Embed Size (px)
Citation preview
2018/Sem_02
NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Cônicas
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear
ii
Índice 9 Curvas Cônicas ......................................................................................................... 1
9.1 Elipse ................................................................................................................ 1 9.2 Hipérbole .......................................................................................................... 5
9.3 Parábola ............................................................................................................ 8 9.4 Exercícios propostos: ...................................................................................... 11 Referências Bibliográficas ........................................................................................ 12
Prof. Nunes 1
Geometria Analítica e Álgebra Linear
9 Curvas Cônicas
9.1 Elipse
Definição:
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias até dois pontos fixos desse
plano é constante.
9.1.1 Elementos da Elipse
Focos da elipse: são os pontos fixos 1F e 2F ;
Distância focal: é o comprimento do segmento cFF 221 = ;
Centro da elipse: é o ponto O , ponto médio do segmento 21FF ;
Eixo maior da elipse: é o segmento aAA 221 = ;
Eixo menor da elipse: é o segmento bBB 221 = ;
Excentricidade: é a razão a
c=e , em que 1e0 ;
Relação notável: 222 cba += .
9.1.2 Equação Reduzida da Elipse
Caso 1 – Se o centro da elipse está na origem do sistema de coordenadas e o eixo maior
está no eixo das abscissas:
Ver figura da definição da seção 9.1.
Neste caso, os focos são )0,(1 cF −= e )0,(2 cF = .
Para um ponto ),( yxP da elipse:
aFPdFPd 2),(),( 21 =+ 22 )0()( −++ ycx +
22 )0()( −+− ycx = a2
2222 )(2)( ycxaycx +−−=++
Elevando os dois membros ao quadrado:
Prof. Nunes 2
Geometria Analítica e Álgebra Linear
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++
222222222 2)(442 yccxxycxaayccxx ++−++−−=+++
cxaycxa 44)(4 222 −=+−
Dividindo os dois membros por 4:
cxaycxa −=+− 222)(
Elevando os dois membros ao quadrado:
22222 )(])[( cxaycxa −=+−
22242222 2)2( xccxaayccxxa +−=++−
22242222222 22 xccxaayacacxaxa +−=++−
)()( 22222222 caayacax −=+−
Como 222 cba += , podemos escrever 222 bca =−
222222 bayaxb =+
Dividindo os dois membros por ),0,0(22 baabba
12
2
2
2
22
22
22
22
22
22
=+=+b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
Equação reduzida: 12
2
2
2
=+b
y
a
x
Caso 2 – Se o centro da elipse está na origem do sistema de coordenadas e o eixo maior
está no eixo das ordenadas:
Neste caso, os focos são ),0(1 cF = e ),0(2 cF −= .
Prof. Nunes 3
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Procedendo de forma análoga ao caso anterior, obtemos a equação reduzida:
12
2
2
2
=+a
y
b
x.
Caso 3 – Se o centro da elipse está no ponto ),( 00 yx e o eixo maior está em uma reta
paralela ao eixo das abscissas:
Neste caso, os focos são ),( 001 ycxF −= e ),( 002 ycxF += .
Equação reduzida: 1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
+−
b
yy
a
xx
Caso 4 – Se o centro da elipse está no ponto ),( 00 yx e o eixo maior está em uma reta
paralela ao eixo das ordenadas:
Neste caso, os focos são ),( 001 cyxF += e ),( 002 cyxF −= .
Equação reduzida: 1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
+−
b
xx
a
yy.
Prof. Nunes 4
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exemplo:
1) Considere a curva cônica de equação geral 011181694 22 =−−−+ yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Resolução:
011181694 22 =−−−+ yxyx
11189164 22 =−+− yyxx
11)2(9)4(4 22 =−+− yyxx completando o quadrado perfeito, obtemos:
91611)12(9)44(4 22 ++=+−++− yyxx
36)1(9)2(4 22 =−+− yx
14
)1(
9
)2( 22
=−
+− yx
Centro: )1,2(),( 00 =yx
222 cba += e 92 =a e 42 =b
549 2222 =+=+= cccba
3
5e ==
a
c
Neste caso, os focos são )1,52(),( 001 −=−= ycxF e )1,52(),( 002 +=+= ycxF .
Respostas: 14
)1(
9
)2( 22
=−
+− yx
, 3
5e = , Centro: )1,2( ,
)1,52(1 −=F e )1,52(2 +=F .
Prof. Nunes 5
Geometria Analítica e Álgebra Linear
9.2 Hipérbole
Definição: Hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano tais que a diferença de suas
distâncias a dois pontos fixos desse plano é uma constante positiva e menor que a distância
entre esses pontos.
9.2.1 Elementos da Hipérbole
Focos da hipérbole: são os pontos fixos 1F e 2F ;
Distância focal: é o comprimento do segmento cFF 221 = ;
Centro da hipérbole: é o ponto O , ponto médio do segmento 21FF ;
Vértices da hipérbole: são os pontos 1A e 2A ;
Eixo real ou transverso: é o segmento aAA 221 = ;
Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento bBB 221 = ;
Excentricidade: é a razão a
c=e , em que 1e , pois ca .
Relação notável: 222 bac +=
Caso 1 – Se o centro da hipérbole está na origem do sistema de coordenadas e o eixo real
está no eixo das abscissas:
Ver figura da definição da seção 9.2.
Neste caso, os focos são 𝐹1 = (−𝑐, 0) e 𝐹2 = (𝑐, 0).
Equação Reduzida: 12
2
2
2
=−b
y
a
x
Caso 2 – Se o centro da hipérbole está na origem do sistema de coordenadas e o eixo real
está no eixo das ordenadas:
Prof. Nunes 6
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Neste caso, os focos são ),0(1 cF = e ),0(2 cF −= .
Equação Reduzida: 12
2
2
2
=−b
x
a
y
Caso 3 – Se o centro da hipérbole está no ponto ),( 00 yx e o eixo real está em uma reta
paralela ao eixo das abscissas:
Neste caso, os focos são 𝐹1 = (𝑥0 − 𝑐, 𝑦0) e 𝐹2 = (𝑥0 + 𝑐, 𝑦0).
Equação Reduzida: 1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
−−
b
yy
a
xx
Caso 4 – Se o centro da hipérbole está no ponto ),( 00 yx e o eixo real está em uma reta
paralela ao eixo das ordenadas:
Prof. Nunes 7
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Neste caso, os focos são ),( 001 cyxF += e ),( 002 cyxF −= .
Equação Reduzida: 1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
−−
b
xx
a
yy.
Exemplo:
1) Considere a curva cônica de equação geral 0482045 22 =−−−− yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Resolução:
0482045 22 =−−−− yxyx
484205 22 =−−− yyxx
4)2(4)4(5 22 =+−− yyxx completando o quadrado perfeito, obtemos:
4204)12(4)44(5 22 −+=++−+− yyxx
20)1(4)2(5 22 =+−− yx
15
)1(
4
)2( 22
=+
−− yx
Centro: )1,2(),( 00 −=yx
222 bac += e 42 =a e 52 =b
3542222 =+=+= ccbac
2
3e ==
a
c
Prof. Nunes 8
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Neste caso, os focos são )1,1(),( 001 −−=−= ycxF e )1,5(),( 002 −=+= ycxF .
Respostas: 15
)1(
4
)2( 22
=+
−− yx
, 2
3e = , Centro: )1,2( − ,
)1,1(1 −−=F e )1,5(2 −=F .
9.3 Parábola
Definição: Denomina-se parábola o conjunto dos pontos de um plano eqüidistantes de um
ponto fixo F e de uma reta fixa d , dF , do plano.
9.3.1 Elementos da Parábola
Foco da parábola: é o ponto F ;
Reta diretriz: é a reta d;
Eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz;
Vértice da parábola: é o ponto V , ponto médio do segmento MF , isto é pVFMV == .
9.3.2 Equação Reduzida da Parábola
Prof. Nunes 9
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Caso 1 – Se o vértice da parábola está na origem do sistema de coordenadas e a
concavidade estiver voltada para a direita:
Ver figura da definição da seção 9.3.
−+−=−++= 2222 )0()()()( ypxyypxPFPQ
pxyyppxxppxx 422 222222 =++−=++
Equação Reduzida: pxy 42 =
Caso 2 – Se o vértice da parábola está na origem do sistema de coordenadas e a
concavidade estiver voltada para a esquerda:
Equação Reduzida: pxy 42 −=
Caso 3 – Se o vértice da parábola está na origem do sistema de coordenadas e a
concavidade estiver voltada para cima:
Equação Reduzida: pyx 42 =
Caso 4 – Se o vértice da parábola está na origem do sistema de coordenadas e a
concavidade estiver voltada para baixo:
Prof. Nunes 10
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Equação Reduzida: pyx 42 −=
Observação: em qualquer destes casos, se o vértice estiver no ponto ),( 00 yx , substituir nestas
equações reduzidas x por 0xx − e y por 0yy − (ver figuras que seguem).
Prof. Nunes 11
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exemplo:
1) Considere a curva cônica de equação geral 0271022 =+−+ yxy . Determine a equação
reduzida, a reta diretriz, as coordenadas do vértice e do foco.
Resolução:
0271022 =+−+ yxy
272102 −−=− xyy completando o quadrado perfeito, obtemos:
2527225102 +−−=+− xyy
)1(2)5( 2 +−=− xy
comparando esta equação à )(4)( 0
2
0 xxpyy −−=− , concluímos que:
2
124 =−=− pp e
Vértice: =),( 00 yx )5,1(−
Neste caso, o foco é )5,2
3(),( 001 −=−= ypxF .
Respostas: )1(2)5( 2 +−=− xy , 2
1−=x , Vértice: )5,1(− e )5,
2
3(−=F .
9.4 Exercícios propostos:
Em todos os exercícios propostos que seguem, além de encontrar os elementos pedidos,
faça um esboço da curva, identificando qual é a cônica considerada (elipse, hipérbole ou
parábola).
Prof. Nunes 12
Geometria Analítica e Álgebra Linear
1) Considere a curva cônica de equação geral 0436894 22 =+−−+ yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Respostas: 14
)2(
9
)1( 22
=−
+− yx
, 3
5e = , Centro: )2,1( ,
)2,51(1 −=F e )2,51(2 +=F .
2) Considere a curva cônica de equação geral 031164501625 22 =−+++ yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Respostas: 125
)2(
16
)1( 22
=+
++ yx
, 5
3e = , Centro: )2,1( −− ,
)5,1(1 −−=F e )1,1(2 −=F .
3) Considere a curva cônica de equação geral 011385449 22 =++−− yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Respostas: 14
)3(
9
)1( 22
=−
−− xy
, 3
13e = , Centro: )1,3( ,
)131,3(1 −=F e )131,3(2 +=F .
4) Considere a curva cônica de equação geral 0116542897 22 =−++− yxyx . Determine a
equação reduzida, a excentricidade, as coordenadas do centro e dos focos.
Respostas: 17
)3(
9
)2( 22
=−
−+ yx
, 3
4e = , Centro: )3,2(− ,
)3,6(1 −=F e )3,2(2 =F .
5) Considere a curva cônica de equação geral 0521642 =+−− xyy . Determine a equação
reduzida, a reta diretriz, as coordenadas do vértice e do foco.
Respostas: )3(16)2( 2 −=− xy , 1−=x , Vértice: )2,3( e )2,7(=F .
6) Considere a curva cônica de equação geral 012842 =++− yxx . Determine a equação
reduzida, a reta diretriz, as coordenadas do vértice e do foco.
Respostas: )1(8)2( 2 +−=− yx , 1=y , Vértice: )1,2( − e )3,2( −=F .
7) Considere a curva cônica de equação geral 09822 =+−− yxx . Determine a equação
reduzida, a reta diretriz, as coordenadas do vértice e do foco.
Respostas: )1(8)1( 2 −=− yx , 1−=y , Vértice: )1,1( e )3,1(=F .
Referências Bibliográficas
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do
Brasil, 1980.
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,
1990.
3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.
Prof. Nunes 13
Geometria Analítica e Álgebra Linear
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-
Hill do Brasil, 1990.
