Econometria Prof. GervĂĄsio Santos
Notas de aula
12/04/2012
FUNĂĂO GERADORA DE MOMENTOS
A Função Geradora de Momentos (fgm) de uma variåvel aleatória x é definida, por
exemplo, por:
( )
Para cada nĂșmero real em que , e desde que a esperança existe. O
termo representa as partiçÔes de um intervalo.
A fgm existe somente se tem momentos finitos de todas as ordens | |
Ă chamada de fgm porque gera momentos de X
[ ]
( )
O momento de ordem de Ă© a derivada de ordem de ( ) avaliada em ,
desde que ( ) seja bem definida. Por exemplo:
[ ] ( )
Derivando:
( )
[ ] (
) ( )
Desenvolvendo:
( ) ( )
( ) |
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Avaliando quando a variação tende a zero, ou seja, quanto
|
( ) ( ) ( )
1
(função genérica)
đđ Ă© o momento de ordem
đ (a derivada de ordem đ)
da equação
đđđđđŁđđđ đđđđđđđđ
đĄ
đđđđđŁđđđ đ đđđąđđđ
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PROPRIEDADE IMPORTANTE: A fgm determina completamente a distribuição de
probabilidade de uma variĂĄvel aleatĂłria. Duas variĂĄveis aleatĂłrias sĂŁo diferentes se, e
somente se, suas fgms forem diferentes.
Exemplo: Supondo que tenha uma distribuição normal padrão, por definição, essa função
tem fdp dada por:
( )
â
A fgm
( ) ( ) â«
â
â«
â
No termo
, adicionamos e subtraĂmos , de forma a obter os termos
( )
â«
â
( )
â«
â
( )
â«
â
( )
( ) ( )
Encontrando a média
( )
|
(
) |
( )
đđĄđ§ đ đ§
đđĄđ§
đ§
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Notas de aula
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Encontrando a variĂąncia
( )
(
) (
) |
(
) |
(
)
( )
( )
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