FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE MQUINAS Prof. Dr. Perrin Smith Neto EstetrabalhoestlicenciadosobumaLicenaCreativeCommons Atribuio-UsoNo-Comercial-VedadaaCriaodeObrasDerivadas2.5 Brasil.Paraverumacpiadestalicena,visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/br/ouenvieumacarta paraCreativeCommons,171SecondStreet,Suite300,SanFrancisco, California 94105, USA. FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE MQUINAS Prof. Dr. Perrin Smith Neto Departamento de Engenharia Mecnica Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica Instituto Politcnico da Universidade Catlica Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais PREFCIO DA 1A EDIO Durante mais de 30 anos temos tido contato com os alunos do curso de engenharia mecnicadediferentesUniversidadesBrasileirascomoUniversidadeFederaldeMinas Gerais,UniversidadeFederaldeUberlndia,UniversidadedeSoPaulo,Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro, do Paran e de Minas Gerais. Atualmente estamos lecionandoadisciplinaElementosdeMquinasparaocursodeEngenhariaMecnicae MecatrnicadaPUC-Minas.Todososalunossequeixamdafaltadeumbomlivrotexto nestareaemportugus.Tambmsentemdificuldadesentrealigaodateoriaque aprendemnaUniversidadeeaprticaprofissional.OimpactoqueadisciplinaElementos de Mquinas causa muito grande, e, inmeras vezes, vemos a necessidade de realizar um grandeesforoparaqueaimpressodenulidadenadisciplinanomarque irremediavelmenteoalunoqueseinicianamatria.Paraodimensionamentodos elementosdemquinas,queumaaplicaocontnuadasteoriasestudadasem ResistnciadosMateriais,Mecnica dos Slidos, Comportamento Mecnico dos Materiais, MecnicaRacional,sentem-seosalunosperdidos,dentrodeumcampoimensode possibilidades, obrigados a tomar decises, e a definir um campo imenso de possibilidades, uma situao particular, sem que se sintam compleno domnio daquelas teorias.O clamor geral,eporisso,marcarealmenteoponto:faltaparaosestudantesdeengenharia mecnica,aparteprticanestecampodeengenharia.Algunstpicos,pordeficinciados programas, so tratados superficialmente sem uma objetividade necessria, como a Fadiga eaConcentraodetenses.Dentrodatcnicamodernaimpossveldiminuira importncia destes assuntos. So bsicos, essenciais. O dimensionamento de uma pea de mquina exige em profundidade aquilo que foi dado superficialmente na sala de aula. E fica ento o aluno, com aquele sentimento de frustrao a que se referiu no inicio. Incentivadospornossosex-alunosecolegasdasUniversidades,comointuitode melhorprepar-losparaaplicaesreais,estamosapresentandooresultadodotrabalho que denominamos Fundamentos para o Projeto de Componentes de Mquinas.Neste livro pretendemos enfocar na primeira parte os fundamentos do projeto de engenharia mecnica, caractersticasmecnicasdosmateriais,dimensionamentoestticoedinmicoincluindo conceitosdefadigaeconcentraodetenses.Napartede aplicaes nos deteremos na anlisedeparafusosdeunio,soldagem,molas,lubrificaoemancaisdedeslizamento, mancaisderolamentos,engrenagenscilndricas,eixoservoresdetransmisso,freiose embreagens e elementos flexveis de transmisso como correias, correntes e cabos de ao. Duranteestesanosdeensinosuperior,pudemosdesenvolverjunto com os alunos, vriosexerccioscomutilizaodesoftwaresutilizandolinguagensconhecidasdosalunos tipo C++, Fortran, Pascal, etc. Com isto pretendemos neste volume apresentar no somente umresumodateoria,mastambmalgunsexercciossobaformadeaplicativos, desenvolvidosparautilizao dos conceitos adquiridos no contedo da disciplina.Durante vrios anos ministrando a disciplina Elementos de Mquinas, desenvolvemos, orientando os alunos, os seguintes softwares: Vigas-Diagramas de momentos fletores, diagramas de cargas cisalhantes. ResistnciadosMateriais-clculodemomentosdepolardeinrcia,centrosde gravidade para vrias sees. Crculo de Mohr - determinao numrica e grfica no estado plano e tridimensional das tenses mximas normais e cisalhantes, conhecidas as tenses atuantes. Calculodaresistnciafadigadeelementosdemquinasemfunodotamanho, acabamento, temperatura, concentrao de tenses. Clculododimensionamentodeparafusosdepotncia,parafusosdeunioem vasos de presso. Clculo do dimensionamento do filete de solda para cargas de flexo ou toro. Dimensionamento de eixos e rvores para carregamento esttico e dinmico. Dimensionamento de mancais hidrodinmicos. Dimensionamento de engrenagens cilndricas retas e helicoidais. Seleo de Correias planas e trapezoidais utilizando catlogos de fabricantes. Seleo de correntes e cabos de ao. O objetivo de acrescentar estes programas de facilitar ao leitor uma visualizao dos conceitos de forma mais prtica e moderna. Portanto, a idia do livro a de um documento eletrnicoparaumaanlisecomputacionaldosprojetosaseremdesenvolvidosduranteo aprendizado. Agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos pelo incentivo que nos deram e ainda nosdo,aelesdedicamosestaobra.AgradecimentosemespecialPontifcia Universidade Catlica pelo privilgio de como professor titular na graduao e no mestrado deengenhariamecnicaterrecebidotodooapoionecessriorealizaodestaobra.As crticas e sugestes sero sempre bem aceitas, e de antemo, as agradecemos.Tambm nopoderiadedeixardeagradeceraoapoiorecebidodasCoordenaesdeEngenharia MecnicaeMecatrnicaeprincipalmentedoMestradodeEngenhariaMecnicada PontifciaUniversidadeCatlicadeMinasGerais.Gostariadepoderreceberdetodaa comunidadeacadmicadeengenharia,sugestesecrticasparaaperfeioamentoe melhoria desta primeira edio. Solo Dei Gloria. Prof. Dr.Perrin Smith Neto Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais Belo Horizonte, Fevereiro de 2005 indice CAPTULO 01 - INTRODUO _____________________________________01 1.1 - INTRODUO ____________________________________________________01 1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO __________02 1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO _______________________________04 1.2.2 - CARACTERSTICAS MECNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER _______05 1.3 - CONSIDERAES SOBRE A SEGURANA _____________________________08 1.4 - FATOR DE SEGURANA ____________________________________________09 1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANA ____________________________09 1.6 - CONSIDERAES ECOLGICAS _____________________________________13 1.7 - CONSIDERAES SOCIAIS __________________________________________14 1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUO DE PROBLEMAS DECOMPONENTES MECNICOS ____________________________________________15 1.9 - UNIDADES ________________________________________________________16 1.10 - COMENTRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________18 1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECNICO ___________________________18 1.12 - FORMULAO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL _______22 CAPTULO 02 - ANLISE DE TENSES E DEFORMAES ______________24 2.1 - INTRODUO _____________________________________________________24 2.2 - TENSO __________________________________________________________24 2.3 - TENSES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL _________________27 2.3.1 - CARGA AXIAL __________________________________________________________27 2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSO DE APOIO ________________________________________27 2.3.3 - TENSO MDIA DE CISALHAMENTO _______________________________________28 2.4 - TRANSFORMAO DE TENSO ______________________________________29 2.4.1 - EQUAES PARA TRANSFORMAO DE TENSO PLANA _____________________29 2.4.2 - CRCULO DE MOHR ______________________________________________________30 2.4.3 - CONSTRUO DO CRCULO DE MOHR PARA TENSES _______________________32 2.4.4 - TENSES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSES __________________34 2.4.5 - CRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSES ____________________35 2.5 ANLISE DE DEFORMAO _________________________________________36 2.6 - LEIS DE TENSO - DEFORMAO LINEAR EENERGIA DE DEFORMAO ____________________________________________37 2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRPICOS ___________________37 2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRPICOS(ESTADO TRIAXIAL DE TENSES) _______________________________________________38 2.7 - EXTENSOMETRIA __________________________________________________39 2.7.1 - EXTENSMETRO ELTRICO (STRAIN-GAUGE) _______________________________40 2.7.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO E USO ____________________________________42 2.7.3 - TIPOS DE EXTENSMETROS ELTRICOS (STRAIN-GAUGES) __________________43 2.8 - RELAES TENSO - DEFORMAO _________________________________45 2.9- O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _______________________________45 2.9.1 - INTRODUO __________________________________________________________45 2.9.2 SNTESE HISTRICA ____________________________________________________46 2.9.3 - O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _____________________________________48 2.9.4 - EQUAES BSICAS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ________________50 2.10 - EXERCCIOS RESOLVIDOS _________________________________________51 2.11 - EXERCCIOS PROPOSTOS _________________________________________61 CAPTULO 03 - CARACTERSTICAS MECNICAS DOSMATERIAIS -CARREGAMENTO ESTTICO ___________________________63 3.1 - INTRODUO _____________________________________________________63 3.2 - CARACTERSTICAS MECNICAS _____________________________________64 3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTTICO _________________73 3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DCTEIS SOB CARGA ESTTICA _______________________74 ii3.3.2 - EXERCCIO RESOLVIDO _________________________________________________79 3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRGEIS SOB CARGA ESTTICA ______________________80 3.4 - SELEO DE MATERIAIS ___________________________________________83 3.4.1 - MATERIAIS METLICOS _________________________________________________84 3.4.2 - MATERIAIS CERMICOS _________________________________________________87 3.4.3 - MATERIAIS POLIMRICOS _________________________________________88 3.5 - EXERCCIOS PROPOSTOS __________________________________________91 CAPTULO 04 - CARREGAMENTO DINMICO - FADIGA ECONCENTRAO DE TENSES ____________________________________103 4.1 - INTRODUO ______________________________________________________103 4.2 - TESTE DE FADIGA __________________________________________________104 4.3 - DETERMINAO DO LIMITE DE RESISTNCIA FADIGA _________________105 4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS ________________________________________________107 4.4 - LIMITE DE RESISTNCIA PARA VIDA FINITA ____________________________111 4.5 - FADIGA SOB TENSES FLUTUANTES _________________________________112 4.6 - FADIGA SOB TENSES COMBINADAS _________________________________115 4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL __________________________________116 4.8 - GRFICOS P/ DETERMINAO DO FATOR DECONCENTRAO DE TENSES KT _______________________________________117 4.9 - PREVISO DE FADIGA COM CARGASVARIANDO RANDOMICAMENTE __________________________________________119 4.10 - EXERCCIOS RESOLVIDOS _________________________________________120 4.11 - EXERCCIOS PROPOSTOS _________________________________________125 CAPTULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSO _________________129 5.1 - INTRODUO _____________________________________________________129 5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E RVORES _________________________________129 5.3 - CARREGAMENTO ESTTICO ________________________________________131 5.3.1 - CARREGAMENTO ESTTICO SUJEITO FLEXO,TORO E ESFORO AXIAL ____________________________________________________132 5.3.2 - CARREGAMENTO ESTTICO SUJEITO FLEXO E TORO __________________________________________________________133 5.4 EXERCCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTOESTTICO SUJEITO FLEXO E TORO ________________________________134 5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME _________________________135 5.6 - EIXOS E RVORES SUJEITOS FADIGA ______________________________137 5.6.1 - CRITRIO DE FADIGA GOODMAN ________________________________________137 5.6.2 CRITRIO DE FADIGA - SODERBERG ______________________________________138 5.7 EXERCCIOS RESOLVIDOS - CRITRIO DEFADIGA POR SODERBERG ______________________________________________139 5.8 CHAVETAS / PINOS ________________________________________________144 5.9 - UNIO DE EIXOS COM CUBOS ______________________________________145 5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS _________________________________146 5.11 EXERCCIOS RESOLVIDOS CHAVETAS ____________________________147 5.12 - VIBRAO DE EIXOS ______________________________________________149 5.13 - FREQNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRTICA ______________________151 5.14 - FREQNCIA NATURAL DE EIXOS COMDIVERSAS MASSAS ___________________________________________________152 5.15 EXERCCIOS RESOLVIDOS VIBRAES EM EIXOS ___________________155 5.16 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________158 5.17 - VELOCIDADES CRTICAS DE ORDEM SUPERIOR ______________________161 5.18 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________163 5.19 - EXERCCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________164 CAPTULO 06 - LUBRIFICAO E MANCAIS DEDESLIZAMENTO ________________________________________________168 iii6.1 - INTRODUO ____________________________________________________168 6.2 - LUBRIFICANTES. _________________________________________________168 6.3 - VISCOSIDADE ____________________________________________________169 6.4 - CLASSIFICAO DOS MANCAIS. ____________________________________170 6.5 - LUBRIFICAO ELASTODINMICA __________________________________172 6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAO __________________________________________173 6.7 - LUBRIFICAO ESTVEL E INSTVEL _______________________________173 6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAO. __________________________________174 6.9 - LUBRIFICAO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO __________175 6.10 - SUPERFCIES DOS MANCAIS. _____________________________________178 6.11 - INTRODUO AO PROJETO ______________________________________179 6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO ______________________180 6.13 - LEI DE PETROFF ________________________________________________181 6.14 - HIPTESES _____________________________________________________182 6.15 - RELAES GEOMTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. _____________183 6.16 - GRUPAMENTO DE VARIVEIS _____________________________________184 6.17 - MANCAL IDEAL. _________________________________________________186 6.18 - ESPESSURA MNIMA PERMISSVEL DO FILME DE LEO. ______________187 6.19 - CLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. ____________187 6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINMICOS ____________________________________188 6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO ____________________________________188 6.22 - APLICAO ____________________________________________________189 6.23 - MANCAIS TIMOS. _______________________________________________190 6.24 - TAXA DE FOLGA. ________________________________________________191 6.25 - RELAO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIMETRO. _________________191 6.26 - CONSIDERAES SOBRE DISTRIBUIO DAS PRESSESEM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO ___________________________192 6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVS DE UM MANCAL. _________________194 6.28 - CALOR LEVADO PELO LEO. ______________________________________195 6.29 - DISSIPAO DE CALOR DO MANCAL. _______________________________196 6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. ________________________________199 6.31 - CONSTRUO DOS MANCAIS. _____________________________________200 6.32 - MANCAIS DE ESCORA. ____________________________________________200 6.33 - EXERCCIO RESOLVIDO ___________________________________________208 CAPTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS __________________________210 7.1 - INTRODUO ____________________________________________________211 7.2 - DIMENSIONAMENTO ______________________________________________211 7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE _______________________211 7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE _______________________213 7.5 - CARGA E ROTAO VARIVEIS ____________________________________215 7.6 - CARGA MNIMA DOS ROLAMENTOS _________________________________216 7.6.1 - OBSERVAES ________________________________________________________217 7.6.2 - DURAO ATINGVEL - MODIFICADA DA VIDA ______________________________217 7.6.3 - DURAO DA VIDA ATINGVEL ___________________________________________218 7.6.4 - FATOR A23 ____________________________________________________________218 7.6.5 - RELAO DE VISCOSIDADE K ____________________________________________219 7.6.6 - VALOR BSICO A23II ____________________________________________________221 7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S ___________________________________________________224 7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAO DA LIMPEZA ______________225 7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAO V _________227 7.6.10 - LUBRIFICAO COM LEO _____________________________________________229 7.7 - PROCESSO DE SELEO DE ROLAMENTOS __________________________230 7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS ___________________________________________233 7.8.1 - ROLAMENTOS RGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA __233 7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR ________________________235 iv7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS _____________________________________________239 7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CNICOS ______________________________________239 7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS ___________________________________________________240 7.9 EXEMPLO RESOLVIDOS ___________________________________________241 7.10 EXERCCIOS PROPOSTOS ________________________________________248 CAPTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS __________________________250 8.1 - INTRODUO ____________________________________________________250 8.2 - PARAFUSOS DE POTNCIA _________________________________________263 8.3 - PARAFUSOS DE UNIO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA __________266 8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS ________________________________267 8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEAS OU MEMBROS EM COMPRESSO ______________________268 8.3.3 - RESISTNCIA DO PARAFUSO ____________________________________________269 8.3.4 - EXIGNCIAS DO TORQUE ________________________________________________271 8.3.5 - PR-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTTICO ____________________271 8.3.6 EXERCCIOS RESOLVIDOS ________________________________________________274 8.3.7 - CARGA DE FADIGA _____________________________________________________277 8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCNTRICA _____279 8.5 EXERCCIOS PROPOSTOS _________________________________________282 CAPTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS ______________________________285 9.1 - INTRODUO ____________________________________________________285 9.2 TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS _____________________________285 9.3 - CLCULO DAS TENSES SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE _____293 9.4 - SOLDAS EM NGULO CARGA EXCNTRICA _________________________294 9.5 TORO NAS JUNTAS SOLDADAS __________________________________298 9.6 - CARREGAMENTO DINMICO _______________________________________299 9.7 FLEXO EM JUNTAS SOLDADAS ____________________________________300 9.8 EXERCCIOS PROPOSTOS _________________________________________302 CAPTULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAES CINEMTICAS __307 10.1 - INTRODUO ___________________________________________________307 10.2 - ENGRENAGENS CILNDRICAS DE DENTES RETOS ____________________308 10.2.1 - DEFINIES __________________________________________________________308 10.2.2 RAZO DE VELOCIDADES ______________________________________________310 10.2.3 - O MDULO ___________________________________________________________310 10.3 - ENGRENAGENS CILNDRICAS HELICOIDAIS __________________________311 10.3.1 - RELAO DE VELOCIDADES ____________________________________________312 10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MDULOS ___________________________314 10.3.3 - NMERO MNIMO DE DENTES ___________________________________________315 10.3.4 - NGULO DE PRESSO _________________________________________________316 10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM ____________________________________________317 10.3.6 - RELAES ENTRE AS FORAS __________________________________________317 10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE _____________317 10.4 - ENGRENAGENS CNICAS DE DENTES RETOS ________________________320 10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIES ________________________________________320 10.4.2 - RELAO DE VELOCIDADES ____________________________________________322 10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL ________________________________________________322 10.4.4 - NMERO MNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERNCIA _________________323 10.4.5 - RELAO DE TRANSMISSO ____________________________________________324 10.4.6 - MDULO EFETIVO - MDULO MDIO _____________________________________324 10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE _____________________________________________325 10.4.8 - FORAS ATUANTES NAS CNICAS _______________________________________325 10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA _______________________________________327 10.5.1 - INTRODUO _________________________________________________________327 10.5.2 - CARACTERSTICAS PRINCIPAIS __________________________________________328 10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPRICOS ____________________________________________330 10.5.4 - MATERIAIS ____________________________________________________________331 10.5.5 - DIMETROS E DISTNCIA ENTRE CENTROS _______________________________331 v 10.6 - TREM DE ENGRENAGENS _________________________________________333 10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES ______________________________________333 10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS __________________________________334 10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETRIAS _________________________________335 10.7 EXERCCIOS PROPOSTOS ________________________________________337 CAPTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS ______________339 11.1 - INTRODUO ___________________________________________________339 11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS _______________________________________339 11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES _____________________________341 11.3 - ENGRENAGENS CILNDRICAS RETAS ______________________________343 11.3.1 - INTRODUO ________________________________________________________343 11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTNCIA _________________________________344 11.3.3 - CASOS ESPECIAIS ____________________________________________________347 11.3.4 EXERCCIOS RESOLVIDOS _____________________________________________349 11.3.5 -VERIFICAO DO DESGASTE ____________________________________________353 11.3.6 - EXERCCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILNDRICAS _____________________358 11.4 - ENGRENAGENS CILNDRICAS HELICOIDAIS __________________________361 11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTNCIA __________________________________361 11.4.2 - VERIFICAO DO DESGASTE ____________________________________________362 11.4.3 EXERCCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILNDRICAS HELICOIDAIS _________362 11.5 - ENGRENAGENS CNICAS DE DENTES RETOS ________________________365 11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTNCIA __________________________________365 11.5.2 - ROTEIRO DE CLCULO (ESQUEMA) ______________________________________366 11.5.3 - EXERCCIO RESOLVIDO ________________________________________________366 11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA _____________________________________369 11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTNCIA __________________________________369 11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE ____________________________________370 11.6.3 - VERIFICAO DISSIPAO DE CALOR ____________________________________371 11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM _________________________________372 11.6.5 - EXERCCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA _______________________________374 11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA ___________________________377 11.7.1 - TENSO DE FLEXO EM ENGRENAGENS _________________________________377 11.7.2 - EXERCCIOS RESOLVIDOS - TENSO DE FLEXO EM ENGRENAGENS ________379 11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL ___________________________________________384 11.8 EXERCCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL ____________387 11.9 - EXERCCIOS PROPOSTOS _________________________________________390 CAPTULO 12 PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS ________________392 12.1 - INTRODUO ____________________________________________________392 12.2 - MATERIAIS DE FRICO __________________________________________392 12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO ____________________________________393 12.4 - CONSIDERAES SOBRE FREIOS EM VECULOS _____________________395 12.5 - FREIO A TAMBOR ________________________________________________396 12.6 - FREIO A DISCO __________________________________________________401 12.8 - FREIO ABS ______________________________________________________406 12.9 - CONSIDERAES SOBRE PRESSO E DESGASTE ____________________408 12.10 - CONSIDERAES SOBRE ENERGIA ________________________________410 12.11 - CONSIDERAES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO _________________412 12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS _______________________________________413 12.13 - OPERAO A VCUO SUSPENSO __________________________________413 12.14 - OPERAO DE AR SUSPENSO ____________________________________414 12.15 - OPERAO DA BOMBA HIDRULICA _______________________________414 12.16 - OPERAO ELETRO-HIDRULICO _________________________________414 CAPTULO 13 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS _____________________415 13.1 - CIRCULO DE MOHR _______________________________________________415 13.2 - VIGAS __________________________________________________________415 vi13.3 - FADIGA PARA PEAS SEES CIRCULARES OU RETANGULARES _______416 13.4 - CLCULO DO LIMITE DE RESISTNCIA A FADIGA DE PEAS ____________417 13.5 - CLCULO DO LIMITE DE RESISTNCIA A FADIGA DE PEAS ____________418 13.6 DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIO ______________________420 13.7 - PARAFUSO DE POTNCIA _________________________________________421 13.8 FLEXO E TORO EM JUNTAS SOLDADAS __________________________421 13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA ___422 13.10 - MANCAIS HIDRODINMICOS _______________________________________425 13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATLOGO DA SKF ________________________425 13.12 MANCAIS DE DESLIZAMENTO _____________________________________426 13.13 ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA ____________________427 13.14 ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINMICA _____________428 13.15 SELEO DE ROLAMENTOS DE ESFERA ____________________________428 13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR ____429 13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________________________________430 APNDICE _____________________________________________________432 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS __________________________________445 1CAPITULO 01 - INTRODUO 1.1 - INTRODUO A essncia da engenharia a utilizao dos recursos e leis da natureza para beneficiar a humanidade. Projetar uma residncia com todos os detalhes um exemplo desta utilizao. A Engenhariaumacinciaaplicada,nosentidoqueestrelacionadacomentendimentode princpios cientficos e sua aplicao para obteno do alvo desejado. O projeto de engenharia mecnica um segmento maior da engenharia: ele se relaciona com o conceito, projeto, desenvolvimento, refinamento e aplicao de maquinas e elementos de mquinas de todos os tipos. ParamuitosestudantesdeengenhariaadisciplinaElementosdeMquinasasua primeiradisciplinaprofissionalizante,distinguindo-sedasdisciplinasbsicasdecinciae matemtica. As disciplinas profissionalizantes se relacionam com a obteno de solues para problemasprticos.Estassoluesdevemrefletirumentendimentodascinciasmecnicas, mas somente o seu entendimento no suficiente; conhecimento emprico e bom senso esto tambmenvolvidos.Porexemplo,oscientistasnoentendemaeletricidadecompletamente, masistonoimpedemdedesenvolveremequipamentosesistemaseltricosbastanteteise prticos.Demaneiraanloga,oscientistasnoentendemcompletamenteosprocessosde combustooufadigademetal,masosengenheirosmecnicoseindustriaisutilizamo conhecimentodisponvelparadesenvolveremmquinasdecombustobastanteteise necessrias.Quantomaioresconhecimentoscientficosestejamdisponveis,osengenheiros so capazes de desenvolver melhores solues para os problemas prticos.Devidonaturezaprofissionaldoassunto,amaioriadosproblemaselementosde mquinas no apresentam uma correta e nica soluo. Existe um nmero grande de solues trabalhveis,nenhumadasquaispoderiamserchamadasdeincorretas.Masdentreas soluescorretas,algumassoobviamentemelhoresdoqueasoutrasporqueelasrefletem, porexemplo,umconhecimentomaissofisticadodatecnologia,aconceitodeprojetobsico maisengenhoso,umautilizaodatecnologiadeproduomaiseconmicaeefetiva,uma aparncia mais esttica. Estelivroserelacionaprimariamentecomoprojetodecomponentesespecficosde mquinasousistemasmecnicos.Competncianesta rea bsica para asconsideraes e sntesesdemaquinascompletasesistemasnasdisciplinassubseqentescomoProjetode Mquinas,MquinasdeElevaoeTransportes,ProjetodeFimdeCurso,Mquinas Hidrulicas,SistemasMecnicos,dentreoutras.Todoprojetoinicia-sepequeno,comboa uma 2fundamentao.Aprimeirapartedolivroserelacionacomosfundamentosenvolvidos, conceitosdetensoedeformao,propriedadesmecnicasdosmateriais,anliseestticae dinmicadepeas,fadiga,aplicandoemparafusos,molasefreios.Estescomponentesso largamente utilizados e de certa forma so bastante familiares aos estudantes. Noplanejamentodeumacidade,almderesidncias,aspraaselocaisdeacesso comorodovirias,ferrovirias,aeroportos,sofundamentais.Damesmaforma,aconsiderar uma mquina completa, o engenheiro invariavelmente descobre que as condies e restries dosvrioscomponentesestointerrelacionados.Oprojetodeumamoladevlvuladeum motorautomotivo,porexemplo,dependedoespaodisponvelparaamola.Istorepresentar umcompromissocomoespaoparaaspassagensrefrigerantes,folgasparavrios componentes,queiradicionarumanovadimensoparaaimaginaoecriatividade necessriadoengenheiroparaobterumprojetotimodecombinaodoselementos relacionados.Almdasconsideraesfundamentaistecnolgicaseeconmicasdoprojetono desenvolvimentodecomponentesmecnicosesistemas,omodernoengenheirodeve considerar a segurana, ecologia e acima de tudo a qualidade de vida. 1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONOEstapropostafoidesenvolvidaentreoautoreumalunodocursodeMecatrnicada PUC-Minas.Visandoodesenvolvimentoeconstruodeumacadeiraderodasfabricadaem fibradecarbonoeprojetadacomtecnologiadepontaemengenhariadedesenvolvimentode produto,naPUCMinas,figura1.Amotivaodepodemosfabricar,noBrasil,cadeirasde rodasesportivasmaiseficientesparaaprticadeesportesecadeirasmotorizadasque consumammenosbateria.Cadeirasderodasbrasileirasnomesmonveltecnolgicodas desenvolvidasnaEuropaeEstadosUnidos,figuras2e3.Podendoconstruircadeirasmais baratas e acessveis para os portadores de deficincia Paramostraraviabilidadedesseprojetoapresentadoumexemploprticode desenvolvimento e construo de uma bicicleta esportiva de fibra de carbono. Foram utilizadas ferramentas digitais da concepo fabricao final. 3 Figura 1 - Cadeira de fibra de carbono conceito idealizada na PUC-Minas. Figura 2 - Vista explodida da cadeira conceito Aps as pesquisas realizadas, constatou-se que afabricao de uma cadeira de rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a torna super leve e resistente. ComousodosmelhorescomputadoreseprogramasdisponveisnaEngenhariaMecatrnica PUC Minas, foi idealizada uma cadeira escamotevel, High-Tech. Esta cadeira conceito, alm de se destacar pelas suas qualidades mecnicas, ela inova comseuestilomodernoearrojado.Seudesignfoiconcebidoparaquesuascurvasfaama cadeiraparecertorpidaquantoela,proporcionandoprazereatisfaospessoasquea utilizarem, figura 3. Comocadeiraconceitosuafunomostrartendnciasepossibilidadesde projeto.Nosesboos3D, vriosdetalhes comofreios, encaixes e faixas no foram mostrados, para que se pudesse focalizar a ateno apenas nageometria da cadeira, figura 4. 4

Figura 3 - Vista lateral da estrutura da cadeira de rodas.Figura 4 - Vista da cadeira desmontada. Neste projeto, as trs caractersticas principais so: leveza,design e resistncia. LEVEZA: a cadeira de rodas, para ser mais rpida e gil precisa ter o mnimo de peso possvel a fim de diminuir os atritos e inrcias do movimento. DESIGN: sendo uma cadeira esportiva suas curvas devem invocar o sentimento de velocidade, modernidade, agilidade e liberdade de movimento da pessoa que a utiliza. RESISTNCIA: usando a fibra de carbono na fabricao da estrutura, a cadeira de rodas ser mais forte e mais resistente aos impactos e s condies ambientais adversas. 1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO Daconcepoat fabricao de um produto final necessria a execuo de vrias etapas. Esse conjunto de etapas denominado Ciclo de Desenvolvimento de Produto, figura 5. adotada toda uma metodologia cientfica para que o trabalho seja bem sucedido, do incio ao fim, com o produto final testado e livre de eventuais falhas de projeto. idealizao e esboosdesenhos detalhados fabricao do pesquisalista de materiais produto final estudo de viabilidadeclculos e testes Figura 5 -Fases do Ciclo de Desenvolvimento de Produto. Na Era da Informao,o computador vem sendo usado como uma ferramenta valiosa e indispensvelparatodasasreasdoconhecimento.Naengenharia,ocomputadorrealiza clculos e simulaes impossveis de serem feitos por um engenheiro com uso de apenas um lpis e papel. Para os desenhistas e projetistas mostrada na tela do computador, geometrias tridimensionaisquepodemsermovimentadasegiradasemtodasasdireescriandoa sensao de estarem manipulando um objeto virtual, figura 6. Na fabricao os computadores 5controlamasmquinas.Essasmquinasautomatizadasrealizamafabricaodaspeas mecnicascom preciso evelocidade sem a interveno do homem diminuindo assim erros e custos. Com toda essa informatizao, o ciclo de desenvolvimento de produto teve uma reduo de custo e tempo, e um aumento significativo na qualidade final do produto. Figura 5 - Computador de ultima gerao utilizado do projeto de uma moto de corrida. 1.2.2 -CARACTERSTICAS MECNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER LEVEZA & RESISTNCIA LEVEZA A cadeira de rodas, para ser mais rpida e gil precisa ter o mnimo de peso possvel a fim de diminuir os atritos e inrcias do movimento Figura 6 - Vista lateral do quadro da cadeira de rodas. RESISTNCIA Apspesquisas realizadas, os autores constataram que a fabricao de uma cadeira de rodasesportiva,utilizandofibradecarbononasuaestrutura,atornariasuperlevee resistente,emcomparaoaoaoeoalumnio.Afibradecarbonoutilizadanaindstria esportiva para fabricao de raquetes de tnis e bicicletas . Na indstria aeroespacial para construo de foguetes e avies. 6Paraaprticadeesportes,umacadeiraderodasprecisatercaractersticasespeciais sofrendo alguns ajustes em sua configurao .Abaixo so listadas algumas recomendaes:Aajustagemdo assento parabaixo a fim de obter maior estabilidade , mais firmeza e ummaiorraioderodadisponvelparaimpulso.Oencostodascostasprecisaestaro maisprximopossveldocorpo(aproximadamenteperpendicularaopiso)paramaior conforto e melhor resistncia ao impacto.A posio do centro de gravidade de seu corpo em relao aos eixos das rodas afeta a mobilidade.Os eixos das rodas e a cadeira colocados mais a frente, proporcionar maiormobilidade egiromaisrpido.Devemserlevadasemcontanestesajustesasprefernciase caractersticas pessoais de cada praticante. FAIXAS Para melhorar o equilbrio e a mobilidade:Faixasdetraxecinturadependendodotipodelesoestasfaixasmelhoraroo equilbrioeaumentaroaconfiana.Entretanto,asfaixasdetraxinterferemcoma movimentao da cadeira.Faixas de pernas uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedir que as pernas afastem durante o jogo, dar maior estabilidade ao corpo e aumentar a mobilidade. Figura 7 - Faixas de pernas. Faixas de pernas uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedir que as pernas afastem durante o jogo, dar maior estabilidade ao corpo e aumentar a mobilidade 7 PNEUS Pneus com cmaras de alta presso do melhor desempenho: Pneus pretos devem ser evitados para no marcar a quadra.A cadeira ser to mais manobrvel quanto maior for a cambagem das rodas (de 3 a 10graus, aproximadamente). RODAS DIANTEIRAS De 4 a 5 polegadas (10 a 12.5 cm) aproximadamente de dimetroSe maiores, reduzem a habilidadede giro.Se menores no rodam com suavidade e qualquer irregularidade no piso far a cadeira trepidar. No muito finas para evitar danos na superfcie da quadra. Figura 8 - Esboos do quadro de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono. Atualmente,otrabalhopropostoseencontranoprimeiroestgiodoCiclode Desenvolvimento de Produto, na etapa de design e idealizao, figura 10. Os esboos de uma CadeiraConceitodefibradecarbonomostramapossibilidadedesedesenvolvereconstruir uma cadeira de rodas: leve, escamotevel, resistente e moderna, utilizando tecnologias digitais CAD/CAE/CAM.TecnologiasdePontaempregadaspelasindstriasautomotivase aeroespaciaisnodesenvolvimentosdeseusprodutos.Osautoresesperamque,pormeio destaapresentao,parceriaserecursosfinanceirossejamconseguidosparaquesepossadar continuidadeno projeto proposto. 8 Figura 9 - Design e idealizao 1.3 - CONSIDERAES SOBRE A SEGURANA Aqualidadedeumprojetopodesermedidapormuitoscritrios.semprenecessrio calcular um ou mais fatores de segurana para estimar a possibilidade de falha.Nopassado,osengenheirosderammuitovaloraosaspectosfuncionaiseeconmicos dos novos produtos. Seguranapessoalumaconsideraoqueosengenheirostemsempreemmente, masagorademandaumaumentonanfase.Emcomparaocomaspectoscomputacionais precisoscomotensoedeformao,adeterminaodeseguranacomoumassunto indefinido,complicadoporfatorespsicolgicosesociolgicos.Istotemdesafiadoos engenheirosparalevaremcontatodososfatos pertinentes eentotomar boas decises que venham a refletir o entendimento, imaginao, engenhosidade e julgamento.O primeiro passo maisimportantenodesenvolvimentodacompetnciaemengenharianareadesegurana cultivarumentendimentodesuaimportncia.Aseguranadeumprodutodegrandevalor paraoslegisladores,juizes,promotoresbemcomoparaosprofissionaisdeseguradoras.No entanto,estesindivduosnopodemcontribuirdiretamenteparaaseguranadeumproduto; elessomentepodemconcordarcomaurgnciadeseconsiderarumanfaseadequadana seguranaparaodesenvolvimentodeengenhariadeprodutos.narealidadeoengenheiro quedeverprocessarodesenvolvimentodeprodutoseprojetoscomaltograu de segurana. Deverterengenhosidade,capacidadeimaginativaosuficienteparaanteciparsituaes potenciais de alto risco para o produto. 91.4 - FATOR DE SEGURANA Umfatordeseguranapodeserexpressodevriasmaneiras.Eletipicamenteuma relao entre duas quantidades que tenham as mesmas unidades; tais como resistncia/tenso, cargacrtica/cargaaplicada,mximociclo/ciclosaplicadosoumximavelocidadede segurana/velocidade de operao. O fator de segurana ser sempre adimensional.A formade expresso para um fator de segurana pode ser escolhida baseado no tipo de carga atuante.Se o elemento de mquina sujeito a uma carga que varia ciclicamente com o tempo, ele poder sofrer uma falha por fadiga.A resistncia do material para alguns tipos de carga de fadiga pode ser expressa como um nmero mximo de ciclos de tenso reversa a um dado nvel de tenso. Em tais casos, pode ser adequado expressar o fator de segurana como arelaodomximonmerodeciclosesperadosemumapossvelfalhadomaterialparao nmero de ciclos aplicados ao elemento em servio considerando sua vida esperada.Uma vez que haver mais de um modo potencial de falha para qualquer elemento de falha, poder haver mais de um valor para o fator de segurana. O menor valor do fator de segurana para qualquer peadegrandevaliaumavezque ele ir predizer omodocomo se imagina que a pea ir falhar.Quando ele se torna unitrio, a tenso na pea ser igual resistncia do material (ou a carga aplicada ser igual carga que irfalhar, etc.) e afalha ir ocorrer. Portanto o fator de segurana ser sempre maior que 1. 1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANA Escolhendoumfatordeseguranafreqentementeumaproposioconfusaparao projetistaprincipiante.Sotantasasvariveisenvolvidas,apossibilidadedefracassose apresentacomtantaintensidade,queoprojetistanovato,emgeral,superestima,adotando fatores de segurana grandes demais. O FS deve ser fixado com base em projetos existentes, emindicaestabeladas,geraisouparticulares,comodiscernimentoqueoconhecimento terico propicia ao projetista. Influenciam fortemente o valor do FS os seguintes elementos: a)materialdapea(dctil,quebradio,homogneo,especificaesbemconhecidas, etc.); b)cargaqueatuanapea(constante,varivel,mododeaplicao,bemconhecida, sobrecargas possveis, etc.); c) perigo de vida (do operador da mquina, de elementos vizinhos, etc.); d) perigo da propriedade; e) classe da mquina. 10 Os dois primeiros itens, a) e b), servem de ponto de partida para a escolha inicial, ordem de grandeza do fator de segurana, FS. Os trs outros obrigaro a aumentar o valor fixado.O fatordeseguranapodesertraduzidocomoumamedidadeincertezadoprojetistanos modelos analticos, nas teorias de falhas, nas propriedades do material a ser utilizado. Quanto que o fator de segurana dever ser maior que 1 (um), depender de muitos fatores incluindo o nveldeconfiananomodeloemqueosclculosserobaseados,noconhecimentodafaixa daspossveiscondiesdecargaatuantesenaconfianasobreasinformaesdisponveis sobrearesistnciadomaterial.Umfatordeseguranamenorpoderseradotadoquando testesextensosforamrealizadosemprottiposfsicosdoprojetoparaprovaravalidadedo modelodeengenhariaedoprojetoejsetenhadadosdostestessobreasresistnciasdo materialemparticular. No se conhecendo as caractersticas mecnicas testadasdo material, um fator de segurana maior dever ser adotado.Na ausncia de qualquer norma de projetoquepossaespecificarumfatordeseguranaparacasosparticulares,aescolhadofatorde seguranaenvolveumadecisodeengenhariaasertomada.Ummtodorazovel determinarasmaiorescargasesperadasemservio(incluindopossveissobrecargas)e resistnciasmnimasesperadasparaomaterial,baseando,portantoofatordesegurana nestesdados.Entoofatordeseguranatorna-seumarazovelmedidadeincerteza.Na industria aeronutica, fatores de segurana para aeronaves comerciais esto na faixa de 1,2 a 1,5. Aeronaves militares podem Ter o fator de segurana menor do que 1,1 , s que a tripulao todapossuipra-quedas,almdoqueospilotosdetestepossuemaltssimossalrios.Os msseispossuemfatordeseguranaiguala1,masnotemtripulaoenoseesperaque precisemretornaraorigem.Estespequenosfatoresdeseguranaemaeronavesso necessriosparamanterospesosbaixosesojustificadospelaanliseanalticasofisticada, comtestesdosmateriaisusados,extensotestesdeprottiposdosprojetosgeralmenteem escala real com aplicao de cargas dinmicas e medio de seus efeitos, e rigoroso servio de inspeopara pequenas falhas de equipamentos. Vriosautoresapresentamemseuscomentrios,ofatordeseguranacomoumprodutode subfatores. Assim por exemplo, se a tenso perigosa o limite de resistncia trao (limite de ruptura), pode-se fazer: FS= a x b x c x d Onde a=relaodeelasticidade(limitederesistnciaatrao/limitederesistnciaao escoamento);b= fator que leva em conta o tipo de carga. Pode-se tomar: cargas constantes: b=1; 11 Carga varivel sem reverso:b=1,5 a 2,0; Carga varivel com reverso:b=2,0 a 3,0. c= fator que leva em conta o modo de aplicao da caga. Para este fator podem-se seguir seguintes indicaes: Carga constante, gradualmente aplicada: c=1; Carga constante, subitamente aplicada: c=2; Choque: c>2. d=margemoufatorrealdesegurana.Estefatorvaria,emgeral,entre1,5a3.Para materiais dcteis, pode-se adotar a faixa de 1,5 a 2. Para materiais quebradios, tem-se 2,0 a 3,0.InformaoMateriais dcteisFS MaterialQualidade da informaoF1 Dadossobreas propriedadesdo materialdisponveis no teste O material real foi usado para ser testado Resultados de teste de Material bem representativo Resultadosdetestesdematerialrelativ. representativo Resultadosdetestesdematerialpouco representativo 1,3 2 3 5 AmbienteQualidade de informaesF2 Condiesambientais de trabalho Idnticas ao teste do material Ambiente de laboratrio estvel Ambiente moderadamente varivel Ambiente extremamente varivel 1,3 2 3 5 CargasQualidade de informaesF3 Modelosanalticos para carga e tenso Modelosforamtestadosecomparadoscomo experimento Modelos representam o sistema com preciso Modelos representam o sistema com aproximaes Modelos so aproximaes rudimentares 1,3 2 3 5 Tabela 1 Materiais dcteis. Tal como foi apresentado acima, o FS permite uma determinao em que a dificuldade foi dividida, tendo o projetista pontos de apoio para tomar sua deciso. Alguns cuidados devem ser levados em conta. O maior ou menor conhecimento do material e da carga aproximamou afastam o FS dos valores mnimos dados. A presena de choque normalmente leva o FS para 12 os valores mais altos, em geral de 5 a 8, para os materiais dcteis e aproximadamente o triplo paraosmateriaisquebradios.AoescolherumFS,oprojetistadeveverificarsenoexiste algum valor imposto por lei ou mandado adotar por normas tcnicas. o caso, por exemplo, de cabosparaelevadores,caldeiras,pontesrolantes,etc.Quandoapeaapresenta descontinuidadesouqualquerfatorquemudeadistribuiouniformedoesforo,acarretando concentraodetenses,osvaloresdeFSnodevemseraplicadossemumestudomais minucioso.OFSsobreolimitederesistnciafadiga,nopodeserdeterminadopela aplicao da expresso acima, sem um anlise mais profunda. Algumasdiretrizesparaaescolhadofator de segurana em umelementode mquina podemserdefinidas,baseadasnaqualidadeeadequaodapropriedadedomaterial disponvel, das condies ambientais esperadas comparadas com aquelas nas quais o teste do materialfoirealizadoeaprecisodacargaeanlisedetensodosmodelosqueforam desenvolvidosparaestaanlise.Atabela1mostraumconjuntodefatoresparamateriais dcteisquepodemserescolhidosemcadaumadastrscategoriaslistadas.Ofatorde segurana resultante tomado como o maior dos trs fatores escolhidos. Aductilidadeoufragilidadedomaterialdeveserconsiderada.Materiaisfrgeisso projetados em relao resistncia trao ou ltima, ento a falha significa fratura.Materiais dcteis sob carga esttica so projetados em relao ao limite de resistncia ao escoamento e seesperaquemostremalgumsinaldealertadafalhaantesqueafraturaaconteaamenos que as fissuras indiquem a possibilidade de falha de fratura mecnica. Por estas razes, o fator de segurana para materiais frgeis freqentemente o dobro do usado para materiais dcteis na mesma situao. Estesmtodosdedeterminaodofatordeseguranasoapenasdiretrizesparaum ponto de partida. Obviamente so sujeitos a julgamento do projetista na seleo dos fatores em cadacategoria.Oprojetistaoresponsvelltimoparaobtenodaseguranadoprojeto. Fatoresdeseguranamaioresqueostabeladospodemseradequadosemalgumas circunstncias. 1.6 - CONSIDERAES ECOLGICAS Aspessoasdependemnoseuambientedear,gua,alimentaoemateriaispara vestimenta e agasalho. Na sociedade primitiva, os utenslios eram naturalmente reciclveis pelo usorepetido.Quandoforamintroduzidas,anaturezatornou-seincapazdeereciclarestas periodicamente,interrompendoosciclosnaturaisecolgicos.Ossistemaseconmicos permitemosprodutosseremfabricadosemmassaevendidosapreosquefreqentemente 13 no refletem o custo verdadeiro para a sociedade em termos do consumo de fontes naturais e perdas ecolgicas. Agora que a sociedade est tornando-se mais consciente destes problemas, exignciasnalegislaoeumaprevisodecustostotaismaisrealsticaestotendoum impactocrescentenosprojetosdeengenharia.Podem-secolocarcomoobjetivosecolgicos bsicos de um projeto de engenharia mecnica de uma maneira simples: (1)autilizarmateriaisquesejamrecicladoseconomicamentedentrodeperodos razoveis de tempo sem danos ao ar e poluio gua. (2) minimizar a taxa de consumo de fontes de energia no reciclveis (tais como fluidos fsseis) para efeito de conservao destes recursos e minimizar a poluio trmica.Segue uma lista de pontos para serem considerados: 1. Considere todos os aspectos dos objetivos bsicos do projeto envolvido, para verificar setodostmsentido.Existemmtodosalternativosquandoseconsideramefeitos ecolgicos? Eles representam a melhor alternativa? 2.Apsaceitarosobjetivosbsicosdoprojeto,oprximopassoumarevisodos conceitos gerais que envolveram o projeto proposto. 3.Umaconsideraoimportanteoprojetoparareciclagem.Ocicloecolgico completoincluindoareutilizaodedispositivoseconjuntostornam-seacadadiaque passa de uma grande importncia. A industria automobilstica j utiliza estes conceitos. 4. Seleo de materiais com fatores ecolgicos em mente.5.Aoespecificaroprocessamento,fatorescomoapoluiodetodosostipos,o consumodeenergia,aeficinciadomaterialutilizadosoconsideraesbastante importantes. 6. Empacotamento outra importante rea para conservao de recursos e reduo da poluio. Uso de materiais reciclados e reutilizveis para empacotamento so reasque devem receber especial ateno. 1.7 - CONSIDERAES SOCIAIS Assoluesparaosproblemasemqualquerreadaengenhariacomeamcomsua definiobemclara.Oobjetivobsicodequalquerprojetodeengenhariamelhorara qualidadedevidadenossasociedade.Poderamoscitarvriosfatorescomosadefsica, materiais bem acabados, segurana ambiental, igualdade de oportunidades; liberdade pessoal epacientesespeciais.Vriasconsideraesdeprojetopodemserincompatveisatqueo engenheiro consiga uma soluo imaginativa e genial. 14 Todos os produtos de engenharia esto intimamente ligados a relaes sociais. Grande partedapopulaotrabalhacomorganizaescujafunosejaadepesquisa,projeto, desenvolvimento, fabricao, mercado, e servio de produtos de engenharia. O esforo pessoal aliado a fontes naturais entram no sistema de produo gerando produtos e materiais que sero teiseadequados.Asexperinciassodedoistipos:(1)experincia devido a trabalho direto dosindivduos,queconstrutivoesatisfatrio,e(2)conhecimentoempricoobtidosobrea efetivaidadedosistematotal,comimplicaesparaamelhoriadoseufuturo.Osprodutos acabados servem a todas as pessoas at serem descartados, quando ento eles sero fontes de materiais reciclados de longo ou curto termo e possivelmente poluio. Uma lista de fatores queconstituemumndicedequalidadedevidadevelevaremcontafatorespsicolgicos.As pessoasexibemumconjuntoinfinitodevariveisecaractersticas.Sabe-setambmque,no entantoexistemcertascaractersticasinerentesenecessidadesquepermanecemconstantes paratodososindivduosepresumivelmenteemtodosostempos.Seriamassimdefinidas como: 1. Sobrevivncia 2. Segurana 3. Aceitao Social 4. Status 5. Auto-satisfao Oprimeironvelnecessidadedeimediatasobrevivncia-alimentao,roupa, vestimenta-aqui e agora. O segundo nvel envolve segurana, para a prpria sobrevivncia e no futuro. O terceiro nvel tem a ver com a aceitao social. As pessoas precisam se interagir com a famlia, com o grupos sociais, necessitando de amor e aceitao. O quarto nvel o de status, reconhecimento, onde se deseja Ter o respeito e admirao pelo que se no seu ambiente de relacionamentos.Omaisaltonvelodeautosatisfao,quandosecrescenadireode alcanar um potencial completo, e obter como resultado satisfao pena.Em qualquer lugar e tempo,aspessoasemcidades,estadosenaesoperamemumoumaisdestesnveis, podendo se pensar em uma escada com estes degraus de uma existncia primitiva at alcanar uma rica qualidade de vida. Vimos nas fotos o planejamento da cidade de Belo Horizonte, local aprazvel,serradocurral,bemplanejada,comlindosprdios,arborizao,e,noentanto atualmentecominmerosproblemasedificuldadesdeseushabitantespossuremestarica qualidadedevidaalmejada.Historicamente,aengenhariatemfeitoesforosdirigidos primariamente para os nveis 1 e 2.Mais recentemente, uma porcentagem maior de sistemas deproduotemsidoprojetadosparaproverasociedadecomprodutosqueestejamacima 15 dasnecessidadesbsicasdesobrevivnciaesegurana,pensandonacontribuiode satisfazer as legtimas e maiores necessidades do consumidor. 1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECNICOS Ummtodoessencialparaatacarosproblemasdecomponentesdemquinas formular adequadamente e apresentar suas solues com preciso. A formulao do problema requerconsideraodasituaofsicaacopladaasituaomatemtica.Arepresentao matemticada situao fsica uma descrio ideal ou modelo que se aproxima do problema fsico. O primeiro passo na resoluo dos problemas de componentes mecnicos definir (ou compreender)oproblema.Osprximospassossoparadefinirousintetizaraestrutura, identificar as interaes com o ambiente, realizar hipteses adequadas pelo uso de lies fsicas pertinentes,relaeseregrasqueparametricamenterelacionamageometriaeo comportamento do componente ou sistema. O ltimo passo checar os resultados e apresentar comentrios. A maioria das anlises utiliza, direta e indiretamente, Esttica e dinmica Mecnica dos materiais Frmulas (tabelas, diagramas, grficos) Princpio de conservao de massa e energia Omaiorobjetivodesteslivrosauxiliarosestudantesaaprenderemcomoresolveros problemas de engenharia que envolva componentes mecnicos. Umingredientebsicodasociedadehumanaamudana.Osengenheirosdeveriam procurar entender no somente as necessidades da sociedade de hoje, mas tambm a direo erapidezdasmudanasdasociedadequeestoacontecendo.Maisainda,precisamos entenderainflunciadatecnologia-edoselementosdemquinasmecnicosesistemasde produoassociadosemparticular-nestasmudanas.Talvezomaisimportanteobjetivodo futuro engenheiro ser o de dar a sociedade sua contribuio que ir promover esta mudana na direo de uma melhoria no ndice de qualidade de vida. 1.9 - UNIDADES Diversossistemasdeunidadessousadosnaengenharia.OSistemaInternacional (SI),osistemainglsps-libras-segundo(fps),osistemaamericano,polegadas,libras, segundo(ips) e osistema mtrico pouco usado, centmetro, grama e segundo(cgs). 16 Todos os sistemas foram criados da escolha de trs das quantidades da expresso geral da Segunda lei de Newton : 2.tL mF =onde F a fora, m a massa, L o comprimento e t o tempo. As unidades para estas trs variveis podem ser escolhidas e a outra ento derivada em termos das unidades escolhidas. As trs unidades escolhidas so chamadas de unidades bsicas, e as restantes so chamadas de unidades derivadas. A maioria da confuso que aparece quando da converso entre as unidades do sistema ingls e internacional devida ao fato de que o sistema internacional utiliza diferente conjunto de base unitria do sistema ingls.O erro maior na converso de unidades de peso (que so as fora libra) para unidade de massa.A relao entre massa e peso gcPM =ondegcqueaaceleraogravitacionaliguala32,17ps/segundoaoquadradooque equivale a 386polegadas/segundo ao quadrado. Quando se utiliza todos os comprimentos em polegadas e utiliza gc=32,17 ps/Seg2 para computar massa, incorre-se em um erro de um fator 12 nos resultados.Pior ainda quando o estudante esquece de converter o peso para massa. Osresultadosdesteclculoteroumerrode32ou386,suficienteparaafundarumnavioou levar um avio a espatifar-se. O valor da massa necessrio na Segunda lei de Newton para determinar foras devido aaceleraes.AsunidadesdemassanaequaoF=m.apodemserg,kgdependendodo sistemaaserutilizado.Entonosistemaingls,opesoWemlbfdeveserdivididopela acelerao devido a gravidade gc como indicado para obteno da quantidade de massapela equao F= ma. Ainda maior confuso feita usando a unidade de libra-massa. Esta unidade freqentemente usadaemfluidodinmicoetermodinmico,eaparecedevidoaousodaformadiferenteda equao de Newton: gca mF.=onde m=massa em libramassa; a =acelerao e gc =constante gravitacional.Na terra, o valor demassadeumobjetomedidoemlibra-massa numericamente igual ao seu peso em libra-fora.Contudo,oestudantedeveselembrardedividirovalordememlibra-massaporgc 17 quandousaraestaformadaequaodeNewton.Entolibra-massairserdivididaoupor 32,17 ou 386 quando se calcula a fora dinmica. Osistemainternacional(SI)requerqueoscomprimentossejammedidosemmetros, massa em kilogramas (kg), e o tempo em segundos (sec).A fora derivada da lei de Newton e a unidade : kg m/sec2 = newtons(N) No sistema SI, h distintos nomes para massa e fora que ajudam a aliviar a confuso. Quando seutilizaaconversodoSIparaosistemaingls,deve-seestaralertaparaofatodequea foraseconvertedeNewtons(N)paralibras(lb).AconstantegravitacionalnosistemaSI aproximadamente de 9,81 m/sec2. Nestelivropretende-seusarpreferencialmenteosistemainternacional(SI),porm considerandoquevrioselementosdemquinasusadosnoBrasilsofabricadosnoexterior, principalmente nos Estados Unidos da Amrica do Norte, o sistema ingls tambm ser usado umavezqueosalunosprecisamsefamiliarizarcomosdoissistemas.Assimporexemplo, parafusosde1/2polegadadedimetro,cordodesoldade1/4depolegadadeespessura, correiasde60polegadasdecomprimento,cabosdeaode1polegadadedimetroso bastanteusadosnomeiocomercialedeengenharia.Damesmaformaelementoscomo engrenagenscilndricastambmusamosistemainglseinternacional.Josequipamentos adquiridos na Alemanha, usam a norma DIN, em que o sistema o internacional. Oestudantedeengenhariadevertomarprecauoesemprechecarasunidadesem qualquer equao escrita para a soluo de um problema tcnico, seja na universidade seja na prtica profissional. Voc poder estar salvando uma vida ao fazer isto. 18 1.10 - COMENTRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Estetrabalhooraapresentado,frutodeestudoseprticaprofissionalaolongode30 anosdeatividadesnareadeengenharia,contemplaaosleitorescomvriosprogramas computacionais que foram desenvolvidos e orientados para os alunos dos cursos de elementos demquinaseprojetodemquinas.Algunsdestesprogramasestocitadososnomesdos alunosquetrabalharamsobrenossaorientao.Soprogramasquecomplementamaparte tericaconceituale,portantopermitemumaanlisedeexerccioscomrapidezefacilidade. claroquealgumpequenoerropossaexistirnestesprogramas,pormtodoschecadose funcionamperfeitamentedentrodamodernaengenhariamecnica.Sugestesecomentrios serobemvindosparaqueemoutraediopossamosaindamaismelhorareaperfeioaro trabalho original. 1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECNICO Osprojetistasdecomponentesmecnicosouestruturaisnecessitamdemtodosde clculoquepermitamavaliar,deumaformamaisracional,aprobabilidadedefalhadeum componente ao longo da vida operacional prevista para o mesmo. Os mtodos probabilsticos, baseadosemconceitosdeconfiabilidade,temsidoempregadoparaestefim,sendoestes centradosnaformulaodefunesdedesempenho,asquaisexpressamummododefalha especfico do componente, sendo as variveis desta consideradas de natureza aleatria. Estes mtodospermitemcalcularaprobabilidadedestafunoassumirvaloresinferioresazero, representando a falha do componente. Nestetrabalhoapresentam-seosfundamentosdestesmtodosprobabilsticos,bem como se aplica os mesmos para definir a probabilidade de falha de componentes mecnicos e estruturais, considerando como modos de falha o escoamento e a fadiga. Adicionalmenteavalia-searelaoentreaprobabilidadedefalhaeocoeficientede seguranausualmenteempregadonostradicionaisCritriosdeProjetodecomponentes mecnicos e estruturais. O emprego de mtodos probabilsticos no dimensionamento de elementos estruturais ou componentesmecnicostemcomoobjetivoprojetarumcomponentecujaprobabilidadede falha,aolongodavidaoperacional,tenhaumamagnitudeconhecida,podendoestaser controladaaolongodoprocessodesnteseestrutural.Estesmtodosprobabilsticosdiferem dostradicionaisCritriosdeProjetodecomponentesmecnicosouestruturais,osquaisso 19 baseadosnoempregodecoeficientesdesegurana, que no informam, de formaexplcitaa probabilidade de falha que est sendo considerada no dimensionamento do componente. Hportantoumacrescenteimportnciaqueosprojetistasestruturaistemdadoaouso de mtodos probabilsticos no projeto de estruturas de grande responsabilidade, em funo da perda de vidas humanas, prejuzos econmicos ou mesmo danos ambientais de grande monta associadas falha destas estruturas. Muitos fenmenos observados na natureza apresentam umcerto grau de incerteza, ou seja,osresultadosdaocorrnciadosmesmosnopodemserprevistoscomexatido.Para estesfenmenosfsicos,casosejamexecutadasavaliaesdosresultadosobtidoscoma realizao de uma seqncia de ensaios que simulem a ocorrncia de um fenmeno especfico, verifica-seavariabilidadedosmesmos.Dentreestesresultados,observa-sequealguns apresentam umamaiorfreqncia deocorrncia que outros. Esta variabilidade nos resultados obtidos,quandodaexecuodeexperimentosquerepresentamumfenmenofsico, denominadadeincerteza.Oprojetodemuitossistemasdeengenhariautilizacomoconceito bsicoparaaoperaoseguradomesmoa garantia de que a sua capacidade ou resistncia seja superior demanda dele exigida. Nocampodaengenhariadeestruturasoudaengenhariamecnica,acapacidade representadapelaresistnciamecnicadeumcomponenteouconjuntodecomponentes, enquanto que a demanda est relacionada com a ao de uma combinao de cargas atuantes sobreosmembrosestruturaisquecompemoconjuntoemestudo.Umprojetoestruturalou mecnicoconsideradoaptoparaoperaoquandoasuaresistnciaexcedeademanda representada pela ao do carregamento externo. No entanto, a resistncia mecnica e a ao docarregamentoexternosoconsideradasvariveisaleatrias,ouseja,apresentamuma variabilidadenasuamagnitude,caracterizandoaexistnciadeincertezasassociadascomos valoresdaresistnciamecnicae/oucomaaodocarregamentoexterno,queafetama possibilidade do sistema estrutural ou mecnico manter a sua capacidade operacional ao longo da vida til definida para o mesmo. Considerando as incertezas associadas com as variveis acima citadas, o desempenho deumaestruturaoucomponentemecnico,aolongodasuavidaoperacional,nopodeser garantidopelosprojetistasestruturais,havendoumaprobabilidadenonuladaocorrnciade falhaaolongodestavida,emconformidadecomumcritriodedesempenhoespecfico.A possibilidadedaestruturaoperarsatisfatoriamente,emconformidadecomascondiesde projeto,aolongodesuavidatil,calculadacomocomplementodaprobabilidadedefalha, definidacomoConfiabilidade.Ousodosconceitosdeconfiabilidadenaanliseesntesede 20 componentesousistemasmecnicoseestruturaistemcomoobjetivomaximizarosnveisde segurana estrutural e minimizar os custos de projeto e fabricao, buscando-se uma avaliao probabilsticadapossibilidadedeocorrnciadefalhaestrutural,aoinvsdautilizaodos tradicionais coeficientes de segurana empregados nos Critrios de Projeto. Estes coeficientes, definidos em funo da experincia adquirida no passado, tanto no projeto como na operao dealgunstiposdeestruturasoucomponentesmecnicos,emborafacilitematarefado projetistaquandodaexecuodasnteseestrutural,nopermitemumaavaliaoda probabilidade de falha que est sendo admitida pelo Critrio de Projeto. OusodeCritriosdeProjetobaseadosemanlisesprobabilsticaspermiteaclara definio da probabilidade de falha de um sistema estrutural, bem como propicia a possibilidade de estudo da influncia de cada varivel aleatria sobre a segurana do sistema. Mesmo com a introduo de consideraes probabilsticas, os Critrios de Projeto devem considerar a opinio deespecialistas,comgrandeexperincianaexecuodeprojetosestruturaisoumecnicos, principalmentequandodadefiniodasdispersesassociadassvariveisaleatriasepara seleodasformulaesmatemticasutilizadasparamodelarummecanismoespecficode falha.Deumaformasimplificada,oproblemadadefiniodapossibilidadedefalhadeum componente estrutural pode ser analisado com o emprego de um modelo de comparao entre uma oferta e uma demanda. A oferta a resistncia mecnica do componente, com respeito a ummododefalhaespecfico,eademandaacombinaodeefeitosassociadosaos carregamentos externos que agem sobre o mesmo ao longo de sua vida operacional. A falha do componenteestruturalocorrequandoaresistnciamecnicatemmagnitudeinferior magnitudedosefeitosgeradospelaaodocarregamentoexterno.Oproblemabsicodo projetistaestruturalposicionarasfunesdensidadedeprobabilidadeassociadascoma resistncia mecnica e com a solicitao externa de forma a minimizar a probabilidade de falha, controlandoasdimenseseomaterialdocomponenteestrutural.OstradicionaisCritriosde Projetoempregadosnodimensionamentodecomponentesmecnicosouestruturais consideram que tanto a resistncia mecnica como a solicitao externa so representadas por valoresdeterminsticos,denominadosdevaloresnominais.Aresistnciamecnicanominal umvalorconservador,afastadodovalormdioporumnmerointeirodedesviospadres, usualmentedoisoutrs,deformaaobter-seumvalorinferioraovalormdio,minimizandoa resistnciamecnicaparaascondiesdeprojeto.Asolicitaoexternanominaltem magnitudesuperioraovalormdio,sendoesteafastadodomesmoporumnmerointeiro de desvios padres, maximizando a solicitao externa. O projeto estrutural executado de forma 21 aafastararesistncianominaldasolicitaonominal,limitandoestaltimaaumafraoda resistnciamecnicanominal,comoempregododenominadofatordesegurana,ouseja, minimizaapossibilidadedasolicitaoexternasuperararesistnciamecnica.Estemtodo, tradicionalmenteconhecidocomoMtododasTensesAdmissveis,limitaasolicitao mximaatuantenocomponenteestrutural,expressaemtermosdeumatensoadmissvel, comoumaporcentagemdaresistnciamecnicadomaterialempregadonasuafabricao, devendooarranjo estrutural e as dimenses dos elementos de mquinas, garantir que, sob a aodocarregamentoexternoconsiderado no projeto, as tenses atuantes nestes elementos tenham,nomximo,amesmamagnitudedatensoadmissvel.Dessaforma,o conservadorismoeaseguranaintroduzidosnoprojetoestrutural,comoempregodos coeficientesdesegurana,sodependentesdasincertezasassociadascomaresistncia mecnicaecomasolicitaoexterna,bemcomodaformacomquesodefinidososvalores nominais das mesmas. Usualmente,estesvaloresnominaissoselecionadosapartirdaanlisedadisperso associadacomaresistnciamecnicaecomasolicitaoexterna,paraumafamliade estruturas,taiscomoestruturasnavais, aeronuticase mecnicas, utilizando a experincia na construo e operao destas estruturas, e a opinio de consultores especialistas. Aseleodofatordeseguranasegueprocedimentossimilaresaosacimadescritos, empregadosparadefiniodosvaloresnominais.OmesmoobjetivodostradicionaisCritrios deProjeto,baseadosnousodofatoroucoeficientedesegurana,oqualminimizara sobreposioentreasfunesdensidadedeprobabilidadedaresistnciamecnicaeda solicitao externa, pode ser obtido de uma forma que se baseia no clculo da probabilidade da resistnciamecnicasersuperadapelasolicitaoexterna,denominadanestetextode probabilidadedefalha,sendoestadependentedasincertezasassociadascomasvariveis acimacitadas.OsCritriosdeProjetobaseadosnosconceitosdeconfiabilidadetempor objetivominimizaraprobabilidadedefalha,considerandocomovariveisaleatrias resistncia mecnica e a solicitao externa, utilizando as dimenses do componente estrutural eomaterialdomesmocomoelementosqueinfluenciamamagnitudeeavariabilidadedas variveisaleatrias.Autilizaodosconceitosdeconfiabilidadenaanlisee/ousntesede componentes mecnicos ou estruturais apresenta algumas peculiaridades. 22 1.12 - FORMULAO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL Oclculodaconfiabilidadedeumcomponentemecnicoouestruturalestassociado comodesenvolvimentodeumafunodedesempenhoquerepresentaaformulao matemticaempregadaparamodelarumdadomecanismodefalhaqueocomponenteem estudoestsujeitoaapresentar.Deumaformagenrica,afunodedesempenhoparaum componente mecnico ou estrutural pode ser definida pela relao entre a resistncia mecnica e a solicitao externa, usualmente expressa em termos de tenses induzidas no componente pela ao do carregamento externo. A funo de desempenho (Z) usualmente expressa pela relao: S R Z =ondeRrepresentaaresistnciamecnicadomaterialdocomponenteeSrepresentaas tenses induzidas pela ao do carregamento externo, ou simplesmente solicitao. Afalhadocomponenteocorrequandoasolicitaoultrapassaacapacidadede resistncia do componente, ou seja, quando a funo de desempenho tem magnitude inferior a zero. Paradefiniodaconfiabilidadedocomponentemecnicoouestrutural,considera-se que tanto a resistncia mecnica como a solicitao so variveis aleatrias, e a confiabilidade ( ) ( ) S R P Z P Rc = = 0representadapelaprobabilidadedaresistnciamecnicasersuperiorsolicitao,ouseja onde RC probabilidade de sobrevivncia do componente, ou a sua confiabilidade. Como complemento da probabilidade de sobrevivncia tem-se a probabilidade de falha, a qual definida pela seguinte relao: ( ) ( ) S R P Z P Rf = = 0 onde pf a probabilidade de falha. Baseando-se nas formulaes apresentadas nas equaes acima, verifica-se que, para oclculodaprobabilidadedefalhaedaconfiabilidade,necessita-sedoconhecimentodas funesdensidadedeprobabilidadedaresistnciamecnicaedasolicitao,podendoser executado o clculo analtico da probabilidade de falha atravs da relao: =0) ( ) ( ds s f s F Ps r f sendo FR(.) a funo distribuio acumulada da resistncia mecnica. 23 A confiabilidade definida como o complemento da probabilidade de falha, ou seja: f cp R =1A execuo da integral constante da equao pode ser complexa, dependendo dos tipos de funes densidade de probabilidade empregados na representao da resistncia mecnica edasolicitaoexterna.Entretanto,estenoomaiorempecilhoparaaaplicaodas equaesemreferncia.Namaioriadosproblemasmecnicosouestruturais,asolicitao, expressacomoastensesatuantesnaestruturadevidoaodocarregamentoexterno, calculadacomoarelaoentrepropriedadesgeomtricasdocomponenteeocarregamento externo,sendoqueasprimeirastambmtemnaturezaprobabilstica,fatoquedificultaa avaliaodafunodensidadedeprobabilidadedasolicitao.Aprobabilidadedefalha calculadaemconformidadecomaformulaoapresentada,paraumafamliadeestruturas projetadasconformeumCritriodeProjetoespecfico,oqualempregaumcoeficientede seguranapr-definido,permiteaverificaodequalaprobabilidadedefalhaadmissvel neste Critrio de Projeto, expressa em termos do uso do coeficiente de segurana e dos valores nominais da resistncia mecnica e da solicitao. A obteno desta correlao torna-se mais complexaquantomaiorforonmerodevariveisnecessriasparaoclculodafuno densidadedeprobabilidadedasolicitao.Parafunesdedesempenhodeformulaes lineares,adeterminaodaprobabilidadedefalhapodesersimplificada,casoasfunes densidade de probabilidade da resistncia mecnica e da solicitao sejam do tipo normal e as variveis sejam consideradas independentes. Outras formulaes, para outras combinaes de funes densidade de probabilidade, podem ser obtidas em literatura especializada na rea de confiabilidade estrutural. 24 CAPTULO 02 - ANLISE DE TENSES E DEFORMAES 2.1 - INTRODUO Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de mquinas so a tenso ea deformao. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de mquinas, pode-se determinarastensesresultantes.Nestecaptulorelacionamosastensesatuantesnocorpo comoumtodo,sendodistintasdastensessuperficiaisoutensesdecontato.Astenses resultantes de carregamento esttico sero analisadas neste captulo. 2.2 - TENSO A tenso representa a intensidade da fora de reao em um ponto do corpo submetido acargasdeservio,condiesdefabricaoevariaesdetemperatura.Atensomedida como a fora atuante por unidade de rea de um plano. P Vetor fora que atua sobre o elemento de rea A Figura 1 Cargas atuantes em elemento infinitesimal rea fora Tenso / =APxAxx= 0lim APyAxy= 0lim APzAxz= 0lim xx, xy, xz so as componentes de tenso associadas ao plano x do ponto O - tenso normal: tenso perpendicular ao plano de anlise - tenso de cisalhamento: tenso que atua paralelamente ao plano. Em uma pea submetida a algumas foras, a tenso geralmente distribuda como uma funocontinuamentevariveldentrodocontnuodomaterial.Cadaelementoinfinitesimaldo materialpodeexperimentardiferentestensesaomesmotempo.Deve-seolharastenses como atuando em pequenos elementos dentro da pea. 25 Afiguraabaixomostraumcuboinfinitesimaldomaterialdapeaquesubmetidaa algumas tenses tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal so paralelas a um conjunto deeixosxyztomadosemumaorientaoconveniente.Aorientaodecadafacedefinida pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfcie normal paralela aoseixos x, etc. Note que h duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal superfcie.Os nove componentesde tenso atuando nas superfcies desteelementoinfinitesimal esto mostrados nasfiguras3e4.Oscomponentesxx,yy,zzsoastensesnormais,assimchamadas porqueatuamrespectivamentenasdireesnormaisssuperfciesx,yezdocubo.As componentesxy,xz,porexemplosoastensescisalhantesqueatuamnafacexecujas direes de atuao so paralelas aos eixos y e z , respectivamente Figura 2 - Componentes de tenso sobre um elemento infinitesimal tridimensional Estes elementos infinitesimais so modelados como cubos. Os componentes de tenso soconsideradosatuandonasfacesdestescubosemduasdiferentesmaneias.Tenses normais atuam perpendicularmente face do cubo e tendem a tracion-las(tenso normal de trao)oucomprimi-las(tensonormaldecompresso).Tensescisalhantesatuam paralelamentesfacesdoscubosemparesenasfacesopostas,quetendemadistorcero cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tenso normal e cisalhamento atuantes no elemento infinitesimal compem o tensor.Tensoumtensordesegundaordemerequernovevaloresoucomponentespara descrev-lo no estado tridimensional.Pode ser expresso por uma matriz: 26 Onde a notao para cada componente de tenso contem trs elementos, a magnitude ( ou ), a direo da normal superfcie de referencia (primeiro subscrito) e a direo da ao (segundosubscrito).Utiliza-separatensesnormaiseparatensescisalhantes.Muitos elementosnasmquinasso sujeitos a um estado de tenso tridimensional e requer o tensor tenso. Figura 3 Componentes de tenso em um estado bidimensional Em alguns casos, so usados como estado de tenso bidimensional (figura 2.2b) O tensor tenso para o estado bidimensional : Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilbrio. Portanto: = 0oM= 0yF= 0xF de onde podemos mostrar que: yx xy = ouseja,paraumpontosobestadoplanodetensesascomponentescisalhantesemplanos mutuamenteperpendicularesdevemseriguais.Defato,pode-semostrarqueistoverdade para um estado mais geral de tenses, ou seja: 27 zx xz = zy yz = 2.3 - TENSES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL 2.3.1 - CARGA AXIAL Seja a barra, considerada sem peso e em equilbrio, sujeita a duas foras F em suas extremidades. AP= Tenso Normal (trao) Figura 4 - Tenso normal (trao) 2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSO DE APOIO AP= Tenso de Apoio (compresso) Figura 5 -Tenso de compresso 28 2.3.3 - TENSO MDIA DE CISALHAMENTO Figura 6 - Tenso de cisalhamento a)Cisalhamento simples: Figura 7 - Cisalhamento simples b) Rebite: APAVm= = Figura 8 - Cisalhamento de rebite c) Cisalhamento duplo: APAVm2= = Figura 9 - cisalhamento duplo 29 2.4 - TRANSFORMAO DE TENSO 2.4.1 - EQUAES PARA TRANSFORMAO DE TENSO PLANA Umavezdeterminadasstensesnormaisxeyeatensodecisalhamentoxy, possvel determinar as tenses normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um dado estado de tenso. Figura 10a - Anlise de tenses em um plano qualquer Figura 10b - Anlise de tenses em um plano qualquer Aplicando as equaes de equilbrio esttico: 0' =xF0 cos . . . . . cos . cos . cos .'= sen dA sen sen dA sen dA dA dAxy y xy x x sen senxy y x x. cos . . 2 . cos .2 2'+ + =Sabendo que: 30 cos . . 2 2 sen sen =, 2 2cos 2 cos sen = , 2 2cos 1 sen + =Assim: 22 cos 1cos2+= ,22 cos 12= senSubstituindo as expresses de sen2, cos2 e sen 2: 222 cos 122 cos 1'senxy y x x+++= 2 2 cos2 2'senxyy x y xx+++== 0yF0 . . cos . . cos . cos . . cos' '= + + sen sen dA sen dA dA sen dA dAxy y xy x y x 2 cos 22' ' xyy xy xsen +|||

\| = 2.4.2 - CRCULO DE MOHR Sejam as equaes de transformao de tenso: 2 2 cos2 2'senxyy x y xx+=+ = 2 cos 22xyy xxysen + =Elevando ao quadrado ambas as equaes e somando-as tem-se: 222' '2'2 2xyy xy xy xx +|||

\| = +|||

\| +Esta equao pode ser de maneira mais compacta: ( )2 2' '2'R ay x x= + A equao acima a equao de um circulo de raio 222xyy xR +|||

\| =e o centro em 2y xa +=e b=0. 31 O circulo construdo desta maneira chamado crculo de Mohr, onde a ordenada de um ponto sobre o circulo a tenso de cisalhamento xy e abscissa a tenso normal x. Figura 11 - Crculo de Mohr para tenses CONCLUSES IMPORTANTES A maior tenso normal possvel 1 e a menor 2. Nestes planos no existem tenso de cisalhamento. A maior tenso de cisalhamento max igual ao raio do circulo e uma tenso normal de 2y x + atua em cada um planos de mxima e mnima tenso de cisalhamento. Se 1==2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e no se desenvolvem tenso de cisalhamento no plano xy. Se x+y=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas - , e existe o estado de cisalhamento puro. Sesomadas tenso normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares constante: x+y=1+2=x+y= constante. Osplanodetensomximaoumnimaformamngulosde45comosplanosdas tenses principais. 32 2.4.3 - CONSTRUO DO CRCULO DE MOHR PARA TENSES Figura 12 - Elemento submetido a tenses x = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , y = 90 MPa , xy = 60 Mpa Procedimento 1- Determinar o centro do circulo (a,b): Mpa ay x35290 202=+ =+= ,0 = b 2- Determinar o Raio 222xyy xR +|||

\| += Mpa R 4 , 81 60290 2022= + ||

\| = 3- Localizar o ponto A(-20,60) Figura 13 Crculo de Mohr 33 4- Tensesprincipais: Mpa 4 , 116 4 , 81 351= + = ,Mpa 4 , 46 4 , 81 352 = = 5- Orientaes das tenses principais: 7 , 4735 20602 . 2' '1=||

\|+= tag arc , 85 , 25' '1= 180 2 2' '2' '1= + 15 , 66' '2= Figura 14 Inclinao das tenses atuantes 6- Tenso mxima de cisalhamento: Mpa R 4 , 81max= = 7- Orientao da tenso mxima de cisalhamento: 90 2 2' '2' '1= + 15 , 21 2' '2= Figura 15 - Posio do elemento submetido a tenses mximas de cisalhamento 34 2.4.4 - TENSES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSES Considereumestadodetensotridimensionaleumelementoinfinitesimaltetradrico. Sobre o plano obliquo ABC surge a tenso principal n, paralela ao vetor normal unitrio. Figura 16 - Elemento infinitesimal tetradrico submetido a estado tridimensional de tenses O vetor identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos = 1, cos = m, cos = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1. Figura 17 Vetor unitrioO plano oblquo tem rea dA e as projees desta rea nas direes x, y e z so: dA.L, dA.m e dA.n. Impondo o equilbrio esttico nas direes x, y e z, temos: = 0xF ,( ) 0 . . 1 . 1 . = n dA m dA dA dAxz xy x n = 0yF ,( ) 0 1 . . . . = dA n dA m dA m dAxz xy x n = 0zF , ( ) 0 . .2= m dA n dA n dAyz n Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos: 35 Comovistoanteriormente,12+m2+n2=1,oscosenosdiretoressodiferentesdezero. Logo,osistematerumasoluo no trivial quando o determinante da matriz decoeficientes de 1,m e n for nulo A expanso do determinante fornece um polinmio caracterstico do tipo: 02 3= + III II In n n onde: z y xI + + =( )2 2 2) (xz yz xy x z z y y xII + + + + =( )2 2 2. 2xy z xz y yz x xz yz xy z y xIII + + + =As equaes acima so invariantes, independentemente do plano oblquo que tomado no tetraedro. Logo, as razes do polinmio caracterstico j as tenses principais. 2.4.5 - CRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSES Qualquerestadodetensotridimensionalpodesertransformadoemtrstenses principais que atuam em trs direes ortogonais. Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tenses 36 Admitindo que 1>2>3>0. Figura 19 - Crculo de Mohr para o estado tridimensional de tenses 2.5 ANLISE DE DEFORMAO Um corpo slido se deforma quando sujeito a mudanas de temperatura ou a uma carga externa, como mostrado abaixo. Figura 20- Corposubmetido trao pura SeL0ocomprimentoinicialeLocomprimentofinaldocorposobtrao,o alongamentoL=LL0eoalongamentoporunidadedecomprimento,chamado deformao linear, definido como: 0 0 0LLLdLL= =Seocorposedeformaemtrsdireesortogonaisx,y,zezeu,v,ewforemastrs componentes do deslocamento nestas direes, as deformaes lineares so respectivamente: 37 Almdadeformaolinear,umcorpopodesofrerumadeformaoangular,como mostrado abaixo. Figura 21 - Anlise de deformao angular em elemento infinitesimal Assim,parapequenasmudanasdengulo,adeformaoangularassociadaas coordenadas x e y definida por: Seocorposedeformaemmaisplanosortogonaisxzeyz,asdeformaesangulares nestes planos so: 2.6 - LEIS DE TENSO - DEFORMAO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAO 2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRPICOS Seja o corpo abaixo submetido a uma fora axial. 38 Figura 22 - Pea submetida a carregamento axial Deformao axial Deformao lateral A relao entre o valor da deformao lateral e a deformao axial conhecida como coeficiente de Poisson: 2.6.2-LEIDEHOOKEPARAMATERIAISISOTRPICOS(ESTADOTRIAXIALDE TENSES) Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tenses x, y e z. Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tenses O estado triaxial de tenses pode ser considerado como a superposio de trs estados de tenso uniaxial analisados separadamente: 39 1 Deformaes devido a x: 2 Deformaes devido a y: 3 Deformaes devido a z: Superpondo todas as deformaes, temos: Da Lei de Hooke, = E o modulo de elasticidade do material, as deformaes devido x, y e z so: Para o caso do corpo ser submetido a esforos de cisalhamento as relaes deformao - tenso so: O mdulo de cisalhamento G est relacionado a E e por: 2.7 - EXTENSOMETRIA Aextensometriaumatcnicautilizadaparaaanliseexperimentaldetensese deformaesemestruturasmecnicasedealvenaria.Estasestruturasapresentam deformaessobcarregamentoousobefeitodatemperatura.importanteconhecera extenso destas deformaes e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que pode ser feito de diversas formas. Algumas so o relgio comparador, o detector eletrnico de 40 deslocamento,porcamadafrgil,porfoto-elasticidadeeporstrain-gauge.Dentretodas,o strain-gauge, do ingls medidor de deformao, um dos mais versteis mtodos. Osextensmetroseltricossolargamenteutilizadosparamedirdeformaesem estruturas como pontes, mquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para medirpresso,tenso,foraeacelerao.Soaindaassociadosaoutrosinstrumentosde medidas para uso desde anlise experimental de tenso at investigao e prticas mdicas e cirrgicas. 2.7.1 - EXTENSMETRO ELTRICO (STRAIN-GAUGE) Em1856WilliamThomson,ouconhecidocomoLordKelvin,apresentouRoyal PhilosophicalSocietydeLondresosresultadosdeumexperimentoenvolvendoaresistncia eltricadocobreeferroquandosubmetidosaestresse.AsobservaesdeKelvinforam consistentescomarelaoentreresistnciaeltricaealgumaspropriedadesfsicasdeum condutor, segundo a equao ALR=ondeRaresistnciaeltrica,aconstantedecondutividade,Locomprimentodo condutor e A a rea da seo transversal deste. A resistncia diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional rea da seo transversal. Quando uma barra metlica esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento etambmumadiminuiodoseuvolume,resultadodadiminuiodareadaseo transversaldestabarra.Aresistnciaeltricadametlicaaumentaquandoestabarra esticada,tambmresultadodadiminuiodareadaseotransversaledoaumentodo comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra comprimida, a resistncia diminui devido ao aumento da rea transversal e diminuio do comprimento. Arelaoentrecomprimentoedimensodaseotransversalpodeserexpressa atravs do coeficiente de Poisson: aLLdLDdD == 41 Figura 24 - Extensmetro de fio onde(ni)ocoeficientedePoisson,Dadimensodaseotransversal,Lo comprimento,L(epslon)adeformaolateraleaadeformaoaxial.Estarelao demonstra basicamente que, quando o comprimento diminui para um material (compresso), a seotransversalaumenta,evice-versaparaumaumentonocomprimento(tenso)do material. Experimentosrealizadospelonorte-americanoP.W.Bridgmanem1923mostraram algumasaplicaesprticasdadescobertadeKelvinpararealizaodemedidas,masfoia partirde1930queestastomaramimpulso.creditadoaRoyCarlsonumadasprimeiras utilizaes de um fio resistivo para medies de tenses em 1931. Entre 1937 e 1939, Edward Simmons(CalifrniaInstituteofTechnology,-Pasadena,CA,USA)eArthurRuge (MassachusettsInstituteofTechnology-Cambridge,MA,USA)trabalhando independentemente um do outro, utilizaram pela primeira vez fios metlicos colados superfcie deumcorpodeprovaparamedidadedeformaes.Estaexperinciadeuorigemaos extensmetros que so utilizados atualmente. A Figura 2.21mostra um a construo geral de um extensmetro base de fio colado. Apartirde1950,oprocessodefabricaodeextensmetrosadotouomtodode manufaturarfinasfolhasoulminascontendoumlabirintoougrademetlica,coladoaum suporte flexvel feito geralmente de epxi. As tcnicas de fabricao de circuitos impressos so usadasnaconfecodessaslminas,quepodemterconfiguraesbastantevariadase intrincadas, como mostra a Figura 25. Figura 25 Tipos de extensmetros eltricos. 42 Osextensmetroseltricostmasseguintescaractersticasgerais,quedenotamsua importncia e alto uso: alta preciso de medida;baixo custo;excelente linearidade;excelente resposta dinmica;fcil instalao;podeserimersoemguaouematmosferadegasescorrosivos(comtratamento adequado);possibilita realizar medidas distncia.A base do extensmetro pode ser de: poliamida, epxi, fibra de vidro reforada com resina fenlica,baquelita,polister,papeleoutros.Oelementoresistivopodeserconfeccionadode ligas metlicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Nquel, Isoelatic e outros. O extensmetropodeserconfeccionadotambmcomelementosemicondutor,queconsiste basicamentedeumpequenoefinssimofilamentodecristaldesilcioquegeralmente montado em suporte de epxi ou fenlico. As caractersticas principais dos extensmetros eltricos de semicondutores so sua grande capacidadedevariaoderesistnciaemfunodadeformaoeseualtovalordofatordo extensmetro,quedeaproximadamente150,podendoserpositivoounegativo.Paraos extensmetrosmetlicosamaiorvariaoderesistnciadevidasvariaesdimensionais, enquanto que nos de semicondutor a variao mais atribuda ao efeito piezo-resistivo. Para um extensmetro ideal, o fator de extensmetro deveria ser uma constante, e de maneira geralosextensmetrosmetlicospossuemofatordeextensmetroquepodemser considerados como tal. Nos extensmetros semicondutores, entretanto, o fator do extensmetro variacomadeformao,numarelaonolinear.Istodificultaquandodainterpretaodas leiturasdessesdispositivos. Entretanto possvel se obter circuitos eletrnicos que linearizem esses efeitos. Atualmente, os extensmetros semicondutores so bastante aplicados quando se desejaumasadaemnvelmaisalto,comoemclulasdecargas,acelermetroseoutros transdutores. 2.7.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO E USO Nasuaformamaiscompleta,oextensmetroeltricoumresistorcompostodeuma finssimacamadadematerialcondutor,depositadoentosobreumcomposto isolante. Este ento colado sobre a estrutura em teste com auxlio de adesivos como epxi ou cianoacrilatos. 43 Pequenasvariaesdedimensesdaestruturasoentotransmitidasmecanicamenteao extensmetro,quetransformaessasvariaesemvariaesequivalentesdesuaresistncia eltrica (por esta razo, os extensmetros so definidos como transdutores). Os extensmetros sousadosparamedirvariaesdecarga,presso,torque,deslocamento,tenso, compresso,acelerao,vibrao.Aseleodoextensmetroapropriadoparadeterminada aplicaoinfluenciadapelascaractersticasseguintes:materialdagrademetlicaesua construo, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteo do medidor e configurao. O design dos extensmetros incorpora vrias funcionalidades como alto fator de medio,altaresistividade,insensibilidadetemperatura,altaestabilidadeeltrica,alta resistncia mecnica, facilidade de manipulao, baixa histerese, baixa troca termal com outros materiaisedurabilidade.Asensibilidadetemperaturaumpontofundamentalnousode extensmetros,efreqentementeocircuitodemediocontmumcompensadorde temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensmetro estrutura a ser monitorada de suma importncia. O adesivo deve transmitir as variaes mecnicas com o mnimo de interferncia possvel, por isso deve ter alta resistncia mecnica, alta resistncia aocisalhamento,resistnciadieltricaecapacidadedeadeso,baixasrestriesde temperaturaefacilidadedeaplicao.Arelaobsicaentredeformaoeavariaona resistncia do extensmetro eltrico pode ser expressa como: ||

\|||

\|=RdRF1ondeadeformao,FofatordomedidoreRaresistnciadomedidor.Paraum medidor tpico, F 2.0 e R 120 ohm. 2.7.3 - TIPOS DE EXTENSMETROS ELTRICOS (STRAIN-GAUGES) Extensmetro axial nico. Utilizado quando se conhece a direo da deformao, que em um nico sentido. Figura 26 - Extensmetro axial nico. 44 EXTENSMETRO AXIAL MLTIPLO Rosetade2direes.Sodoisextensmetrossobreumamesmabase,sensveisa duas direes. Utilizada para medir deformaes principais quando se conhecem as direes. Figura 27 - Roseta de 2 direes Roseta de 3 direes. So trs extensmetros sobre uma mesma base, sensveis a trs direes. Utilizada quando as direes principais de deformaes no so conhecidas. Figura 28 - Roseta de 3 direes A Figura 29(a) apresenta um extensmetro tipo diafragma, que so quatro extensmetros sobre uma mesma base, sensveis a deformaes em duas posies diferentes. Usado para transdutores de presso. A Figura 29(b) apresenta um extensmetro para medida de tenso residual, que so trs extensmetros sobre uma base devidamente posicionados para utilizao em mtodo de medida de tenso residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensmetro para transdutores de carga (strain-gauge load cell), que so dois extensmetros dispostos lado a lado, sobre a mesma base, para utilizao em clulas de cargas (para medio de tenso e compresso). 45 (a)(b)(c) Figura 29 - Extensmetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tenso residual e (c) clula de carga Aextensometria,comotcnicademediodedeformaesocorridasemmateriais, essencialparamonitoramentodinmicodeestruturassujeitasacarregamentosetemno extensmetro eltrico ou strain-gauge seu instrumento principal. Osstrain-gaugestmaplicaestovariadasquantomonitoramentodedeformaes empontes,vigas,mediodevibraoemmquinas,mediodepresso,defora,em acelermetros e torqumetros. Devido s vantagens e importncia dos extensmetros eltricos, estes aparelhos so indispensveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental de medies. 2.8 - RELAES TENSO - DEFORMAO Para o estado plano de tenses, as condies permitem o uso da aproximao segundo a qual no ocorre variao das tenses na direo z, podendo-se desconsiderar as tenses zz , xz e yz em presena das outras tenses. Ento: ( )( )yy xx xxE +=21 ( )( )yy xx yyE +=210 = = =yz xz zz xy xyG 2 = xx xx = yy xy 2.9- O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 2.9.1 - INTRODUO A mecnica dos meios contnuos emaisespecificamente a teoria da elasticidade, tem como fundamento bsico o desenvolvimento de modelos matemticos que possam representar adequadamenteasituaofsicarealemestudo.Naanliseestruturaloobjetivopodesera 46 determinaodocampodedeslocamentos,asdeformaesinternasouastensesatuantes nosistemadevidoaaplicaodecargas.MuitosestudiososdoassuntotaiscomoNavier, Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemticos que auxiliaram na determinao de variveis envolvidas num determinado estudo. Porm em certos casos prticos certas aplicaes de modelos matemticos apresentam dificuldadesasvezesi