Gabarito da Primeira Fase 2019 - N vel Beta...Nos extremos desta pra˘ca, cujo formato e circular, se encontram diversos institutos, entre eles o IMECC, o IFCH e o IFGW conforme indicado

35o Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao CientıficaUniversidade Estadual de Campinas

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Gabarito da Primeira Fase 2019 - Nıvel Beta

Questao 1 (20 pontos) A Figura 1 a seguir e uma representacao da praca do ciclo basico na Unicamp.

Nos extremos desta praca, cujo formato e circular, se encontram diversos institutos, entre eles o IMECC,

o IFCH e o IFGW conforme indicado na figura. No centro da praca se encontra um lago circular

(representado pelo cırculo hachurado na figura) o qual pode ser contornado a pe. Para caminhar de um

lugar a outro, pode-se caminhar pelas ruas que ligam os institutos ao lago, pelo contorno do lago ou

pelo contorno da praca. Assim, por exemplo, se uma pessoa que esta no IMECC desejar ir ao IFGW

ela pode caminhar pela borda da praca ou tomar um caminho que passe pelo lago.

Figura 1: Ciclo Basico da UNICAMP

Na Figura 2 sao dadas as medidas aproximadas dos raios e angulos envolvidos na representacao.

Baseando-se nestas figuras determine qual e o melhor caminho (ou seja, o caminho onde se caminha

a menor distancia) a se tomar para ir do IMECC ao Restaurante universitario?

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Figura 2: Medidas envolvidas

Solucao: Para ir do IMECC ao restaurante universitario temos diversas possibilidades que podem

ser divididas em dois grupos:

• Grupo 1: Caminhos que passam pelo lago;

• Grupo 2: Caminhos que nao passam pelo lago.

Dentre os caminhos que passam pelo lago temos os caminhos em que caminhamos em algum momento

no contorno da praca e caminhos onde apenas utilizamos as ruas que sao conectadas ao lago e a borda

do lago, como mostram as seguintes figuras:

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Dentre os caminhos 1, 2, 3, 4 observe que o caminho 1 e o de menor distancia uma vez que os arcos

do contorno da praca tem sempre comprimento maior que o arco de mesmo angulo no contorno do lago.

Agora, como o raio da praca e 150m e o raio do lago 30m entao cada rua conectada ao lago tem

comprimento 120m. Assim, a distancia percorrida no caminho 1 e:

L1 = 120 + 120 +2π · 30

2= 240 + 30π metros.

No segundo grupo de caminhos temos apenas duas possibilidades, representadas nos caminhos 5 e

6 abaixo, ambas com a mesma distancia percorrida no total uma vez que o IMECC e o restaurante

universitario estao em pontos opostos da praca.

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Como o raio da praca e de 150m o comprimento do caminho 5 (que e o mesmo que o do caminho 6)

e:

L2 =2π · 150

2= 150π metros.

Assim precisamos comparar L1 e L2. Como π > 2 temos

120π > 240⇒ 150π > 240 + 30π.

Logo L2 > L1 o que significa que o caminho 1 e o caminho com o menor comprimento para ir do IMECC

ao Restaurante universitario.

Questao 2 (20 pontos) Determine todos os pares de numeros inteiros (m,n) satisfazendo

m2 = n2 + 2019.

Solucao: Suponhamos que m e n sao inteiros satisfazendo a equacao do enunciado, ou seja,

m2 = n2 + 2019⇒ m2 − n2 = 2019.

Assim temos

(m+ n)(m− n) = 2019,

o que significa que m + n e m − n sao divisores de 2019. Note que 2019 e divisıvel por 3, ja que

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2 + 1 + 0 + 9 = 12, assim pode-se ver que:

2019 = 1 · 2019 = 3 · 673,

e 673 e primo.

Assim temos oito possibilidades:

1) m+ n = 1 e m− n = 2019;

2) m+ n = 2019 e m− n = 1;

3) m+ n = −1 e m− n = −2019;

4) m+ n = −2019 e m− n = −1;

5) m+ n = 3 e m− n = 673;

6) m+ n = 673 e m− n = 3;

7) m+ n = −3 e m− n = −673;

8) m+ n = −673 e m− n = −3 .

No primeiro sistema, somando as equacoes terıamos: 2m = 2020 ⇒ m = 1010. Substituindo

obtemos n = −1009. Logo (1010,−1009) e uma solucao.

No segundo sistema, somando as equacoes terıamos: 2m = 2020⇒ m = 1010. Substituindo obtemos

n = 1009. Logo (1010, 1009) e uma solucao.

Analogamente, repetindo tal argumento para os outros sistemas temos que suas solucoes sao respec-

tivamente:

(−1010, 1009), (−1010,−1009), (338,−335), (338, 335), (−338, 335), (−338,−335).

Logo os unicos pares possıveis sao: (1010,−1009), (1010, 1009), (−1010, 1009) , (−1010,−1009) ,

(338,−335) , (338, 335) , (−338, 335) , (−338,−335).

Questao 3 (20 pontos) Senhas fazem parte do nosso dia a dia e sao, em geral, combinacoes de carac-

teres que podem ser letras, numeros, sımbolos, etc. As senhas podem ser descobertas por programas

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de computador de diversas maneiras. A mais simples e um programa que testa todas as combinacoes

de senhas possıveis. Nesse caso, ter uma senha mais forte e sinonimo de ter uma senha que precise de

muitos testes do programa para ser decoberta, porque assim o programa demora mais para testar todas

as senhas possıveis.

a) Quantas senhas existem da seguinte forma: 6 dıgitos que podem ser letras maiusculas ou minusculas?

(Considere 26 letras no alfabeto)

b) Quantas senhas existem da seguinte forma: 10 dıgitos que podem ser letras apenas minusculas?

c) Qual a senha mais forte, do item (a) ou do item (b)? Justifique sua resposta.

Solucao a) Como estamos considerando um alfabeto com 26 letras, temos 52 tipos de caracteres

diferentes: as 26 letras minusculas e as 26 maiusculas. Como a senha sera composta por 6 dıgitos e

temos 52 escolhas para cada um dos dıgitos, temos:

52× 52× 52× 52× 52× 52 = 526

senhas diferentes.

b) Usando um raciocınio analogo, neste caso temos 26 escolhas possıveis para cada dıgito. Como a

senha sera composta por 10 dıgitos ha um total de 2610 senhas diferentes.

c) Para saber qual dos tipos de senha e mais vantajoso em termos de seguranca basta comparar a

quantidade de senhas possıveis com cada um dos tipos. Ou seja, devemos comparar 526 com 2610 e ver

qual e maior. Note que 52 = 2 · 26 e, portanto,

526 = 26 · 266.

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Ainda, podemos escrever 26 = 2 · 13 e temos 264 = 24 · 134. Mas entao, como 134 > 22, segue que

2610 = 266 · 264

= 266 · 24 · 134

> 266 · 24 · 22

= 266 · 26

= 526,

logo 2610 > 526, donde concluımos que o tipo de senha com 10 dıgitos e usando apenas as 26 letras

minusculas e mais vantajosa que as senhas formadas por 6 dıgitos com 52 possibilidades para cada

dıgito.

Questao 4 (20 pontos) Um “x magico” consiste em um conjunto de cinco quadradinhos em formato de

“x”, com um numero em cada quadradinho, de modo que todos os numeros sao distintos e as diagonais

possuem a mesma soma. Por exemplo, o “x” formado com os numeros 4, 5, 6, 7, 8 como mostrado na

Figura 3 abaixo e um “x magico”:

Figura 3: “x magico” formado com os numeros 4, 5, 6, 7, 8

A soma de cada uma das diagonais de um “x magico” e chamada de constante magica. No caso do

exemplo dado na Figura 3 acima, a constante magica e 18 = 5 + 6 + 7 = 4 + 6 + 8.

a) Construa um x magico com os numeros 1, 2, 3, 4 e 5.

b) Determine todos os possıveis valores de constantes magicas que podem ser obtidos a partir de um

“x magico” montado com os numeros 1, 2, 3, 4 e 5.

c) Dada uma progressao aritmetica (PA) de numeros inteiros a1, a2, a3, a4, a5, mostre que e possıvel

construir um “x magico” com os cinco termos desta PA.

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Solucao:

a) Na figura a seguir temos alguns exemplos de x magicos com os numeros 1, 2, 3, 4 e 5.

Figura 4: Exemplos de x magicos com os numeros 1, 2, 3, 4, 5.

b) Nas figuras da solucao da alternativa (1) podemos ver que 3+1+4 = 8, 1+3+5 = 9 e 1+5+4 = 10

sao possibilidades de constantes magicas para um x magico construido a partir de 1, 2, 3, 4 e 5. Vamos

verificar que estas sao as unicas possibilidades.

Considere um x magico geral formado com 1, 2, 3, 4, 5. Chame de a o numero central, b e c os

numeros que estao em uma diagonal e d e e os que estao em outra (como na figura abaixo).

Como a+ b+ c+ d+ e = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 e como b+ c = d+ e temos

15 = a+ b+ c+ d+ e = a+ 2(b+ c).

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Logo a e ımpar e a constante magica e: a + b + c = 15 − (b + c). Como a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} as

possibilidades sao:

i) a = 1, neste caso 15 = 1 + 2× 7, logo b+ c = 7 e a+ b+ c = 1 + 7 = 8;

ii) a = 3, neste caso 15 = 3 + 2× 6, logo b+ c = 6 e a+ b+ c = 3 + 6 = 9;

iii) a = 5, neste caso 15 = 5 + 2× 5, logo b+ c = 5 e a+ b+ c = 5 + 5 = 10.

Assim, as possibilidades de constantes magicas sao de fato apenas 8, 9 e 10.

c) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 cinco termos consecutivos de uma PA, por definicao de progressao aritmetica

sabemos que:

a5 − a4 = a3 − a2,

logo

a5 + a2 = a3 + a4.

Em particular

a1 + a2 + a5 = a1 + a3 + a4.

Assim, para construir um x magico com estes termos basta colocar a1 no centro, a2 e a5 em uma

diagonal, e a3 e a4 na outra:

.

Questao 5 (20 pontos) Na figura a seguir os triangulos ABC, CDE e EFG sao triangulos equilateros.

Alem disso sabe-se que D e o ponto medio do segmento BC e que F e o ponto medio do segmento DE.

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a) Prove que os pontos A, D e G sao colineares, ou seja, os tres pertencem a uma mesma reta.

b) Supondo que AG = 1 m , determine o tamanho dos lados do triangulo ABC.

Solucao:

a) Consideremos a reta r que passa pelos pontos D e G. Observe que se r for perpendicular a CB

em D entao r deve passar por A pois, uma vez que o triangulo ABC e equilatero, a reta que passa por

A e D e perpendicular a BC em D. Ou seja, basta mostrarmos que r e perpendicular a BC em D.

Seja l o compirmento de AB entao, como D e ponto medio de BC temos

CD =l

2,

e como F e ponto medio de DE temos

FD = EF =CD

2=l

4.

Como EFG e equilatero entao

EF = FG

de onde concluimos que DFG e um triangulo isosceles com FD = FG. Agora vamos calcular os angulos

internos deste triangulo (veja a figura 5 abaixo )

Como ∠EFG = 60◦ entao ∠GFD = 120◦. Assim,

∠EDG =180− 120

2= 30◦.

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Figura 5: Relacoes no triangulo DGF

Como CDE e equilatero entao ∠EDC = 60◦. Assim, concluımos que o angulo ∠GDC formado

entre a reta r e o segmento BC e de 90◦ pois:

∠GDC = ∠EDC + ∠EDG = 60 + 30 = 90◦.

Logo, de fato r e perpendicular a BC em D e, portanto, tambem passa pelo ponto A, isto e, A, D

e G sao colineares como querıamos demonstrar �.

b) Agora, considere que AG = 1 m. Como A,D e G sao colineares (pela alternativa (a)), temos:

AD +DG = AG = 1 m. (1)

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Seja l o lado do triangulo ABC, como AD e altura de ABC temos:

AD =l√

3

2. (2)

Agora, na figura 4 olhemos para o triangulo EGD. Como ∠EGF = 60◦ e ∠FGD = 30◦ temos que

EGD e um triangulo retangulo em G. Alem disso, como observado na solucao da alternativa (a), como

D e ponto medio de BC temos

DE =l

2,

e como F e ponto medio de DE temos

EG =CD

2=l

4.

Assim, por pitagoras temos:

DG2

+ EG2

= ED2 ⇒ DG

2+l2

16=l2

4.

Logo,

DG2

=l2

4− l2

16=

3l2

16

⇒ DG =l√

3

4. (3)

Portanto, substituindo (2) e (3) em (1) temos

1 =l√

3

2+l√

3

4=

3√

3

4l⇒ l =

4

3√

3=

4√

3

9.

Assim, o comprimento do lado do triangulo ABC e de 4√3

9m .

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Gabarito da Primeira Fase 2019 - N vel Beta...Nos extremos desta pra˘ca, cujo formato e circular, se encontram diversos institutos, entre eles o IMECC, o IFCH e o IFGW conforme indicado