 mg de digoxina

3. 2 pacientes

4. 0,91 g de diazepam

5. 240 mg

6. 420 mg de fosfato de codeína e 4.200 mg deacetaminofeno

7. 240 mg de dextrometorfan

8. 0,25 mg

9. 300 mcg de filgrastina

10. R$ 10,08

11. 121/2 comprimidos

12. 18.920 mg de aciclovir

13. 0,75 mg de sulfato de metoproterenol

14. 0,3 mg do íon fluoreto

15. 150 unidades de vitamina A

16. 32.000 mg

17. 44 mg de ferro elementar

18. 1.333 mL

19. 0,1 mg de fosfato de dexametasona

20. (a) 300 sprays

(b) 450 mg

21. 16.000.000 unidades

22. (a) 1,5 g

(b) 1 miliequivalente do íon cloreto

23. 18,75 mL

24. 2,4 microgramas de ciprofloxacina


25. 1,1 g de tiabendazol

26. 2.500 unidades de antígeno

27. 0,06 mg

Números Significativos (p. 37)

1. (a) quatro(b) quatro(c) três(d) três(e) sete(f ) um

2. (a) 32,8(b) 200(c) 0,0363(d) 21,6(e) 0,00944

3. (a) 0,001(b) 34,795(c) 0,005(d) 6,130

4. 330,8 g

5. (a) 6,38(b) 1,0(c) 240 g

(d) 6,0 g(e) 628(f ) 225

Estimativa (p. 39)

1. (a) 20.500 (19.881)(b) 14.500 (14.320)(c) R$ 240,00 (R$ 253,19)

2. (a) 40 × 40 = 1.600 (1.638)(b) 360 × 100 = 36.000 (35.700)(c) 600 × 200 = 120.000 (121.584)(d) 7.000 × 800 = 5.600.000 (5.435.670)(e) 8.000 × 10.000= 80.000.000 (82.286.560)(f ) 2 × 700 = 1.400 (1.438,812)(g) (7 × 70) = 490 (504,6426)(h) 6 × 70 = 420 (411,079)

3. (a) 170 ÷ 20 = 8,5 (9,0)(b) 180 ÷ 2.000 = 0,09 (0,08)(c) 16 ÷ 320 = 1/20 ou 0,05 (0,05)(d) 8.400 ÷ 7 = 1.200 (1.200,7)(e) 9.800 ÷ 5 = 1.960 (2.000)(f ) 0,01 ÷ 5 = 0,002 (0,002149)(g) 19 ÷ 0,25 = 19 × 4 = 76 (73,9)(h) 460 ÷ 8 = 57,5 (57,3)

REFERÊNCIAS

1. “Roman Numerals.” Infoplease. © 2000-2004 Pearson Education, publishing as Infoplease. 16 Aug. 2004. http://www.infoplease.com/ipa/A0001734.html.

2. Disponível em: http://www2.austincc.edu/barnes/da.html. Acessado em 20/08/2004.3. Craig GP. Clinical Calculations Made Easy. 2nd Ed. Baltimore: Lippincott Williams & Wilkins, 2001.

Documents

Fundamentos dos Cálculos 1 Farmacêuticos · Números e Numerais Um número é uma quantidade total, ou quantidade de unidades. Um numeral é uma palavra ou sinal, ou um grupo de