03/09/2012

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Geometria Analítica

Prof. Luiz Antonio do Nascimento

luiz.anascimento@sp.senac.br

www.lnascimento.com.br

• Sistema de coordenadas onde um Ponto pode ser representado no Espaço um terno ordenado (𝒙, y, z): – o 𝑥 é chamado de abscissa (ou coordenada 𝑥).

– o y é chamada ordenada ou afastamento (ou coordenada y).

– o 𝐳 é chamado cota (ou coordenada z).

Coordenadas Cartesianas Tridimensional

• Há duas formas de representar o sistema de coordenadas retangulares no espaço.

• O sistema dextrogiro é o mais utilizado.

Coordenadas Cartesianas Tridimensional

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• Há duas formas de representar o sistema de coordenadas retangulares no espaço.

• “Regra da mão direita”: braço direito indica o eixo X, o polegar indica o eixo Z e a vista frontal o eixo Y.

Coordenadas Cartesianas Tridimensional

Distância entre dois pontos

• Distância entre dois pontos na reta.

– O valor da distância entre dois pontos é um número absoluto (positivo).

– A distância d entre os pontos A e B é 𝒅 = 𝑨𝑩 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨

• Distância entre dois pontos no plano.

– A distância entre dois pontos A (𝑥𝐴, y𝐴) e B (𝑥𝐵, y𝐵) no plano é

dada por 𝒅 = 𝑨𝑩 = (𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)𝟐+(𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)𝟐

• Distância entre dois pontos no espaço.

– A distância entre dois pontos P1 (𝑥1, y1) e P2 (𝑥2, y2) no espaço é

dada por 𝒅 = 𝑨𝑩 = (𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)𝟐+(𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)𝟐 + +(𝒛𝑩 − 𝒛𝑨)𝟐

• Exemplo:

– Calcule a distância entre os pontos A (1, – 2) e B (9, 4).

𝒅 = 𝑨𝑩 = (𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)𝟐+(𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)𝟐

𝒅 = 𝑨𝑩 = (𝟗 − 𝟏)𝟐+(𝟒 − (−𝟐))𝟐

𝒅 = 𝑨𝑩 = 𝟖𝟐 +𝟔𝟐

𝒅 = 𝑨𝑩 = 𝟔𝟒 + 𝟑𝟔

𝒅 = 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎𝟎 𝒅 = 𝑨𝑩 =10

Distância entre dois pontos

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• Ponto Médio de um Segmento na reta – ponto que divide o segmento em dois com o mesmo módulo.

XM = 𝑋𝐴+𝑋𝐵

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• Ponto Médio de um Segmento no plano – ponto que divide o segmento em dois com o mesmo módulo.

PM = (𝑋𝐴+𝑋𝐵

2,

𝑌𝐴+𝑌𝐵

2)

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• Divisão de um segmento no plano em n partes iguais – utilizar a razão K.

K = 𝑋𝐵 −𝑋𝐴

𝑛

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XC = K + XA

XD = K + XC . . .

• Equipolência de segmentos – dois segmentos são equipolentes quando têm a mesma medida (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido.

• Classe de Equivalência – conjunto de todos os infinitos segmentos equipolentes no espaço.

– Todos os segmentos que formam uma classe de equipolência têm o mesmo módulo, direção e sentido qualquer que seja a sua origem.

• Vetor – representação de uma classe de equivalência.

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• Exercício Resolvido – Determine as abscissas dos pontos que dividem o segmento AB

em 6 partes iguais, sabendo que A (-4) e B (8).

Solução:

– Determinar C, D, E, F e G tais que 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐺 = 𝐺𝐵.

– Determinar o valor de K:

– Adicionar o valor de K nos pontos C,D,E,F e G:

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K=𝑋𝐵 −𝑋𝐴

𝑛=

8 −(−4)

6= 2

• Exercícios (ADO) 1. O ponto M (-2) é o ponto médio do segmento 𝑃𝑄. Determine o

extremo P, sabendo que Q (2).

2. Dados A (-4), B (4) e C (18), determine a medida algébrica do segmento orientado 𝐵𝐷, sendo D o ponto médio de 𝐴𝐶.

3. A medida algébrica de um segmento orientado 𝑃𝑄 é igual a -13 unidades. Determine a abscissa do ponto P, sendo XQ = 4.

4. Dados os pontos A (5a - 1) e B (2a + 3), determine a para que algébrica do segmento orientado 𝐴𝐵 seja -2.

5. Determine o ponto médio do segmento cujas abscissas do extremo satisfaçam a equação 2 + 𝑥 =3.

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• Exercícios (ADO) 6. As raízes da equação x2 – 3x – 10 = 0 são as extremidades do

segmento orientado 𝐴𝐵. Determine o ponto médio do segmento 𝐴𝐵.

7. Dados, por suas abscissas, os pontos A, B, C, D e E sobre um eixo (e), em qualquer ordem, verifique que 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐴 = 0.

8. Qual a diferença entre segmentos coincidentes e segmentos equipolentes?

9. Qual a diferença entre segmentos equipolentes e uma classe de equivalência?

10. Qual a diferença entre um segmento e um vetor?

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