Econometria Prof. Gervásio Santos
Notas de aula
12/04/2012
FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS
A Função Geradora de Momentos (fgm) de uma variável aleatória x é definida, por
exemplo, por:
( )
Para cada número real em que , e desde que a esperança existe. O
termo representa as partições de um intervalo.
A fgm existe somente se tem momentos finitos de todas as ordens | |
É chamada de fgm porque gera momentos de X
[ ]
( )
O momento de ordem de é a derivada de ordem de ( ) avaliada em ,
desde que ( ) seja bem definida. Por exemplo:
[ ] ( )
Derivando:
( )
[ ] (
) ( )
Desenvolvendo:
( ) ( )
( ) |
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Avaliando quando a variação tende a zero, ou seja, quanto
|
( ) ( ) ( )
1
(função genérica)
𝑋𝑟 é o momento de ordem
𝑟 (a derivada de ordem 𝑟)
da equação
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎
𝑡
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎
𝑡
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑟
𝑡
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PROPRIEDADE IMPORTANTE: A fgm determina completamente a distribuição de
probabilidade de uma variável aleatória. Duas variáveis aleatórias são diferentes se, e
somente se, suas fgms forem diferentes.
Exemplo: Supondo que tenha uma distribuição normal padrão, por definição, essa função
tem fdp dada por:
( )
√
A fgm
( ) ( ) ∫
√
∫
√
No termo
, adicionamos e subtraímos , de forma a obter os termos
( )
∫
√
( )
∫
√
( )
∫
√
( )
( ) ( )
Encontrando a média
( )
|
(
) |
( )
𝑒𝑡𝑧 𝑒 𝑧
𝑒𝑡𝑧
𝑧
𝑒
𝑧 𝑡𝑧
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Encontrando a variância
( )
(
) (
) |
(
) |
(
)
( )
( )
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