Universidade Federal do Paraná Engenharia Industrial Madeireira Geometria Analítica Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Segunda Prova

Questão 1. Escreva a definição de elipse.

Elipse é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja soma da distância a dois pontos fixos (focos) é

sempre constante.

Explique qual o significado dos seus parâmetros

: semi-eixo maior, representando a distância do centro ao ponto mais distante pertencente a elipse.

semi-eixo menor, representando a distância do centro ao ponto mais próximo pertencente a elipse.

distância entre o centro e o foco.

excentricidade, representando uma proporção entre e .

Dois pontos fixos (Focos)

Extremidades, representando os pontos pertencentes a elipse mais distantes do centro.

Escreva a definição de hipérbole.

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja diferença, em valor absoluto, a dois pontos

fixos é sempre constante.

Explique qual o significado dos seus parâmetros c,

distância centro ao vértice.

distância centro ao foco.

Dois pontos fixos (Focos)

Vértices, representando os pontos mais próximos pertencentes a hipérbole em relação ao centro.

Questão 2. A partir da definição da parábola, obtenha uma equação para um caso em que o sistema

de referência esteja coincidente com o vértice da parábola e a diretriz seja paralela ao eixo

A parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto dado (foco) e a uma reta dada

(diretriz) é sempre igual. Sabendo disto, pode-se escrever coordenadas para os seguintes pontos:

(

) (

)

E pela definição de parábola temos que

Com este caso simplificado, pode-se reescrever a distância do ponto a diretriz como a distância de dois

pontos dados por:

Ou seja,

| | | |

Reescrito como

√(

)

√(

)

Desenvolvendo,

Questão 3. Sendo

Descreva a curva acima e encontre a nova equação após sofrer uma translação de maneira que o

ponto se torne o ponto Esboce ambos os gráficos.

A equação no sistema de referência é uma parábola tal que Seu gráfico é dado na Figura 1.

A nova parábola é obtida fazendo a translação desta de maneira que o ponto se torne, no novo

sistema de referência, o ponto

Sendo as coordenadas de um ponto qualquer no sistema de coordenadas e as

coordendas deste mesmo ponto no sistema de coordenadas , então:

{

Portanto, ao realizar as mudanças de coordenadas, a nova equação passa a ser:

Cujo gráfico é similar ao da Figura 1, mas transladado como pode ser observado na Figura 2.

Figura 1: Parábola centrada na origem.

Figura 2: Parábola com vértice em (5,6)

Questão 4. Seja O um objeto geométrico centrado na origem. Seja R uma rotação de um ângulo e

T uma translação qualquer. Explique a diferença entre aplicar R e em seguida T do que aplicar T e em

seguida R.

Como a rotação é de um ângulo em relação a origem do sistema isso implica que todos os pontos que

sofrem rotação o fazem em torno da origem do sistema de referência. Assim, um objeto centrado na

origem ao sofrer uma rotação rotaciona em torno dele mesmo. E um objeto que não está centrado na

origem, rotaciona, como um todo, em torno da origem do sistema de referência.

Questão 5. Identificar a cônica, localizando todos seus parâmetros, dada pela equação

Esboce o gráfico.

Completando quadrados,

Que representa uma hipérbole centrada no ponto , com

e semi-eixo real paralelo ao eixo-x. Seu gráfico está

na Figura 3.

Questão 6. Identificar a cônica, localizando todos seus parâmetros, dada pela equação

Esboce o gráfico.

Completando quadrados,

Que representa uma elipse centrada no ponto , com

e semi-eixo maior paralelo ao eixo-x. Seu gráfico

está na Figura 4.

Questão 7. Sendo uma elipse dada no sistema de referência auxiliar (Centrado na origem, com

semi-eixo maior paralelo ao eixo ), de maneira que . Após sofrer uma rotação de um

ângulo , o novo foco passa a ter coordenadas .

Figura 3: Gráfico Questão 5

Figura 4: Elipse Questão 6

Descreva um teste que permita encontrar o ângulo de rotação da elipse.

Como a elipse estava centrada na origem, pode-se construir dois vetores: . O ângulo entre

estes vetores representará o ângulo de rotação. Logo,

| | |

|

Para , genéricos, encontre a nova equação da elipse após sofrer esta rotação.

No sistema de referência , temos:

Entretanto, ao sofrer uma rotação de um ângulo , temos a seguinte transformação entre e :

{

E no novo sistema de referência a equação fica dada por: