7/24/2019 Geometria Analtica - Exerccios Lista 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALITICA

PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/mcosta)

Terceira lista de exerccios

1. Em cada item abaixo, encontre a equacao de cada uma das parabolas, sabendo que:

a) Vertice: V = (0, 0); diretriz r : y = 2.

b) Vertice: V = (0, 0); simetria em relacao ao eixo dos y e passando pelo ponto P =(2,3).

c) Vertice: V = (2, 3); foco: F = (2, 1).

d) Vertice: V = (4, 1); diretriz r : x+ 4 = 0.

e) Vertice: V = (1, 3); simetria em relacao ao eixo dos x e passando pelo ponto P =(1,1).

f) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa por A = (0, 0), B = (1, 1) eC= (3, 1).

2. Em cada item abaixo, determine o vertice, o foco, uma equacao para a diretriz e esboceo grafico.a) x2 = 12y. b) y2 12x 12 = 0.c) 8x= 10 6y+y2. d) 6y=x2 8x+ 14.

3. Determine os vertices A1 e A2,os focos, a excentricidade das elipses e esboce o gr afico:

a)

x2

100+

y2

36= 1. b)

x2

36+

y2

100 = 1.c) 4x2 + 9y2 = 25. d) 9x2 + 25y2 = 25.

4. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equacao da elipse que satisfaz ascondicoes dadas.

a) Centro C= (2, 4),um foco F = (5, 4) e excentricidade 3/4.

b) Centro C = (3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixodos x.

c) Eixo maior mede 10 e focosF1= (2,1) e F2= (2, 5).

5. Determine os verticesA1e A2,os focos, a excentricidade das hiperboles e esboce o grafico:

a) x2

100

y2

64= 1. b)

y2

100

x2

64= 1.

c) 4x2 5y2 + 20 = 0. d) 2y2 4x2 = 1.

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6. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equacao da hiperbole que satisfaz ascondicoes dadas.

a) VerticesA1= (4, 0) e A2 = (4, 0), passando por P = (8, 2).

b) Vertices em (5,2) e (3,2), um foco em (7,2).

c) Focos F1 = (1,5) e F2= (5,5),hiperbole equilatera.

7. Calcule o centro, os vertices, os focos e a excentricidade das hiperboles dadas abaixo.

a) 9x2 4y2 18x 16y 43 = 0.

b) 16x2 9y2 64x 18y+ 199 = 0.

8. Obtenha a equacao reduzida resultante de uma translacao de eixos, classifique, encontreos elementos e represente graficamente as equacoes:

a) x2 + 4y2 4x 24y+ 36 = 0.

b) x2 y2 8x 4y+ 11 = 0.

c) y2 8x+ 6y+ 17 = 0.

9. Deduza uma equacao da parabola com vertice V = (6,3) e cuja diretriz e a reta 3x 5y+ 1 = 0.

10. Prove que toda parabola cujo eixo e paralelo ao eixo y tem uma equacao da forma

y= ax2 +bx+c.

11. Prove que numa parabola o comprimento da corda que contem o foco e e perpendicularao eixo e duas vezes a distancia do foco a diretriz.

12. Usando uma rotacao de eixos convenientes, transforme a equacao

4x2 +y2 + 4xy+x 2y = 0

em uma que nao contenha o termo xy.

13. Dados uma reta r e um ponto F nao pertencente a r,determine o conjunto dos pontosPdo plano tais que d(P, F) =ed(P, r), e >0.

14. Equacao da conica (elipse) de foco F = (1, 0), excentricidade 1/2 e que tem por diretriza reta da equacao x= 4.

15. Prove o teorema da classificacao de conicas visto em sala de aula.

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16. Faca uma mudanca de coordenadas convenientes em R2 que transforme a equacao

9x2 4y2 18x 16y 7 = 0

numa equacao da forma

dx2

+ey2

+f= 0.Idem para a equacao 4x2 24xy+ 11y2 + 56x 58y+ 95 = 0.