Geometria das superfícies máximas no pseudo espaço de Lorentz Minkowski

1

ISMAEL TEIXEIRA DA SILVA

GEOMETRIA DAS SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM 3 E SUPERFÍCIES MÁXIMAS

TIPO ESPAÇO EM L3.

(Dissertação apresentada à Universidade Vale do Rio Verde – UNINCOR como parte das

exigências do Programa de Mestrado em Matemática e Estatística, área de concentração Geometria

Diferencial, para obtenção do título de Mestre em Matemática e Estatística.)

Orientador:

Prof. Dr. Irwen Valle Guadalupe

Três Corações

2007

2

SUMÁRIO

Página

RESUMO........................................................................................................................... 4

ABSTRACT....................................................................................................................... 4

INTRODUÇÃO................................................................................................................. 5

1 PRELIMINARES ........................................................................................................... 7

2 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EUCLIDIANO R3 ....................................................... 11

3 ESPAÇO VETORIAL DE LORENTZ-MINKOWSKI L3.............................................. 13

3.1 Norma e base ortonormal ..............................................................................................14

3.2 Cone tipo tempo ........................................................................................................... 15

3.3 O produto vetorial no espaço L3 .................................................................................. 18

4 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM R3 E L3 ......... 20

4.1 O plano tangente .......................................................................................................... 25

4.2 O vetor normal unitário ................................................................................................. 26

4.3 A primeira forma fundamental ....................................................................................... 30

5 A APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL 34

5.1 A geometria da aplicação normal de Gauss ................................................................... 34

5.2 Curvatura normal e curvaturas principais ....................................................................... 40

5.3 A curvatura Gaussiana e a curvatura média em coordenadas locais ................................ 42

6 LINHAS DE CURVATURA E LINHAS ASSINTÓTICAS ........................................... 49

7 SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM R3 E MÁXIMAS TIPO ESPAÇO EM L3 .................... 54

7.1 Catenóides ................................................................................................................... 56

7.1.1 Catenóide em R3. ..................................................................................................... 57

7.1.2 Catenóide de primeiro tipo em L3. ............................................................................ 61

7.1.3 Catenóide de segundo tipo em L3. ............................................................................ 65

7.1.4 Catenóide de terceiro tipo em L3. ............................................................................. 69

7.2 Helicóides .................................................................................................................... 71

7.2.1 Helicóide em R3. ...................................................................................................... 71

7.2.2 Helicóide de primeiro tipo em L3. ............................................................................. 75

7.2.3 Helicóide de segundo tipo em L3. ............................................................................. 78

7.2.4 Helicóide de terceiro tipo em L3. .............................................................................. 81

7.3 Superfícies de Enneper ................................................................................................. 82

7.3.1 Superfície de Enneper em R3. ................................................................................... 82

7.3.2 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L3. .......................................................... 86

7.3.3 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L3. .......................................... 89

7.3.4 Superfície de Enneper de segundo tipo em L3. .......................................................... 92

3

7.3.5 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L3. ......................................... 95

7.3.6 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L3. ........................................................... 98

7.4 SUPERFÍCIES DE SCHERK ..................................................................................... 99

7.4.1 Superfície de Scherk em R3. ..................................................................................... 99

7.4.2 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L3. ........................................................... 102

7.4.3 Superfície de Scherk de segundo tipo em L3. ........................................................... 106

7.4.4 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L3. ............................................................ 107

8 GEOMETRIA COM O SOFTWARE MATHEMATICA ............................................. 109

8.1 Geometria das superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L³............ 109

8.2 Deformação isométrica do helicóide em catenóide em L³.............................................. 112

CONCLUSÃO ................................................................................................................ 114

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................. 116

4

RESUMO

O objetivo deste trabalho é estudar inicialmente a geometria das superfícies mínimas no espaço

Euclidiano R3. Paralelamente será feito o mesmo estudo para as superfícies máximas tipo espaço

na métrica de Lorentz-Minkowski, L3. Após o estudo das aplicações de Gauss e a determinação

dos coeficientes da Primeira e Segunda Forma Fundamental, serão estudadas as curvaturas

gaussiana, média, normal e principais além das linhas de curvatura e assintóticas, comparando os

resultados obtidos para estas superfícies nos dois espaços. O software Mathematica será utilizado

como ferramenta com a finalidade de desenvolver uma rotina de programação que permita o

cálculo da geometria de qualquer superfície mínima em R3 e máxima em L3.

ABSTRACT

The aim of this work initially is to study the geometry of the minimal surfaces in the Euclidian

space R3. Similarly, it will be made the same study for the maximal spacelike surfaces in the

Lorentz-Minkowski space, L3. After studying the Gauss map and the determination of the

coefficients of the first and second fundamental form, the Gaussian, mean, normal and main

curvatures besides the asymptotic and curvature lines, will be studied, comparing the obtained

results for those surfaces in the two spaces. The Mathematica software will be used as tool with the

purpose to develop a programming routine that allows the calculation of the geometry of any

minimal surface in R3 and maximal in L3.

5

INTRODUÇÃO

A idéia de superfície mínima vem de 1760 com um problema proposto por Lagrange:

dada uma curva fechada simples C, qual a menor superfície que tem esta curva como fronteira?

Em 1762 Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo de variações que deu

lugar ao que hoje conhecemos por equação diferencial de Euler-Lagrange, onde tratou de

encontrar uma superfície de área mínima e contorno pré-fixado e como conseqüência estabeleceu a

equação que satisfaz o traço mínimo e cujas soluções definem o que conhecemos por superfícies

de curvatura média constante (nula no caso das superfícies mínimas).

f x, y : 1 fy2 fxx 2fxfyfxy 1 fx

2 fyy 0 7.1

Interessado mais em questões teóricas, Lagrange não se preocupou em encontrar

soluções concretas não triviais da equação (7.1). Foi Euler quem primeiro conseguiu rodar a curva

chamada catenária para se obter uma superfície mínima que chamou de alysseide, posteriormente

denominada catenóide por J. Plateau, cujas experiências em meados do século XIX que deram

uma nova importância às superfícies mínimas, quando imergiu arames moldados na forma de

curvas espaciais em uma solução de água, sabão e glicerina, percebendo que as superfícies

formadas pela fina película era a de menor área possível a ser formada por aquela determinada

curva (FIGURA 7.1), por ser a superfície que apresentava a menor energia potencial, resultado das

interações entre suas moléculas (DO CARMO, 2005)[6].

FIGURA 0.1 Superfície moldada por película de sabão.

Um novo desafio, então, surgiu para os matemáticos: provar os resultados

experimentais de Plateau, e a questão vaga proposta por Lagrange passou a ser conhecida por

"problema de Plateau " que consiste em determinar a menor superfície que cobre uma curva

6

fechada dada.

Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo comparativo das superfícies mínimas

no espaço tridimensional euclidiano, 3 e de Lorentz-Minkowski, L3, também denominado

pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski. Este último tem sua importância nas aplicações em Física,

onde sua maior expressão é na Teoria da Relatividade especial de Albert Einstein, onde é mais

comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas

com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar

um espaço-tempo.

Inicialmente, define-se o espaço vetorial de um modo geral e algumas de suas

propriedades e logo após uma breve descrição do espaço tridimensional euclidiano 3 e do

pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski, L3.

Após esta breve descrição, inicia-se um estudo da geometria diferencial das

superfícies mínimas em 3 e máximas tipo espaço em L3, definindo uma superfície regular

parametrizada e suas curvas coordenadas. Ainda no mesmo capítulo inicia-se a diferenciação dos

dois espaços, definindo o plano tipo espaço e o plano tangente à superfície além da primeira forma

fundamental.

A seguir, faz-se o estudo da aplicação normal de Gauss nos dois espaços definindo a

segunda forma fundamental e o cálculo das curvaturas: normal, Gaussiana, média e principais.

O capítulo seis apresenta as aplicações da primeira e segunda forma fundamentais na

determinação das linhas de curvatura e linhas assintóticas para as superfícies em 3 e L3.

Inicia-se, então, o estudo específico das superfícies mínimas em 3 e máximas em

L3, onde determina-se todas as características geoméricas anteriormente definidas para as famílias

do catenóide, helicóide, superfícies de Enneper e superfícies de Scherk, cujos resultados são

comparados posteriormente para que se possa verificar as diferenças entre as duas métricas.

Finalizando, é apresentada uma sugestão de rotina de programação para o cálculo da

geometria das superfícies nas duas métricas, desenvolvida para o software Mathematica da

Wolfram Research Inc., software este utilizado durante o desenvolvimento deste estudo não só na

determinação dos cálculos mas também na construção das superfícies aqui mencionadas.

7

1 PRELIMINARES

Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Uma forma bilinear em V é uma

aplicação bilinear g : V V , isto é, para u, v, w V e , , g satisfaz as seguintes

propriedades:P1. g u v, w g u, w g v, w

P2. g u, v w g u, v g u, w

P3. g u, v g u, v

P4. g u, v g u, v

Uma forma bilinear g em V é dita simétrica se satisfaz:P5. g u, v g v, u , para todo u, v V.

Definição 1.1. Seja g uma forma bilinear simétrica de V. Dizemos que g é:1. Positiva definida se para todo v 0, g v, v 0.

2. Positiva semi-definida se g v, v 0, para todo v V.

3. Negativa definida se para todo v 0, g v, v 0.

4. Negativa semi-definida se g v, v 0, para todo v V.

5. Não-degenerada se, para cada v 0 existe, pelo menos um vetor u V, tal queg v, u 0.

Observa-se que se g é não degenerada e v V é tal que g u, v 0 para todo u V,

então v é o vetor nulo.

Diz-se que g é degenerada se g não é não-degenerada, isto é, para cada v 0, todo

u V, é tal que g v, u 0.

Definição 1.2 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V, caso

particular de forma bilinear, é uma função , : V V , que a cada par de vetores u, v associa

um número real, que satisfaz as seguintes propriedades:P6. v, v 0, onde v, v 0 se, e somente se v 0

P7. u, v u, v , para todo .

P8. u v, w u, w v, w

P9. u, v v, u

8

Em n a função definida por

u, v i 1n u iv i u1v1 u2v2 . . . unvn (1.1)

onde u u1, u2, . . . , un , v v1, . . . , vnn , é o produto escalar chamado de produto escalar

usual ou produto escalar euclidiano.

Pelo fato de ser um caso particular de forma bilinear, o produto escalar verifica

também as propriedades P1 a P5.

Seja g uma forma bilinear simétrica em V. Então, se W V é um subespaço vetorial

de V, a restrição g|W W, denotada por g|W, é também uma forma bilinear simétrica. Além disso, se g

é positiva (negativa), (semi) definida o mesmo ocorre com g|W.

Definição 1.3. O índice v, de uma forma bilinear simétrica g em V é a maior das

dimensões dos subespaços W de V , tal que g|W é negativa definida. Em outras palavras:

v max dimW;W é subespaço de V e g|W é negativa definida

Logo, 0 v dimV e v 0 se, e somente se, g é positiva semi-definida.

Definição 1.4. Se g é uma forma bilinear simétrica em V, a função Q : V ,

definida por Q u g u, u é chamada de forma quadrática associada a g.

Exemplo 1.1. A forma quadrática Q, associada a forma bilinear u, u , onde u, u é

um produto escalar usual de 2, é dada por:

Q u u12 u2

2.

Dada uma base e1, e2, . . . , en de V, a matriz n n, g ij g e i, e j é chamada de

matriz de g relativa à base e1, e2, . . . , en . Nota-se que, como g é simétrica, g ij é uma matriz

simétrica. Além disso, dados u, v V, existem números reais u i, v j tais que u i 1n u ie i e

v i 1n v je i. Portanto,

g u, v g i 1n u ie i, j 1

n v je j i,j 1n u iv j e i, e j i,j 1

n g iju iv j.

Lema 1.1. Uma forma bilinear simétrica em um espaço V é não-degenerada se, e

somente se, sua matriz relativa a qualquer base é uma matriz invertível.

Logicamente, será degenerada se a matriz não possuir uma inversa.

9

Demonstração: Seja e1, e2, . . . , en uma base qualquer de V. Observe que dado

v V, então g v, w 0 para todo w V se, e somente se, g v, e i 0 para i 1,2, . . , n. Temos

também que, como a matriz g ij é simétrica, vale:

g v i, e i g v je j, e i g ijv j.

Assim, g é degenerada se, e somente se, existem números reais v1, v2, . . . , vn, não

todos nulos, tal que g i,jv j 0, para i j 1,2, . . , n. Mas isso é equivalente a dizer que as

colunas de g ij são linearmente dependentes, isto é, que g ij não possui inversa.

Vamos considerar um espaço vetorial real V com produto interno.

Definição 1.5. Um vetor u V é dito nulo ou neutro se u 0 e Q u u, u 0.

Definição 1.6. Dizemos que dois vetores u, v V são ortogonais, e escrevemos u v,

se u, v 0. Dois subconjuntos A, B V são ditos ortogonais, e escrevemos A B, se u v para

todo u A e todo v B.

Dado um subespaço W V, seja

W v V;v W .

Pode-se mostrar que W é também um subespaço de V chamado de ortogonal de W.

Lema 1.2. Se W é um subespaço de um espaço V com produto interno, então:1. dimW dimW dimV

2. W W

Demonstração:

(1) Seja e1, e2, . . . , en uma base de V adaptada a W, isto é, tal que e1, . . . , ek seja uma

base de W. Temos que v W se, e somente se, v, e i 0 para 1 i k, ou seja, se e somente

se,

j 1n g ijv j 0 1 i k 1.2

onde v j 1n v je j.

Logo, a igualdade (1.2) é um sistema de k equações lineares com n incógnitas. Mas,

pelo lema 1.1, as linhas da matriz g ij são linearmente independentes e, portanto, a matriz acima,

tem posto k. Assim, o espaço das soluções de (1.2) possui dimensão n k. Como o espaço solução

de (1.2) é exatamente W , segue que dimW n k.

(2) Seja v W. Então v W ou seja, v W . Logo W W . Porém pelo

item (1), estes dois subespaços possuem a mesma dimensão e assim sendo, são iguais.

10

Um subespaço W é dito não-degenerado se g|W é não-degenerada. Note que se V é

um espaço vetorial com uma forma bilinear g, todos os subespaços de V são não-degenerados.

Lema 1.3. Um subespaço W de V é não-degenerado se, e somente se V é soma direta

de W e W .

Demonstração: Assumiremos como verdadeira a seginte identidade:

dim W W dim W W dimW dimW 1.3

De acordo com o item (1) do lema (1.2), dim W dimW n. Assim, pela

identidade (1.3), W W V se, e somente se, dim W W 0. Mas estas duas condições são

equivalentes a V W W . Porém, W W w W;w W 0 se, e somente se g|W é

não-degenerada, ou seja, se, e somente se, W é não degenerado.

Segue do lema (1.3) e da igualdade W W, que W é não-degenerado se, e

somente se W também é não-degenerado.

Definição 1.7. Seja V um espaço vetorial com produto interno g, a norma ||v||, de um

vetor v V, será dada por:

||v|| g v, v . (1.4)

Dizemos que um vetor u V é unitário se ||u|| 1. Usualmente, um conjunto de

vetores mutuamente ortogonais e unitários, será chamado de um conjunto ortonormal. Prova-se

que se dimV n, um conjunto ortonormal de n vetores é necessariamente uma base de V.

Lema 1.4 Um espaço vetorial com produto interno possui uma base ortonormal

(BOLDRINI et al1980[3]).

É sempre conveniente ordenar os vetores em uma base ortonormal de forma que os

sinais negativos, se houver, apareçam nas primeiras posições, para satisfazer a condição de que

u, u 0 é tipo espaço. Neste caso, a n-upla

j 1, 2, . . . , n 1, . . . , 1, 1, . . . 1

é chamada de assinatura de g. Usa-se também a notação , . . . , , , . . . , .

11

2 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EUCLIDIANO 3

Seja o espaço vetorial tridimensional 3 munido do produto escalar euclidiano

u, v i 13 u iv i onde u u1, u2, u3 e v v1, v2, v3 são vetores de 3, e a norma euclidiana

||u|| u12 u2

2 u32 2.1

Assim sendo, diz-se que 3 é um espaço normado. Esta aplicação já definida no

capítulo anterior, satisfaz, segundo Picado(2003, p.2)[16] aos seguintes axiomas de norma:1. u 3 0 , ||u|| 0

2. u 3, , || u|| | | ||u||

3. u, v 3, ||u v|| ||u|| ||v|| (desigualdade triangular)

4. u, v 3, u, v ||u|| ||v|| (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

O produto escalar euclidiano verifica a seguinte propriedade:

u, v ||u|| ||v|| cos onde é o ângulo entre u e v.

O referido espaço é dotado de uma forma bilinear simétrica e é degenerado.

Definição 2.1. O produto vetorial u v (também denotado u v) de

u u1, u2, u3 , v v1, v2, v33, definido por:

u ve1 e2 e3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

2.2

onde e1, e2, e3 é uma base ortonormal de 3.

Observação 2.1. O símbolo à direita de (2.2) não é um determinante, pois a primeira

linha contém vetores em lugar de escalares. Trata-se apenas de uma notação mais simples.

Geometricamente, pode-se ver que ||u v|| é a área do paralelogramo determinado

pelos vetores u, v, conforme Swokowski(1994, p.248)[19].

O produto vetorial, segundo Steimbruch, Winterle(1987)[18], goza das seguintes

propriedades:1. u v v u , u, v 3.

2. u v u v u v, .

3. u v w u v u w

4. u v w u, w v u, v w

As propriedades (1) e (2) confirmam que o produto vetorial é uma função bilinear

12

(COIMBRA, 1994 [4]).

Definição 2.2. Sejam os vetores u, v, w 3.Denomina-se produto misto dos três

vetores u, v, w 3 ao número real u, v w definido por:

u, v w detu1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

2.5

Propriedades:1. u, v w u v, w , u, v, w 3.

2. u, v w 0 se, e somente se, u, v, w são linearmente dependentes.

13

3 ESPAÇO VETORIAL DE LORENTZ-MINKOWSKI L3

Definição 3.1. Seja 3 x1, x2, x3 |x1, x2, x3 o espaço real 3-dimensional.

Dados x x1, x2, x3 e y y1, y2, y3 em 3, definimos o pseudo produto escalar de x e y por

x, y 1 x1y1 x2y2 x3y3 3.1

Chamaremos 13, , 1 de espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski e

denotaremos por L313.

Definição 3.2. Seja v um vetor em um espaço L3. Dizemos que v é:1. Tipo espaço (spacelike) se v, v 1 0 ou v 0.

2. Tipo luz (lightlike) ou neutro se v, v 1 0 e v 0

3. Tipo tempo (timelike) se v, v 1 0

Exemplo 3.1. Seja L3 o espaço de Lorentz-Minkowski de dimensão 3 e o vetor

genérico u u1, u2, u3 . Temos que:1. Os vetores u u1, u2, u3 , com |u1 |2 |u2 |2 |u3 |2, são do tipo espaço.

Seja u 2,3,1 . Temos que u, u 1 22 32 12 4 10 6

Logo, pela definição (3.2), u é tipo espaço.2. Os vetores u u1, u2, u3 , com |u1 |2 |u2 |2 |u3 |2, são do tipo luz.


Logo, pela definição (3.2), u é tipo luz.3. Os vetores u u1, u2, u3 , com |u1 |2 |u2 |2 |u3 |2, são do tipo tempo.


Logo, pela definição (3.2), u é tipo tempo.

Seja W um subespaço do espaço de Lorentz-Minkowski e , 1 o pseudo produto

escalar de L3. Existem três possibilidades mutuamente exclusivas para W:1. g|W é positivo definido, isto é, W é um espaço com produto interno. Neste caso, dizemos

que W é do tipo espaço.

2. g|W é não degenerado de índice 1, ou seja, W é um espaço de Lorentz-Minkowski. Nestecaso, dizemos que W é tipo tempo.

3. g|W é degenerado. Dizemos então que W é tipo luz.

14

Observação 3.1 Como o pseudo produto escalar definido por (3.1) não é positivo

definido, este não pode ser, portanto, um produto interno.

3.1 Norma e Base Ortonormal

Definição 3.3. Se v v1, v2, v3 L3 definimos a norma de v por:

||v|| | v, v 1 | 12 | v1

2 v22 v3

2 | 3. 2

Dois vetores u e v em L3 são ortogonais se u, v 1 0 e um vetor u em L3 que

verifica u, u 1 1 é chamado de vetor unitário.

Definição 3.4. Uma base v1, v2, v3 em L3 é chamada de base ortonormal se os

vetores v i, j, i, j 1,2,3, são mutuamente ortogonais.

v i, v j 1

1, se i j 11, se i j 2,30, se i j

Exemplo 3.2. Os vetores canônicos e1 1,0,0 , e2 0,1,0 , e3 0,0,1

formam a base ortonormal canônica de L3.

Teorema 3.1. (Naber, 1993 [14]) Suponha que u é um vetor tipo tempo e v 0 é um

vetor tipo tempo ou nulo. Seja e1, e2, e3 uma base ortonormal de L3 com u 13 x ie i e

v 13 y je j, i j, então:

a) 13 x iy i 0, neste caso, u, v 1 0, ou

b) 13 x iy i 0, neste caso, u, v 1 0

Demonstração: Pela suposição, temos u, u 1 23 x i

2 x12 0 e

v, v 1 23 y j

2 y12 0, assim,

u3v3 u i2v j

2 i, j 1,2 e então temos que

|x1y1 | x i2y j

2 1/2 3.3

Tem-se que, para qualquer t ,

0 ty1 x12 ty2 x2

2 ty3 x32 y j

2t2 2 x iy j t x i2 i, j 1,2,3 e i j .

assim, considerando uma equação quadrática em t, essa expressão não pode ter raízes reais

15

distintas, logo, o discriminante deve assumir um valor menor ou igual a zero, isto é,

4 x iy j2 4 x i

2y j2 0. Assim, x i

2y j2 x iy j

2 e temos que,

x i2y j

2 1/2 |x iy j| 3. 4

Combinando (3.3) e (3.4) obtemos

|x1y1 | |x iy j| |x1y1 x2y2 x3y3 | 3. 5

assim, em particular, x1y1 0 e além disso, u, v 1 0. Supomos, por adição, que x3y3 0.

Então, |x1y1 | |x iy j| x iy j, logo, x iy j x1y1 0, isto é, u, v 1 0. Em outras palavras, se

x1y1 0, então u, v 1 0 e assim u, v 0

Corolário 3.1. Se v é um vetor tipo tempo em L3 e u 0 é ortogonal a v, então u é

um vetor tipo espaço.

Demonstração: Seja o vetor tipo tempo v v1, v2, v3 L3 e

u u1, u2, u3 L3.

Utilizando (3.5) temos que |v1v1 | |v iv j| |v1v1 v2v2 v3v3 |

Se v1v1 0 e v, v 1 0, temos que |v1v1 | |v iv j| v iv j, logo |v2 |2 |v3 |2 |v1 |2, definimos v

como tipo tempo, ou seja, v, v 1 0.

Assim, u u1, u2, u3 é tipo espaço se, e somente se u, u 1 0, isto é, |u2 |2 |u3 |2 |u1 |,

conforme exemplo (3.1).

Exemplo 3.3. Sejam v e1 1,0,0 e u e2 0,1,0 vetores da base canônica

em L3. Supondo v e1 tipo tempo, temos:

|v1v1 | 1 |v iv j| 0 v é tipo tempo.

|u1u1 | 0 |v iv j| 1 u é tipo espaço.

3.2 Cone tipo tempo (O’Neill, 1993 [15])

Seja o conjunto de todos os vetores tipo tempo em L3. para u ,

C u v | u, v 1 0

é o cone tipo tempo de L3 (Figura 3.2) contendo u. O cone tipo tempo oposto é

C u C u v | u, v 1 0

Visto que u é tipo espaço, é a união disjunta desses dois cones tipo tempo.

16

FIGURA 3.1 Cone tipo tempo em L3.

Exemplo 3.3. Consideremos o vetor u 1,0,0 . Para u, temos

C u v | u, v 1 0

ou seja, v v1, v2, v3 . Logo,

v, v 1 0 e u, v 1 0v1

2 v22 v3

2 0 e v1 0v2

2 v32 v1

2 e v1 0

Lema 3.1. Dois vetores tipo tempo v e w em L3 estão no mesmo cone tipo tempo se,

e somente se v, w 1 0.

Demonstração: Temos que, se v C u e w é tipo tempo, então w C u se, e

somente se, v, w 1 0. Considerando C u||u|| C u , podemos assumir que u é um vetor

unitário tipo tempo. Vamos escrever v au v , w bu w, onde v , w u . Considerando que

v e w são vetores tipo tempo, temos:

v, v 1 0

au v , au v 1 0

a2 u, u 1 2a u, v 1 v , v 1 0

Como u é um vetor tipo tempo unitário u, u 1 1. Logo,

a2 1 v , v 1 0

a2 v , v 1

|a| ||v ||

Analogamente, sendo w um vetor tipo tempo, temos,

w, w 1 0

bu w, bu w 1 0

b2 u, u 1 2b u, w 1 w, w 1 0

b2 1 w, w 1 0

17

b2 w, w 1

|a| ||w||

Temos ainda,

v, w 1 au v , bu w

ab u, u 1 a u, w 1 b u, v 1 v , w 1

ab v , w 1

pois u, w 1 u, v 1 0, visto que u é perpendicular a v e w.

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e observando que |a| ||v || e

|b| ||w|| |ab| ||v || ||w||, temos,

| v , w 1 | ||v || ||w|| |ab|.

Como v C u , a 0, temos por conseqüência que

sinal v, w 1 sinal ab sinal b , confirmando o resultado.

Muitos resultados do espaço vetorial com produto interno têm uma versão análoga

em L3. Por exemplo, em um espaço com produto interno a desigualdade de Cauchy-Schwarz

permite a definição do ângulo entre v e w como o único número 0 tal que

cos v, w 1

||v|| ||w||. Um resultado análogo em L3 é o que segue.

Proposição 3.1. Sejam v e w vetores tipo tempo em L3. Então:a. | v, w 1 | ||v|| ||w||, com igualdade se, e somente se, v e w são colineares.

b. Se v e w estão no mesmo cone tipo tempo de L3, há um número 0, tal que

cosh v, w 1

||v|| ||w||3. 3

onde é o ângulo hiperbólico entre v e w.

Demonstração:

(a) Escreva w av w, com w v . Sendo w tipo tempo, temos:

w, w 1 av w, av w 1

a2 v, v 1 2a v, w 1 w, w 1

Sendo v, w 1 0, temos,

w, w 1 a2 v, v 1 w, w 1 0

w, w 1 w, w 1 a2 v, v 1 0

Por outro lado,

v, w 12 v, av w 1

2

v, av w 12 v, av w 1

2

a v, v 1 v, w 1 a v, v 1 v, w 1

18

Como v, w 1 0, resulta em:

v, w 12 a2 v, v 1

2

w, w 1 w, w 1 v, v 1 w, w 1 v, v 1 ||w||2 ||v||2

Visto que w, w 1 0, pois w é tipo espaço e v, v 1 0, pois v é tipo tempo, temos:

v, w 12 ||w||2 ||v||2 | v, w 1 | ||v|| ||w||

Evidentemente, a igualdade é válida se, e somente se, w, w 1 0, o que é

equivalente a w 0, resultando em w av. Logo, v e w são colineares.

(b) Se v e w estão no mesmo cone tipo tempo, então v, w 1 0, por isso:

| v, w 1 | ||v|| ||w||| v, w 1 |||v|| ||w||

1 e | v, w 1 |||v|| ||w||

1

e, portanto, existe um ângulo 0 tal que cosh cosh v, w 1

||v|| ||w||. Convém observar

que cosh 1.

3.3. O Produto Vetorial no Espaço L3

Definição 3.5 Seja u, v L3. Define-se o produto vetorial de u u1, u2, u3 e

v v1, v2, v3 , nesta ordem como sendo o único vetor u v L3 definido por:

u ve1 e2 e3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

3.4

onde e1, e2, e3 é uma base ortonormal de L3.

Rodrigues(2006, p.21)[17] demonstra que o produto misto de três vetores

u, v, w L3 onde u u1, u2, u3 , v v1, v2, v3 e w w1, w2, w3 é dado por:

u, v w 1 detu1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

3.5

Propriedades:1. u v v u

2. au bv w au w bv w

3. u v 0 se, e somente se u, v são linearmente dependentes.

4. u, u v 1 v, u v 1 0

19

5. u v, w z 1 detu, z 1 v, z 1

u, w 1 v, w 1

6. u v w v, w 1u u, w 1v

onde u, v, w, z L3 e a, b .

As propriedades acima descritas são também demonstradas por Rodrigues(2006,

p.22-26)[17].

20

4 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM 3 EL3

Definição 4.1. Uma superfície regular é uma aplicação X : U 2 M M 3

ou M L3 de um conjunto aberto U 2 para M tal que:1. X é diferenciável, o que significa que se escrevermos

X u, v x u, v , y u, v , z u, v , u, v U, as funções x u, v , y u, v e z u, v têmderivadas parciais contínuas de todas as ordens em U.

2. (Condição de regularidade) Para cada q U a diferencial dX q : 2 M é um-a-um.

A aplicação X é chamada de parametrização e as variáveis u e v são chamadas de

parâmetros da superfície X. O conjunto imagem S X u, v M é chamado de traço de X

(FIGURA 4.1).

FIGURA 4.1 Superfície regular em M .

Para dar à condição (2) uma forma mais familiar, vamos calcular a matriz da

aplicação linear dX q nas bases canônicas e1 1,0 e e2 0,1 de 2 com parâmetros u, v e

f1 1,0,0 , f2 0,1,0 , f3 0,0,1 de M com coordenadas x, y, z .

Definição 4.2 Seja X : U 2 M uma superfície parametrizada, então,

fixando-se q u0, v0 U, as curvas

u X u, v0 e v X u0, v

são chamadas curvas coordenadas de X em q (FIGURA 4.2).

Esta curva tem em X q o vetor tangente

xu , y

u , zu

Xu Xu

21

onde as derivadas são calculadas no ponto u0, v0 e um vetor é indicado pelos seus componentes

na base f1, f2, f3 (FIGURA 4.2).

FIGURA 4.2 Curvas coordenadas de uma superfície regular em M .

Pela definição de diferencial, dX e1xu , y

u , zu

Xu Xu

Analogamente, usando a curva coordenada u u0 (imagem por X da curva

V u0, v ), obtemos:

dX e2xv , y

v , zv

Xv Xv.

Assim, a matriz jacobiana da aplicação linear dX q na referida base é:

dX q

xu

xv

yu

yv

zu

zv

4.1

A condição (2) pode agora ser expressa requerendo que dois vetores coluna desta

matriz sejam linearmente independentes; isto é; equivalentemente, que o produto vetorial

Xu Xv 0; ou ainda de outro modo, que um dos determinantes de ordem 2 da matriz dX q

denominados determinantes jacobianos

x, yu, v

xu

xv

yu

yv

; y, zu, v

yu

yv

zu

zv

; x, zu, v

xu

xv

zu

zv

não seja nulo no ponto q.

22

Exemplo 4.1 Plano (tipo espaço): seja p0 x0, y0, z0 um ponto de M L3,

a a1, a2, a3 e b b1, b2, b3 vetores ortonormais tipo espaço de L3. Consideremos a

aplicação X : 2 M dada por

X u, v p0 ua vb, u, v 2

então X é uma superfície regular parametrizada.

De fato,

X u, v x0 ua1 vb1, y0 ua2 vb2, z0 ua3 vb3

Observa-se que X é de classe C , pois cada uma de suas funções ordenadas é de

classe C .

Temos que,

Xuxu , y

u , zu a1, a2, a3 a

Xvxv , y

v , zv b1, b2, b3 b

Logo, Xu Xv a b 0, pois a e b são linearmente independentes.

A imagem X 2 é um plano em M (chamado plano tipo espaço). Esse plano passa

por p0 e é perpendicular ao vetor tipo tempo a b.

Exemplo 4.2 A pseudo-esfera (FIGURA 4.3) definida por

S12 x, y, z L3; x2 y2 z2 1

é uma superfície regular.

2

4

-4

-4

x

-2-4

0

-2

y

-2

4

22

4

0z

0

FIGURA 4.3 Pseudo-esfera no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski - L3

Verifica-se que a aplicação X1 : U 2 L3 dada por:

23

X1 u, v u, v, 1 v2 u2 ,

u, v U, onde 2 u, v, w L3;w 0 e U u, v L2;v2 u2 1 é uma

parametrização de S12.

De fato,

x2 y2 z2 u2 v2 1 v2 u2

u2 v2 1 v2 u2

1

Observa-se, ainda, que X1 U é a parte aberta de S12 sobre o plano uv. Sendo

v2 u2 1, a função 1 v2 u2 tem derivadas parciais contínuas de todas as ordens. Então,

X1 é diferenciável verificando a condição (1).

Analogamente, podemos definir parametrizações como a seguinte. Seja

X2 : U 2 L3 dada por:

X2 u, v u, v, 1 v2 u2 .

Verificamos que X2 é uma parametrização de S12.

De fato,

x2 y2 z2 u2 v2 1 v2 u2

u2 v2 1 v2 u2 1

Observa-se que X1 U X2 U cobre S12 exceto o "equador " (FIGURA 4.4).

-0.50.0

0.5

1.0

z

-1.0

-1.0-0.5

y0.0

0.5

1.0 1.0

0.5 x0.0

-0.5-1.0

FIGURA 4.4 Representação de X1 U X2 U .

Usando os planos uw e wv, definimos as parametrizações:

X3 u, w u, 1 w2 u2 , w

24

X4 u, w u, 1 w2 u2 , w

X5 v, w 1 w2 v2 , v, w

X6 u, w 1 w2 v2 , v, w

Pode-se mostrar que a condição (2) de regularidade se verifica. Para isso, considere

X1 u, v u, v, 1 v2 u2 . Assim, temos:

X1u X1u 1,0, u

1 v2 u2,

X1v X1v 0,1, v

1 v2 u2,

X iu X1v

e1 e2 e3

1 0 u1 v2 u2

0 1 v1 v2 u2

u1 v2 u2

, v1 v2 u2

, 1

Assim,

||X1u X1v||2 u2

1 v2 u2v2

1 v2 u2 1

u2 v2 1 v2 u2

1 v2 u2

11 v2 u2 0, pois v2 u2 1

Logo, os vetores X1u e X1v são linearmente independentes.

Para mais aplicações, é conveniente utilizar outras parametrizações de S12. Seja

U u, v 2;u, v e seja X : U L3 dada, por:

X u, v sinhu, coshu sechv, coshu tanhv

Evidentemente, X U S12. Verifica-se que X é uma parametrização de S1

2.

De fato,

x2 y2 z2 sinh2u cosh2u sech2 v cosh2u tanh2v

sinh2u cosh2u sech2 v tanh2v

sinh2u cosh2u 1

25

-2y

2

x0

24

-2

0

2

-4

-2

0

z

FIGURA 4.5 Forma parametrizada da pseudoesfera em L3.

4.1 O Plano tangente

Definição 4.3 Seja X : U 2 M uma superfície regular parametrizada. Um

vetor w M é chamado vetor tangente a X em q u0, v0 se w t0 , onde

t X u t , v t é uma curva da superfície, tal que u t0, v t0 u0, v0 .

Definição 4.4 O plano tangente a X em q u0, v0 é o conjunto de todos os vetores

tangentes a X em q, obtidos como combinação linear de Xu u0, v0 e Xv u0, v0 , que será denotado

por T q X (FIGURA 4.6).

FIGURA 4.6 Plano tangente a X em q u0, v0 X U .

26

Definição 4.5 Um plano em M M 3 ou M L3 é tipo espaço se a métrica

induzida é Riemanniana.

Definição 4.6 Uma superfície X : U 2 M é chamada superfície tipo espaço

se o plano tangente em todo ponto é tipo espaço, isto é, v, v 0 ou v, v 1 0 para cada

v T q X.

Exemplo 4.3. Toda superfície (clássica) em 3 é tipo espaço.

Exemplo 4.4 O plano X u, v p0 ua vb, u, v 2 e p0 x0, y0, z0 L3, a

e b são vetores ortonormais de M L3, é uma superfície tipo espaço.

De fato, sejam a1, a2, a3 e b b1, b2, b3 vetores tipo espaço de M. Temos,

XuXu a a1, a2, a3

XvYv b b1, b2, b3

Logo, X é uma superfície tipo espaço.

Exemplo 4.5 O pseudo espaço hiperbólico é definido por

H2 1 x, y, z L3; x2 y2 z2 1 (FIGURA 4.7).

-2

x

-2

2

02

-2

2y

0

0

z

FIGURA 4.7 Pseudo espaço hiperbólico.

27

Pode-se mostrar que a aplicação X : U 2 L3 , U u, v 2, u, v

dada por:

X u, v 1 u2 v2 , u, v ; u, v U

é uma parametrização de H2 1 .

De fato,

x2 y2 z2 1 u2 v2 2u2 v2

1 u2 v2 u2 v2

1

Para mais aplicações, é conveniente utilizar outras parametrizações de H2 1 . Seja

U u, v 2;u, v e seja X : U L3 dada por:

X u, v coshu coshv, coshu sinhv, sinhu

Evidentemente, X U H2 1 . Pode-se mostrar que X é uma parametrização de

H2 1 .

De fato,

x2 y2 z2 cosh2u cosh2v cosh2u sinh2v sinh2u

cosh2u cosh2v sinh2v sinh2u

cosh2u sinh2u

1

Considerando esta última parametrização de H2 1 , temos,

Xu sinhu coshv, sinhu sinhv, coshu

Xu, Xu 1 sinh2u cosh2v sinh2u sinh2v cosh2u

sinh2u cosh2v sinh2v cosh2u

sinh2u cosh2u

1 0

Xv coshu sinhv, coshu coshv, 0

Xv, Xv 1 cosh2u sinh2v cosh2u cosh2v

cosh2u sinh2v cosh2v

cosh2u 0

Então, o pseudo espaço hiperbólico H2 1 é uma superfície tipo espaço.

Exemplo 4.6 O cone tipo luz aberto é definido por

LC x, y, z L3 0 ; x2 y2 z2 0 (FIGURA 4.8).

28

6040

200

x

-20-40

-60

y0

-40-60

-60

-20

6040

20

-40-20

0

z

2040

60

FIGURA 4.8 Cone tipo luz.

Pode-se mostrar que a aplicação X : 2 0 L3 dada por

X u, v u2 v2 , u, v

é uma parametrização de LC .

De fato,

x2 y2 z2 u2 v2 2u2 v2

u2 v2 u2 v2

0

Considerando X u, v u2 v2 , u, v , temos,

Xu2u

2 u2 v2, 1, 0 u

u2 v2, 1, 0

Xu, Xu 1u2

u2 v2 1

u2 u2 v2

u2 v2

v2

u2 v2 0

Xv2v

2 u2 v2, 0, 1 u

u2 v2, 0, 0

Xu, Xu 1v2

u2 v2 1

v2 u2 v2

u2 v2

29

u2

u2 v2 0

Logo, o cone tipo luz LC é uma superfície tipo espaço.

4.2 O Vetor Normal Unitário

Seja X : U 2 M M 3 ou M L3 uma superfície tipo espaço. Se Xu e

Xv são vetores tipo espaço do plano tangente T q X, então existe uma única direção normal a este

plano e, portanto, existem exatamente dois vetores unitários normais a X em q, como sendo o vetor

N qXu Xv

||Xu Xv|| q .

Se o domínio da superfície X é um aberto U 2 então, variando u, v U temos

uma aplicação diferenciável N : U M , denominada aplicação normal de Gauss, definida por

N u, v Xu Xv||Xu Xv|| u, v .

Se M 3, a imagem de N u, v está contida na esfera unitária, centrada na origem

(FIGURA 4.9).

FIGURA 4.9 Aplicação normal de Gauss para o espaço tridimensional Euclidiano 3.

Por outro lado, se M L3, temos que Xu Xv, Xu 1 Xu Xv, Xv 1 0, e

30

assim, Xu Xv, pelo corolário (3.1), é um vetor tipo tempo. O vetor normal à superfície é

perpendicular ao plano tangente.

Conseqüentemente, o vetor unitário N q é um vetor tipo tempo de L3 (FIGURA

4.10) cuja imagem N u, v está contida no pseudo espaço hiperbólico

H2 1 x, y, z L3; x2 y2 z2 1, x 0 .

FIGURA 4.10 Aplicação normal de Gauss para o espaço tridimensional de Lorentz-MinkowskiL3.

4.3 A Primeira Forma Fundamental

Definição 4.7 Seja X : U 2 M M 3 ou M L3 uma superfície regular

tipo espaço. A forma quadrática I q : T q X dada por

v I q v, v ||v||2 0;

v T q X, é chamada primeira forma fundamental da superfície regular X M em q X, aqui

denotada por I q .

Expressa-se a primeira forma fundamental na base Xu, Xv associada à

parametrização X u, v em q u0v0 (FIGURA 4.11).Visto que um vetor tangente

31

t X u t , v t , t I x, x , com q u0, v0 , temos:

I q t0 , t0 q

Xuu Xvv , Xuu Xvv q

Xu, Xu q u 2 Xu, Xv qu v Xv, Xu qu v Xv, Xv q v 2

Xu, Xu q u 2 2 Xu, Xv qu v Xv, Xv q v 2

E u 2 2Fu v G v 2 4.2

onde,

E u0, v0 Xu, Xu q

F u0, v0 Xu, Xv q

G u0, v0 Xv, Xv q

4.3

FIGURA 4.11 Primeira forma fundamental.

De outra forma, seja v T q X tal que v aXu q bXv q , onde a, b .

Logo,

I q v, v q aXu q bXv q , aXu q bXv q

a2 Xu, Xu q 2ab Xu, Xv q b2 Xv, Xv q

Utilizando as expressões (4.3), temos:

I q a2E q 2abF q b2G q 4.4

em que E, F, G são funções das variáveis u e v e possuem as seguintes propriedades:1. E u, v 0 e G u, v 0, para todo u, v , pois os vetores Xu e Xv são não-nulos.

2. E u, v G u, v F2 u, v 0

De fato, como

||Xu Xv||2 Xu, Xv2 ||Xu ||2 ||Xv||2, temos que

32

EG F2 ||Xu ||2 ||Xv||2 Xu, Xv2 ||Xu Xv||2 0

Observação 4.1 Se M L3, aplicando a propriedade (5) da definição (3.3), produto

vetorial em L3, para u Xu, v Xv, temos:

u v, u v 1 detu, v 1 v, v 1

u, u 1 u, v 1det

Xu, X v 1 Xv, Xv 1

Xu, Xu 1 Xu, X v 1

u v, u v 1 Xu, X v 12 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 F2 EG.

Porém, como Xu Xv é tipo tempo, temos:

u v, u v 1 Xu, X v 12 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 Xu, X v 1

2 0

Logo, em qualquer M M 3 ou M L3 , a forma quadrática satisfaz

EG F2 ||Xu Xv||2 0

Geometricamente, a primeira forma fundamental se apresenta como ferramenta para

se calcular medidas sobre a superfície (comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas

de regiões), sem fazer menção ao espaço ambiente que esta se encontra, (TENENBLAT,1990

[20]).

Exemplo 4.7 Seja X u, v p0 uw1 vw2, u, v 2 onde w1 e w2 são vetores

tipo espaço ortonormais de M , M 3 ou M L3 isto é, X descreve o plano tipo espaço

ortogonal a w1 w2 que passa por p0. Então, Xu u, v w1 e Xv u, v w2. A primeira forma

fundamental é dada por:

E Xu, Xu ||w1 ||2 1

F Xu, Xv w1, w2 0 (são ortonormais)

G Xv, Xv ||w2 ||2 1

I q a2E 2abF b2G

I q a2 b2, a, b

Exemplo 4.8 Consideremos em 3 a superfície X u, v r cos u, r sinu, v ,

u, v 2 que descreve o cilindro circular reto de raio r , S x, y, z 3;x2 y2 1 . A

primeira forma fundamental de X u, v é dada por:

Xu r sinu, r cos u, 0

Xv 0,0,1

E Xu, Xu r2 sin2u r2 cos2u r2

F Xu, Xv 0

G Xv, Xv 1

I q a2E 2abF b2G

33

I q a2r2 b2, a, b , r 0

Exemplo 4.9 O pseudo espaço hiperbólico H2 1 admite a parametrização

X : 2 L3, onde X u, v 1 u2 v2 , u, v , u, v 2. A primeira forma fundamental de

X u, v é dada por:

Xuu

1 u2 v2, 1, 0

Xvv

1 u2 v2, 0, 1

E Xu, Xu 1u2

1 u2 v2 1

u2 1 u2 v2

1 u2 v2

1 v2

1 u2 v2 0

F Xu, Xv 1uv

1 u2 v2

G Xv, Xv 1v2

1 u2 v2 1

v2 1 u2 v2

1 u2 v2

1 u2

1 u2 v2 0

Iq a2E 2abF b2G1 v2

1 u2 v2 a2 2ab uv1 u2 v2

1 u2

1 u2 v2 b2

1u2 v2 1

a2v2 a2 2abuv b2u2 b2

av bu 2 a2 b2

u2 v2 1, a, b .

34

5 A APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMAFUNDAMENTAL

Seja X : U 2 M M 3 ou M L3 uma superfície tipo espaço de M .

Definição 5.1: O sinal de uma superfície tipo espaço X : U 2 M é:

1, se N, N 1

-1, se N, N 1

5.1 A geometria da aplicação normal de Gauss

Definição 5.2 Seja X u, v uma superfície tipo espaço de M M 3 ou M L3

orientada pelo vetor unitário normal N. Se X u, v tem sinal , isto é, sinal N, N , as superfícies

em M com o mesmo sinal são dadas por (AKUTAGAWA, NISHIKAWA, 1990 [1]):

MS2 1 , se 1H2 1 , se 1

5.1

onde S2 1 é a esfera unitária e H2 1 o pseudo-espaço hiperbólico.

A aplicacão N : U M toma seus valores em M. Esta aplicação N : U M é

chamada "aplicação normal de Gauss de X u, v ".

Pode-se verificar que a aplicação normal de Gauss é diferenciável. A diferencial

dN q de N em q U é uma aplicação linear de TqX em TN q M. Como T q X e TN q M são os

mesmos espaços vetoriais, dN q pode ser obtida como uma aplicação linear

dNq T q X T q X

A aplicacão linear dN q T q X T q X opera de forma que para cada curva

parametrizada (tipo espaço) t em X u, v , com u 0 , v 0 q, consideramos a curva

parametrizada N t N t na superfície M, o que equivale a restringir o vetor normal N à

curva t . O vetor tangente N 0 dN q 0 é um vetor de T q X (DO CARMO, 2005 [5]).

Proposição 5.1: A diferencial dN q T q X T q X da aplicação de Gauss é uma

aplicação linear auto-adjunta.

Demonstração: Como dN q é linear, basta verificar que

dN q w1 , w2 w1, dN q w2 para uma base w1, w2 de T q X . Seja x u, v uma

35

parametrização de X em q e Xu, Xv a base associada de T q X. Se t X u t , v t é uma

curva parametrizada em X, com 0 q, temos:

dN q 0 dN q xuu 0 xvv 0ddt N u t , v t

t 0

Nuu 0 Nvv 0 ;

em particular, dNq xu Nu e dN q xv Nv. Portanto, para provar que dN q é auto adjunta, é

suficiente mostrar que

Nu, xv xu, Nu

Para ver isto, derivamos N, xu 0 e N, xv 0, em relação a v e u,

respectivamente, e obtemos:

Nv, xu N, xuv 0,

Nu, xv N, xvu 0.

Assim,

Nu, xv N, xuv Nv, xu

O fato de ser dNq : T q X T q X uma aplicação linear auto-adjunta nos permite

associar a dNq uma forma quadrática Q em T q X dada por Q v dN q v , v , v T q X.

Definição 5.3: A forma quadrática

II q v dN q v , v

é chamada a segunda forma fundamental da superfície tipo espaço X u, v em q.

Observação 5.1: Por motivos geométricos, utilizamos a forma quadrática Q.

Seja X u, v uma parametrização em um ponto q U de uma superfície tipo espaço

X, e seja t X u t , v t uma curva parametrizada em X, com q u 0 , v 0 . Para

simplificar a notacão, convencionaremos que todas as funções que aparecem abaixo indicam seus

valores no ponto q.

O vetor tangente a t em q é Xuu Xvv e

dN N u t , v t Nuu Nvv .

Portanto, a expressão da segunda forma fundamental na base Xu, Xv é dada por:

II q dN , dN ,

Nuu Nvv , Xuu Xvv

Nu, Xu u 2 Nu, Xv Nv, Xu u v Nv, Xv v 2

36

Sendo N, Xu N, Xv 0, então temos,

e Nu, Xu N, Xuu

f Nv, Xu N, Xuv N, Xvu Nu, Xv

g Nv, Xv N, Xvv

5.2

portanto, obtemos:

IIq e u 2 2fu v g v 2 5.3

onde e, f e g são chamados de coeficientes da segunda forma fundamental da superfície

parametrizada X u, v .

De modo mais simples, pode-se escrever os coeficientes da segunda forma

fundamental em função de outros parâmetros.

e Nu, Xu N, Xuu

N Xu Xv||Xu Xv||

De acordo com a propriedade (2) da primeira forma fundamental, temos:

||Xu Xv|| EG F2

Exemplo 5.1 O Pseudo espaço hiperbólico em L3 dado pela parametrização:

X u, v cos u coshv, coshu sinhv, sinhu

Xu sinhu coshv, sinhu sinhv, coshu

Xv coshu sinhv, coshu coshv, 0

Xu Xv

e1 e2 e3

sinhu coshv sinhu sinhv coshucoshu sinhv coshu coshv 0

Xu Xv cosh2u coshv, cosh2u sinhv, sinhu coshu

||Xu Xv|| | cosh4u cosh2v cosh4u sinh2v sinh2u cosh2u|

||Xu Xv|| | cosh2u| coshu

E Xu, Xu 1 sinh2u cosh2v sinh2u sinh2v cosh2u

sinh2u cosh2u

E 1

F Xu, Xv 1 sinhu coshvcoshu sinhv sinhu coshvcoshu sinhv

F 0

G Xv, Xv 1 cosh2u sinh2v cosh2u cosh2v

G cosh2u

EG F2 cosh2u coshu

37

Logo, ||Xu Xv|| EG F2

Rodrigues(2006)[17], demonstra que Xu Xv, Xuu é o mesmo valor em 3 quanto

em L3.Assim, podemos dizer que:

e Xu Xv||Xu Xv|| , Xuu

Xu Xv, Xuu

EG F2,

onde E, F, G são os coeficientes da primeira forma fundamental,

Analogamente, temos,

f Xu Xv||Xu Xv|| , Xuv

Xu Xv, Xuv

EG F2

g Xu Xv||Xu Xv|| , Xvv

Xu Xv, Xvv

EG F2

Verifica-se que a segunda forma fundamental independe da curva escolhida.

Seja v aXu u0, v0 bXv uov0 , considere uma curva qualquer

t X u t , v t X u, v tal que q u t0 , v t0 e t0 v, isto é,

u t0 , v t0 u0, v0 u t0 , v t0 a, b .

Como

t u t Xu u t , v t v t Xv u t , v t e

t u t Xu u t , v t u t 2Xuu u t , v t 2u t v t Xuv u t , v t

v t 2Xvv u t , v t v t Xv u t , v t

temos que

II q v t0 , N u0, v0

a2 Xuu, N 2ab Xuv, N b2 Xvv, N

onde esta última expressão não depende da curva t .

Utilizando as expressões (5.2), podemos reescrever a equação (5.3) de uma forma

mais simples como

II q v a2e q 2abf q b2g q 5.4

Exemplo 5.2 Consideremos em 3 a superfície X u, v r cos u, r sinu, v ,

u, v 2 que descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z 3;x2 y2 1 . A

segunda forma fundamental de X u, v é dada por:

Xu r sinu, r cos u, 0

Xv 0,0,1

Xuu r cos u, r sinu, 0

38

Xvv 0,0,0

Xuv 0,0,0

E r2; F 0; G 1

e Xu Xv, Xuu

EG F21

r2 1 0det

r sinu r cos u 00 0 1

r cos u r sinu 0

1r r2 cos2u r sin2u

r

f Xu Xv, Xuv

EG F21

1 1 0det

sinu cos u 00 0 10 0 0

0

g Xu Xv, Xvv

EG F21

1 1 0det

sinu cos u 00 0 10 0 0

0

II q a2e q 2abf q b2g q

II q a2 r 2ab 0 b2 0

II q a2r, a

Exemplo 5.3 Considere o pseudo espaço hiperbólico H2 1 com a parametrização

X u, v 1 u2 v2 , u, v , u, v 2. A segunda forma fundamental de X u, v é dada por:

Xuu

1 u2 v2, 1, 0

Xvv

1 u2 v2, 0, 1

Xuuv2 1

u2 v2 132

, 0, 0

Xvvu2 1

u2 v2 132

, 0, 0

Xuvuv

u2 v2 132

, 0, 0

E 1 v2

1 u2 v2 ;

39

F uv1 u2 v2 ;

G 1 u2

1 u2 v2

e Xu Xv, Xuu 1

EG F2

11 v2

1 u2 v21 u2

1 u2 v2uv

1 u2 v2

2det

u1 u2 v2

1 0

v1 u2 v2

0 1

v2 1u2 v2 1

32

0 0

11

u2 v2 1

v2 1u2 v2 1

32

u2 v2 1 v2 1u2 v2 1

32

v2 1u2 v2 1

f Xu Xv, Xuv 1

EG F2

11 v2

1 u2 v21 u2

1 u2 v2uv

1 u2 v2

2det

u1 u2 v2

1 0

v1 u2 v2

0 1

uvu2 v2 1

32

0 0

uv1

u2 v2 1u2 v2 1

32

u2 v2 1 uvu2 v2 1

32

uvu2 v2 1

g Xu Xv, Xvv 1

EG F2

11 v2

1 u2 v21 u2

1 u2 v2uv

1 u2 v2

2det

u1 u2 v2

1 0

v1 u2 v2

0 1

u2 1u2 v2 1

32

0 0

11

u2 v2 1

u2 1u2 v2 1

32

u2 v2 1 u2 1u2 v2 1

32

u2 1u2 v2 1

40

II q a2e q 2abf q b2g q ,

Logo,

II q a2 v2 1u2 v2 1

2ab uvu2 v2 1

b2 u2 1u2 v2 1

1u2 v2 1

a2v2 a2 2abuv b2u2 b2

av bu 2 a2 b2

u2 v2 1, a, b .

5.2 Curvatura normal e curvaturas principais

Definição 5.4: Seja X : U R2 M M R3 ou M L3 uma superfície tipo

espaço em M e q u0, v0 I. A função kn : T q X 0 R dada por

kn vII q vI q v 5.5

que para cada vetor v T q X, v 0, é chamada de curvatura normal de X u, v em q.

Observação 5.2: Se v T q X, v 0, então kn v kn v para todo R, 0.

Daremos uma interpretação geométrica da curvatura normal e da segunda forma

fundamental IIq. No caso da superfície tipo espaço X u, v em L3.

Consideremos o vetor unitário v T q X e uma curva regular s X u s , v s da

superfície X u, v , onde s é o comprimento de arco de , tal que u s0 , v s0 q e s0 v.

Seja N o vetor normal unitário à superfície X u, v , ao longo de (FIGURA 5.1). Temos,

, N 1 0 , N t 1 , N t 1 0

, N t 1 , dN 1 II q

Supondo que a curvatura da curva em s0 não se anula, k s0 0. Utilizando as

equações de Frenet (DO CARMO, 2005[5]), obtemos:

s0 s0 s0 s0

Portanto,

kn v II q v s0 , N u s0 , v s0 1

k s0 n s0 , N u s0 , v s0 1

kn k s0 cosh 5.6

onde n s0 é o vetor tipo espaço unitário normal à curva em s0 e n, N 1 cosh , em que

n, N .

41

FIGURA 5.1 Ângulo entre os vetores n e N.

Observação 5.3: No caso da superfície tipo espaço X u, v em 3, temos uma

interpretação análoga para a curvatura normal kn e a segunda forma fundamental II q . Neste caso,

obtemos:

kn v II q k s0 cos

onde cos n, N .

Da álgebra linear sabemos que dN é uma aplicação linear auto-adjunta. Então existe

uma base ortonormal e1, e2 de T q X tal que dN e1 k1e1 e dN e2 k2e2.

Além disso, k1 e k2 k1 k2 são o máximo e o mínimo da segunda forma

fundamental II q restrita ao círculo unitário de T q X, extremos da curvatura normal em q.

Definição 5.5: O máximo da curvatura normal k1 e o mínimo da curvatura normal k2

são chamadas curvaturas principais em q nas direções correspondentes, isto é, as direções dadas

pelos auto-vetores e1 e e2 são chamadas de direções principais em q.

Retornando a (4.4) e (5.3) em (5.5), temos:

knII q

I q

a2e 2abf b2ga2E 2abF b2G

, a, b 5.7

Exemplo 5.4 Consideremos a superfície X u, v r cos u, r sinu, v , u, v 2 que

descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z 3;x2 y2 1 . A curvatura normal do

cilindro é:

42

I q a2r2 b2

II q a2r

knII q

I q


kna2r

a2r2 b2 , a, b .

Exemplo 5.5 Considere o pseudo espaço hiperbólico H2 1 . Sua curvatura normal

de X u, v é dada por:

I qav bu 2 a2 b2

u2 v2 1

II qav bu 2 a2 b2

u2 v2 1

knII q

I q


; 1

kn

av bu 2 a2 b2

u2 v2 1av bu 2 a2 b2

u2 v2 1kn 1

5.3 A curvatura Gaussiana e a curvatura média em coordenadas locais

Definição 5.6: Seja X : U 2 M M 3 ou M L3 uma superfície tipo

espaço de M. A curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X em q são as funções

K, H : U definidas por:

K det dN q 5.8

H 12 tra dN q 5.9

onde tra é o traço da matriz da aplicação linear dN.

Proposição 5.2: A curvatura Gaussiana e a curvatura média de uma superfície tipo

espaço X u, v em M em função das curvaturas principais são dadas por:

K k1k2 5.10

H 12 k1 k2 5.11

Demonstração: Como dN q é uma aplicaçao linear auto-adjunta, existe uma base

ortonormal e1, e2 de TqX tal que

43

dN q e1 k1e1

dN q e2 k2e25.12

onde k1 e k2 são as curvaturas principais.

Assim, a matriz da aplicação linear dN q com relação a esta base e1, e2 é:

k1 00 k2

Portanto, temos:

K detk1 00 k2

k1k2

H 12 tra

k1 00 k2

12 k1 k2

Teorema 5.1: Seja X : U 2 M M 3 ou M L3 uma superfície tipo

espaço X de M. Então a curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X são dadas por:

K eg f2

EG F2

H 12

eG 2fF gEEG F2

onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de X e E, F, G são os coeficientes

da primeira forma fundamental de X.

Demonstração: Vamos calcular K e H utilizando a base Xu, Xv associada à

parametrização X u, v de X.

Assim, temos que N, N .

Logo, Nu, N Nv, N 0

Portanto, Nu e Nv pertencem a TqX, e assim podemos escrever:

Nu a11Xu a21Xv

Nv a12Xu a22Xv5.13

e, portanto,

dN a11u a12v Nu a21u a22v Nv

que pode ser escrito na forma matricial como

dNuv

a11 a12

a21 a22

uv

Isto mostra que na base Xu, Xv , dN é dada pela matriz a ij , i, j 1,2.

Para obter os valores de a ij em termos dos coeficientes da primeira e segunda forma

44

fundamentais a partir de (5.13), temos:

e Nu, Xu a11E a21Ff Nu, Xv a11F a21Gf Nv, Xu a12E a22Fg Nv, Xv a12F a22G

5.14

As relações (5.14) podem ser expressas em forma matricial por

e ff g

a11 a21

a12 a22

E FF G

5.15

de onde temos

a11 a21

a12 a22

e ff g

E FF G

1

em queE FF G

1

é a matriz inversa deE FF G

E FF G

1E FF G

x yw z

1 00 1

que resulta em

Ex Fw 1Fx Gw 0

eEy Fz 0Fy Gz 1

Resolvendo os sistemas lineares acima temos,

x GEG F2 , y F

EG F2 , z FEG F2 , w E

EG F2

Logo, a matriz inversa será:

E FF G

1

1EG F2

G FF E

Temos então que

a11 a21

a12 a22

e ff g

1EG F2

G FF E

a11 a21

a12 a22

1EG F2

e ff g

G FF E

a11 a21

a12 a22

1EG F2

Ge Ff fE FeGf Fg gE Ff

e daí decorrem as seguintes expressões para os coeficientes a ij da matriz sw dN na base

Xu, Xv :

45

a11fF eGEG F2

a12eF fEEG F2

a21gF fGEG F2

a22fF gEEG F2

5.16

As equações (5.13), com os valores obtidos em (5.16), são conhecidas como

equações de Weingarten, que podem ser escritas da seguinte forma:

NufF eGEG F2 Xu

eF fEEG F2 Xv

NvgF fGEG F2 Xu

fF gEEG F2 Xv

Utilizando (5.16) em (5.8) e (5.9), obtemos:

K q det dNq det

fF eGEG F2

eF fEEG F2

gF fGEG F2

fF gEEG F2

fF eGEG F2

fF gEEG F2

eF fEEG F2

gF fGEG F2

fF eG fF gE eF fE gF fGEG F2 2

Logo,

K ge f2

GE F2 5.17

e ainda,

H q 12 tra a ij

12 tra

fF eGEG F2

eF fEEG F2

gF fGEG F2

fF gEEG F2

12

fF eGEG F2

fF gEEG F2

12

fF eG fF gEEG F2

Logo,

46

H 12

eG 2fF gEEG F2 5.18

Corolário 5.1: As curvaturas principais são raízes da equação quadrática

k2 2 Hk K 0

Portanto,

k H H 2 K

Demonstração: De (5.12) sabemos que k1 e k2 são autovalores de dN, portanto,

satisfazem a equação

dN v k v kI v

para algum v T q X, v 0 em que I é a matriz identidade. Como a aplicação linear dN kI não

possui inversa, esta possui determinante nulo, isto é,

deta11 k a12

a21 a22 k0

ka11 ka22 a11a22 k2 a12a21 k2 a22 a11 k a11a22 a12a21 0

ou

k2 k tra dN det dN 0

Retornando a (5.8) e (5.9), obtemos

k2 2 Hk K 0 5.19

e, portanto,

k H H 2 K 5.20

Pode-se com isso dizer que a curvatura gaussiana K é o produto das curvaturas

principais k1 e k2,

K k1 k2 5.21

e a curvatura média H é o valor médio das curvaturas principais k1 e k2

H 12 k1 k2 5.22

Pode-se resumir as fórmulas para as métricas Euclidiana e de Lorentz-Minkowski no

seguinte quadro:

47

Forma genérica 3 L3

I q a2E 2abF b2G a2E 2abF b2G a2E 2abF b2GII q a2e 2abf b2g a2e 2abf b2g a2e 2abf b2g

knIIq

Iqkcos kcosh

K ge f2

GE F2ge f2

GE F2ge f2

GE F2

H 12

eG 2fF gEEG F2

12

eG 2fF gEEG F2

12

eG 2fF gEEG F2

k1, k2 H H2 K H H2 K H H2 K

QUADRO 5.1 Fórmulas para cálculo da geometria de superfícies em 3 e L3.

Exemplo 5.6 Consideremos a superfície X u, v r cos u, r sinu, v , u, v 2 que

descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z 3;x2 y2 1 , vamos encontrar:

curvatura gaussiana K , curvatura média H e curvaturas principais k1 e k2 .

E r2; F 0; G 1

I q a2r2 b2

e r; f 0; g 0

II q a2r

kna2r

a2r2 b2

K ge f2

GE F2

K 0

H 12

eG 2fF gEEG F2

12

rr2

H 12r

k H H2 K 12r

12r

2

12r

12r ,

Logo, k11r e k2 0.

Observa-se que K k1 k2 0 e k1 k22 H

Exemplo 5.7 Considere o pseudo espaço hiperbólico H2 1 . Vamos encontrar:

curvatura gaussiana K , curvatura média H e curvaturas principais k1 e k2 .

E 1 v2

1 u2 v2 ; F uv1 u2 v2 ; G 1 u2

1 u2 v2

48

Iqav bu 2 a2 b2

u2 v2 1

e v2 1u2 v2 1

; f uvu2 v2 1

; g u2 1u2 v2 1

II qav bu 2 a2 b2

u2 v2 1kn 1

K ge f2

GE F2

u2 1u2 v2 1

v2 1u2 v2 1

uvu2 v2 1

2

1 u2

1 u2 v21 v2

1 u2 v2uv

1 u2 v2

2

1

H 12

eG 2fF gEEG F2

12

v2 1u2 v2 1

1 u2

1 u2 v2 2 uvu2 v2 1

uv1 u2 v2

u2 1u2 v2 1

1 v2

1 u2 v2

1 u2

1 u2 v21 v2

1 u2 v2uv

1 u2 v2

2

1

k H H2 K 1 1 2 1

k1 k2 1

49

6 LINHAS DE CURVATURA E LINHAS ASSINTÓTICAS

Definição 6.1: Se uma curva regular e conexa em X é tal que para todo q a

reta tangente a é uma direção principal em q, então dizemos que é uma linha de curvatura de

X.

Proposição 6.1 (TENENBLAT, 1990 [20]): Sejam X u, v uma superfície

parametrizada regular e q u0, v0 um ponto de X u, v . Um vetor não nulo

w aoXn q boXn q é uma direção principal de curvatura principal ko, se e somente se, ao e bo

satisfazem o sistema de equações:

eo koEo ao fo koFo bo 0fo koFo ao go koGo bo 0

6.1

Proposição 6.2: (Olinde Rodrigues) Seja X : U M M 3 ou M L3 uma

superfície parametrizada regular e t X u t , v t , t I uma curva regular em X u, v .

Então, é uma linha de curvatura de X u, v (FIGURA 6.1) se, e somente se, existe uma função

t , t I, tal que para todo t I, temos:ddt N t t t 0

onde N t N u t , v t é o vetor normal de superfície em u t , v t , t I.

Geometricamente significa dizer que, como dN pode assumir qualquer direção, esta

pode estar na direção de t , e se isto ocorrer, ou seja, se dN é um múltiplo de t , e aí dN e

t são linearmente dependentes, é uma linha de curvatura.

Neste caso, a função t kn t é uma curvatura principal de X em u t , v t ,

para todo t I e kn é a curvatura normal na direção dx das linhas de curvatura.

Demonstração: Suponhamos que é uma linha de curvatura. Considerando

t kn t , vamos provar que para todo t, o vetor tangente a X em q u t , v t , definido

por:

w ddt N t t t

é nulo.

50

FIGURA 6.1 Linha de curvatura de uma superfície regular.

De fato, como w t Nuu Nvv kn t Xuu Xvv , das relações que

definem os coeficientes das formas fundamentais após multiplicar ambos os membros por Xu e

efetuar o produto interno, segue que:

w, Xu eu fv kn t Eu Fv

eu fv kn t Eu kn t Fv

e kn t E u f kn t F v

e

w, Xv fu gv kn t Fu Gv

fu gv kn t Fu kn t Gv

f kn t F u g kn t G v

Como kn é uma direção principal, decorre de (6.1) que:

w, Xu e knE u f knF v 0w, Xv f knF u g knG v 0

logo, w, Xu w, Xv 0, isto é, w t 0 para todo t.

Portanto, ddt N t t t 0, onde t kn t (pela proposição 6.2).

Reciprocamente, se ddt N t t t 0, então o produto interno Xu, Xv se

anula, isto é, ainda de (6.1):

e t E u f t F v 0f t F u g t G v 0

Portanto, segue da relação (6.1) que t é uma direção principal de X em

u t , v t , cuja curvatura principal é t , ou seja, t kn t , donde se conclui que t é

51

uma linha de curvatura.

Como subproduto, temos que a equação diferencial

dN kndx 0

onde kn é a curvatura normal na direção dx das linhas de curvatura e dx é uma direção qualquer da

superfície X u, v .

Pela equação (5.19) das direções principais, k2 2 H q k K q 0, podemos,

segundo Erviti, Torrano(2006, p.53)[7], escrever

detk2 2 kE F Ge f g

0 6.2

De fato:

Partindo de kne 2fx gx2

E 2Fx Gx2 e derivando com respeito a x, temos,

kn2f 2gx

E 2Fx Gx2e 2xf gx2 2F 2Gx

E 2Fx Gx2 2 0

2f 2gxE 2Fx Gx2

e 2xf gx2 2F 2GxE 2Fx Gx2 2

2f 2gxe 2xf gx2 2F 2Gx

E 2Fx Gx2

2 f gx2 F Gx

e 2xf gx2

E 2Fx Gx2

daí,f gx

F Gxe 2fx gx2

E 2Fx gx2 6.3

é claro que e 2fx gx2 e fx x f gx e E 2Fx gx2 E Fx x F Gx

então, kne fx x f gx

E Fx x F Gx

kn x e 2fx gx2

E 2Fx Gx2f gx

F Gxx f gx

x F Gxe 2fx gx2 x f gx

E 2Fx gx2 x F GxLogo,

kn x f gxF Gx

e fxE Fx

e fx F Gx f gx E Fx

eF eGx fFx fGx2 fE fFx gEx gFx2

x2 gF fG x gE eG fE eF 0

De x2 gF fG x gE eG fE eF 0, fazendo CE 2BF AG 0

(equação diferencial da I forma fundamental) e voltando ao determinante (6.2), temos:

52

gF fG x2 A gF fG

gE eG x B gE eG

fE eF 1 C fE eF

Assim, a equação diferencial das linhas de curvatura é:

CE 2BF AG 0

fE eF Xu, Xu gE eG Xu, Xv gF fG Xv, Xu 0

fE eF u 2 gE eG u v gF fG v 2 0 6.4

que finalmente se memoriza melhor resolvendo o determinante:

detv 2 u v u 2

E F Ge f g

0 6.5

Definição 6.2: Seja X : U M M 3 ou M L3 uma superfície e q U.

Uma direção assintótica de X em q é uma direção w T q X tal que a curvatura normal kn w 0

na direção w.

Definição 6.3: Uma curva t X u t , v t sobre uma superfície X u, v é uma

linha assintótica de X, se para todo t I , o vetor t é uma direção assintótica (FIGURA

6.2).

Podemos determinar a quantidade de direções assintóticas em q em termos da

curvatura Gaussiana K em q.

Proposição 6.3: Seja t X u t , v t , t I uma curva sobre uma superfície

X u, v . Então, t é uma linha assintótica (FIGURA 6.2) se, e somente se, as funções u t e v t

satisfazem a equação

e u 2 2fu v g v 2 0 6.6

onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de X em u t , v t .

53

FIGURA 6.2 Direção assintótica e linha assintótica de uma superfície regular.

Demonstração: Pela definição de linha assintótica, temos que é uma linha

assintótica de X se, e só se, kn t 0, para todo t I.

Assim,

kn t IIq e u 2 2fu v g v 2 0 6.7

54

7 SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM 3 E MÁXIMAS TIPO ESPAÇO EM L3.

Definição 7.1 Uma superfície parametrizada regular X : U 2 M será chamada

superfície mínima se a sua curvatura média é identicamente nula, isto é, H 0.

Tais superfícies no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski foram estudadas por

Kobayashi (1983)[11] que as denominou superfícies máximas devido a curvatura Gaussiana K ser

sempre positiva, e posteriormente por Van de Woestijne (1990)[21] que classificou todas as

superfícies mínimas regradas, de revolução e de translação conhecidas, definindo-as como sendo

tipo espaço quando a forma quadrática EG F2 0 e caso contrário, denominou-as de superfícies

Lorentzianas.

Aledo, Galvez (2003)[2] e Lopes(2002)[13] mostram que a partir das representações

de Weierstrass sobre cada superfície em 3 se obtêm as parametrizações dos diversos tipos de

superfícies que constituem cada família em L3.

Lopes (2003, p.57)[12] demonstra que:

Teorema 7.1 Existe uma correspondência entre as superfícies máximas do tipo

espaço do L3 e as mínimas do 3.

A representação do teorema acima não nos garante, porém, uma unicidade na

correspondência, já que a mesma superfície pode ser obtida através de mais de uma representação

de Weierstrass.

De acordo com o tipo de superfícies obtidas a partir do movimento de curvas,

pode-se encontrar os seguintes tipos:1. Superfícies de revolução: As superfícies de revolução formam uma das classes mais

simples de superfícies não triviais. Uma superfície de revolução é uma superfície obtidapor rotação de uma curva plana, chamada curva geratriz, em torno de uma reta nesse plano,a que se chama eixo de revolução. Por exemplo, o parabolóide (FIGURA 7.2) obtido pelarotação de uma parábola fixa no vértice em torno de seu eixo de simetria.

0

y

-2-4

24

0

20

4

z

x -4-2

2

40

0

55

FIGURA 7.1 Parabolóide

2. Superfícies regradas: Uma superfície regrada é uma superfície gerada por uma retamovendo-se ao longo de uma curva chamada diretriz. Portanto, uma superfície regrada éuma união de retas chamadas retas diretoras da superfície. Como exemplo de superfícieregrada tem-se o hiperbolóide de uma folha (FIGURA 7.3).

FIGURA 7.2 Hiperbolóide de uma folha.

3. Superfície de translação: Uma superfície é gerada por translação quando uma curva sedesloca paralelamente a si mesma ou sobre outra curva plana usualmente normal àprimeira. Como exemplo, tem-se o parabolóide hiperbólico (FIGURA 7.4), obtido quandose desloca uma parábola com curvatura para dentro sobre uma hipérbole com curvaturapara fora.

-4

-20

4

-100

10

2

z

20

x0

y

-2-2-4

42

0

FIGURA 7.3 Parabolóide hiperbólico ou "sela de cavalo ".

Historicamente, os três primeiros exemplos de superfícies mínimas não triviais em

um espaço de euclideano tridimensional eram o catenóide, o helicóide e as superfícies mínimas de

translação. Juntamente com os planos, os catenóides são as únicas superfícies mínimas de

revolução, os helicóides as únicas superfícies mínimas regradas enquanto as superfícies de Scherk

são as únicas superfícies mínimas de translação.

56

Ao definir os diversos tipos de superfícies máximas, Van de Woestijne (1990)[21]

deu uma nova classificação às superfícies máximas em L3 enunciando e demonstrando os seguintes

teoremas:

Teorema 7.2. Toda superfície máxima de revolução tipo espaço em L3 é congruente

a parte de uma das seguintes superfícies:i. Plano tipo espaço;

ii. Catenóide de primeiro tipo;

iii. Catenóide de segundo tipo;

iv. Superfície de Enneper de segundo tipo.

Teorema 7.3. Toda superfície máxima regrada tipo espaço em L3 é congruente a

parte de uma das seguintes superfícies:i. Plano tipo espaço;

ii. Helicóide de primeiro tipo;

iii. Helicóide de segundo tipo;

iv. Superfície conjugada de Enneper de segundo tipo.

Teorema 7.4. Toda superfície máxima de translação tipo espaço em L3 é congruente

a parte de uma das seguintes superfícies:i. Plano tipo espaço;

ii. Superfície de Scherk de primeiro tipo.

As parametrizações a seguir não serão demonstradas neste trabalho. Tais formas são

descritas por Do Carmo(2005)[5], Kobayashi(1983)[11], Lopes(2002)[12], Tenenblat(1990)[20],

Van de Woestijne(1990)[21] e Walrave (1995, p.460[22]).

7.1 Catenóides

São superfícies de revolução obtidas através da rotação da catenária em torno de um

dos eixos do sistema x, y, z .

57

7.1.1 Catenóide em 3

Superfície obtida pela revolução da catenária em torno do eixo Ox. Sua

parametrização em 3 pode ser dada por:

X u, v u, coshu cos v, coshu sinv

FIGURA 7.4 Catenóide em 3.

Derivadas de ordem superior:

Xu 1, coshu cos v, sinhu sinv

Xv 0, coshu sinv, coshu cos v

Xuu 0,coshu cos v, coshu sinv

Xvv 0, coshu cos v, coshu sinv

Xuv 0, sinhu sinv, sinhu cos v

a) I Forma Fundamental:

E Xu, Xu 1 sinh2u cos2v sinh2u sin2v

1 sinh2u

E cosh2u

F Xu, Xv sinhu cos vcoshu sinv sinhu sinvcoshu cos v

F 0

G Xv, Xv 0 cosh2u sin2v cosh2u cos2v

G cosh2u

I q a2E 2abF b2G

58

a2 cosh2u 2ab 0 b2 cosh2u

I q a2 b2 cosh2u, a, b .

b) II Forma Fundamental:

EG F2 cosh2u cosh2u 0 cosh4u

EG F2 cosh2u

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu1

cosh2u

1 sinhu cos v sinhu sinv0 coshu sinv coshu cos v0 coshu cos v coshu sinv

1cosh2u

cos2vcosh2u sin2vcosh2u

e 1

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv1

cosh2u

1 sinhu cos v sinhu sinv0 coshu sinv coshu cos v0 sinhu sinv sinhu cos v

1cosh2u

coshu sinv sinhu cos v coshu cos v sinhu sinv

f 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv1

cosh2u

1 sinhu cos v sinhu sinv0 coshu sinv coshu cos v0 coshu cos v coshu sinv

1cosh2u

cos2vcosh2u sin2vcosh2u

g 1

II q a2e 2abf b2g

II q a2 1 2ab 0 b2 1

II q b2 a2, a, b

c) Curvaturas:

c.1) Curvatura Gaussiana:

K eg f2

EG F21 1

cosh4uK 1

cosh4uComo em 3 todas as superfícies mínimas possuem curvatura gaussiana K 0,

todos os seus pontos são hiperbólicos.

59

c.2) Curvatura Média:

H 12

eG 2fF EgEG F2

12

1 cosh2u 0 1 cosh2uEG F2

H 0

c.3) Curvatura Normal:

KnII q

I q

Knb2 a2

a2 b2 cosh2u, a, b .

c.4) Curvaturas Principais:

k2 2Hk K 0

k2 2 0 k 1cosh4u

0

k2 1cosh4u

0

k2 1cosh4u

k11

cosh2ue k2

1cosh2u

d) Linhas de Curvatura:

fE eF u 2 gE eG u v gF fG v 2 0

gE eG u v 0

1 cosh2u 1 cosh2u 0

2cosh2u u v 0

u v 0

u 0 e v 0

As linhas de curvatura do catenóide são as curvas coordenadas - meridianos e

paralelos.

FIGURA 7.5 Linhas de curvatura do catenóide em 3.

60

e) Linhas Assintóticas

e u 2 2fu v g v 2 0

1 u 2 1 v 2 0

v 2 u 2

v u

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para u v

u v 1dudt 1

du dt

u t

Para u v

u v 1dudt 1

du dt

u t

Retornando a X u, v u, coshu cos v, coshu sinv , temos as linhas assintóticas:

C1 t t , cosh t cos t , cosh t sin t

C2 t t , cosh t cos t , cosh t sin t

onde , , e .

61

FIGURA 7.6 Linha assintótica do catenóide em 3.

7.1.2 Catenóide de primeiro tipo em L3

O catenóide de primeiro tipo em L3, também denominado por Yang, Kim(2006)[23]

catenóide elíptico, é obtido pela rotação da catenária em torno de um eixo tipo tempo. Pode ter

como parametrização:

X u, v u, sinv sinhu, cos v sinhu

FIGURA 7.7 Catenóide de primeiro tipo em L3.


Xu 1, sinvcoshu, cos vcoshu

Xuu 0, sinv sinhu, cos v sinhu

Xv 0, sinhu cos v, sinhu sinv

Xvv 0, sinh u sinv, sinh u cos v

Xuv 0, coshu cos v, coshu sinv

62


E Xu, Xu 1 1 sin2vcosh2u cos2vcosh2u

1 coshu sin2v cos2v

E sinh2u

F Xu, Xv 1 0 sinvcoshu sinhu cos v cos vcoshu sinhu sinv

F 0

G Xv, Xv 1 0 sinh2u cos2v sinh2u sin2v

sinh2u cos2v sin2v

G sinh2u

I q a2E 2abF b2G

a2 sinh2u 2ab 0 b sinh2u

I q a2 b2 sinh2u, a, b .


EG F2 sinh2u sinh2u sinh4u

EG F2 sinh2u

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 11

sinh2u

1 sinvcoshu cos vcoshu0 sinhu cos v sinhu sinv0 sinv sinhu cos v sinhu

1sinh2u

cos2v sinh2u sin2v sinh2u 1sinh2u

sinh2u cos2v sin2v

e 1

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 11

sinh2u

1 sinvcoshu cos vcoshu0 sinhu cos v sinhu sinv0 coshu cos v coshu sinv

1sinh2u

sinhu cos vcoshu sinv coshu cos v sinhu sinv

f 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 11

sinh2u

1 sinvcoshu cos vcoshu0 sinhu cos v sinhu sinv0 sinhu sinv sinhu cos v

1sinh2u

cos2v sinh2u sin2v sinh2u 1sinh2u

sinh2u cos2v sin2v

g 1

63

II q a2e 2abf b2g

a2 1 2ab 0 b2 1

II q b2 a2, a, b .

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F21 1 0

sinh2u sinh2u 0K 1

sinh4uComo todas as superfícies máximas em L3 possuem curvatura gaussiana K 0,

todos os seus pontos são elíticos.


H 12

eG 2fF EgEG F2

12

1 sinh2u 0 1 sinh2usinh4u

H 0


KnII q

I q

Kna2 b2

a2 b2 sinh2u, a, b


k2 2Hk K 0

k H H2 K

k K 1sinh4u

k1 k21

sinh2u



1 sinh2u 1 sinh2u u v 0

2sinh2u u v 0

u v 0

u 0 e v 0

As linhas de curvatura do catenóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -

meridianos e paralelos.

64

FIGURA 7.8 Linhas de curvatura do catenóide de primeiro tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0

1 u 2 1 v 2 0

v 2 u 2

v u

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para u v

u v 1dudt 1

du dt

u t

Para u v

u v 1dudt 1

65

du dt

u t

Retornando a X u, v , temos as linhas assintóticas:

C1 t t , sin t sinh t , cos t sinh t

C2 t t , sin t sinh t , cos t sinh t

onde , , e .

FIGURA 7.9 Linha assintótica do catenóide de primero tipo em L3.

7.1.3 Catenóide de segundo tipo em L3

O catenóide de segundo tipo em L3, também denominado catenóide hiperbólico, é

obtido pela revolução da catenária ao redor de um eixo tipo espaço. Sua parametrização pode ser

dada por:

X u, v coshu sinv, sinv sinhu, v

FIGURA 7.10 Catenóide de segundo tipo em L3.

66


Xu sin v sinhu, sin v coshu, 0

Xuu sin v coshu, sin v sinhu, 0

Xv cosh u cos v, sinh u cos v, 1

Xvv cosh u sinv, sinh u sinv, 0

Xuv sinh u cos v, cosh u cos v, 0


E Xu, Xu 1 sin2v sinh2u sin2vcosh2u 0

sin2v cosh2u sinh2u

E sin2v

F Xu, Xv 1 sinv sinhu coshu cos v sinvcoshu sinhu cos v 0

F 0

G Xv, Xv 1 cosh2u cos2v sinh2u cos2v 1

1 cos2v cosh2u sinh2u

G sin2v

I q a2E 2abF b2G

a2 sin2v 2ab 0 b2 sin2v

I q a2 b2 sin2v, a, b


EG F2 sin2v sin2v sin4v

EG F2 sin2v

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 11

sin2v

sinv sinhu sinvcoshu 0coshu cos v sinhu cos v 1sinvcoshu sinv sinhu 0

1sin2v

sin2vcosh2u sin2v sinh2u 1sin2v

sin2v cosh2u sinh2u

e 1

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 11

sin2v

sinv sinhu sinvcoshu 0coshu cos v sinhu cos v 1sinhu cos v coshu cos v 0

1cosh2u

sinhu sinvcoshu cos v coshu sinv sinhu cos v

f 0

67

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 11

sin2v

sinv sinhu sinvcoshu 0coshu cos v sinhu cos v 1

coshu sinv sinhu sinv 0

1sin2v

sin2vcosh2u sin2v sinh2u 1sin2v

sin2v cosh2u sinh2u

g 1

II q a2e 2abf b2g

a2 1 2ab 0 b2 1

II q a2 b2, a, b .

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F21 1 0

sin2v sin2vK 1

sin4vc.2) Curvatura Média:

H 12

eG 2fF EgEG F2

12

1 sin2v 0 1 sin2vEG F2

H 0


KnIIq

Iq

Kna2 b2

a2 b2 sin2v, a, b .


k2 2Hk K 0

k H H2 K

k K 1sin4v

k1 k21

sin2v



1 sin2u 1 sin2u u v 0

2sin2u u v 0

u v 0

68

u 0 e v 0

As linhas de curvatura do catenóide de segundo tipo são as curvas coordenadas -


FIGURA 7.11 Linhas de curvatura do catenóide de segundo tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0

1 u 2 1 v 2 0

v 2 u 2

v u

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para v u :

v u 1dvdt 1

dv dt dv dt

v t

Para u v

u v 1dudt 1

du dt

u t

Para u v

69

u v 1dudt 1

du dt

u t

Retornando a X u, v coshu sinv, sinv sinhu, v , temos as linhas assintóticas:

C1 t cosh t sin t , sin t sinh t , t

C2 t cosh t sin t , sin t sinh t , t

onde , , e .

FIGURA 7.12 Linha assintótica do catenóide de segundo tipo em L3.

7.1.4 Catenóide de terceiro tipo em L3

O catenóide de terceiro tipo em L3, também denominado catenóide parabólico, é

obtido pela revolução da catenária ao redor do outro eixo tipo espaço. Sua parametrização, segundo

Van de Woestijne( 1990, p. 350)[21] é dada por:

X u, v v, cos vcos u, cos v sinu

FIGURA 7.13 Catenóide de terceiro tipo em L3.

70


Xu cos v sinu, cos vcos u, 0

Xuu cos vcos u, cos v sinu, 0

Xv sinvcos u, sinv sinu, 1

Xvv cos vcos u, cos v sinu, 0

Xuv sinv sinu, sinvcos u, 0


E Xu, Xu 1 cos v sinu, cos vcos u, 0 , cos v sinu, cos vcos u, 0

cos v sinu 2 cos vcos u 2 02 cos2v sin2u cos2vcos2u

E cos2v

F Xu, Xv 1 cos v sinu cos u sinv cos u cos v sinu sinv

F 0

G Xv, Xv 1 cos2u sin2v sin2u sin2v 1

G cos2v

EG F2 cos2v cos2v 0 cos4v

Como a forma quadrática EG F2 0, onde podemos concuir que a referida

superfície não é tipo espaço.

O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de catenóides.

Parâmetros 3 Primeiro tipo em L3 Segundo tipo em L3

E cosh2u sinh2u sin2vF 0 0 0G cosh2u sinh2u sin2ve 1 1 1f 0 0 0g 1 1 1

K 1cosh4u

1sinh4u

1sin4v

Kna2 b2

a2 b2 cosh2ua2 b2

a2 b2 sinh2ua2 b2

a2 b2 sin2v

k11

cosh2u1

sinh2u1

sin2vk2

1cosh2u

1sinh2u

1sin2v

QUADRO 7.1 Comparativo da família de catenóides.

71

7.2 Helicóides

Definição 7.2 Sejam X u, v e X u, v , u, v U 2, superfícies simples.

Dizemos que X e X são superfícies isométricas, se para todo u, v U os coeficientes da

primeira forma quadrática de X e X coincidem, isto é, E u, v E u, v , F u, v F u, v ,

G u, v G u, v .

7.2.1 Helicóide em 3

Considere uma hélice cilíndrica dada por t a cos t, a sin t, bt , t , a 0 e

b 0. Por cada ponto da hélice pode-se traçar uma reta paralela ao plano xy e que intersecta o eixo

Oz. A superfície gerada por essas retas é chamada helicóide. É uma superfície regrada obtida pela

isometria do catenóide (FIGURA 7.18), cuja parametrização pode ser dada por:

X u, v u cos v, u sinv, v

FIGURA 7.14 Helicóide em 3.

72

FIGURA 7.15 Deformação isométrica do catenóide em helicóide.

Para se verificar a isometria entre o catenóide e o helicóide, é necessária uma

mudança de parâmetro na equação acima para que as duas superfícies sejam compatíveis. Assim,

fazendo

v v e u a sinhu, 0 v 2 e u ,

mudança esta que é possível uma vez que a aplicação é evidentemente bijetora, e o Jacobiano

u ,uu, v a coshu 0

logo, uma nova representação paramétrica do helicóide, tomando a 1, é:

X u, v sinhu cos v, sinhu sinv, v


E Xu, Xu cosh2u

F Xu, Xv 0

G Xv, Xv cosh2u

I q a2E 2abF b2G

I q a2 b2 cosh2u, a, b .

Comparando os resultados obtidos acima com aqueles obtidos para o catenóide em3, percebe-se que EC EH cosh2u, FC FH 0 e GC GH cosh2u, caracterizando,

então, que as superfícies são localmente isométricas.


73

EG F2 cosh2u cosh2u 0 cosh4u

EG F2 cosh2u

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 0

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 0

II q a2e 2abf b2g

II q 2ab, a, b .

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 1cosh4u


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kn2ab

a2 b2 cosh2u, a, b .


k2 2Hk K 0

k11

cosh2ue k2

1cosh2u



cosh2u v 2 cosh2u u 2

u 2 v 2

v u

Para v u :

v t

74

Para v u :

v t

Para u v

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v sinhu cos v, sinhu sinv, v , temos as linhas de curvatura:

C1 t sinh t cos t , sinh t sin t , t

C1 t sinh t cos t , sinh t sin t , t

onde , , e .

FIGURA 7.16 Linha de curvatura do helicóide em 3.


e u 2 2fu v g v 2 0

u v 0

As linhas assintóticas do helicóide são as curvas coordenadas - meridianos e

paralelos.

FIGURA 7.17 Linhas assintóticas do helicóide em 3.

75

7.2.2 Helicóide de primeiro tipo em L3

Superfície conjugada ao catenóide de primeiro tipo em L3, o helicóide de primeiro

tipo, ou helicóide elíptico é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada por:

X u, v v, coshu cos v, coshu sinv

FIGURA 7.18 Helicóide de primeiro tipo em L3.


E Xu, Xu 1 sinh2u

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 sinh2u

I q a2E 2abF b2G

I q a2 b2 sinh2u, a, b

Comparando os resultados obtidos para o catenóide e para o helicóide de primeiro

tipo em L3, percebe-se que a isometria entre a família de catenóides e a família de helicóides, tipo

a tipo, existe também no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski (MILANI, SHOJAEIFA,

2006[13]).

76

FIGURA 7.19 Deformação do catenóide de primeiro tipo em helicóide de primeiro tipo em L3.


EG F2 sinh4u

EG F2 sinh2u

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1 0

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 1

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 0

II q a2e 2abf b2g

II q 2ab, a, b .

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 1sinh4u


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

77

Kn2ab

a2 b2 sinh2u, a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k21

sinh2u



1 sinh2u u 2 1 sinh2u v 2 0

sinh2u u 2 sinh2u v 2

u 2 v 2

u v

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v

u t

Para u v

u t

Retornando a X u, v v, cos vcoshu, coshu sinv , temos as linhas de

curvatura:

C1 t t , cos t cosh t , cosh t sin t

C2 t t , cos t cosh t , cosh t sin t

onde , , e .

FIGURA 7.20 Linha de curvatura do helicóide de primeiro tipo em L3.

78

e) Linhas Assintóticas:

e u 2 2f u v g v 2 0

2 u v 0

u v 0

u 0 e v 0

As linhas assintóticas do helicóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -

meridianos e paralelos

FIGURA 7.21 Linhas assintóticas do helicóide de primeiro tipo em L3.

7.2.3 Helicóide de segundo tipo em L3

Superfície conjugada ao catenóide de segundo tipo em L3, o helicóide de segundo

tipo, ou helicóide hiperbólico, é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada por:

X u, v cos v sinhu, cos vcoshu, u

FIGURA 7.22 Helicóide de segundo tipo em L3.

79


E Xu, Xu 1 cos2vcosh2u cos2v sinhu 1

1 cos2v cosh2u sinh2u

E sin2v

F Xu, Xv 1 cos vcoshu sinhu sinv cos v sinhu cosh u sinv

F 0

G Xv, Xv 1 sin2v sinh2u sin2vcosh2u 0

sin2v sinh2u cosh2u

G sin2v

I q a2E 2abF b2G

a2 sin2v 2ab 0 b2 sin2v

I q a2 b2 sin2v, a, b


EG F2 sin2v sin2v sin4v

EG F2 sin2v

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1 0

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 1

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 0

II q a2e 2abf b2g

II q 2ab, a, b

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 1sin4v


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0

80


KnII q

I q

Kn2ab

a2 b2 sin2v, a, b


k2 2Hk K 0

k1 k21

sin2v



1 sin2v u 2 1 sin2v v 2 0

sin2u u 2 sin2u v 2

u 2 v 2

u v

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v :

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v cos v sinhu, cos vcoshu, u , temos as linhas de curvatura:

C1 t cos t sinh t , cos t cosh t , t

C2 t cos t sinh t , cos t cosh t , t

onde , , e .

81

FIGURA 7.23 Linha de curvatura do helicóide de segundo tipo em L3.


e u 2 2f u v g v 2 0

2 1 u v 0

u 0 e v 0

As linhas de curvatura do helicóide tipo 2 são as curvas coordenadas - meridianos e

paralelos.

FIGURA 7.24 Linhas assintóticas do helicóide de segundo tipo em L3.

7.2.4 Helicóide de terceiro tipo em L3

Superfície conjugada ao catenóide do terceiro tipo em L3, o helicóide do terceiro tipo,

também chamado helicóide parabólico, é uma superfície regrada com parametrização:

X u, v u coshv, u sinhv, v

FIGURA 7.25 Helicóide de terceiro tipo em L3.

82


E Xu, Xu 1 1

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 u2 1

EG F2 1 u2 1 u2 1

Como a forma quadrática EG F2 0, esta não é uma superfície tipo espaço.

O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de helicóides.

Parâmetros 3 Primeiro tipo em L3 Segundo tipo em L3

E cosh2u sinh2u sin2vF 0 0 0G cosh2u sinh2u sin2ve 0 0 0f 1 1 1g 0 0 0

K 1cosh4u

1sinh4u

1sin4v

Kn2ab

a2 b2 cosh2u2ab

a2 b2 sinh2u2ab

a2 b2 sin2u

k11

cosh2u1

sinh2u1

sin2vk2

1cosh2u

1sinh2u

1sin2v

QUADRO 7.2 Comparativo da família de helicóides

7.3 Superfícies de Enneper

7.3.1 Superfície de Enneper em 3

A superfície de Enneper em 3 é a superfície parametrizada

X u, v u u3

3 uv2, v v3

3 vu2, u2 v2 , u, v 2.

De acordo com Do Carmo(2005, p.243)[5], a verificação de que a superfície de

Enneper é uma superfície mínima não apresenta maiores dificuldades. Ao se trocar u, v por

v, u , troca-se, na superfície x, y, z por y, x, z . Assim, ao se efetuar uma rotação positiva de

2 em torno do eixo Oz seguida de uma simetria no plano xy, a superfície permanece invariante.

83

Outra carcterística interessante desta superfície definida por Alfred Enneper

(1830-1885) é que ela possui auto interseções como se pode ver na figura 7.26.

FIGURA 7.26 Superfície de Enneper em 3.


E Xu, Xu u2 v2 1 2

F Xu, Xv 0

G Xv, Xv u2 v2 1 2

I q a2E 2abF b2G

I q a2 b2 u2 v2 1 2, a, b


EG F2 u2 v2 1 4

EG F2 u2 v2 1 2

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 2

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 2

II q a2e 2abf b2g

II q 2 a2 b2 , a, b .

c) Curvaturas:

84


K eg f2

EG F2

K 4u2 v2 1 4


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kn2 a2 b2

a2 b2 u2 v2 1 2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k12

u2 v2 1 2 e k22

u2 v2 1 2



2 u2 v2 1 2 2 u2 v2 1 2 u v 0

4 u2 v2 1 2 u v 0

u v 0

u v 0

As linhas de curvatura da superfície de Enneper em 3 são as curvas coordenadas -


FIGURA 7.27 Linhas e curvatura da superfície de Enneper em 3.

85

e) Linhas assintóticas

e u 2 2fu v g v 2 0

2 u 2 2 v 2 0

2 u 2 2 v 2

v u

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v :

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v u u3

3 uv2, v v3

3 vu2, u2 v2 , temos as linhas

assintóticas:

C1 t t t 3

3 t t 2, t t 3

3 t t 2,

t 2 t 2

C2 t t t 3

3 t t 2, t t 3

3 t

t 2, t 2 t 2

onde , , e .

FIGURA 7.28 Linha assintótica da superfície de Enneper em 3.

Observa-se pela (FIGURA 7.29) que as linhas assintóticas u v u v constante

86

7.3.2 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L3

A superfície de Enneper de primeiro tipo em L3 é a superfície parametrizada

X u, v u2 v2, u u3

3 uv2, v u2v v3

3 , u, v 2 e u2 v2 1.

FIGURA 7.29 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L3.


E Xu, Xu 1 u2 v2 1 2

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 u2 v2 1 2

I q a2E 2abF b2G

I q a2 b2 u2 v2 1 2, a, b .


EG F2 u2 v2 1 4

EG F2 u2 v2 1 2

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1 2

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 2

II q a2e 2abf b2g

II q 2 a2 b2 , a, b .

87

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 4u2 v2 1 4


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnIIq

Iq

Kn2 a2 b2

a2 b2 u2 v2 1 2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k22

u2 v2 1 2



2 u2 v2 1 2 2 u2 v2 1 2 u v 0

4 u2 v2 1 2u v 0

u v 0

u v 0

As linhas de curvatura da superfície de Enneper de primeiro tipo são as curvas

coordenadas - meridianos e paralelos.

88

FIGURA 7.30 Linhas e curvatura da superfície de Enneper de primeiro tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0

2 u 2 2 v 2 0

2 u 2 2 v 2

v u

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v :

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v u2 v2, u u3

3 uv2, v u2v v3

3 , temos as linhas

assintóticas:

C1 t t 2 t 2, t t 3

3 t t 2, t t 2

t t 3

3

C2 t t 2 t 2, t t 3

3 t v2, t t 2

t t 3

3

onde , , e .

89

FIGURA 7.31 Linha assintótica da superfície de Enneper de primeiro tipo em L3.

7.3.3 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L3

É a superfície parametrizada

X u, v 2uv, v u2v v3

3 , u3

3 uv2 u

FIGURA 7.32 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L3.

a) I forma fundamental

E Xu, Xu 1 u2 v2 1 2

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 u2 v2 1 2

I q a2E 2abF b2G

I q u2 v2 1 2 a2 b2 , a, b

90

b) II forma fundamental

EG F2 u2 v2 1 4

EG F2 u2 v2 1 2

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1 0

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 2

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 0

II q a2e 2abf b2g

II q 4ab, a, b

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 4u2 v2 1 4 , u2 v2 1.


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kn4ab

u2 v2 1 2 a2 b2, a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k22

u2 v2 1 2 , u2 v2 1.



v u

Para v u :

91

v t

Para v u :

v t

Para u v

u t

Para u v

u t

Retornando a X u, v 2uv, v u2v v3

3 , u3

3 uv2 u , temos as linhas

assintóticas:

C1 t 2 t t , t t 2 t t 3

3 , t 3

3 t t 2

t

C2 t 2 t t , t t 2 t t 3

3 , t 3

3 t t

t

onde , , e .

FIGURA 7.33 Linhas de curvatura da superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo.


e u 2 2fu v g v 2 0

u v 0

As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as

curvas coordenadas - meridianos e paralelos.

92

FIGURA 7.34 Linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de pimeiro tipo.

7.3.4 Superfície de Enneper de segundo tipo em L3

A superfície de Enneper de segundo tipo em L3 é a superfície parametrizada

X u, v u3

3 uv2 u, u u3

3 uv2, 2uv , u, v 2, u 0.

FIGURA 7.35 Superfície de Enneper de segundo tipo em L3.


E Xu, Xu 1 4u2

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 4u2

I q a2E 2abF b2G

I q 4u2 a2 b2 , a, b .

93


EG F2 4u2 4u2 16u4

EG F2 4u2

e 14u2 Xu Xv, Xuu 1 2

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 2

II q a2e 2abf b2g

II q 2 a2 b2 , a, b

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 14u4 , u 0.


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kna2 b2

2u2 a2 b2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k21

2u2 , u 0.



2 4u2 2 4u2 u v 0

u v 0

u v 0

As linhas de curvatura da superfície de Enneper de segundo tipo são as curvas


94

FIGURA 7.36 Linhas e curvatura da superfície de Enneper de segundo tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0

2 u 2 2 v 2 0

2 u 2 2 v 2

v u

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v

u t

Para u v

u t

Retornando a X u, v u3

3 uv2 u, u u3

3 uv2, 2uv , temos as linhas

assintóticas:

C1 t t 3

3 t t 2 1 , t 3

3 t 1 t 2 , 2 t t

C2 t t 2 t 2, t t 3

3 t v2, t t 2

t t 3

3

onde , , e .

95

FIGURA 7.37 Linha assintótica da superfície de Enneper de segundo tipo em L3.

7.3.5 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L3

É a superfície parametrizada

X u, v u2v v3

3 v, v u2v v3

3 , u2 v2

FIGURA 7.38 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L3.

a) I forma fundamental

E Xu, Xu 1 4u2

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 4u2

I q a2E 2abF b2G

I q 4u2 a2 b2 , a, b

96

b) II forma fundamental

EG F2 16u4

EG F2 4u2

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1 0

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 2

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1 0

II q a2e 2abf b2g

II q 4ab, a, b

c) Curvaturas:


K eg f2

EG F2

K 14u4 , u 0.


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Knab

u2 a2 b2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k21

2u2 , u 0.



v u

Para v u :

v t

Para v u :

97

v t

Para u v

u t

Para u v

u t

Retornando a X u, v u2v v3

3 v, v u2v v3

3 , u2 v2 , temos as linhas

assintóticas:

C1 t t 2 t t 3

3 t , t t 2 t t 3

3 , t 2

t 2

C2 t t 2 t t 3

3 t , t t 2 t t 3

3 ,

t 2 t 2

onde , , e .

FIGURA 7.39 Linhas de curvatura da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0

u v 0

As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as

curvas coordenadas - meridianos e paralelos.

98

FIGURA 7.40 Linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L3.

7.3.6 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L3

A superfície de Enneper de terceiro tipo em L3 é a superfície parametrizada por:

X u, v v3

3 u2v v, 2uv, v3

3 u2v v , u, v 2

FIGURA 7.41 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L3.


Para a parametrização desta superfície, Van de Woestijne utilizou a assinatura da

métrica dx2 dy2 dz2 .

E Xu, Xu 1 4v2

F Xu, Xv 1 0

G Xv, Xv 1 0

EG F2 0, logo, a superfície de Enneper de terceiro tipo não é uma superfície tipo espaço.

O quadro seguinte compara os valores obtidos para as superfícies de Enneper.

99

Parâmetros 3 Primeiro tipo em L3 Conj. de 1o. tipo em L3

E u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2

F 0 0 0G u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2

e 2 2 0f 0 0 2g 2 2 0

K 4u2 v2 1 4

4u2 v2 1 4

4u2 v2 1 4

Kn2 a2 b2

a2 b2 u2 v2 1 22 a2 b2

a2 b2 u2 v2 1 24ab

a2 b2 u2 v2 1 2

k12

u2 v2 1 22

u2 v2 1 22

u2 v2 1 2

k22

u2 v2 1 22

u2 v2 1 22

u2 v2 1 2

Parâmetros Segundo tipo em L3 Conjugada de 2o. tipo em L3

E 4u2 4u2

F 0 0G 4u2 4u2

e 2 0f 0 2g 2 0

K 14u4

14u4

Kna2 b2

2u2 a2 b2ab

u2 a2 b2

k11

2u21

2u2

k21

2u21

2u2

QUADRO 7.3 Comparativo da família das superfícies de Enneper.

7.4 Superfícies de Scherk

7.4.1 Superfície de Scherk em 3

A superfície de Scherk em 3 é uma superfície de translação dada por

X u, v u, v, log cos vcos u , u, v 2, u, v 2 , .

100

FIGURA 7.42 Superfície de Scherk em 3.

A superfície de Scherk foi descoberta por Heinrich Ferdinand Scherk (1798-1885)

sobre um domínio em forma de tabuleiro de xadrez (GRAY, 1999[10]).


E Xu, Xu sec2u

F Xu, Xv tanu tanv

G Xv, Xv sec2v

I q a2E 2abF b2G

I q a2 sec2u 2ab tanu tanv b2 sec2v , a, b .


EG F2 sec2u tan2v

EG F2 sec2u tan2v

e 1EG F2

Xu Xv, Xuusec2u

sec2u tan2v

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvvsec2v

sec2u tan2vII q a2e 2abf b2g

II qa2 sec2u b2 sec2v

sec2u tan2v, a, b .

c) Curvaturas:


101

K eg f2

EG F2

K sec2u sec2vsec2u tan2v 2


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kna2 sec2u b2 sec2v

a2 sec2u 2ab tanu tanv b2 sec2v sec2u tan2v

Tomando o ponto de sela q u, v 0,0 , tem-se que:

Kna2 b2

a2 b2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k1sec u sec v

sec2u tan2ve k2

sec u sec vsec2u tan2v

No ponto q u, v 0,0 , tem-se que

k1 1 e k2 1



2u v 0

u v 0

As linhas de curvatura da superfície de Scherk em 3 são as curvas coordenadas -


FIGURA 7.43 Linhas e curvatura da superfície de Scherk em 3.

102


e u 2 2fu v g v 2 0

sec2u u 2 sec2v v 2

Tomando o ponto q u, v 0,0 , tem-se:

sec20 u 2 sec20 v 2

u v

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v :

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v u, v, log cos vcos u , temos as linhas assintóticas:

C1 t t , t , log cos tcos t

C2 t t , t , log cos tcos t

onde , , e .

FIGURA 7.44 Linha assintótica da superfície de Scherk em 3.

7.4.2 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L3

A superfície de Scherk de primeiro tipo em L3 é uma superfície de translação dada,

103

segundo Walrave (1995, p.46)[22] por:

X u, v u, v, log coshvcoshu , u, v 2, tanh2u tanh2v 1.

FIGURA 7.45 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L3.


E Xu, Xu 1 1 tanh2u 0

F Xu, Xv 1 tanhv tanhu

G Xv, Xv 1 1 tanh2v 0

I q a2E 2abF b2G

I q a2 1 tanh2u 2ab tanhv tanhu b2 1 tanh2v , a, b .


EG F2 1 tanh2u tanh2v 0 nas condições impostas acima.

e 1EG F2

Xu Xv, Xuu 1tanh2u 1

1 tanh2u tanh2v

f 1EG F2

Xu Xv, Xuv 1 0

g 1EG F2

Xu Xv, Xvv 1tanh2v 1

1 tanh2u tanh2vII q a2e 2abf b2g

II qa2 tanh2u 1 b2 1 tanh2v

1 tanh2u tanh2v, a, b .

c) Curvaturas:

104


K eg f2

EG F2

K sech 2u sech 2vtanh2u tanh2v 1 2

No ponto q u, v 0,0 , tem-se que K 1.


H 12

eG 2fF EgEG F2

H 0


KnII q

I q

Kna2 tanh2u 1 b2 1 tanh2v

a2 1 tanh2u 2ab tanhv tanhu b2 1 tanh2v 1 tanh2u tanh2v

No ponto q u, v 0,0 , tem-se que:

Kna2 b2

a2 b2 , a, b .


k2 2Hk K 0

k1 k2sechu sechv

tanhu tanhv 1


fE eF u 2 gE eG u v gF fG v 2 0tanh2v 1 tanhv tanhu

1 tanh2u tanh2vv 2 0

Em q u, v 0,0 , tem-se: 2u v 0

u 0 e v 0

As linhas de curvatura da superfície de Scherk de primeiro tipo são as curvas


105

FIGURA 7.46 Linhas de curvatura da superfície de Scherk de primeiro tipo em L3.


e u 2 2fu v g v 2 0tanh2u 1

tanh2u tanh2v 1u 2 tanh2v 1

1 tanh2u tanh2vv 2 0

Tomando-se q u, v 0,0

u 2 v 2 0

v u

Para v u :

v t

Para v u :

v t

Para u v :

u t

Para u v :

u t

Retornando a X u, v u, v, log coshvcoshu , temos as linhas assintóticas:

C1 t t , t , log cosh tcosh t

C2 t t , t , log cosh tcosh t

onde , , e .

106

FIGURA 7.47 Linha assintótica do catenóide de primeiro tipo em L3.

7.4.3 Superfície de Scherk de segundo tipo em L3

A superfície de Scherk de segundo tipo em L3 é uma superfície de translação dada

por:

X u, v u, v, log coshvsinhu , u, v 2, u 0.

FIGURA 7.48 Superfície de Scherk de segundo tipo em L3.


E Xu, Xu 1 1 coth2u 0

F Xu, Xv 1 tanhvcothu

G Xv, Xv 1 1 tanh2v 0

EG F2 1 coth2u tanh2v 0

O valor assumido por EG F2 0 indica que a superfície de Scherk de segundo tipo

não é uma superfície tipo espaço.

107

7.4.4 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L3

A superfície de Scherk de terceiro tipo em L3 é uma superfície de translação dada

por:

X u, v u, v, log sinhvsinhu , u, v 2, u, v 0.

FIGURA 7.49 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L3.


E Xu, Xu 1 1 coth2u

F Xu, Xv 1 cothvcothu

G Xv, Xv 1 1 coth2v

Iq a2E 2abF b2G

Iq a2 1 coth2u 2ab cothvcothu b2 1 coth2v


EG F2 1 coth2u coth2v 0

Logo, a referida superfície não é tipo espaço.

O quadro abaixo compara os valores obtidos para as superfícies de Scherk em 3 e

tipo 1 em L3.

108

Parâmetros 3 Tipo 1 em L3

E sec2u sech 2uF tanu tanv tanhu tanhvG sec2v sech 2v

e sec2usec2u tan2v

sech 2u1 tanh2u tanh2v

f 0 0

g sec2usec2u tan2v

sech 2v1 tanh2u tanh2v

K 1 1

Kna2 b2

a2 b2 , a, b a2 b2

a2 b2 , a, b

k1 1 1k2 1 1

Calculadas para o ponto q u, v 0,0QUADRO 7.4 Comparativo da família de superfícies de Scherk.

109

8 GEOMETRIA COM O SOFTWARE MATHEMATICA

Com o crescente desenvolvimento da tecnologia de computadores, os softwares

passaram a ocupar um lugar de destaque entre os pesquisadores e estudiosos de todos os ramos da

matemática. Gray (1999)[10] utiliza o software Mathematica para desenvolver rotinas de

programação para o cálculo e apresentação gráfica de curvas e superfícies em 3.

Seguindo a linha proposta pelo autor acima citado, o mesmo software foi aqui

utilizado para construir uma nova rotina de programação que permita estudar a geometria das

superfícies máximas em L3, tanto nos cálculos quanto no traçado das superfícies.

Para gerar figuras em movimento, tornou-se necessário o uso de outro aplicativo: o

JavaView, que incorporado ao Mathematica gera em uma nova janela, a superfície que pode ser

movimentada livremente com o auxílio do mouse, permitindo a observação de qualquer ângulo, o

que muito ajuda na observação da geometria da superfície. O mesmo software pode gerar também

um seqüência de imagens no formato .gif (figuras 7.15 e 7.19) que, com a auxílio do Windows

Movie Maker ou algum animador de gifs, mostra uma movimentação da superfície como em um

filme.

8.1 Geometria das superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L3.

"Geometria de Superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L3"

Clear[u,v,f1,f2,f3,Fu,Fv,Fuu,Fvv,Fuv,NF,NX,Xu,Xv,Xuu,Xuv,Xvv,NT,E1,F1,G1,L1,M1,N1,PFF,

SFF,Q,KG,KM,KN,KP1,KP2,LC,LA]

f1[u,v] ;

f2[u,v] ;

f3[u,v] ;

"Superfície Paramétrica X[u,v]"

X {f1[u,v],f2[u,v],f3[u,v]}

"Derivadas de ordem superior"

"Xu "

Xu {D[f1[u,v],u],D[f2[u,v],u],D[f3[u,v],u]}

"Xv "

Xv {D[f1[u,v],v],D[f2[u,v],v],D[f3[u,v],v]}

"Xuu "

110

Xuu {D[Xu[[1]],u],D[Xu[[2]],u],D[Xu[[3]],u]}

"Xuv "

Xuv {D[Xu[[1]],v],D[Xu[[2]],v],D[Xu[[3]],v]}

"Xvv "

Xvv {D[Xv[[1]],v],D[Xv[[2]],v],D[Xv[[3]],v]}

"Produto vetorial em L3 entre u {u1,u2,u3} e v {v1,v2,v3}"

Clear[CrossMinko,DotMinko,NormaMinko,vetor1,vetor2]

CrossMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[{vetor1[[3]]*vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[3]],

vetor1[[3]]*vetor2[[1]]-vetor1[[1]]*vetor2[[3]],vetor1[[1]]* vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[1]]}]

"Produto escalar de vetor1 e vetor2 em L3"

DotMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[2]]

vetor1[[3]]*vetor2[[3]]]

"Norma em L3"

NormaMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[Sqrt[Abs[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[

vetor1[[3]]*vetor2[[3]]]]]

"Vetor normal da superfície X(u,v) no espaço L3"

"Xu "

Xu

"Xv "

Xv

" produto vetorial em L3 para Xu e Xv"

norma Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]]

"Norma em L3"

norma Simplify[NormaMinko[norma,norma]]

"Vetor normal da Superfície X[u,v]"

"NX"

NX Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]/norma]

"Verificação se o vetor normal é do tipo tempo"

"NT"

NT Simplify[DotMinko[NX,NX]]

"Coeficientes da primeira forma fundamental"

"Xu "

Xu

"Xv "

Xv

"E"

111

E1 DotMinko[Xu,Xu]

"F "

F1 DotMinko[Xu,Xv]

"G "

G1 DotMinko[Xv,Xv]

"Coeficientes da segunda forma fundamental"

"e "

L1 DotMinko[Xuu,NX]

"f "

M1 DotMinko[Xuv,NX]

"g "

N1 DotMinko[Xvv,NX]

"Determinação da I Forma Fundamental"

"PFF"

Simplify[PFF a^2*E1 2*a*b*F1 b^2*G1]

"Determinação da II Forma Fundamental"

"SFF"

Simplify[SFF a^2*L1 2*a*b*M1 b^2*N1]

"Verificação do sinal da forma quadrática Q EG-F^2"

"Q "

Simplify[E1*G1-F1^2]

Cálculo das curvatura "

"Curvatura Gaussiana "

"KG "

Simplify[KG (M1^2 - L1*N1)/((E1*G1 - F1^2)]

"Curvatura Média "

"KM "

Simplify[KM -1/2*((((L1*G1 - 2*M1*F1 E1*N1)/( E1*G1 - F1^2))]

"Curvatura Normal"

"KN "

Simplify[SFF/PFF]

"Curvaturas Principais"

"KP1 "

Simplify[KP1 KM Sqrt(KM^2 KG)]

"KP1 "

Simplify[KP1 KM - Sqrt(KM^2 KG)]

112

"Equação diferencial das linhas de curvatura"

"LC "

Simplify[(M1*E1-L1*F1)*(u’)^2 (N1*E1-L1*G1)*u’*v’ (N1*F1-M1*G1)*(v’)^2 0]

"Equação diferencial das linhas assintóticas"

"LA "

Simplify[-L1*(u’)^2-2*M1*u’*v’-N1*(v’)^2 0]

"Traço da superfície"

ParametricPlot3D[X,{u,-Pi,Pi},{v,-Pi,Pi},Boxed- alse,Axes- False,ViewPoint- {0.862, -6.827,

0.352},

AspectRatio- 1]

Convém ressaltar que o programa acima foi feito para ser utilizado com a

pseudo-métrica u1, u2, u3 , v1, v2, v3 u1v1 u2v2 u3v3. Para o uso de

u1, u2, u3 , v1, v2, v3 u1v1 u2v2 u3v3, como o feito em algumas superfícies aqui citadas,

torna-se necessário efetuar pequenas modificações em algumas linhas do programa.

8.2 Deformação isométrica do helicóide em catenóide em L3.

Deformação isométrica do helicóide em catenóide L3 - "heltocat"

heltocat[t_][u_,v_]: Sinh[ t]{-v,-Cosh[u]*Cos[v],-Cosh[u]*Sin[v]} Cosh[t]{u,-Sinh[ u]*Sin[v],

-Sinh[u]*Cos[v]}

ParametricPlot3D[heltocat[0][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed- False,Axes- False,

AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880,0.000, -2.060}]

ParametricPlot3D[heltocat[Pi/40][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},

Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]


Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,

ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]



ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]

ParametricPlot3D[heltocat[Pi/5][u,

v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed- False,Axes-

False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]

113

ParametricPlot3D[heltocat[3Pi/10][

u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},

Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint-

{ 0.880, 0.000, -2.060}]

ParametricPlot3D[heltocat[2Pi/5][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},


ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]

ParametricPlot3D[heltocat[Pi][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed-

False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880,

0.000, -2.060}]

A programação acima refere-se ao catenóide e helicóide de primeiro tipo. Para os

outros tipos, torna-se necessário mudar a parametrização das superfícies.

114

CONCLUSÃO

Ao finalizar o presente trabalho, verificou-se que vários resultados foram obtidos no

estudo comparativo das superfícies mínimas em 3 e máximas tipo espaço em L3

Concluiu-se que os vários tipos de superfícies que surgem no pseudo-espaço de

Lorentz-Minkowski são decorrência das aplicações de Weierstrass durante o processo de

parametrização, sendo que nem todas as superfícies obtidas são tipo espaço. Porém, o uso da

pseudo-métrica u1, u2, u3 , v1, v2, v3 1 u1v1 u2v2 u3v3 que modifica os cálculos em

relação a u1, u2, u3 , v1, v2, v3 1 u1v1 u2v2 u3v3, não altera os resultados obtidos para

as superfícies estudadas.

Uma outra verificação importante é a manutenção da deformação isométrica entre o

catenóide e o helicóide em L3 para cada tipo de superfície destas famílias.

Durante o desenvolvimento deste estudo foram definidos vários conceitos de

geometria diferencial e demonstrados alguns teoremas importantes para a sua compreensão,

ressaltando as diferenças entre as duas métricas e concluindo que a primeira forma fundamental,

pode ser determinada da mesma forma para ambas. Posteriormente, o desenvolvimento da

aplicação normal de Gauss nos deu subsídios para se determinar a segunda forma fundamental e as

curvaturas média, Gaussiana, normal e principais. A grande diferença que se percebe é a troca de

sinal da curvatura Gaussiana, sempre negativa nas superfícies mínimas em 3 e sempre positiva

nas superfícies máximas em L3, sendo esta a razão da denominação "superfície máxima".

Com o uso do teorema de Olinde Rodrigues pôde se chegar à equação diferencial das

linhas de curvatura, que assim como as linhas assintóticas não apresentaram modificação na forma

de serem determinadas.

Comparações entre os resultados obtidos para a geometria de cada família de

superfícies foram realizadas ao final de cada estudo para facilitar a compreensão das diferenças

decorrentes da mudança na métrica.

Analisando os resultados obtidos para a geometria das diferentes superfícies de cada

família em L3 verifica-se muito mais que uma simples mudança de sinal ou funções

trigonométricas, uma mudança completa na geometria das superfícies. Dentre os resultados que

podem ser verificados nas figuras correspondentes a cada superfície destacam-se:

O catenóide em 3 não possui singularidade, ao contrário do catenóide de primeiro tipo

em L3.

O helicóide em 3 é construído em um cilindro circular reto ao redor do eixo

longitudinal do cilindro, enquanto o helicóide de primeiro tipo em L3 é construído entre

dois cilindros circulares retos de diâmetros diferentes.

115

Os helicóides de segundo e terceiro tipos em L3 possuem sombras semelhantes às

sombras dos catenóides em 3 e de primeiro tipo em L3.

Finalmente pôde-se avaliar e constatar a eficiência do software Mathematica para o

auxílio dos cálculos. O software mostrou-se também muito eficiente no traçado das superfícies,

tanto em 3 quanto em L3, apesar de alguns recursos não disponíveis que podem ser supridos com

a integração do software JavaView.

Acredita-se com isso que esta pesquisa venha a enriquecer o campo da geometria

diferencial, ao mesmo tempo que desperta o interesse pelo estudo comparativo de outros tipos de

superfícies para as duas métricas aqui trabalhadas, bem como da utilização de softwares que

auxiliem no estudo da geometria das superfícies em 3 e em L3.

116

BIBLIOGRAFIA

[1] AKUTAGAWA, K.; NISHIKAWA, S. The Gauss Map and Spacelike Surfaces with

Prescribe Mean Curvature in Minkowski 3-Space. Tôhoku Math. J., Tôhoku(Jp),

n. 42, p.67-82, 1990.

[2] ALEDO, J. A.; GÁLVEZ, J. A. A. Weierstrass Representation for Linear

Weingarten Spacelike Surfaces of Maximal Type in the Lorentz-Minkowski Space.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, USA, v. 283, n.1, p. 25-45,

2003.

[3] BOLDRINI, J. L., et al. Álgebra Linear. 3a. edição. São Paulo: Editora Harbra,

1980. 411 p.

[4] COIMBRA, A. L. Espaços vetoriais: lições e exemplos. 1a. edição. São Paulo:

Editora Edgar Blücher, 1994. 98 p.

[5] DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 1a. edição.

Rio de Janeiro: Editora SBM, 2005, 610 p.

[6] DO CARMO, M. P. Superfícies Mínimas. 2a.edição. Rio de Janeiro: Impa,

2005, 122 p.

[7] ERVITI, J.; TORRANO, E. Notas sobre teoría de curvas y superficies.

Departamento de Matematica aplicada da Universidad Politécnica de Madrid.

Madrid(Es): 2006, p. 47-63. Disponível em:

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/03-04/

segundociclo/teorcurv/apuntes/tcys.pdf . Acesso em 18 de outubro de 2006.

[8] FALEIROS, A. C. Aritmética, Álgebra e Cálculo com o Mathematica®. 1a.

Edicão. São Paulo: Editora Edgar Blücher Ltda., 1998, 278 p.

[9] FREITAS, C. Introdução ao Mathematica®. Apostila. Disponível em:

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/maodupla/index.html .

Acesso em 16 de agosto de 2006.

[10] GRAY, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with

Mathematica®. 2nd edition. New York(USA): CRC Press, 1999, 1053p.

[11] KOBAYASHI, O. Maximal Surfaces in the 3-Dimensional Minkowski Space L3.

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/03-04/

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/maodupla/index.html.

117

Tokyo J. Math., Tokyo (Jp), v. 6, n. 2, p. 297-309, 1983.

[12] LOPES, C. M. C. Superfícies do tipo espaço com vetor curvatura média nulo em

L3 e L4. 2002. 98 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Instituto de

Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, São Paulo(SP).

[13] MILANI, V.; SHOJAEIFARD, A. A new classification of surfaces of revolution in

3-dimensional Minkowski Space. Transaction of the American Mathematical

Society. 3-July 2006:1-11, 2006.

[14] NABER, G. L. Spacetime and Singularities: An Introduction. London:

Mathematical Society Student, Text 11, reprinted 1993.

[15] O’NEILL, B. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. New York,

London: Academic Press, 1983, 468 p.

[16] PICADO, J. Apontamentos de Geometria Diferencial. Apostila. Coimbra(Pt):

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, 2003, p. 1-3.

[17] RODRIGUES, A. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies Tipo Espaço em

L3. 2006. 71 f. Dissertação (Mestrado em Matemática e Estatística) -

Universidade Vale do Rio Verde - Unincor, Três Corações (MG).

[18] STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2a. Edição. São Paulo:

Editora Mc Graw-Hill, 1987, 302 p.

[19] SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. edição. São Paulo:

Makron Books Ltda.,1994, Volume 2, 763 p.

[20] TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. 1ª Reimpressão. Brasília:

Editora UnB, 1990, 278 p.

[21] VAN DE WOESTIJNE, I. Minimal surfaces of the 3-dimensional Minkowski space.

World Scientific Publishing, Singapore, 1990, p. 344-369.

[22] WALRAVE, J. Curves and Surfaces in Minkowski Space. Tese (Doutorado).

1995. 112 f. K. U. Leuven (Be), Faculteit Der Wetenschappen.

[23] YANG, S.D; KIM,Y,W. A family of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski three

space. American Mathematical Society, v. 134, n. 11, p. 3379-3390, november

2006.

Documents

Geometria das superfícies máximas no pseudo espaço de Lorentz Minkowski