Econometria Prof. Gervásio Santos

Notas de aula

12/04/2012

FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS

A Função Geradora de Momentos (fgm) de uma variável aleatória x é definida, por

exemplo, por:

( )

Para cada número real em que , e desde que a esperança existe. O

termo representa as partições de um intervalo.

A fgm existe somente se tem momentos finitos de todas as ordens | |

É chamada de fgm porque gera momentos de X

[ ]

( )

O momento de ordem de é a derivada de ordem de ( ) avaliada em ,

desde que ( ) seja bem definida. Por exemplo:

[ ] ( )

Derivando:

( )

[ ] (

) ( )

Desenvolvendo:

( ) ( )

( ) |

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Avaliando quando a variação tende a zero, ou seja, quanto

|

( ) ( ) ( )

1

(função genérica)

𝑋𝑟 é o momento de ordem

𝑟 (a derivada de ordem 𝑟)

da equação

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎

𝑡

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎

𝑡

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑟

𝑡

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PROPRIEDADE IMPORTANTE: A fgm determina completamente a distribuição de

probabilidade de uma variável aleatória. Duas variáveis aleatórias são diferentes se, e

somente se, suas fgms forem diferentes.

Exemplo: Supondo que tenha uma distribuição normal padrão, por definição, essa função

tem fdp dada por:

( )

√

A fgm

( ) ( ) ∫

√

∫

√

No termo

, adicionamos e subtraímos , de forma a obter os termos

( )

∫

√

( )

∫

√

( )

∫

√

( )

( ) ( )

Encontrando a média

( )

|

(

) |

( )

𝑒𝑡𝑧 𝑒 𝑧

𝑒𝑡𝑧

𝑧

𝑒

𝑧 𝑡𝑧

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Encontrando a variância

( )

(

) (

) |

(

) |

(

)

( )

( )