Funo_qu.. Matematica

Capítulo 3 - Função do 2º Grau

Página 1

Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade

Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto Exercícios Resolvidos

Lizandro Manzato

Mestrando em Ciência e Engenharia dos Materiais pela USP Licenciatura Plena em Matemática com Habilitação em Física pela USF

Conteúdo – Capítulo 3 – Função do 2º Grau 3.1 Exercícios

Exercício 1 ............................................................................................. 2

Exercício 2 ............................................................................................. 3

Exercício 3 ............................................................................................. 4

Exercício 4 ............................................................................................. 5

Exercício 5 ............................................................................................. 9

Exercício 6 ........................................................................................... 10

Exercício 7 ........................................................................................... 11

Exercício 8 ........................................................................................... 11

Exercício 9 ........................................................................................... 12

Exercício 10 ......................................................................................... 13

Exercício 11 ......................................................................................... 14

Exercício 12 ......................................................................................... 14

Exercício 13 ......................................................................................... 15

Exercício 14 ......................................................................................... 16

3.2 Tópico Especial – Regressão Quadrática

Exercício 1 ........................................................................................... 18

Exercício 2 ........................................................................................... 20

Exercício 3 ........................................................................................... 22

Esta e outras resoluções encontram-se em: www.thomsonlearning.com.br

Comentários, sugestões e erros, favor enviar para: [email protected]


Página 2

3.1 Exercícios

1 a) Intervalo de crescimento 250q0 ≤≤ . Intervalo de decrescimento 250q > . A

receita máxima é gerada em 250q = .

b) Break-even points 250q = e 350q = são os pontos em que a receita é igual

ao custo.

c) O gráfico abaixo descreve quais as regiões em que o lucro é positivo e negativo.

d) A função lucro é definida por: CRL −= .

35000q800q2L

35000q200q1000q2L

)35000q200(q1000q2L

2

2

2

−+−=

−−+−=

+−+−=


Página 3

e) Analisando o gráfico do item d) notamos que a quantidade que gera o lucro

máximo é 200q = , e o lucro máximo é 45000$L = .

A quantidade é 200 e o significado geométrico do lucro máximo é: maior

distância (d) entre a receita (R) e o custo (C).

2 a) 195E = , portanto temos:

015t8t0195210t8t210t8t195210t8tE 2222 =+−⇔=−+−⇔+−=⇔+−=

15c8b

1a

=−=

= ac4b,

a2b

t 2 −=∆∆±−

=

→±

=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±−−=

228

248

260648

12

1514)8()8(t

2

326

228

t

5210

228

t

2

1

==−

=

==+

=

Os meses em que o consumo foi de 195 kwh foram abril e junho.

b) A tabela abaixo mostra o consumo mensal.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

mês jan fev mar Abr maio jun julho ago set out nov dez

Consumo (kwh) 210 203 198 195 194 195 198 203 210 219 230 243

kwh16,20812

243230219...198203210médioconsumo =

++++++=


Página 4

c) O gráfico abaixo representa o consumo em função do tempo.

3 a) A tabela abaixo mostra o número de apólices vendidas em função do tempo.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mês jan fev mar Abr maio jun julho ago set out nov

nº de apólices 32 45 56 65 72 77 80 81 80 77 72


Página 5

b) O número máximo de apólices é de 81 e ocorre no mês de agosto, t = 7.

c) A média dos cinco primeiros meses é: 635

7772655645=

++++. A média dos

dez primeiros meses é: 5,7010

727780...655645=

++++++.

4

a) 5x4xy 2 −−=

5c4b

1a

−=−=

= ac4b,

a2b

x 2 −=∆∆±−

=

=±

=±

=+±

=⋅

−⋅⋅−−±−−=

264

2364

220164

12

)5(14)4()4(x

2

122

264

x

5210

264

x

2

1

−=−

=−

=

==+

=

)9;2(436

;24

1436

;12)4(

a4;

a2b

V −=

−=

⋅

−⋅−

−=

∆−−=

b) 16x8xy 2 +−=

16c8b

1a

=−=

= ac4b,

a2b

x 2 −=∆∆±−

=


Página 6

=±

=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±−−=

204

204

264648

12

)16(14)8()8(x

2

428

208

x

428

208

x

2

1

==−

=

==+

=

)0;4(40

;28

140

;12)8(

a4;

a2b

V =

=

⋅

−⋅−

−=

∆−−=

c) 9x6x3y 2 ++−=

9c6b3a

==−=

ac4b,a2

bx 2 −=∆

∆±−=

=−±−

=−±−

=−

+±−=

−⋅

⋅−⋅−±−=

6126

61446

6108366

)3(2

9)3(4)6()6(x

2

3618

6126

x

16

66126

x

2

1

=−−

=−−−

=

−=−

=−+−

=

A parábola não intercepta o eixo x.

( )12;112144

;66

)3(4144

;)3(2

)6(a4

;a2b

V =

−−

−−

=

−⋅

−−⋅

−=

∆−−=


Página 7

d) 6x4xy 2 −+−=

6c4b1a

−==−=

ac4b,a2

bx 2 −=∆

∆±−=

R8,2

842

24164)1(2

)6()1(4)4()4(x

2

∉−−±

=−

−±−=

−⋅

−⋅−⋅−±−=


)2;2(4

8;

24

)1(4)8(

;)1(2

)4(a4

;a2b

V −=

−−

−=

−⋅

−−

−⋅−=

∆−−=


Página 8

e) 16x12x4y 2 ++=

16c12b4a

===

ac4b,a2

bx 2 −=∆

∆±−=

R112,8

112128

25614412)4(2

)16()4(4)12()12(x

2

∉−−±

=−±−

=⋅

⋅⋅−±−=


)7;5,1(16112

;812

)4(4)112(

;)4(2

)12(a4

;a2b

V −=

−=

⋅

−−

⋅−=

∆−−=

f) 2x4x2y 2 −−−=

2c4b2a

−=−=−=

ac4b,a2

bx 2 −=∆

∆±−=

=−±

=−±

=−

−±=

−⋅

−⋅−⋅−−±−−=

404

404

416164

)2(2

)2()2(4)4()4(x

2

14

4404

x

14

4404

x

2

1

−=−

=−−

=

−=−

=−+

=


( )0;18

0;

44

)2(40

;)2(2

)4(a4

;a2b

V −=

−−

=

−⋅

−−⋅

−−=

∆−−=


Página 9

5 a) A receita é dada pela relação qpR ⋅= . Então:

( ) q400q2q400q2R 2 +−=⋅+−=

b) Analisando o gráfico do item a) notamos que a quantidade que gera a receita

máxima é 100q = , e a receita máxima é 20000$R =

c) A receita é crescente no intervalo 100q0 << e decrescente em 100q >


Página 10

6 a) A função lucro é obtida da relação CRL −= . Então:

2400q160q22400q240q400q2)2400q240(q400q2L 222 −+−=−−+−=+−+−=

b) Analisando o gráfico do item anterior notamos que a quantidade que gera o

lucro máximo é 40q = , e o lucro máximo é 800$R =

c) O lucro é positivo no intervalo 40q20 << . O lucro é negativo nos intervalos

20q0 << e 40q >

d)


Página 11

7

a) 45t8t5,0v 2 +−=

b) O valor da ação é mínimo após o 8º dia, t = 8. O valor mínimo é 13

1377644564324588)8(5,0v 2 =+−=+−=+⋅−=

c) É decrescente para 8t0 << dias e é crescente para 8t > dias

d) A variação percentual após 20 dias de pregão é de 88,89%

( ) %89,8810018889,110014585

100145)0(8)0(5,0

45)20(8)20(5,0(%)v

2

2

=⋅−=⋅

−=⋅

−

+⋅−⋅

+⋅−⋅=∆

8 a) Temos A = B.

0t3t010t10t4t10t4t10t 222 =−⇒=−−+−⇒+−=+

0c5b

1a

=−=

= ac4b,

a2b

t 2 −=∆∆±−

=

→±

=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±−−=

255

2255

20255

12

014)5()5(t

2

020

255

t

5210

255

t

2

1

==−

=

==+

=

Os valores serão iguais no momento da compra e após 5 meses. Os valores são

10 e 13, respectivamente.


Página 12

b) A tabela abaixo apresenta os valores para plotar os gráficos no período de um

ano.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 10 11 12 13 14 15 16 14 18 19 20 21 22

B 10 7 6 7 10 15 22 31 42 55 70 87 106

c) A evolução da função A é linear e a evolução da função B é quadrática. Após os três

primeiros meses, a melhor evolução da função A ocorreu em t = 3 enquanto na

função B ocorreu em t = 1 e t = 3.

Após um ano, a melhor evolução ocorreu em t = 12 para ambas as funções.

9

a) 128t24t2P 2 ++−=


Página 13

b) A produção é máxima em t = 6h, com produção de 200

c) A produção é igual à inicial em 12h

d) O funcionário não consegue mais produzir em t = 16h

e) Intervalo de crescimento 6t0 << . Intervalo de decrescimento 16t6 <<

10 a) 60t5,2t25,0P 2 ++=

b) O preço é mínimo no momento t = 5, ou seja, após 5 meses. O preço mínimo é

53,75. 75,5360)5(5,2)5(25,0P 2 =+⋅+⋅=

c) A variação entre o momento inicial e final do terceiro mês é:


Página 14

( ) %75,810019125,0100160

75,541001

60)0(5,2)0(25,0

60)3(5,2)3(25,0(%)v 2

2

−=⋅−=⋅

−=⋅

−

+⋅−⋅+⋅−⋅

=∆

A variação entre os finais do terceiro e sétimo meses é:

( ) %010011100175,5475,54

100160)3(5,2)3(25,0

60)7(5,2)7(25,0(%)v

2

2

=⋅−=⋅

−=⋅

−

+⋅−⋅

+⋅−⋅=∆

11

a) 22

22 x10010

x101000yx101000y101000y10x10 −=

−=⇒−=⇒=+

b) 2x100y −=

c) Para x = 8, temos: 36641008100y 2 =−=−= camisetas.

d) Para y = 19, temos: 3x

3x818119100xx10019

2

122

−=+=

⇒±==−=⇒−=

Como o número de ternos é positivo, devemos considerar somente a resposta

x = 3.

e) Podemos ver no gráfico que não comprando ternos, compraremos 100

camisetas. E não comprando camisetas, podemos comprar 10 ternos.

f) Podemos ver no gráfico representado no item (b) que, se forem comprados 7

ternos e 40 camisetas, tal compra não ultrapassa o orçamento.

12

a) 22

22 x95

x545yx545y545y5x5 −=

−=⇒−=⇒=+ .

b) 2x9y −=


Página 15

c)

d) O significado da curva cortar o eixo x é: quando a quantidade de detergente é

0, a quantidade de sabonete líquido é máxima, igual a 9. O significado da

curva cortar o eixo y é: quando a quantidade de sabonete líquido é 0, a

quantidade de detergente é máxima, igual a 3.

e) 045y5y25,145y5y25,145x5)y5,0(5 222 =−+⇒=+⇒=+⋅

45c

5b25,1a

−===

ac4b,a2

by 2 −=∆

∆±−=

→±−

=±−

=+±−

=⋅

−⋅⋅−±−=

5,28,155

5,22505

5,2225255

25,12

)45(25,14)5()5(y

2

32,45,28,10

5,28,155

y

32,85,28,20

5,28,155

y

2

1

==+−

=

−=−=−−

=

Se tratando de números de litros, devemos considerar somente o valor positivo,

4,32. Portanto, a quantidade de detergente a produzir é de aproximadamente

4,32 milhares de litros.

13

a) 81qp 2 +−= e 9q10qp 2 ++=


Página 16

b) 81qp 2 +−= e 9q10qp 2 ++= . Para acharmos B.E.P. (break-even point),

devemos igualar as funções demanda e oferta.

072q10q2

09q10q81q

9q10q81q

2

22

22

=+−−

=−−−+−

++=+−

72c10b2a

=−=−=

ac4b,a2

bq 2 −=∆

∆±−=

→−±

=−±

=−

+±=

−⋅

⋅−⋅−−±−−=

42610

467610

457610010

)2(2

72)2(4)10()10(q

2

44

1642610

q

94

3642610

q

2

1

=−−

=−−

=

−=−=−+

=

Devemos considerar somente a quantidade positiva. Então, a quantidade de

equilíbrio é q = 4 e o preço de equilíbrio é 65811681)4(p 2 =+−=+−= .

14

a) q120q3R 2 +−= e 375q20q2C 2 ++=


Página 17

b) O lucro é positivo no intervalo 15q5 <<

c) A função lucro é definida por: CRL −=

375q100q5L

375q20q2q120q3L

)375q20q2(q120q3L

2

22

22

−+−=

−−−+−=

++−+−=

d) A quantidade a ser comercializada para o lucro ser máximo é de 10 unidades.

O valor é 125375)10(100)10(5L 2 =−⋅+⋅−=

e) O lucro é positivo no intervalo 15q5 << . Comparando os resultados

percebemos que são iguais


Página 18

3.2 Tópico Especial – Regressão Quadrática

1 a) Pelo sistema de dispersão podemos ver que se aproxima de uma curva

parábola.

b) Cálculo do grau de correlação linear

( ) ( )( ) ( )

−⋅⋅

−⋅

⋅−⋅=

∑∑∑∑∑∑∑

2222 yynxxn

yxxynr

x y yx ⋅ 2x 2y 1 4800 4800 1 23040000 2 3500 7000 4 12250000 3 3850 11550 9 14822500 4 5200 20800 16 27040000 5 7300 36500 25 53290000 6 10950 65700 36 119902500∑ 21 35600 146350 91 250345000

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]83,0

83,156985130500

35600250345000621916

35600211463506r

22==

−⋅⋅−⋅

⋅−⋅=

Pelo coeficiente de correlação, pode se notar que a variável trimestre (x) e

demanda (y) apresentam correlação forte.

c) A planilha dispõe os cálculos conforme modelo da página 64 do livro.

trimestres (x) 1 2 3 4 5 6 demanda observada (y) 4800 3500 3850 5200 7300 10950


Página 19

x y yx ⋅ 2x 3x 4x yx2 ⋅

1 4800 4800 1 1 1 4800 2 3500 7000 4 8 16 14000 3 3850 11550 9 27 81 34650 4 5200 20800 16 64 256 83200 5 7300 36500 25 125 625 182500 6 10950 65700 36 216 1296 394200∑ 21 35600 146350 91 441 2275 713350

=++=++=++

35600c6b21a91146350c21b91a441713350c91b441a2275

A resolução do sistema linear será pela Regra de Cramer. Assim temos:

3920621912191441914412275

==∆

222250062135600219114635091441713350

a ==∆

106855006356009121146350441917133502275

b −==∆

26950000356002191146350914417133504412275

c ==∆

68753920

26950000c89,2725

392010685500

b96,5663920

2222500aa ==−=

−===

∆∆

=

6875x89,2725x96,566y 2 +−=

d) Vamos calcular o vértice da curva parábola.

)54,598.3;40,2(84,2267

70,8160923;

92,113389,2725

96,5664)8160924(

;93,5662

)89,2725(a4

;a2b

V =

=

⋅

−−

⋅−

−=

∆−−=

xv = 2,40 (trimestre) e yv = 3.598,54 (demanda da curva)

e) Intervalo de decrescimento 40,2x <

Intervalo de crescimento 40,2x >

f) Os trimestres seguintes são x = 7 e x = 8. Assim temos:


Página 20

155756875)7(89,2725)7(96,566y 2 ≅+⋅−⋅=

2135336875)8(89,2725)8(96,566y 2 ≅+⋅−⋅=

g) Pressupondo que a demanda alcança 15000 unidades, temos:

08125x89,2725x96,566

0150006875x89,2725x96,566

6875x89,2725x96,56615000

2

2

2

=−−

=−+−

+−=

8125c89,2725b

96,566a

−=−=

= ac4b,

a2b

x 2 −=∆∆±−

=

92,11331842620029,743047689,2725

96,5662

)8125(96,5664)89,2725()89,2725(x

2 +±=

⋅

−⋅⋅−−±−−=

08,292,113306,2359

92,113395,508489,2725

x

89,692,113384,7810

92,113395,508489,2725

x

92,113329,2585667689,2725

x

2

1

−=−

=−

=

==+

==

±=

Devemos considerar somente o valor positivo, pois representa quantidade de

trimestres. Portanto, a quantidade de trimestres é x = 6,89 trimestres.

2 a) Pelo sistema de dispersão podemos ver que se aproxima de uma curva

parábola.

seguros contratados (x) (em unidades) 20 40 60 80 100 Lucro (y) (em unidades monetárias) 150 185 210 173 145


Página 21

b) A planilha dispõe os cálculos conforme modelo da página 64 do livro.

x y yx ⋅ 2x 3x 4x yx2 ⋅

20 150 3000 400 8000 160000 60000 40 185 7400 1600 64000 2560000 296000 60 210 12600 3600 216000 12960000 756000 80 173 13840 6400 512000 40960000 1107200 100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000 ∑ 300 863 51340 22000 1800000 156640000 3669200

=++=++

=++

863c5b300a2200051340c300b22000a1800000

3669200c22000b1800000a156640000


04480000000530022000

300220001800000220001800000156640000

==∆

15040000005300863

30022000513402200018000003669200

a −==∆

001755520000586322000

300513401800000220003669200156640000

b ==∆

000381696000086330022000

5134022000180000036692001800000156640000

c ==∆

2,8504480000000

0003816960000c92,3

04480000000001755520000

b034,004480000000

1504000000aa ====−=

−=

∆∆

=

2,85x92,3x034,0y 2 ++−=

c) Vamos calcular o vértice da curva parábola.

)16,198;65,57(136,095,26

;068,092,3

)034,0(495,26

;)034,0(2

92,3a4

;a2b

V =

−−

−−

=

−⋅

−−⋅

−=

∆−−=

xv = 57,65 (seguros contratados) e yv = 198,16 (lucro)

Intervalo de decrescimento 65,57x > .

Intervalo de crescimento 65,57x < .

d) O lucro para 125 unidades é de aproximadamente 44 u.m.

4495,432,85)125(92,3)125(034,0y 2 ≅=+⋅+⋅−= u.m. (unidades monetárias)


Página 22

3 a) Pelo sistema de dispersão podemos ver que ambas se aproximam de uma curva

parábola.

b) A planilha abaixo dispõe os cálculos da linha 1.

x y yx ⋅ 2x 3x 4x yx2 ⋅

1000 10000 1,00 107 1,00 106 1,00 109 1,00 1012 1,00 1010 2000 22000 4,40 107 4,00 106 8,00 109 1,60 1013 8,80 1010 3500 40500 1,42 108 1,23 107 4,29 1010 1,50 1014 4,96 1011 5800 55000 3,19 108 3,36 107 1,95 1011 1,13 1015 1,85 1012 8200 37000 3,03 108 6,72 107 5,51 1011 4,52 1015 2,49 1012 10000 23500 2,35 108 1,00 108 1,00 1012 1,00 1016 2,35 1012 ∑ 30500 188000 1,05 109 2,18 108 1,80 1012 1,58 1016 7,28 1012

=++⋅⋅=+⋅+⋅

⋅=⋅+⋅+⋅

188000c7b30500a1018,21005,1c30500b1018,2a1080,1

1028,7c1018,2b1080,1a1058,1

8

9812

1281216


23

8

812

81216

1034,1

6305001018,2

305001018,21080,11018,21080,11058,1

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

2089

81212

1034,2630500188000

305001018,21005,11018,21080,11028,7

a ⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

=∆


Página 23

24

8

512

81216

1076,2

61880001018,2

305001005,11080,11018,21028,71058,1

b ⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

27

8

5812

121216

1035,1

188000305001018,2

1005,11018,21080,11028,71080,11058,1

c ⋅−=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

887,100841034,1

1035,1c648,20

1034,1

1076,2b002,0

1034,1

1034,2aa

23

27

23

24

23

20

−=⋅

⋅−==

⋅

⋅=−=

⋅

⋅−=

∆∆

=

Linha 1. 887,10084x648,20x002,0y 2 −+−=

A planilha abaixo dispõe os cálculos da linha 2.

x y yx ⋅ 2x 3x 4x yx2 ⋅

1000 19000 1,90 107 1,00 106 1,00 109 1,00 1012 1,90 1010 2100 30000 6,30 107 4,41 106 9,26 109 1,94 1013 1,32 1011 3500 40000 1,40 108 1,23 107 4,29 1010 1,50 1014 4,90 1011 5800 45000 2,61 108 3,36 107 1,95 1011 1,13 1015 1,51 1012 7500 42000 3,15 108 5,63 107 4,22 1011 3,16 1015 2,36 1012 10000 32000 3,20 108 1,00 108 1,00 1012 1,00 1016 3,20 1012 ∑ 29900 208000 1,12 109 2,08 108 1,67 1012 1,45 1016 7,72 1012

=++⋅⋅=+⋅+⋅

⋅=⋅+⋅+⋅

208000c7b29900a1008,21012,1c29900b1008,2a1067,1

1072,7c1008,2b1067,1a1045,1

8

9812

1281216


23

8

812

81216

1034,1

6299001008,2

299001008,21067,11008,21067,11045,1

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

2089

81212

1027,1629900208000

299001008,21012,11008,21067,11072,7

a ⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

24

8

912

81216

1057,1

62080001008,2

299001012,11067,11008,21072,71045,1

b ⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=∆


Página 24

27

8

9812

121216

1023,1

208000299001008,2

1012,11008,21067,11072,71067,11045,1

c ⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=∆

450,91991034,1

1023,1c699,11

1034,1

1057,1b001,0

1034,1

1027,1aa

23

27

23

24

23

20

=⋅

⋅==

⋅

⋅=−=

⋅

⋅−=

∆∆

=

Linha 2. 450,9199x699,11x001,0y 2 ++−=

c) Pode-se verificar no gráfico do item (b) que o faturamento mais expressivo ao

longo do tempo é proporcionado pela linha 2.

d) Na linha 1 temos:

5162)002,0(2

648,20xv =

−⋅−= unidades de demanda para receita máxima.

Na linha 2 temos:

5,5849)001,0(2

699,11xv =

−⋅−= unidades de demanda para receita máxima.

Conclusão: Pelos resultados apresentados, para obter receita máxima há

necessidade de uma saída maior de calçados na linha 2 que na linha 1

e) Na linha 1 temos: 33,50836

10000...20001000qmédia =

+++= unidades

Na linha 2 temos: 33,49836

10000...21001000qmédia =

+++= unidades

Conclusão: A linha 1 tem uma saída (demanda) superior a da linha 2

f) A linha 1 supera em demanda a linha 2 no intervalo de .5333x3616 <<

g) A linha 2 supera em demanda a linha 1 nos intervalos de 3616x > e .5333x >

Cálculo dos itens (f) e (g)


Página 25

0337,19284x949,8x001,0

0450,9199x699,11x001,0887,10084x648,20x002,0

450,9199x699,11x001,0887,10084x648,20x002,0

2

22

22

=−+−

=−−+−+−

++−=−+−

337,19284c949,8b001,0a

−==−=

ac4b,a2

bx 2 −=∆

∆±−=

5333002,0

717,1949,8x

3616002,0

717,1949,8x

002,0717,1949,8

002,09473,2949,8

002,01373,770846,80949,8

)001,0(2

)337,19284()001,0(4)949,8()949,8(x

2

1

2

=−

−−=

=−

+−=

=−

±−=

−±−

=−

−±−=

−⋅−⋅−⋅−±−

=

h) Para x = 12000, temos:

Linha 1. 9,50308887,10084)12000(648,20)12000(002,0y 2 −=−+−=

Linha 2. 5,5587450,9199)12000(699,11)12000(001,0y 2 =++−=

O valor para a linha 1 não existe

Para x = 14000, temos:

Linha 1. 9,113012887,10084)14000(648,20)14000(002,0y 2 −=−+−=

Linha 2. 6,23014450,9199)14000(699,11)14000(001,0y 2 −=++−=

O valor para ambas as linhas não existem.

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