UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALITICA

PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/∼mcosta)

Segunda lista de exercıcios

1. Encontre a e b, numeros reais, para que os vetores −→u = (2a + 1, 1) e−→v = (−3, 2b − 5)sejam iguais.

2. Dados os pontos A = (3, 3), B = (0, 1) e C = (1, 6).

a) Calcule a distancia ente os pontos A e B.

b) Verifique que o triangulo formado pelos vertices A, B e C e retangulo em A.

c) Calcule a projecao do cateto AB sobre a hipotenusa BC.

3. Calcule o angulo entre −→u + −→v e −→u − −→v , sabendo que ||−→u || =√

2, ||−→v || = 1 e que oangulo entre −→u e −→v e 45◦.

4. Dados os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (2, 4). Determine o produto interno entre −→u e −→v ,o angulo entre estes vetores e a projecao de −→u sobre −→v .

5. Sejam −→u e −→v vetores do plano nao nulos. Seja P−→v−→u a projecao do vetor −→v sobre o vetor

−→u . Mostre que −→v − P−→v−→u e ortogonal −→u . Interprete geometricamente este resultado.

6. Seja −→u = (1, 3). Determine as coordenadas de um vetor −→v , de norma 3, e que faz umangulo de 30◦ com −→u .

7. Calcule a area do paralelogramo cujos vertices sao os pontos medios dos lados do qua-drilatero ABCD, onde A = (0, 1), B = (−4,−1), C = (5,−3) e D = (7, 0).

8. Calcule a area do paralelogramo definido pelos vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (5, 1).

9. Sejam−→u ,−→v e−→w vetores do R2, tais que ||−→u ||=5, ||−→v || = 6, ||−→w || = 7 e−→u +−→v +−→w =−→0 .

Calcule: 〈−→u ,−→v 〉, 〈−→u ,−→w 〉 e 〈−→v ,−→w 〉.

10. Seja P0 = (x0, y0) um ponto do plano. Descreva o conjunto dos pontos P = (x, y) taisque satisfazem ||P − P0|| = 2.

11. Mostre que se α−→v =−→0 . Entao α = 0 ou −→v =

−→0 .

12. Mostre que se α−→u = α−→v e se α 6= 0, entao−→u = −→v .

13. Sejam −→e1 = (1, 0) e−→e2 = (0, 1) e −→u = (x, y). Mostre que:

a) −→u = x−→e1 + y−→e2 .b) −→u = (〈−→u ,−→e1 〉, 〈−→u ,−→e2 〉).

14. Mostre que um triangulo inscrito num cırculo, cujo diametro coincide com um dos ladosdo triangulo, e um triangulo retangulo (i.e. um dos angulos mede 90. Veja figura abaixo.

Universidade Federal de AlagoasInstituto de Matematica

(a) !"u = (1, 2), !"v = (6, !8);

(b) !"u = (!7, !3), !"v = (0, 1).

11. Sejam !"u = (1, 2), !"v = (4, !2) e !"w = (6, 0). Calcule:

(a) < !"u , 7!"v + !"w >;

(b) # < !"u , !"w > !"w #;

(c) #!"u # < !"v , !"w >;

(d) < #!"u #!"v , !"w >.

12. Encontre o angulo entre os vetores !"u e !"v onde:

(a) !"u = (2, 2), !"v = (0, 3);

(b) !"u = (3, 1), !"v = (!1, !2).

13. Seja P0 = (x0, y0) um ponto do plano. Descreva o cojunto dos pontos P = (x, y) tais que satisfazem#P ! P0# = 1.

14. Calcule a norma do vetor !"v = (cos !, sen !). Descreva o lugar geometrico formado pelas extremidades detodos os vetores cuja norma e igual a um.

15. Seja !"u = (x, y) um vetor. Mostre que o vetor !"v = (!y, x) e ortogonal a !"u . Desenhe os dois vetores noplano cartesiano.

16. Mostre que se "!"v =!"0 , entao " = 0 ou !"v = 0.

17. Mostre que se "!"u = "!"v e se " $= 0, entao !"u = !"v .

18. Sejam !"u e !"v dois vetores, mostre que

#!"u + !"v #2 + #!"u ! !"v #2 = 2#!"u #2 + 2#!"v #2

19. Sejam !"u e !"v dois vetores, mostre que

< !"u , !"v >=1

4#!"u + !"v #2 ! 1

4#!"u ! !"v #2

20. Sejam !"u e !"v dois vetores unitarios cujo angulo entre eles e 2!3 . Calcule #2!"u + 4!"v #2.

21. Sejam !"u e !"v dois vetores formando um angulo de !4 . Suponha que #!"u # =

%5 e #!"v # = 1. Encontre a

medida, em radianos, do angulo entre os vetores !"u + !"v e !"u ! !"v .

22. Mostre que se !"u e ortogonal a !"v e a !"w entao !"u e ortogonal a "!"v + #!"w , para quaisquer " , # & R.

23. Mostre que se !"u e ortogonal a !"v ! !"w e !"v e ortogonal a !"w ! !"u , entao !"w e ortogonal a !"u ! !"v .

24. Considere os vetores !"e1 = (1, 0) e !"e2 = (0, 1). Mostre que todo vetor do plano pode ser escrito como umasoma de um multiplo de !"e1 com um multilo de !"e2

25. Mostre que um triangulo inscrito num cırculo, cujo diametro coincide com um dos lados do triangulo, e umtriangulo retangulo (i.e. um dos angulos mede 90o). Veja figura abaixo.

A

C

B!"v

!"u!"v ! !"u

15. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem omesmo ponto medio. Veja figura abaixo.

Universidade Federal de AlagoasInstituto de Matematica

26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto medio.Veja figura abaixo.

B

CD

A

P

27. Mostre que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.

28. Seja ABC um triangulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos medios de dois lados deste trianguloe paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo.

A B

C

P Q

2!""#PQ! = !"#

AB!

29. Sejam !"u e !"v dois vetores nao nulos. Sejam k = #!"u # e l = #!"v #, mostre que o vetor

!"w =1

k + l(k!"v + l!"u )

encontra-se na bissetriz do angulo entre !"u e !"v . (Voce deve mostrar que o angulo entre !"u e !"v e duas vezeso angulo entre !"u e !"w ou duas vezes o angulo entre !"v e !"w )

30. Mostre que as alturas de um triangulo se encontram num mesmo ponto.

16. Mostre que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.

17. Seja ABC um triangulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos medios de doislados deste triangulo e paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medidadeste lado. Veja figura abaixo.

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26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto medio.Veja figura abaixo.

B

CD

A

P

27. Mostre que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.

28. Seja ABC um triangulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos medios de dois lados deste trianguloe paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo.

A B

C

P Q

2!""#PQ! = !"#

AB!

29. Sejam !"u e !"v dois vetores nao nulos. Sejam k = #!"u # e l = #!"v #, mostre que o vetor

!"w =1

k + l(k!"v + l!"u )

encontra-se na bissetriz do angulo entre !"u e !"v . (Voce deve mostrar que o angulo entre !"u e !"v e duas vezeso angulo entre !"u e !"w ou duas vezes o angulo entre !"v e !"w )

30. Mostre que as alturas de um triangulo se encontram num mesmo ponto.

18. Sejam −→u e −→v vetores nao nulos. Sejam ||−→u || = k e ||−→v || = l, mostre que o vetor

−→w =1

k + l(k−→v + l−→u )

encontra-se na bissetriz do angulo entre −→u −→v . (Ou seja, voce deve mostrar que o anguloentre −→u e −→v e duas vezes o angulo entre −→u e −→w ou duas vezes o angulo entre −→v e −→w .)

19. Escreva as equacoes vetorial, parametrica, simetrica e cartesiana da reta que contem oponto P e a direcao −→v , ondea) P = (−1,−2) e −→v = (2, 3). b) P = (1,−3) e −→v = (4,−5).c) P = (2, 4) e −→v = (1, 2).

20. Determine as equacoes vetorial, parametrica, simetrica e cartesiana da reta r definidapelos pontos P e Q, onde:

a) P = (−1, 1) e Q = (4, 3).

b) P = (0, 1) e Q = (−4, 3).

c) P = (2,−2) e Q = (3, 3).

21. Usando as equacoes cartesianas obtidas no exercıcio anterior calcule a distancia de cadareta ao ponto L = (2, 3).

22. Dados os vetores −→u = (1, 4) e −→v = (−4, 2), escreva as equacoes parametricas e cartesianasdas retas que contem as diagonais do paralelogramo definido por −→u e −→v .

23. Escreva as equacoes parametricas da reta que contem o ponto P = (1, 3) e faz com a retay = −2x+ 4 um angulo de π/3.

24. Encontre os pontos da reta x+ 3y − 3 = 0 cuja distancia a origem seja igual a 3.

25. Calcule o angulo formado pelas retas r e s, nos casos:

a) r : y = 2x+ 3 e s : y = −5x+ 2.

b) r : x = −4 e s : y = −2x+ 2.

c) r : y = −x+ 5 e s : −2y + 3x− 1 = 0.

26. Determine o valor de a de maneira que a reta 3x+ay+7 = 0 passe pelo ponto P = (2,-2).

27. Considere a reta r : x− 3y+ 10 = 0, encontre a equacao da reta que passa por P = (3, 1)e que seja ortogonal a r.

28. Dado −→v = (2, 3). Encontre o vetor apos fazermos uma rotacao de 30◦ no sentido anti-horario e uma translacao dada por T (x, y) = (x− 2, y + 4).

29. Seja A(x, y) = (2x+ y+ 1, x− y− 3). Mostre que A e uma transformacao afim. EncontreA(−→v ), onde −→v = (2, 3) e faca uma figura ilustrando −→v e A(−→v ).

30. Escreva as equacoes parametricas das seguintes circunferencias:

a) x2 + y2 − 16 = 0.

b) x2 + y2 − 8x = 0.

c) x2 + y2 − x+ 3y − 2 = 0.

31. Deduza uma equacao de circunferencia centrada na origem e que seja tangente a reta

3x− 4y + 20 = 0.

32. Encontre a intersecao das duas circunferencias:

x2 + y2 − 8x− 2y + 7 = 0

x2 + y2 − 6x− 4y + 9 = 0