Geologia - University of São Paulo

GeologiaUSPSérie Científica

Revista do Instituto de Geociências - USP

- 37 -Disponível on-line no endereço www.igc.usp.br/geologiausp

Geol. USP Sér. Cient., São Paulo, v. 7, n. 2, p. 37-48, outubro 2007

Aplicação de Krigagem com Correção do Efeito deSuavização em Dados de Potenciometria da

Cidade de Pereira Barreto - SP

Marcelo Monteiro da Rocha1 ([email protected]), Débora Amato Lourenço2, Cláudio Benedito Baptista Leite3

1Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental - Instituto de Geociências - USPR. do Lago 562, CEP 05508-080, São Paulo, SP, BRA

2Votorantim Metais, Osasco, SP, BRA3Seção de Recursos Hídricos - IPT, São Paulo, SP, BRA

Recebido em 16 de agosto de 2006; aceito em 19 de janeiro de 2007

Palavras-chave: Geoestatística, variograma não-estacionário, krigagem dos resíduos, krigagem com correção do efeito desuavização, superfície potenciométrica, Hidrogeologia.

RESUMO

Este trabalho aborda a análise geoestatística e a estimativa de dados potenciométricos através da krigagem ordinária e dakrigagem com correção do efeito de suavização, objetivando a constatação do método que melhor reproduz a superfíciepotenciométrica. Os dados são provenientes do Reservatório de Três Irmãos, Pereira Barreto - SP, consistindo em 186 poçoscom informações da cota do nível d’água medido durante a instalação da barragem. A variável potenciometria foi tratadaatravés de seus resíduos, pois o semivariograma apontou a existência de tendência. Essa deriva foi retirada, então, por umasuperfície polinomial de grau 1. A comparação dos valores estimados pelas duas krigagens permitiu constatar que a krigagemcom correção do efeito de suavização foi mais fiel na reprodução dos dados potenciométricos, uma vez que a variância foiincrementada em relação à krigagem ordinária.

Keywords: Geostatistics, non-stationary variogram, kriging of residuals, kriging with smoothing effect correction,potentiometric surface, Hydrogeology.

ABSTRACT

This work deals with geostatistical analysis and the estimation of hydraulic head data using two methods: ordinarykriging and kriging with correction of the smoothing effect. Both methods were applied in order to verify which one betterreproduces the potentiometric surface of Pereira Barreto – SP. The data were drawn from the Três Irmãos Reservoir, and arecomposed of 186 sample points with hydraulic head information, measured during the installation of the dam. The studiedvariable presented non stationary semivariograms, interpreted as the result of a regional drift. To remove this drift a first-degree polynomial surface was computed, and geostatistics evaluated the residuals. The kriging procedure with correction ofthe smoothing effect gives a more faithful reproduction of the potentiometric data, since the variance was greater than thatobtained by ordinary kriging.

Marcelo Monteiro da Rocha et al.

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INTRODUÇÃO

Durante a implantação de uma usina hidroelétrica é ne-cessária a realização de diversos estudos sobre os impactosque o enchimento do reservatório causará sobre o meio,entre eles destaca-se o efeito causado no nível potencio-métrico regional. Nestes estudos quanto maior a quantida-de de informação disponível melhor, porém a coleta de umagrande quantidade de dados de potenciometria gera umcusto elevado e, mesmo assim, não é possível o conheci-mento de todos os pontos do domínio com valorespotenciométricos.

Uma ferramenta útil para contornar este problema é ageoestatística, pois os dados coletados são georreferencia-dos e existe relação espacial entre os valores, sendo assim,possível a estimativa dos valores de potenciometria em locaisonde eles não são conhecidos e também o cálculo de umamedida de erro associada a cada ponto ou bloco estimado.

Dos vários métodos de estimativa existentes o mais di-fundido é a krigagem ordinária. Este método resulta em va-lores com mínima variância de erro, o que confere ao domí-nio estimado precisão local, porém estas estimativas sãosuavizadas (efeito de suavização da krigagem). A suavizaçãoobtida pelo estimador da krigagem é uma característica pou-co desejada, pois valores de máximo da distribuição estatís-tica dos dados tendem a ser subestimados e valores demínimo superestimados.

Buscando contornar esta situação, Yamamoto (2005),propôs um método de correção para o efeito de suavizaçãoda krigagem ordinária o que confere às estimativas precisãoglobal, ou seja, reprodução das estatísticas e variância es-pacial, além de manter a precisão local que se traduz pelareprodução de médias locais.

Dados potenciométricos descrevem um fenômeno que,via de regra, é não estacionário, ou seja, não possui variânciaespacial finita. Para tratar dados não estacionários váriosmétodos de estimativa geoestatística foram propostos, den-tre eles destacam-se a krigagem dos resíduos, que consisteem estimar os resíduos de uma superfície de tendência ajus-tada aos dados; e a krigagem universal ou krigagem para ummodelo de tendência, que consiste na filtragem da tendên-cia por meio de uma função determinística que represente ofenômeno causador da deriva.

No presente trabalho optou-se por aplicar o método dakrigagem dos resíduos, pois deste modo poder-se-ia com-parar os resultados desta krigagem com aqueles obtidospelo mesmo método, porém corrigidos quanto ao efeito desuavização, como proposto por Yamamoto (2005), por fimcomparar ambos resultados com a interpretação tradicionalde potenciometria e, deste modo, aferir qual método res-ponde melhor a este tipo de dado. O alvo objeto deste estu-do são os dados de potenciometria, como já afirmado, no

município de Pereira Barreto, no Estado de São Paulo à mar-gem do Reservatório de Três Irmão.

CARACTERÍSTICAS DA ÁREA

O município de Pereira Barreto localiza-se a aproximada-mente 650 km da cidade de São Paulo, podendo ser acessadopela rodovia dos Bandeirantes (SP-348) até o município deCordeirópolis e em seguida pela rodovia Washington Luiz(SP-310). Outra forma de acesso se dá pela rodovia CastelloBranco (SP-280) até a cidade de Botucatu e então pela rodo-via Marechal Rondon (SP-300) chegando a Pereira Barreto,conforme observado na Figura 1, mapa de localização e aces-so à área de estudo.

O reservatório de Três Irmãos, junto ao qual se situa acidade, possui aproximadamente 150 km de extensão, sendoo sexto barramento do Rio Tietê. Segundo Leite (2005), oreservatório ocupa cerca de 780 km2, elevando o rio, na bar-ragem, em 47,2 m. Na região de Pereira Barreto ocorrem sedi-mentos da Bacia Bauru, representados pelo Grupo Caiuá,Formações Rio Paraná e Santo Anastácio, e Grupo Bauru(Formação Araçatuba e Formação Vale do Rio do Peixe). Ossedimentos desta bacia encontram-se sobrepostos aosbasaltos da Formação Serra Geral do Grupo São Bento daBacia do Paraná e estão abaixo de depósitos Terciários-Quaternários representados por coluviões, aluviões ecascalheiras (Figura 2).

A Formação Serra Geral aflora de forma restrita junto àmargem direita do reservatório e é constituída por um con-junto de derrames basálticos toleíticos de espessuras variá-veis (IPT, 1983). Sondagens realizadas descrevem estesbasaltos como alterados para uma argila siltosa, com colo-rações variadas (roxo, cinza, tons de amarelo e marrom),muito fraturada, além de intercalações de camadascentimétricas a métricas de brechas basálticas com matrizareno-calcárea ou arenosa. O manto de alteração formadopor estas rochas possui espessura variável.

A Formação Rio Paraná ocorre em Pereira Barreto aolongo da margem direita do reservatório e é composta porarenitos marrom-avermelhado a arroxeados, de granulaçãofina a muito fina com composição quartzosa bem seleciona-do e com grãos arredondados (Leite, 2005). Ainda nos sedi-mentos do Grupo Caiuá, a Formação Santo Anastácio ocor-re margeando o reservatório, desde o vale do Ribeirão ÁguaFria, afluente do Rio Tietê, até a região da cidade de PereiraBarreto. Esta formação é constituída por estratos tabularesde arenito, com coloração marrom-arroxeada, de grãos finosa muito finos, subangulosos a subarredondados, formandopacotes maciços pobremente selecionados (Leite, 2005).

A Formação Araçatuba, do Grupo Bauru, é a formaçãode maior ocorrência na área estudada. Ela repousa direta-mente sobre os basaltos da Formação Serra Geral e

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Figura 1. Mapa de localização e acesso à área.


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interdigita-se lateralmente com a Formação Vale do Rio doPeixe (Fernandes e Coimbra, 2000). É constituída por umasucessão de estratos tabulares essencialmente pelíticos, deaspecto maciço com predominância de siltitos e arenitosmuito finos, de coloração esverdeada, geralmente comcimentação carbonática. Por sua vez, a Formação Vale doRio do Peixe, ocorre nas duas margens do reservatóriorecobrindo os sedimentos da Formação Santo Anastácio. Aformação é constituída por arenitos estratificados de colo-ração rosada a marrom e granulação fina intercalados alamitos arenosos maciços (Leite, 2005).

O pacote composto por aluviões, coluviões, solo de al-teração de arenito, arenito, solo de alteração de basalto,eventualmente sem uma ou outra destas unidades, consti-tui o sistema aqüífero livre regional tendo como substratosemi-impermeável a impermeável os basaltos da FormaçãoSerra Geral que, por sua vez, constitui o aqüífero regionalsemiconfinado, com porosidade de fissuras.

As espessuras médias do sistema aqüífero livre na re-gião situam-se entre 50 e 150 m, com tendência de aumento,a partir da calha do Rio Tietê para os divisores norte e sul oque destaca o condicionamento destas, preferencialmenteà morfologia da superfície e secundariamente pelo topo ro-choso basáltico (IPT, 1983).

MATERIAIS

Os dados utilizados neste trabalho são resultado do le-vantamento hidrogeológico realizado pelo IPT em convê-nio com a Companhia Energética de São Paulo - CESP, como objetivo de avaliar o impacto do reservatório de Três Ir-mãos sobre a superfície potenciométrica do aqüífero livre.

A base de dados é composta por 186 pontos georreferen-ciados (Figura 3) com informações da cota do nível d’água,medidas em Abril de 1984, tratadas estatística e geoestatis-ticamente pelo Sistema GeoVisual, versão 2.2 (Yamamoto,2002) e para representações gráficas foram utilizados os pro-gramas AutoCad 14® e Surfer®, versão 6.0.

MÉTODOS

Dados de potenciometria, conforme já destacado, geral-mente resultam em variogramas não estacionários. Para con-tornar esta situação optou-se por trabalhar os resíduos deuma superfície polinomial, de grau 1, ajustada àqueles.

O ajuste polinomial foi realizado satisfazendo o critériodos mínimos quadrados, ou seja, o ajuste deve ser feito detal modo que a soma dos quadrados das diferenças entre asuperfície e as observações seja mínima. Segundo Davis(1986) a análise de superfícies de tendência é realizada como intuito de separar dados, distribuídos em mapas, em doiscomponentes distintos, um de natureza regional, responsá-vel pela deriva e outro composto por flutuações locais, ex-presso como os resíduos da superfície que apresentamvariogramas experimentais estacionários.

Extraídos os resíduos, suas estatísticas foram calcula-das com o objetivo de descrever a nova distribuição dedados. Após a análise estatística foi realizada a análisegeoestatística, onde os variogramas experimentais foramcalculados para quatro direções buscando a presença deanisotropia. Constatada a anisotropia os variogramas fo-ram recalculados para apenas duas direções: a direção prin-cipal de anisotropia e sua perpendicular. Estes variogramasforam utilizados para o ajuste do modelo teórico, realizadode forma interativa.

Segundo Chilès e Delfiner (1999) a krigagem é uminterpolador linear exato e, segundo Journel e Huijbregts(1978), os n pesos λi são calculados de modo a garantir queo estimador seja não-enviesado e ainda que a variância daestimativa seja mínima. A krigagem ordinária é o método

Figura 2. Mapa geológico da região de Pereira Barreto(modificado de Fernandes, 1998).


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Figura 3. Mapa de distribuição dos pontos de controle potenciométrico (modificado de Leite, 2005).


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( )[ ] ( )[ ] [ ] 020

* ≥=− SExZVarxZVar OK

mais popular de krigagem, pois não necessita da médiapopulacional conhecida, como a maioria dos outros méto-dos geoestatísticos, por outro lado, existe a obrigatoriedadede que haja estacionariedade de segunda ordem.

O estimador da krigagem ordinária é obtido, segundoMatheron (1963), conforme:

onde é o atributo da variável estimado no ponto X0;λi são os ponderadores de krigagem; Z(Xi ) é o valor obser-vado da variável Z no i-ésimo ponto.

Para a krigagem ser ordinária deve-se satisfazer a condi-ção de que:

(Matheron, 1963).

Os ponderadores são obtidos pela resolução de um sis-tema de equações lineares do tipo AX = B, denominadosistema de krigagem, que conforme Armstrong (1998) podeser escrito como segue:

onde é a variância espacial da n-ésima amostra comrelação a ela mesma; µ é o Multiplicador de Lagrange;e é a variância espacial entre a n-ésima amostra eo ponto x0 que será estimado.

A krigagem ordinária com correção do efeito desuavização utiliza o conceito de variância de interpolação,proposta em Yamamoto (2000), para corrigir a variância dasestimativas. A variância de interpolação é um algoritmo efi-caz na quantificação das incertezas associadas à estimati-va. Esta medida é calculada como (Yamamoto, 2000):

sob a condição de que os pesos sejam sempre positivos.Como pode ser observado na equação, esta é uma medidaheterocedástica, conforme a definição de Olea (1991), re-conhecendo discrepâncias entre os valores observados eos estimados.

A variância de interpolação é utilizada na correção umavez que o déficit de variância, característico do efeito desuavização, pode ser expresso em sua função, conforme:

a qual pode ser interpretada como a variância de suavização

do estimador de krigagem (Yamamoto, 2005).A variância de interpolação deriva-se no número de des-

vios padrão de interpolação ( ) que deve ser calculadopara todos os pontos da malha regular definida para o domí-nio. O é obtido como:

onde ε é o erro verdadeiro resultante da validação cruzadae calculado:

com sendo o desvio padrão de interpolação calculadosimplesmente como a raiz quadrada da variância deinterpolação.

Conforme observa-se, pela validação cruzada obtém-seo apenas nos pontos amostrados, desta feita é neces-sário estimar os valores desta nova variável, para todos ospontos da malha, por krigagem ordinária. O erro verdadeiroassume valores maiores e menores que zero, assim como onúmero de desvios padrão de interpolação, conseqüente-mente os valores estimados também serão positivos ounegativos.

O passo seguinte consiste em estimar os valores de em todos os nós da malha definida no passo ante-

rior. Esta estimativa deve ser realizada utilizando osparâmetros definidos para a interpolação de . Após aestimativa de realiza-se a correção do efeito desuavização propriamente dito, como segue:

Segundo Yamamoto (2005), após a correção deve-severificar se o limite inferior e o superior da distribuição sãorespeitados, caso o valor estimado esteja fora destes limitesele deve ser corrigido, detalhes sobre esta correção podemser obtidos em Yamamoto (2005).

Ainda segundo Yamamoto (2005) a última correção a seraplicada refere-se à média das estimativas que deve ser pró-xima à média amostral. Para realizá-la a média dedeve ser calculada e comparada à média de Z(X). Destacomparação resulta uma constante (K) obtida:

A krigagem dos resíduos é uma opção para os casos devariáveis não estacionárias, cuja deriva pode ser filtrada poruma superfície de polinomial de baixo grau ajustada ao con-junto de dados. Segundo Neuman e Jacobson (1984) a esti-mativa por krigagem dos resíduos consiste em estimar osresíduos e então somá-los à deriva, representada pela super-

( ) ( )∑=

=n

iii XZXZ

10

* λ

( )0* XZ

∑=

=n

ii

11λ

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1;

;

0111;;

1;;

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

γ

γ

µλ

λ

γγ

γγMM

L

L

MMOM

L

( )nn xx ;γ

( ) ( ) ( ) 000*

0**

0sxNxzxz SOKOK ⋅+=

( )XZOK**

( )[ ] ( )[ ]xZExZEK OK**−=

( )0; xxnγ

s0


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fície de tendência obtida pelo ajuste polinomial, conforme:

onde é o valor da superfície polinomial ajustada aoi-ésimo ponto amostral do domínio e é o resíduo dai-ésima amostra. A partir desta equação Neuman e Jacobson(1984) definem estimado em cada centro de célula damalha regular como sendo:

e o resíduo estimado, , como:

Assim como na krigagem ordinária, para garantir aminimização da variância do erro, deve-se satisfazer:

Deste modo, pode-se utilizar a krigagem ordinária aplica-da aos resíduos para então somá-lo à superfície de tendência.

APRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃODOS RESULTADOS OBTIDOS

Pela análise do histograma apresentado na Figura 4 ob-serva-se que a potenciometria na área tem distribuição leve-mente assimétrica positiva e as estatísticas descritivas mos-tradas nesta figura corroboram com a afirmação.

Realizada a análise exploratória dos dados observou-sea presença de anisotropia mista no domínio com direção demaior continuidade a de 45o. O variograma apresentado naFigura 5 é não estacionário. Para filtrar a deriva apresenta-da, uma superfície polinomial de grau 1 foi ajustada à variá-vel potenciometria e seus resíduos foram calculados, comopode ser observado nas Figuras 6A e 6B, que são respecti-vamente a superfície ajustada e os resíduos obtidos.

A partir dos valores dos resíduos foi realizada nova aná-lise exploratória sendo, então, obtido o variograma experi-mental da Figura 7. Os parâmetros de cálculo destesvariogramas foram o passo de 250 m com tolerância de 125m, duas direções de cálculo, 45o e 135o com tolerância angu-lar de 45o. Ao variograma experimental ajustou-se o modeloteórico de variograma mostrado na Figura 7, cujas caracte-rísticas podem ser observadas na Tabela 1.

Buscando avaliar o ajuste e, principalmente, definir osparâmetros de busca de vizinhança a utilizar nas estimativasrealizou-se a validação cruzada dos dados. O diagrama dedispersão da variável estimada contra a variável real pode serobservado na Figura 8. Analisando-se este gráfico nota-se a

Figura 5. Variograma calculado nas direções de 45° e 135°apresentando deriva.

pequena dispersão da nuvem de pontos o que, aliado ao altocoeficiente de correlação (r = 0,9), permite afirmar que tanto omodelo quanto a vizinhança definida foram adequados. Comovizinhança foram utilizados 2.000 m de raio de busca, no míni-mo uma e, idealmente, quatro amostras para estimar um ponto.

Figura 4. Histograma e estatísticas descritivas dos dadosde potenciometria.

( )XZ

( ) ( ) ( )0*

00* xRxFxZ +=

( )0* XR

( ) ( )∑=

=n

iii xRxR

10

* λ

∑=

=n

ii

11λ

( )iXF


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A análise dos histogramas dos resíduos estimados pelakrigagem de resíduos (Figura 9) e pela krigagem de resíduoscom correção do efeito de suavização (Figura 10) mostraque o método de correção é eficaz, uma vez que a média e odesvio padrão desta estimativa são muito próximos da dis-tribuição original (Figura 11). Comparando as Figuras 9, 10 e11 observa-se que a distribuição da estimativa com corre-ção (Figura 11) se aproxima mais à distribuição dos dadosde resíduo (Figura 9).

Na Figura 12 são apresentadas as curvas potencio-métricas obtidas a partir das estimativas e aquela obtidamanualmente, baseada no amplo conhecimento e larga ex-periência do profissional responsável pela elaboração domapa. Pela observação desta figura pode-se afirmar que ascurvas da krigagem de resíduos com correção do efeito desuavização é a que mais se aproxima da configuração regio-nal da superfície potenciométrica, neste caso assumindocomo sendo a curva manualmente interpretada.

Tabela 1. Parâmetros do Modelo Teórico de Variograma.

Figura 7. Variograma modelado e valores das propriedadesutilizadas para seu ajuste.

Figura 6. A. Mapa da superfície de tendência de grau 1.B. Mapa de resíduos.


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Figura 8. Diagrama de dispersão da validação cruzada.

Figura 9. Histograma de resíduos dos dados originais esuas estatísticas descritivas.

Figura 10. Histograma e estatísticas descritivas dos resíduosestimados pela krigagem ordinária.

Figura 11. Histograma e estatísticas descritivas dos resí-duos estimados pela krigagem com correção do efeito desuavização.


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Os diagramas P-P apresentados na Figura 13 e na Figura14 corroboram com a interpretação realizada. A Figura 13mostra o diagrama das estimativas dos resíduos, sendo ospontos cheios a estimativa corrigida e os pontos vazios a

estimativa dos resíduos. Já na Figura 14 apresenta-se o mes-mo tipo de gráfico, porém para a superfície potenciométrica,os pontos cheios são os valores corrigidos e os triângulosvazios são os valores estimados, mas não corrigidos.

Figura 12. Mapa potenciométrico com curvas obtidas manualmente, pela krigagem com correção do efeito de suavizaçãoe pela krigagem ordinária.


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CONCLUSÕES

A estimativa de dados de potenciometria pelos diferen-tes métodos de krigagem, a krigagem de resíduos e akrigagem de resíduos com correção do efeito de suavização,permitiu a comparação e a constatação do método que me-lhor reproduz as condições naturais da superfície potencio-métrica, no município de Pereira Barreto.

O tratamento dos dados pelos resíduos, retirados dasuperfície de tendência de grau 1, mostrou que a deriva estárelacionada a uma tendência regional apresentada pelosdados. As estimativas realizadas pela krigagem dos resí-duos com correção do efeito de suavização resultaram emvalores mais próximos aos amostrais e ainda mais seme-lhantes ao mapa potenciométrico, interpretado manualmen-te, mostrando que o método é superior ao método tradicio-nalmente utilizado.

Finalizando, o uso da geoestatística possibilita a elabo-ração de mapas potenciométricos confiáveis, que poderãoser utilizados para os mais diversos fins, como a visualizaçãode áreas suscetíveis à elevação do nível freático, analisan-do-se diferentes momentos na configuração da superfíciepotenciométrica.

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Figura 13. Diagrama P-P, os pontos cheios representam osvalores de resíduos estimados pela KCES e pontos vazios osvalores residuais estimados pela KO.

Figura 14. Diagrama P-P, os pontos cheios representam osvalores de potenciometria estimados pela KCES e ostriângulos vazios os valores estimados pela KO.


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