Gabarito_Tarefa3

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas III - gabarito tarefa 3 Profa Denise Maria Varella Martinez

1

Tarefa Unidade 3 Gabarito:

1-6) Faa os exerccios propostos I, Unidade 3, pgina 20.

Exerccios propostos I:

Aplicando a regra de LHospital, calcular os seguintes limites.

1) 0

0

88

44

8x

4xlim

3

2

2x=

=

, aplicando a regra de LHospital podemos derivar o numerador e o

denominador separadamente e levantar a indeterminao:

3

1

12

4

x3

x2lim

)8x(dx

d

)4x(dx

d

lim8x

4xlim

22x3

2

2x3

2

2x===

=

2) )0(sen

)0cos(1

senx

xcos1lim

0x

=

, sabemos que cos(0)=1 e sen(0)=0, logo

0

0

senx

xcos1lim

0x=

, aplicando

a regra vem 01

0

xcos

)senx(lim

)senx(dx

d

)xcos1(dx

d

limsenx

xcos1lim

0x0x0x==

=

=

3) 2

3

4

6

4

)x6cos(6lim

4dx

)x6(d)x6cos(

lim0

0

x4

)x6(senlim

0x0x0x=====

4) 0x

2limx2lim

1

x2.

x

1lim

x2

1x

1

lim

dx

)x(d

dx

)x(lnd

limx

xlnlim

x

12

1

x

2/1

x

2/1

x2/1xx======

+

+=

+

+++++

5) +==

===

=

++++ 2

e.3.3lim

x2

e3lim

)x(dx

ddx

)e(d

limx

elim

x3

x

x3

x2

x3

x2

x3

x

6) 0

0

0

240lim

x

24xlim

0x0x=

+=

+

4x2

1)1.()4x(

2

1

dx

)2(d)4x(

dx

d)'24x()x('f 2/112/1

+=+=+=+= e calculando

)x('g vem 1)x()x('g ' == . Aplicando a regra de LHospital temos:

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas III Profa Denise Maria Varella Martinez

4

1

42

1

402

1

1

4x2

1

limx

24xlim

0x0x==

+=

+=

+

.

7-11) Faa os exerccios propostos II, Unidade 3, pgina 28

Exerccios Propostos II:

1. Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funes e determine os eventuais

pontos de mximo e mnimo:

Lembrando que: o ponto 0x fD tal que 0)x(f 0'

= ou )x(f 0' no existe ou

=)x(f 0' , chamado de ponto crtico da funo. Assim uma condio necessria

para a existncia de um extremo relativo em um ponto 0x que 0x seja um ponto crtico.

7) 3x12x2

7

3

x)x(f 2

3

++= ,

12x7x)x(f 2' += , fazendo 0)x(f ' = , 012x7x2 =+ obtemos

2

17

2

)12)(1(4497x

=

= , 4x1 = e 3x2 = . Logo ))4(f,4( e ))3(f,3( so

possveis pontos extremos da funo, ou seja, podem ser mximos ou mnimos.

Agora vamos analisar o sinal da funo derivada. Como temos uma funo do

segundo grau, sabemos que o grfico uma parbola de concavidade voltada para cima.

Assim, o sinal da primeira derivada negativo entre 3 e 4 e fora deste intervalo ele

positivo, conforme mostra o esboo abaixo.

Analisando o esboo podemos dizer que y>0 no intervalo (-,3) e no intervalo (4, +),

e y< 0 no intervalo (3,4). Logo: F.E.C.= (-,3) U (4, +) e F.E.D.= (3,4). Assim em

(3, 16,5) temos um ponto mximo e em (4,16,3) um ponto mnimo.

8) 3x)x(f =

2' x3)x(f = , fazendo 0)x(f ' = , 0x3 2 = obtemos 0x1 = e 0x2 = . Logo ))0(f,0( um

possvel ponto extremo da funo.


segundo grau (a funo primeira derivada), sabemos que o grfico uma parbola de

concavidade voltada para cima com razes reais e iguais. Assim, o sinal da primeira

derivada positivo antes e depois do zero, conforme mostra o esboo abaixo.

y 3 4

+ +

y 0

+ +


3

Logo a funo F.E.C= (-,0) U (0, +) e como a funo primeira derivada no

muda de sinal, no temos um ponto extremo.

9) 4x4

1)x(f =

33' xx4

4)x(f == , fazendo 0)x(f ' = , 0x3 = .

Sabemos que uma equao do terceiro grau tem no mnimo uma raiz real, que no caso

zero. Assim temos o produto de uma funo do primeiro grau por uma do segundo com

razes iguais a zero, conforme o esboo:

Desta forma a funo uma F.E.D = (-,0) e F.E.C.=(0, +) e (0,0) um ponto

de mnimo.

10) 3x

x)x(f

=

222

'

)3x(

3

)3x(

x3x

)3x(

)3x(dx

dx)x(

dx

d)3x(

)x(f

=

=

= , temos um ponto crtico

quando 0)x(f ' = ou )x(f ' no existe ou =)x(f ' . No caso quando x=3, a derivada primeira

infinita, logo x=3 um ponto crtico. Mas analisando o sinal da funo primeira derivada observamos

que o numerador sempre negativo e o denominador positivo (uma funo elevada ao quadrado),

logo a funo primeira derivada ser sempre negativa (o quociente por + = -). Assim a funo

F.E.D = (-,3)(3, +) e no tem ponto extremo.

11) 1x2x2

3

3

x)x(f 2

3

++=

0

+ + - - -

+ + + + + +

0

+ + - - -

Y


4

2x3x)x(f 2' += , fazendo 0)x(f ' = , 02x3x2 =+ obtemos

2

13

2

)2)(1(493x

=

= , 2x1 = e 1x2 = . Logo )3/5,2( e )6/11,1( so possveis

pontos extremos da funo, ou seja, podem ser mximos ou mnimos.


segundo grau, sabemos que o grfico uma parbola de concavidade voltada para cima.

Assim, o sinal da primeira derivada negativo entre 1 e 2 e fora deste intervalo ele

positivo, conforme mostra o esboo abaixo.

Analisando o esboo podemos dizer que y>0 no intervalo (-,1) e no intervalo (2, +),

e y< 0 no intervalo (1,2). Logo: F.E.C.= (-,1) U (2, +) e F.E.D.= (1,2). Assim em

(1, 1,8) temos um ponto mximo e em (2,-1,6) um ponto mnimo.

###A funo custo passou a ser 2x4x2xC 23 ++=

12) A funo custo mensal de fabricao de um produto 2x4x2xC 23 ++= , e o preo de venda

x3p = .Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o mximo

lucro?

Resoluo: O lucro total dado por

Lucro(L)= Receita (R) Custo (C ) e a receita R=p.x, assim

2x3x).x3()x(R == . Logo ( ) 2x4xx2x4x2x)x3(L 23232 ++=++= Calculando a derivada primeira da funo Lucro em relao x temos:

4x2x3L 2' ++=

Fazendo 04x2x3 2 =++ temos 3

13

3

1x = que so os pontos crticos. Como a

derivada do lucro representada por uma parbola de concavidade voltada para baixo,

entre as razes a funo derivada positiva e fora delas negativa.

Desta forma quando x=1,5 teremos a quantidade mxima a ser produzida e vendida

mensalmente para dar lucro.

y 1 2

+ +

-0,9 1,5

+ - -


5

13) Dada a funo custo 20x60x63

xC 2

3

++= , mostre que tal funo sempre crescente e tem

um ponto mnimo para x=0.

Resoluo: A funo 60x12x)x(C 2' += , no tem raiz real, logo ela uma funo

sempre positiva. Assim C(x) estritamente crescente de (-,+). No temos ponto extremo, mas em

x=0 temos um custo mnimo igual a 20 (chamado de custo fixo), ou seja C(0)=20.

14) Com relao ao exerccio anterior, obtenha o custo marginal (dica: derivada do custo) e mostre

que ele tem um ponto de mnimo para x=6.

Resoluo: A funo custo marginal dada por 60x12xC)x(C 2mg' +== . A

derivada da funo custo marginal 12x2C mg'

= , (fazendo 012x2 = temos que x=6, logo x=6

um ponto crtico. A derivada da funo custo marginal uma reta crescente, onde antes de x=6

negativa e depois positiva. Assim em x=6 temos um ponto mnimo.

15) Dada a funo de demanda x20p = , obtenha o preo que deve se cobrado para maximizar a

receita. Se a funo custo for x220C += , obtenha o preo que deve ser cobrado para maximizar o

lucro.

Resoluo: Receita=p.x (p= preo e x= quantidade)

Assim 2xx20x)x20(R == , calculando a derivada primeira de R obtemos o ponto

crtico 10x0x220x220R ' === . Podemos usar o critrio da primeira

derivada: a funo primeira derivada uma funo do primeiro grau decrescente, logo

antes de x=10 a funo positiva, aps negativa. Ento em x=10 temos um valor

mximo.

Portanto o preo a ser cobrado para maximizar a receita 10)10(20p == .

Lucro(L)= Receita (R) Custo (C ), ento

( ) 20x18xx220)xx20(L 22 +=+= , calculando a primeira derivada 18x2L' += e fazendo 018x2 =+ obtemos o ponto crtico x=9. Como L(x) uma reta decrescente,

isto , L(x) positiva antes de x=9 e negativa depois. Logo em x=9 temos um ponto

mximo.

Portanto o preo que maximiza o Lucro p=20-9=11.

+

10


6

16) A funo demanda mensal de um produto x1.040p = , e a funo custo mensal

50x60x73

xC 2

3

++= .

a) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro, e o correspondente preo.

Resoluo: O lucro total dado por

Lucro(L)= Receita (R) Custo (C ) e a receita R=p.x, assim

2x1.0x40)x(R =

50x20x10

69x

3

150x60x7x

3

1)x

10

1x40(L 23232 +=

++=

Calculando a derivada primeira da funo Lucro em relao x temos:

6,1xe2,12x020x14x20x14xL 22' ===++=

A funo primeira derivada L(x) representada por uma parbola de concavidade voltada para baixo,

entre as razes seu sinal positivo. Assim a funo L(x) decresce at x=1,6, cresce at x=12,2 e

decresce depois deste valor, logo em x12,2 temos um mximo. O preo p=40-0.1(12,2) 38.

b) Mostre que, para o valor de x, encontrado no item anterior, a receita marginal igual ao custo

marginal.

Receita Marginal = x2,040)x('RRmg == e o custo marginal = 60x14x)x('CC2

mg +==

38)2,12(2,040)2,12(Rmg =

3860)2,12(14)2,12()2,12(C 2mg +=

Documents

Gabarito_Tarefa3